第十五章分式方程 分式方程的应用分类专项训练 2024-2025学年人教版数学八年级上册

分式方程的应用分类专项训练 一、工程问题 1.在创建文明城市的进程中，我市为美化城市环境，计划种植树木 30 万棵，由于志愿者的加入，实际每天植 树比原计划多 20%，结果提前 5 天完成任务，设原计划每天种植�万棵，可列方程是( ) A. 3020%� + 5 = 30 � B. 30 � − 30 20%� = 5 C. 30� − 30 (1+20%)� = 5 D. 30 (1+20%)� − 30 � = 5 【答案】C 【解析】解：由题意可得， 30 � − 30 (1+20%)� = 5， 故选：�． 2.某公司承担了制作 300 个道路交通指引标志的任务，原计划�天完成，实际平均每天多制作了 5 个，因此提 前 10 天完成任务．根据题意，下列方程正确的是( ) A. 300�−5− 300 � = 10 B. 300 �−10− 300 � = 5 C. 300� − 300 �−5 = 10 D. 300 �−10 + 5 = 300 � 【答案】B 【解析】解：设原计划�天完成，根据题意得： 300 �− 10 − 300 � = 5 故选 B． 3.某施工队挖一条 240�的渠道，开工后，每天比原计划多挖 20�，结果提前 2 天完成任务．若设原计划每天 挖��，则所列方程正确的是( ) A. 240� − 240 �+20 = 2 B. 240 � − 240 �+2 = 20 C. 240�−20− 240 � = 2 D. 240 �−2− 240 � = 20 【答案】A 4.某单位盖一座楼房，如果由建筑一队施工，那么 180 天可盖成；如果由建筑一队、二队同时施工，那么 30 天能完成工程总量的 3 10 .现若由二队单独施工，则需要�天完成，根据题意列的方程是 ( ) A. 1180 + 1 � = 3 10 B. 1 180 + 1 � = 1 30 C. 30 1180 + 1 � = 3 10 D. 1 180 + 1 � = 3 10 × 30 【答案】C 5.为了改善生态环境，某社区计划在荒坡上种植 600 棵树，由于学生志愿者的加入，每日比原计划多种 20 棵， 结果提前 1 天完成任务．设原计划每天种树�棵，根据题意可列方程为( ) A. 600�+20− 600 � = 1 B. 600 � − 600 �−20 = 1 C. 600�−20− 600 � = 1 D. 600 � − 600 �+20 = 1 【答案】D 【解析】解：设原计划每天种�棵树，实际每天种树(� + 20)棵树， 由题意得： 600 � − 600 �+20 = 1． 故选：�． 6.市政府为残疾人办实事，在某一道路改造工程中，为盲人修建一条长 3000 米的盲道，根据规划设计和要求， 该市工程队在实际施工时增加了施工人员，每天修建的盲道比原计划增加了 50%，结果提前 2 天完成工程．问 实际每天修建盲道多少米？ 【答案】解：设原计划每天修建盲道��. 由题意，得3000� − 3000 (1+50%)� = 2， 解得� = 500， 经检验，� = 500 是原方程的解且符合题意， 实际每天修建盲道： (1 + 50%) × 500 = 750(米). 答：实际每天修建盲道 750 米 7.某乡镇决定对一段公路进行改造．已知这项工程由甲工程队单独做需要 40 天完成；如果由乙工程队先单独 做 10 天，那么剩下的工程还需要两队一起做 20 天才能完成． (1)求乙工程队单独完成这项工程所需的天数； (2)求两队一起完成这项工程所需的天数． 【答案】(1)解：设乙工程队单独完成这项工程需要 x 天， 根据题意，得10� + 1 � + 1 40 × 20 = 1，解得 x＝60． 经 检验，x＝60是原方程的解，且符合题意． 答：乙工程队单独完成这项工程需要 60天． (2)设两队一起完成这项工程需要 y 天， 根据题意，得 140 + 1 60 � = 1， 解得 y＝24． 答：两队一起完成这 项工程需要 24天． 8.列方程解应用题甲、乙两个施工队共同完成某区域绿化改造工程，乙队先单独做 3 天后，再由两队合作 7 天 完成全部工程.已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的 2 倍，求甲、乙两个 施工队单独完成此项工程各需多少天? 【答案】解：设甲队单独完成此项工程需�天，则乙队单独完成此项工程需要 2�天． 依题意得 3 2� + 7( 1 � + 1 2� ) = 1． 解方程得� = 12． 经检验，� = 12 是原方程的解，且符合实际意义．∴ 2� = 24． 答：甲队单独完成此项工程需 12 天，乙队单独完成此项工程需 24 天． 9.某市为创建全国文明城市，开展“美化绿化城市”活动，计划经过若干年使城区绿化总面积新增 360 万平方 米．自 2018 年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的 1.5 倍，这样可提前 4 年完成任务． (1)实际每年绿化面积为多少万平方米？ (2)为加大创建力度，市政府决定从 2021 年起加快绿化速度，要求不超过 3 年完成，那么实际平均每年绿化面 积至少还要增加多少万平方米？ 【答案】解：(1)设原计划每年绿化面积为�万平方米，则实际每年绿化面积为 1.5�万平方米， 根据题意得： 360  � − 3601.5� = 4， 解得：� = 30， 经检验，� = 30 是原分式方程的解， ∴ 1.5� = 45． 答：实际每年绿化面积 45 万平方米． (2)设平均每年绿化面积增加�万平方米， 根据题意得：45 × 3 + 3(45 + �) ≥ 360， 解得：� ≥ 30． 答：平均每年绿化面积至少增加 30 万平方米． 10.随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项重要工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机， 每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的 20 倍，经过测试，由 5台机器分拣 6000 件快 件的时间，比 20 个人工分拣同样数量的快件节省 4 小时． (1)求人工每人每小时分拣多少件； (2)若该快递公司每天需要分拣 10 万件快件，机器每天工作时间为 16 小时，则至少需要安排多少台这样的分 拣机？ 【答案】(1)解：设人工每人每小时分拣 x 件，则每台机器每小时分拣 20x 件， 根据题意，得 6000 20� − 6000 5×20� = 4 ， 解得 x＝60， 经检验：当 x＝60时，符合题意． 故人工每人每小时分拣 60件． (2)解：设需要安排 y 台分拣机，则 16×20×60y≥100000， 即 19200y≥100000， 解得 � ≥ 12524 ． 因为 y 为正整数， 所以 y 的最小值为 6． 故至少需要安排 6台这样的分拣机． 11.京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得 知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的 2 3；若由甲队先做 10 天，剩下的工程 再由甲、乙两队合作 30 天完成． (1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为 8.4 万元，乙队每天的施工费用为 5.6 万元．工程预算的施工费用为 500 万元．为 缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判 断并说明理由． 【答案】解：(1)设乙队单独完成这项工程需要�天，则甲队单独完成这项工程需要23 x 天． 根据题意，得 10 2 3� + 30( 12 3� + 1� ) = 1． 解得� = 90． 经检验，� = 90 是原方程的根，且符合题意． ∴ 23 � = 2 3 × 90 = 60． 答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需 60 天和 90 天． (2)设甲、乙两队合作完成这项工程需要�天， 则有�( 160 + 1 90 ) = 1． 解得 y = 36． 需要施工费用：36 × (8.4 + 5.6) = 504(万元)． ∵ 504 > 500． 504 − 500 = 4(万元) 答：工程预算的施工费用不够用，需追加预算 4 万元． 12.武汉市某区的天然气管道升级工程，若由乙工程队单独完成所需天数是由甲工程队单独完成所需天数的两 倍；若甲工程队单独做 5 天后，再由乙工程队单独做 15 天，恰好完成该工程的一半，共需施工费 28 万元，甲 工程队每天的施工费用比乙工程队每天的施工费用多 0.8 万元， (1)单独完成此项工程，甲、乙两工程队各需多少天？ (2)甲、乙两工程队每天的施工费各为多少万元？ (3)甲、乙两工程队合做，若要完成全部工程的施工费不超过 52 万元，且乙工程队的施工天数大于 6 天，直接 写出甲工程队施工天数. (天数为整数) 【答案】解：(1)设单独完成此项工程，甲需工�天，则乙需 2�天， 由题意得： 5 � + 15 2� = 1 2，. 解得� = 25， 检验：当� = 25 时，2� ≠ 0，原分式方程的解为� = 25，2� = 50 故甲需 25 天，乙需 50 天； (2)设乙每天的施工费用为�万元，则甲每天的施工费用为(� + 0.8)万元， 由题意得：5(� + 0.8) + 15� = 28， 解得� = 1.2， � + 0.8 = 2， 故甲每天的施工费用为 2 万元，乙每天的施工费用为 1.2 万元； (3)设甲工程队施工天数为�天，则甲工程队完成了此工程的 �25，乙工程队完成了此工程的(1 − � 25 )， ∴乙工程队所用时间为(1 − �25 ) ÷ 1 50 = (50 − 2�)天， ∴ 2� + 1.2(50 − 2�) ≤ 52 50 − 2� > 6 ， 解得：20 ≤ � < 22， ∴甲工程队施工天数为 20 天或 21 天． 13.某小微企业为加快产业转型升级步伐，引进一批�，�两种型号的机器．已知一台�型机器比一台�型机器每 小时多加工 2 个零件，且一台�型机器加工 80 个零件与一台�型机器加工 60 个零件所用时间相等． (1)每台�，�两种型号的机器每小时分别加工多少个零件？ (2)如果该企业计划安排�，�两种型号的机器共 10 台一起加工一批该零件，为了如期完成任务，要求两种机器 每小时加工的零件不少于 72 个，同时为了保障机器的正常运转，两种机器每小时加工的零件不能超过 76 个， 那么�，�两种型号的机器可以各安排多少台？ 【答案】(1)设每台 B 型机器每小时加工 x 个零件，则每台 A 型机器每小时加工（x＋2）个零件．由题意得 80�+2 = 60 �， 解得 x＝6，经检验，x＝6是原分式方程的解，且符合题意，x＋2＝8．答：每台 A 型机器每小时加工 8个零 件，每台 B 型机器每小时加工 6个零件． (2)设 A 型机器安排 m 台，则 B 型机器安排（10－m）台．由题意得 8� + 6 10 − � ≥ 72,8� + 6 10 − � ≤ 76,解得 6≤m≤8．∵m 为正整数，∴m 的值为 6或 7或 8．答：共有三种安排方案，方案一：A 型机器安排 6台，B 型机器安排 4台； 方案二：A 型机器安排 7台，B 型机器安排 3台；方案三：A 型机器安排 8台，B 型机器安排 2台． 14.正在修建中的高速公路要招标，现有甲、乙两个工程队，若甲、乙两队合作，24 天可以完成；需费用 120 万元；若甲单独做 20 天后，剩下的工程由乙做，还需 40 天才能完成，这样需费用 110 万元。问： (1)甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ (2)甲、乙两队单独完成此项工程，各需费用多少万元？ 【答案】解：(1)设甲队独做需�天，乙队独做需�天． 建立方程组 1 � + 1 � = 1 24 20 � + 40 � = 1 ， 解得� = 30(天)，� = 120(天) 经检验� = 30，� = 120 是原方程组的解． 答：甲队独做需 30 天，乙队独做需 120 天． (2)设甲队独做需�万元，乙队独做需�万元， 建立方程组 24( �30 + � 120 ) = 120 20� 30 + 40� 120 = 110 ， 解得� = 135，� = 60 答：甲队独做需 135 万元，乙队独做需 60 万元． 二、行程问题 1.甲、乙两台机器运输某种货物，已知乙比甲每小时多运 60 ��，甲运输 500 ��所用的时间与乙运输 800 �� 所用的时间相等，求甲、乙两台机器每小时分别运输多少千克货物．设甲每小时运输���货物，则可列方程 为 ( ) A. 500� = 800 �+60 B. 500 � = 800 �−60 C. 500 �+60 = 800 � D. 500 �−60 = 800 � 【答案】A 【解析】解：设甲每小时搬运� ��货物，则乙每小时搬运(� + 60)��货物， 由题意得： 500 � = 800 �+60． 故选：�． 2.为了缅怀革命先烈，传承红色精神，青海省某学校八年级师生在清明节期间前往距离学校 15 ��的烈士陵园 扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了 30 ���后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速 度是骑车师生速度的 2 倍，设骑车师生的速度为���/ℎ.根据题意，下列方程正确的是 ( ) A. 15� + 1 2 = 15 2� B. 15 � = 15 2� + 1 2 C. 15 � + 30 = 15 2� D. 15 � = 15 2� + 30 【答案】B 【解析】解：∵骑车师生的速度为� ��/ℎ，汽车的速度是骑车师生速度的 2 倍， ∴汽车的速度是 2� ��/ℎ， 又∵ 30��� = 12 ℎ， ∴ 15� = 15 2� + 1 2． 故选：�． 3.八年级学生去距学校 10 ��的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了 20 ���后，其余学生乘汽车出 发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的 2 倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为 ���/ℎ，则可列方程为( ) A. 102� − 10 � = 20 B. 10 � − 10 2� = 20 C. 10 � − 10 2� = 1 3 D. 10 2�− 10 � = 1 3 【答案】C 【解答】 解：设骑车学生的速度为���/ℎ，则乘车学生的速度为 2���/ℎ， 依题意，得： 10 � − 10 2� = 1 3． 4.成都博物馆是成都市规模最大的综合型博物馆，已有五十余年的历史.