第六章几何图形初步（B卷·培优卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（人教版2024，江西专用）

第六章 几何图形初步（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．在一条直线上，依次有E、F、G、H四点．如果点F是线段EG的中点，点G是线段FH的中点，则有（　　） A．EF＝2GH B．EF＞GH C．EF＜2GH D．EF＝GH 2．下列说法正确的是（    ） A．射线和射线是同一条射线 B．两点之间，线段最短 C．经过三个点可画三条直线 D．直线上有三个点A、B、C，若，则点C是线段的中点 3．已知线段，延长到C，使，D为中点，且，那么线段的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 4．我们用一副三角板能画出的特殊角中，最小角度是（    ） A． B． C． D． 5．“剪纸”是一种用剪刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活的民间艺术；而“折纸”则是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动，如图，取一张正方形硬纸片，通过“剪”将图中阴影部分去掉，再进行“折”，则能够围成一个有盖长方体纸盒的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，平面内，平分，为反向延长线上一点(图中所有角均指小于），有以下结论：①；②；③；④，则．其中结论正确的序号有（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．往返于甲、乙两地的客车，中途停靠4个车站（来回票价一样），且任意两站间的票价都不同，共有 种不同的票价，需准备 种车票． 8．将一个长方体的一个角切去，所得的立体图形的棱的数量为 ． 9．如果一个物体的顶点数与面数相同，并且有八条棱，那么这个物体是 ． 10．经过不在同一条直线上的五点中的任意两点画直线，则最多可画直线的条数为 ． 11．从12点整开始到1点，经过 分钟，钟表上时针和分针的夹角恰好为99°． 12．已知A、B、C三点都在数轴上，点A在数轴上对应的数为2，且AB＝5，BC＝3，则点C在数轴上对应的数为 ． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．如图，已知四个点，读下列语句，画出图形．    (1)画线段； (2)画直线相交于点； (3)画射线． 14．作图题：已知线段m、n．用尺规作图． （不需要写作法，保留作图痕迹） (1)作线段AB，使； (2)作线段CD，使． 15．如图，线段 ，动点从出发，以每秒个单位长度的速度沿射线运动，为的中点．设点的运动时间为秒． (1) 秒后，． (2)当在线段上运动时，试说明为定值． (3)当在线段的延长线上运动时，为的中点，求的长度． 16．如图，已知A，为数轴上的两个点，点A表示的数是，点表示的数是10． (1)线段的中点对应的数为__________； (2)若点在数轴上，且，求的长； (3)若一只蚂蚁从点A出发，在数轴上每秒向右前进3个单位长度；同时一只毛毛虫从点出发，在数轴上每秒向右前进1个单位长度，它们在点处相遇，求点对应的数． 17．已知：点为直线上一点，过点作射线，． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，过点作射线，使，作的平分线，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，作射线，若与互余，请画出图形，并求的度数． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．在学习《展开与折叠》这一课时，老师让同学们用若干个正方形和长方形拼成一个长方体的展开图．拼完后，小明看来看去觉得所拼图形似乎存在问题．    (1)请你帮小明分析一下拼图是否存在问题，若有多余块，则把图中多余块涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全； (2)长方体共有______条棱，若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中修正后的平面图形，需要剪开______条棱； (3)根据图中的数据，求出修正后的展开图所折叠而成的长方体的体积． 19．