专题02 全等三角形（考题猜想，易错必刷77题16种题型专项训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（冀教版）

专题02 全等三角形（易错必刷77题16种题型专项训练） 一、命题的辨别与真假命题（共5小题） 1．下列语句中不是命题的是（   ） A．两点之间，线段最短 B．连结A、B两点 C．两直线与第三条直线相交，同位角相等 D．不平行的两条直线有一个交点 【答案】B 【分析】本题考查了命题：判断一件事情的语句叫做命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．命题都是由题设和结论两部分组成的．根据命题的定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．两点之间，线段最短，是命题，故A不符合题意； B．连接A，B两点，为描述性语言，不是命题，故B符合题意； C．两直线与第三条直线相交，同位角相等，是命题，故C不符合题意； D．不平行的两条直线有一个交点，是命题，故D不符合题意． 故选：B． 2．下列语句不是命题的有（   ） ①全等三角形对应边相等；②过一点画已知直线的平行线；③同角的余角相等；④内错角相等吗？ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查命题的定义：判断一件事情的语句称为命题，据此逐个判断即可解答． 【详解】解：①全等三角形对应边相等，是命题； ②过一点画已知直线的平行线，不是命题； ③同角的余角相等，是命题； ④内错角相等吗？不是命题． 综上，不是命题的是②④，共2个． 故选：B 3．给出下列命题：①数轴上的点与有理数一一对应；②同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行；③两点之间，线段最短．其中是假命题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．分别根据平行线的判定、数轴、两点之间线段最短对各小题进行逐一分析即可． 【详解】解：①数轴上的点与实数一一对应，原命题是假命题； ②同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题； ③两点之间，线段最短，是真命题； 综上分析可知，是假命题的有1个， 故选：B． 4．下列命题是真命题的为（    ） A．内错角相等 B．周长相等的两个三角形全等 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查判断命题的真假，解题的关键是根据相关知识对命题进行分析判断； 利用平行线的性质、全等三角形的判定、等式的性质及不等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】A． 两直线平行，内错角相等，所以，原命题是假命题，故该选项不符合题意； B． 周长相等的两个三角形不一定全等，例如，一个边长为 3、4、5 的三角形和一个边长为 4、4、4 的三角形，它们的周长都是 12，但它们不是全等三角形，所以，原命题是假命题，故该选项不符合题意； C． 若，两边同时平方可得，该命题是真命题，故该选项符合题意； D． 若，则x可以是大于 0 的数，也可以是小于 0 的数（例如时，），所以，原命题是假命题，故该选项不符合题意． 故选：C． 5．下列命题中，真命题的个数是（    ） （）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 （）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 （）三角形的任何一个内角小于与它不相邻的外角 （）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 （）两条边相等及一个角相等的两个三角形一定全等 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了命题，根据垂线的性质、点到直线的距离、三角形外角性质、平行公理和三角形全等的判定方法逐一判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：（）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，该命题是真命题，符合题意； （）从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，原命题是假命题，不合题意； （）三角形的任何一个内角小于与它不相邻的外角，该命题是真命题，符合题意； （）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，该命题是真命题，符合题意； （）两条边相等及其夹角相等的两个三角形一定全等，原命题是假命题，不合题意； ∴真命题有个， 故选：． 二、写出命题的题设与结论（共3小题） 6．把命题“等角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式： ． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角的补角相等 【分析】本题考查了命题的改写，理解命题的构成成为解题的关键． 根据命题的条件与结论即可改写即可． 【详解】解：命题“等角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为：如果两个角相等，那么这两个角的补角相等． 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角的补角相等． 7．用三个不等式，，中的两个不等式作为题设条件，余下的一个不等式作为结论，组成一个命题，可以组成真命题的个数为 个，请同学们写出一个真命题 ． 【答案】 3 如果，，那么或如果，，那么或如果，，那么 【分析】本题主要考查了判断命题真假，不等式的性质，写出命题的题设和结论当选取，作为条件，为结论时，根据不等式两边同时除以一个正数不等号不改变方向即可证明；当选取，作为条件，为结论时，根据不等式两边同时乘以一个正数，不等号不改变方向即可证明；当选取，作为条件 为结论时，据不等式两边同时乘以一个正数，不等号不改变方向即可证明． 【详解】解：当选取，作为条件，为结论时， ∵，， ∴，即， ∴此时命题是真命题； 当选取，作为条件，为结论时， ∵， ∴当时，则 ，即，符合题意； 当时，则 ，即，不符合题意； ∴此时命题是真命题； 当选取，作为条件 为结论时， ∵，， ∴，即， ∴此时命题是真命题； 综上所述，可以组成真命题的个数为3个，命题为：如果，，那么；如果，，那么；如果，，那么． 故答案为：3；如果，，那．么或如果，，那么或如果，，那么． 8．如图，有三个论断：①；②；③．请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出已知、求证，并证明该命题的正确性． 【答案】见解析 【分析】此题考查命题与定理问题，证明的一般步骤：写出已知，求证，画出图形，再证明．也考查了平行线的判定和性质、对顶角相等等知识． 根据题意，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，分三种情况根据平行线的判定和性质及对顶角相等进行证明． 【详解】解：第一种情况： 已知：，， 求证： 证明：如图， ∵，， ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ 第二种情况： 已知：，， 求证： 证明：如图， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ 第三种情况： 已知：，， 求证： 证明：如图， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ 三、逆命题与逆命题真假的判定（共4小题） 9．下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．如果两个角是直角，那么它们相等 B．若，则 C．两直线平行，内错角相等 D．对顶角相等 【答案】C 【分析】本题考查了判断命题的真假，分别写出各命题的逆命题，再判断真假即可 【详解】解：如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题为：如果两个角相等，那么它们是直角，该命题为假命题，不符合题意； 若，则的逆命题为：若，则；，但，该命题为假命题，不符合题意； 两直线平行，内错角相等的逆命题为：内错角相等，两直线平行；该命题为真命题，符合题意； 对顶角相等的逆命题为：相等的角为对顶角，该命题为假命题，不符合题意； 故选：C 10．下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．偶数一定能被整除 B．两直线平行，内错角相等 C．三条边对应相等的两个三角形是全等三角形 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题．写出原命题的逆命题后判断正误即可． 【详解】解：A、逆命题为能被整除的数一定是偶数，正确，是真命题，不符合题意； B、逆命题为内错角相等，两直线平行，正确，是真命题，不符合题意； C、逆命题为全等三角形的三条边对应相等，正确，是真命题，不符合题意； D、逆命题为若，则，错误，是假命题，符合题意． 故选：D． 11．