15.3 等腰三角形（7种题型基础练+能力提升练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪科版）

15.3 等腰三角形（7种题型基础练+能力提升练） 一．等腰三角形的性质（共6小题） 1．（2024秋•潘集区期中）已知等腰三角形一边长为2，一边的长为4，则这个等腰三角形的周长为　　 A．8 B．9 C．10 D．8或10 2．（2023秋•宿松县期末）如图，中，已知，垂直平分，，则的度数为　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•庐阳区校级期末）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为　　 A．或 B．或 C．或 D．或 5．（2023秋•蚌埠期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动、点固定，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是　　 A． B． C． D． 5．（2024秋•庐江县月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为　 　． 6．（2023秋•包河区期末）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若在等腰△中，，则它的特征值等于 　 　． 二．等腰三角形的判定（共5小题） 7．（2023秋•肥西县期末）在如图的网格中，在网格上找到点，使为等腰三角形，这样的点有几个　　 A．8 B．9 C．10 D．11 8．（2022秋•寿县校级期末）如图，在中，，，在直线或上取一点，使得为等腰三角形，这样的点共有　　个． 9．（2023秋•无为市期中）如图，是的角平分线，，求证：是等腰三角形． 10．（2023秋•亳州期末）如图，在中，，是斜边上的高线，是的平分线． （1）若，求的度数； （2）求证：． 11．（2023秋•桐城市校级期末）如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． （1）当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？ （2）当点在边上运动时，出发几秒后，是以或为底边的等腰三角形？ 三．等腰三角形的判定与性质（共5小题） 12．（2023秋•金寨县期末）如图，在中，，，，，，则　　 A．10 B．11 C．13 D．15 13．（2023秋•裕安区校级期末）如图，为内一点，平分，，垂足为，交于点，，，，则的长为　　 A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 14．（2023秋•蚌埠期末）如图，为内一点，平分，于点．，若，，则的长为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 15．（2023秋•蒙城县期末）如图，已知中，，于，的平分线分别交，于、． （1）试说明是等腰三角形． （2）若点恰好在线段的垂直平分线上，试说明线段与线段之间的数量关系． 16．（2024秋•凤台县期中）如图，在中，平分交于点，，分别交，于点，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 四．等边三角形的性质（共4小题） 17．（2023秋•黄山期末）三个等边三角形的位置如图所示，若，则　 　． 18．（2024秋•庐江县期中）如图，是等边三角形，为中线，，在上，求的度数． 19．（2023秋•大通区期末）如图，等边中，是的角平分线，为上一点，以为一边且在下方等边，连接． （1）求证：； （2）求的度数． 20．（2023秋•全椒县期末）如图，是等边三角形，，，分别是，，上的点，且． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，连接，若，求证：． 五．等边三角形的判定（共3小题） 21．（2023秋•固镇县期末）根据下列条件，不能得到等边三角形的是　　 A．有两个角是的三角形 B．有一个角是的等腰三角形 C．有两个角相等的等腰三角形 D．腰长和底边长相等的等腰三角形 22．（2023秋•凤阳县校级月考）下列推理中，不能判断是等边三角形的是　　 A． B．， C．， D．，且 23．（2023秋•淮南期末）在中，，若添加一个条件使是等边三角形，则添加的条件可以是 　 　．（写出一个即可） 六．等边三角形的判定与性质（共4小题） 24．（2023秋•裕安区校级期末）下列说法错误的是　　 A．有一个角是的等腰三角形是等边三角形 B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等 C．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合 D．三个角都相等的三角形是等边三角形． 25．（2023秋•潜山市期末）如图，在中，，点，，，在同一直线上，点在上，且，，若，则　 　． 26．（2024秋•蜀山区校级期中）已知△的三边长分别为，，． （1）若，，满足，试判断△的形状； （2）若，，且为奇数，求△的周长． 27．（2023秋•利辛县校级期末）如图，在中，，和都是的外角． （1）如图1，若，证明：是等边三角形； （2）如图2，求的度数． 七．含30度角的直角三角形（共10小题） 28．（2024秋•镜湖区校级期中）如图，在中，已知，，，边的垂直平分线交于，交于，且，则的长是　　 A． B． C． D． 29．（2023秋•裕安区校级期末）在△中，为直角，，于，若，则的长度是　　 A．8 B．6 C．4 D．2 30．（2023秋•田家庵区校级期末）如图，中，，，点在边上，且，若，则的长为　　 A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 31．（2024秋•芜湖期中）如图，△中，，，的垂直平分线交于点，交于点，则下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 32．（2023秋•蜀山区期末）如图所示，已知，点在边上，，点，在边上，且，若，则的长为 　　． 33．（2023秋•裕安区校级期末）如图，在中，，，为的中点，于点，，求的长． 34．（2023秋•金安区校级期末）如图，中，，，于，平分，交于，交于． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：． 35．（2023秋•贵池区期末）如图，在中，垂直平分，分别交、于点、，平分，． （1）求的度数； （2）若，求的长． 