专题03 立体几何建系、求点问题（思维导图+知识串讲+五大题型+过关检测）-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（人教A版2019）

专题03 立体几何建系、求点问题 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 考点要求 （1）了解空间直角坐标系的建系原理，掌握空间直角坐标系的建系方法. 知识点01：建系设点有关的基础储备 与垂直相关的定理与结论 （1）线面垂直 ① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直 ② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直 ③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直 ④ 直棱柱：侧棱与底面垂直； ⑤有一条侧棱垂直于底面的椎体。 ⑥正三棱柱、正四棱柱：顶点在底面的投影为底面的中心。 ⑦侧面与底面所成角均相等或侧棱长均相等可得顶点在底面的投影为底面的中心。 （2）线线垂直（相交垂直） ① 正方形，矩形，直角梯形 ② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一） ③ 菱形的对角线相互垂直 ④ 勾股定理逆定理：若，则 知识点02：建立直角坐标系的原则 1.轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即轴要与坐标平面垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为轴与底面的交点 2.轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考： （1）尽可能的让底面上更多的点位于轴上 （2）找角：轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件 （3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点 3.常用的空间直角坐标系满足轴成右手系，所以在标轴时要注意。 4.同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。 5.解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直底面两条线垂直），这个过程不能省略。 知识点03：坐标的书写 1.能够直接写出坐标的点 （1） 坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的点，坐标特点如下： 轴： 轴： 轴： （2）底面上的点：坐标均为，即竖坐标，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以下图为例： 则可快速写出点的坐标，位置关系清晰明了 2.空间中在底面投影为特殊位置的点 如果在底面的投影为，那么（即点与投影点的横纵坐标相同） 这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。如果可以则直接确定了横纵坐标，而竖坐标为该点到底面的距离。例如：正方体中的点，其投影为，而所以，而其到底面的距离为，故坐标为 以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三个方法： 3.需要计算的点 ①中点坐标公式：，则中点 ②利用向量关系进行计算（先设再求）：向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系解出变量的值，例如：求点的坐标，如果使用向量计算，则设，可直接写出，观察向量，而 ， 知识点04：空间直角坐标系建立的模型 (1)墙角模型：已知条件中有过一点两两垂直的三条直线，就是墙角模型． 建系：以该点为原点，分别以两两垂直的三条直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，当然条件不明显时，要先证明过一点的三条直线两两垂直(即一个线面垂直面内两条线垂直)，这个过程不能省略．然后建系． 　　　 (2)垂面模型：已知条件中有一条直线垂直于一个平面，就是墙角模型． 情形１　垂下(上)模型：直线竖直，平面水平，大部分题目都是这种类型．如图，此情形包括垂足在平面图形的顶点处、垂足在平面图形的边上(中点多)和垂足在平面图形的内部三种情况． 第一种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，平面图形的一边为x轴或y轴，在平面图形中，过原点作x轴或y轴的垂线为y轴或x轴(其中很多题目是连接垂足与平面图形的另一顶点)建立空间直角坐标系．如图1-1 第二种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，垂足所在的一边为x轴或y轴，在平面图形中，过原点作x轴或y轴的垂线为y轴或x轴(其中很多题目是连接垂足与平面图形的另一顶点)建立空间直角坐标系．如图1-2 第三种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，连接垂足与平面图形的一顶点所在直线为为x轴或y轴，在平面图形中，过原点作x轴或y轴的垂线为y轴或x轴(其中很多题目是连接垂足与平面图形的另一顶点)建立空间直角坐标系．如图1-3 　　　　　　 　　　　　　　　　　　图1－1 　　　 图1－2 　 　 图1－3 情形2　垂左(右)模型：直线水平，平面竖直，这种类型的题目很少．各种情况如图，建系方法可类比情形1． 图2－1　　　　　　　　　　　　　　图2－2　　　　　　　　　　　　图2－3 情形3　垂后(前)模型：直线水平，平面竖直，这种类型的题目很少．各种情况如图，建系方法可类比情形1． 图3－1　　　 考点剖析 【题型一：直接建系】 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江杭州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（    ）    A．1 B． C． D． 二、解答题 2．（2024·四川宜宾·一模）如图，正四棱柱中，为的中点，，. (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 3．（24-25高二上·重庆渝中·期中）如图，在四棱锥中，侧棱底面，分别在棱上，平面. (1)若是的中点，求与平面所成角的余弦值； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【题型二：证明线面垂直建系】 一、解答题 1．（24-25高二上·四川南充·阶段练习）如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中为中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 2．（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，是的中点，且平面． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 3．（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）如图1，在中，，分别为，的中点，，.将沿折起到的位置，使得，如图2. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 4．（24-25高二上·山东日照·期中）已知等腰梯形中，，，为的中点，与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得二面角为直角（如图2）. (1)求平面与平面所成角的余弦值； (2)设点为线段上的动点（包含端点），直线与平面所成角为，求的取值范围. 5．（24-25高二上·广东东莞·期中）如图，在四棱锥中，平面为的中点，点在上，且，设点是线段上（含端点）的一动点. (1)求证：平面； (2)设与平面所成角为，求的范围； (3)若，判断直线是否在平面内，说明理由. 【题型三：底面为菱形、梯形、其他图形的建系】 一、解答题 1．（24-25高二上·湖南永州·期中）如图，四棱锥的底面为菱形，，为的中点，.    (1)证明：平面平面； (2)若，，求平面与的正切值. 2．（24-25高二上·福建福州·期中）如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，且，，.    (1)求证：平面PAD； (2)若，在棱PB上是否存在一点，使得直线CD与平面ACM所成角的正弦值为?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 3．（24-25高二上·四川南充·期中）如图，在以为顶点的圆锥中，点是圆锥底面圆的圆心，是圆锥底面圆的直径，，为底面圆周上的两点，且为等边三角形，是母线的中点，．    (1)求圆锥的体积 (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)设与交于点，求直线与平面所成角的正弦值． 4．（24-25高二上·湖北·期中）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，是斜边为AD的等腰直角三角形，    (1)求证：平面 (2)求PB与平面PCD所成角的正弦值； (3)在棱PB上是否存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 5．