给出下列命题：①若，则；②锐角都相等；③一个角的补角大于这个角；④两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．以上命题的逆命题是假命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了命题与逆命题，不等式的性质、锐角的定义、补角的定义及平行线的性质等知识点，用不等式的性质、锐角的定义、补角的定义及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项，熟练掌握解不等式的性质、锐角的定义、补角的定义及平行线的性质是解决此题的关键． 【详解】解：①若，则的逆命题为：若，则，正确，是真命题，不符合题意； ②锐角都相等的逆命题为：相等的角都为锐角，错误，是假命题，符合题意； ③一个角的补角大于这个角的逆命题为：大于一个角的角是它的补角，错误，是假命题，符合题意； ④两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等的逆命题为同位角相等，两直线平行，正确，是真命题，不符合题意； 故选：B． 12．已知命题“对顶角相等”． (1)此命题是真命题还是假命题？如果是真命题．请给予说明；如果是假命题，请举出反例． (2)写出此命题的逆命题，并判断逆命题的真假．如果是真命题，请给予说明；如果是假命题，请举出反例． 【答案】(1)真命题，证明见解析 (2)相等的角是对顶角，假命题，举例见解析 【分析】本题考查了命题的真假，熟练掌握判断命题的方法是本题的关键．分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而得出答案． 【详解】（1）解：此命题是真命题． 说明：如图，直线，相交于点． ， ． （2）“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，逆命题是假命题． 反例：如图，在中，，但与不是对顶角． 四、定理与证明（共4小题） 13．下列说法中正确的是（      ） A．如果一个命题是真命题，那么它的逆命题也是真命题 B．任何定理一定有逆定理 C．任何命题一定有逆命题 D．定理一定是命题，但不一定是真命题 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理的知识，利用命题与逆命题、定理与逆定理之间的关系分别判断后即可确定正确答案，解题的关键是了解命题与逆命题、定理与逆定理之间的关系． 【详解】解：A、真命题的逆命题不一定是真命题，故原说法错误，不符合题意； B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等，没有逆定理，故原说法错误，不符合题意； C、任何命题一定有逆命题，原说法正确，符合题意； D、定理一定是命题，且是真命题，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 14．在甲组图形的四个图中，每个图是由四种图形A，B，C，不同的线段或圆中的 某两个图形组成的，例如由A，B组成的图形记为，在乙组图形的，，，四个图形中，表示“”和“”的是　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】分析：根据题意分析可得：4种简单图形A，B，C，D各不相同，得到A、B、C、D所代表的图形，即可得到结论． 详解：如图：          由甲组的A*B   B*C   B*D可知：     B是稍大一点的圆，C为横线段，D为稍小一点的圆，A为竖线段．     所以“A*D”应当选（b），“A*C”应当选（d）．     故选D． 点睛：本题考查了推理与论证，在两个或三个图形中，先确定公有的是谁，再确定其他的，从而使问题解决，主要培养学生的观察能力和空间想象能力． 15．下列命题可以作定理的有 个． ①2与6的平均值是8；②能被3整除的数能被6整除；③5是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数仍是等式． 【答案】2/两 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理． 首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到①、②、③是假命题，④、⑤是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题． 【详解】解：①2与6的平均值是4，故此命题是假命题，不是定理； ②能被3整除的数，不一定能被6整除，故此命题是假命题，不是定理； ③把5代入方程，方程两边不相等，故不是真命题，更不是定理； ④三角形的内角和为，是经过证明的是真命题，故是定理； ⑤等式两边加上同一个数仍是等式，符合等式的性质，是定理； 综上所述：③和④是定理，共2个． 故答案为：2． 16．如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：） 【答案】(1)一共能组成三个命题，见解析 (2)都是真命题，推理见解析 【分析】（1）（1）根据两条件一结论组成命题，可得答案； （2）根据平行线的性质，可判定①②，根据平行线的判定，可判定③，即可 【详解】（1）解：一共能组成三个命题： ①如果DE//BC，，那么； ②如果DE//BC，，那么； ③如果，，那么DE//BC ； （2）解：都是真命题， 如果DE//BC，，那么， 理由如下：∵DE//BC， ∴， ∵， ∴． 如果DE//BC，，那么； 理由如下：∵DE//BC， ∴，， ∵， ∴； 如果，，那么DE//BC ； 理由如下：∵， ∴∠B+∠C=180°-∠BAC， ∵∠1+∠2+∠BAC=180°， ∴∠1+∠2=180°-∠BAC， ∴∠B+∠C=∠1+∠2， ∵，， ∴∠B=∠1， ∴DE//BC ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，判断命题的真假，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 五、全等图形（共3小题） 17．下列各选项中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是全等形的识别，利用全等图形的概念 “两个图形能够完全重合，就是全等图形”是解答本题的关键． 本题观察四个选项，根据“两个图形能够完全重合，就是全等图形”的定理即可得到答案． 【详解】解：A选项两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意； B选项两个图形大小不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； C选项两个图形大小形状都不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； D选项两个图形大小形状都不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 故选：A 18．下列图形中，属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等图形，解题的关键是掌握：根据能够完全重合的两个图形是全等图形．据此判断即可． 【详解】解：A．由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，故此选项不符合题意； B．由图可知两个图形可以完全重合，所以是全等图形，故此选项符合题意； C．由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，故此选项不符合题意； D．由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，故此选项不符合题意． 故选：B． 19．如图，将标号为的正方形沿图中的虚线剪开后得到标号为的四个图形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪个图形”的对应关系填空． A与 对应；B与 对应；C与 对应；D与 对应． 【答案】 M P Q N 【分析】本题主要考查了全等形的识别，能够完全重合的两个图形叫做全等形，按照剪开前后各基本图形是重合的原则进行逐个验证、排查，熟练掌握全等形的识别是解决此题的关键． 【详解】由全等形的概念可知： A是三个三角形，与M对应； B是一个三角形和两个直角梯形，与P对应； C是一个三角形和两个四边形，与Q对应； D是两个三角形和一个四边形，与N对应 故答案为：M，P，Q，N． 六、全等三角形与全等三角形的性质（共5小题） 20．下列说法正确的是（   ） A．全等三角形的周长和面积分别相等 B．全等三角形是指形状相同的两个三角形 C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与概念，熟知全等三角形的相关知识是解题的关键．根据全等三角形的性质与概念进行逐一判断即可． 【详解】解：A、全等三角形的周长和面积分别相等，说法正确，符合题意； B、形状相同的两个三角形不一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意； C、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意； D、只有边长相等的等边三角形才是全等三角形，原说法错误，不符合题意． 故选：A． 21．，的周长为，，，那么长（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等是解题的关键．