期末提升检测金01卷（范围：九上全册）-2024～2025学年九年级上学期模拟测试卷【广东专版 配人教版】

2024~2025学年度第一学期数学期末模拟卷（广东专用） 九年级数学 时间：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确） 1．（24-25九年级上·贵州毕节·期中）一元二次方程的一次项系数是（   ） A．3 B．2 C． D． 2．（24-25九年级上·天津·阶段练习）下列花朵的图片中，既属于中心对称图形又属于轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的表达式为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河南·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（   ） A．1 B． C．4 D． 5．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，P是正内一点，将绕点B旋转到，则的度数为（  ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．从，，1，2，5中任取两数作为，，使抛物线的开口向下，对称轴在轴左侧的概率为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·天津·阶段练习）如图，分别切于两点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，抛物线与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线，则下列结论：①时，；②；③；④．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（重庆市渝高中学教育集团2024—2025学年上学期九年级期末教育质量监测数学试题）若点与点关于原点对称，则 ． 12．（24-25九年级上·湖南·阶段练习）已知关于的方程的两实数根分别为，，则 ． 13．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）杭州西湖十景是杭州市西湖上的十处特色风景，一游客在去西湖游玩时买了一把印有西湖十景的折扇，打开后，如图，小扇形的半径为，弧长为，大扇形的半径为，扇面的宽度为，则扇面的面积（阴影部分）是 （结果保留 π）． 14．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力．小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间/（单位：t）之间只有函数关系．则小球飞出 小时，达到最大高度． 15．如图三角形ABC中，AB=3，AC=4，以BC为边向三角形外作等边三角形BCD，连AD，则当∠BAC= 度时，AD有最大值 ． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）解下列一元二次方程：； 17．甘肃历史跨越八千余年，是中华民族和华夏文明的重要发祥地之一，也是中医药学的发祥地之一，被誉为“河岳根源、羲轩桑梓”．李老师为了让学生深入地了解甘肃文化，将正面印有“黄河文化”“边塞文化”“根祖文化”“红色文化”的4张卡片背面朝上放在桌面上（这4张卡片除正面外，其他完全相同），邀请小甘上讲台随机抽取1张卡片，并向大家介绍卡片上相对应的文化内容． （1）求小甘从中随机抽取到的卡片上印有“根祖文化”的概率； （2）若小甘先上讲台，从4张卡片中随机抽取1张（放回重新排列），小肃后上讲台，也从4张卡片中随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的概率． 18．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，是经过平移后得到的图形．（其中点的对应点分别是） （1）分别观察点A和点，点B和点，点C和点的坐标之间的关系．若内任意一点E的坐标为，点E经过这种平移后得到点F，根据你的发现，点F的坐标为 ； （2）将绕点O逆时针旋转，得到，点，，分别是点的对应点，请画出，并写出点的坐标： ． 四、解答题（二）（本大题共2小题，每小题9分，共27分） 19．（22-23九年级上·四川眉山·期末）党的“二十大”期间，某网店直接从工厂以35元/件的进价购进一批纪念“二十大”的钥匙扣，售价为60元/件时，第一天销售了25件．该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到了36件． （1）求每天销售量的平均增长率． （2）“二十大”临近结束时，钥匙扣还有大量剩余，为了尽快减少库存，网店打算将钥匙扣降价销售．经调查发现，每降价1元，在第三天的销售量基础上每天可多售2件，将钥匙扣的销售价定为每件多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 20．（23-24九年级上·广东中山·期中）如图，在中，是边上一点(点与、不重合)，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，连结．    （1）求证：； （2）当时，求的度数． 21．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，已知点在直角的斜边上，以为直径的与直角边相切于点 （1）求证：平分； （2）若，，求的半径 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22．（2025九年级下·全国·专题练习）如图1，抛物线与x轴交于点A，与直线交于点，点C在y轴上．点P从点B出发，沿线段方向匀速运动，运动到点O时停止． （1）求抛物线的表达式； （2）当时，请在图1中过点P作交抛物线于点D，连接，，判断四边形的形状，并说明理由； （3）如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动．连接，，求的最小值． 23．（23-24九年级上·广东广州·期末）已知：中，是的外接圆． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若为在上一动点，过点作直线的垂线，垂足为．