期末提升检测金01卷（范围：九上全册）-2024～2025学年九年级上学期模拟测试卷【广东专版 配北师大版】

2024~2025学年度第一学期数学期末模拟卷（广东专用） 九年级数学 时间：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确） 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）下列方程是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）2024年的巴黎奥运会中中国队以40枚金牌数位于奖牌榜首，图①是巴黎奥运会颁奖现场，图②是领奖台的示意图，则此领奖台的俯视图是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若反比例函数（k为常数，）的图象经过点，则下列各点在该函数图象上的为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·广东深圳·期中）公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在解方程时采用的方法是：构造如图所示图形，一方面，正方形的面积为；一方面，它又等于，据此可得方程的一个正数解．按照这种构造方法，我们在求方程的一个正数解时，可以构造如下图形（    ） A． B． C． D． 5．（2024·河北·模拟预测）如图，嘉嘉利用空的薯片筒、塑料膜等器材自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，他在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为，其中薯片筒的长度为．蜡烛火焰高为，若像高为，则蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为（   ）    A．cm B． C． D． 6．（2024·山西大同·二模）张老师在化学实验室取了3个外观、大小完全相同的烧杯，分别放入等体积的盐酸、白醋、氢氧化钠溶液，已知这三种溶液都是无色液体且放置顺序已被打乱．张老师叫小徐同学向其中两个烧杯中分别滴入紫色石蕊溶液（紫色石蕊溶液遇酸性溶液变红，遇碱性溶液变蓝），则这两个烧杯中的溶液都变红的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·山东济南·期中）如图，小明同学利用相似三角形测量旗杆的高度，若测得木杆长，它的影长为，旗杆的影长为，则旗杆的高度为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·广西南宁·二模）2024年汤姆斯杯羽毛球赛于4月27日至5月5日在成都举行，根据赛制规定，所有参赛队伍先通过抽签分成若干小组进行小组赛，小组赛阶段每队都要与小组内其他队进行一场比赛，已知中国队所在的小组有n支队伍，共安排了6场小组赛．根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·山东烟台·期中）阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力阻力臂=动力动力臂”．若已知某杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力和动力臂之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，长方形在第一象限，，分别在x轴和y轴上，P，Q分别为，上的动点，点M在上，，点N为中点，上一点，若点B的坐标是，则四边形的周长最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（24-25九年级上·辽宁辽阳·阶段练习）若，则 ． 12．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）若m是方程的一个根，则的值为 ． 13．（24-25九年级上·广东河源·期中）如图，在中，D是的中点，，，则的长是 ． 14．（24-25九年级上·湖北恩施·期中）如图，矩形的对角线相交于原点O，已知，，则点C的坐标为 ． 15．（24-25九年级上·四川达州·期中）已知在中，，，．我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形”．如图，四边形是的内接正方形；四边形是的内接正方形；继续中按上述方法作第3个内接正方形，依此类推，……则第n个内接正方形的边长 ．（n为正整数） 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）解方程：． 17．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，在中，为边上一点，，，，求证：． 18．（24-25九年级上·河北保定·期中）嘉嘉和淇淇玩三子棋游戏，嘉嘉执“○”棋子，淇淇执“×”棋子，两人在距棋盘5米外随机投掷，棋子落在已有棋子方格中或掷到棋盘外需重掷，若掷到空格中，则占据该空格，当三颗相同的棋子连成一条线时获胜． （1）第一局棋盘棋子如图1所示，轮到嘉嘉掷棋子，则掷完本次棋子后，嘉嘉获胜的概率为______． （2）第二局棋盘棋子如图2所示（空格为A，B，C，D），嘉嘉获得连续两次掷棋子机会，求掷完两次棋子后嘉嘉获胜的概率． 四、解答题（二）（本大题共2小题，每小题9分，共27分） 19．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，平行四边形的对角线、相交于点，平分，过点作，过点作，、交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 20．（24-25九年级上·广东中山·期中）如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）当t为何值时，的长度等于？ （2）连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 21．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔每个进价为40元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为50元时，月销售量为500个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．设该品牌头盔售价为元，月销售量为． ①直接写出关于的函数关系式； ②为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22．