3.3万有引力定律的应用 讲义-2024-2025学年高一下学期物理粤教版（2019）必修第二册

粤教版（2019）必修第二册导学案 3.3万有引力定律的应用 一：重力与万有引力的区别和联系 1. 物体与地球的万有引力：，方向指向地心。 2. 由于地球上的物体随地球自转在做匀速圆周运动，需要向心力，向心力由万有引力的分力提供，方向指向轨道的圆心（即地轴纬度平面与地轴的交点），而万有引力的另一个分力便是物体受到的重力mg，方向竖直向下。 【说明】 1. 考虑自转，则在赤道处：，重力指向球心；在两极处：，重力指向球心。其他位置重力不指向球心。 1. 如果不考虑自转，则。 1. 如果没有特别说明，一般不考虑自转。 3. 重力随地理位置的变化：纬度越小，重力越小；纬度越大，重力越大。 4. 重力随离地面的高度变化而变化的关系：海拔增加，重力减小。 二：预言彗星回归、预言未知星体。 1. 在牛顿之前，彗星的出现被看做一种神秘的现象，牛顿却断言，行星的运动规律同样适用于彗星，哈雷根据牛顿的引力理论，对1682年出现的大彗星轨道进行了计算，预言了它将于1758年出现。1743年，克雷洛计算了土星和木星对彗星运动的影响，指出它会推迟到1759年出现，后来这颗彗星被命名为哈雷彗星。 2. 1781年，人们通过望远镜发现了天王星，科学家通过天王星实际轨道计算结果的偏差预言了海王星。后来科学家又根据海王星自身运动的不规则性发现了冥王星。 例1.（23-24高一上·江苏徐州·期中）某同学做自由落体实验。他将石块从19.6m高处由静止释放，石块的落地时间不到2s。该同学可能是在以下哪个地方做实验？（已知北京的重力加速度为）（　　） A．北极 B．赤道 C．广州 D．上海 【答案】A 【详解】石块做自由落体运动，有 石块的落地时间不到2s，可得当地的重力加速度为 根据纬度越高，重力加速度越大，故该同学可能是在北极做实验。 故选A。 例2.（23-24高一下·浙江宁波·期中）万有引力定律的成就之一是发现未知天体，下列被称作笔尖下发现的行星是（　　） A．天王星 B．海王星 C．冥王星 D．雅利洛-VI 【答案】B 【详解】万有引力定律的成就之一是发现未知天体，下列被称作笔尖下发现的行星是海王星。 故选B。 例3. 下列说法正确的是(　　) A．海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的 B．天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的 C．海王星是人们经过长期的太空观测而发现的 D．天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此人们发现了海王星 【答案】D　[由行星的发现历史可知，天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道而发现的；海王星不是通过观测发现，也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的，而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差，然后运用万有引力定律计算出“新”星的轨道，从而发现了海王星。由此可知，A、B、C错误，D正确。] 例4. （22-23高三上·重庆沙坪坝·期中）下列说法正确的是（　　） A．在不用考虑物体本身的大小和形状时，物体可以被视为质点是运用了极限思想 B．曲线运动中，加速度一定不为零 C．第谷通过严密的数学运算，得出了行星的运动规律 D．“笔尖下发现的行星”——天王星的发现确立了万有引力定律的地位，也成为科学史上的美谈 【答案】B 【详解】A．在不用考虑物体本身的大小和形状时，物体可以被视为质点是运用了理想模型，故A错误； B．曲线运动中，速度的方向一定发生变化，可知加速度一定不为零，故B正确； C．开普勒通过严密的数学运算，得出了行星的运动规律，故C错误； D．海王星是利用万有引力定律发现的一颗行星，被人们称为“笔尖下发现的行星”，故D错误。 故选B。 例5.（23-24高一下·河南·阶段练习）山东威海是我国位于北纬37°的城市之一，若威海市某相对地球静止的飞机（可视为质点）随地球自转的速度大小为v，地球北极表面的重力加速度大小为g0，地球半径为R，该飞机的质量为m，将地球视为质量均匀分布的球体，sin37°=0.6，cos37°=0.8，则该飞机静止在赤道上时受到的重力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设地球的自转周期为T，则 解得 在北极，由万有引力等于重力得 在赤道，由牛顿第二定律得 该飞机静止在赤道上时受到的重力大小为 故选A。 例6.（2024·宁夏四川·高考真题）2024年5月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面采样返回之旅。将采得的样品带回地球，飞行器需经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的。下列说法正确的是（　　） A．在环月飞行时，样品所受合力为零 B．若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力等于零 C．样品在不同过程中受到的引力不同，所以质量也不同 D．样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小 【答案】D 【详解】A．在环月飞行时，样品所受合力提供所需的向心力，不为零，故A错误； BD．若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力大小等于它在月球表面的重力大小；由于月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的，则样品在地球表面的重力大于在月球表面的重力，所以样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小，故B错误，D正确； C．