36．（2024秋•凤台县期中）如图，在中，，，于，点在的垂直平分线上． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长． 37．（2023秋•利辛县期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为，平分． （1）求的度数； （2）若，求的长． 一．选择题（共6小题） 1．（2024秋•无为市期中）如图，在△中，、分别是和的平分线，过点作交于，交于，若，，则△周长为　　 A．6 B．7 C．8 D．10 2．（2023秋•蒙城县期末）如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长度为　　 A．12 B．9 C．10 D．11 3．（2023秋•金安区校级期末）如图，中，，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•蜀山区期末）在中，，点、分别在边、上，连接、，使得是等腰三角形，若，，则的度数为　　 A．或 B．或 C．或 D．或或 5．（2023秋•临泉县期末）若等腰三角形的两边长分别是和，则这个等腰三角形的周长是　　 A． B． C．或 D．或 6．（2023秋•潜山市期末）如图，中，的平分线交于点，过点作，，垂足分别为，，下面四个结论：①；②垂直平分；③一定平行；④；其中正确的是　　 A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 二．填空题（共9小题） 7．（2023秋•裕安区校级期末）如图，、和、、分别在的两边上，且，若，则的度数是 　 　． 8．（2023秋•蒙城县期末）如图，点，在线段上（点在点，之间），分别以，为边向同侧作等边三角形与等边三角形，边长分别为，，与交于点，延长，交于点，长为．若四边形的周长与△的周长相等，则，，之间的等量关系 　 　． 9．（2023秋•包河区期末）如图，是等边三角形，是延长线上一点，于点，于点．若，，则的长为 　 　． 10．（2024秋•庐江县月考）如图，在△中，，，，动点从点出发，沿向点运动，动点从点出发，沿向点运动，如果动点以，以的速度同时出发．设运动时间为，、在运动过程中，△的形状不断发生变化，当　 　时，△是直角三角形． 11．（2023秋•霍邱县期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，，则的度数为 　 　． 12．（2023秋•安徽期末）如图， 已知中，，且点在外， 且点在的垂直平分线上， 连接，若，，则　 　度 ． 13．（2023秋•大观区校级期末）如图，已知，射线上一点，以为边在下方作等边，点为射线上一点，若，则　 　． 14．（2023秋•瑶海区期末）如图，已知在四边形内，，，，，则　 　． 15．（2024秋•凤台县期中）如图，在中，，为线段上一动点（不与点、重合），连接，作，且，连接． （1）如图1，当时，若，则　 　度； （2）如图2，设，在点运动过程中，当时，　　．（用含的式子表示） 三．解答题（共8小题） 16．（2023秋•凤阳县校级月考）如图，已知，平分，．若，，延长交于点．延长交于点．求的长． 17．（2023秋•花山区校级期末）已知，如图△，是上一点，，△角平分线交于，为中点，延长交于． （1）求证：； （2）若，，求证：． 18．（2024秋•庐江县期中）如图，灯塔在海岛的北偏东方向，某天上午8点，一条船从海岛出发，以15海里时的速度由西向东方向航行，10时整到达处，此时，测得灯塔在处的北偏东方向． （1）求处到灯塔的距离； （2）已知在以灯塔为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 19．（2023秋•霍邱县期末）如图，是等边三角形，点、、分别是边、、上的点，且， 求证：是等边三角形． 20．（2024秋•池州期中）用一条长为的铁丝围成一个等腰三角形． （1）如果腰长是底边长的3倍，那么底边长是多少？ （2）能用这根铁丝围成一个边长为的等腰三角形吗？如果能，请求出另外两条边的长度；如果不能，请说明理由． 21．（2024秋•霍邱县期中）已知等腰，解答以下问题： （1）若有一个内角为，求这个等腰三角形另外两个角的度数； （2）若等腰三角形的周长为27，两条边长分别是和，求三边的长． 22．（2023秋•花山区校级期末）已知四边形，，． （1）如图1，若，则　 　； （2）如图2，，连接，平分交于，交延长线于，连接． ①求的度数； ②若，，求的长． 23．（2023秋•安徽期末）阅读下面材料小明遇到这样一个问题：如图1，在中，，于点，求证：．小明利用条件在上截取，如图2，连接既构造了等腰，又得到，从而命题得证． （1）根据阅读材料证明； （2）参考小明的方法解决下面的问题；如图3在中，，，，请探究与的数量关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 15.3 等腰三角形（7种题型基础练+能力提升练） 一．等腰三角形的性质（共6小题） 1．（2024秋•潘集区期中）已知等腰三角形一边长为2，一边的长为4，则这个等腰三角形的周长为　　 A．8 B．9 C．10 D．8或10 【分析】因为已知长度为2和4两边，没由明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 【解答】解：①当2为底时，其它两边都为4， 2、4、4可以构成三角形， 周长为10； ②当2为腰时， 其它两边为4和8， ， 不能构成三角形，故舍去， 答案只有10． 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 2．（2023秋•宿松县期末）如图，中，已知，垂直平分，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】首先利用线段垂直平分线的性质推出，根据等腰三角形的性质可求出，易求的度数． 【解答】解：，， ， 垂直平分， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键． 3．（2023秋•庐阳区校级期末）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为　　 A．或 B．或 C．或 D．或 【分析】分是底边长与腰长两种情况讨论求解． 【解答】解：当是底边长时，腰长为， 此时三角形三边长分别是，，，能组成三角形， 所以等腰三角形的底边长为； 当是腰长时，底边长为， 此时三角形三边长分别是，，，能组成三角形， 所以等腰三角形的底边长为； 综上，该等腰三角形的底边长为或， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理，关键在于分析讨论为腰长还是底边长． 