专题1-2二次函数与几何综合（考题猜想32题8种题型）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（浙教版）

专题1-2 二次函数与几何综合（易错必刷32题8种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 二次函数与线段综合 · 二次函数与图形面积综合 · 二次函数与角度问题综合 · 二次函数中特殊三角形问题 · 二次函数与全等三角形问题 · 二次函数与相似三角形问题 · 二次函数中特殊四边形问题 · 二次函数与圆的综合问题 一．二次函数与线段综合（共4小题） 1．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，抛物线交x轴于A、B两点（A在B的右侧），交y轴于点C，点于D是线段的中点，点P是线段上一个动点，沿折叠得，则线段的最小值是 ． 2．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，抛物线与y轴交于点A，交x轴正半轴于B，直线l过，M是抛物线第一象限内一点，过点M作轴交直线l于点N，则的最大值为 ． 3．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)点D为抛物线的对称轴上一动点，当周长最小时，求点D的坐标． 4．（24-25九年级上·重庆潼南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于点，两点，交轴于点．    (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点，求的最大值及此时点的坐标． 二、二次函数与图形面积综合（共4小题） 5．（2025九年级下·江苏·专题练习）如图，已知抛物线经过两点．与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 6．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点分别为，其中（），且，与y轴的交点为C，直线轴，在x轴上有一动点过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为P、Q． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求当面积最大值时直线的解析式． 7．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线，． (1)求抛物线的解析式； (2)为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的平行线与直线交于点． 嘉嘉说：当点与点重合时，长最大；琪琪说：当点的横坐标为1时，的面积为6．请选择其中一人的说法进行说理． 8．（2024九年级上·贵州·专题练习）如图1，抛物线交轴于，两点，交轴于点，是第四象限内抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，，当四边形是正方形时，求点的坐标； (3)如图2，连接，，过点作交线段于点，连接，，，记与面积分别为，，设，求的最大值． 三、二次函数与角度问题综合（共4小题） 9．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D为抛物线的顶点，求的面积； (3)抛物线上是否存在点P，使，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（24-25九年级上·湖北恩施·期中）如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，为抛物线上的一个动点，且点的横坐标为． (1)直接写出抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)若，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值； (3)在第一象限的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 11．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)若是抛物线上一点，且，请求出点的坐标． 12．（24-25九年级上·重庆江津·期中）如图，抛物线与轴交于点，点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，已知直线上方抛物线上有一点，过点作轴与交于点，过点作轴与轴交于点，求的最大值和此时点的坐标； (3)将原抛物线沿轴向右平移1个单位长度，新抛物线与轴交于点，点的对应点为，点是第一象限中新抛物线上一点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半，问在平移后的抛物线上是否存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 四、二次函数中特殊三角形问题（共4小题） 13．（2025九年级下·全国·专题练习）如图1，已知抛物线的图象经过点，，，过点作轴交抛物线于点，点是抛物线上的一个动点，连接，设点的横坐标为． (1)填空： ___________， ___________， ___________； (2)在图1中，若点P在x轴上方的抛物线上运动，连接，当四边形面积最大时，求n的值； (3)如图2，若点Q在抛物线的对称轴l上，连接，是否存在点P使为等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）已知抛物线)交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)如图，点P是抛物线上位于直线上方的动点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交直线于点D，当取最大值时，求点P的坐标； (3)点P是抛物线上位于直线上方的动点，是以为腰的等腰三角形，求出P点坐标． 15．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于点，交y轴于点，在y轴上有一点，连接．    (1)求二次函数的表达式； (2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值； (3)抛物线对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由． 16．（24-25九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，已知抛物线的图象与x轴交于点和，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，在抛物线的对称轴上求作一点M，使的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值； (3)如图2，点P是x轴上动点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线和直线于点F、G．设点P的横坐标为m，是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 五、二次函数与全等三角形问题（共4小题） 17．（2024·陕西渭南·一模）如图，抛物线经过点和，与两坐标轴的交点分别为，，，它的对称轴为直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)点在对称轴上，点在抛物线上，过点作对称轴的垂线，垂足为，若使以、、为顶点的三角形与全等，求点的坐标． 18．（23-24九年级下·陕西西安·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A、C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标； (3)点P是抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是上的点．要使得以P、D、E为顶点的三角形与全等，请求出点P、点E的坐标； 19．（2022·陕西西安·三模）如图，中，，，，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若． (1)请直接写出A、B的坐标； (2)求经过A、B、C三点的抛物线表达式； (3)l为抛物线对称轴，P是直线l右侧抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与全等，求满足条件的点P，点E的坐标． 20．（2019·广西百色·一模）如图所示，抛物线 的顶点为A，直线与轴的交点为点B (1)求出抛物线的对称轴及顶点A的坐标（用含的代数式表示）； (2)证明点A在直线上，并求的度数； (3)动点Q在抛物线对称轴上，问：抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、A为顶点的三角形与全等？