样品在不同过程中受到的引力不同，但样品的质量相同，故C错误。 故选D。 例7.关于地球表面上的重力加速度，其平均值，下列说法正确的是（　　） A．赤道上的g值略偏大 B．北极附近的g值略偏小 C．高山上的g值略偏大 D．高空卫星所在位置的g值略偏小 【答案】D 【详解】AB．在两极物体不做圆周运动，重力等于万有引力，重力加速度最大，重力加速度的数值略大于9.8m/s2 物体在赤道上做圆周运动的线速度最大，所需的向心力最大，物体的重力最小，所以赤道上的g值略偏小 AB错误； C．根据牛顿第二定律 高山上万有引力偏小，g值略偏小，C错误； D．根据牛顿第二定律得 高空卫星的万有引力偏小，所在位置的g值略偏小，D正确。 故选D。 三：计算中心天体的质量 1.基本方法：①利用万有引力等于重力；②利用万有引力等于向心力。 求天体质量的常见情况： (1) (2) (3) (4) 【注意】 (1) 要分清中心天体和环绕天体，根据万有引力知识，只能求出中心天体的质量。 (2) 在列方程时，一定要注意万有引力公式中的r和向心力公式中r的含义。 (3) a、v、ω、T、r中，任意知道两个，就可以求中心天体质量，但这两个数据必须匹配。 (4) 注意题中的隐含条件：地球公转一周365天，自转一周24h，月球绕地球一周约27天 四：计算中心天体的的密度 1. 基本方法：根据上面的方法计算出天体质量后，代入密度公式，则可以求出中心天体质量。 2. 需要用到的公式有：； 求天体密度的几种常见情况 (1) (2) (3) 3. 特别说明：对于近地卫星来说，只需要知道其运行周期，就可以求出中心天体的密度。 1．求天体质量的思路 绕中心天体运动的其他天体或卫星做匀速圆周运动，做圆周运动的天体(或卫星)的向心力等于它与中心天体的万有引力，利用此关系建立方程求中心天体的质量。 2．计算天体的质量 下面以地球质量的计算为例，介绍几种计算天体质量的方法： (1)若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力，得 mg＝G，解得地球质量为M地＝。 (2)质量为m的卫星绕地球做匀速圆周运动 G＝ 3．计算天体的密度 若天体的半径为R，则天体的密度 ρ＝ 将M＝代入上式得ρ＝ 特别地，当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝。 例1．（2023·北京昌平·二模）卡文迪许在1798年17卷《哲学学报》中发表他关于引力常量的测量时，曾提到他的实验是为了确定出地球的密度。已知引力常量为G，要想估测地球的密度，只需测得（    ） A．地球的质量 B．地球的半径 C．近地卫星的运行周期 D．地球表面的重力加速度 【答案】C 【详解】AB．地球密度可表示为 如果只知道地球的质量或只知道地球的半径，是无法估测地球的密度，AB错误； C．近地卫星运行过程由引力作为向心力可得 代入上式可得 故已知近地卫星的运行周期，可估测地球的密度，C正确； D．物体在地球表面满足 能求出地球质量，是无法估测地球的密度，D错误。 故选C。 例2．（22-23高一下·浙江台州·期中）太空电梯、月球核爆、核聚变、引力弹弓、行星发动机、量子计算机等，这些都是国产科幻电影《流浪地球2》电影里的高科技。人类为了寻找新的家园，给地球装了一万多台行星发动机，推动地球离开太阳系，从而流浪。根据所学知识判断以下说法正确的是（    ） A．行星绕太阳运动可看做匀速圆周运动，水星离太阳最近，则水星比地球公转周期长 B．已知月球绕地球的公转周期、月地距离、引力常量，可求得月球质量 C．已知地球的公转周期、地球到太阳的距离、引力常量，可求得太阳质量 D．已知地球的自转周期、地球到太阳的距离、引力常量，可求得太阳的平均密度 【答案】C 【详解】A．行星绕太阳运动可看做匀速圆周运动，由万有引力作为向心力可得 解得 水星离太阳最近，则水星比地球公转周期短，A错误； BC．参考A解析中表达式可得 已知地球的公转周期、地球到太阳的距离、引力常量，可求得太阳质量，同理可知，已知月球绕地球的公转周期、月地距离、引力常量，可求得地球质量，月球作为环绕天体，质量无法求出，B错误，C正确； D．已知地球的自转周期、地球到太阳的距离、引力常量，无法求得太阳质量，也无法求得太阳的平均密度，D错误。 例3（22-23高一下·山西大同·期中）华中科技大学引力中心团队曾得到了当时国际上最高精度的引力常量G值。引力常量的精确测量对天体运动的研究意义重大。设太阳的质量为M，地球的质量为，地球的平均密度为，地球的半径为，地面重力加速度为，地球绕太阳公转周期为，日地中心间距为，火星的质量为m，火星的平均密度为，火星表面的重力加速度为g，探测器绕火星表面匀速圆周运动的周期为T，下列说法正确的是（　　） A．卡文迪什测出引力常量，得出地球的质量为 B．太阳的质量为 C．地球的平均密度为 D．火星的平均密度为 【答案】D 【详解】A．根据 解得地球的质量为 故A错误； B．根据万有引力提供向心力 解得太阳的质量为 故B错误； C．地球的平均密度为 故C错误； D．根据万有引力提供向心力 解得火星质量 火星的平均密度为 故D正确。 故选D。 例4. （22-23高一下·浙江温州·期末）科学家发现月球公转周期的变化记录于岩石中，通过对开始形成于数亿年前的岩石进行研究发现，月球公转的周期在缓慢增大。若地球质量保持不变，月球绕地球的运动可近似看成匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　） A．月球正缓慢地远离地球 B．月球公转的角速度越来越大 C．月球公转的线速度越来越大 D．月球公转的向心加速度越来越大 【答案】A 【详解】A．由万有引力提供向心力，则有 解得 由于月球公转的周期在缓慢增大，可知，轨道半径也在缓慢增大，即月球正缓慢地远离地球，故A正确； B．