根据全等三角形对应边相等，可得，再结合已知的三角形周长和边即可计算出的长度． 【详解】解：∵，且的周长为， ∴，且的周长为， ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 22．已知图中的两个三角形全等，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质． 直接利用全等三角形的性质得出对应角相等，进而得出答案． 【详解】解：由全等三角形的性质得：是边a和c的夹角， ∴， 故选：D． 23．如图，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握：全等三角形的对应边相等，对应角相等．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， 不能判断 ∴选项A、C、D均不符合题意，选项B符合题意． 故选：B． 24．如图，已知，若，，求的长． 【答案】10 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得到，进而求出，则． 【详解】解：， ． ， ∴， ． 七、用SSS证明三角形全等（共6小题） 25．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边、上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C作射线，由此作法便可得，其依据是（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据题意，利用“”可得结论． 【详解】解：在和中， ， ∴， 故由“”可得， 故选：A． 26．如图，，，若要用“”证明，则还需要添加的条件是（   ） A． B． C． D．不需要添加 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定，根据，结合公共边直接判断即可得到答案； 【详解】解：∵，，， ∴， ∴不需要添加条件， 故选：D． 27．如图，勤劳的小蜜蜂A、B、C、D、E、F分别位于蜂房（由若干个正六边形拼成向阳面的一侧劳作，若任何不共线三点位置都可以组成一个三角形，则与全等的三角形是 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 根据全等三角形的判定定理结合图形进行判断即可． 【详解】解：根据图象可知和及全等， 理由是：∵根据图形可知， 在和中， ∴， 根据图形可知， 在和中， ∴， 故答案为：，． 28．如图，点是，的中点，要用“”证明，则只需添加一个适当的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握“”证明两个三角形全等是解决问题的关键；根据证明的方法选择添加的条件． 先根据线段中点的定义得到，，则用“”证明需要添加． 【详解】解：点是，的中点， ，， 当添加时，． 故答案为：． 29．如图，． (1)求证：； (2)求度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质及三角形内角和定理求出，再根据周角定义求解即可． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 30．在数学活动课时，我们定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，． (1)求证： (2)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质； （1）连接与交于点，直接根据证明即可； （2）由得到再证明，得到，根据即可得到． 【详解】（1）证明：连接与交于点， 在与中，，，， ∴， （2）证明：∵， ∴， 在与中， ，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 八、用SAS证明三角形全等（共6小题） 31．如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一直线上，连接，以下四个结论      ①；②； ③；④． 其中结论正确的是 ．（把正确结论的序号填在横线上）． 【答案】①③④ 【分析】由 ，利用等式的性质得到夹角相等，从而得出三角形 与三角形全等，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；由三角形与三角形全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到，进而得到 ，本选项不正确；再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到，本选项正确；利用周角减去两个直角可得答案； 【详解】解： ， 即： 在 和 中 ，本选项正确； 为等腰直角三角形， ，本选项不正确； 即, ∴，本选项正确； ，本此选项正确； 故答案为：①③④． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 32．如图，，，添加条件 ，可以根据“”得到． 【答案】 【分析】此题考查了添加条件证明两个三角形全等，正确掌握全等三角形的判定定理是解题的关键，根据两直线平行内错角相等推出，结合已知条件，若根据“”得到，则应添加的条件为． 【详解】解：∵， ∴， 若，则 在和中 ∴， 故答案为：． 33．如图，点A、、、在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)判断、的关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质等知识点，证得是解题的关键． （1）先根据平行线的性质以及线段的和差可得、，再结合即可证明结论； （2）运用全等三角形的性质可得，；再根据内错角相等、两直线平行即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； ∵， ∴，即． 在和中 ∴． （2）解：，，理由如下： ∵， ∴，； ∴． 34．如图，点B，F，C，E在一条直线上，，． (1)在下列条件①；②；③中，只添加一个条件就可以证得，则所有可以添加的条件的序号是________． (2)根据已知及(1)中添加的一个条件，证明． 【答案】(1)②③ (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质， （1）根据全等三角形的判定定理逐一判断即可； （2）证明即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 又， 添加①无法证得； 添加②根据可证得； 添加③根据可证得； 所有可以添加的条件的序号是②③， 故答案为：②③； （2）添加②， 在与中， )， ； 添加③，在与中， )， ． 35．如图，已知点、是内两点，且，，，． (1)求证：≌； (2)延长、交于点，若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，正确的找出全等三角形的对应边和对应角是解题的关键． （1）先由推导出，再根据全等三角形的判定定理“”证明； （2）由求得，再由全等三角形的对应角相等求得，则，再由求得的度数． 【详解】（1）， ， ， 在和中， ， ∴≌． （2）， ， ， ． 36．如图，，请添加一个条件，使． (1)你添加的条件是______（只需添加一个条件）； (2)利用（1）中添加的条件，求证：． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的两锐角互余，三角形的内角和定理，垂直的定义．解题的关键是正确寻找判定三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题． （1）由题意得到，推出，，再根据判定定理得添加一个条件为，即可使； （2）根据三角形全等的判定定理证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， 由得添加一个条件为， 故答案为：（答案不唯一）； （2）证明：， ， ， 即， 在和中， ， ． 九、用ASA（AAS）证明三角形全等（共68小题） 37．如图，已知，只要再添加一个条件： ，就能使．（填一个即可）    【答案】或者（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形全等的判定，判定两个三角形全等，已知，且由图可知为和的一条公共边，由根据全等三角形全等的判定定理，根据再添加条件即可． 【详解】解：所添加条件为：或； ①∵，，为公共边， ∴； ②∵，，为公共边， ∴； 故答案为：或（答案不唯一）． 38．如图，，，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由可得，即可证明． 【详解】解：， ，， 在和中， ， ． 39．如图，、、三点在同一条直线上， ，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判断及性质，熟悉掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用平行线的性质证出角相等，再通过证出，即可解答； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 40．