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在四棱锥中，面，，且，，，，，E、F分别为，的中点. (1)求直线到平面的距离； (2)在线段上是否存在一点M，使得直线与平面所成角的正弦值是？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (3)在平面内是否存在点H，满足，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点H的轨迹图形形状. 6．（24-25高二上·山东威海·期中）如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，对的中点. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值； (3)设点是内一动点，，当线段的长最小时，求直线与直线所成角的余弦值. 【题型四：在平面外建系】 一、解答题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，四面体中，，平面ABC． (1)求证：平面PAB； (2)求二面角的大小． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，在三棱柱中，H是正方形的中心，，平面，且.    (1)求异面直线AC与夹角的余弦值； (2)求平面与平面夹角的正弦值. 3．（24-25高二上·浙江台州·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，且，. (1)求证：平面平面； (2)设.若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角夹角余弦值的大小. 4．（24-25高二上·云南曲靖·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，四边形是梯形，且，点G是的重心，与交于点M． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求平面与平面的夹角的余弦值． 5．（24-25高二上·吉林长春·期中）中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”.如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥，其中，，交于点.    (1)求证：平面平面； (2)若，且二面角为，求平面与平面所成角的余弦值. 6．（24-25高二上·浙江·期中）如图，等腰直角三角形中，，是中点，、分别是、边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥. (1)求证：； (2)若，二面角是直二面角，求平面与平面夹角的余弦值； (3)当时，是否存在这样的点，使得二面角为，且直线与平面所成角为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 【题型五：其他建系】 一、解答题 1．（24-25高二上·山西·期中）如图，已知正四棱台的上，下底面分别是边长为2和4的正方形，，点P是棱上的动点（包括端点）． (1)证明：平面平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求点P到平面的距离． 2．（23-24高二上·河北唐山·阶段练习）如图，四棱锥的底面为菱形且，底面ABCD，，，E为PC的中点. (1)求二面角平面角的正切值； (2)在线段PC上是否存在一点M，使平面MBD成立如果存在，求出MC的长；如果不存在，请说明理由. 3．（2024·安徽·一模）如图，在四棱锥中，，  ，，平面平面． (1)求证：平面； (2)点Q在棱上，与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 4．（24-25高二上·广东·期中）如图，在几何体中，平面平面，四边形和是全等的菱形，且平面平面，是正三角形，，. (1)求该几何体的体积； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 5．（24-25高二上·湖北·期中）如图，在多面体ABCDPQ中，底面ABCD是平行四边形，，，M为BC的中点，，，．    (1)证明：； (2)若平面PCD与平面QAB夹角的余弦值为，求多面体ABCDPQ的体积． 6．（23-24高一下·重庆·期末）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球的半径为.、、为球面上三点，劣弧的弧长记为，设，表示以为圆心，且过、的圆，同理，圆，的劣弧、的弧长分别记为、，曲面（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角，，分别为、、，则球面三角形的面积为. (1)若平面、平面、平面两两垂直，求球面三角形的面积； (2)若平面三角形为直角三角形，，设，，.则： ①求证： ②延长与球交于点.若直线，与平面所成的角分别为，，，，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值，及此时平面截球的面积. 过关检测 一、解答题 1．（24-25高二上·黑龙江绥化·期中）如图，在四棱锥中，已知底面ABCD为矩形，，平面平面ABCD． (1)求证：平面ABCD； (2)若，点在棱PD上，且二面角的大小为． ①求证：； ②设是直线CD中点，求直线MQ与平面MAC所成角的正弦值． 2．（24-25高二上·重庆·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连.    (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长. 3．（24-25高二上·贵州六盘水·期中）如图，在四棱锥中，，，，，，，平面平面ABCD，E为AD的中点. (1)证明：平面PAB. (2)证明：. (3)试问在线段PE上是否存在点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 4．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若点是线段的中点，求点到平面的距离. 5．（24-25高二上·湖南永州·期中）如图，在三棱柱中，，，，在底面ABC的射影为BC的中点，D是的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 6．（24-25高二上·北京·期中）如图，六面体中，四边形为菱形，、、、都垂直于平面．若，． (1)求证：； (2)在棱（不含端点）上是否存在一点，使得三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 7．（24-25高二上·重庆合川·期中）如图，在三棱台中，平面，，，， D是棱AC 的中点，E 为棱BC 上一动点. (1)判断是否存在点 E，使平面. (2)是否存在点 E，使平面平面? 若存在，求此时与平面所成角的正弦值；若不存在，说明理由. 8．（24-25高二上·河南郑州·期中）在如图所示的空间几何体中，四边形是平行四边形，平面平面，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 9．（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）如图，已知四棱锥中，，侧面为边长等于4的正三角形，底面为菱形，为的中点，侧面与底面所成的二面角为． (1)求点到平面的距离； (2)已知点为直线上的动点，若直线与面所成角的正弦值为，求线段的长度． 10．（24-25高二上·吉林·期中）如图，在三棱台中，平面，，，，是棱的中点，为棱上一动点. (1)若，证明：平面； (2)是否存在，使平面平面？若存在，求此时与平面所成角的正弦值；若不存在，说明理由. 11．（24-25高二上·浙江丽水·期中）如图，已知四棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为中点.    (1)证明：平面； (2)证明：； (3)若是线段上一动点，直线与平面所成角正弦值为，求的值. 12．（24-25高二上·北京顺义·期中）如图，在四棱锥中，，，，，平面平面，为中点． (1)平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在一点，使∥平面？如果不存在，请说明理由；如果存在，求的值． 13．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在以为顶点，母线长为的圆锥中，底面圆的直径长为，是圆所在平面内一点，且是圆的切线，连接交圆于点，连接. (1)求证：平面平面； (2)若是的中点，连接，当时，求平面与平面夹角的余弦值. 14．（24-25高二上·山西晋城·期中）如图，在平面四边形中，，，，，点，分别是，的中点，将沿翻折至，且点在平面上的射影为平面内一点，且平面． (1)试确定点具体位置； (2)求二面角的余弦值． 15．（24-25高二上·北京顺义·期中）如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，为的中点. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)设是线段上一点，如果点是在平面内，判断点在线段的位置并证明你的结论； (3)点在线段上运动，求点到直线的距离最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 α O l α y x z O l α O l α y x z O l l α O l α O y z x O D A B C P x y z O l α O l α y x z O l α O l α y x z l α O l α O y x z l α O l α x O y z l α O l α x y z O l α O l α y O z x $$ 专题03 立体几何建系、求点问题 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 考点要求 （1）了解空间直角坐标系的建系原理，掌握空间直角坐标系的建系方法. 知识点01：建系设点有关的基础储备 与垂直相关的定理与结论 （1）线面垂直 ① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直 ② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直 ③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直 ④ 直棱柱：侧棱与底面垂直； ⑤有一条侧棱垂直于底面的椎体。 ⑥正三棱柱、正四棱柱：顶点在底面的投影为底面的中心。 ⑦侧面与底面所成角均相等或侧棱长均相等可得顶点在底面的投影为底面的中心。 （2）线线垂直（相交垂直） ① 正方形，矩形，直角梯形 ② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一） ③ 菱形的对角线相互垂直 ④ 勾股定理逆定理：若，则 知识点02：建立直角坐标系的原则 1.轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即轴要与坐标平面垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为轴与底面的交点 2.轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考： （1）尽可能的让底面上更多的点位于轴上 （2）找角：轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件 （3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点 3.常用的空间直角坐标系满足轴成右手系，所以在标轴时要注意。 4.同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。 5.解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直底面两条线垂直），这个过程不能省略。 知识点03：坐标的书写 1.能够直接写出坐标的点 （1） 坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的点，坐标特点如下： 轴： 轴： 轴： （2）底面上的点：坐标均为，即竖坐标，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以下图为例： 则可快速写出点的坐标，位置关系清晰明了 2.空间中在底面投影为特殊位置的点 如果在底面的投影为，那么（即点与投影点的横纵坐标相同） 这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。如果可以则直接确定了横纵坐标，而竖坐标为该点到底面的距离。例如：正方体中的点，其投影为，而所以，而其到底面的距离为，故坐标为 以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三个方法： 3.需要计算的点 ①中点坐标公式：，则中点 ②利用向量关系进行计算（先设再求）：向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系解出变量的值，例如：求点的坐标，如果使用向量计算，则设，可直接写出，观察向量，而 ， 知识点04：空间直角坐标系建立的模型 (1)墙角模型：已知条件中有过一点两两垂直的三条直线，就是墙角模型． 建系：以该点为原点，分别以两两垂直的三条直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，当然条件不明显时，要先证明过一点的三条直线两两垂直(即一个线面垂直面内两条线垂直)，这个过程不能省略．然后建系． 　　　 (2)垂面模型：已知条件中有一条直线垂直于一个平面，就是墙角模型． 情形１　垂下(上)模型：直线竖直，平面水平，大部分题目都是这种类型．如图，此情形包括垂足在平面图形的顶点处、垂足在平面图形的边上(中点多)和垂足在平面图形的内部三种情况． 第一种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，平面图形的一边为x轴或y轴，在平面图形中，过原点作x轴或y轴的垂线为y轴或x轴(其中很多题目是连接垂足与平面图形的另一顶点)建立空间直角坐标系．如图1-1 第二种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，垂足所在的一边为x轴或y轴，在平面图形中，过原点作x轴或y轴的垂线为y轴或x轴(其中很多题目是连接垂足与平面图形的另一顶点)建立空间直角坐标系．如图1-2 第三种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，连接垂足与平面图形的一顶点所在直线为为x轴或y轴，在平面图形中，过原点作x轴或y轴的垂线为y轴或x轴(其中很多题目是连接垂足与平面图形的另一顶点)建立空间直角坐标系．如图1-3 　　　　　　 　　　　　　　　　　　图1－1 　　　 图1－2 　 　 图1－3 情形2　垂左(右)模型：直线水平，平面竖直，这种类型的题目很少．各种情况如图，建系方法可类比情形1． 图2－1　　　　　　　　　　　　　　图2－2　　　　　　　　　　　　图2－3 情形3　垂后(前)模型：直线水平，平面竖直，这种类型的题目很少．各种情况如图，建系方法可类比情形1． 图3－1　　　 考点剖析 【题型一：直接建系】 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江杭州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（    ）    A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解点线距即可. 【详解】建立如图空间直角坐标系，    则， ，. 故点到直线的距离. 故选：B 二、解答题 2．（2024·四川宜宾·一模）如图，正四棱柱中，为的中点，，. (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面、平面的法向量，利用空间向量法证明即可； （2）求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，取； 设平面的法向量为，则，取； 因为，即， 所以平面平面； （2）设平面的法向量为，则，取， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 3．（24-25高二上·重庆渝中·期中）如图，在四棱锥中，侧棱底面，分别在棱上，平面. (1)若是的中点，求与平面所成角的余弦值； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量坐标公式计算即可； （2）分别求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量坐标公式计算即可. 【详解】（1）由题意：底面是正方形；连接交于点，连接； 因为平面，平面平面平面， 所以；又是中点，故是中点； 以为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系； 不妨设，则. 由题意，是的中点，则；故； 设平面的法向量为，则； 令，得； 记与平面所成角为，则， 故； 故与平面所成角的余弦值为. （2），故， 故；又平面， 平面，故平面； 故平面的法向量； 平面的法向量； 记平面与平面的夹角为，则， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 【题型二：证明线面垂直建系】 一、解答题 1．（24-25高二上·四川南充·阶段练习）如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中为中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【详解】（1）因为，O为中点，所以， 因为侧面底面，平面底面， ，平面，所以平面； （2）因为底面为直角梯形， 又， 所以四边形是正方形， ，又平面， 以O为原点，OC所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面PAB的法向量为， 则，令，则， 所以， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值 2．（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，是的中点，且平面． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在满足条件的点， 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理直接证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法直接求面面角的余弦值即可； （3）设，即可表示出，由线面平行可得，即可求解. 