专题03 实数（考题猜想，易错必刷72题16种题型专项训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（冀教版）

专题03 实数（易错必刷72题16种题型专项训练） 一、求一个数的算术平方根（共4小题） 1．16的算术平方根是（   ） A．4 B． C．16 D． 2．已知，，则 ． 3．计算 的结果为 ． 4．计算： ． 二、利用算术平方根的非负性求解（共4小题） 5．有意义，求m的取值范围？ 6．已知满足，求的算术平方根． 7．先化简，再求值：，其中满足． 8．若x，y为实数，且，则的值为（    ） A．1 B．9 C．4 D．5 三、求算术平方根的整数和小数部分（共4小题） 9．如图，一块面积为16平方米的正方形墙上镶嵌着一块正方形石雕，石雕四个角恰好分别在墙的四边的中点，请估计石雕边长的整数部分为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知是的整数部分，，则的平方根是 ． 11．已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 12．已知a是最大的负整数，d的相反数是它本身，，，且b与c乘积小于0，请回答问题． (1)请直接写出a、b、c的值：________，________，________，________． (2)计算的值． (3)若x是c的算术平方根的小数部分，求的值． 四、利用平方根性质求解（共5小题） 13．“的平方根是”，用数学式子表达为（　　） A． B． C． D． 14．下列说法错误的是（   ） A．是9的平方根 B．的平方根为 C．25的平方根为 D．负数没有平方根 15．16的平方根是（   ） A． B．4 C． D． 16．的平方根是（   ） A． B． C． D． 17．若一个正数a的两个平方根分别是和． (1)求a和b的值； (2)求的平方根． 五、平方根的应用（共3小题） 18．如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形． (1)求拼成的大正方形纸片的边长； (2)小丽想：若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？她不知能否剪得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片剪出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？为什么？ 19．小明同学每次回家进入电梯时，总能看见物业在电梯内张贴的提示“高空抛物，害人害己，严禁高空抛物”，为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间（单位：秒）和高度（单位：米）近似满足公式，其中为重力加速度，米/平方秒．物体落地时产生的动能物体质量重力加速度高度，动能的单位名称为焦耳，例如：一个1千克重的花盆从30米高空坠落到地面产生的动能为：焦耳． (1)一个物品从80米的高楼坠落到地面需要几秒？ (2)一个0.5 千克的物品坠落到地面产生了200焦耳的动能，请推算该物品坠落到地面用了几秒？（结果精确到0.1 秒，） 20．某小区准备开发一块长为，宽为的长方形空地， (1)方案一：如图，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线．则这块草地的面积为 _____ ； (2)方案二：修建一个长是宽的1.5 倍，面积为的篮球场，若比赛用的篮球场要求长在到之间，宽在到之间． 这个篮球场能用做比赛吗？ 并说明理由． 六、求一个数的立方根（共6小题） 21．下列说法正确的是（   ） A．的立方根是 B．一定有平方根 C．的平方根是 D．的算术平方根是 22．下列各式中运算正确的是（　　） A． B． C． D． 23．如果，那么的值为（   ） A． B． C．4 D． 24．已知，，那么下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 25．化简： ． 26．计算： 七、立方根性质的应用（共5小题） 27．边长为a的正方形面积为256，棱长为b的正方体体积为，则的值为 ． 28．解方程 (1)； (2)． 29．解方程： (1)； (2)． 30．如图，一个底面半径为的瓶子内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满2个一样大的正方体容器（取3，容器的厚度不计）． (1)该瓶子的容积（装满时溶液的体积）是多少立方厘米？ (2)正方体容器的棱长是多少厘米？ 31．如图是一块体积为216立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块融化，重新锻造成两个棱长为2厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为8厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 八、算术平方根与立方根的综合应用（共3小题） 32．已知的算术平方根是1，的立方根是，的平方根是． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 33．已知是49的算术平方根，的立方根是． (1)求的值； (2)求的立方根． 34．（1）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的算术平方根． （2）若x，y都是实数，且，求的立方根． 九、无理数的定义（共2小题） 35．下列实数中，是无理数的是（   ） A． B．0.3737737773 C． D．3.14 36．在实数，，，，（两个“1”之间依次多1个“2”）中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 十、实数的定义与分类（共5小题） 37．下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 38．在，3.14，，，，，中无理数的个数有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 39．聪聪在学完实数后，对数进行分类时，发现“实数”、“整数”、“正数”、“无理数”有如图所示的关系，请你在图中的横线上按对应序号分别填上一个适合的数． ①______；②______；③______；④______；⑤______；⑥______； 40．