根据 由于周期增大，则角速度减小，故B错误； C．根据 解得 结合上述，轨道半径增大，则月球公转的线速度越来越小，故C错误； D．根据 解得 结合上述，轨道半径增大，则月球公转的向心加速度越来越小，故D错误。 故选A。 例5. （23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图甲所示，太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做半径为r的匀速圆周运动。太阳系内某探测器距离该恒星很远，可看作相对于恒星静止。由于P的遮挡，该探测器探测到Q的亮度随时间做如图乙所示的周期性变化（和已知），此周期与P的公转周期相同。已知引力常量为G，求： （1）P公转的周期； （2）恒星Q的质量。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由图可知探测器探测到Q的亮度随时间变化的周期为 则P的公转周期为 （2）由万有引力提供向心力可得 解得质量为 例6.（23-24高一下·山西长治·期末）北京时间2024年5月8日，“嫦娥六号”月球探测器开启主发动机实施减速制动，进入近月点约、周期的椭圆环月轨道Ⅰ；之后探测器在近月点进行第二次减速制动，进入周期的椭圆环月轨道Ⅱ运行；最后探测器在近月点进行第三次减速制动，进入周期为半径为的圆形环月轨道Ⅲ运行20天后开展下降着陆任务。已知引力常量为，月球半径为，求： （1）轨道Ⅰ的半长轴与轨道Ⅱ的半长轴之比； （2）月球的质量及月球表面的重力加速度。 【答案】（1）；（2）； 【详解】（1）由开普勒第三定律可知 解得轨道Ⅰ的半长轴与轨道Ⅱ的半长轴之比 （2）由万有引力提供向心力 解得月球的质量为 在月球表面有 联立可得，月球表面的重力加速度为 一、单选题 1．（22-23高三下·全国·阶段练习）如图甲所示，假设天文学家通过先进的射电望远镜观察到遥远的一颗恒星周围有模糊的物质做圆周运动，通过测量发现，模糊物质的向心加速度与圆周运动的半径成正比，所做出的关系图像如图乙所示，万有引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．关系图像的斜率表示模糊物质的线速度 B．模糊物质绕着此恒星公转 C．若知道恒星的半径可以求出此恒星的质量 D．模糊物质是该恒星的组成部分，且能求出此恒星的自转周期为 【答案】D 【详解】A．根据 可知关系图像的斜率表示模糊物质角速度的平方，故A错误； B．模糊物质的角速度是定值，发生同轴转动，说明模糊物质是此恒星的组成部分，随着恒星在做自转，故B错误； C．若知道恒星的半径也无法求出此恒星的质量，故C错误； D．根据 由乙图可知 结合 可得恒星的自转角速度为 故D正确。 故选D。 2．（2024·河北·三模）2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，自此开启世界首次月球背面采样返回之旅。若将来宇航员在月球（视为质量分布均匀的球体）表面以大小为的初速度竖直上抛一物体（视为质点），已知引力常量为G，月球的半径为R、密度为。物体从刚被抛出到刚落回月球表面的时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设月球表面的重力加速度为，则有 解得 根据竖直上抛运动的规律可知，落回月球表面的时间 C正确。 故选C。 3．（2024·新疆河南·高考真题）天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的（　　） A．0.001倍 B．0.1倍 C．10倍 D．1000倍 【答案】B 【详解】设红矮星质量为M1，行星质量为m1，半径为r1，周期为T1；太阳的质量为M2，地球质量为m2，到太阳距离为r2，周期为T2；根据万有引力定律有 联立可得 由于轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，可得 故选B。 4．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期中）2024年，我国“嫦娥六号”月球探测器将登陆月球并在月球背面自动采样，完成采样任务后起飞进入近月轨道最后变轨返回地球。在“嫦娥六号”绕近月圆形轨道运行时，若在时间t内围绕月球球心转过的圆心角为θ，引力常量为G，设近月轨道半径等于月球半径，则月球的平均密度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据万有引力提供向心力有 月球的密度为 联立可得 故选C。 5．（23-24高一下·四川德阳·期末）水星是太阳系的八大行星中最小且最靠近太阳的行星。西汉《史记•天官书》的作者司马迁从实际观测发现辰星呈灰色，与五行学说联系在一起，以黑色属水，将其命名为水星。水星绕太阳公转的轨道可视为半径为的圆，其公转周期为，“嫦娥四号”于2018年12月8日在四川省西昌卫星发射中心成功发射升空，它是人类第一个着陆月球背面的探测器，实现了人类首次在月球背面软着陆和巡视勘察。当“嫦娥四号”环月飞行时，其轨道可视为半径为的圆，其环月周期为，若，，月球质量为m，则太阳的质量为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，由万有引力提供向心力有 解得 又有 解得 故选C。 6．（22-23高一下·河北邢台·阶段练习）“天问一号”顺利进入火星的停泊轨道，此轨道稳定在近火点280千米和远火点5.9万千米的椭圆轨道，由于科学探测的需要，需将“天问一号”在近火点从椭圆轨道调整为为贴近火星表面的圆轨道，若测得此圆轨道的周期和轨道半径，则下列物理量可求出的是（　　） A．“天问一号”的质量 B．火星的密度 C．“天问一号”在椭圆轨道上运动的周期 D．引力常量 【答案】C 【详解】A．