【详解】（1）在菱形中，连接，得等边， 因为是的中点，所以， 因为平面平面，所以． 因为平面平面，且， 所以平面． （2）因为平面平面，则有， 由(1)知，故两两垂直， 如图建立空间直角坐标系， 因为，所以为等边三角形，同理也为等边三角形， 则， 设平面的一个法向量为， 则 令得， 又因为平面，所以平面的一个法向量为， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为． （3）设， 则， 若平面，则， 解得，故存在满足条件的点，且． 3．（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）如图1，在中，，分别为，的中点，，.将沿折起到的位置，使得，如图2. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）利用计算证明，结合面面垂直的判定定理来证得平面平面. （2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，由线线角的向量求法可构造方程求得的值，进而得到结果. 【详解】（1）设是的中点，是的中点，如下图，连接，则， 则，， 由于，所以， 由于平面，所以平面， 由于平面，所以平面平面； （2）由（1）以及已知条件可知两两相互垂直， 则以为坐标原点，正方向为轴正方向， 可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 假设在线段上存在点，使得直线和所成角的余弦值为， 设，则， ， ， 整理可得：，解得：， 存在满足题意的点，此时. 4．（24-25高二上·山东日照·期中）已知等腰梯形中，，，为的中点，与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得二面角为直角（如图2）. (1)求平面与平面所成角的余弦值； (2)设点为线段上的动点（包含端点），直线与平面所成角为，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）证明平面，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，由空间向量法求二面角； （2）设，求出，由向量法求得，结合函数性质得取值范围． 【详解】（1）如图1，连接，由已知且，所以是平行四边形， 而，从而是菱形，所以， 同理是平行四边形，所以，是等边三角形， ， 图2中，，， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， ，，，， 设平面的一个法向量是， 则，取，则， 设平面的一个法向量是， 则，取，则， ， 所以面与平面所成角的余弦值为； （2）设，， 则， , 因为，所以， 所以． 5．（24-25高二上·广东东莞·期中）如图，在四棱锥中，平面为的中点，点在上，且，设点是线段上（含端点）的一动点. (1)求证：平面； (2)设与平面所成角为，求的范围； (3)若，判断直线是否在平面内，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)直线平面，理由见解析 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理和判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，求出的方向向量和平面的法向量，利用夹角公式结合换元法即可求解； （3）由代入坐标建立的方程组，由方程组有解可得直线是否在平面内. 【详解】（1）因为平面平面，所以， 又因为平面平面， 所以平面. （2）在底面中，过作，交于， 由题意可知，又平面， 则以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，      则， ，可知. , 设， 则， 设平面的法向量为， 则，即， 令，有，故. 故 ， 令，则 ， 而， 故. （3）由以及（2）得， 若平面，则且，使得， 则有，解得，故， 所以直线平面. 【题型三：底面为菱形、梯形、其他图形的建系】 一、解答题 1．（24-25高二上·湖南永州·期中）如图，四棱锥的底面为菱形，，为的中点，.    (1)证明：平面平面； (2)若，，求平面与的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作辅助线，根据菱形的特征得到线面垂直，即可得到面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，分别求出两个面的法向量，根据夹角的余弦公式可求得结果. 【详解】（1）证明：连接，    底面为菱形，且，为的中点， ，为等边三角形，故， ，， 又，，平面，平面， 又平面，平面平面； （2）过作于点，由（1）得平面平面， 因为平面平面，平面， 平面， 由，，得，，， 又，，， 根据，得，则， ，以，分别为轴，轴，过作的平行线为轴， 建立如图空间直角坐标系，    故，，，， ，，， 设平面的一个法向量， 则，即， 令，则， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则， 则，， 所以平面与的正切值为. 2．（24-25高二上·福建福州·期中）如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，且，，.    (1)求证：平面PAD； (2)若，在棱PB上是否存在一点，使得直线CD与平面ACM所成角的正弦值为?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理、勾股定理的逆定理证得，再利用面面垂直的性质推理即得. （2）取的中点，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法求线面角的正弦求解. 【详解】（1）在中，， 由余弦定理，得， 则，即，由平面平面， 平面平面平面， 所以平面. （2）设的中点分别为，连接， 由，得，又平面平面， 平面平面平面，则平面， 又平面，则，又，，则，即两两互相垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，   ，则， 设，则， 于是， 设是平面的法向量，则， 令，则，得， 设直线与平面所成角为，， 则， 即，而，解得， 所以存在点，使得直线直线与平面所成角的正弦值为，. 3．（24-25高二上·四川南充·期中）如图，在以为顶点的圆锥中，点是圆锥底面圆的圆心，是圆锥底面圆的直径，，为底面圆周上的两点，且为等边三角形，是母线的中点，．    (1)求圆锥的体积 (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)设与交于点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据圆锥体积公式求解即可； （2）建立空间直角坐标系，求两个平面的法向量，利用公式求解即可； （3）利用几何性质求的长，得到点的坐标，计算，利用公式求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）由题意，. （2）如图，以为原点建立空间直角坐标系.    由题意得，，，，，，， ∴. 设平面的法向量为， ∴，令，可取， 设平面的法向量为， ∴，令，可取. 设平面ADE与平面ACE的夹角为， 则. （3）如图，过点作于点，    则为中点，且， ∴， 由得，，∴，即， ∴. 设直线CM与平面ADE所成角为， . 4．（24-25高二上·湖北·期中）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，是斜边为AD的等腰直角三角形，    (1)求证：平面 (2)求PB与平面PCD所成角的正弦值； (3)在棱PB上是否存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得平面PAD，再由线面垂直的判定定理可得证； （2）利用空间向量法求线面角； （3）设利用空间向量的数量积，求解，推出结果. 【详解】（1）平面平面ABCD，平面平面 平面ABCD，， 平面PAD， 平面， 又且，PA、平面平面PAB； （2）取AD中点为O，连接PO、CO， 又， 则， ，则， 以O为坐标原点，分别以所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， ， 设为平面PCD的一个法向量， 由，得，令，则， 设PB与平面PCD所成角的角为， （3）假设在棱PB上存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为， 由可知，， ，设 设为平面ADM的一个法向量， 由得， 则， 易知平面ABCD的一个法向量为， 设平面ADM与平面ABCD的夹角为 ， ， 5．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在四棱锥中，面，，且，，，，，E、F分别为，的中点. (1)求直线到平面的距离； (2)在线段上是否存在一点M，使得直线与平面所成角的正弦值是？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (3)在平面内是否存在点H，满足，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点H的轨迹图形形状. 