第十四章整式的乘法与因式分解（B卷·培优卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（人教版，江西专用）

第十四章 整式的乘法与因式分解（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．利用平方差公式计算的结果是 A． B． C． D． 2．若的结果中不含x的一次项，则m的值为（    ） A．－3 B．－2 C．0 D．2 3．通过计算大正方形的面积，可以验证的公式是(  ) A． B． C． D． 4．对于任意的底数a，b，当n是正整数时，（ab）n＝＝＝anbn，其中第二步变形的依据是（　　） A．乘方的定义 B．乘法交换律 C．乘法结合律 D．乘法交换律与结合律 5．已知正数a，b满足，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．不能确定 6．计算的值为（   ） A．5048 B．50 C．4950 D．5050 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．已知，则的值是 ． 8．已知，则的值等于 ． 9．已知是一个多项式的完全平方，则m= 10．有6张如图①的长为a，宽为的小长方形纸片，按图②方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则满足的数量关系是 ． 11．对于一个四位自然数N ，其千位数字为a，百位数字为b ，十位数字为c，个位数字为d ， 各个数位上的数字均不相同且均不为0．将自然数N的千位数字和个位数字组成一个两位数，记为A；百位数字和十位数字组成另一个两位数字 ，记为B，若A与B的和等于N的千位数字与百位数字之和的11倍，则称N为“坎数”．例如：6345，，，，， 所以6345是“坎数”．若N为“坎数”，且，当为9的倍数时，则所有満足条件的N的最大值为 ． 12．矩形内放入两张边长分别为a和的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分面积为；按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为，已知， ，设，则 ．    三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．已知a2+ab=4，ab﹣b2=﹣3，求下列代数式的值． （1）a2+b2 （2）a2+2ab﹣b2． 14．计算与因式分解 (1)； (2)． (3)； (4)． 15．先化简，再求值：，其中，． 16．分解因式：. 17．对定义一种新运算：．如：． (1)计算：__________． (2)计算：． (3)计算：． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”，如：，，……因此8、16、24这三个数都是奇特数. (1)56是奇特数吗？为什么？ (2)设两个连续奇数为和 (其中n取正整数)，由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？ 19．如图1所示的正方形，我们可以利用两种不同的方法计算它的面积，从而得到完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2． 请你结合以上知识，解答下列问题： (1)写出图2所示的长方形所表示的数学等式 　　． (2)根据图3得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝38，求a2+b2+c2的值． (3)小华同学用图4中x张边长为a的正方形纸片，y张边长为b的正方形纸片，z张边长拼出一个为面积为（2a+3b）（6a+5b）的长方形，求代数式x+y+z的值． 20．一个两位数M，若将十位数字2倍的平方与个位数字的平方的差记为数N，当N＞0时，我们把N放在M的右边将所构成的新数叫做M的“叠加数”． 例如：M＝47，∵N＝(2×4)2－72＝15>0，∴47的“叠加数”为4715； 　　　M＝26，∵N＝(2×2)2－62＝－20＜0，∴26没有“叠加数”． (1)请判断3420和5846是否为某个两位数的“叠加数”，并说明理由； (2)两位数M＝10a＋b（1≤a≤9,1≤b≤4，且a、b均为整数）有“叠加数”，且12a－M－N能被13整除，求所有满足条件的两位数M的“叠加数”． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．【阅读材料】 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8． 原式＝a2+6a+9－1＝(a+3) 2－1＝(a+3－1)( a+3+1)＝(a+2)(a+4) ②求x2+6x+11的最小值． 解：x2+6x+11＝x2+6x+9+2＝(x+3) 2+2； 由于(x+3) 2≥0， 所以(x+3) 2+2≥2， 即x2+6x+11的最小值为2． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+　 　； (2)用配方法因式分解：a2－12a+35； (3)用配方法因式分解：x4+4； (4)求4x2+4x+3的最小值． 22．阅读材料：材料一：对于任意一个正整数n，若n能够被5整除，则n的个位数字是0或5；若n能被3整除，则n的各位数字之和是3的倍数． 