如图，在中，． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质． （1）由题意可得：，再根据，推出，再利用证明即可； （2）利用全等三角形的性质，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴． 41．如图，点E、B、F、C在同一条直线上，，， (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，平行线的性质，利用证明是解题的关键． （1）根据平行线的性质及线段的和差得出，，利用证明，即可得解； （2）全等三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：，， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ； （2）解：， ， ， ． 42．如图，四边形中，对角线、交于点，，点是上一点，且，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，可得出结论； （2）根据全等三角形的性质求出答案． 【详解】（1）证明：， ， 即：， 在和中， ， ∴， ； （2）解：由（1）得， ， ，， ． 43．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究．在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂个小球A，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，且测得到点B到的距离为；当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E，测得点C到的距离为． (1)判断与的数量关系，并证明； (2)求两次摆动中点B和C的高度差的长． 【答案】(1)．理由见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握相关结论即可． （1）证即可求解； （2）由题意得：，根据得出，即可求解； 【详解】（1）解：．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ （2）解：由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴两次摆动中点B和C的高度差的长为． 44．是经过的顶点的一条直线，，，分别是直线上的两点，连接，，． (1)如图①，若直线经过的内部，且点，在射线上，．求证：； (2)如图②，若直线不经过的内部，，猜想线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）由题可得，再由全等三角形的判定和性质得出，则，，即可得出． （2）同（1）可得，则，，再由即可得出． 【详解】（1）在中，． ， ， ． ， ． 在和中， ， ， ，． ， ． （2）． 证明：， ． 在中，， ． 在和中， ， ， ，， ， ． 十、用HL证明三角形全等（共5小题） 45．下列说法中错误的是（  ） A．三角形的内角平分线的交点到三边的距离相等 B．斜边和一个锐角分别相等的两个直角三角形全等 C．两条直角边分别相等的两个直角三角形全等 D．一边长相等的两个等腰直角三角形全等 【答案】D 【分析】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握三角形角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，进行解答，即可． 【详解】A、三角形的内角平分线的交点到三边的距离相等，正确，不符合题意； B、斜边和一个锐角分别相等的两个直角三角形全等，，正确，不符合题意； C、两条直角边分别相等的两个直角三角形全等，，正确，不符合题意； D、一边长相等的两个等腰直角三角形全等，无法确定是直角边还是斜边，无法判定两个三角形全等，错误，符合题意． 故选：D． 46．在和中，．下列条件中不能确定与全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟悉各判定定理的内容是关键；由条件知，两个三角形有两条边对应相等，且一边的对角也相等；对于四个选项中的条件，选项A、C按照判定方法即可作出判断，对于选项B，举出反例即可，对于选项D，分为锐角与钝角两种情况，分别过A、作，垂足分别为，先证明，再证明，最后可证明与全等，从而可判定选项D不符合题意；最后可得答案． 【详解】解：∵， ∴当时，则， ∴由可判定与全等； 故A不满足题意； 当时，存在下面如图情况时， 此时与不全等； 故B符合题意； 当时，则有； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴由可判定与全等； 故C不满足题意； 当时，且为锐角时，如图， 分别过A、作，垂足分别为， 则， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴； 当为钝角时，分别过A、作，交的延长线于，同理可得； 综上，当时，； 故D不满足题意； 故选：B． 47．如图，在中，点F在边BC上，于点D，于点E，，，若，则 ． 【答案】 【分析】由HL可证的，可得，由平角的性质可求解； 【详解】，， ． 在和中，， ， ， ． 故答案是． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键． 48．如图，点是线段的中点，在线段的同侧作，，过点作于点，过点作于点，已知． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，进行解答，即可． （1）根据题意，则，等量代换得，根据，，则，根据，则，即可； （2）由（1）可得，，则，根据，即可． 【详解】（1）解：证明如下： ∵点是线段的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 49．已知：如图，，，垂足分别为，，，与相交于点． (1)求证∶； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关的知识． （1）连接，根据题意证明，根据全等三角形的性质即可证明； （2）由，，，可得，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2），，， ， ， ． 十一、添加条件证明三角形全等（共6小题） 50．如图，，，添加下列哪个条件可以推证（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全等三角形的判定方法进行推理即可．此题主要考查了三角形全等的判定方法，熟知判定两个三角形全等的一般方法：、、、、是解题的关键． 【详解】解：， ， 即， A、添加不能推证，不合题意； B、添加不能推证，不合题意； C、添加，得出，结合，，可利用能推证，符合题意； D、添加不能推证，不合题意； 故选：C． 51．如图，，不能确定，这个条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定定理有、、、、，根据全等三角形的判定定理逐一判断即可； 【详解】解：当添加时，结合，可得判定证明，故A不符合题意， 当添加时，结合，不能证明，故B符合题意， 当添加时，结合，可得判定证明，故C不符合题意， 当添加时，结合，可得判定证明，故D不符合题意， 故选：B． 52．如图，，，则下列增加的条件中不能证明的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、由于，，添加条件，不能用证明，故本选项符合题意； B、由于，，添加条件，可以利用证明，故本选项不符合题意； C、由于，，添加条件，可得，即，可以利用证明，故本选项不符合题意； D、由于，，添加条件，可以利用证明，故本选项不符合题意； 故选：A． 53．如图，点A，F，C，D在同一条直线上，，，若要使，需要添加的一个条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理解答，即可． 【详解】解：根据题意得：，， 添加，可利用角边角证明． 故答案为：（答案不唯一） 54．如图，在中，是上一点，，，，三点共线，请添加一个条件： ，使得．（只添一种情况即可） 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定解答．根据题目中的条件和全等三角形的判定，可以写出添加的条件，注意本题答案不唯一． 【详解】， ，． 添加条件，可以使得，可得； 添加条件，可以使得，可得． 故答案为或（答案不唯一）． 55．如图，做一个“U”字形框架，其中足够长，，点M从点B出发，向点A运动，同时点N从点B出发，向点Q运动，点M、N运动的速度之比为，当M、N两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点C，使与全等，求此时线段的长是多少？ 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设，则，使与全等，由可知，分两种情况：情况一：当，时，列方程解得t，可得；情况二：当，时，列方程解得t，可得． 【详解】解：∵点M、N运动的速度之比为， ∴可设，则，， ∵， ∴使与全等，可分两种情况： 情况一：当，时， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 情况二：当，时， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，或． 