把下列各数填入相应的集合内（填序号）： ①，②，③，④，⑤，⑥0，⑦，⑧，⑨…（每相邻两个1之间0的个数逐次加） (1)无理数集合{ …}； (2)分数集合{ …}； (3)负实数集合{ …}． 41．有下列各数：①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦0.313113113…（每两个3之间依次多一个1）． （1）属于整数的有 ．（填序号）； （2）属于负分数的有 ．（填序号） （3）属于无理数的有 ．（填序号） 十一、实数的性质（共7小题） 42．的绝对值是（  ） A． B． C． D． 43．的相反数是（   ） A． B． C． D．5 44．实数的倒数是（   ） A． B．5 C． D． 45．下列数中没有倒数的是（   ） A．0 B． C． D． 46．下列实数：，，，，最小的是（  ） A． B． C． D． 47．下列说法：①负数没有立方根；②实数和数轴上的点是一一对应的；③；④两个无理数的和还是无理数；⑤无理数都是无限小数；其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 48．8的平方根是 ，的立方根是 ，的倒数是 ． 十二、实数与数轴（共4小题） 49．如图，数轴上，两点表示的数分别为和，则，两点之间表示整数的点共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 50．数学课上，为了让同学们更加直观地理解无理数可以在数轴上表示，张老师作了如图所示的演示，把直径为个单位长度的圆沿数轴从原点无滑动地顺时针滚动一周，到达点，此时点表示的数是 ． 51．如图，点O是数轴的原点，点A表示的数是2，在数轴上过点A作一个的方格（每个小方格的边长为1个单位长度），连接、、、得到一个正方形，用圆规在点A左侧的数轴上取点E，使，则点E表示的数是 ． 52．现有四个实数：①，②，③，④ (1)将以上四个实数分别填入相应的横线上（填序号）． 有理数：_________；无理数：__________． (2)请在数轴上近似表示出以上四个实数． (3)请将以上四个实数按从小到大的顺序排列，用“”连接． ________________________ 十三、无理数的估算（共5小题） 53．已知，是两个连续整数，，则，分别是（   ） A．1，2 B．2，3 C．3，4 D．4，5 54．估算的值在（   ） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间 55．下列关于的叙述中，错误的是（   ）． A．面积为5的正方形的边长为 B．是无理数 C．在数轴上存在表示的一个点 D．的小数部分是： 56．已知实数a，b分别是的整数部分和小数部分，则（   ） A． B． C． D． 57．已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 十四、实数的混合运算（共4小题） 58．计算：． 59．计算： 60．计算 (1) (2) 61．计算 (1)； (2) 十五、实数运算的常见类型（共5小题） 62．有一个数值转换器，程序如下： 当输入时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 63．对于实数、，定义的含义为：当时，；当时，，如：．已知，，且和为两个连续整数，则的立方根值为(　　) A． B． C． D． 64．对于实数P，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对进行如下操作： ，即对只需进行3次操作后变为2．类似地，要想让变为2，需进行的操作次数为 ． 65．已知a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：3的差倒数是．已知是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，为的差倒数，则 ；若，则 ． 66．每个程序段由若干条指令组成，老师设计了一段运算程序如图： 例如：当输入x的值为时，计算结果；将输入值变为，计算结果为；再将输入值变为了，继续运算，直到计算结果不小于4，才输出该结果． 请思考下列问题． (1)当输入x的值为5，则输出y的值是多少？请列式计算． (2)当起始输入x的值为1，请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出y． 十六、近似数与有效数字（共6小题） 67．按括号内的要求用四舍五入法求近似数，其中正确的是 （ ） A．（精确到十分位） B．（精确到0.1） C．（精确到个位） D．（精确到0.000 1） 68．用四舍五入法取近似数，将精确到千分位的结果是（   ） A． B． C． D． 69．某人的体重约为，这个数是个近似数，那么这个人的体重的取值范围是（　　） A． B． C． D． 70．把数精确到百分位得到的近似数是，则下列的值的不可能是（    ） A． B． C． D． 71．扬州市面积约为6591平方公里，数据6591用四舍五入法精确到百位，并用科学记数法表示为 ． 72．某物体重，精确到百位是 ． 试卷第8页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 实数（易错必刷72题16种题型专项训练） 一、求一个数的算术平方根（共4小题） 1．16的算术平方根是（   ） A．4 B． C．16 D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根的定义，根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴16的算术平方根是， 故选：A． 2．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是解题关键．将变形为，再进行计算即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 3．计算 的结果为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握知识点是解题的关键．根据算术平方根的定义即可求解． 【详解】解：， 故答案为：6． 4．