如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，将直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． （1）在图1中，_______，_______； （2）将图1中的三角板按图2的位置放置，使得在射线上，求的度数 （3）将上述直角三角板按图3的位置放置，使得在的内部，求的度数． 20．如图，将射线、绕着射线的端点O从的位置起逆时针旋转． (1)若，绕着点O从的位置起逆时针旋转至． ①试求出的度数； ②设以度/秒的速度进行逆时针旋转，同时以度/秒的速度从的位置起进行逆时针旋转．当与重叠时，停止旋转，请说明：旋转过程中，； (2)若绕着点O从的位置起逆时针旋转至，旋转至停止，且满足．试求出与的度数之比． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．（1）【特例感知】如图1，已知线段，，点和点分别是，的中点，若，则_________； （2）【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部转动，射线和射线分别平分和；若，，求的度数． （3）【类比探究】如图3，在内部转动，若，，，，求的度数．（用含有的式子表示计算结果）． 22．如图1，为直线上一点，过点作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．（注：本题旋转角度最多．） 　 　 （1）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过秒后，______度（用含的式子表示），若恰好平分，则______秒（直接写结果）． （2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，如图3，经过秒后，______度（用含的式子表示）若平分，求为多少秒？ （3）若（2）问的条件不变，那么经过秒平分？（直接写结果） 六、解答题（本大题共12分） 23．如图（1）所示，线段与线段重合，点是它们的中点，保持不动，将绕点顺时针旋转）；射线从与射线重合开始，绕点逆时针旋转（至多旋转到与射线重合为止）． 在此基础上，我们给出如下定义：比较与的大小，若，则将其中较小角的度数定义为对的“迷你角度”；若，则将或的度数定义为对的“迷你角度”．    (1)当时， ①如图（2）所示，若，求对的“迷你角度”是多少度； ②若对的“迷你角度”为，请借助图（3）和图（4）进行分析，求出的值是多少． (2)若时，对的“迷你角度”是，请直接写出的值，不用说明理由． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 几何图形初步（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．在一条直线上，依次有E、F、G、H四点．如果点F是线段EG的中点，点G是线段FH的中点，则有（　　） A．EF＝2GH B．EF＞GH C．EF＜2GH D．EF＝GH 【答案】D 【分析】依据点F是线段EG的中点，点G是线段FH的中点，即可得到EF＝FG，FG＝GH，进而得出结论． 【详解】 解：如图，∵点F是线段EG的中点，点G是线段FH的中点， ∴EF＝FG，FG＝GH， ∴EF＝GH， 故选D． 【点睛】本题主要考查了线段的中点，线段的中点就是把一条线段分成两条相等的线段的点． 2．下列说法正确的是（    ） A．射线和射线是同一条射线 B．两点之间，线段最短 C．经过三个点可画三条直线 D．直线上有三个点A、B、C，若，则点C是线段的中点 【答案】B 【分析】本题考查直线、射线及线段的知识．掌握基本定义是解题的关键． 根据射线的定义、线段的性质、直线的性质、线段的比例关系,可判断出各选项． 【详解】解：A．射线和射线是两条不同射线，故此选项错误，不符合题意； B．两点之间，线段最短，此选项正确，符合题意； C．经过三个点（不重合）最多可画一条直线，此选项错误，不符合题意； D．直线上有三个点A、B、C，若,则点C是线段的中点（此时点C位于之间），点C也可能不是的中点（此时点C位于的延长线上,如图），此选项错误，不符合题意． 故选：B． 3．已知线段，延长到C，使，D为中点，且，那么线段的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查线段长度的计算，关键是根据题意正确的画出图形；根据题意画出图形，由D是的中点，根据中点的定义可求出的长；根据已知可求出的长，再结合即可解答． 【详解】解：根据题意画出图形如图所示： ∵D是的中点， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 故选C． 4．我们用一副三角板能画出的特殊角中，最小角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角板的角度，计算和差可得结果． 