十二、结合尺规作图的全等问题（共6小题） 56．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．由全等三角形的判定方法，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、C选项中的条件没有边的长度，因此不能画出唯一的，故A、C不符合题意； B选项只是知道两边的长度，不能画出唯一的； D．已知两角和这两角的夹边，能够画出唯一的，故D符合题意． 故选：D． 57．如图，已知；，线段，求作． 作法；（1）作线段； （2）在的同旁作，，与的另一边交于点．则是所作三角形，这样作图的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图—复杂作图，全等三角形的判定，解题的关键是理解作图过程中产生的相等元素，据此得出全等的判定方法． 【详解】解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即． 故选C． 58．程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定的； ②当，时，可得到形状唯一确定的； ③当，时，可得到形状唯一确定的． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】以为圆心，长为半径画弧，与射线有1个交点，则可得到形状唯一确定的，否则不能得到形状唯一确定的．根据此观点进行解答便可．本题主要考查全等三角形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：①当，时，以为圆心，6为半径画弧，与射线有两个交点，则的形状不能唯一确定，故①错误； ②当，时，以为圆心，10为半径画弧，与射线有一个交点，点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的，故②正确； ③当，时，以为圆心，12为半径画弧，与射线有一个交点，点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的，故③正确； 故选：B． 59．如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（    ）    A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等 B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等 C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等 D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定进行判断即可． 【详解】解：根据作图可知：两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，其中角的对边不确定，可能有两种情况，故三角形不能确定， 所以两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知三角形全等的判定是解题的关键． 60．如图，已知点D是射线上一点且 (1)过点E作的平行线； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查作平行线，平行线的判定与性质，熟练掌握尺规基本作图-作一个角等于已知角，平行线的判定与性质是解题的关键． （1）利用尺规基本作图-作一个角等于已知角，在一上，作即可； （2）分情况讨论，当点F在上方时，利用平行线的性质求出，再利用求解即可；当点F在下方时，利用邻补角的性质即可求解． 【详解】（1）解：以点O为圆心任意为半径画弧，交、于M、N，半径不变，以点E为圆心画弧，交于点P，再以点P为圆心长为半径画弧形，与前弧相交于F，过作直线即可． 如图所示，直线就是所要求作的直线， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图， 当点F在上方时， ， ， ． ， ； 当点F在下方时，． 61．（1）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法. 如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（    ） A．    B．   C．    D． （2）如图，直线a是一条公路，M，N是公路a同侧的两个居民区，现计划在公路a上修建一个公交候车亭O，及修建两居民区M，N之间的道路，为了使最短，请在图中作出点O的位置(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)． 【答案】（1）B；（2）见解析 【分析】（1）本题考查了全等三角形的判定定理，三边对应相等的两个三角形全等，以及作一个角等于已知角，根据用尺规画一个角等于已知角的步骤，据此即可求解． （2）本题考查将军饮马模型，作关于直线a的对称点，连接与直线a交于点,根据对称的性质和两点之间线段最短，即可得到最短． 【详解】（1）解：根据做法可知：，，， ∴， 故选：B． （2）解：点O的位置如图所示： 十三、全等三角形的分类讨论问题（共3小题） 62．如图， ， ，、分别为线段和射线上的一点，若点从点出发 向点运动，同时点从点出发向点运动，二者速度之比为，运动到某时刻同时停止，在射线上取一点，使与全等，则的长为（        ）   A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，与全等分两种情况，一种情况是，另一种情况是，根据全等三角形对应边相等分别求出点运动的时间，根据运动的时间和速度求出、的长度，再根据全等三角形对应边相等确定的长度． 【详解】解：设运动的时间为秒，则，， ，则， 若， 则有， 则， 解得：， 此时； 若， 则有， 则， 解得：, 此时， 综上所述，如果使与全等，则的长为或． 故选：D． 63．如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒： (1)________．（用t的代数式表示） (2)当t为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，2或 【分析】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的性质，列代数式，解本题的关键是全等三角形性质的掌握． （1）根据点的运动速度可得的长； （2）根据全等三角形的性质即可得出即可； （3）此题主要分两种情况①得到，，②得到，，然后分别计算出的值，进而得到的值． 【详解】（1）解：点从点出发，以秒的速度沿向点运动，点的运动时间为秒时，， 故答案案为：； （2）当时，， 理由：，， ， ， ， ， （3）①当时， ，， ， ， ， ， 解得：， ， ， 解得：； ②当时， ， ， ， ， 解得：， ， ， 解得：． 综上所述：当或时，与全等． 64．（1）提出问题：如图1，在直角△中，，点正好落在直线上，则、的关系为 　　． （2）探究问题：①如图2，在直角△中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． ②如图3，将①中的条件改为：在△中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：如图4，直线经过△的直角顶点，△的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 【答案】（1）；（2）①，理由见解析；②成立．证明见解析；（3）当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 【分析】（1）利用平角的定义即可求解； （2）①先证明出，得出，，即可得出结果； ②证明出，得出，，即可得出结论； （3）由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由，的位置决定，故需要对，的位置分当在上，在上时或当在上，在上时，或当到达，在上时，分别讨论． 【详解】解：（1），， ， 故答案为：； （2）①，理由如下： 直线，直线， ， ， ， ， ， 在△和△中， ， ， ，， ， 故答案为：； ②成立．证明如下： 如图2， ， ， ， 在△和△中， ， ， ，， ； （3）①当在上，在上时，即， ，， 以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． ， ， ； ②当在上，在上时，即， ，， ， ， ； ③当到达，在上时，即， ，， ， ， ． 综上所述，当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等角的余角相等、三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 十四、旋转模型（共4小题） 65．如图，与都是等腰直角三角形，，，，交于点，连接，． (1)求证：； (2)可以看作是由绕某点旋转得到的，若，则旋转中心是点______，旋转角的度数为______． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】本题考查了全等三角形中的旋转模型，掌握旋转的相关性质是解题关键． （1）推出，即可求证； （2）旋转角为旋转前后对应线段形成的角度，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ， 即， ，， ； （2）解：由题意可得：旋转中心是点， 旋转角为或， ∴旋转角的度数为． 故答案为：， 66．问题发现：如图1，已知为线段上一点，分别以线段，为直角边作等腰直角三角形，，，，连接，，线段，之间的数量关系为______；位置关系为_______． 拓展探究：如图2，把绕点逆时针旋转，线段，交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由． 【答案】问题发现：，；拓展探究：成立，理由见解析 【分析】问题发现：根据题目条件证△ACE≌△DCB，再根据全等三角形的性质即可得出答案； 拓展探究：用SAS证，根据全等三角形的性质即可证得． 【详解】解：问题发现：延长BD，交AE于点F，如图所示： ∵， ∴， 又∵, ∴（SAS）， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 故答案为：，； 拓展探究：成立． 理由如下：设与相交于点，如图1所示： ∵， ∴， 又∵，， ∴（SAS）， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，依然成立． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，手拉手模型，熟练掌握全等三角形的判定和手拉手模型是解决本题的关键． 67．【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1），证明见解析（2），证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形． （1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 68．在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），E是外一点，连接，已知，，连接 (1)如图1，点D在线段上，如果，则______度： (2)如图2，当点D在线段上，试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点D在线段的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)（2）中的结论不成立，当点在的延长线上时，．理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－旋转模型，掌握该模型的相关结论是解题关键． （1）证即可求解； （2）证即可求解； （3）证即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：， ∵，， ∴ ∵，， 故答案为： （2）解：，理由如下： ， ， 又， ， 即：， 在和中，， ； （3）解：（2）中的结论不成立，当点在的延长线上时，．理由如下： 如图所示： ， ， 即：， 在和中，， 又， ． 十五、倍长中线模型（共3小题） 69．如图，在中，为的中点． (1)求证：； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形的三边关系． （1）延长到，使，连接，再由为中点得到，夹角为对顶角相等，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到，在三角形中，利用三角形三边关系即可得证； （2）根据与的长，利用由三角形的三边关系，求出的范围即可． 【详解】（1）证明：如图，延长至点，使，连接． 为的中点， ， 又， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ，即． 70．如图，已知，，是的中线． (1)若，，的取值范围为______； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，三角形外角的性质； （1）延长至，使 ，连接，于是证得得，再根据三角形三边之间的关系得，由此可得AE的取值范围； （2）根据（1）证明，由此可证明和全等，然后根据全等三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）延长至，使 ，连接． 则 是的中线， ， 在与中， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：， （2）∵ ，， ，， ． 在与中， ， ， ． ， ． 71．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． (1)如图（1），是的中线．且．延长至点．使．连接．求证：． (2)如图（2），是的中线，点在的延长线上，，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形中线的定义． （1）由证明三角形全等可得出答案； （2）延长至M，使，先证明，进而得出，，即可得出，再证明，即可得出答案． 【详解】（1）证明：是的中线 ， 在和中， ， ； （2）证明：延长至，使， 是的中线， ，且， ， ，， ， ， ， ， 即，且，， . ， ， ． 十六、垂直模型（共6小题） 72．如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． （1）根据证明，得出，即可证明； （2）根据，得出，根据三角形全等的性质即可得出，得出，根据平行线的判定得出． 【详解】（1）证明：在和中 ， ∴； ∴， ∵， ∴． （2）解：当时，．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． 73．如图点的坐标为，点从原点出发，沿轴负方向以每秒1个单位的速度运动，分别以为直角边在第三、第四象限作等腰直角三角形、等腰直角三角形（），连结，交轴于点，经过秒时，点的坐标是 （用含的代数式表示），的长是 ． 【答案】 4 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，有一定的难度． 作轴于，求出，证，求出，证，推出，即可得出答案． 【详解】解：如图，作轴于， ， ，， ， 在和中， ， ∴， ， ∴点的坐标是， ， 在和中， ， ∴， ， 又∵点的坐标为， ， ， 故答案为：；4． 74．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型； (2)如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查一线三直角全等问题， （1）由，得，则，而，即可证明，得，，于是得到问题的答案； （2）作于点，因为于点，于点，所以，由（1）得，因为，所以，则，而，即可证明，得，所以，再证明，则． 【详解】（1））解：于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故答案为：，． （2）证明：如图2，作于点， ∵于点，于点E， ∴， 由， 同理（1）得， ∴， 在和中， ∴， ∴． 75．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的性质推出； （2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论； （3）由（2）得且，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ∴， （2）解：，理由如下： ，， ， 又， ∴， ，， ， 即； （3）解：由（2）得且，， ∴， ∴ ， ∴，则， ∴． 76．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图1．已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． (2)组员小明对图2进行了探究，若，，直线l经过点A．直线l，直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段、、之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段、、之间的数量关系， (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： 如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据直线l，直线l，，可得，利用可证明，根据即可得到； （2）同（1）利用可证明，根据即可得到； （3）过作于，的延长线于，可构造两组一线三直角全等模型，即：，，从而可以得到，，再根据可得，即可确定的长度； 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴； （2）∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴； （3）如图，过作于，的延长线于， ∴ ∵，， ∴ 在和中， ， ∴ ∴，， 同理可得： ∴，， 即：，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，一线三直角全等模型，线段之间的计算，构造合理的辅助线及掌握等腰直角三角形下的一线三直角全等模型是解决本题的关键． 