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用一个数的算术平方根的定义进行化简，熟练掌握知识点是解题的关键．根据的算术平方根是，进行解答即可． 【详解】解：∵的算术平方根是， ∴， ∴． 故答案为：． 二、利用算术平方根的非负性求解（共4小题） 5．有意义，求m的取值范围？ 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的被开方数是非负数这一知识点，解决此类问题的关键就是要记住算术平方根的被开方数是非负数．根据算术平方根的被开方数为非负数，列不等式即可求得． 【详解】解：由题意得：， 所以． 6．已知满足，求的算术平方根． 【答案】． 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，非负数之和为，先根据算术平方根的非负性，得出，再由非负数之和为，求出，求得的值，进而求得的算术平方根，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴的算术平方根是． 7．先化简，再求值：，其中满足． 【答案】， 【分析】先由，结合平方非负性、二次根式非负性得到，再由分式混合运算将化简，再将代入化简后的式子求解即可得到答案． 【详解】解：满足， 由、可知当、才能使， ， ， 将代入，原式． 【点睛】本题考查分式化简求值，涉及分式混合运算、平方非负性、二次根式非负性及非负式和为零的条件等知识，熟练掌握非负式和为零的条件及分式化简求值方法是解决问题的关键． 8．若x，y为实数，且，则的值为（    ） A．1 B．9 C．4 D．5 【答案】A 【分析】此题考查了算术平方根与绝对值的非负数性．运用非负数的性质先求得的值，再代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ，， 解得，， ， 故选：A． 三、求算术平方根的整数和小数部分（共4小题） 9．如图，一块面积为16平方米的正方形墙上镶嵌着一块正方形石雕，石雕四个角恰好分别在墙的四边的中点，请估计石雕边长的整数部分为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的估算．求出石雕的边长是解题的关键． 由于正方形的面积等于边长的平方，故边长等于面积的算术平方根，据此先求出正方形墙面的边长，进而利用割补法算出石雕的面积，再根据算术平方根求出石雕的边长，最后利用估算无理数大小的方法估算出石雕边长的取值范围即可． 【详解】解：∵正方形墙的面积为， ∴正方形墙的边长为， ∵石雕的四个角分别在墙的四边的中点， ∴石雕的面积为； ∴石雕的边长为， ∵， ∴， ∴石雕边长的整数部分为2． 故答案为：B． 10．已知是的整数部分，，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根与算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴9的平方根是； 故答案为． 11．已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】根据算术平方根及平方根确定，，再由估算算术平方根的整数部分确定，将其代入代数式，然后计算平方根即可． 【详解】解：的算术平方根是5， ， 解得：． ∵的平方根是， ， 解得：． 是的整数部分，而， ， ， 的平方根为． 【点睛】此题题目主要考查算术平方根及平方根，估算算术平方根的整数部分，求代数式的平方根，熟练掌握这些基本运算是解题关键． 12．已知a是最大的负整数，d的相反数是它本身，，，且b与c乘积小于0，请回答问题． (1)请直接写出a、b、c的值：________，________，________，________． (2)计算的值． (3)若x是c的算术平方根的小数部分，求的值． 【答案】(1)，，5，0 (2) (3) 【分析】本题考查算术平方根，相反数，绝对值，代数式示值． （1）根据有理数的定义及运算法则，相反数及绝对值的定义即可求得答案； （2）将（1）中数值代入计算即可； （3）根据x是c的算术平方根的小数部分，，得，再代入计算即可． 【详解】（1）解：是最大的负整数，的相反数是它本身， ，， ，，且与乘积小于0，， ，， 故答案为：，，5，0； （2）解：由（1）得： ； （3）解：∵x是c的算术平方根的小数部分，，， ∴， ∴． 四、利用平方根性质求解（共5小题） 13．“的平方根是”，用数学式子表达为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是平方根的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据算术平方根和平方根的定义进行解题即可． 【详解】解：“的平方根是”，用式子表示为． 故选：C． 14．下列说法错误的是（   ） A．是9的平方根 B．的平方根为 C．25的平方根为 D．负数没有平方根 【答案】B 【解析】略 15．16的平方根是（   ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：16的平方根是：， 故选：A． 16．的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根概念，首先根据算术平方根的定义求出的结果，然后利用平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根是． 故选：C． 17．若一个正数a的两个平方根分别是和． (1)求a和b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2)的平方根为 【分析】本题考查的是平方根，熟知一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． （1）先求出b的值，再根据平方根的意义求出a的值即可； （2）先求出的值，再求出其平方根即可． 【详解】（1）解：∵一个正数a的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵ ∴， 又25的平方根是， ∴的平方根为． 五、平方根的应用（共3小题） 18．如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形． (1)求拼成的大正方形纸片的边长； (2)小丽想：若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？