5．（2023秋•蚌埠期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动、点固定，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】根据，可得，，根据三角形的外角性质可知，进一步根据三角形的外角性质可知，即可求出的度数，进而求出的度数． 【解答】解：， ，， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键． 5．（2024秋•庐江县月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为　 　． 【分析】首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为． 【解答】解：①如图，等腰三角形为锐角三角形， ，， ， 即顶角的度数为． ②如图，等腰三角形为钝角三角形， ，， ， ． 故答案为或． 【点评】本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，关键在于正确的画出图形，认真的进行计算． 6．（2023秋•包河区期末）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若在等腰△中，，则它的特征值等于 　 　． 【分析】分为顶角及为底角两种情况考虑，当为顶角时，利用三角形内角和定理可求出底角的度数，结合“特征值”的定义即可求出特征值的值；当为底角时，利用三角形内角和定理可求出顶角的度数，结合“特征值”的定义即可求出特征值的值． 【解答】解：当为顶角时，， 它的特征值； 当为底角时，顶角， 它的特征值． 故答案为：或． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分为顶角及为底角两种情况求出“特征值” 是解题的关键． 二．等腰三角形的判定（共5小题） 7．（2023秋•肥西县期末）在如图的网格中，在网格上找到点，使为等腰三角形，这样的点有几个　　 A．8 B．9 C．10 D．11 【分析】首先由勾股定理可求得的长，然后分别从，，去分析求解即可求得答案． 【解答】解：如图， ， ①若，则符合要求的有：，共2个点； ②若，则符合要求的有：，共2个点； ③若，则符合要求的有：，，，，，共6个点． 这样的点有10个． 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定以及勾股定理，解题关键是分类的数学思想． 8．（2022秋•寿县校级期末）如图，在中，，，在直线或上取一点，使得为等腰三角形，这样的点共有　　个． 【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等角）”分三种情况解答即可． 【解答】解：如图， ①的垂直平分线交一点，交直线于点； ②以为圆心，为半径画圆，交有二点，，交有一点，（此时； ③以为圆心，为半径画圆，交有二点，，交有一点（此时． 故符合条件的点有6个． 故答案为：6． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏． 9．（2023秋•无为市期中）如图，是的角平分线，，求证：是等腰三角形． 【分析】由角平分线的性质和平行线的性质可得，可得，即可求解． 【解答】证明：是 的角平分线， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，掌握等腰三角形的判定方法是解题的关键． 10．（2023秋•亳州期末）如图，在中，，是斜边上的高线，是的平分线． （1）若，求的度数； （2）求证：． 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，即可求出的度数； （2）先根据同角的余角相等证得，再根据三角形外角的性质得出，，即可得证． 【解答】（1）解：，， ， 是的平分线， ， ； （2）证明：是的平分线， ， ， ， 是斜边上的高线， ， ， ， 是的一个外角， ， 是的一个外角， ， ， ． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等角对等边是解题的关键． 11．（2023秋•桐城市校级期末）如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． （1）当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？ （2）当点在边上运动时，出发几秒后，是以或为底边的等腰三角形？ 【分析】（1）用可分别表示出和，根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于的方程，可求得； （2）用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和三种情况，分别得到关于的方程，可求得的值． 【解答】解：（1）由题意可知，， ， ， 当为等腰三角形时，则有， 即，解得， 出发秒后能形成等腰三角形； （2）①当是以为底边的等腰三角形时：，如图1所示， 则， ， ． ， ， ， ， ， （秒． ②当，是以为底边的等腰三角形时：，如图2所示， 则， （秒． 综上所述：当为11秒或12秒时，是以或为底边的等腰三角形． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用． 三．等腰三角形的判定与性质（共5小题） 12．（2023秋•金寨县期末）如图，在中，，，，，，则　　 A．10 B．11 C．13 D．15 【分析】延长交于，利用三角形内角和定理，得出，，，再利用是的外角，利用等腰三角形判定得到，利用等量代换即可求证． 【解答】解：延长交于， ， ，， ， ， ， ， ， 是的外角， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】此题考查等腰三角形的判定与性质，利用三角形内角和定理，三角形外角的性质，准确添加辅助线构建等腰三角形是解题关键． 13．（2023秋•裕安区校级期末）如图，为内一点，平分，，垂足为，交于点，，，，则的长为　　 A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【分析】根据题意可得为等腰三角形，，，即可求解． 【解答】解：平分， ， ， ， 又， ， ，，即为等腰三角形， ， 又， ， ， 故选：． 【点评】此题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握掌握相关基本性质． 