第十四章整式的乘法与因式分解（A卷·提升卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（人教版，江西专用）

第十四章 整式的乘法与因式分解（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．下列运算结果是的是（　　） A． B． C． D． 2．下列多项式不能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 3．如图通过将左图裁剪、用两块梯形拼接成右图，体现了什么数学公式（　　） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．a（a+b）＝a2+ab D．（a+b）2＝a2+2ab+b2 4．若2x﹣3y2＝3，则1﹣x+y2的值是（　　） A．﹣2 B．﹣ C． D．4 5．计算（﹣2x2y）2的结果是（　　） A．﹣2x4y2 B．4x4y2 C．﹣4x2y D．4x4y 6．已知的计算结果中不含的项，则m的值为（    ） A．6 B． C． D．0 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．分解因式： ． 8．已知a﹣＝2，则a2+的值为 ． 9．若是一个完全平方式，则m= . 10．已知x＋y＝3，且（x＋2）（y＋2）＝12，则x2＋3xy＋y2的值为 ． 11．已知实数a，b满足，则= ． 12．按下面的程序计算，若开始输入的值为，则输出的值为 ． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13． 14． 15．分解因式： （1） （2） 16．已知：的展开式中不含项和项，求、的值． 17．先化简，再求值：(m﹣2n)(m+2n)﹣(m﹣n)2﹣n(m﹣3n)，其中m、n满足|m﹣2|+(n+1)2＝0． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．某种植基地有一块长方形和一块正方形实验田，长方形实验田每排种植（3a﹣b）株豌豆幼苗，种植了（3a＋b）排，正方形实验田每排种植（a＋b）株豌豆幼苗，种植了（a＋b）排，其中a＞b＞0． (1)正方形实验田比长方形实验田少种植豌豆幼苗多少株？ (2)当a＝5，b＝2时，该种植基地这两块实验田一共种植了多少株豌豆幼苗？ 19．数学活动课上，老师准备了如图1的一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形．    (1)图2中的阴影部分正方形的边长是______（用含a，b的代数式表示）； (2)观察图1，图2，请写出，，ab之间的等量关系是：______ (3)已知，，求的值． 20．将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 例如，求代数式的最小值． 解：原式． ∵， ∴． ∴当时，的最小值是2 (1)在横线上添加一个常数项，使代数式成为完全平方式； (2)请仿照上面的方法求代数式的最小值； (3)已知的三边a，b，c满足，，．求的周长． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．下面是聪聪同学进行整式运算的过程，请你认真阅读并完成相应任务． 计算： 解：原式…第一步 ⋯第二步 ⋯第三步 任务一： （1）①以上解题过程中，第一步需要依据 和 公式进行运算． ②第 步开始出现错误，这一步出现错误的原因是 ． 任务二： （2）请直接写出本题的正确结果． 22．材料一：一个整数的各个数位上的数字之和能被9整除，则这个整数能被9整除； 材料二：已知一个各位数字都不为零的四位数，百位和十位上的数字之和是千位和个位上的数字之和的两倍，则称这个四位数为“双倍数”．将这个“双倍数”的各位数字颠倒过来就变成新的“双倍数”，记． 例如，，所以2461不是“双倍数”：，，所以2685是“双倍数”， ， （1）判断2997，6483是否为“双倍数”，并说明理由； （2）若，均为“双倍数”，的千位数字是5，个位数字大于2，的百位数字是7，且能被9整除，是完全平方数，求的最大值． 六、解答题（本大题共12分） 23．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解：， 因为，所以． 当时，．因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】 已知代数式，则的最小值为______； (2)【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米，米，乙菜地的两边长分别是米，米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； (3)【拓展升华】 如图，中，，点分别是线段和上的动点，点从点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动，设运动的时间为秒，请直接写出的面积最大值． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十四章 整式的乘法与因式分解（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．