由“天问一号”所受火星的万有引力提供向心力得 可知“天问一号”的质量约去，不可求出，故A错误； B．由密度可知由于火星的半径未知，火星的密度不能求出，故B错误； C．由椭圆轨道的近火点280千米和远火点5.9万千米，可求椭圆轨道的半长轴；又已知圆轨道的半径，由开普勒第三定律 可以求出“天问一号”在椭圆轨道上运动的周期，故C正确； D．根据 解得 由于火星的质量未知，所以引力常量不可求出，故D错误。 故选C。 7．（2023·浙江·高考真题）木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍。月球绕地球公转周期为，则（    ） A．木卫一轨道半径为 B．木卫二轨道半径为 C．周期T与T0之比为 D．木星质量与地球质量之比为 【答案】D 【详解】根据题意可得，木卫3的轨道半径为 AB．根据万有引力提供向心力 可得 木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为,可得木卫一轨道半径为 木卫二轨道半径为 故AB错误； C．木卫三围绕的中心天体是木星，月球的围绕的中心天体是地球，根据题意无法求出周期T与T0之比，故C错误； D．根据万有引力提供向心力，分别有 联立可得 故D正确。 故选D。 8．（22-23高一下·四川·期末）宇宙世界含有大量的未知星体，判断星体的物质组成需要估算该星体的平均密度，现在发射航天器在该星体表面绕球心飞行，假定该星体是质量分布均匀的球体，引力常量为，则要估算该星体的平均密度，只需测量出（    ） A．航天器的质量 B．航天器的体积 C．未知星体的质量 D．航天器飞行一周的时间 【答案】D 【详解】设该行星的质量为M，半径为R，航天飞船的质量为m，绕行周期为T，根据公式 联立解得 因此只需测出航天器飞行一周的时间就可以估算出星体的平均密度，D正确。 故选D。 9．（23-24高一下·全国·课后作业）假设地球可视为质量均匀分布的球体，地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，若地球表面上的质点与地心O的连线与赤道平面的夹角为60°。其他条件不变，则质点位置的向心加速度为（   ） A． B． C． D．g0－g 【答案】A 【详解】根据重力和万有引力的关系，在两极有 在赤道有 则在与赤道平面的夹角为60°的质点的向心加速度为 解得 故选A。 10．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）中子星是目前发现的除黑洞外密度最大的星体，设中子星的密度为，半径为r，由于自转而不瓦解的最小周期为。则不同的中子星（    ） A．越大，一定越小 B．越大，一定越大 C．r越大，一定越小 D．r越大，一定越大 【答案】A 【详解】中子星不瓦解是由于星球表面的物体所受到的引力大于或等于自转所需的向心力，即 解得 所以 AB．越大，越小,A正确，B错误； CD．与r无关，CD均错误。 故选A。 11（23-24高一下·山东临沂·期中）科学家对于外太空的探测脚步一直未停止，近期在距离地球200光年发现了一“超级地球”行星K2-155d，研究表明其表面有可能存在液态水，所以科学家期待深入探索K2-155d的生命迹象。已知绕行星K2-155d运动的卫星公转周期为月球绕地球公转周期的p倍，绕行星K2-155d运动的卫星轨道半径为月球绕地球轨道半径的q倍，行星K2-155d半径为地球半径的n倍。并且地球表面的重力加速度为g，忽略行星K2-155d和地球的自转，则质量为m的小球在行星K2-155d表面的重力为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意质量为m的物体在行星K2-155d在表面由 当卫星绕行星K2-155d运动公转时由万有引力提供向心力 得 而已知，，代入上式得 当月球绕地球运动公转时由万有引力提供向心力 得 联立解得 而设质量为m物体在地球表面时有 得 已知代入上式联立解得 代入得 故选A。 二、多选题 12．（23-24高一下·河南濮阳·期末）如图所示，哈雷彗星沿椭圆轨道绕太阳运动，太阳的中心在椭圆的一个焦点上，、为长轴的两端点，、为短轴的两端点。椭圆轨道的近日点到太阳中心的距离为，远日点到太阳中心的距离为，引力常量为。哈雷彗星在椭圆轨道运行的周期为，下列判断正确的是（　　） A．哈雷彗星从到的机械能先减小后增大 B．太阳的质量为 C．一个周期内，哈雷彗星在段的运动时间小于 D．假设另一行星绕太阳做匀速圆周运动，轨道半径为，则其运动周期为 【答案】BC 【详解】A．哈雷彗星绕太阳沿椭圆轨道运动中，只有两者之间的引力做功，则机械能守恒，故A错误； B．哈雷彗星运动的椭圆轨道可以等效于半径为 由万有引力提供向心力有 得太阳的质量为 故B正确； C．越靠近近日点速率越大，所以一个周期内，哈雷彗星在EPF段的运动时间小于，故C正确； D．由开普勒第三定律有 得另一行星的周期为 故D错误。 故选BC。 13．（23-24高一下·河北保定·期中）2024年3月20日地月中继卫星——鹊桥二号发射成功，鹊桥二号将为后续探月工程提供坚实的通信支持。如图所示，鹊桥二号的最终运行轨道为环月椭圆冻结轨道，该轨道近月点、远月点到月球表面的距离分别约为200km、16000km，近月卫星A绕月球做半径近似等于月球半径的圆周运动（图中未画出）。已知月球的半径约为1700km，不考虑其他星球引力的影响，关于在环月椭圆冻结轨道上运行的鹊桥二号和近月卫星A，下列说法正确的是（　　） A．鹊桥二号在近月点的加速度小于近月卫星A的加速度 B．鹊桥二号在近月点、远月点受月球的万有引力大小之比约为6400∶1 C．鹊桥二号与近月卫星A的运行周期的二次方之比约为 D．若近月卫星A由近月轨道变轨至环月椭圆冻结轨道，则卫星的机械能减小 【答案】AC 【详解】A．根据万有引力提供向心力可得 可得 故轨道半径越大，加速度越小，由于鹊桥二号近月点的轨道半径大于月球的半径，故鹊桥二号在近月点的加速度小于近月卫星A的加速度，A正确； B．