重庆市部分中学2025届高三上学期12月联考数学试卷

重庆高三数学考试参考答案 1.【答案】B 【解析】由3<2<10，得1<log3<x<log10<4,所以A∩B={2,3.故选B. 2.【答案】C 【解折G计刊=3+，得：-所以：=国=书-5，散选C 13+i 3.【答案】D 【解析】由题意，2a-1=0,所以a=:故选D 4.【答案】B 【解析】由a·b=一a·b1,知a,b反向. 由2(m-5)=-m,解得m=2或-是 当m=2时a,b同向，不符合题意：当n=一号时，a,b反向，符合题意。 故m=一 放选B 5 5.【答案】C 【解折当x>1时一1>0.所以红+马=4红-1D+十4>8（当且仅当x=受时， 等号成立)，满足充分性： 当4红+≥8，即②二 x-1 ≥0，所以x>1,满足必要性. 故x>1”是x十，二≥8”的充要条件，故选C 6.【答案】A 【解析】因为数据3,6,3,2,7,4,6,8的中位数为5，即n=5, 所以(x2+x-2)5=(x-1)5(x+2)5. 所以展开式中含x的项为Cx×C×2十C×(一1)×Cx×2=80.x, 即展开式中含x项的系数为80.故选A. 7.【答案C 当n为奇数时，am+2一an=2n一1；当n为偶数时，am+:十am=2n一1. 设数列{an}的前n项和为Sn,则Sg=a1十a2十…十a8=(a1十a3十as十a,)+(a2十a4)十 (a8+ag)=a1+(a1+1)+(a1+6)+(a1+15)+(3+11)=4a1+36=60, 所以a1=6.故选C 8.【答案】A 【高三数学·参考答案第1页（共8页）】 ·25-222C· 【解析】当0<B<2时，则a3-B=cosa-2 cos cosa-cos, 所以a3-cosa<33-cosB. 令f(.x)=x3-cosx,x∈(0，π)，则f'(.x)=3.x2+sinx>0, 所以f(z)在(0，x)上单调递增，所以a<<受，所以sina<sinR. 当月=受时，。-月=c0sa一2c0sB=c0sa一c0sA,所以a=月=受，不符合题意. 当5<g<x时，则a3-B=cos&-2cosB>cosa-cos8, 所以a2-cosa>g2-cosB,所以e>B>受，所以sina<sinB. 综上，sina<sinB.故选A. 9.【答案】ACD 【解析】f(x)=√2cos(x+于). 对于选项A,令x十开=kx十受，得x=kx十平(kEZ, 所以（不，0）是f(x)图象的一个对称中心，故A正确： 对于选项B,当x∈[0，时，则+∈[牙，]，所以fx)的最大值为1，放B错误 对于选项C,因为f(x)的最小正周期为2π，结合y=∫(x)川的图象知其最小正周期为π，故 C正确； 对于选项D,令2kr<x+<2kx十，则2k红一晋<r<2kx+3红，即f(x)的单调递减区间 为[2kx一牙，2x+]ck∈.由[0a]=[2kx-年，2kx+],知a的最大值为平，故D 正确. 故选ACD. 10.【答案】BCD 【解析】对于选项A,由对称性知，p2=P(X>1,3)=P(X<1.1),所以p1+p2=1,故A 错误； 对于选项B,因为p3=P(X>L.4)<P(X>1.3)=p,所以p1十p<p1+P2=1,故B 正确； 对于选项C,因为十+A:=1,所以p,p<(P士)广-A.3,放C正确： 对于选项D,因为p:-p=P(1.3<X<1.4),2(p1-p:)=2P1.1<X<1.3)=P(1.2 【高三数学·参考答案第2页（共8页）】 ·25-222C· <X<1.3.所以p:-p,<p,-p,).整理得p:十2p,>3p,放D正确 故选BCD. 11.