15.2 线段的垂直平分线（3种题型基础练+能力提升练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪科版）

15.2 线段的垂直平分线（3种题型基础练+能力提升练） 一、线段垂直平分线性质 1．（22-23八年级上·安徽芜湖·期中）直线是线段的垂直平分线，为直线上的一点．已知线段，则线段的长度为 （    ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）如图，是的边的垂直平分线，若的周长为14，，则的长为（    ）    A．5 B．7 C．8 D．11 3．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在中，直线为线段的垂直平分线，交于点，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，垂直平分，交于点，连接，若，，则的周长为（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）下列命题中，一定是真命题的是（    ） A．三角形的外角大于三角形任何一个内角 B．两边和一角分别相等的两个三角形全等 C．垂直平分线上的点到线段上任意两点距离相等 D．有两个内角互余的三角形是直角三角形 6．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，垂直于点A，，，，为的垂直平分线，点P为直线上的任意一点，则周长的最小值是 ． 7．（2024八年级上·安徽·专题练习）如图，已知在中，是的垂直平分线，垂足为E，交于点D，若，则的周长是 ． 8．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，中，，边上的垂直平分线交于D，交于E，分为两部分．若，求的度数． 9．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，点是边上的一点，连接，垂直平分线段，垂足为，交于点，连接． (1)若，的周长为7，求的周长； (2)若，，求的度数． 10．（23-24八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，，，，边的垂直平分线交于点，求的周长． 二、线段垂直平分线判定 1．已知△ABC中∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，求证：直线AD是CE的垂直平分线．    2．如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)求证：； (2)直线是线段的垂直平分线吗？请说明理由． 3．在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC， 求证：E点在线段AC的垂直平分线上． 4．如图，在中，是的中点，于点，于点，. （1）求证：平分. （2）连接，求证：垂直平分. 三、作已知线段的垂直平分线 1．如图，中，边的垂直平分线分别交、于点D、E，，的周长为，则的周长是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于D、E两点，连接AE，若AE平分，求的度数． 3．如图，在△ABC中，AB=AC=8cm，BC=6cm． （1）用尺规作图作腰AC的垂直平分线l（保留作图痕迹，不要求写作法、证明）； （2）若直线l与AB交于点D，连结CD，求△BCD的周长． 4．某科技公司研制开发了一种监控违章车辆的电子仪器．如图，有三条两两相交的公路，你认为这个监控仪器安装在什么位置可离三个路口的交叉点的距离相等，以便及时进行监控？ 一．选择题（共4小题） 1．（2023秋•定远县期末）如图，在中，、的垂直平分线分别交于点、，若，则为　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•无为市期中）如图，是线段的垂直平分线，则下列结论一定正确的是　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•太和县期中）如图，是的边的垂直平分线，若的周长为14，，则的长为　　 A．5 B．7 C．8 D．11 4．（2024秋•阜阳期中）如图，在中，、分别是线段、的垂直平分线，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共5小题） 5．（2023秋•田家庵区校级期中）如图，已知、是的两边的垂直平分线，它们交于点，、分别交于、，若，则的度数为 　 　． 6．（2023秋•芜湖县期中）如图，，是的垂直平分线，则的度数为　 　． 7．（2022秋•池州期末）如图，中，平分，的中垂线交于点，交于点，连接．若，，则的度数为 　 　． 8．（2023秋•潜山市期末）在中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、，若，则　 　． 9．（2023秋•铜官区校级月考）如图，在中，，分别垂直平分，，且交于，两点，与相交于点． （1）若的周长为8，，则的长为 　　； （2）若，则的度数为 　　． 三．解答题（共5小题） 10．（2023秋•芜湖县期中）如图，在△中，，，的垂直平分线交于点，两垂直平分线交△的边于点，，，，连接，，． （1）求的度数； （2）求证：平分． 11．（2023秋•金安区校级期末）如图所示，若和分别垂直平分和． （1）若的周长为12，求的长； （2），求的度数． 12．（2024秋•庐江县期中）如图，在△中，是的垂直平分线，与边交于点，点在上，且，连接． （1）求证； （2）连接，若，求证． 13．