第08讲 相似图形（2大考点&题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（苏科版）

第08讲 相似图形 课程标准 学习目标 1 理解相似图形的概念，掌握相似多边形的性质，包括对应边成比例、对应角相等。 2 能运用相似图形的判定条件判断两个图形是否相似，并解决相关的几何证明与计算问题。 3 培养学生利用相似图形知识解决实际生活中如测量高度、宽度等问题的能力，体会数学与生活的紧密联系。 1. 熟知相似图形的定义、相似比的概念，熟悉相似多边形的性质与判定方法。 2. 会灵活运用相似图形的知识进行几何推理、计算未知线段长度和角度大小，能够构建相似模型解决实际问题。 3. 感受相似图形在数学和生活中的广泛存在，激发对几何学习的兴趣和探索欲望。 知识点一、相似形 形状相同的图形是相似形. 1.至少有两个图形，图形的形状完全一样，图形的大小不一定相同； 2.全等形是一种特殊的相似形； 3.相似形与图形的大小、位置无关，与角度和方向也无关. 知识点二、相似多边形 各角分别相等、各边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形. 两个相似多边形可以用符号“∽”表示，读作“相似于”，相似多边形的对应边的比叫做相似比. 1.相似多边形的三个条件：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例； 2.全等多边形得相似比是1，相似比是1的相似多边形是全等多边形； 3.当用符号“∽”表示两个相似图形时，对应点必须写在对应位置. 题型01 相似形的判定 1．观察下列每组图形，是相似图形的是（　　） A． B． C． D． 2．观察下列各组中的两个图形，其中两个图形一定相似的一组是（　　） A． B． C． D． 3．观察下列每组图形，相似图形是（　　） A． B． C． D． 题型02 相似多边形 1．如图，有两个相似的星星图案，则x的值为（　　） A．8 B．10 C．12 D．15 2．下列各组图形中，一定相似的是（　　） A．两个平行四边形 B．两个正方形 C．两个矩形 D．两个菱形 3．如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸． （1）A4纸较长边与较短边的比为　　； （2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由． 1．下列图中，大小图形非相似图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（　　） A．矩形都是相似图形 B．等边三角形都是相似三角形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．边长相等的菱形都相似 3．下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（　　） A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 4．下面两个图形一定相似的是（　　） A．两个等腰三角形 B．两个等腰直角三角形 C．两个菱形 D．两个矩形 5．下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似；⑤所有的圆都相似．其中说法正确的序号是 　 　． 6．如果四边形ABCD的四条边长分别为54cm、48cm、45cm、63cm，另一个和它相似的四边形的最长边长为21cm，那么这个四边形的最短边的长度为 　 　． 7．用4倍的放大镜看一个20°的角，则看出的角的度数是 　 　． 8．如图，四边形ABCD～四边形EFGH，∠A＝80°，∠F＝70°，∠G＝90°，则∠D＝　 　． 9．如图所示的各组中的两个图形，哪些是形状相同的图形？简单说明理由． 10．如图，将下列图形分成四块，使它们的大小、形状完全相同，且与原图形相似，你会分吗？怎样分？ 11．如图左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形，和你的伙伴交流一下，看看谁的方法又快又好． 12．在下面两组图形中，每组的两个三角形相似，试分别确定α，x的值． 13．如图：矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20． （1）如图（1）若沿矩形ABCD四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似吗？请说明理由； （2）如图（2），x为多少时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似？ 14．已知一个面积为S的等边三角形，现将其各边n（n为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如图所示）． （1）当n＝5时，共向外作出了 　 　个小等边三角形，每个小等边三角形的面积为 　 　； （2）当n＝k时，共向外作出了 　 　个小等边三角形，这些小等边三角形的面积和为 　 　（用含k的式子表示）． 15．如果四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形并且相似（不全等），我们就把这条对角线称为“完美对角线”． （1）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝70°，AB＝AD，AD∥BC，当∠ADC＝145°时，求证：对角线BD是四边形ABCD的“完美对角线． （2）如图2，在四边形ABCD中，AC平分∠BCD，当∠BAD与∠BCD满足什么关系时，对角线AC是四边形ABCD的“完美对角线”？