她不知能否剪得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片剪出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？为什么？ 【答案】(1) (2)解：不同意小明的说法，我认为小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片，理由见解析 【分析】本题考查平方根的实际应用，读懂题意，由算术平方根及平方根定义列式求解即可得到答案，读懂题意，由平方根定义列式求解是解决问题的关键． （1）根据题意，利用算术平方根列式求解即可得到答案； （2）设长方形纸片的长为，宽为，由题意得到求解即可得到答案． 【详解】（1）解：用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形， 大正方形的边长为； （2）解：不同意小明的说法；我认为小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片． 理由如下： 设长方形纸片的长为，宽为，根据题意得，解得或（负值，舍去），即长方形的长为，宽为， ∵，不符合题意， ∴小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片． 19．小明同学每次回家进入电梯时，总能看见物业在电梯内张贴的提示“高空抛物，害人害己，严禁高空抛物”，为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间（单位：秒）和高度（单位：米）近似满足公式，其中为重力加速度，米/平方秒．物体落地时产生的动能物体质量重力加速度高度，动能的单位名称为焦耳，例如：一个1千克重的花盆从30米高空坠落到地面产生的动能为：焦耳． (1)一个物品从80米的高楼坠落到地面需要几秒？ (2)一个0.5 千克的物品坠落到地面产生了200焦耳的动能，请推算该物品坠落到地面用了几秒？（结果精确到0.1 秒，） 【答案】(1)大约需要4秒 (2)大约2.8秒 【分析】本题考查了平方根的应用，理解公式，正确代入求值是解此题的关键． （1）将米代入得：，即，计算即可得解； （2）先求出米，再将米代入得，即，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：把米代入得：，即， 解得：（负值舍去）， 答：一个物品从80米的高楼坠落到地面大约需要4秒； （2）解：由题意得：， 解得， 把代入得：，即， 解得（负值舍去）， ∴秒， 答：该物品坠落地面用了大约2.8秒． 20．某小区准备开发一块长为，宽为的长方形空地， (1)方案一：如图，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线．则这块草地的面积为 _____ ； (2)方案二：修建一个长是宽的1.5 倍，面积为的篮球场，若比赛用的篮球场要求长在到之间，宽在到之间． 这个篮球场能用做比赛吗？ 并说明理由． 【答案】(1)651 (2)能，理由见解析 【分析】本题考查了图形的平移，平方根的定义等知识． （1）由题意，草地的长减小，宽不变，因而可求得草地的面积； （2）设宽，则长为，根据面积公式即可得关于x的方程，由平方根的定义即可求得x，再对x的值进行估算，若满足题意即可，否则不行． 【详解】（1）解：由题意，小路的左边线向右平移就是它的右边线即小路的宽为， 则草地的长减小，宽不变， 面积为； 故答案为：651． （2）能，理由如下： 设宽，则长为， 依题意有：， ∵， ∴， 符合长在到之间，宽在到之间， ∴这个篮球场能用做比赛． 六、求一个数的立方根（共6小题） 21．下列说法正确的是（   ） A．的立方根是 B．一定有平方根 C．的平方根是 D．的算术平方根是 【答案】B 【分析】本题考查立方根、平方根、算术平方根的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键； 根据立方根、算术平方根和平方根的性质依此计算即可． 【详解】解：A、的立方根是，故该选项错误； B、因为，所以一定有平方根，故该选项正确； C、的平方根是，故该选项错误； D、的算术平方根是，故该选项错误； 故选：B 22．下列各式中运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的性质，熟练掌握相关计算公式是解题的关键； 利用算术平方根及立方根一一判断即可． 【详解】解：A、，本选项错误，不符合题意； B、，本选项错误，不符合题意； C、，本选项错误，不符合题意； D、，本选项正确，符合题意． 故选：D． 23．如果，那么的值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方根、立方根，根据平方根的定义得出，再根据立方根的定义计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴当时，，当时，， 故选：B． 24．已知，，那么下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的性质，根据题意得到被开方数每扩大（或缩小）1000倍，则它的立方根就相应的扩大（或缩小）10倍，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴被开方数每扩大（或缩小）1000倍，则它的立方根就相应的扩大（或缩小）10倍， ∴． 故选：B． 25．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，根据立方根的定义即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 26．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根、立方根、绝对值、有理数加减运算等知识点，掌握算术平方根、立方根的定义成为解题的关键． 先根据算术平方根、立方根、绝对值进行化简，然后运用有理数加减运算法则计算即可． 【详解】解： ． 七、立方根性质的应用（共5小题） 27．边长为a的正方形面积为256，棱长为b的正方体体积为，则的值为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用正方形的面积和体积公式求出a，b的值，然后再代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】解：∵边长为a的正方形面积为256， ∴， ∵， ∴， ∵棱长为b的正方体体积为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：20． 