期末复习重要考点13《章节解答题压轴题训练》五大考点题型-2024-2025学年七年级数学上册期末复习【重要考点】专练（苏科版2024）

（苏科版）七年级上册数学期末复习 重要考点13《章节解答题压轴题训练》 【题型1 有理数的压轴题】 1．（2023秋•宝鸡期中）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣7，b，2．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度2.1cm，点C对齐刻度6.3cm． （1）求数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的长度是多少cm？ （2）求在数轴上点B所对应的数b； （3）若Q是数轴上一点，且满足A、Q两点间的距离是A、B两点间的距离的2倍，求点Q在数䌷上所对应的数． 2．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且表示数a的点与表示数b的点到原点的距离相等 （1）计算a+b； （2）确定a+c，b+c，a﹣c，b﹣c的符号； （3）求|a+c|+|2b|+|a﹣c|+|3c|的值． 3．（2023秋•海曙区期中）已知有理数理数a、b、c在数轴上的位置如图： （1）用“＞”或“＜”填空： b﹣c 　 　0，a+b 　 　0，c﹣a 　 　0． （2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|． （3）若数轴上存在两点m、n，m•n≠0，则 的值是多少？ 4．（2023秋•泰兴市期末）对于整数m，n，定义一种新的运算“⊙”：当m+n为偶数时，规定m⊙n＝2|m+n|+|m﹣n|；当m+n为奇数时，规定m⊙n＝2|m+n|﹣|m﹣n|， （1）当m＝2，n＝4时，求m⊙n的值． （2）已知a、b为正整数，（a﹣b）⊙（a+b﹣1）＝7，求式子3（a﹣b）+a+b﹣8的值． （3）已知a为正整数，且满足（a⊙a）⊙a＝180﹣5a，求a的值． 5．（2023秋•潼南区期中）阅读理解． 在学习绝对值后，|5﹣2|可以理解为有理数5与2两数在数轴上所对的两点之间的距离．因为有理数5和2在数轴上对应的两点之间距离为3，所以|5﹣2|＝3．数7和﹣3之间的距离可以表示为|7﹣（﹣3）|，|x﹣（﹣5）|表示数x到﹣5的距离． （1）在数轴上，点A、B分别表示数a、b，AB之间的距离为：AB＝　 　． （2）在数轴上，点M为﹣2，点N到点M的距离为5，求点N表示的数，请运用以上知识解答． （3）根据阅读理解，填空： ①|x+10|+|x﹣20|精最小值是 　 ． ②当x＝　 　时，|x+10|+|x﹣20|＝40． 6．（2023秋•安乡县期中）出租车一天下午以家为出发地在东西方向营运，向东为正方向，向西为负方向，行车里程（单位：km）依先后载客次序记录如下：+8，﹣9，﹣7，+6，﹣3，﹣14，+5，+12 （1）该出租车师傅将最后一名乘客送达到目的地，出租车离家有多远？ （2）该出租车师傅下午离家最远有多少千米？ （3）若汽车耗油量为0.2升/千米，这天下午接送乘客，出租车共耗油多少升？ （4）若出租车起步价为10元，起步里程为3km（包括3km），超过部分每千米1.2元，问这天下午该出租车师傅的营业额是多少元？ 7．（2024春•曲沃县期末）综合与探究 已知，数轴上三点A，O，B对应的数分别为﹣3，0，1，点C为数轴上任意一点，其对应的数为x． （1）AB的长为 　 ，AC的长为 　； （2）若AC＝2BC，求x的值； （3）数轴上，如果动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度沿数轴正方向运动；同时动点M和N分别从点A和点B出发，分别以每秒3个单位和每秒2个单位的速度也沿数轴正方向运动．当点P到点M的距离等于点P到点N的距离时，直接写出点P所表示的数． 8．（2023秋•广信区期末）数轴是非常重要的“数形结合”的工具之一，它揭示了数与点之间的内在联系，同时我们发现数轴上两点间的距离也与这两点所表示的数有关系．借助数轴完成下列任务： （1）如图，A，B，C是数轴上依次排列的三个点，已知AB＝8，BC＝2． ①若点B表示的数为2，则在数轴上点A表示的数为 　 　，点C表示的数为 　 　； ②若点B表示的数为n，则在数轴上点A表示的数为 　 　，点C表示的数为 　 ； （2）从（1）的问题中发现：若点A、B在数轴上表示的数分别为a，b（且点A在点B的左侧），那么AB＝　 　； （3）在数轴上，若点E、F表示的数分别为3﹣2m，﹣2﹣2m，那么EF＝　 　； （4）若数轴上MN＝5，点M表示的数是﹣2，求点N和线段MN的中点P所表示的数分别是多少？ 【题型2 代数式的压轴题】 1．（2023秋•昌黎县期末）已知代数式A＝2x2+3xy+2y，B＝x2﹣xy+x． （1）求A﹣2B； （2）当x＝﹣1，y＝3时，求A﹣2B的值； （3）若A﹣2B的值与x的取值无关，求y的值． 2．（2023秋•岱岳区期末）阅读材料：“如果代数式a﹣3b的值为3，那么代数式10（a+b）﹣8（a+2b）的值是多少？”我们可以这样来解：原式＝10a+10b﹣8a﹣16b＝2a﹣6b．把式子a﹣3b＝3两边同乘以2，得2a﹣6b＝6．所以代数式10（a+b）﹣8（a+2b）的值是6．仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （1）已知m2+m＝﹣3，求m2+m+2023的值； （2）已知x﹣y＝﹣3，求3（x﹣y）﹣x+y+5的值； （3）已知a2+2ab＝﹣2，ab﹣b2＝﹣4，求2a2+5ab﹣b2的值． 3．（2023秋•高新区校级月考）观察下列等式：，，，将以上三个等式两边相加得：． （1）猜想并写出：　 　； （2）计算下列式子：； （3）有1011个长方形，第1个长方形的长宽分别是1，，第2个长方形的长宽分别是，，第3个长方形的长宽分别是，，…，第1011个长方形的长宽分别是，试求这1011个长方形的面积之和S． 4．（2023秋•赵县期末）定义：若a+b＝2，则称a与b是关于2的平衡数． （1）3与 　 　是关于2的平衡数，7﹣x与 　 　是关于2的平衡数．（填一个含x的代数式） （2）若a＝x2﹣4x﹣1，b＝x2﹣2（x2﹣2x﹣1）+1，判断a与b是否是关于2的平衡数，并说明理由． （3）若c＝kx+1，d＝x﹣3，且c与d是关于2的平衡数，若x为正整数，求非负整数k的值． 5．（2023秋•江陵县期末）给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝ab+1的成立的一对有理数a，b为“相伴有理数对”，记为（a，b）． 如：331，551，所以数对（3，），（5，）都是“相伴有理数对”． （1）数对（﹣2，），（，﹣3）中，是“相伴有理数对”的是 　 　； （2）若（x+1，5）是“相伴有理数对”，则x的值是 　 ； （3）若（a，b）是“相伴有理数对”，求3ab﹣a（a+b﹣5ab）+1的值． 6．（2023秋•夏津县期末）根据以下素材，探索完成任务． 素材1： 某家具厂生产一种课桌和椅子，课桌每张定价200元，椅子每把定价80元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： 方案一：每买一张课桌就赠送一把椅子； 方案二：课桌和椅子都按定价的80%付款． 素材2： 学校计划添置100张课桌和x把椅子（x＞100）． 问题解决 【任务1】（1）若x＝200，分别计算两种方案的费用； 【任务2】（2）请用含x的代数式分别表示出两种方案的费用； 【任务3】（3）根据素材2添置桌椅，学校选择哪种方案更省钱？ 7．（2023秋•玉州区期中）为发展校园篮球运动，某城区四个校区决定联合购买一批篮球运动装备，市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的篮球服和篮球，已知每套篮球服100元，每个篮球80元，经洽谈，甲商场的优惠方案是：每购买10套篮球服，送一个篮球；乙商场的优惠方案是：若购买篮球服超过80套，则购买篮球打八折． （1）若该城区四校联合购买80套篮球服和8个篮球；则到甲商场购买所花的费用 为 　 元，到乙商场购买所花的费用为 　 　元； （2）若该城区四校联合购买100套篮球服和a（a＞10）个篮球，请用含a的代数式分别表示出到甲商场和乙商场购买所花的费用； （3）在（2）的条件下，当a＝12时，在哪家商场购买篮球服和篮球更优惠？ 8．（2023秋•长汀县期中）某农户去年承包荒山若干亩，投资17800元改造后，种果树2000棵．今年水果总产量为18000千克，此水果在市场上每千克售a元，在果园每千克售b元（b＜a）．该农户将水果拉到市场出售平均每天出售2000千克，需8人帮忙，每人每天付工资100元，农用车运费及其他各项税费平均每天400元． （1）分别用a，b表示两种方式出售水果的收入？ （2）若a＝2.6，b＝2.1，且两种出售水果方式都在相同的时间内售完全部水果，请你通过计算说明选择哪种出售方式较好． （3）该农户加强果园管理，力争到明年纯收入达到25000元，那么纯收入增长率是多少？（纯收入＝总收入﹣总支出，该农户采用了（2）中较好的出售方式出售） 9．（2023秋•花都区校级期中）运动会期间，各班都如火如荼地准备着入场式，初一15班计划购买若干裙子和帽子作为演出服装，经调查发现某淘宝店铺每条裙子卖90元，每顶帽子卖12元，给出的优惠方案如下：方案一，以原价购买，购买一条裙子赠送两顶帽子；方案二，总价打8折．若该班级计划购买a条裙子和b顶帽子（b≥2a）． （1）请用含a、b的代数式分别表示出两种方案的实际费用； （2）当a＝10，b＝54时，哪种方案更便宜呢？请通过计算说明． （3）当a＝12时，方案一一定更便宜吗？如果是，说明理由；如果不是，请求出当方案一更便宜时b应满足的最大值． 10．（2023秋•万州区期末）某超市在双十一期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 少于200元 不予优惠 低于500元但不低于200元 八折优惠 500元或超过500元 其中500元部分给予八折优惠， 超过500元部分给予七折优惠 （1）若王老师一次性购物600元，他实际付款 　 元．若王老师实际付款160元，那么王老师一次性购物可能是 　 元； （2）若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，他实际付款 　 元，当x大于或等于500元时，他实际付款 　 　元（用含x的代数式表示并化简）； （3）如果王老师有两天去超市购物原价合计850元，第一天购物的原价为a元（200＜a＜300），用含a的代数式表示这两天购物王老师实际一共付款多少元？当a＝250元时，王老师两天一共节省了多少元？ 