为了丰富学生社会实践活动经历，某 学校组织学生去距学校 10��的成都博物馆参观学习，一部分学生骑自行车先走，过了 20���后，其余学生乘 汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是学生骑车速度的 4 倍，设学生骑车的速度为� ��/ℎ，下列方 程正确的是( ) A. 10� − 10 4� = 20 B. 10 4�− 10 � = 20 C. 10 � − 10 4� = 1 3 D. 10 4�− 10 � = 1 3 【答案】C 【解析】解：∵骑车学生的速度为� ��/ℎ，且汽车的速度是骑车学生速度的 4 倍， ∴汽车的速度为 4� ��/ℎ． 依题意得： 10 � − 10 4� = 20 60， 即： 10 � − 10 4� = 1 3． 故选：�． 5.一艘轮船顺水航行 40��所用的时间与逆水航行 30��所用的时间相同，若水流速度为 3��/ℎ，求轮船在静 水中的速度．设轮船在静水中的速度为���/ℎ，根据题意列方程得( ) A. 40�−3 = 30 �+3 B. 40 �+3 = 30 �−3 C. �+3 40 = �−3 30 D. �−3 40 = �+3 30 【答案】B 【解析】解：设轮船在静水中的速度为���/ℎ， 由题意得， 40 �+3 = 30 �−3． 故选：�． 6.一辆汽车开往距离出发地 180 千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来 速度的 1.5 倍匀速行驶，并比原计划提前 40 分钟到达目的地.设前一小时的速度为�千米/小时.则下列方程正确 的是( ) A. 180� − 40 = 180−� 1.5� B. 180 � − 40 = 1 + 180−� 1.5� C. 1801.5�− 40 60 = 1 + 180−1.5� � D. 180 � − 40 60 = 1 + 180−� 1.5� 【答案】D 【解析】解：设前一个小时的速度为�千米/小时． 依题意得：1 + 180−�1.5� + 40 60 = 180 � ， 即 180 � − 40 60 = 1 + 180−� 1.5� ． 故选：�． 7.《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到 900 里远的城市， 所需时间比规定时间多 1 天;若改为快马派送，则所需时间比规定时间少 3 天，已知快马的速度是慢马的 2 倍， 求规定时间，设规定时间为�天，则可列出正确的方程为( ) A. 900�+3 = 2 × 900 �−1 B. 900 �−3 = 2 × 900 �+1 C. 900�−1 = 2 × 900 �+3 D. 900 �+1 = 2 × 900 �−3 【答案】B 【解析】解：∵规定时间为�天， ∴慢马送到所需时间为(� + 1)天，快马送到所需时间为(� − 3)天， 又∵快马的速度是慢马的 2 倍，两地间的路程为 900 里， ∴ 900�−3 = 2 × 900 �+1． 8.2023 年 5 月 12 日是我国第 15 个全国防灾减灾日，我校组织八年级部分同学进行了两次地震应急演练，在 优化撤离方案后，第二次平均每秒撤离的人数比第一次的多 15，结果 2000 名同学全部撤离的时间比第一次节 省了 240 秒，若设第一次平均每秒撤离�人，则�满足的方程为( ) A. 2000� = 2000 �+15 + 240 B. 2000 � = 2000 �+15 − 240 C. 2000� = 2000 �−15 + 240 D. 2000 � + 240 = 2000 �−15 【答案】A 【解析】解：由题意得： 2000 � = 2000 �+15 + 240， 故选：�． 9.�，�两地相距 60 千米，一艘轮船从�地顺流航行至�地所用时间比从�地逆流航行至�地所用时间少 45 分钟， 已知船在静水中航行的速度为 20 千米/时．若设水流速度为�千米/时(� < 20)，则可列方程为 ( ) A. 6020−�− 60 20+� = 3 4 B. 60 20+�− 60 20−� = 3 4 C. 6020+�− 60 20−� = 45 D. 60 20−�− 60 20+� = 45 【答案】A 10.甲、乙两个火车站相距 720 ��，火车提速后，行驶速度是原来速度的 1.2 倍，从甲站到乙站的时间缩短 1.2 ℎ， 则火车原来的速度为________． 【答案】100 ��/ℎ 【解答】 解：设列车提速前的速度为� ��/ℎ， 根据题意得： 720 � − 720 1.2� = 1.2 方程两边同乘 1.2�，得：864 − 720 = 1.44�． 解得：� = 100． 检验：� = 100 时， 1.2� ≠ 0，� = 100 是原方程的解． 11.2021 年是中国共产党建党 100 周年，为深入了解党的光荣历史，东营市某中学团委组织全校共青团员到广 饶刘集红色旅游区开展红色研学之旅，旅游区距学校 120��部分学生乘慢车先行，出发 20���后，另一部分 学生乘快车前往，结果他们同时到达旅游区．已知快车的平均速度是慢车平均速度的 1.2 倍，求慢车的平均速 度． 【答案】解：设慢车的平均速度为� ��/ℎ，则快车的平均速度为 1.2� ��/ℎ， 根据题意得 20��� = 13 ℎ． 故列方程为： 120 � − 120 1.2� = 1 3． 解得：� = 60． 经检验，� = 60 是原方程的根． 答：慢车的平均速度是 60��/ℎ． 12.列方程解应用题： 初二(1)班组织同学乘大巴车前往爱国教育基地开展活动，基地离学校有 60 公里，队伍 12：00 从学校出发， 张老师因有事情，12：15 从学校自驾小车以大巴 1.5 倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前 15 分钟到达基地，问： (1)大巴与小车的平均速度各是多少？ (2)张老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？ 【答案】解：(1)设大巴的平均速度是�公里/小时，则小车的平均速度是 1.5�公里/小时， 根据题意得： 60 � = 60 1.5� + 1 4 + 1 4， 解得：� = 40， 经检验：� = 40 是原方程的解， 1.5� = 1.5 × 40 = 60． 答：大巴的平均速度是 40 公里/小时，小车的平均速度是 60 公里/小时； (2)设张老师追上大巴的地点到基地的路程有�公里，根据题意得： 1 4 + 60−� 60 = 60−� 40 ， 解得：� = 30， 答：张老师追上大巴的地点到基地的路程有 30 公里． 13.防汛期间，县指挥部组织人力到 30��远的堤上抢修堤坝，2 人骑摩托车先走，15���后，大部队乘汽车装 载着所需材料出发，结果他们同时到达，已知汽车速度是摩托车速度的 1.5 倍，求这两种车的速度． 【答案】解：设摩托车的速度为�千米/时，则汽车速度是 1.5 千米/时，根据题意可得： 30 � = 30 1.5� + 1 4， 解得：� = 40， 经检验得：� = 40 是原方程的根， 则 1.5� = 60， 答：摩托车的速度为 40 千米/时，汽车速度是 60 千米/时． 14.(1)某公司到北京参加会议，给员工购买重庆到北京的高铁票.该公司计划花费 43600 元一次性购买一等座票， 二等座票共 50 张.已知一等座票的价格为 950 元/张，二等座票的价格为 820 元/张，求该公司原计划购买两种 高铁票各多少张？ (2)已知重庆到北京的高铁全长 2200 公里，高铁提速后重庆到北京的时间比高铁提速前缩短 3 小时 40 分钟， 该高铁提速后的速度比提速前的速度提升了 50%，求提速后该高铁从重庆到北京的速度是多少公里/小时？(高 铁在站点停留时间忽略不计) 【答案】解：(1)设该公司原计划购买�张一等座票，�张二等座票， 根据题意得： � + � = 50 950� + 820� = 43600， 解得： � = 20 � = 30． 答：该公司原计划购买 20 张一等座票，30 张二等座票； (2)3 小时 40 分钟= 113小时． 设提速前该高铁从重庆到北京的速度是�公里/小时，则提速后该高铁从重庆到北京的速度是(1 + 50%)�公里/ 小时， 根据题意得： 2200 � − 2200 (1+50%)� = 11 3， 解得：� = 200， 经检验，� = 200 是所列方程的解，且符合题意， ∴ (1 + 50%)� = (1 + 50%) × 200 = 300． 答：提速后该高铁从重庆到北京的速度是 300 公里/小时． 15.小刚家到学校的距离是 1800 米．某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有 20 分钟， 于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校．已知小刚骑自行车所用时间比跑步所用 时间少 4.5 分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的 1.6 倍． (1)求小刚跑步的平均速度． (2)如果小刚在家取作业本和取自行车共用了 3 分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明理由． 【答案】(1)解：小刚跑步的平均速度为 150米/分． (2)他不能在上课前赶回学校．理由如下：由（1）得，小刚跑步的平均速度为 150米/分，则小刚跑步所用时间 为 1800÷150＝12（分），骑自行车所用时间为 12-4.5＝7.5（分）．∵在家取作业本和取自行车共用了 3分钟， ∴小刚从开始跑步回家到赶回学校需要 12+7.5+3＝22.5（分）．∵22.5＞20，∴小刚不能在上课前赶回学校． 三、销售问题 1.为了丰富学生的校园生活，学校购进一批篮球和排球，其中篮球的单价比排球的单价多 20 元．李老师购买 篮球花费 900 元，购买排球花费 400 元，结果购得篮球的数量是排球数量的 1.5 倍．设购买�个排球，则下列 选项中所列方程正确的是( )． A. 900� = 400 1.5� + 20 B. 400 � = 900 1.5� + 20 C. 900 1.5� = 400 � + 20 D. 400 1.5� = 900 � + 20 【答案】C 【解答】 解：设购买的足球数量是�个，则购买篮球数量是 1.5�个， 根据题意，得 900 1.5� = 400 � + 20． 故选：�． 2.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足， 无钱准与一株椽.”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为 6210 文，如果每株椽的运费是 3文，那么 少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问 6210 文能买多少株椽？若设 6210 文能买�株椽， 根据题意可列方程( ) A. 6210�−1 = 3 B. 6210 � = 3(� − 1) C. 3� − 1 = 6210� D. 6210 �−1 = 3(� − 1) 【答案】B 【解析】解：根据题意，得 6210 � = 3(� − 1)， 故选：�． 3.《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十 六文.只云绫、罗各一尺共直钱一百二十文.问绫、罗尺价各几何?”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共 3 丈(一丈= 10 尺)，已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入八百九十六文;绫布和罗布各出售一尺共收入一百二 十文.问两种布每尺各多少钱?若设绫布有�尺，根据题意可列方程为( ) A. 89630−�− 120 = 896 � B. 120 − 896 � = 896 30−� C. 120 + 896� = 896 30+� D. 896 � = 896 30−� + 120 【答案】B 【解答】 解：若设绫布有�尺， 根据题意得， 896 � + 896 30−� = 120，即 120 − 896 � = 896 30−�． 故选 B． 4.某物美超市同时卖出了两个进价不同的冰墩墩�和�，售价均为 90 元，按成本计算，超市人员发现冰墩墩� 盈利了 50%，而冰墩墩�却亏损了 40%，则这次超市是 ( ) A. 不赚不赔 B. 赚了 C. 赔了 D. 无法判断 【答案】C 【解析】解：设冰墩墩�的成本为�元， 依题意得： 90−� � × 100% = 50%， 解得：� = 60， 经检验：� = 60 是原方程的根，且符合题意． 设冰墩墩�的成本为�元， 依题意得： 90−� � × 100% =− 40%， 解得：� = 150， 经检验：� = 150 是原方程的解，且符合题意． 90 − 60 + (90 − 150) =− 30(元)， 故这次超市赔了． 故选 C． 5.铭润超市用 5000 元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨 11000 元资金购进该 品种苹果，但这次的进货价比试销时每千克多了 0.5 元，购进苹果数量是试销时的 2 倍． (1)试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元? (2)如果超市将该品种苹果按每千克 7 元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的 400 千克按定价的七折(七 折即定价的 70%)售完，那么超市在销售购进的所有苹果中共盈利多少元? 【答案】解：(1)设试销时这种苹果的进货价是每千克�元． 依题意，得： 11000 �+0.5 = 5000 � × 2 解之得：� = 5 经检验：� = 5 是原方程的解． 所以� = 5． 答：试销时该品种苹果的进货价是每千克 5 元． (2)试销时进苹果的数量为：50005 = 1000(千克)． 第二次进苹果的数量为：2 × 1000 = 2000(千克)． 盈利为：(1000 + 2000 − 400) × 7 + 400 × 7 × 70% − 5000 − 11000 = 4160(元)． 答：试销时苹果的进货价是每千克 5 元，商场在两次苹果销售中共盈利 4160 元． 6.某商场新进一种商品，第一个月将此商品的进价提高 20%作为销售价，共获利 600 元．第二个月商场搞促销 活动，将商品的进价提高 15%作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加了 40 件，并且商场第二个月比 第一个月多获利 150 元．问此商品的进价是多少元？ 【答案】解：设此商品的进价是�元， 根据题意，得 60020%� = 600+150 15%� − 40，解得� = 50. 经检验，� = 50 是原 方程的解，且符合题意． 答：此商品的进价是 50 元． 7.