14．（2023秋•蚌埠期末）如图，为内一点，平分，于点．，若，，则的长为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】延长交于，如图，利用平分，先判断为等腰三角形得到，，再证明，然后计算即可． 【解答】解：延长交于，如图， 平分，， 为等腰三角形， ，， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键． 15．（2023秋•蒙城县期末）如图，已知中，，于，的平分线分别交，于、． （1）试说明是等腰三角形． （2）若点恰好在线段的垂直平分线上，试说明线段与线段之间的数量关系． 【分析】（1）首先根据条件，是边上的高，可证出，，再根据同角的补角相等可得到，再利用三角形的外角与内角的关系可得到，最后利用等角对等边即可得出答案； （2）线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，由于是的平分线，得到，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）， ， ， ， ， 是的平分线， ， ，， ， ， 是等腰三角形； （2）点恰好在线段的垂直平分线上， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ， ． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键． 16．（2024秋•凤台县期中）如图，在中，平分交于点，，分别交，于点，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【分析】（1）先根据全等三角形的判定证得，由全等三角形的性质即可得到； （2）由全等三角形的性质可得，根据等腰三角形的性质求出，根据三角形外角的性质即可求出． 【解答】（1）证明：平分，， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，根据全等三角形的性质和判定证得是等腰三角形是解决问题的关键． 四．等边三角形的性质（共4小题） 17．（2023秋•黄山期末）三个等边三角形的位置如图所示，若，则　 　． 【分析】先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于，用，，表示出各角的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论． 【解答】解：图中是三个等边三角形，， ，， ， ， ， ． 故答案为：140 【点评】本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形各内角均等于是解答此题的关键． 18．（2024秋•庐江县期中）如图，是等边三角形，为中线，，在上，求的度数． 【分析】先根据是等边三角形，为中线可得出，，再由可知，根据三角形内角和定理即可求出的度数，故可得出的度数． 【解答】解：是等边三角形，为中线， ，， ， ， ． 【点评】本题考查的是等边三角形的性质及等腰三角形的性质，熟知等边三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 19．（2023秋•大通区期末）如图，等边中，是的角平分线，为上一点，以为一边且在下方等边，连接． （1）求证：； （2）求的度数． 【分析】（1）根据是等边三角形，得出，，再根据是等边三角形，得出，，从而求出，最后根据证出，即可得出； （2）根据是等边三角形，是的角平分线，得出，，再根据，得出，从而求出的度数． 【解答】解：（1）是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 在和， ， ， ； （2）等边中，是的角平分线， ，， ， ， ； 【点评】此题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定，关键是根据等边三角形的性质得出，掌握全等三角形的判定，角平分线的性质等知识点． 20．（2023秋•全椒县期末）如图，是等边三角形，，，分别是，，上的点，且． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，连接，若，求证：． 【分析】（1）根据等边三角形的性质和三角形的内角和解答即可； （2）根据三角形的内角和和平角的定义以及平行线的性质解答即可． 【解答】（1）解：是等边三角形， ， ， ， ， ， ； （2）证明：， 又，， ， ， ， ． 【点评】此题考查等边三角形的性质，平行线的判定，关键是根据等边三角形的性质和三角形的内角和解答． 五．等边三角形的判定（共3小题） 21．（2023秋•固镇县期末）根据下列条件，不能得到等边三角形的是　　 A．有两个角是的三角形 B．有一个角是的等腰三角形 C．有两个角相等的等腰三角形 D．腰长和底边长相等的等腰三角形 【分析】根据等边三角形的定义和判定定理，即可解答． 【解答】解：、有两个角是的三角形，那么第三个角也是，故是等边三角形，正确； 、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，正确； 、有两个角相等的等腰三角形，不一定是等边三角形，故错误； 、腰长和底边长相等的等腰三角形是等边三角形，正确； 故选：． 【点评】本题考查了等边三角形的判定，解决本题的关键是熟记等边三角形的定义和判定定理． 22．（2023秋•凤阳县校级月考）下列推理中，不能判断是等边三角形的是　　 A． B．， C．， D．，且 【分析】根据等边三角形的定义、判定定理以及三角形内角和定理进行判断． 【解答】解：、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断是等边三角形，故本选项不符合题意． 、由“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可以判断是等边三角形，故本选项不符合题意． 、由“，”可以得到“”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断是等边三角形，故本选项不符合题意． 、由“，且”只能判定是等腰三角形，故本选项符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了等边三角形的判定和三角形内角和定理，属于基础题． （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 23．（2023秋•淮南期末）在中，，若添加一个条件使是等边三角形，则添加的条件可以是 　 　．（写出一个即可） 【分析】根据三个角都相等的三角形是等边三角形添加即可． 