材料二：对于任意一个三位正整数m，我们都可以表示为m＝100a+10b+c（其中1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，且a，b，c为整数）．若m的百位数字与个位数字之和减去十位数字的差为7，则我们称这个三位数m是“梦想数”． （1）请直接写出200以内的所有“梦想数”； （2）若m既能被3整除，又能被5整除，求符合条件的“梦想数”m． 六、解答题（本大题共12分） 23．探索题：；；；… 根据前面的规律，回答下列问题： （1）______． （2）当时，______． （3）求：的值（请写出解题过程）． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十四章 整式的乘法与因式分解（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．利用平方差公式计算的结果是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平方差公式是（a+b）（a-b）=a2-b2. 【详解】解：， 故选择C. 【点睛】本题考查了平方差公式，应牢记公式的形式. 2．若的结果中不含x的一次项，则m的值为（    ） A．－3 B．－2 C．0 D．2 【答案】D 【分析】先展开乘积式，再根据结果不含x的一次项，即x一次项系数为0，求m值即可． 【详解】解： =x2-2x+mx-2m =x2+(m-2)x-2m， ∵结果不含x的一次项， ∴m-2=0， 解得：m=2， 故选：D． 【点睛】题考查多项式乘多项式，理解不含x的一次项就是一次项系数为0是求解本题的关键． 3．通过计算大正方形的面积，可以验证的公式是(  ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据大正方形的面积=3个小正方形的面积+6个矩形的面积，分别计算出结果，即可得答案. 【详解】∵大正方形的面积=3个小正方形的面积+6个矩形的面积， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，明确大正方形的面积=3个小正方形的面积+6个矩形的面积是解题关键． 4．对于任意的底数a，b，当n是正整数时，（ab）n＝＝＝anbn，其中第二步变形的依据是（　　） A．乘方的定义 B．乘法交换律 C．乘法结合律 D．乘法交换律与结合律 【答案】D 【分析】根据运用积的乘方的运算律的推导过程即可完成解答。 【详解】解：回顾积的乘方的运算律的推导过程以及利乘法的交换律和结合律的定义，即可发现第二步的依据是乘法交换律与结合律，故答案为D． 【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方和运算律，掌握运算律的推导过程和各种运算律的定义是解题的关键. 5．已知正数a，b满足，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了提取公因式、完全平方式进行因式分解以及非负数的性质等知识点，正确进行因式分解成为解题的关键． 先将，通过提取公因式、运用完全平方式、添加项转化为．再根据a、b均为正数以及非负数的性质，得到，进而解出a、b的值，代入求得结果． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵a、b均为正数， ∴， ∴，即，解得或（不合题意，舍去）， ∴． 故选：B． 6．计算的值为（   ） A．5048 B．50 C．4950 D．5050 【答案】D 【分析】把所求的式子的第一项与最后一项结合，第二项与倒数第二项结合，依次结合了50组，把结合后的偶次项提取-1，然后分别运用平方差公式变形，提取101后得到25个2相加，从而计算出结果． 【详解】解：1002-992+982-972+…+22-12 =（1002-12）-（992-22）+（982-32）-…+（522-492）-（512-502） =（100+1）（100-1）-（99+2）（99-2）+（98+3）（98-3）-…+（52+49）（52-49）-（51+50）（51-50） =101×99-101×97+101×95-…+101×3-101×1 =101×（99-97+95-…+3-1） =101×（2+2+…+2） =101×25×2 =5050． 故答案为：D. 【点睛】此题考查了平方差公式的运用，技巧性比较强，要求学生多观察式子的特点，注意结合的方法，找到第一项与最后一项结合，第二项与倒数第二项结合，依此类推的结合方法是解本题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】依据题意，由得，再代入进而可以得解． 【详解】解：， ． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题时要熟练掌握并理解． 8．已知，则的值等于 ． 【答案】12 【分析】已知第一个等式左边利用完全平方公式展开，将ab的值代入即可求出所求式子的值． 【详解】解：（a+b）2=a2+2ab+b2=9， 将代入得：a2+b2=12． 故答案为：12． 【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 9．已知是一个多项式的完全平方，则m= 【答案】0或6 【分析】根据完全平方的形式解题即可． 【详解】由题意得， ∴－2（m-3）x=2（ 3）x， 解得：m=6或m=0， 故答案为：0或6． 