在“母亲节”前夕，某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，销售过程中发现康乃馨比玫瑰销量大，店主决定将 玫瑰每枝降价 1 元促销，降价后 30 元可购买玫瑰的数量是原来可购买玫瑰数量的 1.5 倍． (1)求降价后每枝玫瑰的售价是多少元？ (2)根据销售情况，店主用不多于 900 元的资金再次购进两种鲜花共 500 枝，康乃馨进价为 2 元/枝，玫瑰进价 为 1.5 元/枝，问至少购进玫瑰多少枝？ 【答案】解：(1)设降价后每枝玫瑰的售价是�元，依题意有 30 � = 30 �+1 × 1.5， 解得：� = 2． 经检验，� = 2 是原方程的解． 答：降价后每枝玫瑰的售价是 2 元． (2)设购进玫瑰�枝，依题意有 2(500 − �) + 1.5� ≤ 900， 解得：� ≥ 200． 答：至少购进玫瑰 200 枝． 8.为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共 30 条生产线的设备进行更新换代． (1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策.根据相关政策，更新 1 条甲类生产线的设 备可获得 3 万元的补贴，更新 1 条乙类生产线的设备可获得 2 万元的补贴.这样更新完这 30 条生产线的设备， 该企业可获得 70 万元的补贴.该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ (2)经测算，购买更新 1 条甲类生产线的设备比购买更新 1 条乙类生产线的设备需多投入 5 万元，用 200 万元 购买更新甲类生产线的设备数量和用 180 万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得 70 万 元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？ 【答案】解：(1)设该企业有�条甲类生产线，�条乙类生产线， 根据题意得； � + � = 30 3� + 2� = 70， 解得： � = 10 � = 20． 答：该企业有 10 条甲类生产线，20 条乙类生产线； (2)设购买更新 1 条乙类生产线的设备需投入�万元，则购买更新 1 条甲类生产线的设备需投入(� + 5)万元， 根据题意得： 200 �+5 = 180 � ， 解得：� = 45， 经检验，� = 45 是所列方程的解，且符合题意， ∴ 10(� + 5) + 20�− 70 = 10 × (45 + 5) + 20 × 45 − 70 = 1330． 答：还需投入 1330 万元资金更新生产线的设备． 9.今年杭州亚运会期间，某商店用 3000 元购进一批亚运会吉祥物，很快售完，第二次购进时，每个吉祥物的 进价提高了 20%，同样用 3000 元购进的数量比第一次少了 10 个． (1)求第一次购进的每个吉祥物的进价为多少元？ (2)若两次购进的吉祥物售价均为 96 元，且全部售出，则该商店两次购进吉祥物的总利润为多少元？ 【答案】解：(1)设第一次每个的进价为�元，则第二次进价为(1 + 20%) �， 根据题意得： 3000 � − 3000 (1+20%)� = 10， 解得：� = 50， 经检验：� = 50 是方程的解，且符合题意， 答：第一次购进的每个吉祥物的进价为 50 元； (2)96 × ( 300050 + 3000 50×1.2 ) − 3000 × 2 = 4560(元)， 答：该商店两次购进吉祥物的总利润为 4560 元． 10.某手机专卖店的一张进货单上有如下信息：�款手机进货单价比�款手机多 800 元，花 38400 元购进�款手 机的数量与花 28800 元购进�款手机的数量相同． (1)求�，�两款手机的进货单价分别是多少元？ (2)某周末两天销售单上的数据，如表所示： 日期 �款手机(部) �款手机(部) 销售总额(元) 星期六 5 8 40100 星期日 6 7 41100 求�，�两款手机的销售单价分别是多少元？ (3)根据(1)(2)所给的信息，手机专卖店要花费 28000 元购进�，�两款手机若干部，问有哪几种进货方案？根据 计算说明哪种进货方案获得的总利润最高． 【答案】解：(1)设�款手机的进货单价是�元，则�款手机的进货单价是(� + 800)元， 根据题意得： 38400 �+800 = 28800 � ， 解得：� = 2400， 经检验，� = 2400 是原方程的解， 则� + 800 = 2400 + 800 = 3200， 答：�款手机的进货单价是 3200 元，�款手机的进货单价是 2400 元； (2)设�款手机的销售单价是�元，�款手机的销售单价是�元， 根据题意得： 5� + 8� = 40100 6� + 7� = 41100， 解得： � = 3700 � = 2700， 答：�款手机的销售单价是 3700 元，�款手机的销售单价是 2700 元； (3)设购买�款手机�部，�款手机�部， 根据题意，得 3200� + 2400� = 28000， 化简得，4� + 3� = 35， ∵ �、�都是正整数， ∴ � = 2� = 9 或 � = 5 � = 5 或 � = 8 � = 1 ， 即有三种进货方案： 方案一：购买�款手机 2 部，�款款手机 9 部，利润是：(3700 − 3200) × 2 + (2700 − 2400) × 9 = 3700(元)； 方案二：购买�款手机 5 部，�款款手机 5 部，利润是：(3700 − 3200) × 5 + (2700 − 2400) × 5 = 4000(元)； 方案三：购买�款手机 8 部，�款款手机 1 部，利润是：(3700 − 3200) × 8 + (2700 − 2400) × 1 = 4300(元)； ∵ 3700 < 4000 < 4300， ∴选择方案三获得的总利润最高． 11.第一届全国学生(青年)运动会于 2023 年 11 月 5 日在广西南宁开幕，吉祥物“壮壮”和“美美”毛绒玩具套 餐在市场出现热销.某商家第一次用 33000 元去购买吉祥物“壮壮”和“美美”毛绒玩具套餐，由于深受顾客 喜爱，很快售完，第二次又以 40000 元购进同款的吉祥物毛绒玩具套餐，第一次购进每套吉祥物的进价是第二 次的 1.1 倍，且第二次比第一次多购进 100 套． (1)求第一次购进一套吉祥物“壮壮”和“美美”毛绒玩具的价格． (2)商家以每套 140 元的价格销售该款毛绒玩具，当第二次销售出45时，为快速销 售决定降价促销，若要使第二次的销售利润不低于 13200 元，剩余的吉祥物毛绒 玩具每套售价至少要多少元？ 【答案】解：(1)设第一批吉祥物“壮壮”和“美美”毛绒玩具进价是�元，则第二批吉祥物“壮壮”和“美美” 毛绒玩具进价是 1.1�元，由题意，得 40000 � − 33000 1.1� = 100， 解得，� = 100， 经检验� = 100 是分式方程的解， 所以，1.1� = 1.1 × 100 = 110(元) 答：第一批吉祥物“壮壮”和“美美”毛绒玩具每套的进价是 110 元； (2)设剩余的吉祥物“壮壮”和“美美”毛绒玩具每套售价�元． 由(Ⅰ)知，第二批购进40000100 = 400(套)， 由题意，得 140 × 400 × 45 + � × 400 × (1 − 4 5 ) − 40000 ≥ 13200， 解得，� ≥ 105， 答：剩余的吉祥物“壮壮”和“美美”毛绒玩具每套售价至少要 105 元． 12.春节吃汤圆和水饺是中华民族的传统习俗.某超市为了促进实体经济发展在春节前搞促销活动，在首次促销 中水饺的销售额是 10000 元，汤圆的销售额是 4000 元，售出的水饺的数量比汤圆的数量多 500 袋，售出的水 饺的单价是汤圆单价的 1.25 倍． (1)求水饺、汤圆的单价分别是多少元? (2)由于临近年关，超市再次加大让利幅度，相比第一次促销，该超市将水饺单价降低了15，汤圆的单价减少了 2元，两款产品销售火爆，第二次销售水饺的数量比第一次多了�%，汤圆的数量在第一次的基础上增加了 �50， 若第二次销售总金额还比第一次少了 200 元，求�的值． 【答案】解：(1)设汤圆的单价为�元，则水饺的单价为 1.25�元， 由题意得： 10000 1.25� − 4000 � = 500， 解得：� = 8， 经检验，� = 8 是原方程的解，且符合题意， 则 1.25� = 1.25 × 8 = 10， 答：水饺的单价为 10 元，汤圆的单价为 8 元； (2)第一次水饺数量为1000010 = 1000(袋)，第一次汤圆数量为 4000 8 = 500(袋)， 第二次销售水饺单价为：10 × (1 − 15 ) = 8(元)，汤圆的单价为：8 − 2 = 6(元)， 由题意得：8 × (1000 + �% × 1000) + 6 × (500 + 500 × �50 ) = 10000 + 4000 − 200， 解得：� = 20， 答：�的值为 20． 13.学校计划选购甲、乙两种图书作为“首届科技节”的奖品，已知甲种图书的单价比乙种图书单价多 10 元. 用 600 元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少 10 本． (1)甲、乙两种图书每本分别为多少元？ (2)若学校计划购买这两种图书共 40 本，且投入的经费不超过 1050 元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种 图书的数量，则共有几种购买方案？ (3)每名获奖学生发给甲、乙两种图书各一本，由于全校学生踊跃参加“校园读书节”这样学校还需要再拿出 900 元，购买甲、乙两种图书，直接写出此次“首届科技节”获奖学生人数． 【答案】解：(1)设乙种图书每本为�元，则甲种图书每本为(� + 10)元， 由题意得： 600 � − 600 �+10 = 10， 解得：� = 20， 经检验，� = 20 是此方程的解，且符合题意， ∴ � + 10 = 30(元)， 答：甲种图书每本为 30 元，乙种图书每本为 20 元； (2)设购买甲种图书�本，则购买乙种图书(40 − �)本， 由题意得： 30� + 20(40 − �) ≤ 1050 � ≥ 40 − � ， 解得：20 ≤ � ≤ 25， ∵ �为整数， ∴ � = 20，21，22，23，24，25， ∴共有 6 种购买方案； (3)设此次“首届科技节”获奖学生人数为�人， 由题意得：(30 + 20)� = 600 + 900， 解得：� = 30， 答：此次“首届科技节”获奖学生人数为 30 人． 14.某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降.今年三月份的电脑售价比去年同期每 台降价 1000 元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为 10 万元，今年销售额只有 8 万元． (1)今年三月份甲种电脑每台售价多少元? (2)为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为 3500 元，乙种电脑每台进价 为 3000 元，公司预计用不多于 5 万元且不少于 4.8 万元的资金购进这两种电脑共 15 台，有几种进货方案? 【答案】解：(1)设今年三月份甲种电脑每台售价为�元， 100000 1000+� = 80000 � � = 4000 检验：� = 4000 时，是原分式方程的解且符合题意， 故今年三月份甲种电脑每台售价为 4000 元． (2)设购进甲�台，购进乙为(15 − �)台， 3500� + 3000(15 − �) ≤ 50000 3500� + 3000(15 − �) ≥ 48000 6 ≤ � ≤ 10． 方案： 甲 6 台，乙 9 台． 甲 7 台，乙 8 台． 甲 8 台，乙 7 台． 甲 9 台，乙 6 台． 甲 10 台，乙 5 台． 故 5 种方案． 15.某商场开业期间，男装部预测一种应季衬衫能畅销市场，就用 13200 元购进了一批这种衬衫，面市后果然 供不应求．商场又用 28800 元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的 2 倍，但单价贵了 10 元． (1)该商场购进的第一批衬衫是多少件？ (2)若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下 50 件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于 25%(不考虑其他因素)，那么每件衬衫的标价至少是多少元？ 【答案】(1)解：设该商场购进的第一批衬衫是 x 件，则第二批衬衫是 2x 件． 由题意，得 28800 2� − 13200 � = 10， 解得 x=120， 经检验，x=120是原方程的根，且符合题意． 答：该商场购进的第一批衬衫是 120件． (2)设每件衬衫的标价是 a 元． 由（1）得第一批衬衫的进价为 13200÷120=110（元/件）， 第二批衬衫的进价为 120元/件． 由题意，得 120×（a－110）+（240－50）×（a－120）+50×（0.8a－120）≥25%×（13200+28800）． 解得 a≥150， 即每件衬衫的标价至少是 150元． 答：每件衬衫的标价至少是 150元． 16.五一假期将至，某商店看准商机用 2000 元和 2400 元分别购进�，�两种水果.已知�种水果每箱的进价比� 种水果每箱的进价少 20 元，且购进�种水果的箱数是�种水果箱数的54． (1)求�，�两种水果每箱的进价分别为多少元； (2)商店开始出售这些水果，已知�种水果的售价为 60 元/箱，出售完 40 箱后，对剩下部分打�折进行销售；� 种水果每箱售价比进价多(2� + 6)元，两种水果均全部售出.若要使销售这批水果的总利润率不低于 40%，求� 的最小值． 【答案】解：(1)设�种水果每箱的进价是�元，则�种水果每箱的进价是(� + 20)元， 根据题意得： 2000 � = 2400 �+20 × 5 4， 解得：� = 40， 经检验，� = 40 是所列方程的解，且符合题意， ∴ � + 20 = 40 + 20 = 60(元)． 答：�种水果每箱的进价是 40 元，�种水果每箱的进价是 60 元； (2)根据题意得：(60 − 40) × 40 + (60 × �10 − 40) × ( 2000 40 − 40) + (2� + 6) × 2400 60 ≥ (2000 + 2400) × 40%， 解得：� ≥ 8， ∴ �的最小值为 8． 答：�的最小值为 8． 17.某中学在开学前去商场购进�，�两款书包奖励班级表现优秀的学生，购买�款书包共花费 6000 元，购买� 款书包共花费 3200 元，且购买�款书包数量是购买�款书包数量的 3 倍，已知购买一个�款书包比购买一个� 款书包多花 30 元． (1)求购买一个�款书包、一个�款书包各需多少元； (2)为了调动学生的积极性，学校在开学后再次购进了�，�两款书包，每款书包不少于 14 个，总花费恰好为 2268 元，且在购买时商场对两款书包的销售单价进行了调整，�款书包销售单价比第一次购买时提高了 8％，�款书 包按第一次购买时销售单价的九折出售．