若存在，求出的值，并写出所有符合上述条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．    六、二次函数与相似三角形问题（共4小题） 21．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)求的最小值以及此时点P的坐标； (3)过点P作轴于点M，当和相似时，求点Q的坐标． 22．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系内，点，点，点．连接． (1)求经过点A、B、C三点的抛物线的表达式； (2)点D在x轴正半轴上，当以点D、O、C为顶点的三角形与相似时，求点D的坐标． (3)在（1）的抛物线上找一点E，使得的值最小并求点E的坐标． 23．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图所示，已知以M为顶点的抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线的表达式为． (1)求抛物线的表达式． (2)连接，在x轴上方的抛物线上有一点D，若，求点D的坐标； (3)若点P为抛物线位于第一象限图象上一动点，过P作，求的最大值； (4)在x轴上是否存在一点N，使得以A，C，N为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点且与x轴的正半轴交于点B． (1)求k的值及抛物线的解析式． (2)如图1，若点D为直线上方抛物线上一动点，连接，当时，求D点的坐标； (3)如图2，若F是线段的上一个动点，过点F作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点G、E，连接．设点F的横坐标为m，是否存在以C，G，E为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 七、二次函数中特殊四边形问题（共4小题） 25．（2025九年级下·全国·专题练习）如图所示，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点． (1)则点的坐标为 ；顶点的坐标为 ； (2)若点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)若直线（）分别交直线和抛物线于点，点为平面内任意一点，当点构成的四边形为菱形时，请直接写出点的坐标． 26．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，点A在原点的左侧，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)直接写出二次函数的解析式_________________________； (2)当点P运动到什么位置时，四边形面积最大？请求出四边形面积的最大值，并求出此时点P的坐标； (3)连接，，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 27．（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，直线的解析式为． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第四象限内抛物线上的一点，，求点的坐标； (3)将抛物线向左平移单位，设为抛物线对称轴上的动点，为平移后的抛物线上的动点，点的坐标为，是否存在以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 28．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图1，抛物线交轴于，两点，交轴于点，是第四象限内抛物线上的动点．    (1)求抛物线的解析式； (2)过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，当四边形是正方形时，求点的坐标； (3)如图2，连接，过点作交线段于点，连接，记与面积分别为，设，求的最大值． 八、二次函数与圆的综合问题（共4小题） 29．（22-23九年级上·浙江温州·期中）如图，已知A，B是抛物线上的点，线段，且轴，过A，B两点作半径为5的圆（圆心在下方），点P是圆上任意一点，连接，取的中点Q，将该抛物线下方的部分沿直线向上翻折，交y轴于点C，连接，则的最大值是 ． 30．（22-23九年级上·广东广州·期末）如图，抛物线的图象与x轴交于点、与y轴交于点C，顶点为D．以为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I，P是半圆上一动点，连接，点Q为的中点． (1)试用含a的代数式表示c； (2)若恒成立，求出此时该抛物线解析式； (3)在（2）的条件下，当点Р沿半圆从点B运动至点A时，点Q的运动轨迹是什么，试求出它的路径长． 31．（2021·浙江嘉兴·二模）定义：平面直角坐标系中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆． （1）已知点，以为圆心，为半径作圆．请判断⊙是不是二次函数的坐标圆，并说明理由； （2）已知二次函数图象的顶点为，坐标圆的圆心为，如图1，求周长的最小值； （3）已知二次函数图象交轴于点，，交轴于点，与坐标圆的第四个交点为，连结，，如图2．若，求的值． 32．（19-20九年级下·浙江·期中）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，过点C作轴交抛物线于点E，且顶点为D，连．已知P是抛物线上一动点，且点P的横坐标大于0小于4． （1）求该抛物线的解析式． （2）直线交直线于点Q．．求点P的横坐标． （3）过C，E，P三点作，过点P作，垂足为G，交于点F．在点P的运动过程中，线段的长是否变化，若有变化，求出的取值范围：若不变，求的长． $$专题1-2 二次函数与几何综合（易错必刷32题8种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 二次函数与线段综合 · 二次函数与图形面积综合 · 二次函数与角度问题综合 · 二次函数中特殊三角形问题 · 二次函数与全等三角形问题 · 二次函数与相似三角形问题 · 二次函数中特殊四边形问题 · 二次函数与圆的综合问题 一．二次函数与线段综合（共4小题） 1．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，抛物线交x轴于A、B两点（A在B的右侧），交y轴于点C，点于D是线段的中点，点P是线段上一个动点，沿折叠得，则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，翻折变换、勾股定理以及求线段最小值等知识，先根据抛物线解析式求出点A，B，C坐标，从而得出，再根据勾股定理求出的长度，然后根据翻折的性质得出在以D为圆心，为半径的圆弧上运动，当在同一直线上时，最小，即可求解． 【详解】解：令，则， 解得， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∵D为中点， ∴， ∵由沿折叠所得， ∴， ∴在以D为圆心，为半径的圆弧上运动， ∴当在同一直线上时，最小， ∵点D是线段的中点，则点， 则， 则最小值， 故答案为：． 2．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，抛物线与y轴交于点A，交x轴正半轴于B，直线l过，M是抛物线第一象限内一点，过点M作轴交直线l于点N，则的最大值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查二次函数的综合应用，先由二次函数的解析式求出点A，点B的坐标，然后求出直线的解析式，设出M的坐标，根据平行的性质表示出点N的坐标，然后M、N的横坐标相减，构造函数关系式，求出最大值即可． 【详解】解：∵ ∴当时，，解得：或， ∴点B的坐标为，点A的坐标为， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴直线的解析式为：， 设点M的坐标为， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴点N的坐标为， ∵点M在第一象限， ∴线段， 当时，有最大值为4． 故答案为：4． 3．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)点D为抛物线的对称轴上一动点，当周长最小时，求点D的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)点 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求二次函数解析式，线段周长问题，解题的关键是求出二次函数解析式． （1）待定系数法求解析式即可求解； （2）点A关于对称轴的对称点为点B，连接交对称轴于点D，连接，此时最小，得出直线的解析式为，当时，，得出即可求解． 