【点睛】此题考查完全平方式的理解和运用，注意中间项． 10．有6张如图①的长为a，宽为的小长方形纸片，按图②方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则满足的数量关系是 ． 【答案】a=2b 【分析】分别表示出左上角和右下角部分的面积，表示出它们的差，根据差与BC无关得到结果． 【详解】设左上角的长方形的长为AE，则宽为AF=a，右下角长方形的长为PC，则宽为2b， ∵AD=BC， 即AE+ED=AE+4b，BC=BP+PC=a+PC， ∴AE+4b=a+PC， ∴AE=a-4b+PC， ∴阴影部分面积差为：AE·a-PC·2b=a（a-4b+PC）-2bPC=（a-2b）PC+a2-4ab, ∵面积差与PC无关， 故a-2b=0， 所以a=2b， 故答案为a=2b． 【点睛】本题考查整式的混合运算，解题的关键是列出面积差的代数式． 11．对于一个四位自然数N ，其千位数字为a，百位数字为b ，十位数字为c，个位数字为d ， 各个数位上的数字均不相同且均不为0．将自然数N的千位数字和个位数字组成一个两位数，记为A；百位数字和十位数字组成另一个两位数字 ，记为B，若A与B的和等于N的千位数字与百位数字之和的11倍，则称N为“坎数”．例如：6345，，，，， 所以6345是“坎数”．若N为“坎数”，且，当为9的倍数时，则所有満足条件的N的最大值为 ． 【答案】8154 【分析】根据“坎数”的定义可以得到，可得出，根据当为9的倍数，且a、b、c、d都是小于10的自然数，所以可知，则可知，，故，则最大的值为，，即可求解． 【详解】解：根据“坎数”的定义可以得到， ∴， ∵为9的倍数，且a、b、c、d都是小于10的自然数，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 当，时，N有最大值， ∴， ∴N的最大值为8154， 故答案为：8154． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，通过给出的“坎数”的定义求出对应的各个数位的数字的关系，通过给出的式子，求出对应的数字的结果，从而求出最后的解． 12．矩形内放入两张边长分别为a和的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分面积为；按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为，已知， ，设，则 ．    【答案】7 【分析】利用面积的和差表示出，根据图①与图②分别表示出矩形的面积，进而得到，从而求解． 【详解】解：由， 可得：， 由图①得：， 由图②得：， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．已知a2+ab=4，ab﹣b2=﹣3，求下列代数式的值． （1）a2+b2 （2）a2+2ab﹣b2． 【答案】（1）7；（2）1 【分析】（1）已知两式相减即可求出所求代数式的值； （2）已知两式相加即可求出所求代数式的值． 【详解】解：（1）∵①，②， ∴①−②得：； （2）∵①，②， ∴①＋②得：． 【点睛】本题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 14．计算与因式分解 (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的混合运算和因式分解，解题关键是熟练运用整式乘法法则和乘法公式进行计算． （1）运用多项式除以单项式的法则解题即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式解题即可； （3）先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可； （4）运用平方差公式因式分解，直到每个因式不能分解为止． 【详解】（1）解： （2）解： （3） （4） 15．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式化简求值，先根据整式混合运算法则进行化简，然后再将数据代入求值即可． 【详解】解： ， 把，代入得： 原式． 16．分解因式：. 【答案】 【分析】首先去括号，再重新分组为m2n2+2mn+1与（n2+m2-2mn），再利用公式法分解因式即可． 【详解】解：原式=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn =（m2n2+2mn+1）-（m2-2mn+n2） =（mn+1）2-（m-n）2 =（mn+m-n+1）（mn-m+n+1）. 【点睛】此题考查了分组分解法分解因式以及二次三项式的分解因式，本题没有公因式可提取，又不能直接应用公式，因而考虑用拆项法制造分组分解的条件.拆项法是因式分解中一种技巧性较强的方法，它通常是把多项式中的某一项拆成几项，再分组分解， 17．对定义一种新运算：．如：． (1)计算：__________． (2)计算：． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查新定义运算，涉及整式加减乘法运算，读懂题意，准确掌握新定义的运算法则是解决问题的关键． （1）根据新定义运算法则，代值求解即可得到答案； （2）根据新定义运算法则，利用整式乘法运算及整式加减运算法则计算即可得到答案； （3）根据新定义运算法则，利用整式乘法运算及整式加减运算法则计算即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”，如：，，……因此8、16、24这三个数都是奇特数. (1)56是奇特数吗？