【解答】解：添加． ，， ， 是等边三角形． 故答案为：．（答案不唯一） 【点评】本题考查了等边三角形的判定，解题的关键是掌握判定方法：（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 六．等边三角形的判定与性质（共4小题） 24．（2023秋•裕安区校级期末）下列说法错误的是　　 A．有一个角是的等腰三角形是等边三角形 B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等 C．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合 D．三个角都相等的三角形是等边三角形． 【分析】根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质和判定逐个进行分析判断，即可得到答案． 【解答】解：．有一个角为的等腰三角形是等边三角形，故本选项不合题意； ．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等，故本选项不合题意； ．等腰三角形顶角的角平分线，底边的中线，高相互重合，说法错误，故本选项符合题意； ．三个角都相等的三角形是等边三角形，故本选项不合题意； 故选：． 【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质定理是解题的关键． 25．（2023秋•潜山市期末）如图，在中，，点，，，在同一直线上，点在上，且，，若，则　 　． 【分析】由等腰三角形的性质，三角形外角的性质推出，而，判定是等边三角形，即可得到． 【解答】解：， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ． 故答案为：． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，关键是由三角形外角的性质得到，判定是等边三角形． 26．（2024秋•蜀山区校级期中）已知△的三边长分别为，，． （1）若，，满足，试判断△的形状； （2）若，，且为奇数，求△的周长． 【分析】（1）直接根据勾股定理的逆定理进行判断即可； （2）根据三角形的三边关系得出的取值范围，再由为奇数得出的值，进而可得出结论． 【解答】解：（1）， ，， ，， ， △是等边三角形； （2）△的三边长分别为，，，，， ，即， 为奇数， ， △的周长． 【点评】本题考查的是等边三角形的判定与性质，三角形的三边关系，非负数的性质，熟知以上知识是解题的关键． 27．（2023秋•利辛县校级期末）如图，在中，，和都是的外角． （1）如图1，若，证明：是等边三角形； （2）如图2，求的度数． 【分析】（1）先由平角的定义得，，再根据等角的不角相等得，由此得为等腰三角形，然后根据可得出结论； （2）先由得，再根据平角的定义得，，据此可得出的度数． 【解答】（1）证明：，， 又， ， 为等腰三角形， ， 等腰为等边三角形； （2）解：， ， ，， ，， ． 【点评】此题主要考查了等边三角形的判定，三角形的内角和定理，平角的定义，理解有一个角等于的等腰三角形是等边三角形是解决问题的关键． 七．含30度角的直角三角形（共10小题） 28．（2024秋•镜湖区校级期中）如图，在中，已知，，，边的垂直平分线交于，交于，且，则的长是　　 A． B． C． D． 【分析】利用线段垂直平分线的性质得，利用等腰三角形的性质得且，再利用外角的性质得，解直角三角形即可得的值． 【解答】解；边的垂直平分线交于，交于（已知） （线段垂直平分线的性质） 且（等腰三角形的性质） （外角性质） ． 故选：． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和含角的直角三角形的性质等知识；得到是正确解答本题的关键． 29．（2023秋•裕安区校级期末）在△中，为直角，，于，若，则的长度是　　 A．8 B．6 C．4 D．2 【分析】先利用含30度角的直角三角形的性质，以及直角三角形的两个锐角互余可得：，，再根据垂直定义可得：，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得：，从而利用含30度角的直角三角形的性质可得，即可解答． 【解答】解：，， ，， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 30．（2023秋•田家庵区校级期末）如图，中，，，点在边上，且，若，则的长为　　 A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【分析】过点作于，根据等腰三角形三线合一的性质得出，由含30度角的直角三角形的性质求出，那么． 【解答】解：如图，过点作于， 又，， ， 在直角中，，， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，准确作出辅助线求出与是解题的关键． 31．（2024秋•芜湖期中）如图，△中，，，的垂直平分线交于点，交于点，则下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据直角三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，根据直角三角形的性质、角平分线的性质判断即可． 【解答】解：，， ，， 是的垂直平分线， ，故正确，不符合题意； ，， ，故错误，符合题意； ， ，又，， ，故正确，不符合题意； ，， ，故正确，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 32．（2023秋•蜀山区期末）如图所示，已知，点在边上，，点，在边上，且，若，则的长为 　　． 【分析】作于，根据等腰三角形的性质求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可． 【解答】解：作于， ， ， ， ， ， ， 故答案为：4． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 33．（2023秋•裕安区校级期末）如图，在中，，，为的中点，于点，，求的长． 【分析】连接，根据三线合一得到垂直于，为角平分线，以及底角的度数，在直角三角形中，利用30角所对的直角边等于斜边的一半得到的长，在直角三角形中，再利用30角所对的直角边等于斜边的一半求出的长，由即可求出的长． 【解答】解：连接， ，，为的中点， ，平分， ， 于， ， ， 在中，，， ， 在中，，， ， 则． 【点评】此题考查了含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，以及三线合一，熟练掌握性质是解本题的关键． 