【详解】（1）解：把点 分别代入，得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）∵ ， ∴对称轴为直线， 点A关于对称轴的对称点为点B，连接交对称轴于点D，连接，如图1，此时最小， 当时，， ∴点． 设直线的解析式为，代入得， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点． 4．（24-25九年级上·重庆潼南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于点，两点，交轴于点．    (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点，求的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）将，两点坐标代入抛物线解析式，可得，解方程组即可求出，的值，进而得到抛物线的表达式； （2）由（1）可得，抛物线的表达式为：，先求抛物线与轴的交点坐标，即令，则，解方程即可求得点坐标，然后再求抛物线与轴的交点坐标，令求的值，即可求得点坐标，求出直线的表达式，由中的几何关系可求得，由中的几何关系可求得，设点的坐标为，则点，于是可得，进而可得，然后根据二次函数的图象与系数的关系及的图象与性质，即可得出的最大值及此时点的坐标． 【详解】（1）解：将，两点坐标代入抛物线解析式，可得： ， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）解：由（1）可得，抛物线的表达式为：， 令，则， 解得：，， ， 当时，， 设直线的表达式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的表达式为：， ，， ， ， 轴， ， 是等腰直角三角形， ， 设点的坐标为：，则点， ， ， ，故有最大值， 当时，的最大值为：，此时点． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解二元一次方程组，求抛物线与轴的交点坐标，因式分解法解一元二次方程，求抛物线与轴的交点坐标，待定系数法求一次函数解析式，已知两点坐标求两点距离，等边对等角，三角形的内角和定理，两直线平行内错角相等，等角对等边，勾股定理，整式的加减运算，去括号，合并同类项，将化成顶点式，二次函数的图象与系数的关系，的图象与性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 二、二次函数与图形面积综合（共4小题） 5．（2025九年级下·江苏·专题练习）如图，已知抛物线经过两点．与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合，掌握二次函数的性质成为解题的关键． （1）将两点代入求得a、b的值即可解答； （2）先求出，设点P的纵坐标为m，再列绝对值方程可求得；然后再分和两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点． ∴； （2）∵抛物线经过两点， ∴， 设点P的纵坐标为m， ∵， ∴，即， 解得：； 当，有，解得：或4， ∴点P的坐标为或； 当，有，即， ∵ ， ∴方程无解． 综上，点P的坐标为或． 6．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点分别为，其中（），且，与y轴的交点为C，直线轴，在x轴上有一动点过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为P、Q． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求当面积最大值时直线的解析式． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)直线的解析式为 【分析】（1）根据抛物线对称性得到，再由得到，联立方程组求解得到，利用待定系数法确定函数解析式即可得到答案； （2）由（1）中所求解析式，得到，求出直线，根据在x轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线的交点为P，分二种情况：①当E在之间时；②当E在A点右侧时；利用平面直角坐标系中三角形面积的表示方法，最后结合抛物线图象与性质求解即可得到答案；此时，利用待定系数法即可求出直线的解析式． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴对称轴为， ∵抛物线与x轴的交点分别为，其中（），且， ∴，，则， 解得， ∴， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）由得：， ∴设直线，将代入得： ， 解得， ∴直线， ∵在x轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为P、F，根据，分二种情况讨论： 当E在之间时，如图1： ∴，， ∴ ， ∵，， ∴抛物线开口向下，当时，有最大值，最大值为； 当E在A点右侧时，过P作轴，如图2： ∴，， ∴ ， ∵，对称轴为， ∴抛物线开口向上，则当时，随着t的增大而增大，即当时，有最大值，最大值为24； ∵， ∴当时，面积有最大值，为24； 此时，， 此时，， 设直线的解析式为：，把点A，点P的坐标代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、二次函数图象与性质、抛物线与三角形面积问题，解一元二次方程等知识，熟记二次函数图象与性质，掌握二次函数综合题型的解法，分类讨论是解决问题的关键． 7．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线，． (1)求抛物线的解析式； (2)为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的平行线与直线交于点． 嘉嘉说：当点与点重合时，长最大；琪琪说：当点的横坐标为1时，的面积为6．请选择其中一人的说法进行说理． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先求出，．再将，，代入，用待定系数法求解即可； （2）选择嘉嘉，先求出直线的解析式为．设点的横坐标为，则，，则，进而求解； 选择琪琪，先求出直线的解析式为．求出，，可得，最后由求解即可． 【详解】（1）解：，对称轴为直线， ， ． ， ， ． 把，，代入， 得 解得 抛物线的解析式为； （2）解：选择嘉嘉． 设直线的解析式为． 把，代入， 得 解得 直线的解析式为． 设点的横坐标为，则，， ， 当时，长最大，此时，与点A重合， 当点与点重合时，长最大； 选择琪琪： 设直线的解析式为． 把，代入， 得 解得 直线的解析式为． 点的横坐标为1，轴， 点的横坐标为1， 将代入，得， ， 将代入，得， ， ， 【点睛】此题是二次函数的综合题，涉及到二次函数、一次函数解析式的确定，二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征． 8．（2024九年级上·贵州·专题练习）如图1，抛物线交轴于，两点，交轴于点，是第四象限内抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，，当四边形是正方形时，求点的坐标； (3)如图2，连接，，过点作交线段于点，连接，，，记与面积分别为，，设，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，正方形的性质，利用二次函数求最值等，熟练掌握二次函数图象和性质等相关知识是解题的关键； （1）把，，代入，即可求得答案； （2）设，根据四边形是正方形，可得，即，解方程即可得出答案； （3运用待定系数法求出直线的解析式，由，则，可得，设，则，可得，再由，再运用二次函数的最值求得答案； 【详解】（1）解：把，，代入得， ， 解得：，，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设， 四边形是正方形， ， 即， 解得：， ， ， ∴当四边形是正方形时，点的坐标； （3）解：如图，连接，过点作轴交于点． 设直线的解析式为． 把，代入，得， 解得：， 直线的解析式为， ， ， ， 设，则， ， ， 由题意，得， 当时，达到最大值为； 三、二次函数与角度问题综合（共4小题） 9．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D为抛物线的顶点，求的面积； (3)抛物线上是否存在点P，使，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)3； (3)， 【分析】（1）运用待定系数法将，，代入，即可求解； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，运用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得顶点坐标，过点D作轴交直线于点E，求得，利用，即可求得答案； （3）先求出点C关于对称轴的对称点；先运用待定系数法求出直线的解析式，再根据互相平行的两直线的关系求出与平行的直线的解析式，联立抛物线解析式即可求解． 