28．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了根据平方根与立方根的定义解方程； （1）根据平方根的定义解方程即可求解； （2）根据立方根的定义解方程即可求解． 【详解】（1）解： ∴ 解得：或 （2）解： ∴ 解得： 29．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查利用立方根解方程、平方根解方程等知识点，根据立方根、平方根的定义是解题的关键． （1）先移项，然后利用立方根解方程即可解答； （2）先利用平方根求得，然后再求的x的值即可． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解： ， 或， ，． 30．如图，一个底面半径为的瓶子内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满2个一样大的正方体容器（取3，容器的厚度不计）． (1)该瓶子的容积（装满时溶液的体积）是多少立方厘米？ (2)正方体容器的棱长是多少厘米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算、求一个数的立方根，还涉及求常见几何体的体积，读懂题意，得出“瓶子的容积与同底、高为的圆柱体积相等”是解题的关键． （1）瓶子的容积与同底、高为的圆柱体积相等，由此可解； （2）首先求出瓶内的溶液的体积，然后根据瓶内的溶液正好倒满2个一样大的正方体容器求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：因为． 所以棱长． 31．如图是一块体积为216立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块融化，重新锻造成两个棱长为2厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为8厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【答案】(1)正方体铁块的棱长为厘米 (2)长方体铁块的底面正方形的边长为5厘米 【分析】本题考查立方根和算式平方根的实际应用： （1）根据正方体的体积公式进行求解即可； （2）根据总体积不变，求出长方体的体积，再根据长方体的体积公式求出底面正方形的边长即可． 【详解】（1）解：由题意，该正方体铁块的棱长为厘米； 答：正方体铁块的棱长为厘米； （2）由题意，长方体的体积为：立方厘米， ∴长方体的底面面积为：平分厘米， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为厘米． 答：长方体铁块的底面正方形的边长为5厘米． 八、算术平方根与立方根的综合应用（共3小题） 32．已知的算术平方根是1，的立方根是，的平方根是． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了立方根、平方根和算术平方根的综合应用，掌握相关结论即可. （1）根据1的算术平方根是1，的立方根是，的平方根是，即可求解； （2）根据即可求解； 【详解】（1）解：∵1的算术平方根是1， ∴， ∴； ∵的立方根是， ∴， ∴； ∵的平方根是， ∴， ∴； （2）解：， ∵的平方根是， ∴的平方根是； 33．已知是49的算术平方根，的立方根是． (1)求的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了根据算术平方根和立方根求原数，求一个数的立方根： （1）对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，可得 ，，解方程即可； （2）根据（1）所求求出的值，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解；∵是49的算术平方根， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴的立方根是． 34．（1）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的算术平方根． （2）若x，y都是实数，且，求的立方根． 【答案】（1）5；（2）3 【分析】本题考查了算术平方根、平方根和立方根，掌握概念是解题的关键． （1）根据平方根的定义求出a、b的值，代入求出的值，再求算术平方根即可； （2）根据算术平方根的含义求出x，进而得到y的值，代入求出的值，再求立方根即可． 【详解】解：（1）的平方根是，的算术平方根是4， ，， ，， ， 的算术平方根为5； （2）由可知，， ，， ， 的立方根为3． 九、无理数的定义（共2小题） 35．下列实数中，是无理数的是（   ） A． B．0.3737737773 C． D．3.14 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的概念，求立方根，无限不循环小数叫无理数，首先计算立方根，然后根据无理数的概念求解即可． 【详解】解：A．是有理数中的整数，故不符合题意；     B．0.3737737773是有理数中的小数，故不符合题意；         C．是无理数，故符合题意；         D．3.14是有理数中的小数，故不符合题意；     故选C． 36．在实数，，，，（两个“1”之间依次多1个“2”）中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如（每两个8之间依次多1个0）等形式． 无理数就是无限不循环小数，依据定义即可判断． 【详解】解：， 、、（两个“1”之间依次多1个“2”）是无理数，共3个， 故选：C． 十、实数的定义与分类（共5小题） 37．下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】此题主要考查实数的定义和分类，解题的关键是熟知实数的定义．根据实数的定义判断即可． 【详解】解：A、正实数和负实数统称实数，错误，0也是实数，故不符合题意； B、正数、0和负数统称有理数，错误，正数、0和负数统称实数，故不符合题意； C、带根号的数和分数统称实数，错误，故不符合题意； D、无理数和有理数统称实数，正确，故符合题意； 故选：D． 