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，点H的轨迹是半径为的圆 【分析】（1）取的中点，可证得平面，平面，从而平面平面，则平面，直线到平面的距离等于点到平面的距离，由条件可得面，为点到平面的距离，求解即可； （2）设 ()，以点A为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法列出方程求解即可； （3）求出中点到平面的距离为，由，即，故H在以中点为球心，半径为的球面上，进而可得H在平面上的轨迹. 【详解】（1） 取的中点，连接， 又E为的中点，∴， 而平面，平面，∴平面， ∵G为中点，F为的中点，，∴， 而平面，平面，∴平面， 又∵平面， ∴平面平面，而平面， ∴平面， ∴直线到平面的距离等于点到平面的距离． ∵面，面，∴， 又，，面， ∴面，即面， ∴为点到平面的距离，而， ∴直线到平面的距离为． （2） 设 ()，如图，以点A为原点建立空间直角坐标系， ∴， ∴， ∴， 设平面的法向量， 则有，令，得，则， 由题意， 整理得，解得或(舍去)， 所以当时，直线与平面所成角的正弦值是． （3）由（2）知，平面的一个法向量， 点，中点，则， 则中点到平面的距离为， 由，即， 故H在以中点为球心，半径为的球面上， 而，故H在平面上的轨迹是半径为的圆， 故存在符合题意的H，此时点H的轨迹是半径为的圆． 6．（24-25高二上·山东威海·期中）如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，对的中点. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值； (3)设点是内一动点，，当线段的长最小时，求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3). 【分析】（1）取的中点，证明，然后得线面垂直，再得面面垂直； （2）以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角； （3）由向量的数量积为0，确定的轨迹，再由最小值确定其位置，得其坐标，然后由空间向量法求线面角． 【详解】（1）取的中点，连结， 由已知得，是边长为2的等边三角形，是以为腰的等腰三角形， 则，故, 故平面平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （2）以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则， 设平面的一个法向量为， 由，取，得， 所以，因为 ， 故平面与平面所成角的正弦值为. （3）点是内一动点且，则点在以为直径的圆上， 当线段的长最小时，点在与圆的交点处，此时， ， 设直线与直线所成角为， 所以， 所以直线与直线所成角得余弦值为. 【题型四：在平面外建系】 一、解答题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，四面体中，，平面ABC． (1)求证：平面PAB； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由线面垂直的性质证得，，再利用勾股定理证得，从而利用线面垂直的判定定理即可得证； （2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解. 【详解】（1）证明：因为平面ABC，平面ABC，平面ABC， 所以，． 因为，，所以， 又，所以，即， 又，平面PAB， 所以平面PAB. （2）以点B为坐标原点，分别以，所在直线为x轴、y轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示： 则， 所以， 设平面APC的一个法向量为， 则，取，得， 设平面BPC的一个法向量为， 则，取，得， 所以， 由图可知二面角为锐角，设二面角的大小为， 则，即， 即二面角的大小为. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，在三棱柱中，H是正方形的中心，，平面，且.    (1)求异面直线AC与夹角的余弦值； (2)求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，代入空间异面直线夹角公式求解即可； （2）分别求出平面和平面的法向量，代入空间二面角公式再结合同角的三角函数关系求解即可； 【详解】（1）以点B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.    依题意，得，，，，， 所以，， 所以. 所以异面直线AC与夹角的余弦值为. （2）由（1）知，易得，. 设平面的法向量为， 则即 不妨令，则为平面的一个法向量.. 设平面的法向量为， 则即 不妨令，则为平面的一个法向量. 所以，所以. 所以平面与平面夹角的正弦值为. 3．（24-25高二上·浙江台州·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，且，. (1)求证：平面平面； (2)设.若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角夹角余弦值的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由面面垂直的性质得面，根据面面垂直的判定即可证结论； （2）建立合适的空间直角坐标系，根据已知线面角正弦值，应用向量法求得，再由面面角的向量求法求结果. 【详解】（1）在四棱锥中，面面，面，面面， 所以面，又面，所以面面. （2）以A为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 由，则， 设，则，所以， 设面的法向量为，则，取，则， 所以，即， 化简得，解得或（舍），所以，， 设平面的法向量，且，， 则，取，则， 设二面角的夹角大小为，则， 所以二面角的夹角的余弦值为. 4．（24-25高二上·云南曲靖·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，四边形是梯形，且，点G是的重心，与交于点M． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）由已知可得，利用面面垂直，可得平面； （2）连接并延长，交于点N，连接，根据题中的条件可得，得到，再利用线面平行的判定定理即可证明平面； （3）以D为坐标原点，所在直线为x轴，y轴，过点D且与平行  直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用向量法求面面角. 【详解】（1）在中，， 所以，所以， 因为平面平面， 平面平面平面， 所以平面. （2）连接并延长，交于点N，连接， 因为点G是的重心，所以N是的中点，且， 在梯形中，因为，且， 所以，则， 所以，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （3）取的中点H，连接， 在中，，所以且， 又因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 由（1）知， 则以D为坐标原点，所在直线为x轴，y轴， 过点D且与平行  直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题知， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，所以， 令，则，，故， 又平面，则为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为θ， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 5．（24-25高二上·吉林长春·期中）中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”.如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥，其中，，交于点.    (1)求证：平面平面； (2)若，且二面角为，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见详解； (2). 【分析】（1）只需结合已知分别证明，，结合线面垂直、面面垂直的判定定理即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，由向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以均在的垂直平分线上，所以，， 因为， 所以， 因为，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面； （2）由（1）可知， 以为原点，所在直线分别为轴，过点垂直于底面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    因为， 所以，所以， 从而由等面积法，可知，由勾股定理，可知， 由（1）可知，所以， 由（1）可知，而平面平面，平面，平面，且二面角为， 所以， 所以与轴所在直线的夹角为， 所以， 因为， 所以， 设平面的法向量为， 则， 令，解得， 所以平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则， 令，解得， 所以平面的法向量为， 设平面与平面所成角为， 则， 所以平面与平面所成角的正弦值为. 6．（24-25高二上·浙江·期中）如图，等腰直角三角形中，，是中点，、分别是、边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥. (1)求证：； (2)若，二面角是直二面角，求平面与平面夹角的余弦值； (3)当时，是否存在这样的点，使得二面角为，且直线与平面所成角为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）由折叠可证线面垂直，由线面垂直的性质可证明结论. （2）建立空间直角坐标系，表示各点坐标，计算平面法向量，利用公式计算平面夹角的余弦值. （3）建立空间直角坐标系，设，利用“二面角为”表示点坐标，根据线面角的向量公式求的长. 