为什么？ (2)设两个连续奇数为和 (其中n取正整数)，由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？ 【答案】（1）是（2）两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数，理由见分析 【分析】（1）根据56=152-132进行判断． （2）利用平方差公式计算（2n+1）2-（2n-1）2=（2n+1+2n-1）（2n+1-2n+1）=4n•2=8n，得到两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数． 【详解】详解：（1）56这个数是奇特数．因为56=152-132． （2）两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数．理由如下： （2n+1）2-（2n-1）2=（2n+1+2n-1）（2n+1-2n+1）=4n•2=8n． 【点睛】本题考查了平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）．也考查了代数式的变形能力． 19．如图1所示的正方形，我们可以利用两种不同的方法计算它的面积，从而得到完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2． 请你结合以上知识，解答下列问题： (1)写出图2所示的长方形所表示的数学等式 　　． (2)根据图3得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝38，求a2+b2+c2的值． (3)小华同学用图4中x张边长为a的正方形纸片，y张边长为b的正方形纸片，z张边长拼出一个为面积为（2a+3b）（6a+5b）的长方形，求代数式x+y+z的值． 【答案】(1)（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2 (2)24 (3)55 【分析】（1）根据正方形的面积＝各举行的面积之和求解即可． （2）根据图（3）对应的结论进行求解． （3）拼成的长方形面积为（2a+3b）（6a+5b）＝12a2+28ab+15b2，对比小正方形和小长方形面积即可求出x，y，z的值． 【详解】（1）拼成的大矩形面积之和＝（a+b）（a+2b）， 各个小图形面积之和＝a2+3ab+2b2， ∴图2所表示的数学等式是（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2． 故答案为：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2． （2）图（3）中大正方形的面积＝（a+b+c）2， 各个小图形面积之和＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， ∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc． ∵a+b+c＝10，ab+ac+bc＝38． ∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc＝102， 即a3+b2+c2+2（ab+ac+bc）＝100， ∴a2+b2+c2＝100﹣2×38＝24． （3）大长方形的面积为（2a+3b）（6a+5b）＝12a2+10ab+18ab+15b2＝12a2+28ab+15b2， 小图形的面积分别为a2，b2，ab， ∴x＝12，y＝15，z＝28． ∴x+y+z＝12+15+28＝55． 【点睛】本题考查了多项式乘法与图形面积，掌握多项式的乘法是解题的关键． 20．一个两位数M，若将十位数字2倍的平方与个位数字的平方的差记为数N，当N＞0时，我们把N放在M的右边将所构成的新数叫做M的“叠加数”． 例如：M＝47，∵N＝(2×4)2－72＝15>0，∴47的“叠加数”为4715； 　　　M＝26，∵N＝(2×2)2－62＝－20＜0，∴26没有“叠加数”． (1)请判断3420和5846是否为某个两位数的“叠加数”，并说明理由； (2)两位数M＝10a＋b（1≤a≤9,1≤b≤4，且a、b均为整数）有“叠加数”，且12a－M－N能被13整除，求所有满足条件的两位数M的“叠加数”． 【答案】(1)3420是34的“叠加数”； 5846不是58的“叠加数”； (2)71195或83247或5484或62140． 【分析】（1）根据“叠加数”定义计算验证即可， （2）根据“叠加数”将12a－M－N转化为关于a、b的代数式，再分解因式，结合12a－M－N能被13整除以及a、b的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：M＝34，∵N＝(2×3)2－42＝20>0，∴34的“叠加数”为3420； 　　　M＝58，∵N＝(2×5)2－82＝36＜0，∴58的“叠加数”为5836； ∴3420是34的“叠加数”； 5846不是58的“叠加数”； （2）解：∵M＝10a＋b， ∴N＝(2a)2－b2， ∴12a－M－N； ， ， ， ∵12a－M－N能被13整除，1≤a≤9,1≤b≤4，且a、b均为整数； ∴和至少有一个能被13整除， ∵1≤a≤9，1≤b≤4， ∴2≤≤17，-21≤≤-2， 当=13时，a=7，b=1或a=8，b=3； 当=-13时，a=5，b=4或a=5，b=2， 当a=7，b=1时，M的叠加数为71195； 当a=8，b=3时，M的叠加数为83247； 当a=5，b=4时，M的叠加数为5484； 当a=6，b=2时，M的叠加数为62140． 