【答案】ABD 【解析】对于选项A,因为f(一x)十f(x)=0,所以一f'(一x)十f'(x)=0,即f'(一x) f(x),所以f'(x)是偶函数，故A正确： 对于选项B,因为f(x)+f'(x)=2e,所以f(一x)+f'(一x)=2er,即一f(x)+f'(x) =2e',解得f(x)=e一e·,f'(x)=e十e,所以f(x)在R上单调递增，故B正确： 对于选项C,因为f(x)-f'(x)=e-e-(e十e)=-2e+<0,所以f(x)<f'(x), 故C错误： 对于选项D,令g(x)=f(x)-xf'(x)=e-er一x(e十e), 设1=e>1,所以原函数可以转化为g)=1-}-n(+）=(+)(司 In). 记a)-n,所以)=二D 2+1 t(12+1)2 <0,所以h(t)在(1，十∞)上单调递减， 所以h(t)<h(1)=0,从而g(t)<0,所以x>0,f(x)<xf'(x),故D正确. 故选ABD 12.【答案】8 【解析】设公比为4，则S,-3a1=a19十a1g2-2a1=2,a,-a1=a1(g2-1）= 2 两式相除，得9+9一2_9十24 q2-1 一9干3，所以g=2,所以a1=7,所以a,=8 13.【答案5v2团 7元 【解析】由AC=2,BC=3,∠C=60°，余弦定理可得AB=√7. 3√2I 因为△ABC的面积为33，由等面积得点C到AB的距离为严， 所以所得几何体的表面积为 5√2I 7π. 14.【答案】1≤k<5十1 2 【解析1设后-9≥1，b>1,因为1+6>所以1长g<去 因为mx名名}=后=c,mim(会，名}=mi(名名}=mim公，号》， 所以k=cXmin{ 6,。=min0,b1,因为9≥1,62≥，所以≥ 【高三数学·参考答案第3页（共8页）】 ·25-222C· 又<1-1+1+日所以6--10，即6<6中. 2 综上，1≤k<5+1 2 15.【解】(1)假设“评定类型”与“性别”没有关系， 则K:=100(20×40-30X10) 50×50×30×70 ≈4.762>3841，…3分 所以有95%的把握认为“评定类型”与“性别”有关. …5分 (2)由题意，X的可能取值为0,1,2,3. 以频率估计概率。则抽取的男性好友中评定为积极型“的概率为号， …7分 则PxX=o=C()×()°-费P(x=-C()八×()-酷， px=2=c(}'×()'-Px=3)=C()×(》”= 所以X的分布列如下表所示： X 0 1 2 3 P 27 54 36 125 125 125 12 400t…4……0000000…000000404…04000004400…0t 11分 所以E(X)=0X 6 即随机变量X的数学期望为 …13分 16.【解】(1D因为f(x)=ax3_a十3 2 2+x,所以f'(x)=3a.x2-(a+3)x+1=(3.x-1)(a.x 1).… …2分 因为0<a<3,所以>号令f)0,得号<< 所以x)在（号，）上单调递减，在(-©，号)和（合，+）上单调递增。 …4分 因为f0=0.所以兮)>0.要使f)恰有3个零点，则/（日）-2号<0，解得0<a< ],…6分 所以<“士32，即6的取值范圈为号，2小 …7分 (2)若a=2,b=4,则f(x)=2x3-4x2+x,令g(x)=x-f(x)=-2x3+4x2,-1≤x≤ 2,则g'(x)=-6(x-): 9分 【高三数学·参考答案第4页（共8页）】 ·25-222C· 令g(x)=-6x(女-专)>0，得0<x<号，易知gx)=x-f(x)在(0，)上单调递增，在 [-1.0]止单调递减，在[号，2]上单调递减。 …11分 因为g(一1D=6g(信)-务6，所以g6)=一-c)在[-1,2上的最大值为6… …13分 因为g(0)=0,g(2)=0,所以g(x)=x一f(x)在[-1,2]上的最小值为0，…14分 所以当-1≤x≤2时，0≤x-f(x)≤6.… …15分 17.【解】(1)因为acos B-c=3 asin B, 结合正弦定理，得sin Acos B一sinC=√3 sin Asin B.…2分 在△ABC中，sinC=sin[x-(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 所以sin Acos B-(sin Acos B+cos Asin B)=√3 sin Asin B, 整理得cos Asin B=-√5 sin Asin B. 