精品解析：重庆市为明学校2024-2025学年上学期八年级第二次月考数学试题

重庆市为明学校2024－2025学年上八年级第二次定时作业 数学试题卷 （满分：150分 时间：100分钟） 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 下列四幅图案中，可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别，解题关键是抓住轴对称图形是指将一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合．根据轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意； B． 不是轴对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，符合题意； D．不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，积的乘方运算，正确的计算是解题的关键．根据合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，积的乘方运算法则逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意； B．，故该选项不正确，不符合题意； C．，故该选项不正确，不符合题意； D． ，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 3. 将分式中x，y同时扩大10倍，则分式的值将（ ） A. 扩大10倍 B. 扩大100倍 C. 扩大10000倍 D. 扩大1000倍 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质．解题关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把子母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 将原式中的分别用代替，化简后与原分式进行比较即可得到答案． 【详解】解：将分式中的的值同时扩大为原来的10倍， 则原式变为， ∴分式的值扩大1000倍， 故选：D． 4. 如图，是等边的边上的中线，F是边上的动点，E是边上动点，当取得最小值时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，中垂线的性质，连接，三线合一得到垂直平分，得到，进而得到，根据两点之间线段最短，以及垂线段最短，得到三点共线，且时，的值最小，进而得到点为三条角平分线的交点，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵是等边的边上的中线， ∴垂直平分，平分，， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小， ∴平分， ∴点到三角形三边的距离相等， ∴平分， ∴当取得最小值时，； 故选C 5. 如图，是的角平分线，于点，，，，则长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质定理，正确作出辅助线是解题关键．过点D作于点F，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出，再根据结合三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于点F， ∵是的角平分线，， ∴． ∵，，， ∴， ∴． 故选D． 6. 如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（ ） A. 24 B. 36 C. 40 D. 44 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，设直角三角形的两直角边为 ， ，斜边为 ，根据图1，结合已知条件得到，，进而求出的值，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为，，斜边为， 图1中大正方形的面积是24， ， 小正方形的面积是4， ， ， 图2中最大的正方形的面积； 故选：D． 7. 《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了y步，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据走路快的人走的路程等于走路慢的人走的路程加上先走的路程，走路快的人走x步和走路慢的人走y步所用时间相同，列出方程组即可． 【详解】解：由题意，可得：； 故选A． 8. 将一些长度完全相同的木棒拼成正多边形，在正多边形的每个边外侧拼出等边三角形，按照一定规律摆成下列图形，其中第1个图案中有9根木棒，第2个图案中有12根木棒，第3个图案中有15根木棒，……，则第7个图案中木棒的根数为（ ） A. 24 B. 27 C. 30 D. 33 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探究．根据题意可以推导出一般性规律为：第n个图案，用根小棒，问题随之得解． 【详解】解：由题意知，第1个图案，用9根小棒，而； 第2个图案，用12根小棒，而； 第3个图案，用15根小棒，而； 第n个图案，用根小棒； ∵第7个图案中木棒的根数为： 故选：B． 9. 如图，四边形中，，，在，上分别找一点M，N，使周长最小，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了平面内最短路线问题求法，以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识的综合应用．