77．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：    (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________，．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，．求出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由即可求解； （2）作，利用“K字模型”的结论可得，故可推出，再证即可； （3）作，利用“K字模型”的结论可得，进一步可证，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ 故答案为：； （2）证明：作    由“K字模型”可得： ∴ 即：点G是的中点 （3）解：作，如图：    ∵四边形和四边形均为正方形 ∴ 由“K字模型”可得： 即： ∵ ∴ 【点睛】本题考查了“一线三等角”的全等模型，熟悉模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键． 试卷第2页，共75页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 全等三角形（易错必刷77题16种题型专项训练） 一、命题的辨别与真假命题（共5小题） 1．下列语句中不是命题的是（   ） A．两点之间，线段最短 B．连结A、B两点 C．两直线与第三条直线相交，同位角相等 D．不平行的两条直线有一个交点 2．下列语句不是命题的有（   ） ①全等三角形对应边相等；②过一点画已知直线的平行线；③同角的余角相等；④内错角相等吗？ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．给出下列命题：①数轴上的点与有理数一一对应；②同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行；③两点之间，线段最短．其中是假命题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．下列命题是真命题的为（    ） A．内错角相等 B．周长相等的两个三角形全等 C．若，则 D．若，则 5．下列命题中，真命题的个数是（    ） （）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 （）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 （）三角形的任何一个内角小于与它不相邻的外角 （）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 （）两条边相等及一个角相等的两个三角形一定全等 A． B． C． D． 二、写出命题的题设与结论（共3小题） 6．把命题“等角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式： ． 7．用三个不等式，，中的两个不等式作为题设条件，余下的一个不等式作为结论，组成一个命题，可以组成真命题的个数为 个，请同学们写出一个真命题 ． 8．如图，有三个论断：①；②；③．请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出已知、求证，并证明该命题的正确性． 三、逆命题与逆命题真假的判定（共4小题） 9．下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．如果两个角是直角，那么它们相等 B．若，则 C．两直线平行，内错角相等 D．对顶角相等 10．下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．偶数一定能被整除 B．两直线平行，内错角相等 C．三条边对应相等的两个三角形是全等三角形 D．若，则 11．给出下列命题：①若，则；②锐角都相等；③一个角的补角大于这个角；④两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．以上命题的逆命题是假命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．已知命题“对顶角相等”． (1)此命题是真命题还是假命题？如果是真命题．请给予说明；如果是假命题，请举出反例． (2)写出此命题的逆命题，并判断逆命题的真假．如果是真命题，请给予说明；如果是假命题，请举出反例． 四、定理与证明（共4小题） 13．下列说法中正确的是（      ） A．如果一个命题是真命题，那么它的逆命题也是真命题 B．任何定理一定有逆定理 C．任何命题一定有逆命题 D．定理一定是命题，但不一定是真命题 14．在甲组图形的四个图中，每个图是由四种图形A，B，C，不同的线段或圆中的 某两个图形组成的，例如由A，B组成的图形记为，在乙组图形的，，，四个图形中，表示“”和“”的是　　 A．， B．， C．， D．， 15．下列命题可以作定理的有 个． ①2与6的平均值是8；②能被3整除的数能被6整除；③5是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数仍是等式． 16．如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：） 五、全等图形（共3小题） 17．下列各选项中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 18．下列图形中，属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 19．如图，将标号为的正方形沿图中的虚线剪开后得到标号为的四个图形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪个图形”的对应关系填空． A与 对应；B与 对应；C与 对应；D与 对应． 六、全等三角形与全等三角形的性质（共5小题） 20．下列说法正确的是（   ） A．全等三角形的周长和面积分别相等 B．全等三角形是指形状相同的两个三角形 C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 21．，的周长为，，，那么长（    ） A． B． C． D． 22．已知图中的两个三角形全等，则等于（   ） A． B． C． D． 23．如图，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 24．如图，已知，若，，求的长． 七、用SSS证明三角形全等（共6小题） 25．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边、上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C作射线，由此作法便可得，其依据是（     ）    A． B． C． D． 26．如图，，，若要用“”证明，则还需要添加的条件是（   ） A． B． C． D．不需要添加 27．如图，勤劳的小蜜蜂A、B、C、D、E、F分别位于蜂房（由若干个正六边形拼成向阳面的一侧劳作，若任何不共线三点位置都可以组成一个三角形，则与全等的三角形是 ． 28．如图，点是，的中点，要用“”证明，则只需添加一个适当的条件是 ． 29．如图，． (1)求证：； (2)求度数． 30．在数学活动课时，我们定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，． (1)求证： (2)证明：． 八、用SAS证明三角形全等（共6小题） 31．如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一直线上，连接，以下四个结论      ①；②； ③；④． 其中结论正确的是 ．（把正确结论的序号填在横线上）． 32．如图，，，添加条件 ，可以根据“”得到． 33．如图，点A、、、在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)判断、的关系，并说明理由． 34．如图，点B，F，C，E在一条直线上，，． (1)在下列条件①；②；③中，只添加一个条件就可以证得，则所有可以添加的条件的序号是________． (2)根据已知及(1)中添加的一个条件，证明． 35．如图，已知点、是内两点，且，，，． (1)求证：≌； (2)延长、交于点，若，，求的度数． 36．如图，，请添加一个条件，使． (1)你添加的条件是______（只需添加一个条件）； (2)利用（1）中添加的条件，求证：． 九、用ASA（AAS）证明三角形全等（共68小题） 37．如图，已知，只要再添加一个条件： ，就能使．（填一个即可）    38．如图，，，． 求证：． 39．如图，、、三点在同一条直线上， ，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 40．如图，在中，． (1)求证：． (2)求证：． 41．如图，点E、B、F、C在同一条直线上，，， (1)求证：； (2)若，，求的度数． 42．如图，四边形中，对角线、交于点，，点是上一点，且，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 43．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究．