求证：； （3）如图3，若，过点作交于点．点是线段上一动点（不与重合），连接，求的最小值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第一学期数学期末模拟卷（广东专用） 九年级数学 时间：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确） 1．（24-25九年级上·贵州毕节·期中）一元二次方程的一次项系数是（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题关键是要理解和掌握一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是（a、b、c是常数，且），其中a、b、c分别叫二次项系数、一次项系数、常数项． 【详解】解：一元二次方程，其一次项系数是． 故选：D． 2．（24-25九年级上·天津·阶段练习）下列花朵的图片中，既属于中心对称图形又属于轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形的识别．解题的关键是理解中心对称图形与轴对称图形的概念，掌握：轴对称图形是要寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．据此逐一分析判断即可． 【详解】解：A．该图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意； D．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 3．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据平移的规律：左加右减，上加下减可得答案，熟练掌握平移的规律是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线先向右平移2个单位，再向上平移4个单位， ∴平移后的解析式为：， 故选：A． 4．（24-25九年级上·河南·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（   ） A．1 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，先将方程化为一般式，再根据时一元二次方程有两个相等的实数根，即可求解． 【详解】解：将移项得， 该一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得， 故选B． 5．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，P是正内一点，将绕点B旋转到，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，确定旋转角是解题的关键．根据旋转的性质找到旋转角即可求解． 【详解】解：∵将绕点B旋转到， ∴旋转角为或， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 故选：B． 6．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：，即可求解； 【详解】解：由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：， ∴， 故选：A 7．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理与圆内接四边形对角互补，根据圆周角等于所对弧圆心角的一半求出，再根据圆内接四边形对角互补求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故选：D． 8．从，，1，2，5中任取两数作为，，使抛物线的开口向下，对称轴在轴左侧的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了，二次函数的性质，用列表法或树状图法求概率；首先根据题意得到，，然后利用列表法即可列举出所有各种可能的情况，然后利用概率公式即可求解． 【详解】解：∵开口向下， ∴； ∵对称轴在轴左侧， ∴， ∴； 列表如下：     a b 1 2 5 1 2 5 ∴共有20种等可能结果，其中使抛物线的开口向下，对称轴在轴左侧的有2种结果， ∴使抛物线的开口向下，对称轴在轴左侧的概率为． 故选：B． 9．（24-25九年级上·天津·阶段练习）如图，分别切于两点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线长定理和切线的性质．先根据切线长定理和切线的性质得到，，则可计算出，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算的度数． 【详解】解：∵，分别切于B，C两点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 10．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，抛物线与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线，则下列结论：①时，；②；③；④．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，对称性和特殊点判断①，对称轴判断②，对称轴和特殊点求出的关系，判断③，对称轴与特殊点判断④；掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴，抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴，当，故①正确； ∵抛物线的开口向下， ∴， ∴；故②正确； ∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线与轴的交点在和之间（不包括这两点）， ∴， ∴；故③正确； 由图象可知，当时，， ∴， ∴；故④正确； 综上：正确的有4个； 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（重庆市渝高中学教育集团2024—2025学年上学期九年级期末教育质量监测数学试题）若点与点关于原点对称，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的特征，有理数的乘方．