求此次�款书包有几种购买方案； (3)在(2)的条件下，商场这次销售两款书包，单价调整后利润比调整前减少 72 元，直接写出两款书包的购买方 案． 【答案】(1)解：设购买一个 A 款书包需要 x 元，则购买一个 B 款书包需要（x＋30）元，依题意，得 6000 � = 3 × 3200 �+30．解得 x＝50． 经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意．∴x＋30＝50＋30＝80． 答：购买一个 A 款书包需要 50元，购买一个 B 款书包需要 80元． (2)设购买 m 个 B 款书包，则购买2268−80×0.9�50× 1+8% = 42 − 4 3� 个 A 款书包，依题意，得 � ≥ 14, 42 − 43� ≥ 14. 解得 14≤m≤21．又∵ 42 − 43� 为整数，∴ m 为 3的倍数， ∴m 可以取 15，18，21，∴此次 A 款书包有 3种购买方案． (3)依题意，得 80 × 1− 0.9 �− 50 × 8% 42 − 43� = 72．解得 m＝18． ∴42 − 43� = 42 − 4 3 × 18 = 18． 答：购买 18个 A 款书包，18个 B 款书包． 分式方程的应用分类专项训练 一、工程问题 1.在创建文明城市的进程中，我市为美化城市环境，计划种植树木万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前天完成任务，设原计划每天种植万棵，可列方程是(    ) A. B. C. D. 2.某公司承担了制作个道路交通指引标志的任务，原计划天完成，实际平均每天多制作了个，因此提前天完成任务．根据题意，下列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 3.某施工队挖一条的渠道，开工后，每天比原计划多挖，结果提前天完成任务．若设原计划每天挖，则所列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 4.某单位盖一座楼房，如果由建筑一队施工，那么天可盖成；如果由建筑一队、二队同时施工，那么天能完成工程总量的现若由二队单独施工，则需要天完成，根据题意列的方程是  (    ) A. B. C. D. 5.为了改善生态环境，某社区计划在荒坡上种植棵树，由于学生志愿者的加入，每日比原计划多种棵，结果提前天完成任务．设原计划每天种树棵，根据题意可列方程为(    ) A. B. C. D. 6.市政府为残疾人办实事，在某一道路改造工程中，为盲人修建一条长米的盲道，根据规划设计和要求，该市工程队在实际施工时增加了施工人员，每天修建的盲道比原计划增加了，结果提前天完成工程．问实际每天修建盲道多少米？ 7.某乡镇决定对一段公路进行改造．已知这项工程由甲工程队单独做需要天完成；如果由乙工程队先单独做天，那么剩下的工程还需要两队一起做天才能完成． 求乙工程队单独完成这项工程所需的天数； 求两队一起完成这项工程所需的天数． 8.列方程解应用题甲、乙两个施工队共同完成某区域绿化改造工程，乙队先单独做天后，再由两队合作天完成全部工程已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的倍，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天 9.某市为创建全国文明城市，开展“美化绿化城市”活动，计划经过若干年使城区绿化总面积新增万平方米．自年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的倍，这样可提前年完成任务． 实际每年绿化面积为多少万平方米？ 为加大创建力度，市政府决定从年起加快绿化速度，要求不超过年完成，那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？ 10.随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项重要工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的倍，经过测试，由台机器分拣件快件的时间，比个人工分拣同样数量的快件节省小时． 求人工每人每小时分拣多少件； 若该快递公司每天需要分拣万件快件，机器每天工作时间为小时，则至少需要安排多少台这样的分拣机？ 11.京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做天，剩下的工程再由甲、乙两队合作天完成． 求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ 已知甲队每天的施工费用为万元，乙队每天的施工费用为万元．工程预算的施工费用为万元．为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 12.武汉市某区的天然气管道升级工程，若由乙工程队单独完成所需天数是由甲工程队单独完成所需天数的两倍；若甲工程队单独做天后，再由乙工程队单独做天，恰好完成该工程的一半，共需施工费万元，甲工程队每天的施工费用比乙工程队每天的施工费用多万元， 单独完成此项工程，甲、乙两工程队各需多少天？ 甲、乙两工程队每天的施工费各为多少万元？ 甲、乙两工程队合做，若要完成全部工程的施工费不超过万元，且乙工程队的施工天数大于天，直接写出甲工程队施工天数天数为整数 13.某小微企业为加快产业转型升级步伐，引进一批，两种型号的机器．已知一台型机器比一台型机器每小时多加工个零件，且一台型机器加工个零件与一台型机器加工个零件所用时间相等． 每台，两种型号的机器每小时分别加工多少个零件？ 如果该企业计划安排，两种型号的机器共台一起加工一批该零件，为了如期完成任务，要求两种机器每小时加工的零件不少于个，同时为了保障机器的正常运转，两种机器每小时加工的零件不能超过个，那么，两种型号的机器可以各安排多少台？ 14.正在修建中的高速公路要招标，现有甲、乙两个工程队，若甲、乙两队合作，天可以完成；需费用万元；若甲单独做天后，剩下的工程由乙做，还需天才能完成，这样需费用万元。问： 甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ 甲、乙两队单独完成此项工程，各需费用多少万元？ 二、行程问题 1.甲、乙两台机器运输某种货物，已知乙比甲每小时多运，甲运输所用的时间与乙运输所用的时间相等，求甲、乙两台机器每小时分别运输多少千克货物．设甲每小时运输货物，则可列方程为  (    ) A. B. C. D. 2.为了缅怀革命先烈，传承红色精神，青海省某学校八年级师生在清明节期间前往距离学校的烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车师生速度的倍，设骑车师生的速度为根据题意，下列方程正确的是  (    ) A. B. C. D. 3.八年级学生去距学校的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 4.成都博物馆是成都市规模最大的综合型博物馆，已有五十余年的历史为了丰富学生社会实践活动经历，某学校组织学生去距学校的成都博物馆参观学习，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达已知汽车的速度是学生骑车速度的倍，设学生骑车的速度为，下列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 5.一艘轮船顺水航行所用的时间与逆水航行所用的时间相同，若水流速度为，求轮船在静水中的速度．设轮船在静水中的速度为，根据题意列方程得(    ) A. B. C. D. 6.一辆汽车开往距离出发地千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前分钟到达目的地设前一小时的速度为千米小时则下列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 7.九章算术中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为(    ) A. B. C. D. 8.年月日是我国第个全国防灾减灾日，我校组织八年级部分同学进行了两次地震应急演练，在优化撤离方案后，第二次平均每秒撤离的人数比第一次的多，结果名同学全部撤离的时间比第一次节省了秒，若设第一次平均每秒撤离人，则满足的方程为(    ) A. B. C. D. 9.，两地相距千米，一艘轮船从地顺流航行至地所用时间比从地逆流航行至地所用时间少分钟，已知船在静水中航行的速度为千米时．若设水流速度为千米时，则可列方程为  (    ) A. B. C. D. 10.甲、乙两个火车站相距，火车提速后，行驶速度是原来速度的倍，从甲站到乙站的时间缩短，则火车原来的速度为________． 11.年是中国共产党建党周年，为深入了解党的光荣历史，东营市某中学团委组织全校共青团员到广饶刘集红色旅游区开展红色研学之旅，旅游区距学校部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达旅游区．已知快车的平均速度是慢车平均速度的倍，求慢车的平均速度． 12.列方程解应用题： 初二班组织同学乘大巴车前往爱国教育基地开展活动，基地离学校有公里，队伍：从学校出发，张老师因有事情，：从学校自驾小车以大巴倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前分钟到达基地，问： 大巴与小车的平均速度各是多少？ 张老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？ 13.防汛期间，县指挥部组织人力到远的堤上抢修堤坝，人骑摩托车先走，后，大部队乘汽车装载着所需材料出发，结果他们同时到达，已知汽车速度是摩托车速度的倍，求这两种车的速度． 14.某公司到北京参加会议，给员工购买重庆到北京的高铁票该公司计划花费元一次性购买一等座票，二等座票共张已知一等座票的价格为元张，二等座票的价格为元张，求该公司原计划购买两种高铁票各多少张？ 已知重庆到北京的高铁全长公里，高铁提速后重庆到北京的时间比高铁提速前缩短小时分钟，该高铁提速后的速度比提速前的速度提升了，求提速后该高铁从重庆到北京的速度是多少公里小时？高铁在站点停留时间忽略不计 15.小刚家到学校的距离是米．某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有分钟，于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校．已知小刚骑自行车所用时间比跑步所用时间少分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的倍． 求小刚跑步的平均速度． 如果小刚在家取作业本和取自行车共用了分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明理由． 三、销售问题 1.为了丰富学生的校园生活，学校购进一批篮球和排球，其中篮球的单价比排球的单价多元．李老师购买篮球花费元，购买排球花费元，结果购得篮球的数量是排球数量的倍．设购买个排球，则下列选项中所列方程正确的是    ． A. B. C. D. 2.我国古代著作四元玉鉴记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文，如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？若设文能买株椽，根据题意可列方程(    ) A. B. C. D. 3.四元玉鉴是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文只云绫、罗各一尺共直钱一百二十文问绫、罗尺价各几何”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共丈一丈尺，已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入八百九十六文绫布和罗布各出售一尺共收入一百二十文问两种布每尺各多少钱若设绫布有尺，根据题意可列方程为(    ) A. B. C. D. 4.某物美超市同时卖出了两个进价不同的冰墩墩和，售价均为元，按成本计算，超市人员发现冰墩墩盈利了，而冰墩墩却亏损了，则这次超市是  (    ) A. 不赚不赔 B. 赚了 C. 赔了 D. 无法判断 5.铭润超市用元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨元资金购进该品种苹果，但这次的进货价比试销时每千克多了元，购进苹果数量是试销时的倍． 试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元 如果超市将该品种苹果按每千克元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的千克按定价的七折七折即定价的售完，那么超市在销售购进的所有苹果中共盈利多少元 6.某商场新进一种商品，第一个月将此商品的进价提高作为销售价，共获利元．第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加了件，并且商场第二个月比第一个月多获利元．问此商品的进价是多少元？ 7.在“母亲节”前夕，某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，销售过程中发现康乃馨比玫瑰销量大，店主决定将玫瑰每枝降价元促销，降价后元可购买玫瑰的数量是原来可购买玫瑰数量的倍． 求降价后每枝玫瑰的售价是多少元？ 根据销售情况，店主用不多于元的资金再次购进两种鲜花共枝，康乃馨进价为元枝，玫瑰进价为元枝，问至少购进玫瑰多少枝？ 8.为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共条生产线的设备进行更新换代． 为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策根据相关政策，更新条甲类生产线的设备可获得万元的补贴，更新条乙类生产线的设备可获得万元的补贴这样更新完这条生产线的设备，该企业可获得万元的补贴该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ 经测算，购买更新条甲类生产线的设备比购买更新条乙类生产线的设备需多投入万元，用万元购买更新甲类生产线的设备数量和用万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？ 9.今年杭州亚运会期间，某商店用元购进一批亚运会吉祥物，很快售完，第二次购进时，每个吉祥物的进价提高了，同样用元购进的数量比第一次少了个． 求第一次购进的每个吉祥物的进价为多少元？ 若两次购进的吉祥物售价均为元，且全部售出，则该商店两次购进吉祥物的总利润为多少元？ 10.某手机专卖店的一张进货单上有如下信息：款手机进货单价比款手机多元，花元购进款手机的数量与花元购进款手机的数量相同． 