根据要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为周长的最小值．作延长线，如图所示，结合图形及已知条件，不难得出；再结合三角形外角的性质不难得到，由此分析即可得出答案． 【详解】解：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为周长的最小值．作延长线，如图所示． ， ， ． ，，且，， ． 故选：B． 10. 现有个负整数：，，，…，对它们进行如下操作：第次操作，将所有角标数字为的倍数的数变换为相反数，得到数列：，，，…；第次操作，在第次操作完之后的数列上，将所有角标数字为的倍数的数变换为相反数，得到数列：，，，…；以此类推，第次操作，在第次操作完之后的数列上，将所有角标数字为的倍数的数变换为相反数，此时全部操作结束，以下说法正确的有（ ） 若，第次操作结束后，整个数列中会有个正数； 若，第次操作结束后，整个数列中会有个正数； 在第次操作结束后的数列中任取两个正数，，则的最小值为． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减计算，有理数的乘除法运算，化简绝对值，还涉及因数，倍数问题，难度很大，正确理解题意，找出规律是解题的关键． （1）第四次后，，由得到这50个数中有12个4的倍数，为第个数，第个数变为负数，第个数变为正数，故正数有个，负数有个； （2）因此不难发现，当角标数的因数有奇数个且角标数为完全平方数时，第50次操作后为正，当角标数为时，第50次操作后为正，故有7个； （3）对于，当时，原式，当时，原式，当时，原式；对于，当时，原式，当时，原式，当时，原式，由于取不到最小值2，取不到最小值4，故使和尽可能小即可，即最接近5或7，最接近11或15，故当代入即可求解． 【详解】解：（1）原数列：（均为负数）， 第一次后：（均为正数）， 第二次后：，此时有25个正数，25个负数，且奇正偶负， 第三次后： ， ∵， ∴这50个数中有16个3的倍数，且为8个奇数，8个偶数，且为奇负偶正，其余各数符合不变， ∴有25个正数，25个负数 第四次后，， ∵， ∴这50个数中有12个4的倍数，为第个数， ∴第个数变为负数，第个数变为正数， ∴正数有个，负数有个， ∴（1）正确； （2）∵角标为1的因数为1，有1个， ∴当时，为正； 角标为2的因数为，有2个， ∴当时，为负； 角标为3的因数为，有2个， ∴当时，为负； 角标为4的因数为，有3个， ∴当时，为正； 角标为9的因数为，有3个， ∴当时，为正； 角标为的因数为，有5个， ∴当时，正； 因此不难发现，当角标数的因数有奇数个且角标数为完全平方数时，第50次操作后为正， ∴当角标数为时，第第50次操作后为正，故有7个， ∴（2）正确； （3）对于， 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， 对于， 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， ∵，，， ∴， 对于取不到最小值2，取不到最小值4， 故使和尽可能小即可， 即最接近5或7，最接近11或15， ∴当， ， ∴的最小值为24， ∴（3）正确，   故选： D． 二、填空题（每题4分，共32分） 11. 式子有意义的条件是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查代数式有意义，根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 12. 分解因式3x3-12x=________ 【答案】3x(x+2)(x-2) 【解析】 【详解】注意将提取公因式与乘法公式综合应用，将整式提取公因式后再次利用公式分解． 解答：解：3x3-12x =3x（x2-4）--（提取公因式） =3x（x-2）（x+2）． 13. 多项式分解因式后有一个因式是，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解和多项式乘多项式，由多项式分解因式后有一个因式是得出当时，多项式的值为，由此得出关于k的方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵多项式进行因式分解后有一个因式是， ∴当时，多项式的值为0， 即， 解得：． 故答案为： 14. 已知，那么的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，代数式求值，先进行因式分解，再利用整体代入法进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为： 15. 平面直角坐标系中，点在x轴上，点Q与点M关于y轴对称，则点M坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，根据x轴上的点的纵坐标为0，求出的值，进而求出点坐标，根据关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，求出点M坐标即可． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， ∴， ∴点， ∵点Q与点M关于y轴对称， ∴； 故答案为：． 16. 如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．当与全等时，的值是___________． 【答案】2或1 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用，路程、速度、时间之间的关系．能求出符合题意的所有情况是解题的关键．由题意知当与全等时，分和两种情况，根据全等的性质列方程求解即可． 【详解】解：∵点P的运动速度为，点Q的运动速度为，它们运动的时间为，，， ∴，，， ∵， ∴当与全等时，有两种情况： ①当时， ，， ∴，， 解得，； ②当时， ，， ∴，， 解得，， 综上所述，t的值是2或1， 故答案为：2或1． 