熟练掌握关于原点对称的点坐标的横纵坐标均互为相反数是解题的关键．由题意知，，然后代入求解即可． 【详解】点与点关于原点对称， ，， ． 故答案为：1． 12．（24-25九年级上·湖南·阶段练习）已知关于的方程的两实数根分别为，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 根据韦达定理求出，，先化简再代入即可求解． 【详解】解：关于的方程的两实数根分别为，， ，， ， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）杭州西湖十景是杭州市西湖上的十处特色风景，一游客在去西湖游玩时买了一把印有西湖十景的折扇，打开后，如图，小扇形的半径为，弧长为，大扇形的半径为，扇面的宽度为，则扇面的面积（阴影部分）是 （结果保留 π）． 【答案】 【分析】本题考查了求扇形面积，先根据小扇形的半径为，弧长为，求出D的度数，根据列式代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：设 ∵小扇形的半径为，弧长为， ∴， 则， 则， ∵大扇形的半径为，扇面的宽度为， ∴， 则 故答案为： 14．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力．小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间/（单位：t）之间只有函数关系．则小球飞出 小时，达到最大高度． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用，把函数配成顶点式 ，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：， ∵， 当时，h的最大值为25， 即时，h的值最大， 故答案为：． 15．如图三角形ABC中，AB=3，AC=4，以BC为边向三角形外作等边三角形BCD，连AD，则当∠BAC= 度时，AD有最大值 ． 【答案】 120， 7． 【分析】如图，在直线AC的上方作等边三角形△OAC，连接OD．只要证明△ACB≌△OCD，推出OD=AB=3，推出点D的运动轨迹是以O为圆心OD长为半径的圆，推出当D、O、A共线时，AD的值最大； 【详解】解：如图， 在直线AC的上方作等边三角形△OAC，连接OD． ∵△BCD，△AOC都是等边三角形， ∴CA=CO，CB=CD，∠ACO=∠BCD， ∴∠ACB=∠OCD， 在△ACB和∠OCD中， ， ∴△ACB≌△OCD， ∴OD=AB=3， ∴点D的运动轨迹是以O为圆心OD长为半径的圆， ∴当D、O、A共线时，AD的值最大，最大值为OA+OD=4+3=7． ∵△ACB≌△OCD， ∴∠CAB=∠DOC， ∵当D、O、A共线时，∠DOC=180°-60°=120°， ∴当∠BAC=120度时，AD有最大值为7． 故答案为120，7． 【点睛】本题考查旋转变换、轨迹、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）解下列一元二次方程：； 【答案】， 【分析】此题考查了解一元二次方程．利用公式法解一元二次方程即可； 【详解】（1）解： ∴， ∵， ∴， ∴， 17．甘肃历史跨越八千余年，是中华民族和华夏文明的重要发祥地之一，也是中医药学的发祥地之一，被誉为“河岳根源、羲轩桑梓”．李老师为了让学生深入地了解甘肃文化，将正面印有“黄河文化”“边塞文化”“根祖文化”“红色文化”的4张卡片背面朝上放在桌面上（这4张卡片除正面外，其他完全相同），邀请小甘上讲台随机抽取1张卡片，并向大家介绍卡片上相对应的文化内容． （1）求小甘从中随机抽取到的卡片上印有“根祖文化”的概率； （2）若小甘先上讲台，从4张卡片中随机抽取1张（放回重新排列），小肃后上讲台，也从4张卡片中随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）小甘从中随机抽取到的卡片上印有“根祖文化”的概率为； （2）将印有“黄河文化”“边塞文化”“根祖文化”“红色文化”的卡片分别记作A，B，C，D，列表如下： 小肃小甘 A B C D A (A，A) (A，B) (A，C) (A，D) B (B，A) (B，B) (B，C) (B，D) C (C，A) (C，B) (C，C) (C，D) D (D，A) (D，B) (D，C) (D，D) 由上表可知，一共有16种等可能的情况，其中小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的情况有7种， ∴小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的概率为． 18．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，是经过平移后得到的图形．（其中点的对应点分别是） （1）分别观察点A和点，点B和点，点C和点的坐标之间的关系．若内任意一点E的坐标为，点E经过这种平移后得到点F，根据你的发现，点F的坐标为 ； （2）将绕点O逆时针旋转，得到，点，，分别是点的对应点，请画出，并写出点的坐标： ． 【答案】(1) (2)见解析， 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变化，掌握图形平移的性质，旋转的性质作图是解题的关键． （1）根据图形平移的性质进行求解； （2）根据旋转的性质作图，根据坐标与图形的特点写出的坐标； 【详解】（1）解：观察图形的变化发现：平移后的三角形的三个点的横坐标加，纵坐标不变， ∴点F的坐标为：， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求； 点的坐标为， 故答案为：． 四、解答题（二）（本大题共2小题，每小题9分，共27分） 19．（22-23九年级上·四川眉山·期末）党的“二十大”期间，某网店直接从工厂以35元/件的进价购进一批纪念“二十大”的钥匙扣，售价为60元/件时，第一天销售了25件．该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到了36件． （1）求每天销售量的平均增长率． （2）“二十大”临近结束时，钥匙扣还有大量剩余，为了尽快减少库存，网店打算将钥匙扣降价销售．