（2023秋•亳州期末）如图，在中，点是边上的一点，连接，垂直平分线段，垂足为，交于点，连接． （1）若，的周长为7，求的周长； （2）若，，求的度数． 14．（2023秋•田家庵区期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线，交于点． （1）求证：点在线段的垂直平分线上； （2）连接，求证：平分； （3）设，其他条件不变时，的度数是 　 　．（用含的代数式表示） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 15.2 线段的垂直平分线（3种题型基础练+能力提升练） 一、线段垂直平分线性质 1．（22-23八年级上·安徽芜湖·期中）直线是线段的垂直平分线，为直线上的一点．已知线段，则线段的长度为 （    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】根据线段的垂直平分线的性质，线段垂直平分线的一点到线段两端距离相等，即可求解． 【详解】解：∵直线是线段的垂直平分线，为直线上的一点． ∴，即的长度为． 故选：A． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的一点到线段两端距离相等． 2．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）如图，是的边的垂直平分线，若的周长为14，，则的长为（    ）    A．5 B．7 C．8 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，解题关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 先根据垂直平分线的性质，证明，再根据周长，进行等量代换即可． 【详解】解：是的边的垂直平分线， ， ，的周长， ， 故选：C． 3．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在中，直线为线段的垂直平分线，交于点，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，熟记相关结论即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵直线为线段的垂直平分线， ∴ 故选：B 4．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，垂直平分，交于点，连接，若，，则的周长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质可得，再根据三角形的周长公式即可得，熟记垂直平分线的性质是解题关键． 【详解】解：垂直平分， ， 则的周长为 故选：C． 5．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）下列命题中，一定是真命题的是（    ） A．三角形的外角大于三角形任何一个内角 B．两边和一角分别相等的两个三角形全等 C．垂直平分线上的点到线段上任意两点距离相等 D．有两个内角互余的三角形是直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查判断命题的真假，主要考查三角形外角的性质，全等三角形的判定，垂直平分线的判定，直角三角形的判定．对于真命题，需要证明，而对于假命题，只需举一个反例即可．因此选项A，B，C可举反例说明是假命题，D选项进行证明． 【详解】A选项：如图，是钝角的外角，明显小于内角； ∴命题“三角形的外角大于三角形任何一个内角”是假命题； B选项：如图，在和中，，，，明显和不全等． ∴命题“两边和一角分别相等的两个三角形全等”是假命题； C选项：如图，直线l是线段的垂直平分线，点P是直线上一点，点D是线段上任意一点，． ∴命题“垂直平分线上的点到线段上任意两点距离相等”是假命题； D选项：如图，在中，与互余， 即， ∴， ∴是直角三角形． ∴命题“有两个内角互余的三角形是直角三角形”是真命题． 故选：D 6．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，垂直于点A，，，，为的垂直平分线，点P为直线上的任意一点，则周长的最小值是 ． 【答案】14 【分析】根据题意知点B关于直线的对称点为点C，故当点P与点D重合时，的最小值，即可得到周长的最小值． 本题考查了轴对称−最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 【详解】解：∵垂直平分， ∴B、C关于对称， 设交于D， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，， ∴周长的最小值是． 故答案为：14． 7．（2024八年级上·安徽·专题练习）如图，已知在中，是的垂直平分线，垂足为E，交于点D，若，则的周长是 ． 【答案】5 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得到，进而推出的周长为的长，即可得出结果． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴． ∴的周长是． 故答案为：5． 8．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，中，，边上的垂直平分线交于D，交于E，分为两部分．若，求的度数． 【答案】 【分析】由垂直平分线的性质可得，即，设，则，根据三角形内角和定理求得x，进而完成解答． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解答本题的关键． 9．