34．（2023秋•金安区校级期末）如图，中，，，于，平分，交于，交于． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：． 【分析】（1）由，可得，根据平分得，根据，，得，即可得是等边三角形； （2）可得，则，由（1）知是等边三角形，得，即可证明． 【解答】证明：（1），， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2），， ， ， 由（1）知是等边三角形， ， ． 【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，掌握数形结合思想是解题的关键． 35．（2023秋•贵池区期末）如图，在中，垂直平分，分别交、于点、，平分，． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【分析】（1）是边上的垂直平分线推，利用等腰三角形的性质和角平分线的定义推角相等，最后得出角的度数； （2）利用角平分线的性质求出的长，再由直角三角形的性质求出的长，进而可得出结论． 【解答】解：（1）是边上的垂直平分线， ， ． 平分， ， ， ； （2）平分，，， ， 垂直平分， ． 在 中， ．． ． 【点评】本题考查的是含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质，熟知在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 36．（2024秋•凤台县期中）如图，在中，，，于，点在的垂直平分线上． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长． 【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质得，进而得，则，再通过计算得出即可得出结论； （2）先求出，进而可求出，利用直角三角形的性质得，，由此可得的长． 【解答】（1）证明：点在的垂直平分线上，， ， ， ， 于，， ， ， 为等边三角形； （2）在中，，， ， 于， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ． 【点评】此题主要考查了等边三角形的判定，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，理解两个角都等于的三角形是等边三角形；在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解决问题的关键． 37．（2023秋•利辛县期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为，平分． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【分析】（1）由垂直平分线的性质可得，即可得，由角平分线定理可得，最后由三角形内角和定理计算即可； （2）根据线段的垂直平分线的性质得到，根据直角三角形的性质计算即可． 【解答】解：（1）垂直平分， ， ， 又平分， ， ； （2）垂直平分， ， 由（1）知，，， ． 【点评】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 一．选择题（共6小题） 1．（2024秋•无为市期中）如图，在△中，、分别是和的平分线，过点作交于，交于，若，，则△周长为　　 A．6 B．7 C．8 D．10 【分析】先根据已知条件，证明，，，从而证明，，从而求出△的周长即可． 【解答】解：、分别是和的平分线， ，， ， ，， ，， ，， △的周长 ， 故选：． 【点评】本题主要考查了平行线和角平分线的性质，解题关键是能够正确识别图形，根据已知条件找出角与角，线段与线段之间的数量关系． 2．（2023秋•蒙城县期末）如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长度为　　 A．12 B．9 C．10 D．11 【分析】根据等腰三角形的性质可得，再根据垂直定义可得，从而可得，，然后利用等角的余角相等可得，再根据对顶角相等可得，从而可得，进而可得，最后利用线段的和差关系，进行计算即可解答． 【解答】解：， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 3．（2023秋•金安区校级期末）如图，中，，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】先根据等边对等角得到，，再根据三角形外角的性质推出，，则由三角形内角和定理求出． 【解答】解：，， ，， ，， ，， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，关键是三角形内角和定理的应用． 4．（2023秋•蜀山区期末）在中，，点、分别在边、上，连接、，使得是等腰三角形，若，，则的度数为　　 A．或 B．或 C．或 D．或或 【分析】先利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，进而可得，然后分三种情况：当时；当时；当时；分别进行计算即可解答． 【解答】解：如图： ， ， ， ， ， 分三种情况： 当时， ， 是的一个外角， ； 当时， ， 是的一个外角， ； 当时， ， ， ， ，不成立； 综上所述：当是等腰三角形时，的度数为或， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，分三种情况讨论是解题的关键． 5．（2023秋•临泉县期末）若等腰三角形的两边长分别是和，则这个等腰三角形的周长是　　 A． B． C．或 D．或 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【解答】解：当是腰长时，3，3，5能组成三角形， 当是腰长时，5，5，3能够组成三角形． 则三角形的周长为或． 故选：． 【点评】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 6．（2023秋•潜山市期末）如图，中，的平分线交于点，过点作，，垂足分别为，，下面四个结论：①；②垂直平分；③一定平行；④；其中正确的是　　 A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【分析】设与相交于点，先利用角平分线的性质可得，从而可得，再根据等式的性质可得，从而可得，进而可得是的垂直平分线，然后根据，可得不一定平行，再根据三角形的面积公式可得，即可解答． 