17. 关于的一元一次不等式组至少有个整数解，且关于的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数的和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组和分式方程．先解不等式组，根据不等式组至少有个整数解，确定的取值范围，再解分式方程，根据分式方程有整数解确定的值，从而求出符合条件的所有整数的和． 【详解】解： 解得，， 解得，， ∵不等式组有解， ∴不等式组的解集为， 又∵不等式组至少有个整数解， ∴， 解得， 由分式方程两边都乘得，， 整理得，， 当时，方程的解为，且 ， ∵关于的分式方程有整数解， ∴或或或或， ∴或或或或 ∵， ∴（不合题意，舍去）， ∴符合条件的所有整数的和为， 故答案为：． 18. 若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“振兴数”，则最小的“振兴数”是_______；若一个“振兴数”m满足千位数字与百位数字的平方差是15，且十位数字与个位数的和能被5整除．则满足条件的“振兴数”m的最小值为______． 【答案】 ①. 1001 ②. 4114 【解析】 【分析】本题考查了数的整除，新定义，正确理解定义，结合数的特点分析解答即可 【详解】∵，且， ∴当时，四位数最小， 故答案为：1001； 根据题意，得，k是正整数， ∴， ∵，， 解得 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ 解得， 故或， 当时，或， 当时，或， 当时，或， 当时，， ∵m最小， ∴，， 根据， 故， 故最小数是4114， 故答案为：4114． 三、解答题（19题8分，20－26题每题10分，共78分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查整式的化简、分式的化简，正确使用公式及法则进行计算是关键． （1）根据完全平方公式，单项式乘多项式的运算法则即可求出答案． （2）括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到最简结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 先化简，再求值：，其中x、y满足． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，非负性，根据整式的混合运算法则进行化简，根据非负性求出的值，再代入化简后的式子，计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， ∴， ∴． 21. 数学爱好者小陶发现，内角的角平分线和外角的角平分线交于点，连接，他猜想平分外角． （1）用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线交于点．（不说明理由，只保留作图痕迹）； （2）在（1）所作图形中，求证：． 小陶的思路是这样的，过点作于点，过点作于点，由角平分线的性质得，等量代换可得，再证明和这两个角所在的三角形全等得出结论．请根据这个思路补全下面的证明过程． 证明：是的角平分线，， ① ． 是的角平分线，， ． ② ． ， ， 在和中， （④ ）． ． 由此他得到结论： 三角形一个内角的角平分线和另一个外角的⑤ 的交点与三角形第三个顶点所连线段平分此外角． 【答案】（1）见解析 （2）①；②；③；④；⑤角平分线 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是掌握角平分线的性质定理． （1）根据要求作出图形； （2）利用角平分的性质可得，再证明，可得结论． 【小问1详解】 解：图形如图所示： 【小问2详解】 证明：是的角平分线，，， ， 是的角平分线，，， ． ． ，， ， 在和中， ， ． ． 由此他得到结论： 三角形一个内角的角平分线和另一个外角的角平分线的交点与三角形第三个顶点所连线段平分此外角． 故答案为：①；②；③；④；⑤角平分线． 22. 某市教育行政部门为了解八年级学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查了某中学八年级学生一个学期参加综合实践活动的时间，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图． 请你根据图中提供信息，回答下列问题： （1）扇形统计图中a的值是______，该校八年级学生共有______人； （2）在本次抽样调查中，参加综合实践活动的时间为5天的学生有______人，并补全条形统计图； （3）如果该市八年级的学生共有2万人，根据以上数据，试估计这2万人中参加综合实践活动时间不少于4天的学生有多少人． 【答案】（1），200 （2）50，见解析 （3）15000人 【解析】 【分析】本题考查读频数分布直方图能力和利用统计图获取信息的能力． （1）根据各部分所占的百分比的和等于1列式计算即可求出a的值，根据看2天的人数与所占的百分比列式计算即可求出总人数； （2）根据所占的百分比分别求出活动时间为5天、7天的学生人数，然后补全统计图即可； （3）用总人数乘以活动时间为4、5、6、7天的人数所占的百分比的和，计算即可得解． 【小问1详解】 解：， 八年级学生总数：（人）； 故答案为：，200； 【小问2详解】 解：活动时间为5天的学生数：（人）， 活动时间为7天的学生数：（人）， 补全频数分布直方图： 故答案为：50； 【小问3详解】 解：（人）， 答：该市八年级的学生活动时间不少于4天的人数约是15000人． 23. 秋风送爽，蟹香四溢，又到了吃大闸蟹的黄金季节．阳澄湖大闸蟹大量上市，一只母蟹比一只公蟹的售价贵12元．若顾客用2400元分别购买两种大闸蟹，则公蟹的数量是母蟹数量的1.25倍． （1）求公蟹、母蟹的售价； （2）赶上“双十一”大促，公蟹和母蟹都进行了降价促销活动，母蟹按原价的九折出售，公蟹每只降价6元．