根据万有引力定律 可知，鹊桥二号在近月点和远月点的万有引力之比 B错误； C．设鹊桥二号的半长轴为，周期为，近月卫星的半长轴为，周期为，且 根据开普勒第三定律 解得 C正确； D．近月卫星A由近月轨道变轨至环月椭圆冻结轨道，需要克服万有引力做功，卫星的机械能应增大，D错误。 故选AC。 14．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）在4月24日召开的神舟十八号载人飞船飞行任务新闻发布会上，中国载人航天新闻发言人林西强表示道：“载人月球探测工程登月阶段任务经中央政府批准启动实施，总体目标是2030年实现中国人登陆月球，目前各系统正按计划开展研制建设。早在2013年，“玉兔号”登月车在月球表面接触的第一步实现了中国人“奔月”的伟大梦想。已知月球半径为R，万有引力常量为G。若忽略月球自转的影响，月球表面的重力加速为g。探测器在距月球表面高h处绕月球做匀速圆周运动的周期为T。则月球的质量为（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】AB．根据引力提供向心力则有 可以得出月球的质量为 故A错误，B正确。 CD．忽略月球自转的影响 得到 故C正确，D错误。 故选BC。 三、解答题 15．（2023·福建·一模）在第73届国际宇航大会上，我国“天问一号”火星探测任务团队被国际宇航联合会授予2022年度“世界航天奖”。天问一号着陆器在着陆火星的动力减速阶段，从火星表面附近以的初速度竖直向下做匀减速运动，经速度减为0。已知着陆器质量约为，火星表面重力加速度取，忽略火星自转，求： （1）着陆器在动力减速阶段下降的距离h； （2）着陆器在动力减速阶段所受阻力大小f； （3）若火星的半径是地球半径的，地球表面重力加速度g取，求火星与地球的质量之比。 【答案】（1）3840m；（2）6240N；（3）1:10 【详解】（1）根据运动学公式，有 （2）动力减速阶段下降过程中的加速度为 根据牛顿第二定律，有 代入数据解得 （3）在地球表面，万有引力等于重力，有 在火星表面，万有引力等于重力，有 联立可得 16．（22-23高一下·广东茂名·期末）设想未来，我国的宇航员登上月球，要从月球返回地球，先乘坐宇宙飞船从月球基地升空，进入近月轨道I做匀速圆周运动，从轨道I的P点加速，进入椭圆轨道II绕月球运动，再次返回P点时继续加速，最终宇宙飞船进入月地转移轨道，回到地球。已知宇宙飞船在轨道I上运行周期为T，远月点Q到月心的距离为7R，月球半径为R，引力常量为G。求： （1）月球的质量M； （2）宇宙飞船在椭圆轨道II的运行周期。    【答案】（1）；（2）8T 【详解】（1）宇宙飞船在近月轨道I上运动，由万有引力提供向心力可得 可得月球的质量 （2）宇宙飞船在椭圆轨道II上运动，椭圆的半长轴 根据开普勒第三定律可得 解得宇宙飞船在椭圆轨道II的运行周期 T2= 8T 17（23-24高一下·江苏南通·期末）2024年6月4，嫦娥六号完成世界首次月球背面采样，采样后返回时先进入近月圆轨道Ⅰ．再进入椭圆轨道Ⅱ，在轨道Ⅱ的Q点与返回器对接，图中P、Q分别为椭圆轨道的近月点和远月点．已知月球半径为R，嫦娥六号在轨道Ⅰ运行周期为T，Q点离月球表面的高度为h，万有引力常量为G。求： （1）月球的质量M； （2）嫦娥六号第一次从P点飞行到Q点的时间t。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）根据万有引力周期公式 解得 （2）嫦娥六号第一次从P点飞行到Q做椭圆运动，其时间恰为椭圆周期的一半，利用开普勒第三定律 其中 解得 所以 18（23-24高一下·安徽铜陵·期末）2024年3月4日，首次火星探测任务地面应用系统公开发布“天问一号”第九批科学探测数据。若未来宇航员在登陆火星过程中进行以下实验： 实验一：飞船贴着火星表面做匀速圆周运动时，飞船中的宇航员用秒表测量飞船完成n圈的运动时间为t； 实验二：假设宇航员登上火星后，在火星上让小石块做自由落体运动，从静止开始下落高度为h，测得小石块的速度为v； 实验三：假设宇航员登上火星后，在火星上用长为l的细线系着一个质量为m的小球（可视为质点），在竖直面内做圆周运动。 已知万有引力常量为G，火星的半径为R，不考虑火星的自转，假设火星表面为真空，求： （1）火星表面的重力加速度； （2）火星的密度； （3）小球做圆周运动过程中最低点与最高点细线对小球拉力之差。 【答案】（1）或；（2）或；（3）或 【详解】（1）利用实验二中的相关测量量：小石块做自由落体运动有 解得火星表面的重力加速度 根据实验一中的相关测量量：可得飞船贴着火星表面做匀速圆周运动时的周期为 万有引力提供向心力等于重力 解得 所以，火星表面的重力加速度为或； （2）根据实验一中的相关测量量：可得飞船贴着火星表面做匀速圆周运动时的周期为 万有引力提供向心力，有 而 解得 利用（1）中实验二的测量结果计算的，根据万有引力提供向心力等于重力 又 解得 所以，火星的密度为或； （3）在实验三中，设小球做圆周运动最低点与最高点速度大小分别为，根据牛顿第二定律可得 结合结合机械能守恒定律，有 联立求得 将或代入，解得 或 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 粤教版（2019）必修第二册导学案 3.3万有引力定律的应用 一：重力与万有引力的区别和联系 1. 物体与地球的万有引力：，方向指向地心。 2. 由于地球上的物体随地球自转在做匀速圆周运动，需要向心力，向心力由万有引力的分力提供，方向指向轨道的圆心（即地轴纬度平面与地轴的交点），而万有引力的另一个分力便是物体受到的重力mg，方向竖直向下。 【说明】 1. 考虑自转，则在赤道处：，重力指向球心；在两极处：，重力指向球心。其他位置重力不指向球心。 1. 如果不考虑自转，则。 1. 如果没有特别说明，一般不考虑自转。 3. 