综上，满足条件的两位数M的“叠加数”为71195或83247或5484或62140． ∴或， 当时， 若，则 ，，其“叠加数”为71224； 若，则 ，，其“叠加数”为83247； 当时， 若，则 ，，其“叠加数”为5296； 若，则 ，，其“叠加数”为4448； 故满足条件的两位数M的“叠加数”为71224、83247、5296、4448． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题关键是读懂题目理解“叠加数”的定义．解问题（2）要注意整除实际上时分解因式后有一个因式等于13或是13的整数倍． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．【阅读材料】 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8． 原式＝a2+6a+9－1＝(a+3) 2－1＝(a+3－1)( a+3+1)＝(a+2)(a+4) ②求x2+6x+11的最小值． 解：x2+6x+11＝x2+6x+9+2＝(x+3) 2+2； 由于(x+3) 2≥0， 所以(x+3) 2+2≥2， 即x2+6x+11的最小值为2． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+　 　； (2)用配方法因式分解：a2－12a+35； (3)用配方法因式分解：x4+4； (4)求4x2+4x+3的最小值． 【答案】(1)；(2) ；(3) ；(4) 【分析】(1)由 从而可得答案； (2)由化为两数的平方差，再利用平方差公式分解，从而可得答案； (3)由化为两数的平方差，再利用平方差公式分解即可； (4)由 化为一个非负数与一个常数的和，再利用非负数的性质求解最小值即可． 【详解】解：(1) 故答案为： (2) (3) (4) 的最小值是 【点睛】本题考查的是配方法的应用，同时考查了完全平方公式与平方差公式，掌握用配方法分解因式，求最值是解题的关键． 22．阅读材料：材料一：对于任意一个正整数n，若n能够被5整除，则n的个位数字是0或5；若n能被3整除，则n的各位数字之和是3的倍数． 材料二：对于任意一个三位正整数m，我们都可以表示为m＝100a+10b+c（其中1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，且a，b，c为整数）．若m的百位数字与个位数字之和减去十位数字的差为7，则我们称这个三位数m是“梦想数”． （1）请直接写出200以内的所有“梦想数”； （2）若m既能被3整除，又能被5整除，求符合条件的“梦想数”m． 【答案】（1）106，117，128，139；（2）810，315，645，975 【分析】（1）由于是200以内的所有“梦想数”，则a＝1； （2）m既能被3整除，又能被5整除，可得c＝0时，a﹣b＝7，a+b＝3或a+b＝6或a+b＝9或a+b＝12或a+b＝15或a+b＝18；当c＝5时，a﹣b＝2，a+b＝1或a+b＝4或a+b＝7或a+b＝10或a+b＝13或a+b＝16；分别求出a与b即可． 【详解】解：（1）∵200以内的所有“梦想数”， ∴a＝1， ∴符合条件的“梦想数”有106，117，128，139； （2）∵m能被5整除， ∴c＝0或c＝5， 当c＝0时，a﹣b＝7， 当c＝5时，a﹣b＝2， ∵m能被3整除， ∴a+b+c是3的倍数， 当c＝0时，a+b是3的倍数， ∴a+b＝3或a+b＝6或a+b＝9或a+b＝12或a+b＝15或a+b＝18； 当c＝5时，a+b+5是3的倍数， ∴a+b＝1或a+b＝4或a+b＝7或a+b＝10或a+b＝13或a+b＝16； ①当c＝0时，a＝7+b，则a+b＝7+2b， ∴a＝8，b＝1； ②当c＝5时，a＝b+2，则a+b＝2+2b， ∴a＝3，b＝1或a＝6，b＝4或a＝9，b＝7； ∴符合条件的“梦想数”m有810，315，645，975． 【点睛】本题考查因式分解的应用；理解题意，由条件得到满足a、b、c之间的代数式，然后再进行求解是解题的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23．探索题：；；；… 根据前面的规律，回答下列问题： （1）______． （2）当时，______． （3）求：的值（请写出解题过程）． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析，． 【分析】（1）根据所给的四个等式归纳规律解答即可； （2）把x=3，n=20119代入（1）中的等式求值即可； （3）根据（1）中得到的规律，在所求的代数式前添加（2-1），然后再计算即可． 【详解】解：（1）由所给的四个等式，可归纳出： ； 故答案为：； （2）当时，； 故答案为：； （3）当时，， ∴． 【点睛】本题考查了平方差公式，乘方的末位数字的规律，根据所给等式归纳出规律是解答本题的关键． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$