因为B∈(0，π)，所以sinB>0,所以c0sA=一√5sinA,…4分 所以tanA= 3 又A∈(0，x,所以A=5x 6分 (2)(法一)因为D是边BC的中点，a=2, 所以BD=CD=1. 在△ABD中，AB⊥AD,则AD=BDsin B=sinB. 在△ACD中，∠CAD=g-号-晋.C=x-管-B=吾-B.CD=1…8分 6 CD AD 由正弦定理可得m☑CAD sin C·即 AD msin(-B 3 所以AD=是in(答-B), …10分 所以nB=名n(B),即nB-msB- 3 2 sin B, 所以cosB=2W3sinB. 12分 又sinB+cosB=1,B∈(0，π)， 所以sim'B+(23sinB)2-1,解得sinB=国 13 所以AD=sinB= 13 …15分 【高三数学·参考答案第5页（共8页）】 ·25-222C· (法二)因为D是边BC的中点，所以S△ABD=S△ACD, 所以2c·AD=2b·AD·sin∠DAC, 即c·AD=b·AD·sin(晋-)， 整理得：-号n …9分 在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2-2 bc cos,∠BAC, 即b2十c2十3b0=4②。… 11分 联立①②，可得b=4 23 后 404400000400+040040t+00400000400400400000004t000044000004000 13分 在Rt△ABD中，由勾股定理得AD2=BD2-AB=1- 所以AD= 13 15分 18.【解】1)当a=2时，f(x)=2lnx 2x, 所以f'(x)=2 2-x -x= 设切点为)，则切线的斜率为2二 ,yo=2lnx0-2x6, 所以切线的方程为)-(2nx。分)-2(x一 因为切线经过点(0，一》， 所以--(2n)=2(0- 整理得号+2h,一号-0， 3分 因为x>0,所以设g(x)= 2x2+21nx—7,x∈(0，+) 因为g(x)在(0，十∞)上单调递增，g(1)=0, 1 所以方程2x6+2血x。一2=0有唯一解.=1， 所以切线的斜率为1， 3 所以所求切线的方程为y=工一 …7分 (②)f(x)的定义域为(0，十o∞)，且f'(x)=a 一x -a-12 【高三数学·参考答案第6页（共8页）】 ·25-222C· 当a<0时，'(x)<0,所以f(x)在(0，+c∞)上单调递减， 0=<0,当r→十o时，u)-,不符合题意 …9分 当a>0时，f'(x)=-(x+va)(x-a) 令f'(x)=0,得x=√a. 当x∈(0，√a)时，f'(x)>0,当x∈(a,+∞)时，f'(x)<0, 所以f(x)在(0，√a)上单调递增，在（√a,十o∞）上单调递减， 所以f代x)在x=a时取得最大值，且最大值为aln后一2a.…1分 因为A≠必，所以f(wa)>0,即aln√a- 2a>0,解得a>e …14分 又0)=-号<0.则f0≤0，所以a< 4 综上，ea≤n2 4 17分 19.【解】(1)由aw=2,知a1十a2+a3=6, 而任意r,t∈{1,2,3,4}，aa,-4, 所以a1十a2十a3≠aar, 所以{a}不是“和积数列”.……3分 (2)由题意得r,t∈(1,2,3}，使得a1+a2=1+2=a,a,=(rt). 因为1十2为奇数，且1+2>1，所以a,a,=3*或9 若1+2=9，则+（号）=1， 因为函数)号+() 单调递减，且f1)=3<1. 所以2+（号）》”<1，即方程1+2=9无解。 若1+2=，即+（号）》=1， 因为函数g)=+(得》 单调递减，且g(1)=1, 所以k=1. 