【详解】（1）∵，， ∴，即，， ∵，，平面，∴平面， ∵平面，∴. （2）∵二面角是直二面角，∴平面平面， ∵平面平面，，平面，∴平面， 如图，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 设，则，，，，， ∴，. 设平面法向量为， ，令，则，，故， 由题意得，平面法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则. （3） 分别以、所在直线分别为轴、轴，过作平面的垂线为轴，建立如图空间直角坐标系， 设，则，，，， 由（1）得，二面角的平面角为，即，故， ∴，. 由题意得，平面的法向量为， ，解得， ∴存在点，. 【题型五：其他建系】 一、解答题 1．（24-25高二上·山西·期中）如图，已知正四棱台的上，下底面分别是边长为2和4的正方形，，点P是棱上的动点（包括端点）． (1)证明：平面平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求点P到平面的距离． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）以下底面正方形的中心为原点，建立如图所示空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，运算证明； （2）设，根据条件求出，再利用向量法求出点到平面的距离. 【详解】（1）以下底面正方形的中心为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 由于，上、下底面分别是边长为2和4的正方形，可求出四棱台的高为， 则， 于是， 设平面的法向量为，则， 取，可得， 设平面的法向量为， 则，取，可得， 由于，则平面的法向量与平面法向量垂直，则平面平面. （2）设，且，则， 设平面的法向量为， 则，取，可得， 设平面与平面的夹角为，则，化简即（，解出， 因此， 则点到平面的距离为. 2．（23-24高二上·河北唐山·阶段练习）如图，四棱锥的底面为菱形且，底面ABCD，，，E为PC的中点. (1)求二面角平面角的正切值； (2)在线段PC上是否存在一点M，使平面MBD成立如果存在，求出MC的长；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)2 (2)存在， 【分析】（1）以O为原点，OA、OB、OE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，先判断二面角是锐角还是钝角，再利用平面法向量夹角与二面角的关系即可； （2）设PC上存在点M使得平面，则有，设，利用空间向量法求出，即可求出，从而得解. 【详解】（1）连接对角线AC、BD相交于点O，连接DE、OE，则为的中点，又E为PC的中点， 所以， 平面，平面，， 底面是菱形，即， 以O为原点，OA、OB、OE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， ，，，，， ，，，，，，， 则，，， 设二面角的平面角为，由图可知是锐角， 等于法向量夹角余弦的绝对值，平面ADC的法向量为， 设平面EAD的法向量为， ，，取，得到， ， 即，，，故二面角的平面角正切值是2. （2）设PC上存在点M使得平面，又平面，则有， ，设， ， ， ， ，， 此时，而平面，平面，， 又，平面，所以平面， 故当时，能使得平面. 3．（2024·安徽·一模）如图，在四棱锥中，，  ，，平面平面． (1)求证：平面； (2)点Q在棱上，与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）若分别为中点，连接，易得、、、，再应用面面垂直的性质得面，由线面垂直的性质证、，最后综合线面垂直的性质及判断定理证结论； （2）构建合适空间直角坐标系，首先根据线面角的向量求法列方程求Q位置，再应用向量法求面面角的余弦值. 【详解】（1）若分别为中点，连接， 由，，则为直角梯形，且为中位线， 所以，且， 由，则，又，可得， 面面，面，面面， 则面，面，故，则， 由面，则，又，均在面内， 所以面，面，可得， 所以，故，即， 由，则，而均在面内， 所以平面. （2）由（1）可构建如上图所示的空间直角坐标系， 所以， 令且，则， 则，，， 若是面的一个法向量，则， 令，则， 由题意， 整理得，故，则， 若是面的一个法向量，则， 令，则， 所以平面与平面夹角的余弦值. 4．（24-25高二上·广东·期中）如图，在几何体中，平面平面，四边形和是全等的菱形，且平面平面，是正三角形，，. (1)求该几何体的体积； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）该几何体的体积可拆分为，先证平面，建立空间直角坐标系，用向量法可求出以及平面的法向量.从而可得点到平面的距离，即可求得，从而得解； （2）用向量法求平面与平面的一个法向量，再代入平面与平面夹角的余弦公式即可求解. 【详解】（1）取AC的中点，连接，， 则，. 因为平面平面，且交于AC， 所以平面. 如图，以为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，. 连接BC.因为，， 所以. 因为，， 所以， 则，所以. 设平面的法向量为， 则令，得， 因为， 所以点到平面的距离， 所以， 所以该几何体的体积. （2）设平面的法向量为， 因为，， 所以令，则. 设平面的法向量为， 因为，， 所以所以. 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 5．（24-25高二上·湖北·期中）如图，在多面体ABCDPQ中，底面ABCD是平行四边形，，，M为BC的中点，，，．    (1)证明：； (2)若平面PCD与平面QAB夹角的余弦值为，求多面体ABCDPQ的体积． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据余弦定理求解，即可求证，进而根据线线垂直可证明线面垂直，即可得线线垂直； （2）设，建立空间直角坐标系，利用空间向量结合面面夹角可得，根据体积公式，结合棱柱与棱锥的体积关系求体积即可. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得， 所以，所以， 所以． 又因为，平面, 所以平面,平面． 所以． 由于,所以四边形为平行四边形，所以． 又，所以， 所以． （2）因为，所以， 又，平面，所以平面． 取中点，连接，设． 建立如图所示的空间直角坐标系，    则，． 则， 则平面的一个法向量．则， 令，则，可得； 设平面的一个法向量，则， 令，则，可得； 则，解得， 设多面体的体积为， 则 ， 所以多面体ABCDPQ的体积. 6．（23-24高一下·重庆·期末）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球的半径为.、、为球面上三点，劣弧的弧长记为，设，表示以为圆心，且过、的圆，同理，圆，的劣弧、的弧长分别记为、，曲面（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角，，分别为、、，则球面三角形的面积为. (1)若平面、平面、平面两两垂直，求球面三角形的面积； (2)若平面三角形为直角三角形，，设，，.则： ①求证： ②延长与球交于点.若直线，与平面所成的角分别为，，，，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值，及此时平面截球的面积. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②， 【分析】（1）根据题意结合相应公式分析求解即可. （2）①根据题意结合余弦定理分析证明；②建系，利用空间向量求线面夹角，利用基本不等式分析可知点，再利用空间向量求球心O到平面AEC距离，结合球的性质分析求解. 【详解】（1）若平面OAB，OAC，OBC两两垂直，有， 所以球面三角形ABC面积为. （2）①由余弦定理有：，且， 消掉，可得； ②由AD是球的直径，则， 且，，平面BCD， 所以平面BCD，且平面BCD，则， 且，平面ABC，可得平面ABC， 由直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为，所以， 不妨先令，则， 由，，， 以C为坐标原点，以CB，CA所在直线为x，y轴，过点C作BD的平行线为z轴，建立如图空间直角坐标系，    设，则， 可得，， 则， 设平面OBC法向量，则， 取，则，可得， 设平面EST法向量，则， 取，则，可得， 要使sinθ取最小值时，则取最大值， 因为 ， 令，则， 可得， 当且仅当取等． 则取最大值，为最小值， 此时点，可得，， 设平面AEC中的法向量，则， 取，则，可得， 可得球心O到平面AEC距离为， 设平面AEC截球O圆的半径为r，则， 所以截面圆面积为. 【点睛】方法点睛：1.利用空间向量求线面角的思路 直线与平面所成的角主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得，即； 2. 利用空间向量求点到平面距离的方法 设A为平面内的一点，B为平面外的一点，为平面的法向量，则B到平面的距离. 过关检测 一、解答题 1．