【详解】（1）解：设二次函数解析式为，其图象经过点，，， 则，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． ∵， ∴， 过点D作轴交直线于点E，如图1， ∴， ∴， ∴； （3）解：抛物线上存在点P，使，理由如下： 如图2， ①取点关于对称轴的对称点，连接，， ∵，， ，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴符合题意； ②当直线时，则有， ∵直线的解析式为， ∴直线的解析式中一次项系数为1． 设与平行的直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立抛物线解析式得： ， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴． 综上所述，，． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，运用待定系数法求一次函数和二次函数解析式，配方法，三角形面积，互相平行的两直线的关系等，熟练掌握二次函数图象和性质，利用待定系数法求函数解析式等相关知识，灵活运用方程思想和分类讨论思想是解题关键． 10．（24-25九年级上·湖北恩施·期中）如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，为抛物线上的一个动点，且点的横坐标为． (1)直接写出抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)若，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值； (3)在第一象限的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，顶点D坐标为 (2)m＝或 (3)存在， 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先求出，然后表示出P的坐标为，然后分三种情况：①当点P在x轴上方时；②当点P在x轴下方时；③当点P在x轴上时，然后根据题意分别列方程求解即可； （3）如图所示，在x轴的正半轴上取点，连接，过点B作交抛物线于点P，根据题意得到，然后求出直线的解析式为，直线的解析式为，然后和抛物线联立求解即可． 【详解】（1）将点代入抛物线中 得 解得： ∴抛物线解析式为 ∴顶点D坐标为； （2）令 解得， ∴ ∵P的横坐标为且 ∴ ∴将代入 ∴点P一定在对称轴右侧，且P的坐标为； ①如右图所示，当点P在x轴上方时， 则，即 此时：， 解得：，符合题意； ②如右图所示，当点P在x轴下方时， 则，即 此时： 解得：，（舍去） ③当点P在x轴上时， 则，即 此时：（或），解得：（舍去） 综上所述，或； （3）存在点P，使，点P的坐标为 理由如下： 如图所示，在x轴的正半轴上取点，连接，过点B作交抛物线于点P ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ 设直线的解析式为，过， ∴直线的解析式为 ∵ ∴设直线的解析式为 将代入得 解得： ∴直线的解析式为 由 解得：，（舍去） ∴． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数与角度综合等知识．熟练掌握二次函数解析式，一次函数解析式是解题的关键． 11．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)若是抛物线上一点，且，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2)的坐标为：或． 【分析】（1）根据直线与轴交于点，可求出一次函数的解析式，进而可求出点C的坐标；由抛物线经过点，可求出抛物线的解析式； （2）如图，过作与抛物线交于点，可得，再利用抛物线的对称性可得答案，在轴上取点，且满足，可得，则与抛物线的交点满足条件，求解，直线为，再进一步建立方程组解题即可． 【详解】（1）解：直线与轴交于点， ， ， ∴， 当时，， ∴点， ∵抛物线经过点， ， ， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图，过作与抛物线交于点， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线，点， ∴， 在轴上取点，且满足， ∴，则与抛物线的交点满足条件， ∵，，设，则， ∴， 解得：， ∴， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， ∴， 解得：，， ∴， 综上：的坐标为：或． 【点睛】本题考查了求抛物线，一次函数的解析式、二次函数与角度问题．结合抛物线的性质与建立方程组是解决第二问的关键． 12．（24-25九年级上·重庆江津·期中）如图，抛物线与轴交于点，点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，已知直线上方抛物线上有一点，过点作轴与交于点，过点作轴与轴交于点，求的最大值和此时点的坐标； (3)将原抛物线沿轴向右平移1个单位长度，新抛物线与轴交于点，点的对应点为，点是第一象限中新抛物线上一点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半，问在平移后的抛物线上是否存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为， (3)或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）第一种情况，过点N作，交抛物线于点，则，求出直线的解析式为：，进而求解；第二种情况，作，交抛物线于点，同理可解． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，点， ∴设抛物线的解析式为：， 把点代入可得，， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）解：由点B、C的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， 则， 则， 即的最大值为：， 此时，则点； （3）解：∵抛物线， ∴将原抛物线沿x轴向右平移1个单位长度，新抛物线的解析式为：， 令，则，令，则， 解得，， ∴，， ∵点N是第一象限中新抛物线上一点，且点N到y轴的距离等于点到y轴的距离的一半， ∴且， 把代入得：， ∴， ∵，， 由点、的坐标得，直线的解析式为， 分以下两种情况： 第一种情况，过点N作，交抛物线于点，则，如图2， ∴设直线的解析式为，把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立新抛物线与直线为方程组得：， 解得：（舍去）或， ∴； 第二种情况，作，交抛物线于点，交直线于点H，如图3， ∴， 设，且，， ∴，， 即， 解得，， ∴， 由点H、N的坐标得，直线的解析式为， 联立抛物线与直线为方程组得：， 解得：（舍去）或， ∴； 综上所述，存在点M，使得，点M的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数与图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式与一次函数解析式，二次函数最值问题，函数平移的性质，等腰三角形的性质，二次函数与二元一次方程组求解交点等知识的综合运用是解题的关键． 四、二次函数中特殊三角形问题（共4小题） 13．（2025九年级下·全国·专题练习）如图1，已知抛物线的图象经过点，，，过点作轴交抛物线于点，点是抛物线上的一个动点，连接，设点的横坐标为． (1)填空： ___________， ___________， ___________； (2)在图1中，若点P在x轴上方的抛物线上运动，连接，当四边形面积最大时，求n的值； (3)如图2，若点Q在抛物线的对称轴l上，连接，是否存在点P使为等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或或或或或或或或或 【分析】（1）将点代入 ，可得，可得抛物线的解析式，令解方程可得点的坐标，即可得的值； （2）连接，由点的横坐标为得 ，根据面积和可得四边形的面积，利用二次函数的性质可得其最大值； （3）分三种情况：作辅助线，构建全等三角形，根据全等三角形的性质以及点的坐标列方程求得的值，即可得点的坐标． 