（24-25九年级上·湖南常德·期中）如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点为坐标原点，点的坐标为，反比例函数的图像经过的中点，且与交于点，连接． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）若点是轴上一点，且与相似，求点的坐标． 23．在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当为的中点，，时，求的长； （3）如图3，当时，设矩形的周长为，的周长为，探究与的数量关系，并说明理由． 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第一学期数学期末模拟卷（广东专用） 九年级数学 时间：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确） 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）下列方程是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，关键是首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：A．，最高次数是1，不是一元二次方程，故此选项错误，不符合题意； B．，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项错误，不符合题意； C．，不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项错误，不符合题意； D．是一元二次方程，故此选项正确，符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）2024年的巴黎奥运会中中国队以40枚金牌数位于奖牌榜首，图①是巴黎奥运会颁奖现场，图②是领奖台的示意图，则此领奖台的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从上面看看到的图形是一个长方形，靠近左右两侧分别有一条竖线，靠近中间左右两侧分别有两条竖线，即看到的图形如下： 故选：C． 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若反比例函数（k为常数，）的图象经过点，则下列各点在该函数图象上的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的问题，掌握反比例函数的性质以及应用是解题的关键． 将点代入求出反比例函数的解析式，再对各项进行判断即可． 【详解】解：将点代入得： ， 解得， ∴， 只有点在该函数图象上， 故选：C． 4．（24-25九年级上·广东深圳·期中）公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在解方程时采用的方法是：构造如图所示图形，一方面，正方形的面积为；一方面，它又等于，据此可得方程的一个正数解．按照这种构造方法，我们在求方程的一个正数解时，可以构造如下图形（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，利用配方法将原方程变形，结合图形即可解答． 【详解】解：， ； 按照这种构造方法，一方面，正方形的面积为；一方面，它又等于，据此可得方程的一个正数解． 故选：B 5．（2024·河北·模拟预测）如图，嘉嘉利用空的薯片筒、塑料膜等器材自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，他在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为，其中薯片筒的长度为．蜡烛火焰高为，若像高为，则蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为（   ）    A．cm B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查位似，相似的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．连接，，过点作于点，于点，先判定，即可得对应高比之比等于相似比，即可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，过点作于点，于点，    由像与蜡烛火焰位似，其位似中心为， ∴， ∴相似比为：， ∴对应高的比为：， ∴， ∴蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为， 故选：C． 6．（2024·山西大同·二模）张老师在化学实验室取了3个外观、大小完全相同的烧杯，分别放入等体积的盐酸、白醋、氢氧化钠溶液，已知这三种溶液都是无色液体且放置顺序已被打乱．张老师叫小徐同学向其中两个烧杯中分别滴入紫色石蕊溶液（紫色石蕊溶液遇酸性溶液变红，遇碱性溶液变蓝），则这两个烧杯中的溶液都变红的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 列表，共有6种等可能的结果，其中2个烧杯中溶液都变红的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把盐酸、白醋、氢氧化钠溶液和水记为A、B、C， 列表如下： A B C A （B，A） （C，A） B （A，B） （C，B） C （A，C） （B，C） 共有6种等可能的结果，其中2个烧杯中溶液都变红的结果有2种， ∴2个烧杯中溶液都变红的概率为． 故选：A． 7．（23-24九年级上·山东济南·期中）如图，小明同学利用相似三角形测量旗杆的高度，若测得木杆长，它的影长为，旗杆的影长为，则旗杆的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形在实际生活中的应用，根据“同一时刻物高与影长成正比”列式计算即可，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 【详解】解：同一时刻物高与影长成正比， ， 木杆长，它的影长为，旗杆的影长为， ， ， 故选：D． 8．（2024·广西南宁·二模）2024年汤姆斯杯羽毛球赛于4月27日至5月5日在成都举行，根据赛制规定，所有参赛队伍先通过抽签分成若干小组进行小组赛，小组赛阶段每队都要与小组内其他队进行一场比赛，已知中国队所在的小组有n支队伍，共安排了6场小组赛．根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．每一支队伍都要和另外的支队伍进行比赛，于是比赛总场数每支队的比赛场数参赛队伍重复的场数，即可解答． 【详解】解：共有n支队伍参加比赛，根据题意， 可列方程为； 故选：B． 