（24-25高二上·黑龙江绥化·期中）如图，在四棱锥中，已知底面ABCD为矩形，，平面平面ABCD． (1)求证：平面ABCD； (2)若，点在棱PD上，且二面角的大小为． ①求证：； ②设是直线CD中点，求直线MQ与平面MAC所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析 ；② 【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到，结合得到线面垂直； （2）①建立空间直角坐标系，设（或显然不满足题设），求出平面和平面ABC的一个法向量，根据二面角的大小得到方程，求出，求出，从而求出，得到垂直关系； ②求出，得到，平面MAC的一个法向量，利用线面角的正弦公式求出答案. 【详解】（1）在四棱锥中，因为底面ABCD为矩形，所以． 因为平面平面ABCD，平面平面平面ABCD， 所以平面 因为平面PAD，所以， 因为平面ABCD，且， 所以平面ABCD． （2）①以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，所以， 因为点在棱PD上，所以设（或显然不满足题设）， 因为，所以， 所以， 设平面的一个法向量， 则，即，取，则， 所以 又是平面ABC的一个法向量， 所以， 因为二面角的大小为，所以， 即，解得 此时，， 又，所以， 所以，即 ②因为是直线CD的中点，则， 由①可得，所以，平面MAC的一个法向量． 设直线MQ与平面MAC所成角为， 则， 即直线MQ与平面MAC所成角的正弦值为． 2．（24-25高二上·重庆·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连.    (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据长度关系先证明，再根据条件证明出平面，由此可得，根据线面垂直的判定定理可完成证明； （2）建立合适空间直角坐标系，分别求解出平面和平面的一个法向量，先计算出法向量夹角的余弦值，则二面角的正弦值可求； （3）设，然后根据与平面法向量夹角的正弦值求解出的值，则的长度可求. 【详解】（1）因为，所以，且， 所以四边形为矩形，所以， 又因为，，所以， 所以，所以，所以， 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又平面，所以， 因为平面，所以平面. （2）以为原点，分别以方向为轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 由条件可知，所以， 所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 所以，取，则，所以， 设平面的一个法向量为， 所以，取，则，所以， 所以， 设二面角的平面角为，所以， 故二面角的正弦值为.    （3）设，因为，所以， 因为，所以， 取平面的一个法向量，设直线与平面所成角为， 所以，解得， 因为，所以. 3．（24-25高二上·贵州六盘水·期中）如图，在四棱锥中，，，，，，，平面平面ABCD，E为AD的中点. (1)证明：平面PAB. (2)证明：. (3)试问在线段PE上是否存在点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在；答案见解析 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可； （2）作交于，利用几何关系在中，由余弦定理求出，再由勾股定理证明，然后由面面垂直的性质定理证明即可； （3）建立如图所示坐标系，求出平面的法向量和，代入空间线面角公式求解即可； 【详解】（1）因为，所以， 因为平面，平面， 所以平面PAB. （2） 作交于， 因为，所以，又，所以， 又，，所以四边形为平行四边形，所以， 因为，即，所以， 又E为AD的中点，所以， 在中，由余弦定理可得， 即， 所以，所以， 又平面平面ABCD，且平面平面ABCD，平面， 所以平面， 平面，所以. （3）设存在， 作交与， 由（2）可得两两垂直，所以以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 设，则， ，， 设平面的法向量为， 则，即，取，则， 设直线CM与平面PBC所成角的为， 则， 解得，所以在线段PE上存在点，此时. 4．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若点是线段的中点，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先利用平面几何的知识与线面垂直的性质证得两两垂直，从而建立空间直角坐标系，求出和平面的法向量，由此证得线面平行； （2）结合（1）中结论，求出平面与平面的法向量，利用空间向量夹角余弦的坐标表示求解即可； （3）利用空间向量点面距离公式求解即可. 【详解】（1）记的中点为，连结， 因为，，所以四边形是平行四边形，则， 因为，所以平行四边形是矩形，则， 因为平面，平面，所以，则两两垂直， 故以为坐标原点，分别以，，为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，， 因为为的中点，所以，则， 设平面的一个法向量为，而，， 则，令，则， 所以，则， 又平面，所以平面． . （2）设平面的一个法向量为，而，， 所以，令，则， 设平面的一个法向量为，而，， 所以，令，则， 记平面与平面夹角为，则， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （3）由题得，，则， 由（2）知平面的一个法向量， 则点到平面的距离为. 5．（24-25高二上·湖南永州·期中）如图，在三棱柱中，，，，在底面ABC的射影为BC的中点，D是的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，用空间向量的坐标运算求面面夹角的余弦值. 【详解】（1）取BC的中点，连接，， ，D是的中点.， ，， 因为在底面ABC的射影为BC的中点，所以平面ABC， 又平面平面，所以平面， 又面，所以， 因为，平面，所以平面； （2）如图，以O为坐标原点，以OA、OB、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则，， 则，，，， ，，，. 设平面的法向量为， 则，得，取，得， 因为平面，所以即为平面的一个法向量， 则，所以平面与平面的所成角的余弦值为. 6．（24-25高二上·北京·期中）如图，六面体中，四边形为菱形，、、、都垂直于平面．若，． (1)求证：； (2)在棱（不含端点）上是否存在一点，使得三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）连接，推导出平面，四边形为平行四边形，可得出，可得出平面，再由线面垂直的性质可证得结论成立； （2）设，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，计算出三棱锥的体积，利用空间向量法求出点到平面的距离，可求出的面积，设，根据的面积可得出关于的等式，解之即可得出结论. 【详解】（1）证明：连接，如下图所示： 因为四边形为菱形，则， 因为平面，平面，则， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，平面，所以，， 又因为，所以，四边形为平行四边形，所以，， 所以，平面，因为平面，则. （2）解：设，因为四边形为菱形，则， 因为，则是边长为的等边三角形， 则， 因为平面，且， 则， 又因为平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 因为，平面，平面， 则平面， 同理可证平面， 因为，、平面， 所以平面平面， 因为平面平面，平面平面， 所以，， 同理，，故四边形为平行四边形， 线段的中点为，且线段的中点也为，可得， 设平面的法向量为，，， 则，取，则， ， 所以，点到平面的距离为， ，则， 因为， 设，则，其中， ， 故在棱上不存在点，使得三棱锥的体积等于三棱锥的体积. 7．（24-25高二上·重庆合川·期中）如图，在三棱台中，平面，，，， D是棱AC 的中点，E 为棱BC 上一动点. (1)判断是否存在点 E，使平面. (2)是否存在点 E，使平面平面? 若存在，求此时与平面所成角的正弦值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)存在 (2)存在，且与平面所成角的正弦值为 【分析】（1）以为原点，以、的方向分别为、轴的正方向建立空间直角坐标系，求出点的坐标，利用空间向量法可证得结论成立； （2）设，根据空间向量法结合平面平面，可求出的值，然后利用空间向量法可求得与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）存在，当时，平面； 因为平面， 如图，以为原点，以、的方向分别为、轴的正方向建立空间直角坐标系， 则、、、、、，. 因为，设点，则， 则，解得，则， 设平面的法向量为，因为，， 所以，令，得. 因为，所以， 因为平面，所以，平面. （2）设平面的法向量为， 因为，， 所以，令，得. 设，则， 设平面的法向量为， 因为，， 所以，令，可得， 假设平面平面，则. 由，解得，所以. 设与平面所成的角为， 则， 所以存在，使平面平面， 此时与平面所成角的正弦值为. 8．（24-25高二上·河南郑州·期中）在如图所示的空间几何体中，四边形是平行四边形，平面平面，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质、线面垂直的判定推理即得. （2）以点为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用面面角的向量求列式计算即得. 