下列运算结果是的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法的运算法则分别求出每个式子的值，再判断即可． 【详解】解：A、a与2不是同类项不能合并，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、与a不是同类项不能合并，不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键． 2．下列多项式不能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式和完全平方公式的特征判断即可． 【详解】解：A、-x2+y2=（y+x）（y-x），故该选项不符合题意； B、-y2-2xy-x2=-（y+x）2，故该选项不符合题意； C、x2-2xy+y2=（x-y）2，故该选项不符合题意； D、x2+y2，不能用公式法分解，故该选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式和完全平方公式的特征是解题的关键． 3．如图通过将左图裁剪、用两块梯形拼接成右图，体现了什么数学公式（　　） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．a（a+b）＝a2+ab D．（a+b）2＝a2+2ab+b2 【答案】A 【分析】首先根据左图计算出左图的面积，然接下来求得右图的面积；最后依据左图和右图的面积相等列出等式即可. 【详解】如图通过将左图裁剪、用两块梯形拼接成右图，体现了的公式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故选A． 【点睛】本题是一道利用图形面积验证平方差公式的题目，根据图形的面积不变列出等式是解题的关键； 4．若2x﹣3y2＝3，则1﹣x+y2的值是（　　） A．﹣2 B．﹣ C． D．4 【答案】B 【分析】将已知等式变形为x-y2=，再代入到原式=1-（x-y2）计算可得． 【详解】∵2x﹣3y2＝3， ∴x﹣y2＝， 则原式＝1﹣（x﹣y2） ＝1﹣ ＝﹣， 故选：B． 【点睛】此题考查代数式的求值，解题的关键是掌握整体代入思想的运用． 5．计算（﹣2x2y）2的结果是（　　） A．﹣2x4y2 B．4x4y2 C．﹣4x2y D．4x4y 【答案】B 【详解】直接利用积的乘方运算法则得（﹣2x2y）2=(-2) 2·(x2) 2·y2=4x4y2， 故选B. 6．已知的计算结果中不含的项，则m的值为（    ） A．6 B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式的运算法则是解题关键．先计算多项式乘以多项式，再根据计算结果中不含的项可得含的项的系数等于0，据此求解即可得． 【详解】解： ， ∵的计算结果中不含的项， ， 解得， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因数3进行分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8．已知a﹣＝2，则a2+的值为 ． 【答案】 【分析】根据完全平方公式的变形公式即可求得答案． 【详解】解：∵a﹣＝2， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟记完全平方公式的几个变形公式是解题的关键． 9．若是一个完全平方式，则m= . 【答案】15或-9 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到结果． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴m-3=±12， 解得：m=15或-9， 故答案为15或-9． 【点睛】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 10．已知x＋y＝3，且（x＋2）（y＋2）＝12，则x2＋3xy＋y2的值为 ． 【答案】11 【详解】∵（x＋2）（y＋2）＝12， ， ． ， ， ． ． 故答案为11 11．已知实数a，b满足，则= ． 【答案】8 【分析】利用完全平方公式得到＝（a−b）2，然后把足a−b＝-4代入计算即可． 【详解】＝=（a−b）2＝×(-4)2＝8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了完全平方公式：：（a±b）2＝a2±2ab＋b2．把原式适当变形是解答此题的关键. 12．按下面的程序计算，若开始输入的值为，则输出的值为 ． 【答案】 【分析】把代入程序计算，进行判断按题目要求输入下一级运算． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算、代数式求值，掌握有理数混合运算顺序是解题关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13． 