6分 故a,=n,此时a1十a2十…十a,=n+ 当n为偶数时，n(n十D-” 2 -2·(n+1)=a,a, 其中r=受1=n十1711,2，…，，n十1： 【高三数学·参考答案第7页（共8页）】 ·25-222C· 当n为奇数时，n(m十1-_n十1 2 2 n=a,a, 其中r=” 2,1=nr,t∈(1,2，…，n,n十1. 所以当{a}为“和积数列”时，k=1.…9分 (3)由题意，a1=a,a,r,l∈(1,2}，因为a2>1,所以a1≠a1ag. 又am+1>am>0,所以a1<a2<a, 所以a1=a行，即a1=1.…11分 又a1十a2十…十an=a,a,≤a+1 设{an}的前n项和为S。,则am+1≥√S。, 所以S.+1≥S.十√Sm, 所以(VS+2)'-(S+2)》‘≥S≥a1+aa2> 4,…13分 所以(vs+)》≥(s+)》+m-m。 所以S≥5n十4-1 2 所以a+1≥√S.≥5n士4-1 2 即当n>2时a,≥5n-」 2 又当n=1时，满足上式， 所以a,≥5m-1 2 …17分 【高三数学·参考答案第8页（共8页）】 ·25-222C· 重庆高三数学考试 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合,则 A.B. C.D. 2.已知,则 A.B.2C.D. 3.已知函数的图象关于直线对称,则 A.2B.1C.D. 4.已知向量,且,则 A.-2B.C.-2或D.2或一 5.""是""的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.已知样本数据3,6,3,2,7,4,6,8的中位数为,则的展开式中含项的系数为 A.80B.240C.-80D.-32 7.已知数列满足,前8项的和为60,则 A.3B.4C.6D.8 8.已知,若,则下列结论一定成立的是 A.B.C.D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知函数,则 A.的图象点对称 B.在上的最大值为 C.的最小正周期为 D.若在上单调递减,则的最大值为 10.若随机变量服从正态分布,设,则 A.B.C.D. 11.已知是定义在上的奇函数,其导函数为,且,则 A.为偶函数B.在上单调递增 C.D. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.设等比数列的前项和为,已知,则__________ 13.在中,,将绕直线旋转一周后,所得几何体的表面积为__________. 14.若是的三条边,且,记,则当时,的取值范围是__________. 注:表示数集中最大的数,表示数集中最小的数. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.手机用户可通过某软件查看自己每天行走的步数,同时也可以和好友进行运动量的比较和点赞.若某人一天的行走步数超过8000,则评定为“积极型”,否则评定为“懈怠型”.从小王的男性和女性好友中各随机抽取了50名,统计其一天的步数并给出评定,得到如下数据: 积极型 懈怠型 男 20 30 女 10 40 (1)能否有95%的把握认为“评定类型”与“性别”有关？ (2)以样本数据估计总体数据,且以频率估计概率.若从小王的所有男性好友中抽取3人,记其中评定为“积极型”的人数为,求随机变量的数学期望. 附:,其中. 0.050 0.025 0.010 3.841 5.024 6.635 16.已知函数. (1)若,且恰有3个零点,求的取值范围； (2)若,证明:当时,. 17.记的内角的对边分别为,已知. (1)求 (2)若是边的中点,且,求的长. 18.已知函数. (1)当时,求经过点且与曲线相切的切线方程； (2)设集合,若,且,求的取值范围. 19.对于数列,若任意,存在,使得,则称为“和积数列”. (1)若,判断是否为“和积数列”,并说明理由； (2)若为正整数,且为“和积数列”,求的值； (3)若,且为“和积数列”,证明:. 学科网（北京）股份有限公司 $$