【解答】解：设与相交于点， 平分，，， ， ， ， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ， 不一定平行， 的面积，的面积，， ， 上面四个结论，其中正确的是①②④， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，线段垂直平分线的性质，平行线的判定，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键． 二．填空题（共9小题） 7．（2023秋•裕安区校级期末）如图，、和、、分别在的两边上，且，若，则的度数是 　 　． 【分析】由，根据等腰三角形的性质，即可得，，，，又由三角形外角的性质与，即可求得的度数． 【解答】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】此题考查了等腰三角形的性质与三角形外角的性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 8．（2023秋•蒙城县期末）如图，点，在线段上（点在点，之间），分别以，为边向同侧作等边三角形与等边三角形，边长分别为，，与交于点，延长，交于点，长为．若四边形的周长与△的周长相等，则，，之间的等量关系 　 　． 【分析】由△和△是等边三角形，可得△和△是等边三角形，，，即知，，根据四边形的周长与△的周长相等，有，故． 【解答】解：△和△是等边三角形， ， △和△是等边三角形，，， 四边形是平行四边形，，， ，， 四边形的周长与△的周长相等， ， 整理得：， 故答案为：． 【点评】本题考查等边三角形的性质，关键是等边三角形性质的熟练掌握． 9．（2023秋•包河区期末）如图，是等边三角形，是延长线上一点，于点，于点．若，，则的长为 　 　． 【分析】与相交于，如图，利用等边三角形的性质得到，，再证明，设，则，，利用含30度的直角三角形三边的关系得到，所以，则，，然后在中利用得到，解方程求出后计算即可． 【解答】解：与相交于，如图， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， ，， 在中，， 即，解得， ． 故答案为10． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．也考查了等边三角形的性质． 10．（2024秋•庐江县月考）如图，在△中，，，，动点从点出发，沿向点运动，动点从点出发，沿向点运动，如果动点以，以的速度同时出发．设运动时间为，、在运动过程中，△的形状不断发生变化，当　 　时，△是直角三角形． 【分析】分两种情况讨论：当时，当时，结合直角三角形的性质，即可求解． 【解答】解：①当时， ， ， ， 即，解得：； ②当时， ， ， ， 即， 解得：； 故答案为：或6． 【点评】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，关键是分两种情况讨论解答． 11．（2023秋•霍邱县期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，，则的度数为 　 　． 【分析】由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求解的度数，利用线段垂直平分线的性质可证得，再根据三角形外角的性质可求解． 【解答】解：， ， ，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 12．（2023秋•安徽期末）如图， 已知中，，且点在外， 且点在的垂直平分线上， 连接，若，，则　 　度 ． 【分析】过作，交的延长线于，过作于，证明和，得，求出的度数， 则根据等腰三角形的内角和， 可求出的度数 ． 【解答】解： 如图， 过作，交的延长线于，过作于， 点在的垂直平分线上， 是的垂直平分线， ， ， ， 在中，， ， ， 在和中， ， 和， ， ， ， ， 又， ， 故答案为： 73 ． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和含角直角三角形的性质， 解题时要熟知等腰三角形的两个底角相等， 需要作辅助线， 构建全等三角形， 利用全等三角形的对应角相等 ． 13．（2023秋•大观区校级期末）如图，已知，射线上一点，以为边在下方作等边，点为射线上一点，若，则　 　． 【分析】分两种情况讨论点的位置．点位于左侧．点位于右侧，分别画出相应的图形，根据全等三角形和等腰三角形的性质可求出的度数， 【解答】解：（1）当位于左侧时，如图1， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， （2）当位于右侧时，如图2，将绕着点顺时针旋转得到， 此时是等边三角形， ， ， 故答案为：或． 【点评】考查等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定，分类讨论是数学中常见的题型． 14．（2023秋•瑶海区期末）如图，已知在四边形内，，，，，则　 　． 【分析】延长到连从而可证是等边三角形，就可解决问题． 【解答】解：延长到使，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】此题较难，考查了全等三角形，等边三角形的知识，要构造全等三角形，得到等边三角形． 15．（2024秋•凤台县期中）如图，在中，，为线段上一动点（不与点、重合），连接，作，且，连接． （1）如图1，当时，若，则　 　度； （2）如图2，设，在点运动过程中，当时，　　．（用含的式子表示） 【分析】（1）根据已知条件得到，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，推出是等边三角形，得到，求得是等边三角形，于是得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，求得，根据三角形的内角和即可得到结论． 【解答】解：（1）， ， 即， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， 故答案为：25； （2），， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 16．（2023秋•凤阳县校级月考）如图，已知，平分，．若，，延长交于点．延长交于点．求的长． 【分析】先由三角形内角和得，即△是等边三角形，再由等边三角形的性质，得，，结合30度所对的直角边是斜边的一半，即可作答． 【解答】解：， ， ． △为等边三角形， ， ． ，平分， ，． ， ， ， ， 即的长为7． 