【详解】（1）解：将点代入 得，， 解得， ∴抛物线的解析式：， 令， 则， 解得或1， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图1，连接， ∵轴交抛物线于点， ∴点的纵坐标为， ， 解得或4， ∴， ∵点的横坐标为， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值， ∴的值为； （3）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点的横坐标为2， 分三种情况： ①当为直角顶点时，， 如图2，过作轴，过作于，过作于， ∴， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，点的横坐标为2， ∴， 解得或或， ∴点的坐标为或(或或； ②当为直角顶点时，， 如图3-1，过作轴，过作于，过作于， 同理， ∵，点的横坐标为2， ∴，解得或， ∴点的坐标为或，； 如图3-2， 同理， ∴， ∵，点Q的横坐标为2， ∴， ∴，解得或， ∴点P的坐标为或； ③当为直角顶点时，，如图4，过作于，过作于， 同理， ∵，点的横坐标为2， ， ∴，解得或5或或4（舍去）， ∴点的坐标为或或； 综上所述，点的坐标是或或或或或或或或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用二次函数的性质，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题． 14．（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）已知抛物线)交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)如图，点P是抛物线上位于直线上方的动点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交直线于点D，当取最大值时，求点P的坐标； (3)点P是抛物线上位于直线上方的动点，是以为腰的等腰三角形，求出P点坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）将点，坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得出结论； （2）先求出，进而得出，进而判断出，即可得出当的长度最大时，取最大值，设出点坐标，表示出点坐标，建立，即可得出结论； （3）根据，，表示出，，再根据或列方程求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， ， 解得，， 抛物线的解析式为． ， 抛物线的解析式为，顶点坐标为． （2）解：令得，， ， ． ， ， ， ． 平行于轴，平行于轴， ，， ， ， ， ， 当的长度最大时，取最大值． 设直线的函数关系式为， 把，代入，得， 解得，， 直线解析式为， 设，则， ． ， 当时，最大，此时取最大值，， ； （3）解：∵是以为腰的等腰三角形， ∴或， 由（2）可得，，，， ∴，， 当时，， ∴，即 整理得， ∵ ∴，此时； 当时，， ∵， ∴ ∴，此时； 综上所述，是以为腰的等腰三角形时，P点坐标为或． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式，解一元二次方程，等腰三角形的定义，勾股定理的应用，二次函数的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键. 15．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于点，交y轴于点，在y轴上有一点，连接．    (1)求二次函数的表达式； (2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值； (3)抛物线对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)y＝ (2) (3)存在，P点的坐标为：，，，, 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数图象与性质是解答本题的关键． （1）待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）先求出直线解析式为，设，则，根据转化成顶点式即可得到结果． （3）分两种情况进行讨论①为等腰三角形，且以为底边，②为等腰三角形，且以为底边，③为等腰三角形，且以为底边，得到点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵二次函数交x轴于点，交y轴于点， ∴， 解得， 所以二次函数的解析式为：y＝； （2）解：设直线的解析式为， 把，代入解析式得， 解得，， ∴直线的解析式为：， 如图1，作轴于点G，交于点F，    设，则，， ∴， ∵， ∴ ， ∴当时，的面积最大，最大值为； （3）解：抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 设， ①为等腰三角形，且以为底边，    ∴， ∴ ∴， 解得，， ∴或． ②为等腰三角形，且以为底边， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴或． ③为等腰三角形，且以为底边， ∴ ∴ ∴ 解得，， ∴点的坐标为； 综上所述，P点的坐标为，，，,． 16．（24-25九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，已知抛物线的图象与x轴交于点和，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，在抛物线的对称轴上求作一点M，使的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值； (3)如图2，点P是x轴上动点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线和直线于点F、G．设点P的横坐标为m，是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的周长的最小值，点M的坐标为 (3)存在，或或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）连接交于点M，此时最小，进而求解； （3）分、两种情况，然后分别求解即可． 【详解】（1）解：将点A、B的坐标代入抛物线表达式得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图，连接交于点M，此时最小， 又因为是定值，所以此时的周长最小． 令时，则有，即， ∴， ，同理， ∴此时的周长； 是抛物线的对称轴，抛物线与x轴交点和， ，对称轴为， 由，得， ， 又∵点M在第四象限，且在抛物线的对称轴上， ； （3）解：存在这样的点P，使是以为腰的等腰三角形． 设直线的解析式为，把点B、C坐标代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点P的横坐标为m， ∴点，点， 则，，， 当时，则，解得（舍去）或4； 当时，则，解得（舍去）或； 综上，或或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、点的对称性、等腰三角形的性质等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 五、二次函数与全等三角形问题（共4小题） 17．（2024·陕西渭南·一模）如图，抛物线经过点和，与两坐标轴的交点分别为，，，它的对称轴为直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)点在对称轴上，点在抛物线上，过点作对称轴的垂线，垂足为，若使以、、为顶点的三角形与全等，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或； 【分析】本题考查二次函数的图像和性质、待定系数法求二次函数解析式及全等三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题关键． （1）将和代入，用待定系数法即得抛物线的表达式； （2）由得对称轴为直线，，，即知是等腰直角三角形，根据以、、为顶点的三角形与全等，得，即可求得或． 【详解】（1）解：将和代入得： ， 解得， 抛物线的表达式为； （2）如图： 由得对称轴为直线，，， ， 是等腰直角三角形， 在对称轴上，点在抛物线上，过点作对称轴的垂线，垂足为， ， 以、、为顶点的三角形与全等， ， 或， 或； 18．（23-24九年级下·陕西西安·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A、C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标； (3)点P是抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是上的点．要使得以P、D、E为顶点的三角形与全等，请求出点P、点E的坐标； 【答案】(1) (2) (3)点坐标为或或或，或或或 【分析】（1）先求出的坐标，进而利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）过点作垂直于轴交于点，设，，则，由即可求解； （3）抛物线对称轴为直线．