9．（24-25九年级上·山东烟台·期中）阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力阻力臂=动力动力臂”．若已知某杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力和动力臂之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的应用．直接利用阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而得出动力F关于动力臂l的函数关系式，从而确定其图象即可． 【详解】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，阻力和阻力臂分别是和， ∴动力F和动力臂l之间的函数解析式为， 则，是反比例函数， 又∵动力臂， 故选：B． 10．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，长方形在第一象限，，分别在x轴和y轴上，P，Q分别为，上的动点，点M在上，，点N为中点，上一点，若点B的坐标是，则四边形的周长最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最短距离问题，勾股定理，矩形的性质，先分别做出点M，N关于y轴和x轴的对称点，结合两点间线段最短，结合矩形性质结合勾股定理求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得作点M关于y轴的对称点，点N关于y轴的对称点， ∵点M关于y轴的对称点是点，点N关于y轴的对称点是点， ∴，， ∴， ∴当点，，，四点共线时最小，此时四边形的周长最小， ∵长方形在第一象限，点B的坐标是， ∴，，，， ∵， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴四边形的周长最小值为：， 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（24-25九年级上·辽宁辽阳·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是比例的性质，由，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： 12．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）若m是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】2027 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、代数式的求值等知识点，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 把m代入方程变形可得，然后整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴，即， ∴． 故答案是：2027． 13．（24-25九年级上·广东河源·期中）如图，在中，D是的中点，，，则的长是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质，根据在中，D是的中点，得，再结合，证明是等边三角形，即可作答． 【详解】解：∵在中，D是的中点， ∴， 即， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：3 14．（24-25九年级上·湖北恩施·期中）如图，矩形的对角线相交于原点O，已知，，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是矩形的性质，关于原点对称的性质．矩形的对角线相互平分可知点与关于原点对称，从而得结论． 【详解】解：四边形是矩形， ，即点与点关于原点对称， 点， 点的坐标是． 故答案为：． 15．（24-25九年级上·四川达州·期中）已知在中，，，．我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形”．如图，四边形是的内接正方形；四边形是的内接正方形；继续中按上述方法作第3个内接正方形，依此类推，……则第n个内接正方形的边长 ．（n为正整数） 【答案】 【分析】由正方形的性质可以得出，再根据相似三角形的性质就可以把正方形的边长表示出来，再由正方形的性质可以得出，再根据相似三角形的性质就可以把正方形的边长表示出来，从而得出结论，通过计算得出的结论寻找其中的变化规律就可以得出第n个内接正方形的边长的值． 【详解】解：如图1， ∵四边形是正方形， ，， ∴， ∴， ∴， ， 如图（2）四边形是正方形， ，， ∴， ∴， ∴， ， 如图3中，由以上同样的方法可以求得正方形的边长为：， 第4的个正方形的边长为：， ..... 第n个内接正方形的边长， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，相似三角形的判定与性质及规律的探索，解题的关键是得出规律． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程；根据因式分解法解一元二次方程，即可求解；也可用其他方法解决。 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， 解得：； 17．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，在中，为边上一点，，，，求证：． 【答案】答案见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．求出两组对应边的比例，利用两边对应成比例且其夹角相等的判定方法证明相似． 【详解】证明：∵，，， ∴，， ∴． ∵， ∴． 18．（24-25九年级上·河北保定·期中）嘉嘉和淇淇玩三子棋游戏，嘉嘉执“○”棋子，淇淇执“×”棋子，两人在距棋盘5米外随机投掷，棋子落在已有棋子方格中或掷到棋盘外需重掷，若掷到空格中，则占据该空格，当三颗相同的棋子连成一条线时获胜． （1）第一局棋盘棋子如图1所示，轮到嘉嘉掷棋子，则掷完本次棋子后，嘉嘉获胜的概率为______． （2）第二局棋盘棋子如图2所示（空格为A，B，C，D），嘉嘉获得连续两次掷棋子机会，求掷完两次棋子后嘉嘉获胜的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查简单的概率计算，树状图法或列表法求解概： （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到嘉嘉获胜的结果数，最后利用概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有五个空格，每个空格被掷到的概率相同，且只有掷到最中间的那个空格嘉嘉才能获胜， ∴嘉嘉获胜的概率为， 故答案为：； （2）解：列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中掷完两次棋子后嘉嘉获胜的结果有，，，，共4种， ∴嘉嘉获胜的概率为． 