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，点是边上的一点，连接，垂直平分线段，垂足为，交于点，连接． (1)若，的周长为7，求的周长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)的周长为； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，熟记相关结论是解题关键． （1）由垂直平分线的性质可得，，据此即可求解； （2）证得，根据即可求解． 【详解】（1）解：是线段的垂直平分线， ，. ， . 的周长为， 的周长为 （2）解：是线段的垂直平分线， . ， . ， . 在和中， ， . 10．（23-24八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，，，，边的垂直平分线交于点，求的周长． 【答案】． 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案， 本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【详解】解：∵边的垂直平分线交于点， ∴， ∴的周长． 二、线段垂直平分线判定 1．已知△ABC中∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，求证：直线AD是CE的垂直平分线．    【答案】见解析 【分析】由于DE⊥AB，易得∠AED=90°=∠ACB，而AD平分∠BAC，易知∠DAE=∠DAC，又因为AD=AD，利用AAS可证△AED≌△ACD，那么AE=AC，而AD平分∠BAC，利用等腰三角形三线合一定理可知AD⊥CE，即得证． 【详解】解：证明：∵DE⊥AB， ∴∠AED=90°=∠ACB， 又∵AD平分∠BAC， ∴∠DAE=∠DAC， ∵AD=AD， ∴△AED≌△ACD（AAS）， ∴AE=AC，DE=DC， ∵AD平分∠BAC， ∴AD⊥CE，且AD平分CE， 即直线AD是线段CE的垂直平分线．    【点睛】本题考查了线段垂直平分的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一定理，解题的关键是证明AE=AC． 2．如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)求证：； (2)直线是线段的垂直平分线吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)直线是线段的垂直平分线，理由见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分的判定； （1）根据全等三角形的判定和性质进行证明即可； （2）根据垂直平分线的判定即可得出证明； 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， （2）是线段的垂直平分线，理由如下： ∵，， ∴在的垂直平分线上， 即是线段的垂直平分线． 3．在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC， 求证：E点在线段AC的垂直平分线上． 【答案】证明见解析 【详解】此题考查三角形中垂直平分线 证明：∵AD是高， ∴  AD⊥BC, 又 BD=DE ∴ AD所在的直线是线段BE的垂直平分线 ∴AB=AE 于是  AB+BD=AE+DE 又 AB+BD=DC ∴ DC=AE+DE  即  DE+EC=AE+DE ∴ EC=AE ∴ 点E在线段AC的垂直平分线上 点评：垂直平分线上的点到线段两段的距离相等． 4．如图，在中，是的中点，于点，于点，. （1）求证：平分. （2）连接，求证：垂直平分. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【分析】（1）由于D是BC的中点，得到BD=CD，在直角三角形中利用HL可证△BDE≌△CDF，得到DE=DF，利用角平分线的判定定理，得到点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC； （2）由△BDE≌△CDF，得到∠B=∠C，即AB=AC，再由，得到AE=AF，根据垂直平分线性质定理的逆定理即可得到结论． 【详解】解：（1）∵是的中点， ∴， 又∵，， ∴ 在与中 ， ∴ ∴， ∴点在的平分线上， ∴平分； （2）如图，连接EF， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分. 【点睛】本题考查了角平分线性质定理的逆定理、垂直平分线性质定理的逆定理，熟练掌握三角形全等的证明是解题的关键． 三、作已知线段的垂直平分线 1．如图，中，边的垂直平分线分别交、于点D、E，，的周长为，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是的垂直平分线，可得，，结合的周长为，即可得到答案； 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴，， ∵的周长为， ∴ ∴的周长为：， 故选B． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质，解题的关键是根据垂直平分线性质及三角形的周长得到． 2．如图，在中，，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于D、E两点，连接AE，若AE平分，求的度数． 【答案】90° 【分析】先由线段垂直平分线的性质及∠B＝30°求出∠BAE＝30°，再由AE平分∠BAC可得出∠EAC＝∠BAE＝30°，由三角形内角和定理即可求出∠C的度数． 