【详解】解：一副三角板共两块，一块是三个内角分别为、、；另一块是三个内角分别为、、， 用一块三角板的角减去另一块三角板的角，求出的就是最小角度，即． 故选：D． 【点睛】本题主要考查角的计算，熟悉两块三角板度数是解题的关键． 5．“剪纸”是一种用剪刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活的民间艺术；而“折纸”则是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动，如图，取一张正方形硬纸片，通过“剪”将图中阴影部分去掉，再进行“折”，则能够围成一个有盖长方体纸盒的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查立体图形的展开，解题的关键是学会识别几何体的展开图形． 【详解】由图形可知，A、B、C围成的几何体无盖，D围成的图形有盖， 故选：D． 6．如图，平面内，平分，为反向延长线上一点(图中所有角均指小于），有以下结论：①；②；③；④，则．其中结论正确的序号有（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的定义和性质以及平面内角的计算，根据角平分线的性质再结合，逐项分析即可获得答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， 即，故结论①正确； ∵， ∴，故结论②正确； ∵， 又∵， ∴，故结论③不正确； 若，设，则，， ∵ ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴故结论④正确． 综上所述，结论正确的序号有①②④． 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．往返于甲、乙两地的客车，中途停靠4个车站（来回票价一样），且任意两站间的票价都不同，共有 种不同的票价，需准备 种车票． 【答案】 15 30 【分析】先求出线段的条数，再计算票价和车票的种数． 【详解】根据线段的定义：可知图中共有线段有AC，AD，AE，AF，AB，CD、CE，CF、CB、DE，DF、DB、EF，EB，FB共15条，有15种不同的票价； 因车票需要考虑方向性，如，“A→C”与“C→A”票价相同，但车票不同，故需要准备30种车票． 故答案为：15；30． 【点睛】本题考查了线段，运用数学知识解决生活中的问题．解题的关键是需要掌握正确数线段的方法． 8．将一个长方体的一个角切去，所得的立体图形的棱的数量为 ． 【答案】15条或14条或12条或13条 【分析】根据长方体的特征：长方体有12条棱．在顶点处截去一个角就多出三条棱，但是长方体原本的12条棱少了几条要画图分类讨论． 【详解】 ①（条）； ② （条）； ③ （条）； ④ （条）； 答：所得立体图形的棱的条数为15条或14条或12条或13条 故答案为：15条或14条或12条或13条 【点睛】本题考查了长方体的特征和截长方体，明确在顶点处截去一个角就多出3条棱是解题关键． 9．如果一个物体的顶点数与面数相同，并且有八条棱，那么这个物体是 ． 【答案】四棱锥 【详解】点数和面数相同则肯定是棱锥，且棱数是底面边数的2倍，因为总棱数=侧棱数+底棱数，侧棱数=底棱数，底棱数也就是底面边数．所以此物体是四棱锥． 10．经过不在同一条直线上的五点中的任意两点画直线，则最多可画直线的条数为 ． 【答案】10 【分析】本题是探索规律题，考查了直线、射线、线段，不在同一条直线上的五个点有三种不同的关系：①有四个点在同一条直线上；②有三个点在同一条直线上；③五个点中任意三个点都不在同一条直线上．熟练掌握分类讨论思想的运用是关键． 【详解】解：如图， ①有四个点在同一条直线上； 故最多可画5条； ②有三个点在同一条直线上； 故最多可画8条； ③五个点中任意三个点都不在同一条直线上； 当任意三点都不在同一条直线上时，最多有：（条，所以最多能得到10条直线． 故答案为10 11．从12点整开始到1点，经过 分钟，钟表上时针和分针的夹角恰好为99°． 【答案】18或 【分析】先求解出时针和分针每分钟旋转的角度，再按照追击问题看待两个指针，求时间即可 【详解】∵时针每60分钟走1大格，即30° ∴时针的速度为：0.5°/min 同理，分针的速度为：6°/min 要使时针和分针夹角为99°，有两种情况： 情况一：时针比分针多走99° 设从12点整开始，时针和分针都走了x分钟 则：0.5x+99=6x   解得：x=18 情况二：时针比分针多走(360-99)°，即多走261° 设从12点整开始，时针和分针都走了y分针 则：0.5y+261=6x   解得：y= 故答案为：18或 【点睛】本题是钟表问题和夹角结合考查的类型，解题关键是将时钟问题类比到追击问题中，根据追击问题的模型，求时间 12．