四、解答题（二）（本大题共2小题，每小题9分，共27分） 19．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，平行四边形的对角线、相交于点，平分，过点作，过点作，、交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)10 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，根据角平分线的性质得到，推出，根据菱形的判定定理得到四边形是菱形； （2）根据已知条件且结合勾股定理得到，根据菱形的判定和性质定理即可得到结论． 本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ∴ ∴ 平分， ∴ ∴ 四边形是菱形； （2）解：在菱形中，，， ，，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ． 20．（24-25九年级上·广东中山·期中）如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）当t为何值时，的长度等于？ （2）连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理： （1）先求出，，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案； （2）先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知，，， 矩形中，， 由勾股定理知， ， 解得，（舍）， 即时，的长度等于； （2）解：如图， 由题意知， ， 的面积等于， ， ， 解得（舍），， 即时，的面积等于． 21．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔每个进价为40元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为50元时，月销售量为500个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．设该品牌头盔售价为元，月销售量为． ①直接写出关于的函数关系式； ②为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)①，②60元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为m，利用该品牌头盔6月份的销售量该品牌头盔4月份的销售量该品牌头盔销售量的月增长率，可列出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值； （2）①利用月销售量（该品牌头盔的售价），即可找出y关于x的函数关系式； ②利用总利润每个的销售利润月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为m， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：①依题意，得： ； ②依题意，得： ， 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴． 答：该品牌头盔的实际售价应定为60元． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22．（24-25九年级上·湖南常德·期中）如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点为坐标原点，点的坐标为，反比例函数的图像经过的中点，且与交于点，连接． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）若点是轴上一点，且与相似，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（）求出点坐标，再利用待定系数法解答即可； （）求出点坐标，再根据三角形面积公式计算即可； （）设点的坐标为，则，由可得与相似，需满足或，据此解答即可求解； 本题考查了反比例函数的几何应用，矩形的性质，相似三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：四边形为矩形，点的坐标为，点为的中点， ∴， ∵反比例函数的图像经过的中点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：把代入得，， ∴， ∴， ∵， ∴的面积； （3）解：设点的坐标为，则， ∵， ∴与相似，需满足或， 当时，， 解得或； 当时，， 解得或； 综上，点的坐标为或或或． 23．在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当为的中点，，时，求的长； （3）如图3，当时，设矩形的周长为，的周长为，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明对应角相等，即可得到； （2）根据，求得的长度，从而得出长度； （3）根据题意得出四边形是正方形，根据折叠的性质，设，则，，则，，在中，勾股定理可得，根据得出，，进而得出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图， 四边形是矩形， ， ， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ， ， ， ； （2）解：四边形是矩形， ，，， 为中点， ， 设， ， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ，即， ， ， ． （3）解：∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴设，则， ∵折叠， ∴， 设，则，， 在中， 即， ∴ ∴，即， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形与折叠、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上基础知识是解题关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$