【详解】（1）由平面平面，平面平面平面，， 得平面，而平面，则， 由，为的中点，得， 又平面， 所以平面. （2）过作直线，由平面，得平面，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由，，得，， 则，令， ， 由四边形是平行四边形，得， ，设平面的法向量为， 则，令，得， 由（1）知平面的法向量，设平面与平面的夹角为， 于是， 整理得，而，解得， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时. 9．（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）如图，已知四棱锥中，，侧面为边长等于4的正三角形，底面为菱形，为的中点，侧面与底面所成的二面角为． (1)求点到平面的距离； (2)已知点为直线上的动点，若直线与面所成角的正弦值为，求线段的长度． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）如图，由题意，根据线面垂直的判定定理可得，平面，又线面垂直的性质可得，进而，利用面面垂直的判定定理与性质可得平面，求出即可； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用空间向量法求解线面角，建立关于t的方程，解之即可求解. 【详解】（1）连接，如图， 因为是边长为2的正三角形，所以， 而平面，则平面， 又平面，有， 故是二面角的平面角，得， 因平面，于是得平面平面，过作的延长线于， 平面平面，平面，故平面， 而，则， 所以点到平面的距离是3． （2）以点为坐标原点，以的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，则， 设平面的一个法向量为，则 ，令， 设与面的所成角为，则， 解得，则，线段的长度为． 10．（24-25高二上·吉林·期中）如图，在三棱台中，平面，，，，是棱的中点，为棱上一动点. (1)若，证明：平面； (2)是否存在，使平面平面？若存在，求此时与平面所成角的正弦值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，且与平面所成角的正弦值为 【分析】（1）以为原点，以、的方向分别为、轴的正方向建立空间直角坐标系，求出点的坐标，利用空间向量法可证得结论成立； （2）设，根据空间向量法结合平面平面，可求出的值，然后利用空间向量法可求得与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）因为平面， 如图，以为原点，以、的方向分别为、轴的正方向建立空间直角坐标系， 则、、、、、，. 因为，设点，则， 则，解得，则， 设平面的法向量为，因为，， 所以，令，得. 因为，所以， 因为平面，所以，平面. （2）设平面的法向量为， 因为，， 所以，令，得. 设，则， 设平面的法向量为， 因为，， 所以，令，可得， 假设平面平面，则. 由，解得，所以. 设与平面所成的角为， 则， 所以存在，使平面平面，此时与平面所成角的正弦值为. 11．（24-25高二上·浙江丽水·期中）如图，已知四棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为中点.    (1)证明：平面； (2)证明：； (3)若是线段上一动点，直线与平面所成角正弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）设中点为，连接,．证明四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理证明即可； （2）取中点记为，连结,，由线面垂直的判定定理证明平面即可； （3）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，再由线面角公式计算即可. 【详解】（1）设中点为，连接，．如图①所示， ，分别为，中点， 且， 且， 即四边形为平行四边形， 又平面,平面， 平面. （2）取中点记为，连结,，如图②所示， 由等腰三角形得：, ,且平面, 平面, 平面, （3）由（2）得，为平面与平面所成二面角的平面角， 设则，则， 即平面与平面所成二面角的平面角为 如图建立空间直角坐标系， , 设,设平面的法向量为， 由 取，则， 且 令与平面所成线面角为， 由, 得： 解得：（舍去）, 所以.    12．（24-25高二上·北京顺义·期中）如图，在四棱锥中，，，，，平面平面，为中点． (1)平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在一点，使∥平面？如果不存在，请说明理由；如果存在，求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据题意可得，再结合面面垂直的性质分析证明； （2）建系标点，求平面与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角； （3）设，利用空间向量结合线面平行可得，即可得结果. 【详解】（1）因为，为中点，则， 且平面平面，平面平面，平面， 所以平面. （2）以为坐标原点，分别为轴，平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得 由题意可知：平面的法向量， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （3）线段上是否存在一点，使平面. 设，则， 若平面，则， 可得，解得， 即，可知， 所以存在点，使平面，此时. 13．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在以为顶点，母线长为的圆锥中，底面圆的直径长为，是圆所在平面内一点，且是圆的切线，连接交圆于点，连接. (1)求证：平面平面； (2)若是的中点，连接，当时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明平面，即可得到，再证明，即可得到平面，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法，即可求解. 【详解】（1）因为是圆的直径，与圆切于点，所以， 又底面圆，底面圆， ，又，平面， 平面，又平面，， 在中，，，则，， 因为，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. （2）因为底面圆，如图以为原点，在底面圆内过点作的垂线为轴，分别为轴，轴建立空间直角坐标系， 易得，，，，，， 由（1）知，为平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为， 因为，， 由，得到，令，得，， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 14．（24-25高二上·山西晋城·期中）如图，在平面四边形中，，，，，点，分别是，的中点，将沿翻折至，且点在平面上的射影为平面内一点，且平面． (1)试确定点具体位置； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)是的中点． (2)． 【分析】（1）过作交于，通过说明四边形是平行四边形，即可求解； （2）建系，求得两平面法向量，代入夹角公式即可. 【详解】（1），， 又平面，平面，， 又，都在平面内，平面，． ，，即在线段上，过作交于， 又，，即，且． 平面，则平面与平面交于，且点在上， ，平面， 平面平面，． 又，四边形是平行四边形 ，是的中点． （2）建立如图所示空间直角坐标系， 则，，， 由，得， 所以， 设为平面的一个法向量， 则取，可得：，则， 平面的法向量可取为， 所以 即二面角的余弦值为． 15．（24-25高二上·北京顺义·期中）如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，为的中点. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)设是线段上一点，如果点是在平面内，判断点在线段的位置并证明你的结论； (3)点在线段上运动，求点到直线的距离最大值. 【答案】(1) (2)是的中点，证明见解析 (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值； （2）设出点的坐标，利用向量法来确定点的位置. （3）利用向量法来求得点到直线的距离最大值. 【详解】（1）直角梯形中，由已知可得，， ∴，即， 又是以为斜边的等腰直角三角形，∴， 取中点，连接，则，， 则，∴， 又，∴， ∴，，而，平面， ∴平面， 因此可以为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则，即， 又， ， 直线PB与平面PAC所成角为，则． （2）是的中点，证明如下： ，，，，为的中点， 所以，设， 则， 若点是在平面内，则， 则，解得，所以是的中点. （3）设，，，， ，， 所以点到直线的距离为 ，所以点到直线的距离最大值为. 【点睛】方法点睛：在空间中求解直线和平面的位置关系、点和平面的位置关系等问题时，可以考虑利用空间向量的方法，通过建立空间直角坐标系，利用坐标来表示点、线、面，由此来对问题进行求解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 α O l α y x z O l α O l α y x z O l l α O l α O y z x O D A B C P x y z O l α O l α y x z O l α O l α y x z l α O l α O y x z l α O l α x O y z l α O l α x y z O l α O l α y O z x $$