求，两款手机的进货单价分别是多少元？ 某周末两天销售单上的数据，如表所示： 日期 款手机部 款手机部 销售总额元 星期六 星期日 求，两款手机的销售单价分别是多少元？ 根据所给的信息，手机专卖店要花费元购进，两款手机若干部，问有哪几种进货方案？根据计算说明哪种进货方案获得的总利润最高． 11.第一届全国学生青年运动会于年月日在广西南宁开幕，吉祥物“壮壮”和“美美”毛绒玩具套餐在市场出现热销某商家第一次用元去购买吉祥物“壮壮”和“美美”毛绒玩具套餐，由于深受顾客喜爱，很快售完，第二次又以元购进同款的吉祥物毛绒玩具套餐，第一次购进每套吉祥物的进价是第二次的倍，且第二次比第一次多购进套． 求第一次购进一套吉祥物“壮壮”和“美美”毛绒玩具的价格． 商家以每套元的价格销售该款毛绒玩具，当第二次销售出时，为快速销售决定降价促销，若要使第二次的销售利润不低于元，剩余的吉祥物毛绒玩具每套售价至少要多少元？ 12.春节吃汤圆和水饺是中华民族的传统习俗某超市为了促进实体经济发展在春节前搞促销活动，在首次促销中水饺的销售额是元，汤圆的销售额是元，售出的水饺的数量比汤圆的数量多袋，售出的水饺的单价是汤圆单价的倍． 求水饺、汤圆的单价分别是多少元 由于临近年关，超市再次加大让利幅度，相比第一次促销，该超市将水饺单价降低了，汤圆的单价减少了元，两款产品销售火爆，第二次销售水饺的数量比第一次多了，汤圆的数量在第一次的基础上增加了，若第二次销售总金额还比第一次少了元，求的值． 13.学校计划选购甲、乙两种图书作为“首届科技节”的奖品，已知甲种图书的单价比乙种图书单价多元用元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少本． 甲、乙两种图书每本分别为多少元？ 若学校计划购买这两种图书共本，且投入的经费不超过元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？ 每名获奖学生发给甲、乙两种图书各一本，由于全校学生踊跃参加“校园读书节”这样学校还需要再拿出元，购买甲、乙两种图书，直接写出此次“首届科技节”获奖学生人数． 14.某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为万元，今年销售额只有万元． 今年三月份甲种电脑每台售价多少元 为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为元，乙种电脑每台进价为元，公司预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两种电脑共台，有几种进货方案 15.某商场开业期间，男装部预测一种应季衬衫能畅销市场，就用元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求．商场又用元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的倍，但单价贵了元． 该商场购进的第一批衬衫是多少件？ 若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于不考虑其他因素，那么每件衬衫的标价至少是多少元？ 16.五一假期将至，某商店看准商机用元和元分别购进，两种水果已知种水果每箱的进价比种水果每箱的进价少元，且购进种水果的箱数是种水果箱数的． 求，两种水果每箱的进价分别为多少元； 商店开始出售这些水果，已知种水果的售价为元箱，出售完箱后，对剩下部分打折进行销售；种水果每箱售价比进价多元，两种水果均全部售出若要使销售这批水果的总利润率不低于，求的最小值． 17.某中学在开学前去商场购进，两款书包奖励班级表现优秀的学生，购买款书包共花费元，购买款书包共花费元，且购买款书包数量是购买款书包数量的倍，已知购买一个款书包比购买一个款书包多花元． 求购买一个款书包、一个款书包各需多少元； 为了调动学生的积极性，学校在开学后再次购进了，两款书包，每款书包不少于个，总花费恰好为元，且在购买时商场对两款书包的销售单价进行了调整，款书包销售单价比第一次购买时提高了，款书包按第一次购买时销售单价的九折出售．求此次款书包有几种购买方案； 在的条件下，商场这次销售两款书包，单价调整后利润比调整前减少元，直接写出两款书包的购买方案． 学科网（北京）股份有限公司 $$分式方程的应用分类专项训练 一、工程问题 1.在创建文明城市的进程中，我市为美化城市环境，计划种植树木 30 万棵，由于志愿者的加入，实际每天植 树比原计划多 20%，结果提前 5 天完成任务，设原计划每天种植�万棵，可列方程是( ) A. 3020%� + 5 = 30 � B. 30 � − 30 20%� = 5 C. 30� − 30 (1+20%)� = 5 D. 30 (1+20%)� − 30 � = 5 2.某公司承担了制作 300 个道路交通指引标志的任务，原计划�天完成，实际平均每天多制作了 5 个，因此提 前 10 天完成任务．根据题意，下列方程正确的是( ) A. 300�−5− 300 � = 10 B. 300 �−10− 300 � = 5 C. 300� − 300 �−5 = 10 D. 300 �−10 + 5 = 300 � 3.某施工队挖一条 240�的渠道，开工后，每天比原计划多挖 20�，结果提前 2 天完成任务．若设原计划每天 挖��，则所列方程正确的是( ) A. 240� − 240 �+20 = 2 B. 240 � − 240 �+2 = 20 C. 240�−20− 240 � = 2 D. 240 �−2− 240 � = 20 4.某单位盖一座楼房，如果由建筑一队施工，那么 180 天可盖成；如果由建筑一队、二队同时施工，那么 30 天能完成工程总量的 3 10 .现若由二队单独施工，则需要�天完成，根据题意列的方程是 ( ) A. 1180 + 1 � = 3 10 B. 1 180 + 1 � = 1 30 C. 30 1180 + 1 � = 3 10 D. 1 180 + 1 � = 3 10 × 30 5.为了改善生态环境，某社区计划在荒坡上种植 600 棵树，由于学生志愿者的加入，每日比原计划多种 20 棵， 结果提前 1 天完成任务．设原计划每天种树�棵，根据题意可列方程为( ) A. 600�+20− 600 � = 1 B. 600 � − 600 �−20 = 1 C. 600�−20− 600 � = 1 D. 600 � − 600 �+20 = 1 6.市政府为残疾人办实事，在某一道路改造工程中，为盲人修建一条长 3000 米的盲道，根据规划设计和要求， 该市工程队在实际施工时增加了施工人员，每天修建的盲道比原计划增加了 50%，结果提前 2 天完成工程．问 实际每天修建盲道多少米？ 7.某乡镇决定对一段公路进行改造．已知这项工程由甲工程队单独做需要 40 天完成；如果由乙工程队先单独 做 10 天，那么剩下的工程还需要两队一起做 20 天才能完成． (1)求乙工程队单独完成这项工程所需的天数； (2)求两队一起完成这项工程所需的天数． 8.列方程解应用题甲、乙两个施工队共同完成某区域绿化改造工程，乙队先单独做 3 天后，再由两队合作 7 天 完成全部工程.已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的 2 倍，求甲、乙两个 施工队单独完成此项工程各需多少天? 9.某市为创建全国文明城市，开展“美化绿化城市”活动，计划经过若干年使城区绿化总面积新增 360 万平方 米．自 2018 年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的 1.5 倍，这样可提前 4 年完成任务． (1)实际每年绿化面积为多少万平方米？ (2)为加大创建力度，市政府决定从 2021年起加快绿化速度，要求不超过 3年完成，那么实际平均每年绿化 面积至少还要增加多少万平方米？ 10.随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项重要工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机， 每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的 20 倍，经过测试，由 5台机器分拣 6000 件快 件的时间，比 20 个人工分拣同样数量的快件节省 4 小时． (1)求人工每人每小时分拣多少件； (2)若该快递公司每天需要分拣 10 万件快件，机器每天工作时间为 16 小时，则至少需要安排多少台这样的分 拣机？ 11.京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得 知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的 2 3；若由甲队先做 10 天，剩下的工程 再由甲、乙两队合作 30 天完成． (1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为 8.4万元，乙队每天的施工费用为 5.6万元．工程预算的施工费用为 500万元．为 缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判 断并说明理由． 12.武汉市某区的天然气管道升级工程，若由乙工程队单独完成所需天数是由甲工程队单独完成所需天数的两 倍；若甲工程队单独做 5 天后，再由乙工程队单独做 15 天，恰好完成该工程的一半，共需施工费 28 万元，甲 工程队每天的施工费用比乙工程队每天的施工费用多 0.8 万元， (1)单独完成此项工程，甲、乙两工程队各需多少天？ (2)甲、乙两工程队每天的施工费各为多少万元？ (3)甲、乙两工程队合做，若要完成全部工程的施工费不超过 52 万元，且乙工程队的施工天数大于 6 天，直接 写出甲工程队施工天数. (天数为整数) 13.某小微企业为加快产业转型升级步伐，引进一批�，�两种型号的机器．已知一台�型机器比一台�型机器每 小时多加工 2 个零件，且一台�型机器加工 80 个零件与一台�型机器加工 60 个零件所用时间相等． (1)每台�，�两种型号的机器每小时分别加工多少个零件？ (2)如果该企业计划安排�，�两种型号的机器共 10 台一起加工一批该零件，为了如期完成任务，要求两种机器 每小时加工的零件不少于 72 个，同时为了保障机器的正常运转，两种机器每小时加工的零件不能超过 76 个， 那么�，�两种型号的机器可以各安排多少台？ 14.正在修建中的高速公路要招标，现有甲、乙两个工程队，若甲、乙两队合作，24 天可以完成；需费用 120 万元；若甲单独做 20 天后，剩下的工程由乙做，还需 40 天才能完成，这样需费用 110 万元。问： (1)甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ (2)甲、乙两队单独完成此项工程，各需费用多少万元？ 二、行程问题 1.甲、乙两台机器运输某种货物，已知乙比甲每小时多运 60 ��，甲运输 500 ��所用的时间与乙运输 800 �� 所用的时间相等，求甲、乙两台机器每小时分别运输多少千克货物．设甲每小时运输���货物，则可列方程 为 ( ) A. 500� = 800 �+60 B. 500 � = 800 �−60 C. 500 �+60 = 800 � D. 500 �−60 = 800 � 2.为了缅怀革命先烈，传承红色精神，青海省某学校八年级师生在清明节期间前往距离学校 15 ��的烈士陵园 扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了 30 ���后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速 度是骑车师生速度的 2 倍，设骑车师生的速度为���/ℎ.根据题意，下列方程正确的是 ( ) A. 15� + 1 2 = 15 2� B. 15 � = 15 2� + 1 2 C. 15 � + 30 = 15 2� D. 15 � = 15 2� + 30 3.八年级学生去距学校 10 ��的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了 20 ���后，其余学生乘汽车出 发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的 2 倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为 ���/ℎ，则可列方程为( ) A. 102� − 10 � = 20 B. 10 � − 10 2� = 20 C. 10 � − 10 2� = 1 3 D. 10 2�− 10 � = 1 3 4.成都博物馆是成都市规模最大的综合型博物馆，已有五十余年的历史.为了丰富学生社会实践活动经历，某 学校组织学生去距学校 10��的成都博物馆参观学习，一部分学生骑自行车先走，过了 20���后，其余学生乘 汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是学生骑车速度的 4 倍，设学生骑车的速度为� ��/ℎ，下列方 程正确的是( ) A. 10� − 10 4� = 20 B. 10 4�− 10 � = 20 C. 10 � − 10 4� = 1 3 D. 10 4�− 10 � = 1 3 5.一艘轮船顺水航行 40��所用的时间与逆水航行 30��所用的时间相同，若水流速度为 3��/ℎ，求轮船在静 水中的速度．设轮船在静水中的速度为���/ℎ，根据题意列方程得( ) A. 40�−3 = 30 �+3 B. 40 �+3 = 30 �−3 C. �+3 40 = �−3 30 D. �−3 40 = �+3 30 6.一辆汽车开往距离出发地 180 千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来 速度的 1.5 倍匀速行驶，并比原计划提前 40 分钟到达目的地.设前一小时的速度为�千米/小时.则下列方程正确 的是( ) A. 180� − 40 = 180−� 1.5� B. 180 � − 40 = 1 + 180−� 1.5� C. 1801.5�− 40 60 = 1 + 180−1.5� � D. 180 � − 40 60 = 1 + 180−� 1.5� 7.《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到 900 里远的城市， 所需时间比规定时间多 1 天;若改为快马派送，则所需时间比规定时间少 3 天，已知快马的速度是慢马的 2 倍， 求规定时间，设规定时间为�天，则可列出正确的方程为( ) A. 900�+3 = 2 × 900 �−1 B. 900 �−3 = 2 × 900 �+1 C. 900�−1 = 2 × 900 �+3 D. 900 �+1 = 2 × 900 �−3 8.2023 年 5 月 12 日是我国第 15 个全国防灾减灾日，我校组织八年级部分同学进行了两次地震应急演练，在 优化撤离方案后，第二次平均每秒撤离的人数比第一次的多 15，结果 2000 名同学全部撤离的时间比第一次节 省了 240 秒，若设第一次平均每秒撤离�人，则�满足的方程为( ) A. 2000� = 2000 �+15 + 240 B. 2000 � = 2000 �+15 − 240 C. 2000� = 2000 �−15 + 240 D. 2000 � + 240 = 2000 �−15 9.