已知A、B、C三点都在数轴上，点A在数轴上对应的数为2，且AB＝5，BC＝3，则点C在数轴上对应的数为 ． 【答案】－6或0或4或10. 【详解】设点B、C在数轴上对应的数分别为a，b．已知AB=5，点A在数轴上对应的数为2，可得|a-2|=5，即可求得a=7或-3．再由BC=3，可得|b-a|=3．①a=7时，|a-7|=3，可得b=10或4；②当a=-3时，|b+3|=3，可得b=0或-6． 点睛：本题考查了在数轴上如何求两点间的距离．注意在数轴上到一个定点的距离是一个常数的点有两个，这两个点关于这个定点对称． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．如图，已知四个点，读下列语句，画出图形．    (1)画线段； (2)画直线相交于点； (3)画射线． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 (3)作图见详解 【分析】（1）线段有两个端点，不能延伸，由此即可求解； （2）直线没有端点，向两边无限延伸，由此即可求解； （3）射线有一个端点，向一边无限延伸，由此即可求解． 【详解】（1）解：线段，即连接点与点，连接点与点，如图所示，    （2）解：直线相交于点，即连接点与点并向两边无限延伸，连接点与点并向两边无限延伸，如图所示，    （3）解：射线，即连接点与点并向方向无限延伸，连接点与点并向方向无限延伸，如图所示，      【点睛】本题主要考查直线、射线、线段的定义及作法，掌握其定义及作图的方法是解题的关键． 14．作图题：已知线段m、n．用尺规作图． （不需要写作法，保留作图痕迹） (1)作线段AB，使； (2)作线段CD，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)作射线AE，以点A为端点向右依次截取线段m，n，即可得线段AB=m+n； (2)作射线CE，以点C为端点向右依次截取三段线段m，再以右端点向左截取线段n，即可得线段CD=3m-n． 【详解】（1）解：如图：线段AB即为所求 （2）解：如图：线段CD即为所求 【点睛】本题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作一条线段等于已知线段的方法． 15．如图，线段 ，动点从出发，以每秒个单位长度的速度沿射线运动，为的中点．设点的运动时间为秒． (1) 秒后，． (2)当在线段上运动时，试说明为定值． (3)当在线段的延长线上运动时，为的中点，求的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分两种情况讨论，①当点在线段上，②当点在线段的延长线上时分别求出的值即可； （2），，，，表示出后，化简即可得出结论； （3），，，表示出的长度，即可作出判断． 【详解】（1）点从出发，以每秒个单位长度的速度沿射线运动， 设点的运动时间为秒， 为的中点， ， 当点在线段上时， 当点在线段的延长线上时， ，无解； 综上所述，当点出发秒后，； （2）由（1）知，，， ，， 为定值； （3）由（1）知，，， 当点在线段的延长线上时， 为的中点， ． 【点睛】本题主要考查了两点间的距离，用含时间的式子表示出各线段的长度是解本题的关键． 16．如图，已知A，为数轴上的两个点，点A表示的数是，点表示的数是10． (1)线段的中点对应的数为__________； (2)若点在数轴上，且，求的长； (3)若一只蚂蚁从点A出发，在数轴上每秒向右前进3个单位长度；同时一只毛毛虫从点出发，在数轴上每秒向右前进1个单位长度，它们在点处相遇，求点对应的数． 【答案】(1) (2)10或20 (3)30 【分析】本题主要考查了数轴与动点．熟练掌握数轴上动点表示的数，两点之间的距离公式，一元一次方程的应用，速度、时间、路程之间的关系，是解决问题的关键． （1）根据线段中点公式进行计算即可； （2）设出点D表示的数，分两种情况，点D在点B的左侧或右侧进行解答，运用两点间的距离公式列式表示与的长，根据列方程计算即可； （3）设运动时间为t，用含有t的式子表示蚂蚁对应的数和毛毛虫对应的数，根据它们相遇时对应的数相同列出方程，解方程求得t的值，从而得到点E对应的数． 【详解】（1）∵点A表示的数为，点B表示的数是10， ∴线段的中点C对应的数为，， 故答案为：； （2）设点D对应的数为x， 当点D在点B的左侧时，，， ∵， ∴， 解得， ∴； 当点D在点B的右侧时，，， ∴， 解得， ∴； 故点BD的长为，10或20； （3）设运动t秒相遇， 则蚂蚁对应的数为，毛毛虫对应的数为， ∵在相遇点E，蚂蚁对应的数和毛毛虫对应的数相同， ∴，解得，， ∴点E表示的数为，． 17．已知：点为直线上一点，过点作射线，． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，过点作射线，使，作的平分线，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，作射线，若与互余，请画出图形，并求的度数． 【答案】（1）80°；（2）50°；（3）或，图见解析 【分析】（1）直接根据邻补角的概念即可求解； （2）直接根据角平分线的性质即可求解； （3）根据与互余，可得，分①当射线在内部时；②当射线在外部时，两种情况进行讨论即可． 【详解】解：（1）； （2）由（1）得， ， ， 是的平分线， ， ； （3）由（2）得， 与互余， ， ， ①当射线在内部时（如图3-， ； ②当射线在外部时（如图3-， ． 综上所述，的度数为或． 【点睛】此题主要考查邻补角的概念、角平分线的性质、余角的概念，熟练进行逻辑推理是解题关键． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．在学习《展开与折叠》这一课时，老师让同学们用若干个正方形和长方形拼成一个长方体的展开图．拼完后，小明看来看去觉得所拼图形似乎存在问题．    (1)请你帮小明分析一下拼图是否存在问题，若有多余块，则把图中多余块涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全； (2)长方体共有______条棱，若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中修正后的平面图形，需要剪开______条棱； (3)根据图中的数据，求出修正后的展开图所折叠而成的长方体的体积． 【答案】(1)存在问题，多余块涂黑见详解 (2)12，7 (3) 【分析】本题主要考查了长方体的展开图、长方体体积计算等知识，熟练掌握长方体及其展开图的性质是解题关键． （1）根据长方体的展开图的性质分析，即可获得答案； （2）根据长方体及其展开图的性质，即可获得答案； （3）结合题意确定长方体的长、宽和高，然后根据长方体的体积公式求解即可． 【详解】（1）解：存在问题，有多余块，多余块涂黑如下图所示；    （2）长方体共有12条棱，若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中修正后的平面图形，需要剪开7条棱． 故答案为：12，7； （3）根据题意，该长方体的宽和高为：， 则该长方体的长为， 所以，长方体的体积为：． 19．如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，将直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． （1）在图1中，_______，_______； （2）将图1中的三角板按图2的位置放置，使得在射线上，求的度数 （3）将上述直角三角板按图3的位置放置，使得在的内部，求的度数． 【答案】（1）120°，60°；（2）30°；（3）30°． 【分析】（1）点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC=2：1，可以求得∠AOC和∠BOC的度数； （2）根据∠AOC的度数和∠MON的度数可以得到∠CON的度数； （3）根据∠BOC=60°，∠MON=90°，∠BON=∠MON-∠BOM，∠COM=∠BOC-∠BOM，可以得到∠BON-∠COM的度数． 【详解】解：（1）∵点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC=2：1，∠AOC+∠BOC=180°， ∴∠AOC=120°，∠BOC=60° 故答案为：120°，60°； （2）∵由（1）可知：∠AOC=120°，∠MON=90°，∠AOC=∠MON+∠CON， ∴∠CON=∠AOC-∠MON=120°-90°=30°， 故答案为：30°； （3）由图可知：∠BOC=60°，∠MON=90°，∠BON=∠MON-∠BOM，∠COM=∠BOC-∠BOM， 则，∠BON-∠COM=90°-∠BOM-（60°-∠BOM）=30°， 即∠BON-∠COM的度数是30°． 【点睛】本题考查了角的计算，解题的关键是找出各个角之间的关系，与已知条件建立关系，然后求出所求角的度数． 20．如图，将射线、绕着射线的端点O从的位置起逆时针旋转． (1)若，绕着点O从的位置起逆时针旋转至． ①试求出的度数； ②设以度/秒的速度进行逆时针旋转，同时以度/秒的速度从的位置起进行逆时针旋转．当与重叠时，停止旋转，请说明：旋转过程中，； (2)若绕着点O从的位置起逆时针旋转至，旋转至停止，且满足．试求出与的度数之比． 【答案】(1)①；②见解析； (2)． 