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质以及含30度角的直角三角形，掌握其性质定理是解决此题的关键． 17．（2023秋•花山区校级期末）已知，如图△，是上一点，，△角平分线交于，为中点，延长交于． （1）求证：； （2）若，，求证：． 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，结合三角形的内角和定理得出，即可求证； （2）先根据：三线合一得出，进而得出．根据三角形的内角和定理得出，则△为等边三角形，即可求证． 【解答】证明：（1）平分， ， 又，，， ， ； （2），为中点， ， 平分， ， ． 又，， ， △为等边三角形， ． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 18．（2024秋•庐江县期中）如图，灯塔在海岛的北偏东方向，某天上午8点，一条船从海岛出发，以15海里时的速度由西向东方向航行，10时整到达处，此时，测得灯塔在处的北偏东方向． （1）求处到灯塔的距离； （2）已知在以灯塔为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 【分析】（1）根据已知条件得到，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）过作交的延长线于点，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）根据题意得，，（海里）， ， ， （海里）， 答：处到灯塔的距离为30海里； （2）过作交的延长线于点， ，（海里）， （海里）， ， 若这条船继续由西向东航行会有触礁的危险． 【点评】本题考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，方向角，正确地作出辅助线是解题的关键． 19．（2023秋•霍邱县期末）如图，是等边三角形，点、、分别是边、、上的点，且， 求证：是等边三角形． 【分析】根据等边三角形性质得出，，求出，根据推出，推出，同理，得出，根据等边三角形判定推出即可． 【解答】证明：是等边三角形， ，， ， ， 在和中 ， ， 同理， ， 是等边三角形． 【点评】本题考查了等边三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力． 20．（2024秋•池州期中）用一条长为的铁丝围成一个等腰三角形． （1）如果腰长是底边长的3倍，那么底边长是多少？ （2）能用这根铁丝围成一个边长为的等腰三角形吗？如果能，请求出另外两条边的长度；如果不能，请说明理由． 【分析】（1）设该等腰三角形的底边长为 ，则腰长为 ，依题意得，由此解出，进而得出该等腰三角形的三边的长，然后再利用三角形三边之间的关系进行判断即可得出答案； （2）分两种情况讨论如下：①当等腰三角形的底边长为时，设腰长为 ，依题意得，进而得出该等腰三角形的三边的长，然后再利用三角形三边之间的关系进行判断即可；②当等腰三角形的腰长为时，设底长为 ，依题意得，进而得出该等腰三角形的三边的长，然后再利用三角形三边之间的关系进行判断即可，综上所述即可得出答案． 【解答】解：（1）设该等腰三角形的底边长为 ，则腰长为 ， 该等腰三角形是用一条长为的铁丝围成， ， 解得：， ， 此时该等腰三角形的三边长为：，，， ，符合构成三角形的条件， 该等腰三角形的底边长为； （2）能用这根铁丝围成一个边长为的等腰三角形，理由如下： ①当等腰三角形的底边长为时，设腰长为 ， 该等腰三角形是用一条长为的铁丝围成， ， 解得：， 此时该等腰三角形的三边长为：，，， ，符合构成三角形的条件， 能用这根铁丝围成一个边长为的等腰三角形，另两边的长是、； ②当等腰三角形的腰长为时，设底长为 ， 该等腰三角形是用一条长为的铁丝围成， ， 解得：， 此时该等腰三角形的三边长为：，，， ，不符合构成三角形的条件， 该等腰三角形的腰长不能为， 综上所述：能用这根铁丝围成一个底边长为的等腰三角形，另两边的长是、． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，三角形三边之间的关系，熟练掌握等腰三角形的判定，三角形三边之间的关系是解决问题的关键． 21．（2024秋•霍邱县期中）已知等腰，解答以下问题： （1）若有一个内角为，求这个等腰三角形另外两个角的度数； （2）若等腰三角形的周长为27，两条边长分别是和，求三边的长． 【分析】（1）应分两种情况考虑：角是顶角时和是底角时； （2）应分两种情况考虑：为腰长时；为腰长时． 【解答】解：（1）①当角是顶角时，另外两个内角的度数； ②当角是底角时，另一底角为，顶角为； （2）①为腰长时，，不构成三角形； ②为腰长时，，构成三角形， 依题意有， 解得， ． 故三边的长为11、11、5． 【点评】此题主要考查等腰三角形的性质和内角和定理．分类讨论运用是解答两个问题的关键． 22．（2023秋•花山区校级期末）已知四边形，，． （1）如图1，若，则　 　； （2）如图2，，连接，平分交于，交延长线于，连接． ①求的度数； ②若，，求的长． 【分析】（1）设，则，根据等边对等角解题即可； （2）①运用等边对等角解题即可；②作，为垂足，利用角的直角三角形的性质解题即可． 【解答】解：（1）设，则， ， ， 故答案为：； （2）①， △为等边三角形， ， 又， ，， ； ②作，为垂足， ，平分， ， ， ， ． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，含角的直角三角形，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 23．（2023秋•安徽期末）阅读下面材料小明遇到这样一个问题：如图1，在中，，于点，求证：．小明利用条件在上截取，如图2，连接既构造了等腰，又得到，从而命题得证． （1）根据阅读材料证明； （2）参考小明的方法解决下面的问题；如图3在中，，，，请探究与的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）由，，得到，，再由，以及三角形外角，所以，由等角对等边得到，即有， 从而得出； （2）延长至，使，连接．设，，证明垂直平分，因此，得到，，所以，于是，得到，由于，因此，又由，得到，结合，即可得到结论． 【解答】解：（1），， ，， ， ， ， ， ， ； （2）．理由如下： 延长至，使，连接． 设，， ，， 垂直平分， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的相关性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$