重力随地理位置的变化：纬度越小，重力越小；纬度越大，重力越大。 4. 重力随离地面的高度变化而变化的关系：海拔增加，重力减小。 二：预言彗星回归、预言未知星体。 1. 在牛顿之前，彗星的出现被看做一种神秘的现象，牛顿却断言，行星的运动规律同样适用于彗星，哈雷根据牛顿的引力理论，对1682年出现的大彗星轨道进行了计算，预言了它将于1758年出现。1743年，克雷洛计算了土星和木星对彗星运动的影响，指出它会推迟到1759年出现，后来这颗彗星被命名为哈雷彗星。 2. 1781年，人们通过望远镜发现了天王星，科学家通过天王星实际轨道计算结果的偏差预言了海王星。后来科学家又根据海王星自身运动的不规则性发现了冥王星。 例1.（23-24高一上·江苏徐州·期中）某同学做自由落体实验。他将石块从19.6m高处由静止释放，石块的落地时间不到2s。该同学可能是在以下哪个地方做实验？（已知北京的重力加速度为）（　　） A．北极 B．赤道 C．广州 D．上海 例2.（23-24高一下·浙江宁波·期中）万有引力定律的成就之一是发现未知天体，下列被称作笔尖下发现的行星是（　　） A．天王星 B．海王星 C．冥王星 D．雅利洛-VI 例3. 下列说法正确的是(　　) A．海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的 B．天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的 C．海王星是人们经过长期的太空观测而发现的 D．天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此人们发现了海王星 例4. （22-23高三上·重庆沙坪坝·期中）下列说法正确的是（　　） A．在不用考虑物体本身的大小和形状时，物体可以被视为质点是运用了极限思想 B．曲线运动中，加速度一定不为零 C．第谷通过严密的数学运算，得出了行星的运动规律 D．“笔尖下发现的行星”——天王星的发现确立了万有引力定律的地位，也成为科学史上的美谈 例5.（23-24高一下·河南·阶段练习）山东威海是我国位于北纬37°的城市之一，若威海市某相对地球静止的飞机（可视为质点）随地球自转的速度大小为v，地球北极表面的重力加速度大小为g0，地球半径为R，该飞机的质量为m，将地球视为质量均匀分布的球体，sin37°=0.6，cos37°=0.8，则该飞机静止在赤道上时受到的重力大小为（　　） A． B． C． D． 例6.（2024·宁夏四川·高考真题）2024年5月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面采样返回之旅。将采得的样品带回地球，飞行器需经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的。下列说法正确的是（　　） A．在环月飞行时，样品所受合力为零 B．若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力等于零 C．样品在不同过程中受到的引力不同，所以质量也不同 D．样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小 例7.关于地球表面上的重力加速度，其平均值，下列说法正确的是（　　） A．赤道上的g值略偏大 B．北极附近的g值略偏小 C．高山上的g值略偏大 D．高空卫星所在位置的g值略偏小 三：计算中心天体的质量 1.基本方法：①利用万有引力等于重力；②利用万有引力等于向心力。 求天体质量的常见情况： (1) (2) (3) (4) 【注意】 (1) 要分清中心天体和环绕天体，根据万有引力知识，只能求出中心天体的质量。 (2) 在列方程时，一定要注意万有引力公式中的r和向心力公式中r的含义。 (3) a、v、ω、T、r中，任意知道两个，就可以求中心天体质量，但这两个数据必须匹配。 (4) 注意题中的隐含条件：地球公转一周365天，自转一周24h，月球绕地球一周约27天 四：计算中心天体的的密度 1. 基本方法：根据上面的方法计算出天体质量后，代入密度公式，则可以求出中心天体质量。 2. 需要用到的公式有：； 求天体密度的几种常见情况 (1) (2) (3) 3. 特别说明：对于近地卫星来说，只需要知道其运行周期，就可以求出中心天体的密度。 1．求天体质量的思路 绕中心天体运动的其他天体或卫星做匀速圆周运动，做圆周运动的天体(或卫星)的向心力等于它与中心天体的万有引力，利用此关系建立方程求中心天体的质量。 2．计算天体的质量 下面以地球质量的计算为例，介绍几种计算天体质量的方法： (1)若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力，得 mg＝G，解得地球质量为M地＝。 (2)质量为m的卫星绕地球做匀速圆周运动 G＝ 3．计算天体的密度 若天体的半径为R，则天体的密度 ρ＝ 将M＝代入上式得ρ＝ 特别地，当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝。 例1．（2023·北京昌平·二模）卡文迪许在1798年17卷《哲学学报》中发表他关于引力常量的测量时，曾提到他的实验是为了确定出地球的密度。已知引力常量为G，要想估测地球的密度，只需测得（    ） A．地球的质量 B．地球的半径 C．近地卫星的运行周期 D．地球表面的重力加速度 例2．（22-23高一下·浙江台州·期中）太空电梯、月球核爆、核聚变、引力弹弓、行星发动机、量子计算机等，这些都是国产科幻电影《流浪地球2》电影里的高科技。人类为了寻找新的家园，给地球装了一万多台行星发动机，推动地球离开太阳系，从而流浪。根据所学知识判断以下说法正确的是（    ） A．行星绕太阳运动可看做匀速圆周运动，水星离太阳最近，则水星比地球公转周期长 B．已知月球绕地球的公转周期、月地距离、引力常量，可求得月球质量 C．