38．在，3.14，，，，，中无理数的个数有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可解答． 【详解】， 在，3.14，，，，，中 无理数有：，，，共3个， 故选择：C 39．聪聪在学完实数后，对数进行分类时，发现“实数”、“整数”、“正数”、“无理数”有如图所示的关系，请你在图中的横线上按对应序号分别填上一个适合的数． ①______；②______；③______；④______；⑤______；⑥______； 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键． 根据实数的分类填写即可． 【详解】解：实数分为有理数与无理数，也可分为正实数，0，负实数，所以实数下横线填负数；正数分为正有理数，正无理数，正数下的横线上填正有理数；整数分为正整数，0，与负整数，整数下横线填0与负整数；无理数分为正无理数，负无理数，无理数下横线填负无理数，整数与正数公共部分填正整数，无理数与正数公共部分填正无理数，填数如下： 即①负分数，如；②正分数，如：；③正整数，如1； ④正无理数，如；⑤0；⑥负无理数，如． 40．把下列各数填入相应的集合内（填序号）： ①，②，③，④，⑤，⑥0，⑦，⑧，⑨…（每相邻两个1之间0的个数逐次加） (1)无理数集合{ …}； (2)分数集合{ …}； (3)负实数集合{ …}． 【答案】(1)②，③，⑦，⑨ (2)①，④，⑧ (3)①，②，⑦，⑧ 【分析】首先计算立方根，然后根据无理数、分数及负实数的定义，对所给各数进行分类即可． 本题主要考查了立方根，实数，熟知无理数、分数及负实数的定义是解题的关键． 【详解】（1）由题知，， ∴无理数集合{②，③，⑦，⑨…}； （2）分数集合{①，④，⑧…}； （3）负实数集合{①，②，⑦，⑧…}． 41．有下列各数：①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦0.313113113…（每两个3之间依次多一个1）． （1）属于整数的有 ．（填序号）； （2）属于负分数的有 ．（填序号） （3）属于无理数的有 ．（填序号） 【答案】 ④⑥ ②⑤ ③⑦ 【分析】本题考查实数的分类，理解整数、负分数、无理数是解题的关键．根据实数的分类及定义即可求得答案． 【详解】解：，， （1）属于整数的有④⑥，故答案为：④⑥； （2）属于负分数的有②⑤，故答案为：②⑤； （3）属于无理数的有③⑦，故答案为：③⑦． 十一、实数的性质（共7小题） 42．的绝对值是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，深刻理解绝对值的意义是解题的关键：绝对值的定义：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，这里的数可以是正数、负数和；绝对值的几何意义（非负性）：一个数的绝对值是表示该数的点与原点的距离，因为距离总是正数和，所以有理数的绝对值不可能是负数；绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，一个负数的绝对值是它的相反数． 根据绝对值的意义解答即可． 【详解】解：， ， 故选：． 43．的相反数是（   ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查了相反数，立方根，掌握相关知识是解题的关键．根据相反数和立方根的定义求解即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 44．实数的倒数是（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的倒数，掌握倒数的定义“乘积为1的两个数互为倒数”是解题的关键．由倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，以及等式，即可得出结论． 【详解】解：， 的倒数是． 故选：A． 45．下列数中没有倒数的是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的性质，零指数幂，倒数的定义，根据没有倒数，即可求解． 【详解】解：A. 0没有倒数，故该选项符合题意；     B. 的倒数是，故该选项不符合题意；     C. 的倒数是，故该选项不符合题意；     D. ，的倒数是，故该选项不符合题意； 故选：A． 46．下列实数：，，，，最小的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较，任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．根据正数大于0大于负数，绝对值越大的负数反而越小，即可作答．也考查了立方根． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴实数，，，都大于 ∴最小的是， 故选：B． 47．下列说法：①负数没有立方根；②实数和数轴上的点是一一对应的；③；④两个无理数的和还是无理数；⑤无理数都是无限小数；其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了实数的性质，熟练掌握实数的性质是解题的关键．结合实数的相关性质分别分析题目的说法即可解答． 【详解】解：负数有立方根，故①错误； 实数和数轴上的点是一一对应的，故②正确； ，故③错误； 两个无理数的和不一定是无理数，故④错误； 无理数是无限不循环小数，则无理数都是无限小数，故⑤正确； 综上所述，正确的有②⑤，共2个． 故选：B． 48．8的平方根是 ，的立方根是 ，的倒数是 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了平方根，立方根，倒数，掌握这些知识点是解题关键． 根据平方根，立方根，倒数的定义进行计算即可． 【详解】解：8的平方根是， ∵，8的立方根是， ∴的立方根是， ∵， ∴的倒数是． 故答案为：，，. 十二、实数与数轴（共4小题） 49．如图，数轴上，两点表示的数分别为和，则，两点之间表示整数的点共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算、实数与数轴，掌握无理数的估算方法是解题关键．