某公司计划购买100只大闸蟹奖励员工，其中母蟹数量比公蟹数量的倍还多，且总费用不超过5000元，请问应该购买母蟹、公蟹各多少只？ 【答案】（1）公蟹的单价是元，母蟹的单价是元； （2）购买34个公蟹，66个母蟹 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解一元一次不等式组的实际应用，根据题意找出数量关系，列出方程和不等式组是解题的关键． （1）设公蟹单价是x元，则母蟹的单价是元，利用数量＝总价÷单价，结合用2400元分别购买两种大闸蟹，则公蟹的数量是母蟹数量的1.25倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出公蟹的单价，再将其代入中，即可求出母蟹的单价； （2）设该公司购买m个公蟹，则购买个母蟹，根据“购买100只大闸蟹奖励员工，其中母蟹数量比公蟹数量的倍还多，且总费用不超过5000元，”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出购买方案． 【小问1详解】 解：设公蟹的单价是x元，则母蟹的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：公蟹的单价是元，母蟹的单价是元； 【小问2详解】 解：设该公司购买m只公蟹，则购买只母蟹， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为34， ∴该公司购买34只公蟹，66只母蟹. 24. 如图1，直线于点B，，点D为中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E． （1）求证：； （2）如图2，连接交于点F，连接交于点H，，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由可证，可得； （2）由可证，可得，由余角的性质可得结论． 【小问1详解】 证明：如图1，过点D作， 由题意可得：， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明∶ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 25. 阅读：对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为，．应用上面的结论解答下列问题： （1）方程的两个解分别为，，则________， ________； （2）方程的两个解分别为，，求的值． （3）关于x的方程的两个解分别为、，求的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的解，掌握题干所给结论，是解题的关键： （1）根据材料可得：，，计算出结果即可； （2）根据材料得到，，再把变形，利用整体代入法求值即可； （3）将原方程变形后变为： ，未知数变为整体，根据材料中的结论可得： ， ，代入所求式子可得结论． 【小问1详解】 解：∵方程的两个解分别为，， ∴，， 故答案为，； 【小问2详解】 解：∵方程的两个解分别为，， ∴，， ∴ 故 ∴ ∴； 【小问3详解】 ∵ ∴， 即 ∴或， 或， ∵， ∴， ， ∴． 26. 如图，等腰三角形和等腰三角形，其中，． （1）如图1．若，当点C、D、E共线时，的延长线交于点F求的度数； （2）如图2．连接、，延长交于点F，若点F是的中点，，求证：； （3）如图3．延长到点M，连接，使得，延长、交于点N．连接，若，请写出、它们之间的数量关系，并写出证明过程． 【答案】（1） （2）见解析 （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意和等腰三角形的性质得，根据得，即可得，即可得； （2）延长至Q，使，连接，利用SAS证明，即可得，，利用SAS证明，即可得，，根据角之间的关系得，根据得，即可得； （3）在上，截取，连接，利用SAS证明，即可得，，，利用SAS证明即可得，根据，，即可得，则，根据得，可得，即可得． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图所示，延长至Q，使，连接， ∵， ∴， 在和中， ∴（SAS）， ∴，， ∵点F为的中点， ∴， 在和中， ∴（SAS）， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ = = =， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 ；证明如下： 如图所示，在上，截取，连接， ∵， ， ∴， 在和中， ∴（SAS）， ∴，，， ∴ = =， ∵， ∴， 在和中， ∴（SAS）， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，适当的添加辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市为明学校2024－2025学年上八年级第二次定时作业 数学试题卷 （满分：150分 时间：100分钟） 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 下列四幅图案中，可以看作轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 将分式中x，y同时扩大10倍，则分式的值将（ ） A. 扩大10倍 B. 扩大100倍 C. 扩大10000倍 D. 扩大1000倍 4. 如图，是等边的边上的中线，F是边上的动点，E是边上动点，当取得最小值时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的角平分线，于点，，，，则长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（ ） A. 24 B. 36 C. 40 D. 44 7. 