已知地球的公转周期、地球到太阳的距离、引力常量，可求得太阳质量 D．已知地球的自转周期、地球到太阳的距离、引力常量，可求得太阳的平均密度 例3（22-23高一下·山西大同·期中）华中科技大学引力中心团队曾得到了当时国际上最高精度的引力常量G值。引力常量的精确测量对天体运动的研究意义重大。设太阳的质量为M，地球的质量为，地球的平均密度为，地球的半径为，地面重力加速度为，地球绕太阳公转周期为，日地中心间距为，火星的质量为m，火星的平均密度为，火星表面的重力加速度为g，探测器绕火星表面匀速圆周运动的周期为T，下列说法正确的是（　　） A．卡文迪什测出引力常量，得出地球的质量为 B．太阳的质量为 C．地球的平均密度为 D．火星的平均密度为 例4. （22-23高一下·浙江温州·期末）科学家发现月球公转周期的变化记录于岩石中，通过对开始形成于数亿年前的岩石进行研究发现，月球公转的周期在缓慢增大。若地球质量保持不变，月球绕地球的运动可近似看成匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　） A．月球正缓慢地远离地球 B．月球公转的角速度越来越大 C．月球公转的线速度越来越大 D．月球公转的向心加速度越来越大 例5. （23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图甲所示，太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做半径为r的匀速圆周运动。太阳系内某探测器距离该恒星很远，可看作相对于恒星静止。由于P的遮挡，该探测器探测到Q的亮度随时间做如图乙所示的周期性变化（和已知），此周期与P的公转周期相同。已知引力常量为G，求： （1）P公转的周期； （2）恒星Q的质量。 例6.（23-24高一下·山西长治·期末）北京时间2024年5月8日，“嫦娥六号”月球探测器开启主发动机实施减速制动，进入近月点约、周期的椭圆环月轨道Ⅰ；之后探测器在近月点进行第二次减速制动，进入周期的椭圆环月轨道Ⅱ运行；最后探测器在近月点进行第三次减速制动，进入周期为半径为的圆形环月轨道Ⅲ运行20天后开展下降着陆任务。已知引力常量为，月球半径为，求： （1）轨道Ⅰ的半长轴与轨道Ⅱ的半长轴之比； （2）月球的质量及月球表面的重力加速度。 一、单选题 1．（22-23高三下·全国·阶段练习）如图甲所示，假设天文学家通过先进的射电望远镜观察到遥远的一颗恒星周围有模糊的物质做圆周运动，通过测量发现，模糊物质的向心加速度与圆周运动的半径成正比，所做出的关系图像如图乙所示，万有引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．关系图像的斜率表示模糊物质的线速度 B．模糊物质绕着此恒星公转 C．若知道恒星的半径可以求出此恒星的质量 D．模糊物质是该恒星的组成部分，且能求出此恒星的自转周期为 2．（2024·河北·三模）2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，自此开启世界首次月球背面采样返回之旅。若将来宇航员在月球（视为质量分布均匀的球体）表面以大小为的初速度竖直上抛一物体（视为质点），已知引力常量为G，月球的半径为R、密度为。物体从刚被抛出到刚落回月球表面的时间为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·新疆河南·高考真题）天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的（　　） A．0.001倍 B．0.1倍 C．10倍 D．1000倍 4．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期中）2024年，我国“嫦娥六号”月球探测器将登陆月球并在月球背面自动采样，完成采样任务后起飞进入近月轨道最后变轨返回地球。在“嫦娥六号”绕近月圆形轨道运行时，若在时间t内围绕月球球心转过的圆心角为θ，引力常量为G，设近月轨道半径等于月球半径，则月球的平均密度为（　　） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·四川德阳·期末）水星是太阳系的八大行星中最小且最靠近太阳的行星。西汉《史记•天官书》的作者司马迁从实际观测发现辰星呈灰色，与五行学说联系在一起，以黑色属水，将其命名为水星。水星绕太阳公转的轨道可视为半径为的圆，其公转周期为，“嫦娥四号”于2018年12月8日在四川省西昌卫星发射中心成功发射升空，它是人类第一个着陆月球背面的探测器，实现了人类首次在月球背面软着陆和巡视勘察。当“嫦娥四号”环月飞行时，其轨道可视为半径为的圆，其环月周期为，若，，月球质量为m，则太阳的质量为（　　） A． B． C． D． 6．（22-23高一下·河北邢台·阶段练习）“天问一号”顺利进入火星的停泊轨道，此轨道稳定在近火点280千米和远火点5.9万千米的椭圆轨道，由于科学探测的需要，需将“天问一号”在近火点从椭圆轨道调整为为贴近火星表面的圆轨道，若测得此圆轨道的周期和轨道半径，则下列物理量可求出的是（　　） A．“天问一号”的质量 B．火星的密度 C．“天问一号”在椭圆轨道上运动的周期 D．引力常量 7．（2023·浙江·高考真题）木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍。月球绕地球公转周期为，则（    ） A．木卫一轨道半径为 B．木卫二轨道半径为 C．周期T与T0之比为 D．木星质量与地球质量之比为 8．（22-23高一下·四川·期末）宇宙世界含有大量的未知星体，判断星体的物质组成需要估算该星体的平均密度，现在发射航天器在该星体表面绕球心飞行，假定该星体是质量分布均匀的球体，引力常量为，则要估算该星体的平均密度，只需测量出（    ） A．航天器的质量 B．航天器的体积 C．未知星体的质量 D．