请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 相似图形 课程标准 学习目标 1 理解相似图形的概念，掌握相似多边形的性质，包括对应边成比例、对应角相等。 2 能运用相似图形的判定条件判断两个图形是否相似，并解决相关的几何证明与计算问题。 3 培养学生利用相似图形知识解决实际生活中如测量高度、宽度等问题的能力，体会数学与生活的紧密联系。 1. 熟知相似图形的定义、相似比的概念，熟悉相似多边形的性质与判定方法。 2. 会灵活运用相似图形的知识进行几何推理、计算未知线段长度和角度大小，能够构建相似模型解决实际问题。 3. 感受相似图形在数学和生活中的广泛存在，激发对几何学习的兴趣和探索欲望。 知识点一、相似形 形状相同的图形是相似形. 1.至少有两个图形，图形的形状完全一样，图形的大小不一定相同； 2.全等形是一种特殊的相似形； 3.相似形与图形的大小、位置无关，与角度和方向也无关. 知识点二、相似多边形 各角分别相等、各边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形. 两个相似多边形可以用符号“∽”表示，读作“相似于”，相似多边形的对应边的比叫做相似比. 1.相似多边形的三个条件：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例； 2.全等多边形得相似比是1，相似比是1的相似多边形是全等多边形； 3.当用符号“∽”表示两个相似图形时，对应点必须写在对应位置. 题型01 相似形的判定 1．观察下列每组图形，是相似图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案． 【解答】解：A．两图形形状相同，故是相似图形； B．两图形形状不同，故不是相似图形； C．两图形形状不同，故不是相似图形； D．两图形形状不同，故不是相似图形； 故选：A． 【点评】本题主要考查相似图形的定义，掌握相似图形形状相同是解题的关键． 2．观察下列各组中的两个图形，其中两个图形一定相似的一组是（　　） A． B． C． D． 【分析】形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可． 【解答】解：A、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； B、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； C、两个图形形状相同，相似，符合题意． D、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查的是相似形图形，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同． 3．观察下列每组图形，相似图形是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案． 【解答】解：A、两图形形状不同，故不是相似图形； B、两图形形状不同，故不是相似图形； C、两图形形状相同，故是相似图形； D、两图形形状不同，故不是相似图形； 故选：C． 【点评】本题主要考查相似图形的定义，掌握相似图形形状相同是解题的关键． 题型02 相似多边形 1．如图，有两个相似的星星图案，则x的值为（　　） A．8 B．10 C．12 D．15 【分析】利用相似图形的性质得出相似比进而求出即可． 【解答】解：如图所示：两个相似的星星图案的相似比为：15：20＝3：4， 故， 解得：x＝8． 故选：A． 【点评】此题主要考查了相似图形的性质，正确把握相似图形的性质是解题关键． 2．下列各组图形中，一定相似的是（　　） A．两个平行四边形 B．两个正方形 C．两个矩形 D．两个菱形 【分析】根据相似图形的定义，四条边对应成比例，四个角对应相等，对各选项分析判断后利用排除法解答． 【解答】解：A、两个平行四边形不一定相似，故本选项错误； B、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似性定义，故本选项正确； C、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项错误； D、两个菱形，形状不一定相同，故本选项错误． 故选：B． 【点评】本题主要考查了图形相似的判定，熟练掌握矩形、等腰梯形、菱形、正方形的性质是解题的关键，难度适中． 3．如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸． （1）A4纸较长边与较短边的比为　　； （2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由． 【分析】（1）根据折叠的特征可得A4纸的长边与BC重合，即长边为正方形ABDC的对角线，结论可得； （2）根据相似图形的判定解答即可． 【解答】解：（1）如图1， 由折叠过程可以看到：第一次折叠，A与D重合，四边形ABDC为正方形，折痕BC为对角线，由勾股定理可得BCAB；第二次折叠，第一次的折痕与A4纸较长的边重合，即BC与较长边重合．所以，较长边AB． ∴A4纸较长边与较短边的比为：． 故答案为：． （2）A4纸与A5纸是相似图形．理由： ∵A4纸较长边与较短边的比为：， ∴设A4纸较短边的长为a，则较长边为a． ∵由图2可知：A5纸的长边与A4纸的短边重合，短边等于A4纸的长边的一半， ∴A5纸的长边为a，短边为． ∴A5纸的长边与短边的比为：． ∴A4纸较长边与较短边的比＝A5纸的长边与短边的比． 