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，找准角度之间的和差关系，是解题的关键： （1）①根据角的和差关系，直接进行计算即可；②分别求出的度数，进行判断即可； （2）设，则，根据已知条件和角的和差关系得到，进而求出，的度数，即可得出结果． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵， ∴； ②如图， 由题意得，， ∴， ∴； （2）如图， 设，则， ∵， ∴， ∴， ， ∴． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．（1）【特例感知】如图1，已知线段，，点和点分别是，的中点，若，则_________； （2）【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部转动，射线和射线分别平分和；若，，求的度数． （3）【类比探究】如图3，在内部转动，若，，，，求的度数．（用含有的式子表示计算结果）． 【答案】（1）24（2）（3） 【分析】（1）欲求，需求．已知，需求．点和点分别是，的中点，得，，那么，进而解决此题． （2）欲求，需求．已知，需求．由和分别平分和，得，，进而解决此题． （3）由，可得，，，所以，根据可得结论． 本题主要考查角的运算，线段中点以及角平分线的定义，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键． 【详解】解：（1）∵，，， ， 点和点分别是，的中点， ，． ． ． 故答案为：24； （2）和分别平分和， ，． ． 又，， ． ． ． （3），， ， ，，， ， ， ， ． 22．如图1，为直线上一点，过点作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．（注：本题旋转角度最多．） 　 　 （1）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过秒后，______度（用含的式子表示），若恰好平分，则______秒（直接写结果）． （2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，如图3，经过秒后，______度（用含的式子表示）若平分，求为多少秒？ （3）若（2）问的条件不变，那么经过秒平分？（直接写结果） 【答案】（1），5；（2），；（3）经过秒平分 【分析】（1）根据图形和题意得出，再除以每秒速度，即可得出； （2）根据图形和题意得出，再根据转动速度从而得出答案； （3）分别根据转动速度关系和平分画图即可． 【详解】（1） ∵ ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∴ 解得：秒 （2）度 ∵，平分 ∴ ∴ ∴解得：秒 （3）如图： ∵， 由题可设为，为 ∴ ∵ 解得：秒 答：经过秒平分． 【点睛】此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23．如图（1）所示，线段与线段重合，点是它们的中点，保持不动，将绕点顺时针旋转）；射线从与射线重合开始，绕点逆时针旋转（至多旋转到与射线重合为止）． 在此基础上，我们给出如下定义：比较与的大小，若，则将其中较小角的度数定义为对的“迷你角度”；若，则将或的度数定义为对的“迷你角度”．    (1)当时， ①如图（2）所示，若，求对的“迷你角度”是多少度； ②若对的“迷你角度”为，请借助图（3）和图（4）进行分析，求出的值是多少． (2)若时，对的“迷你角度”是，请直接写出的值，不用说明理由． 【答案】(1)①②； (2)或 【分析】（1）①根据“迷你角度”的定义计算即可；②分为当是对的“迷你角度”时和当是对的“迷你角度”时，分别画图计算即可； （2）分为当是对的“迷你角度”和当是对的“迷你角度”， 当时，分别计算即可； 【详解】（1）， ①如图（2）所示，若， 则 ， 对的“迷你角度”是； ②若对的“迷你角度”为， 则或， 当是对的“迷你角度”时，如图， ，；    当是对的“迷你角度”时，如图， ，；    综上，或； （2） 设 则 对的“迷你角度”是， ①当是对的“迷你角度”，在之间时， 如图，， ，， 则， ，符合要求；    当是对的“迷你角度”，在之间时， 如图，， ，， 则， ，不符合要求；    ②当是对的“迷你角度”，在之间时，如图， ， ，； 则，，故符合题意；    当是对的“迷你角度”，在之间时， 如图，， ； 则，，故不符合题意；    ③当时，对的“迷你角度”是， 此时，不符合题意； 综上，或． 【点睛】该题主要考查了角度计算的动点问题以及一元一次方程的应用，解题的关键是进行分类讨论解题思想解答． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$