，，．设，则，分两种情况当，时，，此时，当，时，，此时，求解即可． 【详解】（1）解：把代入得； 把代入得． ，． 抛物线经过三点， ， 解得． 抛物线的解析式为； （2）过点作垂直于轴交于点，设，则， 则， ， 当时，最大，此时． 当坐标为时，取得最大值． （3）∵， ∴抛物线对称轴为直线． ∵过点P作l的垂线，垂足为D， ∴， ∵， ∴， ∴，． 设，则 当，时，， 此时， 解得或． ∴点坐标为或， ， 或． 当，时，， 此时， 解得或． ∴点坐标为或， ， 或． 综上：点坐标为或或或，或或或． 【点睛】本题考查了二次函数求解析式，二次函数的性质，三角形全等的性质，最值问题等，熟练掌握各知识点，能准确作出辅助线，并结合图形列出相应关系式是解题的关键． 19．（2022·陕西西安·三模）如图，中，，，，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若． (1)请直接写出A、B的坐标； (2)求经过A、B、C三点的抛物线表达式； (3)l为抛物线对称轴，P是直线l右侧抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与全等，求满足条件的点P，点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3)当时，或；当时，或 【分析】（1）解，即可求得，进而求得的坐标； （2）根据的坐标，待定系数法求解析式即可求解； （3）根据题意，则分，，两种情况，根据全等三角形的性质，求得点，的坐标即可求解． 【详解】（1）解： 中，，，， （2） ，， 设抛物线解析式为，代入， 即 解得 即 （3） 在抛物线上 对称轴为 ， ， 设，则， ，则， 或， ，则 或 综上所述，当时，或；当时，或 【点睛】本题考查了解直角三角形，待定系数法求解析式，全等三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 20．（2019·广西百色·一模）如图所示，抛物线 的顶点为A，直线与轴的交点为点B (1)求出抛物线的对称轴及顶点A的坐标（用含的代数式表示）； (2)证明点A在直线上，并求的度数； (3)动点Q在抛物线对称轴上，问：抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、A为顶点的三角形与全等？若存在，求出的值，并写出所有符合上述条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．    【答案】(1)抛物线的对称轴为直线，顶点A的坐标为 (2) (3)存在，①时，，；② 时，，；③ 时，，；④ 时，， 【分析】（1）根据抛物线的解析式可得出抛物线的对称轴和A点坐标． （2）将A点坐标代入直线的解析式中进行验证即可得出A点是否在直线y＝x−m上的．求的度数，可通过求的正切值来得出，根据直线的解析式可得出B点坐标，即可得出的长，的长已求出，因此可在三角形中得出的正切值．即可得出的度数． （3）本题可分成四种情况：一：：①，，此时P、B重合，即可求出P点坐标（根据抛物线的对称性可知：P点关于抛物线对称轴的对称点也符合要求）．②，，此时P点纵坐标的绝对值与A点横坐标相等，可将其代入抛物线的解析式中，可得出两个符合条件的P点坐标．二：：①，，可过P作抛物线对称轴的垂线，通过的度数和即的长求出P点纵坐标，然后代入抛物线的解析式中即可得出两个符合条件的P点坐标．②，，同①因此本题共有8个符合条件的P点坐标． 【详解】（1）解：对称轴：； 顶点：． （2）解：将代入函数， 得， ∴点在直线l上． 当时，， ∴， ， ∴． （3）解：以点P、Q、A为顶点的三角形与全等共有以下四种情况： ①当，，时， 如图1，此时点P在y轴上，与点B重合，其坐标为，    代入抛物线， 得， ∵， ∴， 这时有， 其关于对称轴的对称点也满足条件． ②当，，时， 点P坐标为， 代入抛物线， 得， ∵， ∴， 这时有， 还有关于对称轴的对称点． ③当，，时， 点P坐标为，代入抛物线， 得， ∵， ∴， 这时有， 还有关于对称轴的对称点．    ④当，，时， 点P坐标为， 代入抛物线， 得， ∵， ∴， 这时有． 还有关于对称轴对称的点． 所以当时，有点，； 当时，有点，； 当时，有点，； 当时，有点，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的相关知识以及全等三角形的判定，要注意（3）小题中，要分类讨论，将所有的情况都考虑到，以免漏解． 六、二次函数与相似三角形问题（共4小题） 21．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)求的最小值以及此时点P的坐标； (3)过点P作轴于点M，当和相似时，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2)最小值为6，点P的坐标为 (3)Q点坐标为 【分析】（1）令，解一元二次方程即可求得抛物线与x轴的两个交点A、B的坐标；令，则可求得抛物线与y轴的交点C的坐标； （2）把点B向上平移1个单位到点D，连接，则四边形是平行四边形，从而有，故，当点P在线段上时，取得最小值，由勾股定理求得的长，即可求得最小值；再求出直线的解析式，即可求得点P的坐标； （3）设，则得P点坐标；分两种情况考虑，利用相似三角形的性质建立方程即可求得t的值，从而求得点Q的坐标． 【详解】（1）解：令，解得：， ∴； 令，则， ∴； （2）解：把点B向上平移1个单位到点D，连接，如图； 则，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当点P在线段上时，取得最小值，且最小值为； 由勾股定理得， ∴最小值为； 设直线的解析式为，把C、D坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， 即点P的坐标为； （3）解：设， ∵抛物线对称轴为直线，， ∴，， ∴，； ∵轴， ∴，； ①当时， 则，即， ∴， 解得：， 此时，Q点坐标为； ②当时， 则，即， ∴， 整理得：， ， 则方程无解； 综上，Q点坐标为． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点，求一次函数解析式，相似三角形的性质，平行四边形的判定，两点间线段最短等知识，注意分类讨论；熟练掌握这些知识是关键． 22．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系内，点，点，点．连接． (1)求经过点A、B、C三点的抛物线的表达式； (2)点D在x轴正半轴上，当以点D、O、C为顶点的三角形与相似时，求点D的坐标． (3)在（1）的抛物线上找一点E，使得的值最小并求点E的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）设抛物线的表达式为：，将代入得，，可求，进而可得抛物线的表达式； （2）由题意知，，当以点D、O、C为顶点的三角形与相似时，分，两种情况求解作答即可； （3）由题意知，当的值最小时，，在的垂直平分线上，如图，由，可得的垂直平分线过原点，且平分第一、三象限，进而可得表达式为：，联立，计算求解，进而可得点E坐标． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 将代入得，， 解得，， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：由题意知，， 当以点D、O、C为顶点的三角形与相似时，分，两种情况求解； 当时，，即， 解得，， ∴； 当时，，即， 解得，， ∴； 综上所述，点D的坐标为或； （3）解：由题意知，当的值最小时，，在的垂直平分线上，如图， ∵， ∴的垂直平分线过原点，并且平分第一、三象限， ∴表达式为：， 联立， 解得，，， ∴点E或． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式，二次函数与相似综合，垂直平分线的性质，一次函数解析式等知识．熟练掌握二次函数的解析式，二次函数与相似综合，垂直平分线的性质，一次函数解析式是解题的关键． 23．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图所示，已知以M为顶点的抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线的表达式为． (1)求抛物线的表达式． (2)连接，在x轴上方的抛物线上有一点D，若，求点D的坐标； (3)若点P为抛物线位于第一象限图象上一动点，过P作，求的最大值； (4)在x轴上是否存在一点N，使得以A，C，N为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3) (4)存在，或 【分析】（1）求出，，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）设与y 轴交于点E，求出点A的坐标是，得到，证明，则，得到，求出直线的解析式为，联立直线和抛物线解析式即可求出答案； （3）作轴于点K，交于点F，设点P的坐标为 ，则点F的坐标为，则，证明是等腰直角三角形，得到，则，利用二次函数的性质即可得到答案； （4）求出．