【题型3 一元一次方程的压轴题】 1．（2023秋•太仓市期末）已知关于x的一元一次方程2x+10﹣3m＝0的解与关于x的一元一次方程1的解互为相反数，求代数式m﹣4n﹣1的值． 2．已知关于x的一元一次方程10 （1）若该方程的解为x＝2，求m的值； （2）若该方程的解为正整数，求满足条件的所有整数m的值． 3．现定义一种新运算“⊕”，规则如下：a⊕b＝ab+2a．如2⊕3＝2×3+2×2＝10，且在运算过程中，有括号的要先算括号里面的．请解答下列问题： （1）求3⊕（﹣1）的值； （2）求（﹣2）⊕[（﹣4）⊕]的值； （3）现改变上述运算规则：当a≥b时，a⊕b＝ab+2a，当a＜b时，a⊕b＝ab﹣2a．若4⊕x＝30，求x的值． 4．（2023春•巴中期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程2x﹣1＝3和x+1＝0为“美好方程”． （1）请判断方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是否互为“美好方程”； （2）若关于x的方程m＝0与方程3x﹣2＝x+4是“美好方程”，求m的值； （3）若关于x方程x﹣1＝0与x+1＝3x+k是“美好方程”，求关于y的方程（y+2）+1＝3y+k+6的解． 5．（2023秋•碑林区校级期末）2021年是“12.9”运动86周年，汇川区各学校把“12.9”纪念活动作为学校爱国主义教育的重要活动列入德育计划，汇川区某中学12月9日，举行“壮阔百年路，奋斗新征程”纪念“一二▪九”歌咏比赛，七（1）、七（2）两班共100人准备统一购买服装（一人买一套）参加表演，其中七（1）班人数多于七（2）人数，服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至49套 50套至99套 100套及以上 每套服装的价格 70元 65元 60元 如果两班分别单独购买服装，一共应付6740元． （1）如果两班联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？ （2）七（1）、七（2）两班各有多少学生准备参加表演？（七（1）比七（2）班人数多） （3）如果七（1）有3名同学抽调去参加赛12.9歌咏比赛主持人，不能参加演出，那么你有几种购买方案，通过计算各种购买方案费用比较，你该如何购买服装才能最省钱？ 6．（2023秋•隆回县期末）国庆期间，某商场打出促销广告：顾客一次购物标价超过200元但不超过500元时，按九折付款，一次购物超过500元时，其中500元按九折付款，超过500元部分按八折付款；一次购物不超过200元时，按标价付款．按上述促销广告，回答下列问题： （1）若甲一次购买标价为x元的物品，当x超过200元，但不超过500元时，甲实际付款应为　 　元；当x超过500元时，甲实际付款应为 　 　元．（用含x的代数式表示） （2）若乙一次购买实际付款480元，则乙所购物品的标价是多少元？ （3）若丙前后进行了两次购物，两次所购物品的标价之和为1000元（第二次所购物品的标价高于第一次），两次实际付款886元，问丙第一次所购物品的标价是多少元？ 7．（2023秋•和平区期末）平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价90元，利润率为50%；乙种商品每件进价50元，售价80元 （1）甲种商品每件进价为 　 元，每件乙种商品利润率为 　 　． （2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2800元，求购进乙种商品多少件？ （3）在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于400元 不优惠 超过400元，但不超过600元 按售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打六折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？ 8．（2023秋•广州期末）在数轴上，点A在原点O的左侧，点B在原点O的右侧，点A距离原点12个单位长度，点B距离原点2个单位长度． （1）A点表示的数为 　 　，B点表示的数为 　 　，两点之间的距离为 　 　； （2）若点P为数轴上一点，且BP＝2，求AP的值； （3）若点P、Q、M同时向数轴负方向运动，点P从点A出发，点Q从原点出发，点M从点B出发，且点P的运动速度是每秒6个单位长度，点Q的运动速度是每秒8个单位长度，点M的运动速度是每秒2个单位长度．运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？ 【题型4 走进几何世界的压轴题】 1．（2023秋•城关区校级期末）如图是由棱长都为1cm的6块小正方体组成的简单几何体． （1）请在方格中画出该几何体的三个视图． （2）如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加 　 　块小正方体， 2．（2023秋•紫金县期中）如图是一个大正方体切去一个小正方体组成的几何体． （1）下列三个图形中，从上面、左面、正面看到的平面图形分别是　 　、　 　、　 　； （2）若大正方体的棱长为20cm，小正方体的棱长为10cm，求这个几何体的表面积． 3．