�，�两地相距 60 千米，一艘轮船从�地顺流航行至�地所用时间比从�地逆流航行至�地所用时间少 45 分钟， 已知船在静水中航行的速度为 20 千米/时．若设水流速度为�千米/时(� < 20)，则可列方程为 ( ) A. 6020−�− 60 20+� = 3 4 B. 60 20+�− 60 20−� = 3 4 C. 6020+�− 60 20−� = 45 D. 60 20−�− 60 20+� = 45 10.甲、乙两个火车站相距 720 ��，火车提速后，行驶速度是原来速度的 1.2 倍，从甲站到乙站的时间缩短 1.2 ℎ， 则火车原来的速度为________． 11.2021 年是中国共产党建党 100 周年，为深入了解党的光荣历史，东营市某中学团委组织全校共青团员到广 饶刘集红色旅游区开展红色研学之旅，旅游区距学校 120��部分学生乘慢车先行，出发 20���后，另一部分 学生乘快车前往，结果他们同时到达旅游区．已知快车的平均速度是慢车平均速度的 1.2 倍，求慢车的平均速 度． 12.列方程解应用题： 初二(1)班组织同学乘大巴车前往爱国教育基地开展活动，基地离学校有 60 公里，队伍 12：00 从学校出发， 张老师因有事情，12：15 从学校自驾小车以大巴 1.5 倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前 15 分钟到达基地，问： (1)大巴与小车的平均速度各是多少？ (2)张老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？ 13.防汛期间，县指挥部组织人力到 30��远的堤上抢修堤坝，2 人骑摩托车先走，15���后，大部队乘汽车装 载着所需材料出发，结果他们同时到达，已知汽车速度是摩托车速度的 1.5 倍，求这两种车的速度． 14.(1)某公司到北京参加会议，给员工购买重庆到北京的高铁票.该公司计划花费 43600元一次性购买一等座票， 二等座票共 50张.已知一等座票的价格为 950元/张，二等座票的价格为 820元/张，求该公司原计划购买两种 高铁票各多少张？ (2)已知重庆到北京的高铁全长 2200公里，高铁提速后重庆到北京的时间比高铁提速前缩短 3小时 40分钟， 该高铁提速后的速度比提速前的速度提升了 50%，求提速后该高铁从重庆到北京的速度是多少公里/小时？(高 铁在站点停留时间忽略不计) 15.小刚家到学校的距离是 1800 米．某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有 20 分钟， 于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校．已知小刚骑自行车所用时间比跑步所用 时间少 4.5 分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的 1.6 倍． (1)求小刚跑步的平均速度． (2)如果小刚在家取作业本和取自行车共用了 3分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明理由． 三、销售问题 1.为了丰富学生的校园生活，学校购进一批篮球和排球，其中篮球的单价比排球的单价多 20 元．李老师购买 篮球花费 900 元，购买排球花费 400 元，结果购得篮球的数量是排球数量的 1.5 倍．设购买�个排球，则下列 选项中所列方程正确的是( )． A. 900� = 400 1.5� + 20 B. 400 � = 900 1.5� + 20 C. 900 1.5� = 400 � + 20 D. 400 1.5� = 900 � + 20 2.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足， 无钱准与一株椽.”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为 6210 文，如果每株椽的运费是 3文，那么 少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问 6210 文能买多少株椽？若设 6210 文能买�株椽， 根据题意可列方程( ) A. 6210�−1 = 3 B. 6210 � = 3(� − 1) C. 3� − 1 = 6210� D. 6210 �−1 = 3(� − 1) 3.《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十 六文.只云绫、罗各一尺共直钱一百二十文.问绫、罗尺价各几何?”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共 3 丈(一丈= 10 尺)，已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入八百九十六文;绫布和罗布各出售一尺共收入一百二 十文.问两种布每尺各多少钱?若设绫布有�尺，根据题意可列方程为( ) A. 89630−�− 120 = 896 � B. 120 − 896 � = 896 30−� C. 120 + 896� = 896 30+� D. 896 � = 896 30−� + 120 4.某物美超市同时卖出了两个进价不同的冰墩墩�和�，售价均为 90 元，按成本计算，超市人员发现冰墩墩� 盈利了 50%，而冰墩墩�却亏损了 40%，则这次超市是 ( ) A. 不赚不赔 B. 赚了 C. 赔了 D. 无法判断 5.铭润超市用 5000 元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨 11000 元资金购进该 品种苹果，但这次的进货价比试销时每千克多了 0.5 元，购进苹果数量是试销时的 2 倍． (1)试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元? (2)如果超市将该品种苹果按每千克 7元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的 400千克按定价的七折(七 折即定价的 70%)售完，那么超市在销售购进的所有苹果中共盈利多少元? 6.某商场新进一种商品，第一个月将此商品的进价提高 20%作为销售价，共获利 600 元．第二个月商场搞促销 活动，将商品的进价提高 15%作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加了 40 件，并且商场第二个月比 第一个月多获利 150 元．问此商品的进价是多少元？ 7.在“母亲节”前夕，某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，销售过程中发现康乃馨比玫瑰销量大，店主决定将 玫瑰每枝降价 1 元促销，降价后 30 元可购买玫瑰的数量是原来可购买玫瑰数量的 1.5 倍． (1)求降价后每枝玫瑰的售价是多少元？ (2)根据销售情况，店主用不多于 900 元的资金再次购进两种鲜花共 500 枝，康乃馨进价为 2 元/枝，玫瑰进价 为 1.5 元/枝，问至少购进玫瑰多少枝？ 8.为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共 30 条生产线的设备进行更新换代． (1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策.根据相关政策，更新 1条甲类生产线的设 备可获得 3万元的补贴，更新 1条乙类生产线的设备可获得 2万元的补贴.这样更新完这 30条生产线的设备， 该企业可获得 70万元的补贴.该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ (2)经测算，购买更新 1 条甲类生产线的设备比购买更新 1 条乙类生产线的设备需多投入 5 万元，用 200 万元 购买更新甲类生产线的设备数量和用 180 万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得 70 万 元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？ 9.今年杭州亚运会期间，某商店用 3000 元购进一批亚运会吉祥物，很快售完，第二次购进时，每个吉祥物的 进价提高了 20%，同样用 3000 元购进的数量比第一次少了 10 个． (1)求第一次购进的每个吉祥物的进价为多少元？ (2)若两次购进的吉祥物售价均为 96 元，且全部售出，则该商店两次购进吉祥物的总利润为多少元？ 10.某手机专卖店的一张进货单上有如下信息：�款手机进货单价比�款手机多 800 元，花 38400 元购进�款手 机的数量与花 28800 元购进�款手机的数量相同． (1)求�，�两款手机的进货单价分别是多少元？ (2)某周末两天销售单上的数据，如表所示： 日期 �款手机(部) �款手机(部) 销售总额(元) 星期六 5 8 40100 星期日 6 7 41100 求�，�两款手机的销售单价分别是多少元？ (3)根据(1)(2)所给的信息，手机专卖店要花费 28000 元购进�，�两款手机若干部，问有哪几种进货方案？根据 计算说明哪种进货方案获得的总利润最高． 11.第一届全国学生(青年)运动会于 2023 年 11 月 5 日在广西南宁开幕，吉祥物“壮壮”和“美美”毛绒玩具套 餐在市场出现热销.某商家第一次用 33000 元去购买吉祥物“壮壮”和“美美”毛绒玩具套餐，由于深受顾客 喜爱，很快售完，第二次又以 40000 元购进同款的吉祥物毛绒玩具套餐，第一次购进每套吉祥物的进价是第二 次的 1.1 倍，且第二次比第一次多购进 100 套． (1)求第一次购进一套吉祥物“壮壮”和“美美”毛绒玩具的价格． (2)商家以每套 140 元的价格销售该款毛绒玩具，当第二次销售出45时，为快速销 售决定降价促销，若要使第二次的销售利润不低于 13200 元，剩余的吉祥物毛绒 玩具每套售价至少要多少元？ 12.春节吃汤圆和水饺是中华民族的传统习俗.某超市为了促进实体经济发展在春节前搞促销活动，在首次促销 中水饺的销售额是 10000 元，汤圆的销售额是 4000 元，售出的水饺的数量比汤圆的数量多 500 袋，售出的水 饺的单价是汤圆单价的 1.25 倍． (1)求水饺、汤圆的单价分别是多少元? (2)由于临近年关，超市再次加大让利幅度，相比第一次促销，该超市将水饺单价降低了15，汤圆的单价减少了 2元，两款产品销售火爆，第二次销售水饺的数量比第一次多了�%，汤圆的数量在第一次的基础上增加了 �50， 若第二次销售总金额还比第一次少了 200 元，求�的值． 13.学校计划选购甲、乙两种图书作为“首届科技节”的奖品，已知甲种图书的单价比乙种图书单价多 10 元. 用 600 元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少 10 本． (1)甲、乙两种图书每本分别为多少元？ (2)若学校计划购买这两种图书共 40 本，且投入的经费不超过 1050 元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种 图书的数量，则共有几种购买方案？ (3)每名获奖学生发给甲、乙两种图书各一本，由于全校学生踊跃参加“校园读书节”这样学校还需要再拿出 900 元，购买甲、乙两种图书，直接写出此次“首届科技节”获奖学生人数． 14.某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降.今年三月份的电脑售价比去年同期每 台降价 1000 元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为 10 万元，今年销售额只有 8 万元． (1)今年三月份甲种电脑每台售价多少元? (2)为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为 3500元，乙种电脑每台进价 为 3000 元，公司预计用不多于 5 万元且不少于 4.8 万元的资金购进这两种电脑共 15 台，有几种进货方案? 15.某商场开业期间，男装部预测一种应季衬衫能畅销市场，就用 13200 元购进了一批这种衬衫，面市后果然 供不应求．商场又用 28800 元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的 2 倍，但单价贵了 10 元． (1)该商场购进的第一批衬衫是多少件？ (2)若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下 50 件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于 25%(不考虑其他因素)，那么每件衬衫的标价至少是多少元？ 16.五一假期将至，某商店看准商机用 2000 元和 2400 元分别购进�，�两种水果.已知�种水果每箱的进价比� 种水果每箱的进价少 20 元，且购进�种水果的箱数是�种水果箱数的54． (1)求 A，B两种水果每箱的进价分别为多少元； (2)商店开始出售这些水果，已知�种水果的售价为 60 元/箱，出售完 40 箱后，对剩下部分打�折进行销售；� 种水果每箱售价比进价多(2� + 6)元，两种水果均全部售出.若要使销售这批水果的总利润率不低于 40%，求� 的最小值． 17.某中学在开学前去商场购进�，�两款书包奖励班级表现优秀的学生，购买�款书包共花费 6000 元，购买� 款书包共花费 3200 元，且购买�款书包数量是购买�款书包数量的 3 倍，已知购买一个�款书包比购买一个� 款书包多花 30 元． (1)求购买一个 A款书包、一个 B款书包各需多少元； (2)为了调动学生的积极性，学校在开学后再次购进了�，�两款书包，每款书包不少于 14 个，总花费恰好为 2268 元，且在购买时商场对两款书包的销售单价进行了调整，�款书包销售单价比第一次购买时提高了 8％，�款书 包按第一次购买时销售单价的九折出售．求此次�款书包有几种购买方案； (3)在(2)的条件下，商场这次销售两款书包，单价调整后利润比调整前减少 72元，直接写出两款书包的购买 方案． 分式方程的应用分类专项训练 一、工程问题 1.在创建文明城市的进程中，我市为美化城市环境，计划种植树木万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前天完成任务，设原计划每天种植万棵，可列方程是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：由题意可得， ， 故选：． 2.某公司承担了制作个道路交通指引标志的任务，原计划天完成，实际平均每天多制作了个，因此提前天完成任务．