【详解】∵DE是线段AB的垂直平分线，∠B＝30°，∴∠BAE＝∠B＝30°． ∵AE平分∠BAC，∴∠EAC＝∠BAE＝30°，即∠BAC＝60°，∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理，熟知线段垂直平分线的性质是解答此题的关键． 3．如图，在△ABC中，AB=AC=8cm，BC=6cm． （1）用尺规作图作腰AC的垂直平分线l（保留作图痕迹，不要求写作法、证明）； （2）若直线l与AB交于点D，连结CD，求△BCD的周长． 【答案】（1）详见解析；（2）14cm. 【分析】（1）根据垂直平分线的作法，直接作出AC的垂直平分线即可； （2）根据垂直平分线的性质得出AD=CD，进而根据CD+BD+BC=AD+BD+BC求出即可． 【详解】（1）如图，直线l为所求的图形； （2）∵l为AC的垂直平分线，∴AD=CD， ∵AB=8cm，BC=6cm， ∴△BCD的周长为：CD+BD+BC=AD+BD+BC=AB+BC=14（cm）． 【点睛】此题主要考查了复杂作图以及垂直平分线的作法和性质等知识，根据垂直平分线的性质得出AD=DC是解题关键． 4．某科技公司研制开发了一种监控违章车辆的电子仪器．如图，有三条两两相交的公路，你认为这个监控仪器安装在什么位置可离三个路口的交叉点的距离相等，以便及时进行监控？ 【答案】见解析 【详解】试题分析：利用垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段的两端距离相等，作任意两条路垂直平分线，交点就到三个路口相等． 解：作法：如图所示，A，B，C代替三个路口． ①连接AB，BC. ②分别作线段AB，BC的垂直平分线交于点P.则点P就是所求作的点． 一．选择题（共4小题） 1．（2023秋•定远县期末）如图，在中，、的垂直平分线分别交于点、，若，则为　　 A． B． C． D． 【分析】由、的垂直平分线分别交于点、，根据线段垂直平分线的性质，即可求得，，即可得，，又由，易求得，继而求得的度数． 【解答】解：、的垂直平分线分别交于点、， ，， ，， ，， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及三角形外角的性质，掌握数形结合思想与整体思想的应用是解题关键． 2．（2023秋•无为市期中）如图，是线段的垂直平分线，则下列结论一定正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据“垂直平分线上的点到两端距离相等”进行解答即可． 【解答】解：是线段的垂直平分线， ， 故正确，符合题意； 、、均不正确，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了垂直平分线的性质，关键是垂直平分线性质定理的应用． 3．（2023秋•太和县期中）如图，是的边的垂直平分线，若的周长为14，，则的长为　　 A．5 B．7 C．8 D．11 【分析】先根据垂直平分线的性质，证明，再根据周长，进行等量代换即可． 【解答】解：是的边的垂直平分线， ， ，的周长， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，解题关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 4．（2024秋•阜阳期中）如图，在中，、分别是线段、的垂直平分线，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得出，，求出，，再求出，再求出答案即可． 【解答】解：， ， 、分别是线段、的垂直平分线， ，， ，， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质等知识点，能根据线段垂直平分线性质得出和是解此题的关键，注意：①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，②等边对等角，③三角形内角和等于． 二．填空题（共5小题） 5．（2023秋•田家庵区校级期中）如图，已知、是的两边的垂直平分线，它们交于点，、分别交于、，若，则的度数为 　 　． 【分析】根据垂直平分线性质：垂直平分线上的点到线段两段的距离相等，可得，，再由等腰三角形性质和三角形内角和即可求解． 【解答】解：、是的两边的垂直平分线， ，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】此题考查了线段的垂直平分线、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握这些性质进行计算是解题的关键． 6．（2023秋•芜湖县期中）如图，，是的垂直平分线，则的度数为　 　． 【分析】据线段垂直平分线得出，求出，代入求出即可． 【解答】解：为的垂直平分线， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的外角性质和线段垂直平分线的应用，关键是求出的度数，题目比较典型，难度适中． 7．（2022秋•池州期末）如图，中，平分，的中垂线交于点，交于点，连接．若，，则的度数为 　 　． 【分析】根据角平分线的性质可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，进而可得，然后可算出的度数． 【解答】解：平分， ， ， ， ， 的中垂线交于点， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 8．（2023秋•潜山市期末）在中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、，若，则　 　． 