得到，．则，证明．则当N的坐标为时，．连接，过点C作，交x轴与点N．证明．得到．则，即，解．即可得到． 【详解】（1）把代入，得， ∴． 把代入得：， ∴， 将、代入得：， 解得． ∴抛物线的解析式为． （2）设与y 轴交于点E，如图， 当时，， 解得， ∴点A的坐标是， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴ 设直线的解析式为，把，代入得， 解得 ∴直线的解析式为， 联立得到，解得，， ∴点D的坐标是； （3）作轴于点K，交于点F，如图， 设点P的坐标为 ，则点F的坐标为， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为； （4）， ∴． 又∵、， ∴，． ∴， ∴． ∵， ∴．， ∴． 又∵， ∴． ∴当N的坐标为时，． 如图所示：连接，过点C作，交x轴与点N． ∵，， ∴． 又∵， ∴． ∴，即，解得：． ∴， ∴． 综上所述，当N的坐标为或时，以A，C，N为顶点的三角形与相似． 【点睛】此题考查了二次函数图象和性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式、二次函数和一次函数的交点问题等知识，数形结合是解题的关键． 24．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点且与x轴的正半轴交于点B． (1)求k的值及抛物线的解析式． (2)如图1，若点D为直线上方抛物线上一动点，连接，当时，求D点的坐标； (3)如图2，若F是线段的上一个动点，过点F作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点G、E，连接．设点F的横坐标为m，是否存在以C，G，E为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（1）将点的坐标直接代入直线解析式可得出的值；再求出点的坐标，将，的坐标代入抛物线解析式，即可得出结论； （2）连接，过点作轴的对称点，角度推导得到，设直线表达式为：，代入得：，解得：，则，设直线表达式为：，求得直线表达式为： ，联立直线表达式和抛物线表达式，得：求解即可； （3）根据题意需要分两种情况，当时，当时，一种是发现，另一种过点作轴于点，得到为等腰直角三角形，则，建立方程，分别求出的值即可． 【详解】（1）解：直线与轴交于点， ， ， 直线的表达式为； 当时，， 点的坐标为， 将，点的坐标，代入， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：连接，过点作轴的对称点， 对于，当，则， 解得：或， ∴， 则， 由对称得：， 当，， ∴，而由知， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴ ∴， ∴， 设直线表达式为：，代入得：， 解得：， ∴, ∴设直线表达式为：， 代入得：， 解得：， ∴直线表达式为： ， 联立直线表达式和抛物线表达式，得：， 解得：或（舍）， ∴； （3）解：存在，理由如下： 由图形可知， 若与相似，则需要分两种情况， 当时，过点作轴于点， 由上知， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 则, 则，， ∴， 解得：或； 当时，则 令， 解得：或（舍） 即， 综上，当的值为或时，以，，为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查的是待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是第（3）问中需分两种情况讨论． 七、二次函数中特殊四边形问题（共4小题） 25．（2025九年级下·全国·专题练习）如图所示，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点． (1)则点的坐标为 ；顶点的坐标为 ； (2)若点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)若直线（）分别交直线和抛物线于点，点为平面内任意一点，当点构成的四边形为菱形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)最大值是，点的坐标为 (3)或或或 【分析】（）令可得点的坐标，将抛物线的解析式配方后可得点的坐标； （）如图，连接，设点的坐标为，根据计算后配方即可解答； （）先根据待定系数法可求得直线的解析式为，设，则，分三种情况：①如图，当时，；②当为对角线时，点与的中点在轴上；③如图，当时，分别列方程可解答即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴； ∵， ∴顶点的坐标为； 故答案为：；； （2）解：如图，连接， 设点的坐标为， 令时，则， 解得，， ∴， ∴， 由（）知：， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值是， 此时点的坐标为； （3）解：设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴，， 分三种情况： ①如图，当时，， ∴或， 解得（不合，舍去），，， ∴点的坐标为或； ②当为对角线时， ∵，四边形是菱形， ∴的中点在轴上， ∴， 解得，（不合，舍去）， ∴； ③如图，当时，则， ∴， ∴， 解得（不合，舍去），， ∴； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求直线的解析式，三角形的面积，菱形的性质等知识，本题综合性较强，掌握二次函数的图象和性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 26．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，点A在原点的左侧，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)直接写出二次函数的解析式_________________________； (2)当点P运动到什么位置时，四边形面积最大？请求出四边形面积的最大值，并求出此时点P的坐标； (3)连接，，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为四边形的面积最大值为 (3)存在， 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）过点P作y轴的平行线与交于点Q，设，先求出直线的解析式为，再利用求解即可； （3）设点，交于点E，若四边形是菱形，则，连接，则，，可得，进而求解． 【详解】（1）解：将两点的坐标代入得 解得 所以二次函数的表达式为， 故答案为：； （2）解：如图，过点P作y轴的平行线与交于点Q， 设，直线的解析式为， 则， 解得 直线的解析式为， 则， ， ， ， 当时，四边形的面积最大， 此时，点P的坐标为四边形的面积最大值为； （3）解：存在．理由如下： 如图，设点，交于点E， 若四边形，是菱形，则， 连接，则，， ， 解得，（不合题意，舍去）， 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的对称性，会用铅锤法求三角形的面积是解题的关键． 27．（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，直线的解析式为． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第四象限内抛物线上的一点，，求点的坐标； (3)将抛物线向左平移单位，设为抛物线对称轴上的动点，为平移后的抛物线上的动点，点的坐标为，是否存在以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）先通过一次函数求出点，再将两点代入二次函数解析式即可； （2）设，分别列出两个三角形面积，建立方程解方程即可； （3）通过函数表示出两点坐标，再对平行四边形分情况讨论即可． 【详解】（1）解：直线的解析式为， ∴当时，，故， 抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧） ∴，解得， ∴抛物线解析式为：． （2）解：设， ∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点是第四象限内抛物线上的一点， ∴，， 故方程可变为：， 解得，负值已舍 当，， ∴点的坐标为 （3）解：存在， 抛物线， ∴对称轴为直线， ∵为抛物线对称轴上的动点，可设， 抛物线向左平移单位后得到的新抛物线为：， ∵为平移后的抛物线上的动点，可设， ∵， ， ∴当以为顶点的四边形为平行四边形有如下三种情况： ①当为对角线时，可得到方程，解得， ∴此时点的坐标为； ②当为对角线时，可得到方程，解得， ∴此时点的坐标为； ③当为对角线时，可得到方程，解得， ∴此时点的坐标为， ∴综上存在以为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线的解析式和平行四边形的判定与性质以及平行四边形的顶点平移规律，注意熟练运用分类讨论的数学思想是解题关键． 