根据题意，下列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：设原计划天完成，根据题意得： 故选B． 3.某施工队挖一条的渠道，开工后，每天比原计划多挖，结果提前天完成任务．若设原计划每天挖，则所列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  4.某单位盖一座楼房，如果由建筑一队施工，那么天可盖成；如果由建筑一队、二队同时施工，那么天能完成工程总量的现若由二队单独施工，则需要天完成，根据题意列的方程是  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  5.为了改善生态环境，某社区计划在荒坡上种植棵树，由于学生志愿者的加入，每日比原计划多种棵，结果提前天完成任务．设原计划每天种树棵，根据题意可列方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：设原计划每天种棵树，实际每天种树棵树， 由题意得：． 故选：． 6.市政府为残疾人办实事，在某一道路改造工程中，为盲人修建一条长米的盲道，根据规划设计和要求，该市工程队在实际施工时增加了施工人员，每天修建的盲道比原计划增加了，结果提前天完成工程．问实际每天修建盲道多少米？ 【答案】解：设原计划每天修建盲道  由题意，得，  解得，  经检验，是原方程的解且符合题意，  实际每天修建盲道：  米  答：实际每天修建盲道米  7.某乡镇决定对一段公路进行改造．已知这项工程由甲工程队单独做需要天完成；如果由乙工程队先单独做天，那么剩下的工程还需要两队一起做天才能完成． 求乙工程队单独完成这项工程所需的天数； 求两队一起完成这项工程所需的天数． 【答案】(1)解：设乙工程队单独完成这项工程需要x天，  根据题意，得，解得x＝60．  经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意．  答：乙工程队单独完成这项工程需要60天．  (2)设两队一起完成这项工程需要y天，  根据题意，得，  解得y＝24．  答：两队一起完成这项工程需要24天．  8.列方程解应用题甲、乙两个施工队共同完成某区域绿化改造工程，乙队先单独做天后，再由两队合作天完成全部工程已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的倍，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天 【答案】解：设甲队单独完成此项工程需天，则乙队单独完成此项工程需要天． 依题意得． 解方程得． 经检验，是原方程的解，且符合实际意义．． 答：甲队单独完成此项工程需天，乙队单独完成此项工程需天．  9.某市为创建全国文明城市，开展“美化绿化城市”活动，计划经过若干年使城区绿化总面积新增万平方米．自年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的倍，这样可提前年完成任务． 实际每年绿化面积为多少万平方米？ 为加大创建力度，市政府决定从年起加快绿化速度，要求不超过年完成，那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？ 【答案】解：设原计划每年绿化面积为万平方米，则实际每年绿化面积为万平方米， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ． 答：实际每年绿化面积万平方米． 设平均每年绿化面积增加万平方米， 根据题意得：， 解得：． 答：平均每年绿化面积至少增加万平方米．  10.随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项重要工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的倍，经过测试，由台机器分拣件快件的时间，比个人工分拣同样数量的快件节省小时． 求人工每人每小时分拣多少件； 若该快递公司每天需要分拣万件快件，机器每天工作时间为小时，则至少需要安排多少台这样的分拣机？ 【答案】(1)解：设人工每人每小时分拣x件，则每台机器每小时分拣20x件，  根据题意，得  ， 解得x＝60，  经检验：当x＝60时，符合题意．  故人工每人每小时分拣60件．  (2)解：设需要安排y台分拣机，则16×20×60y≥100000， 即19200y≥100000， 解得  ． 因为y为正整数， 所以y的最小值为6．  故至少需要安排6台这样的分拣机．  11.京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做天，剩下的工程再由甲、乙两队合作天完成． 求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ 已知甲队每天的施工费用为万元，乙队每天的施工费用为万元．工程预算的施工费用为万元．为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 【答案】解：设乙队单独完成这项工程需要天，则甲队单独完成这项工程需要天． 根据题意，得  ． 解得． 经检验，是原方程的根，且符合题意． ． 答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需天和天． 设甲、乙两队合作完成这项工程需要天， 则有． 解得． 需要施工费用：万元． ． 万元 答：工程预算的施工费用不够用，需追加预算万元．  12.武汉市某区的天然气管道升级工程，若由乙工程队单独完成所需天数是由甲工程队单独完成所需天数的两倍；若甲工程队单独做天后，再由乙工程队单独做天，恰好完成该工程的一半，共需施工费万元，甲工程队每天的施工费用比乙工程队每天的施工费用多万元， 单独完成此项工程，甲、乙两工程队各需多少天？ 甲、乙两工程队每天的施工费各为多少万元？ 甲、乙两工程队合做，若要完成全部工程的施工费不超过万元，且乙工程队的施工天数大于天，直接写出甲工程队施工天数天数为整数 【答案】解：设单独完成此项工程，甲需工天，则乙需天， 由题意得：， 解得， 检验：当时，，原分式方程的解为， 故甲需天，乙需天； 设乙每天的施工费用为万元，则甲每天的施工费用为万元， 由题意得：， 解得， ， 故甲每天的施工费用为万元，乙每天的施工费用为万元； 设甲工程队施工天数为天，则甲工程队完成了此工程的，乙工程队完成了此工程的， 乙工程队所用时间为天， ， 解得：， 甲工程队施工天数为天或天．  13.某小微企业为加快产业转型升级步伐，引进一批，两种型号的机器．已知一台型机器比一台型机器每小时多加工个零件，且一台型机器加工个零件与一台型机器加工个零件所用时间相等． 每台，两种型号的机器每小时分别加工多少个零件？ 如果该企业计划安排，两种型号的机器共台一起加工一批该零件，为了如期完成任务，要求两种机器每小时加工的零件不少于个，同时为了保障机器的正常运转，两种机器每小时加工的零件不能超过个，那么，两种型号的机器可以各安排多少台？ 【答案】(1)设每台B型机器每小时加工x个零件，则每台A型机器每小时加工（x＋2）个零件．由题意得，解得 x＝6，经检验，x＝6是原分式方程的解，且符合题意，x＋2＝8．答：每台A型机器每小时加工8个零件，每台B型机器每小时加工6个零件．  (2)设A型机器安排m台，则B型机器安排（10－m）台．由题意得解得6≤m≤8．∵m为正整数，∴m的值为6或7或8．答：共有三种安排方案，方案一：A型机器安排6台，B型机器安排4台；方案二：A型机器安排7台，B型机器安排3台；方案三：A型机器安排8台，B型机器安排2台．  14.正在修建中的高速公路要招标，现有甲、乙两个工程队，若甲、乙两队合作，天可以完成；需费用万元；若甲单独做天后，剩下的工程由乙做，还需天才能完成，这样需费用万元。问： 甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ 甲、乙两队单独完成此项工程，各需费用多少万元？ 【答案】解：设甲队独做需天，乙队独做需天． 建立方程组， 解得天，天 经检验，是原方程组的解． 答：甲队独做需天，乙队独做需天． 设甲队独做需万元，乙队独做需万元， 建立方程组， 解得， 答：甲队独做需万元，乙队独做需万元．  二、行程问题 1.甲、乙两台机器运输某种货物，已知乙比甲每小时多运，甲运输所用的时间与乙运输所用的时间相等，求甲、乙两台机器每小时分别运输多少千克货物．设甲每小时运输货物，则可列方程为  (    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：设甲每小时搬运货物，则乙每小时搬运货物， 由题意得：． 故选：． 2.为了缅怀革命先烈，传承红色精神，青海省某学校八年级师生在清明节期间前往距离学校的烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车师生速度的倍，设骑车师生的速度为根据题意，下列方程正确的是  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：骑车师生的速度为，汽车的速度是骑车师生速度的倍， 汽车的速度是， 又， ． 故选：． 3.八年级学生去距学校的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解答】 解：设骑车学生的速度为，则乘车学生的速度为， 依题意，得：． 4.成都博物馆是成都市规模最大的综合型博物馆，已有五十余年的历史为了丰富学生社会实践活动经历，某学校组织学生去距学校的成都博物馆参观学习，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达已知汽车的速度是学生骑车速度的倍，设学生骑车的速度为，下列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：骑车学生的速度为，且汽车的速度是骑车学生速度的倍， 汽车的速度为． 依题意得：， 即：． 故选：． 5.一艘轮船顺水航行所用的时间与逆水航行所用的时间相同，若水流速度为，求轮船在静水中的速度．设轮船在静水中的速度为，根据题意列方程得(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：设轮船在静水中的速度为， 由题意得，． 故选：． 6.一辆汽车开往距离出发地千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前分钟到达目的地设前一小时的速度为千米小时则下列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：设前一个小时的速度为千米小时． 依题意得：， 即． 故选：． 7.九章算术中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：规定时间为天， 慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天， 又快马的速度是慢马的倍，两地间的路程为里， ． 8.年月日是我国第个全国防灾减灾日，我校组织八年级部分同学进行了两次地震应急演练，在优化撤离方案后，第二次平均每秒撤离的人数比第一次的多，结果名同学全部撤离的时间比第一次节省了秒，若设第一次平均每秒撤离人，则满足的方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由题意得：， 故选：． 9.，两地相距千米，一艘轮船从地顺流航行至地所用时间比从地逆流航行至地所用时间少分钟，已知船在静水中航行的速度为千米时．若设水流速度为千米时，则可列方程为  (    ) A. B. C. D. 【答案】A  10.甲、乙两个火车站相距，火车提速后，行驶速度是原来速度的倍，从甲站到乙站的时间缩短，则火车原来的速度为________． 【答案】   【解答】 解：设列车提速前的速度为 ， 根据题意得：  方程两边同乘，得：． 解得：． 检验：时， ，是原方程的解． 11.年是中国共产党建党周年，为深入了解党的光荣历史，东营市某中学团委组织全校共青团员到广饶刘集红色旅游区开展红色研学之旅，旅游区距学校部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达旅游区．已知快车的平均速度是慢车平均速度的倍，求慢车的平均速度． 【答案】解：设慢车的平均速度为，则快车的平均速度为 ， 根据题意得． 故列方程为：． 解得：． 经检验，是原方程的根． 答：慢车的平均速度是．  12.列方程解应用题： 初二班组织同学乘大巴车前往爱国教育基地开展活动，基地离学校有公里，队伍：从学校出发，张老师因有事情，：从学校自驾小车以大巴倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前分钟到达基地，问： 大巴与小车的平均速度各是多少？ 张老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？ 【答案】解：设大巴的平均速度是公里小时，则小车的平均速度是公里小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， ． 答：大巴的平均速度是公里小时，小车的平均速度是公里小时； 设张老师追上大巴的地点到基地的路程有公里，根据题意得： ， 解得：， 答：张老师追上大巴的地点到基地的路程有公里．  13.防汛期间，县指挥部组织人力到远的堤上抢修堤坝，人骑摩托车先走，后，大部队乘汽车装载着所需材料出发，结果他们同时到达，已知汽车速度是摩托车速度的倍，求这两种车的速度． 【答案】解：设摩托车的速度为千米时，则汽车速度是千米时，根据题意可得： ， 解得：， 经检验得：是原方程的根， 则， 答：摩托车的速度为千米时，汽车速度是千米时．  14.某公司到北京参加会议，给员工购买重庆到北京的高铁票该公司计划花费元一次性购买一等座票，二等座票共张已知一等座票的价格为元张，二等座票的价格为元张，求该公司原计划购买两种高铁票各多少张？ 已知重庆到北京的高铁全长公里，高铁提速后重庆到北京的时间比高铁提速前缩短小时分钟，该高铁提速后的速度比提速前的速度提升了，求提速后该高铁从重庆到北京的速度是多少公里小时？高铁在站点停留时间忽略不计 【答案】解：设该公司原计划购买张一等座票，张二等座票， 根据题意得：， 解得：． 答：该公司原计划购买张一等座票，张二等座票； 小时分钟小时． 设提速前该高铁从重庆到北京的速度是公里小时，则提速后该高铁从重庆到北京的速度是公里小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：提速后该高铁从重庆到北京的速度是公里小时．  15.小刚家到学校的距离是米．某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有分钟，于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校．已知小刚骑自行车所用时间比跑步所用时间少分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的倍． 