《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了y步，则可列方程组为（ ） A. B. C D. 8. 将一些长度完全相同的木棒拼成正多边形，在正多边形的每个边外侧拼出等边三角形，按照一定规律摆成下列图形，其中第1个图案中有9根木棒，第2个图案中有12根木棒，第3个图案中有15根木棒，……，则第7个图案中木棒的根数为（ ） A. 24 B. 27 C. 30 D. 33 9. 如图，四边形中，，，在，上分别找一点M，N，使周长最小，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 现有个负整数：，，，…，对它们进行如下操作：第次操作，将所有角标数字为的倍数的数变换为相反数，得到数列：，，，…；第次操作，在第次操作完之后的数列上，将所有角标数字为的倍数的数变换为相反数，得到数列：，，，…；以此类推，第次操作，在第次操作完之后的数列上，将所有角标数字为的倍数的数变换为相反数，此时全部操作结束，以下说法正确的有（ ） 若，第次操作结束后，整个数列中会有个正数； 若，第次操作结束后，整个数列中会有个正数； 在第次操作结束后的数列中任取两个正数，，则的最小值为． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（每题4分，共32分） 11. 式子有意义的条件是________． 12. 分解因式3x3-12x=________ 13. 多项式分解因式后有一个因式是，则_________． 14. 已知，那么的值为________． 15. 平面直角坐标系中，点在x轴上，点Q与点M关于y轴对称，则点M坐标为________． 16. 如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．当与全等时，的值是___________． 17. 关于的一元一次不等式组至少有个整数解，且关于的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数的和为______． 18. 若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“振兴数”，则最小的“振兴数”是_______；若一个“振兴数”m满足千位数字与百位数字的平方差是15，且十位数字与个位数的和能被5整除．则满足条件的“振兴数”m的最小值为______． 三、解答题（19题8分，20－26题每题10分，共78分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中x、y满足． 21. 数学爱好者小陶发现，内角的角平分线和外角的角平分线交于点，连接，他猜想平分外角． （1）用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线交于点．（不说明理由，只保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图形中，求证：． 小陶的思路是这样的，过点作于点，过点作于点，由角平分线的性质得，等量代换可得，再证明和这两个角所在的三角形全等得出结论．请根据这个思路补全下面的证明过程． 证明：是的角平分线，， ① ． 是的角平分线，， ． ② ． ， ， 在和中， （④ ）． ． 由此他得到结论： 三角形一个内角的角平分线和另一个外角的⑤ 的交点与三角形第三个顶点所连线段平分此外角． 22. 某市教育行政部门为了解八年级学生每学期参加综合实践活动情况，随机抽样调查了某中学八年级学生一个学期参加综合实践活动的时间，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图． 请你根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）扇形统计图中a的值是______，该校八年级学生共有______人； （2）在本次抽样调查中，参加综合实践活动的时间为5天的学生有______人，并补全条形统计图； （3）如果该市八年级的学生共有2万人，根据以上数据，试估计这2万人中参加综合实践活动时间不少于4天的学生有多少人． 23. 秋风送爽，蟹香四溢，又到了吃大闸蟹的黄金季节．阳澄湖大闸蟹大量上市，一只母蟹比一只公蟹的售价贵12元．若顾客用2400元分别购买两种大闸蟹，则公蟹的数量是母蟹数量的1.25倍． （1）求公蟹、母蟹的售价； （2）赶上“双十一”大促，公蟹和母蟹都进行了降价促销活动，母蟹按原价的九折出售，公蟹每只降价6元．某公司计划购买100只大闸蟹奖励员工，其中母蟹数量比公蟹数量的倍还多，且总费用不超过5000元，请问应该购买母蟹、公蟹各多少只？ 24. 如图1，直线于点B，，点D为中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E． （1）求证：； （2）如图2，连接交于点F，连接交于点H，，求证：． 25. 阅读：对于两个不等非零实数a、b，若分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为，．应用上面的结论解答下列问题： （1）方程的两个解分别为，，则________， ________； （2）方程的两个解分别为，，求的值． （3）关于x方程的两个解分别为、，求的值． 26. 如图，等腰三角形和等腰三角形，其中，． （1）如图1．若，当点C、D、E共线时，的延长线交于点F求的度数； （2）如图2．连接、，延长交于点F，若点F是的中点，，求证：； （3）如图3．延长到点M，连接，使得，延长、交于点N．连接，若，请写出、它们之间的数量关系，并写出证明过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$