28．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图1，抛物线交轴于，两点，交轴于点，是第四象限内抛物线上的动点．    (1)求抛物线的解析式； (2)过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，当四边形是正方形时，求点的坐标； (3)如图2，连接，过点作交线段于点，连接，记与面积分别为，设，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)当时，的值最大为1 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，正方形的性质，利用二次函数求最值等，熟练掌握二次函数图象和性质等相关知识． （1）运用待定系数法设，将代入，即可求得答案； （2）设，根据四边形是正方形，可得，即，解方程即可得出答案； （3）运用待定系数法求出直线的解析式，由，则，可得，设，则，可得，再由，再运用二次函数的最值求得答案． 【详解】（1）解：抛物线交轴于，两点， 设，将代入， 得：， 解得：， ； 抛物线的解析式为； （2）解：∵是第四象限内抛物线上的动点， 设，，， 四边形是正方形， ，即， ， 解得； ， ， ； （3）解：如图2，连接，过点作轴交于点，    设直线的解析式为， ，， ， 解得：， 直线的解析式为， ， ， ， 设，则， ， ， 由题意，得， 时，有最大值1． 八、二次函数与圆的综合问题（共4小题） 29．（22-23九年级上·浙江温州·期中）如图，已知A，B是抛物线上的点，线段，且轴，过A，B两点作半径为5的圆（圆心在下方），点P是圆上任意一点，连接，取的中点Q，将该抛物线下方的部分沿直线向上翻折，交y轴于点C，连接，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】先求得，，设过A，B两点作半径为5的圆（圆心在AB下方）为，连接，过I作于D，则，，由勾股定理，得，从而得，当P在上运动时，点Q在以中点K为圆心，为半径的圆上运动，所以当经过圆心K时，此时最大，然后求出点，，从而求得，即可由求解． 【详解】解：∵线段，且轴， ∴设点，则， 把点，代入，得 ，解得， ∴，， 设过A，B两点作半径为5的圆（圆心在AB下方）为，连接，过I作于D，如图， ∴，， 由勾股定理，得， ∴， ∵Q是的中点， ∴当P在上运动时，点Q在以中点K为圆心，为半径的圆上运动， ∴当经过圆心K时，此时最大， ∵，， ∴的中点， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴将AB下方的部分沿直线AB向上翻折，翻折后抛物线的顶点坐标为， ∴翻折后抛物线的解析式为， 令，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查抛物线的性质，抛物线的几何变换，点的坐标，勾股定理，垂径定理，本题属抛物线与几何图形综合题目，解题关键是得出当P在上运动时，点Q在以中点K为圆心，为半径的圆上运动，所以当经过圆心K时，此时最大． 30．（22-23九年级上·广东广州·期末）如图，抛物线的图象与x轴交于点、与y轴交于点C，顶点为D．以为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I，P是半圆上一动点，连接，点Q为的中点． (1)试用含a的代数式表示c； (2)若恒成立，求出此时该抛物线解析式； (3)在（2）的条件下，当点Р沿半圆从点B运动至点A时，点Q的运动轨迹是什么，试求出它的路径长． 【答案】(1) (2) (3)点Q在以中点为圆心的半圆上运动，点Q的路径长为 【分析】（1）根据点点、可得该函数的解析式为，展开括号即可进行解答； （2）根据点Q为的中点，且，可得点D在上，进而得出点D的坐标，即可求解； （3）根据题意得，则点Q在以为直径的圆上运动，求出点P与点A和点B重合时点Q的坐标，进而得出轴，，则点Q在以中点为圆心的半圆上运动，再根据圆的周长公式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象与x轴交于点、， ∴该函数的解析式为， ∴． （2）解：连接， ∵P是半圆上一点，点Q为的中点，且， ∴点D在上， ∴， ∵该抛物线的对称轴为直线， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴该抛物线解析式为：； （3）解：∵， ∴， ∴点Q在以为直径的圆上运动， ∵、，， ∴当点P与点B重合时，，即， 当点P与点A重合时，，即， ∴轴，， ∴点Q在以中点为圆心的半圆上运动， 点Q的路径长为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数与圆的综合，解题的关键是掌握垂径定理，用待定系数法求解二次函数表达式的方法，点的运动轨迹，点与圆的位置关系． 31．（2021·浙江嘉兴·二模）定义：平面直角坐标系中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆． （1）已知点，以为圆心，为半径作圆．请判断⊙是不是二次函数的坐标圆，并说明理由； （2）已知二次函数图象的顶点为，坐标圆的圆心为，如图1，求周长的最小值； （3）已知二次函数图象交轴于点，，交轴于点，与坐标圆的第四个交点为，连结，，如图2．若，求的值． 【答案】（1）是，见解析；（2）6；（3） 【分析】（1）根据坐标圆的定义判断即可． （2）找到P点的运动轨迹：在AC的垂直平分线上，再解决将军饮马问题即可． （3）通过作辅助线，用三角函数找到P点坐标及坐标圆的半径，再通过解析式求出A点坐标，通过两点坐标及半径列方程求解即可． 【详解】（1）∵， ∴抛物线与坐标轴的交点，，， ∵，，，， ∴， ∴是二次函数的坐标圆． （2）， ∴，， ∴过两点，的圆的圆心在线段的中垂线上， ∴， ∴周长的最小值为6． （3）如图所示：连接CD，过P作于E，PE的反向延长线交AB于F，连接PA 通过图像结合函数及圆的对称性可知：PE与二次函数的对称轴共线，， ，． ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ，， ∴ 令 ，则 解得： ∴ ∵； 解得： 【点睛】本题考查二次函数与圆的综合知识，灵活运用圆的对称性结合三角函数、二次函数的性质求解是解题的关键． 32．（19-20九年级下·浙江·期中）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，过点C作轴交抛物线于点E，且顶点为D，连．已知P是抛物线上一动点，且点P的横坐标大于0小于4． （1）求该抛物线的解析式． （2）直线交直线于点Q．．求点P的横坐标． （3）过C，E，P三点作，过点P作，垂足为G，交于点F．在点P的运动过程中，线段的长是否变化，若有变化，求出的取值范围：若不变，求的长． 【答案】（1）；（2）1或3；（3）不变， 【分析】（1）由题意可设抛物线的解析式为，然后把点代入求解即可； （2）由（1）可得：抛物线的解析式为；，则有点，，进而可得直线ED的解析式为，分别过点E、C作EF⊥x轴于点F，CH⊥AE于点H，设DE与x轴交于点M，则有，由题意可分①当点P在点A的右侧时，有，②当点P在点A的左侧时，有，③当点P与点A重合时，则点Q与点M重合，此时满足，最后分类求解即可； （3）设点，则有：，进而根据相似三角形的判定和性质可进行求解． 【详解】解：（1）∵抛物线与x轴交于点，， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）由（1）可得：抛物线的解析式为；， ∴化为顶点式为， ∴点， ∵轴， ∴， ∴， 根据两点距离公式可得：，， 设直线ED的解析式为，把点E、D的坐标代入可得： ，解得：， ∴直线ED的解析式为， 分别过点E、C作EF⊥x轴于点F，CH⊥AE于点H，设DE与x轴交于点M，如图所示： ∴， ∴， ∴△CHE是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ①当点P在点A的右侧时，有，如图所示： ∴， 由直线ED的解析式可令y=0时，则有， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P与点B重合， ∴点P的横坐标为3； ②当点P在点A的左侧时，有，如图所示： 由①可得：， ∴， ∴， 设点， ∴根据两点距离公式可得：，由，故此情况不成立， ③当点P与点A重合时，则点Q与点M重合，此时满足，所以点P的横坐标为1； 综上所述：当时，点P的横坐标为1或3； （3）的值不变，为1，理由如下： 设点，则有： ， 连接CP、EF，如图所示： ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质、二次函数与几何综合及三角函数，熟练掌握圆的基本性质、二次函数与几何综合及三角函数是解题的关键． $$