在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂个小球A，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，且测得到点B到的距离为；当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E，测得点C到的距离为． (1)判断与的数量关系，并证明； (2)求两次摆动中点B和C的高度差的长． 44．是经过的顶点的一条直线，，，分别是直线上的两点，连接，，． (1)如图①，若直线经过的内部，且点，在射线上，．求证：； (2)如图②，若直线不经过的内部，，猜想线段，，之间的数量关系，并加以证明． 十、用HL证明三角形全等（共5小题） 45．下列说法中错误的是（  ） A．三角形的内角平分线的交点到三边的距离相等 B．斜边和一个锐角分别相等的两个直角三角形全等 C．两条直角边分别相等的两个直角三角形全等 D．一边长相等的两个等腰直角三角形全等 46．在和中，．下列条件中不能确定与全等的是（   ） A． B． C． D． 47．如图，在中，点F在边BC上，于点D，于点E，，，若，则 ． 48．如图，点是线段的中点，在线段的同侧作，，过点作于点，过点作于点，已知． (1)求证：； (2)求证：． 49．已知：如图，，，垂足分别为，，，与相交于点． (1)求证∶； (2)若，，求的长． 十一、添加条件证明三角形全等（共6小题） 50．如图，，，添加下列哪个条件可以推证（    ） A． B． C． D． 51．如图，，不能确定，这个条件是（　　） A． B． C． D． 52．如图，，，则下列增加的条件中不能证明的是（    ） A． B． C． D． 53．如图，点A，F，C，D在同一条直线上，，，若要使，需要添加的一个条件是 ． 54．如图，在中，是上一点，，，，三点共线，请添加一个条件： ，使得．（只添一种情况即可） 55．如图，做一个“U”字形框架，其中足够长，，点M从点B出发，向点A运动，同时点N从点B出发，向点Q运动，点M、N运动的速度之比为，当M、N两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点C，使与全等，求此时线段的长是多少？ 十二、结合尺规作图的全等问题（共6小题） 56．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．， C．，， D．，， 57．如图，已知；，线段，求作． 作法；（1）作线段； （2）在的同旁作，，与的另一边交于点．则是所作三角形，这样作图的依据是（    ） A． B． C． D． 58．程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定的； ②当，时，可得到形状唯一确定的； ③当，时，可得到形状唯一确定的． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 59．如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（    ）    A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等 B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等 C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等 D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等 60．如图，已知点D是射线上一点且 (1)过点E作的平行线； (2)若，求的度数． 61．（1）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法. 如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（    ） A．    B．   C．    D． （2）如图，直线a是一条公路，M，N是公路a同侧的两个居民区，现计划在公路a上修建一个公交候车亭O，及修建两居民区M，N之间的道路，为了使最短，请在图中作出点O的位置(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)． 十三、全等三角形的分类讨论问题（共3小题） 62．如图， ， ，、分别为线段和射线上的一点，若点从点出发 向点运动，同时点从点出发向点运动，二者速度之比为，运动到某时刻同时停止，在射线上取一点，使与全等，则的长为（        ）   A． B． C．或 D．或 63．如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒： (1)________．（用t的代数式表示） (2)当t为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 64．（1）提出问题：如图1，在直角△中，，点正好落在直线上，则、的关系为 　　． （2）探究问题：①如图2，在直角△中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． ②如图3，将①中的条件改为：在△中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：如图4，直线经过△的直角顶点，△的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 十四、旋转模型（共4小题） 65．如图，与都是等腰直角三角形，，，，交于点，连接，． (1)求证：； (2)可以看作是由绕某点旋转得到的，若，则旋转中心是点______，旋转角的度数为______． 66．问题发现：如图1，已知为线段上一点，分别以线段，为直角边作等腰直角三角形，，，，连接，，线段，之间的数量关系为______；位置关系为_______． 拓展探究：如图2，把绕点逆时针旋转，线段，交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由． 67．【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论．       68．在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），E是外一点，连接，已知，，连接 (1)如图1，点D在线段上，如果，则______度： (2)如图2，当点D在线段上，试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点D在线段的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由． 十五、倍长中线模型（共3小题） 69．如图，在中，为的中点． (1)求证：； (2)若，求的取值范围． 70．如图，已知，，是的中线． (1)若，，的取值范围为______； (2)求证：． 71．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． (1)如图（1），是的中线．且．延长至点．使．连接．求证：． (2)如图（2），是的中线，点在的延长线上，，，求证：． 十六、垂直模型（共6小题） 72．如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 73．如图点的坐标为，点从原点出发，沿轴负方向以每秒1个单位的速度运动，分别以为直角边在第三、第四象限作等腰直角三角形、等腰直角三角形（），连结，交轴于点，经过秒时，点的坐标是 （用含的代数式表示），的长是 ． 74．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型； (2)如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：． 75．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 76．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图1．已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． (2)组员小明对图2进行了探究，若，，直线l经过点A．直线l，直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段、、之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段、、之间的数量关系， (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： 如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求的长． 77．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：    (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________，．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，．求出的值． 试卷第2页，共75页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$