【分析】当为锐角时，如图1，设，，根据线段垂直平分线性质可得：，，再运用三角形内角和定理即可求得答案．当为钝角时，如图2，根据线段垂直平分线性质可得：，，，再结合三角形内角和定理即可求得答案． 【解答】解：当为锐角时，如图1，设，， ， ，，， 、分别垂直平分、， ，， ， ， ， ； 当为钝角时，如图2， 、分别垂直平分、， ，， ， ， ， ， ； 综上所述，或． 故答案为：或． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 9．（2023秋•铜官区校级月考）如图，在中，，分别垂直平分，，且交于，两点，与相交于点． （1）若的周长为8，，则的长为 　　； （2）若，则的度数为 　　． 【分析】（1）根据中垂线的性质，得到，，推出的周长为，求解即可； （2）三角形的内角和定理，得到，三线合一得到，再根据三角形的内角和定理，求解即可． 【解答】解：（1），分别垂直平分，， ，， 的周长， ； 故答案为：4； （2）， ， ，，，分别垂直平分，， ，， ， ； 故答案为：． 【点评】本题考查中垂线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．本题的综合性较强，正确的识图，从复杂图形中有效的获取等量关系，是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 10．（2023秋•芜湖县期中）如图，在△中，，，的垂直平分线交于点，两垂直平分线交△的边于点，，，，连接，，． （1）求的度数； （2）求证：平分． 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得出，，求出，，求出，即可求出答案； （2）连接，，根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及角平分线的定义即可得到结论． 【解答】（1）解：， ， 边、的垂直平分线分别交边于点、， ，， ，， ， ； （2）证明：连接，， 边、的垂直平分线分别交边于点、， ，， ， ， ，， ，， ， 同理， ， 即平分． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定，三角形内角和定理和四边形内角和，熟练掌握各个知识点是解题的关键． 11．（2023秋•金安区校级期末）如图所示，若和分别垂直平分和． （1）若的周长为12，求的长； （2），求的度数． 【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后求出的周长，代入数据进行计算即可得解； （2）根据等边对等角的性质可得，，根据三角形内角和定理求出，再求解即可． 【解答】解：（1）和分别垂直平分和， ，， 的周长， 的周长为12， ； （2），， ，， ， ， ． 【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，熟记性质是解题的关键． 12．（2024秋•庐江县期中）如图，在△中，是的垂直平分线，与边交于点，点在上，且，连接． （1）求证； （2）连接，若，求证． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和等边对等角的性质，即可解决问题； （2）根据垂直的定义得，所以，，根据，，所以，根据垂直平分线的性质得，所以，所以，即可得出结论． 【解答】（1）证明：是的垂直平分线，点在上， ， ， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质等，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 13．（2023秋•亳州期末）如图，在中，点是边上的一点，连接，垂直平分线段，垂足为，交于点，连接． （1）若，的周长为7，求的周长； （2）若，，求的度数． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，可将的周长转化为的和，据此可解决问题． （2）根据线段垂直平分线的性质，结合等边对等角及外角定理即可解决问题． 【解答】解：（1）因为垂直平分线段， 所以，． 又因为， 所以． 因为的周长为7， 即， 所以， 所以的周长为：． （2）因为垂直平分线段， 所以， 又因为， 所以． 又因为， 所以． 因为， 所以， 所以． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键． 14．（2023秋•田家庵区期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线，交于点． （1）求证：点在线段的垂直平分线上； （2）连接，求证：平分； （3）设，其他条件不变时，的度数是 　 　．（用含的代数式表示） 【分析】（1）连接，，，根据线段垂直平分线的性质可得，即可判定； （2）根据等边对等角和线段垂直平分线的性质即可求解； （3）由线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理和四边形内角和定理进行求解． 【解答】（1）证明：如图，连接，，． 垂直平分，垂直平分， ，， ， 点在线段的垂直平分线上． （2）证明：由（1）知， ， 垂直平分， ，， ，， ， 同理， ，即平分． （3）解：垂直平分，垂直平分， ，，， 设，， ，， 在中，，， ，即， 在四边形中，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定，三角形内角和定理和四边形内角和，熟练掌握各个知识点是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$