又∵A4纸与A5纸的四个角均为直角， ∴A4纸与A5纸相似． 【点评】此题考查相似图形，关键是根据相似图形的判定和性质解答． 1．下列图中，大小图形非相似图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据相似图形的定义可知． 【解答】解：观察图形可知，A、B、C中的两个图形都是相似图形，D中的两个图形不是相似图形． 故选：D． 【点评】本题考查相似形的定义．形状相同的图形称为相似形． 2．下列说法正确的是（　　） A．矩形都是相似图形 B．等边三角形都是相似三角形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．边长相等的菱形都相似 【分析】各边对应成比例，各角对应相等的多边形是相似多边形，由此即可判断． 【解答】解：A、矩形的长和宽不一定对应成比例，矩形不一定都相似，故A不符合题意； B、等边三角形的三边对应成比例，等边三角形都是相似三角形，故B符合题意； C、多边形各边对应成比例，但多边形的各角不一定对应相等，各边对应成比例的多边形不一定是相似多边形，故C不符合题意； D、菱形的各角不一定对应相等，边长相等的菱形不一定都相似，故D不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查相似图形，关键是掌握相似多边形的判定方法． 3．下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（　　） A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 【分析】如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． 【解答】解：观察可得：甲和丁对应角相等，对应边成比例，且形状相同，大小不同， 故选：D． 【点评】本题主要考查了相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等． 4．下面两个图形一定相似的是（　　） A．两个等腰三角形 B．两个等腰直角三角形 C．两个菱形 D．两个矩形 【分析】根据相似三角形的判定依据等腰直角三角形的性质判断即可． 【解答】解：两个等腰直角三角形一定相似， 故选：B． 【点评】本题考查相似形，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型． 5．下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似；⑤所有的圆都相似．其中说法正确的序号是 　②③⑤　． 【分析】直接利用相似图形的定义得出答案． 【解答】解：①所有的等腰三角形都相似，错误，对应边不一定成比例，对应角不一定相等； ②所有的正三角形都相似，正确； ③所有的正方形都相似，正确； ④所有的矩形都相似，错误，对应边不一定成比例； ⑤所有的圆都相似，正确． 故答案为：②③⑤． 【点评】此题主要考查了相似图形，正确掌握相似图形的定义是解题关键． 6．如果四边形ABCD的四条边长分别为54cm、48cm、45cm、63cm，另一个和它相似的四边形的最长边长为21cm，那么这个四边形的最短边的长度为 　15cm　． 【分析】设这个四边形的最短边的长度为x cm，然后根据相似多边形的性质可得，从而进行计算即可解答． 【解答】解：设这个四边形的最短边的长度为x cm， 由题意得： ， 解得：x＝15， ∴这个四边形的最短边的长度为15cm， 故答案为：15cm． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 7．用4倍的放大镜看一个20°的角，则看出的角的度数是 　20°　． 【分析】角的大小是指两边张开的大小，与两条边的张开程度有关，用放大4倍的放大镜看一个20°的角，也就是把边变长了，而两边张开的大小没变，即角的度数没变， 【解答】解：用一个放大4倍的放大镜看一个20度的角，看到的这个角仍是20度； 故答案为：20°． 【点评】此题主要考查角的大小只与角两边张开的大小，与两条边的张开程度有关，与边的长度无关． 8．如图，四边形ABCD～四边形EFGH，∠A＝80°，∠F＝70°，∠G＝90°，则∠D＝　120°　． 【分析】根据相似多边形的对应角相等求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD～四边形EFGH， ∴∠F＝∠B＝70°，∠G＝∠C＝90°， ∵∠A＝80°， ∴∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝120°， 故答案为：120°． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是理解相似多边形的对应角相等． 9．如图所示的各组中的两个图形，哪些是形状相同的图形？简单说明理由． 【分析】根据相似图形的定义进行判断． 【解答】解：②和③中的两个图形经过放大或缩小得到另一个图形，所以它们的形状相同． 【点评】本题考查了相似图形：把形状相同的图形称为相似图形． 10．如图，将下列图形分成四块，使它们的大小、形状完全相同，且与原图形相似，你会分吗？怎样分？ 【分析】分别取各边的中点，根据要求及原图的形状作图即可． 【解答】解：作图如下： 【点评】本题考查了相似形，根据原图形，作出相似形是解决本题的关键． 11．如图左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形，和你的伙伴交流一下，看看谁的方法又快又好． 