求小刚跑步的平均速度． 如果小刚在家取作业本和取自行车共用了分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明理由． 【答案】(1)解：小刚跑步的平均速度为150米/分．  (2)他不能在上课前赶回学校．理由如下：由（1）得，小刚跑步的平均速度为150米/分，则小刚跑步所用时间为1800÷150＝12（分），骑自行车所用时间为12-4.5＝7.5（分）．∵在家取作业本和取自行车共用了3分钟，∴小刚从开始跑步回家到赶回学校需要12+7.5+3＝22.5（分）．∵22.5＞20，∴小刚不能在上课前赶回学校．  三、销售问题 1.为了丰富学生的校园生活，学校购进一批篮球和排球，其中篮球的单价比排球的单价多元．李老师购买篮球花费元，购买排球花费元，结果购得篮球的数量是排球数量的倍．设购买个排球，则下列选项中所列方程正确的是    ． A. B. C. D. 【答案】C  【解答】 解：设购买的足球数量是个，则购买篮球数量是个， 根据题意，得． 故选：． 2.我国古代著作四元玉鉴记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文，如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？若设文能买株椽，根据题意可列方程(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：根据题意，得， 故选：． 3.四元玉鉴是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文只云绫、罗各一尺共直钱一百二十文问绫、罗尺价各几何”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共丈一丈尺，已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入八百九十六文绫布和罗布各出售一尺共收入一百二十文问两种布每尺各多少钱若设绫布有尺，根据题意可列方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解答】 解：若设绫布有尺， 根据题意得，，即． 故选B． 4.某物美超市同时卖出了两个进价不同的冰墩墩和，售价均为元，按成本计算，超市人员发现冰墩墩盈利了，而冰墩墩却亏损了，则这次超市是  (    ) A. 不赚不赔 B. 赚了 C. 赔了 D. 无法判断 【答案】C  【解析】解：设冰墩墩的成本为元， 依题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的根，且符合题意． 设冰墩墩的成本为元， 依题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意． 元， 故这次超市赔了． 故选C． 5.铭润超市用元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨元资金购进该品种苹果，但这次的进货价比试销时每千克多了元，购进苹果数量是试销时的倍． 试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元 如果超市将该品种苹果按每千克元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的千克按定价的七折七折即定价的售完，那么超市在销售购进的所有苹果中共盈利多少元 【答案】解：设试销时这种苹果的进货价是每千克元． 依题意，得： 解之得： 经检验：是原方程的解． 所以． 答：试销时该品种苹果的进货价是每千克元． 试销时进苹果的数量为：千克． 第二次进苹果的数量为：千克． 盈利为：元． 答：试销时苹果的进货价是每千克元，商场在两次苹果销售中共盈利元．  6.某商场新进一种商品，第一个月将此商品的进价提高作为销售价，共获利元．第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加了件，并且商场第二个月比第一个月多获利元．问此商品的进价是多少元？ 【答案】解：设此商品的进价是元，  根据题意，得，解得  经检验，是原方程的解，且符合题意．  答：此商品的进价是元．  7.在“母亲节”前夕，某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，销售过程中发现康乃馨比玫瑰销量大，店主决定将玫瑰每枝降价元促销，降价后元可购买玫瑰的数量是原来可购买玫瑰数量的倍． 求降价后每枝玫瑰的售价是多少元？ 根据销售情况，店主用不多于元的资金再次购进两种鲜花共枝，康乃馨进价为元枝，玫瑰进价为元枝，问至少购进玫瑰多少枝？ 【答案】解：设降价后每枝玫瑰的售价是元，依题意有 ， 解得：． 经检验，是原方程的解． 答：降价后每枝玫瑰的售价是元． 设购进玫瑰枝，依题意有 ， 解得：． 答：至少购进玫瑰枝．  8.为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共条生产线的设备进行更新换代． 为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策根据相关政策，更新条甲类生产线的设备可获得万元的补贴，更新条乙类生产线的设备可获得万元的补贴这样更新完这条生产线的设备，该企业可获得万元的补贴该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ 经测算，购买更新条甲类生产线的设备比购买更新条乙类生产线的设备需多投入万元，用万元购买更新甲类生产线的设备数量和用万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？ 【答案】解：设该企业有条甲类生产线，条乙类生产线， 根据题意得；， 解得：． 答：该企业有条甲类生产线，条乙类生产线； 设购买更新条乙类生产线的设备需投入万元，则购买更新条甲类生产线的设备需投入万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：还需投入万元资金更新生产线的设备．  9.今年杭州亚运会期间，某商店用元购进一批亚运会吉祥物，很快售完，第二次购进时，每个吉祥物的进价提高了，同样用元购进的数量比第一次少了个． 求第一次购进的每个吉祥物的进价为多少元？ 若两次购进的吉祥物售价均为元，且全部售出，则该商店两次购进吉祥物的总利润为多少元？ 【答案】解：设第一次每个的进价为元，则第二次进价为 ， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是方程的解，且符合题意， 答：第一次购进的每个吉祥物的进价为元； 元， 答：该商店两次购进吉祥物的总利润为元．  10.某手机专卖店的一张进货单上有如下信息：款手机进货单价比款手机多元，花元购进款手机的数量与花元购进款手机的数量相同． 求，两款手机的进货单价分别是多少元？ 某周末两天销售单上的数据，如表所示： 日期 款手机部 款手机部 销售总额元 星期六 星期日 求，两款手机的销售单价分别是多少元？ 根据所给的信息，手机专卖店要花费元购进，两款手机若干部，问有哪几种进货方案？根据计算说明哪种进货方案获得的总利润最高． 【答案】解：设款手机的进货单价是元，则款手机的进货单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 则， 答：款手机的进货单价是元，款手机的进货单价是元； 设款手机的销售单价是元，款手机的销售单价是元， 根据题意得：， 解得：， 答：款手机的销售单价是元，款手机的销售单价是元； 设购买款手机部，款手机部， 根据题意，得， 化简得，， 、都是正整数， 或或， 即有三种进货方案： 方案一：购买款手机部，款款手机部，利润是：元； 方案二：购买款手机部，款款手机部，利润是：元； 方案三：购买款手机部，款款手机部，利润是：元； ， 选择方案三获得的总利润最高．  11.第一届全国学生青年运动会于年月日在广西南宁开幕，吉祥物“壮壮”和“美美”毛绒玩具套餐在市场出现热销某商家第一次用元去购买吉祥物“壮壮”和“美美”毛绒玩具套餐，由于深受顾客喜爱，很快售完，第二次又以元购进同款的吉祥物毛绒玩具套餐，第一次购进每套吉祥物的进价是第二次的倍，且第二次比第一次多购进套． 求第一次购进一套吉祥物“壮壮”和“美美”毛绒玩具的价格． 商家以每套元的价格销售该款毛绒玩具，当第二次销售出时，为快速销售决定降价促销，若要使第二次的销售利润不低于元，剩余的吉祥物毛绒玩具每套售价至少要多少元？ 【答案】解：设第一批吉祥物“壮壮”和“美美”毛绒玩具进价是元，则第二批吉祥物“壮壮”和“美美”毛绒玩具进价是元，由题意，得 ， 解得，， 经检验是分式方程的解， 所以，元 答：第一批吉祥物“壮壮”和“美美”毛绒玩具每套的进价是元； 设剩余的吉祥物“壮壮”和“美美”毛绒玩具每套售价元． 由Ⅰ知，第二批购进套， 由题意，得， 解得，， 答：剩余的吉祥物“壮壮”和“美美”毛绒玩具每套售价至少要元． 12.春节吃汤圆和水饺是中华民族的传统习俗某超市为了促进实体经济发展在春节前搞促销活动，在首次促销中水饺的销售额是元，汤圆的销售额是元，售出的水饺的数量比汤圆的数量多袋，售出的水饺的单价是汤圆单价的倍． 求水饺、汤圆的单价分别是多少元 由于临近年关，超市再次加大让利幅度，相比第一次促销，该超市将水饺单价降低了，汤圆的单价减少了元，两款产品销售火爆，第二次销售水饺的数量比第一次多了，汤圆的数量在第一次的基础上增加了，若第二次销售总金额还比第一次少了元，求的值． 【答案】解：设汤圆的单价为元，则水饺的单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：水饺的单价为元，汤圆的单价为元； 第一次水饺数量为袋，第一次汤圆数量为袋， 第二次销售水饺单价为：元，汤圆的单价为：元， 由题意得：， 解得：， 答：的值为．  13.学校计划选购甲、乙两种图书作为“首届科技节”的奖品，已知甲种图书的单价比乙种图书单价多元用元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少本． 甲、乙两种图书每本分别为多少元？ 若学校计划购买这两种图书共本，且投入的经费不超过元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？ 每名获奖学生发给甲、乙两种图书各一本，由于全校学生踊跃参加“校园读书节”这样学校还需要再拿出元，购买甲、乙两种图书，直接写出此次“首届科技节”获奖学生人数． 【答案】解：设乙种图书每本为元，则甲种图书每本为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是此方程的解，且符合题意， 元， 答：甲种图书每本为元，乙种图书每本为元； 设购买甲种图书本，则购买乙种图书本， 由题意得：， 解得：， 为整数， ，，，，，， 共有种购买方案； 设此次“首届科技节”获奖学生人数为人， 由题意得：， 解得：， 答：此次“首届科技节”获奖学生人数为人． 14.某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为万元，今年销售额只有万元． 今年三月份甲种电脑每台售价多少元 为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为元，乙种电脑每台进价为元，公司预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两种电脑共台，有几种进货方案 【答案】解：设今年三月份甲种电脑每台售价为元， 检验：时，是原分式方程的解且符合题意， 故今年三月份甲种电脑每台售价为元． 设购进甲台，购进乙为台， ． 方案： 甲台，乙台． 甲台，乙台． 甲台，乙台． 甲台，乙台． 甲台，乙台． 故种方案．  15.某商场开业期间，男装部预测一种应季衬衫能畅销市场，就用元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求．商场又用元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的倍，但单价贵了元． 该商场购进的第一批衬衫是多少件？ 若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于不考虑其他因素，那么每件衬衫的标价至少是多少元？ 【答案】(1)解：设该商场购进的第一批衬衫是x件，则第二批衬衫是2x件． 由题意，得， 解得x=120， 经检验，x=120是原方程的根，且符合题意． 答：该商场购进的第一批衬衫是120件． (2)设每件衬衫的标价是a元． 由（1）得第一批衬衫的进价为13200÷120=110（元/件）， 第二批衬衫的进价为120元/件． 由题意，得120×（a－110）+（240－50）×（a－120）+50×（0.8a－120）≥25%×（13200+28800）． 解得a≥150， 即每件衬衫的标价至少是150元． 答：每件衬衫的标价至少是150元． 16.五一假期将至，某商店看准商机用元和元分别购进，两种水果已知种水果每箱的进价比种水果每箱的进价少元，且购进种水果的箱数是种水果箱数的． 求，两种水果每箱的进价分别为多少元； 商店开始出售这些水果，已知种水果的售价为元箱，出售完箱后，对剩下部分打折进行销售；种水果每箱售价比进价多元，两种水果均全部售出若要使销售这批水果的总利润率不低于，求的最小值． 【答案】解：设种水果每箱的进价是元，则种水果每箱的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 元． 答：种水果每箱的进价是元，种水果每箱的进价是元； 根据题意得：， 解得：， 的最小值为． 答：的最小值为．  17.某中学在开学前去商场购进，两款书包奖励班级表现优秀的学生，购买款书包共花费元，购买款书包共花费元，且购买款书包数量是购买款书包数量的倍，已知购买一个款书包比购买一个款书包多花元． 求购买一个款书包、一个款书包各需多少元； 为了调动学生的积极性，学校在开学后再次购进了，两款书包，每款书包不少于个，总花费恰好为元，且在购买时商场对两款书包的销售单价进行了调整，款书包销售单价比第一次购买时提高了，款书包按第一次购买时销售单价的九折出售．求此次款书包有几种购买方案； 在的条件下，商场这次销售两款书包，单价调整后利润比调整前减少元，直接写出两款书包的购买方案． 【答案】(1)解：设购买一个A款书包需要x元，则购买一个B款书包需要（x＋30）元，依题意，得．解得 x＝50． 经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意．∴x＋30＝50＋30＝80． 答：购买一个A款书包需要50元，购买一个B款书包需要80元．   (2)设购买m个B款书包，则购买个 A款书包，依题意，得 解得14≤m≤21．又∵为整数，∴ m为3的倍数， ∴m可以取15，18，21，∴此次A款书包有3种购买方案．   (3)依题意，得．解得 m＝18． ∴． 答：购买18个A款书包，18个B款书包．   学科网（北京）股份有限公司 $$