先得出，， 然后再根据实数与数轴可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴A. B两点之间表示整数的点共有：2，3，4，5一共有4个． 故选：B 50．数学课上，为了让同学们更加直观地理解无理数可以在数轴上表示，张老师作了如图所示的演示，把直径为个单位长度的圆沿数轴从原点无滑动地顺时针滚动一周，到达点，此时点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查用数轴上的点表示实数，数轴上两点间的距离，根据题意，直径为单位的圆从数轴上的原点沿着数轴无滑动地顺时针滚动一周到达点，则的长为圆的周长，求圆的周长即可．明确长度的实际意义是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵直径为单位的圆从数轴上的原点沿着数轴无滑动地顺时针滚动一周到达点， ∴， ∴点表示的数是． 故答案为：． 51．如图，点O是数轴的原点，点A表示的数是2，在数轴上过点A作一个的方格（每个小方格的边长为1个单位长度），连接、、、得到一个正方形，用圆规在点A左侧的数轴上取点E，使，则点E表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴，掌握数轴上两点之间的距离公式是解题关键．根据题意求出正方形的面积，进而得到边长，从而得出，再根据数轴上两点之间的距离公式，即可求解． 【详解】解：正方形的面积为， 正方形的边长为，即， ， 点A表示的数是2，点E在点A左侧的数轴上， 点E表示的数是， 故答案为：． 52．现有四个实数：①，②，③，④ (1)将以上四个实数分别填入相应的横线上（填序号）． 有理数：_________；无理数：__________． (2)请在数轴上近似表示出以上四个实数． (3)请将以上四个实数按从小到大的顺序排列，用“”连接． ________________________ 【答案】(1)①④；②③ (2)见解析 (3)，，， 【分析】本题考查了数轴，实数比较大小，实数的分类，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据有理数和无理数的概念求解即可； （2）根据数轴的特点把数据表示在数轴上即可； （3）根据（2）中的数轴上的数据，按从左往右的顺序用“”连接即可． 【详解】（1）解：， 有理数是①④；无理数是②③； 故答案为：①④；②③； （2）各数在数轴上表示如下： （3）各数用“”连接为：， 故答案为：，，，． 十三、无理数的估算（共5小题） 53．已知，是两个连续整数，，则，分别是（   ） A．1，2 B．2，3 C．3，4 D．4，5 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据得到，进而得到，，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，是两个连续整数， ∴，， 故选：C. 54．估算的值在（   ） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间 【答案】A 【分析】此题考查了无理数的估算，解题的关键是求出介于哪两个整数之间． 【详解】解：∵，则 ∴， ∴的值在1与2之间， 故选：A． 55．下列关于的叙述中，错误的是（   ）． A．面积为5的正方形的边长为 B．是无理数 C．在数轴上存在表示的一个点 D．的小数部分是： 【答案】D 【分析】运用算术平方根、数轴和无理数的估算知识进行逐一辨别、求解．此题考查了算术平方根、实数与数轴，无理数的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 【详解】解：面积为5的正方形的边长为， 选项A不符合题意； 是无理数， 选项B不符合题意； 在数轴上存在表示的一个点， 选项C不符合题意； 的小数部分是， 选项D符合题意， 故选：D． 56．已知实数a，b分别是的整数部分和小数部分，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了用有理数估计无理数，先估算无理数的大小，可得，从而表示出的整数部分和和小数部分；再把a、b的值代入代数式中计算，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的整数部分，小数部分， ∴． 故选：C． 57．已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】（）根据算术平方根的定义求出的值，根据平方根的定义求出的值，根据无理数的估算的值，然后求得的值即可； （）把，，的代入，然后根据平方根的定义即可求解； 本题考查了算术平方根，平方根，无理数的估算，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是， ∴， ∴， ∵的平方根是， ∴， ∴， ∵，即，是的整数部分， ∴， ∴，，， （2）解：由（）得：，，， ∴， ∴的平方根为． 十四、实数的混合运算（共4小题） 58．计算：． 【答案】6 【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂和负整数指数幂的意义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先算负整数指数幂、零指数幂，乘方和开方，再算加减． 【详解】解：原式 ． 59．计算： 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的运算，解题关键是正确理解绝对值的非负性是解答问题的关键． 先去绝对值和计算立方根，再计算乘方，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 60．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握求一个数的算术平方根，立方根是解题的关键． （1）去绝对值符号，再根据实数的混合运算进行计算即可求解； （2）先计算乘方，算术平方根与立方根，再进行加减计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 61．计算 (1)； (2) 【答案】(1)7 (2)3 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据算术平方根、零指数幂、负指数幂的运算法则计算，再根据有理数加减法则计算即可； （2）先根据绝对值、算术平方根、有理数的乘法的运算法则计算，再根据有理数加减法则计算即可． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， 十五、实数运算的常见类型（共5小题） 62．有一个数值转换器，程序如下： 当输入时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数值转换器，先取的算术平方根，即求的算术平方根；再判断的算术平方根是无理数还是有理数，如果是无理数，直接输出即可，如果是有理数，继续求算术平方根，据此解答即可．解题的关键是正确理解数值转换器的原理 【详解】解：∵，为有理数， ∴把输入，，为有理数， ∴把输入，，为有理数， ∴把输入，的算术平方根为，是无理数， ∴输出的的值是． 故选：D． 63．对于实数、，定义的含义为：当时，；当时，，如：．已知，，且和为两个连续整数，则的立方根值为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查新定义下的实数运算、无理数的估算，求一个数的立方根；根据新定义求出a，b的范围，进而求得a、b值，然后再代入求出的值，再求立方根即可． 【详解】解：∵， ∴ 又∵，即 ∵和为两个连续整数， ∴ ∴ ∴的立方根值为， 故选：D． 64．对于实数P，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对进行如下操作： ，即对只需进行3次操作后变为2．类似地，要想让变为2，需进行的操作次数为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，理解已知条件的规定：用表示不小于的最小整数，是解题的关键．仿照题目中的运算过程计算即可． 【详解】， 要想让变为2，需进行的操作次数为4． 故答案为：4． 65．已知a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：3的差倒数是．已知是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，为的差倒数，则 ；若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的定义新运算，数字规律，有理数的混合运算，代入求值，理解定义新运算的方法，理解新运算、找到规律是解题的关键． 根据差倒数的计算方法求出的值，找出规律，再运用有理数的混合运算法则即可求解． 【详解】解：， ， ， ， …， 该列数是以，2这三个数循环出现， ， ， ， ， ． 故答案为：． 66．每个程序段由若干条指令组成，老师设计了一段运算程序如图： 例如：当输入x的值为时，计算结果；将输入值变为，计算结果为；再将输入值变为了，继续运算，直到计算结果不小于4，才输出该结果． 请思考下列问题． (1)当输入x的值为5，则输出y的值是多少？请列式计算． (2)当起始输入x的值为1，请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出y． 【答案】(1) (2)4次 【分析】本题考查了实数的运算，理解题意，掌握框图中的运算法则是解题的关键． （1）根据框图中的运算程序计算即可； （2）根据框图中的运算程序计算，直到结果大于或等于4即输出结果为止． 【详解】（1）当输入x的值为5时， 则有，， 且， 输出y的值是． （2）当输入x的值为1时， 则有，，，继续计算； 第二次输入x的值为时， 则有，，，继续计算； 第三次输入x的值为时， 则有，，，继续计算； 第四次输入x的值为时， 则有，，，输出； 所以经过4次程序运行后才能输出y． 十六、近似数与有效数字（共6小题） 67．按括号内的要求用四舍五入法求近似数，其中正确的是 （ ） A．（精确到十分位） B．（精确到0.1） C．（精确到个位） D．（精确到0.000 1） 【答案】B 【分析】本题考查了四舍五入法求近似数，大于或等于5进一，小于5则舍去，据此逐项分析即可作答． 【详解】解：A、（精确到十分位），故该选项是错误的； B、（精确到0.1），故该选项是正确的； C、（精确到个位），故该选项是错误的； D、（精确到），故该选项是错误的； 故选：B． 68．用四舍五入法取近似数，将精确到千分位的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求近似数，将万分位的4，四舍五入即可求解． 【详解】解：用四舍五入法将精确到千分位的结果是， 故选：B． 69．某人的体重约为，这个数是个近似数，那么这个人的体重的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了近似数，取近似数的方法：精确到哪一位，只需对下一位数字进行四舍五入． 【详解】解：根据取近似数的方法，知：当百分位大于或等于5时，十分位应是3； 当百分位小于5时，十分位应是4． ∴的准确值的范围为：， 故选B． 70．把数精确到百分位得到的近似数是，则下列的值的不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据近似数求原数的范围，根据精确到百分位，那么是对千分位上的数字进行四舍五入，据此求出原数的范围即可得到答案． 【详解】解：∵把数精确到百分位得到的近似数是， ∴， ∴四个选项中只有C选项符合题意， 故选：C． 71．扬州市面积约为6591平方公里，数据6591用四舍五入法精确到百位，并用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数的方法，近似数，掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数是关键，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：数据6591用四舍五入法精确到百位，并用科学记数法表示为， 故答案为：． 72．某物体重，精确到百位是 ． 【答案】 【分析】本题考查了近似数，根据近似数的定义即可求解，正确理解近似数是与实际接近的数，一般的来说，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数的精确度在哪一位”，是解题的关键． 【详解】解：某物体重，精确到百位是， 故答案为：． 试卷第8页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$