【分析】根据相似图形的性质，可放大可缩小，只要相似比相等即可．本题答案不唯一．在此图中我们选择了相似比为2． 【解答】解：本题答案不唯一 【点评】本题主要考查了利用相似多边形的性质，对应边的相似比相等，对应角相等． 12．在下面两组图形中，每组的两个三角形相似，试分别确定α，x的值． 【分析】利用三角形内角和定理以及相似三角形的性质分别求出x，α即可． 【解答】解：图1中，在△ABC中，∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°， ∴α＝50°， ∵△ABC∽△A′B′C′， ∴， ∴， ∴A′C′＝3.78， ∴x＝AC＝3.78． 图2中，∵∠AOB＝∠COD＝60°， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠AOB＝50°， ∴α＝50°， ∵△ABO∽DCO， ∴， ∴， ∴AB＝8， ∴x＝8． 【点评】本题考查相似三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握相似三角形的性质，属于中考常考题型． 13．如图：矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20． （1）如图（1）若沿矩形ABCD四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似吗？请说明理由； （2）如图（2），x为多少时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似？ 【分析】（1）要说明相似只要说明对应边成比例，对应角相等； （2）如果两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似，对应边成比例．就可以求出x的值． 【解答】解：（1）不相似，理由如下： AB＝30，A′B′＝28，BC＝20，B′C′＝18， 而， ∴图中两个矩形不相似； （2）矩形ABCD与A′B′C′D′相似，则， 则：， 解得x＝1.5， 或， 解得x＝9． 综上所述，x＝1.5或9时，图中的两个矩形相似． 【点评】本题主要考查了相似多边形的判定，对应边成比例，对应角相等，两个条件必须同时成立． 14．已知一个面积为S的等边三角形，现将其各边n（n为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如图所示）． （1）当n＝5时，共向外作出了 　9　个小等边三角形，每个小等边三角形的面积为 　S　； （2）当n＝k时，共向外作出了 　3（k﹣2）　个小等边三角形，这些小等边三角形的面积和为 　　（用含k的式子表示）． 【分析】（1）结合图形正确数出前面几个具体值，从而发现等边三角形的个数和等分点的个数之间的关系：是n等分点的时候，每条边可以作（n﹣2）个三角形，共有3（n﹣2）个三角形；再根据相似三角形面积的比是边长的比的平方进行计算． 【解答】解：（1）当n＝5时，共有3×（5﹣2）＝9个小等边三角形， ∴每个小三角形与大三角形边长的比， ∵大三角形的面积是S， ∴每个小三角形的面积为；‘ （2）由（1）可知，当n＝k时，共有3×（k﹣2）＝3（k﹣2），每个小三角形的面积为． 【点评】此题要特别注意画等边三角形的时候，必须以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形，所以有n等分点的时候，一边可以作（n﹣2）个等边三角形；计算面积的时候，主要是根据面积比是边长的平方比进行计算． 15．如果四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形并且相似（不全等），我们就把这条对角线称为“完美对角线”． （1）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝70°，AB＝AD，AD∥BC，当∠ADC＝145°时，求证：对角线BD是四边形ABCD的“完美对角线． （2）如图2，在四边形ABCD中，AC平分∠BCD，当∠BAD与∠BCD满足什么关系时，对角线AC是四边形ABCD的“完美对角线”？请说明理由． 【分析】（1）利用两角对应相等证明△ABD∽△DBC，可得结论． （2）如图2中，当∠BAD∠BCD＝180°时，对角线AC是四边形ABCD的“完美对角线”．证明△ACB∽△DCA，可得结论． 【解答】（1）证明：如图1中， ∵AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠DBC∠ABC＝35°， ∵∠ADC+∠C＝180°，∠ADC＝145°， ∴∠C＝35°， ∴∠ADB＝∠ABD＝∠DBC＝∠C＝35°， ∴△ABD∽△DBC， ∴BD是四边形ABCD的“完美对角线”． （2）解：如图2中，当∠BAD∠BCD＝180°时，对角线AC是四边形ABCD的“完美对角线”． 理由：∵AC平分∠BCD， ∴∠ACB＝∠ACD， ∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°，∠BAD∠BCD＝∠BAC+∠CAD+∠ACB＝180°， ∴∠DAC＝∠B， ∴△ACB∽△DCA， ∴对角线AC是四边形ABCD的“完美对角线”． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，四边形的“完美对角线”的定义等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$