航天器飞行一周的时间 9．（23-24高一下·全国·课后作业）假设地球可视为质量均匀分布的球体，地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，若地球表面上的质点与地心O的连线与赤道平面的夹角为60°。其他条件不变，则质点位置的向心加速度为（   ） A． B． C． D．g0－g 10．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）中子星是目前发现的除黑洞外密度最大的星体，设中子星的密度为，半径为r，由于自转而不瓦解的最小周期为。则不同的中子星（    ） A．越大，一定越小 B．越大，一定越大 C．r越大，一定越小 D．r越大，一定越大 11（23-24高一下·山东临沂·期中）科学家对于外太空的探测脚步一直未停止，近期在距离地球200光年发现了一“超级地球”行星K2-155d，研究表明其表面有可能存在液态水，所以科学家期待深入探索K2-155d的生命迹象。已知绕行星K2-155d运动的卫星公转周期为月球绕地球公转周期的p倍，绕行星K2-155d运动的卫星轨道半径为月球绕地球轨道半径的q倍，行星K2-155d半径为地球半径的n倍。并且地球表面的重力加速度为g，忽略行星K2-155d和地球的自转，则质量为m的小球在行星K2-155d表面的重力为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 12．（23-24高一下·河南濮阳·期末）如图所示，哈雷彗星沿椭圆轨道绕太阳运动，太阳的中心在椭圆的一个焦点上，、为长轴的两端点，、为短轴的两端点。椭圆轨道的近日点到太阳中心的距离为，远日点到太阳中心的距离为，引力常量为。哈雷彗星在椭圆轨道运行的周期为，下列判断正确的是（　　） A．哈雷彗星从到的机械能先减小后增大 B．太阳的质量为 C．一个周期内，哈雷彗星在段的运动时间小于 D．假设另一行星绕太阳做匀速圆周运动，轨道半径为，则其运动周期为 13．（23-24高一下·河北保定·期中）2024年3月20日地月中继卫星——鹊桥二号发射成功，鹊桥二号将为后续探月工程提供坚实的通信支持。如图所示，鹊桥二号的最终运行轨道为环月椭圆冻结轨道，该轨道近月点、远月点到月球表面的距离分别约为200km、16000km，近月卫星A绕月球做半径近似等于月球半径的圆周运动（图中未画出）。已知月球的半径约为1700km，不考虑其他星球引力的影响，关于在环月椭圆冻结轨道上运行的鹊桥二号和近月卫星A，下列说法正确的是（　　） A．鹊桥二号在近月点的加速度小于近月卫星A的加速度 B．鹊桥二号在近月点、远月点受月球的万有引力大小之比约为6400∶1 C．鹊桥二号与近月卫星A的运行周期的二次方之比约为 D．若近月卫星A由近月轨道变轨至环月椭圆冻结轨道，则卫星的机械能减小 14．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）在4月24日召开的神舟十八号载人飞船飞行任务新闻发布会上，中国载人航天新闻发言人林西强表示道：“载人月球探测工程登月阶段任务经中央政府批准启动实施，总体目标是2030年实现中国人登陆月球，目前各系统正按计划开展研制建设。早在2013年，“玉兔号”登月车在月球表面接触的第一步实现了中国人“奔月”的伟大梦想。已知月球半径为R，万有引力常量为G。若忽略月球自转的影响，月球表面的重力加速为g。探测器在距月球表面高h处绕月球做匀速圆周运动的周期为T。则月球的质量为（　　） A． B． C． D． 三、解答题 15．（2023·福建·一模）在第73届国际宇航大会上，我国“天问一号”火星探测任务团队被国际宇航联合会授予2022年度“世界航天奖”。天问一号着陆器在着陆火星的动力减速阶段，从火星表面附近以的初速度竖直向下做匀减速运动，经速度减为0。已知着陆器质量约为，火星表面重力加速度取，忽略火星自转，求： （1）着陆器在动力减速阶段下降的距离h； （2）着陆器在动力减速阶段所受阻力大小f； （3）若火星的半径是地球半径的，地球表面重力加速度g取，求火星与地球的质量之比。 16．（22-23高一下·广东茂名·期末）设想未来，我国的宇航员登上月球，要从月球返回地球，先乘坐宇宙飞船从月球基地升空，进入近月轨道I做匀速圆周运动，从轨道I的P点加速，进入椭圆轨道II绕月球运动，再次返回P点时继续加速，最终宇宙飞船进入月地转移轨道，回到地球。已知宇宙飞船在轨道I上运行周期为T，远月点Q到月心的距离为7R，月球半径为R，引力常量为G。求： （1）月球的质量M； （2）宇宙飞船在椭圆轨道II的运行周期。 17（23-24高一下·江苏南通·期末）2024年6月4，嫦娥六号完成世界首次月球背面采样，采样后返回时先进入近月圆轨道Ⅰ．再进入椭圆轨道Ⅱ，在轨道Ⅱ的Q点与返回器对接，图中P、Q分别为椭圆轨道的近月点和远月点．已知月球半径为R，嫦娥六号在轨道Ⅰ运行周期为T，Q点离月球表面的高度为h，万有引力常量为G。求： （1）月球的质量M； （2）嫦娥六号第一次从P点飞行到Q点的时间t。 18（23-24高一下·安徽铜陵·期末）2024年3月4日，首次火星探测任务地面应用系统公开发布“天问一号”第九批科学探测数据。若未来宇航员在登陆火星过程中进行以下实验： 实验一：飞船贴着火星表面做匀速圆周运动时，飞船中的宇航员用秒表测量飞船完成n圈的运动时间为t； 实验二：假设宇航员登上火星后，在火星上让小石块做自由落体运动，从静止开始下落高度为h，测得小石块的速度为v； 实验三：假设宇航员登上火星后，在火星上用长为l的细线系着一个质量为m的小球（可视为质点），在竖直面内做圆周运动。 已知万有引力常量为G，火星的半径为R，不考虑火星的自转，假设火星表面为真空，求： （1）火星表面的重力加速度； （2）火星的密度； （3）小球做圆周运动过程中最低点与最高点细线对小球拉力之差。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$