【答案】 【分析】先计算积的乘方，再根据单项式乘以多项式法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查整式的混合运算，能灵活运用知识点进行化简是解题的关键． 14． 【答案】 【分析】原式看成分子为1的分数，分子和分母同时乘以，再利用平方差公式依次计算即可． 【详解】解：原式 【点睛】本题考查利用平方差公式计算．能将原式变形，凑成平方差公式是解题关键． 15．分解因式： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可； （2）原式提取-1，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）原式 （2）原式 ． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 16．已知：的展开式中不含项和项，求、的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解二元一次方程组等知识点，熟练掌握运算法则，正确表示出项和项的系数是解题的关键． 首先利用多项式乘多项式计算的展开式，然后根据已知条件“展开式中不含项和项”得出关于、的二元一次方程组，解方程组即可求得、的值． 【详解】解： ， 展开式中不含项和项， ， 解得：， ，． 17．先化简，再求值：(m﹣2n)(m+2n)﹣(m﹣n)2﹣n(m﹣3n)，其中m、n满足|m﹣2|+(n+1)2＝0． 【答案】mn-2n2；﹣4 【分析】先根据整式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由非负数的性质得出m、n的值，继而代入计算可得． 【详解】解：原式＝m2﹣4n2-m2+2mn-n2﹣mn+3n2 ＝mn-2n2 ∵m，m满足|m﹣2|+（n+1）2＝0， ∴m＝2、n＝﹣1， 则原式＝2×（﹣1）﹣2×（﹣1）2 ＝﹣2﹣2 ＝﹣4． 【点睛】本题主要考查整式的化简求值，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．某种植基地有一块长方形和一块正方形实验田，长方形实验田每排种植（3a﹣b）株豌豆幼苗，种植了（3a＋b）排，正方形实验田每排种植（a＋b）株豌豆幼苗，种植了（a＋b）排，其中a＞b＞0． (1)正方形实验田比长方形实验田少种植豌豆幼苗多少株？ (2)当a＝5，b＝2时，该种植基地这两块实验田一共种植了多少株豌豆幼苗？ 【答案】(1)（8a2－2ab－2b2）株 (2)270株 【分析】（1）分别求出正方形实验田和长方形实验田种植豌豆幼苗的株数，列式让长方形实验田种植豌豆幼苗的株数减去正方形实验田种植豌豆幼苗的株数即可； （2）先列式求出正方形实验田和长方形实验田种植豌豆幼苗的总株数，把a＝5，b＝2代入最简式子计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得，（3a－b）（3a＋b）－（a＋b）2＝8a2－2ab－2b2， 答：正方形实验田比长方形实验田少种植豌豆幼苗（8a2－2ab－2b2）株； （2）由题意可得，（3a－b）（3a＋b）＋（a＋b）2＝10a2＋2ab， 当a＝5，b＝2时，10a2＋2ab＝270， 答：该种植基地这两块实验田一共种植了270株豌豆幼苗． 【点睛】本题考查了整式的乘法的应用，乘法公式，解题的关键是弄清题意，列出式子，乘法公式的熟练计算． 19．数学活动课上，老师准备了如图1的一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形．    (1)图2中的阴影部分正方形的边长是______（用含a，b的代数式表示）； (2)观察图1，图2，请写出，，ab之间的等量关系是：______ (3)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据图2即可得到答案； （2）大正方形的面积减去4个长方形的面积等于小正方形的面积，由此列等式即可； （3）根据可得答案． 【详解】（1）解：由图2可知阴影部分正方形的边长是， 故答案为：； （2）解：大正方形的面积为：，小正方形的面积为：，长方形的面积为：， 由图2可知，大正方形的面积减去4个长方形的面积等于小正方形的面积， 因此， 故答案为：； （3）解：，， ， 又， ， ． 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题的关键． 20．将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 例如，求代数式的最小值． 解：原式． ∵， ∴． ∴当时，的最小值是2 (1)在横线上添加一个常数项，使代数式成为完全平方式； (2)请仿照上面的方法求代数式的最小值； (3)已知的三边a，b，c满足，，．求的周长． 【答案】(1)25 (2) (3)9 【分析】（1）根据完全平方式的特点可知当二次项系数为1时，常数项是一次项系数一半的平方，由此即可得到答案； （2）根据题干解题过程进行求解即可； （3）由，，可得，，再化简即可得a，b，c，进而得周长； 【详解】（1）解：由题意得，常数项为， 故答案为：25； （2）解：原式． ∵， ∴． ∴当时，的最小值是； （3）解：∵，，， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴的周长为：． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，正确理解题意是解题的关键． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．下面是聪聪同学进行整式运算的过程，请你认真阅读并完成相应任务． 计算： 解：原式…第一步 ⋯第二步 ⋯第三步 任务一： （1）①以上解题过程中，第一步需要依据 和 公式进行运算． ②第 步开始出现错误，这一步出现错误的原因是 ． 任务二： （2）请直接写出本题的正确结果． 【答案】（1）①平方差公式；完全平方  ②一；完全平方公式使用错误  （2） 【分析】本题考查整式的运算： （1）①利用乘法公式作答即可；②第一步出现错误，完全平方公式运用错误； （2）根据乘法公式进行计算即可． 【详解】解： （1）①以上解题过程中，第一步需要依据平方差公式和完全平方公式进行运算． 故答案为：平方差公式，完全平方； ②第一步开始出现错误，这一步出现错误的原因是完全平方公式使用错误． 故答案为：一；完全平方公式使用错误； （2）原式． 22．材料一：一个整数的各个数位上的数字之和能被9整除，则这个整数能被9整除； 材料二：已知一个各位数字都不为零的四位数，百位和十位上的数字之和是千位和个位上的数字之和的两倍，则称这个四位数为“双倍数”．将这个“双倍数”的各位数字颠倒过来就变成新的“双倍数”，记． 例如，，所以2461不是“双倍数”：，，所以2685是“双倍数”， ， （1）判断2997，6483是否为“双倍数”，并说明理由； （2）若，均为“双倍数”，的千位数字是5，个位数字大于2，的百位数字是7，且能被9整除，是完全平方数，求的最大值． 【答案】（1）2997是“双倍数”，6483不是“双倍数”；理由见解析；（2）的最大值7791． 【分析】（1）利用题干中“双倍数”定义计算即可求解； （2）设s的个位数字是d，十位数字是c，则百位数字是10+2d-c（d＞2），可得s=5000+100（10+2d-c）+10c+d且5+10+2d-c+d+c=15+3d能被9整除，依此可得d=4或d=7，利用“双倍数”的定义和F（m）的公式，分类讨论计算出F（s）和F（t），依据已知和数位上数字的特征计算后，比较大小，取最大值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴2997是“双倍数”， ∵， ∴6483不是“双倍数”； （2）设s的个位数字是d，十位数字是c，则百位数字是10+2d-c（d＞2）， ∴s=5000+100（10+2d-c）+10c+d且5+10+2d-c+d+c=15+3d能被9整除， ∵d＞2， ∴d=4或d=7， ①d=4时，有10+2d=2×（5+4）=18， ∴此时十位数，百位数均为9， ∴s=5994，s′=4995， F（s）=（s+s′）÷111=99， 设t=1000a+700+10b+-a，则t′=1000（+-a）+100b+70+a， ∴F（t）=（t+t′）÷111=b+， 则4F（s）+F（t）=4×99+b+=b+， ∵b+，是完全平方数，且b是整数， ∴b=9， ∴t的十位数字是9， 则7+9=16， ∴千位和个位上的数字之和是8， ∴t的最大值是7791； ②d=7时，有10+2d=2×（5+7）=24， ∵百位和十位上的数字之和最大为18， ∴不符合题意． 综上所述，t的最大值是7791． 【点睛】本题主要考查了完全平方数，因式分解的应用，本题是阅读型题目，准确理解题意并能熟练应用题干中的定义和公式是解题的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解：， 因为，所以． 当时，．因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】 已知代数式，则的最小值为______； (2)【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米，米，乙菜地的两边长分别是米，米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； (3)【拓展升华】 如图，中，，点分别是线段和上的动点，点从点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动，设运动的时间为秒，请直接写出的面积最大值． 【答案】(1) (2) (3)16 【分析】本题考查的是非负数的性质，利用完全平方公式分解因式进而求解代数式的最值，灵活运用完全平方公式是解本题的关键． （1）（1）直接利用完全平方公式可得答案； （2）先求出，再利用完全平方公式即可求解； （3）根据题意表示出，再利用完全平方公式即可求解． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， 即的最小值为； （2）解：，理由如下： ， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为16． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$