经调查发现，每降价1元，在第三天的销售量基础上每天可多售2件，将钥匙扣的销售价定为每件多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)将钥匙扣的销售价定为每件56.5元时，每天可获得最大利润，最在利润是9 元 【分析】（1）设平均增长率为，根据增长率问题列方程解应用题； （2）钥匙扣每件降价y元销售，利润为W元，列出二次函数求最值解题． 【详解】（1）每天销售量的平均增长率为，根据题意得： 解得：，(不合题意，舍去) ∴每天销售量的平均增长率为 （2）设将钥匙扣每件降价y元销售，利润为W元， ∴ ∵ ∴当时，                                                          ∴将钥匙扣的销售价定为每件元时，每天可获得最大利润，最在利润是元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的实际问题，分析题意列出等量关系是解题的关键． 20．（23-24九年级上·广东中山·期中）如图，在中，是边上一点(点与、不重合)，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，连结．    （1）求证：； （2）当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意可知：，，由于，所以，，所以，从而可证明； （2）由△可知：，，从而可求出的度数． 【详解】（1）解：，，， ，， ， 在和中， ， ． （2），， ， 由（）可知：，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，本题属于中等题型． 21．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，已知点在直角的斜边上，以为直径的与直角边相切于点 （1）求证：平分； （2）若，，求的半径 【答案】(1)证明见解析 (2)的半径为6． 【分析】本题考查圆的切线的性质以及勾股定理的应用，等腰三角形的性质等，理解并熟练运用切线的性质是解题关键． （1）连接，根据切线的性质可得到，从而，再结合平行线的性质以及圆的性质推出结论即可； （2）设的半径为r，则，，由，再建立方程求解即可． 【详解】（1）证明： 连接， ， ， 为的切线， ， ， ， ∴， ， ， 是的平分线 ． （2）∵， 设的半径为r，则，， 在中，， ∴， 解得：， 即的半径为6． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22．（2025九年级下·全国·专题练习）如图1，抛物线与x轴交于点A，与直线交于点，点C在y轴上．点P从点B出发，沿线段方向匀速运动，运动到点O时停止． （1）求抛物线的表达式； （2）当时，请在图1中过点P作交抛物线于点D，连接，，判断四边形的形状，并说明理由； （3）如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动．连接，，求的最小值． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)四边形是平行四边形，理由见解析 (3)的最小值为 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）利用待定系数法将B点坐标代入抛物线中，即可求解． （2）作辅助线，根据题意，求出的长，，，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证． （3）作出图，证明，的最小值为，根据勾股定理求出即可解答． 【详解】（1）∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴． 答：抛物线的表达式为． （2）四边形是平行四边形，理由如下： 如图1，作交x轴于点H，连接、， ∵点P在上， ∴，， 连接， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （3）如图2，由题意得，，连接， 在上方作，使得，， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴（当M，Q，B三点共线时最短）， ∴的最小值为， ∵， ∴， 即的最小值为． 23．（23-24九年级上·广东广州·期末）已知：中，是的外接圆． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若为在上一动点，过点作直线的垂线，垂足为．求证：； （3）如图3，若，过点作交于点．点是线段上一动点（不与重合），连接，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【分析】（1）证明是等边三角形，得到，证明即可． （2）连接，过点B作于点G，根据是等边三角形，得到，，证明即可得证． （3）过点B作于点E，过点F作于点P，延长到点N，使得，过点N作于点G，交于点D，根据垂线段最短，得到点N到的最短距离为，，过点Q作于点M， 只需求的最小值，故当Q与点D重合时，取得最小值，此时最小值为3，故的最小值为6． 【详解】（1）∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． （2）如图，连接，过点B作于点G， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）过点B作于点E， ∵，， ∴，， ∴， 解得，， ∴， ∵，， ∴，， 解得， ∴， ∴， 过点F作于点P，延长到点N，使得， 则， ∴，，， 过点N作于点G，交于点D，根据垂线段最短，得到点N到的最短距离为， ∵， 过点Q作于点M， ∵，， ∴， ∴， ∴只需求的最小值， 故当Q与点D重合时，取得最小值，此时最小值为3， ∴ 故的最小值为6． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，圆的性质，三角形全等的判定和性质，三角函数，最小值，熟练掌握三角函数，线段和的最值是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$