（2023秋•惠来县校级期中）已知一个长方体的长为1cm，宽为1cm，高为2cm，请求出： （1）长方体有 　 　条棱，　 个面； （2）长方体所有棱长的和； （3）长方体的表面积． 4．（2023秋•永安市期中）如图是一个几何体从三个方向看所得到的形状图． （1）写出这个几何体的名称； （2）画出它的一种表面展开图； （3）若从正面看的高为3cm，从上面看三角形的边长都为2cm，求这个几何体的侧面积． 5．（2023秋•蓝田县月考）已知一个直棱柱有15条棱，且它的底面边长都相等． （1）该直棱柱是几棱柱？它有几个面？侧面是什么图形？ （2）用一个平面去截该直棱柱，截面形状可能是 　 　；（写出一种即可） （3）若该直棱柱的底面周长为20cm，侧棱长为8cm，求它的所有侧面的面积之和． 6．（2023秋•揭西县月考）如图几何体是由若干棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），观察该图，探究其中的规律． （1）第1个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有　 　个．第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有　 　个． （2）求出第100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数． （3）求出前100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数的和． 7．（2024秋•和平区月考）如图，是一个六棱柱，它的底面边长都是6cm，高是4cm． （1）这个棱柱共有 　 　顶点； （2）这个棱柱共有 　 　条棱，所有棱长的和 　 m； （3）这个棱柱的侧面积是 　 　cm2． 8．（2024秋•沙坪坝区校级月考）综合与实践： 【提出问题】 有两个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是16cm、6cm、2cm，现要用这两个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？ 实践操作：我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有3种不同的摆放方式，如图所示： 【探究结论】 （1）请计算图1、图2、图3中的大长方体的长、宽、高及其表面积，并填充表格： 长（cm） 宽（cm） 高（cm） 表面积（cm2） 图1 16 6 　　 　　 图2 　　 6 2 　　 图3 16 　　 2 　　 完成表格，根据表格可知，表面积最小的是 　图1　所示的长方体．（填“图1”、“图2”、“图3”）． 【解决问题】 （2）现在有4个小长方体纸盒，每个的长、宽、高都分别是5cm、4cm、3cm，若用这4个长方体纸盒搭成一个大长方体，共有 　 　种不同的方式，搭成的大长方体的表面积最小为 　 cm2． 【题型5 平面图形的初步认识压轴题】 1．（2023秋•晋州市期中）如图所示，点C在线段AB上，AB＝30cm，AC＝12cm，点M，N分别是AB，BC的中点． （1）求CN的长度； （2）求MN的长度； （3）若点P在直线AB上，且PA＝2cm，点Q为BP的中点，请直接写出QN的长度，不用说明理由． 2．（2023秋•冷水滩区校级期末）已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B同时出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上） （1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝　　 ，DM＝　 　；（直接填空） （2）当点C、D运动了2s，求AC+MD的值； （3）若点C、D运动时，总有MD＝2AC，则AM＝　 （填空）； （4）在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值． 3．（2023秋•绥宁县期末）已知点O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，并在∠MON内部作射线OC，OC平分∠MOB． （1）若∠CON＝20°，求∠AOM的度数． （2）若∠BON＝2∠NOC，求∠AOM的度数． （3）试猜想∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由． 4．（2023秋•思明区校级期末）已知，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC． （1）如图1，若∠AOC＝40°，∠DOE＝　 　°． （2）将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置． ①探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②在∠AOC的内部有一条射线OM，满足：4∠BOE﹣∠AOC＝﹣3∠AOM，试确定∠AOM与∠DOE的度数之间的关系，说明理由． 5．（2023秋•罗湖区期末）如图①，直线AB与直线CD相交于点O，∠COE＝90°，过点O作射线OF． （1）若射线OF平分∠AOC且∠BOF＝130°，求∠BOE的度数； （2）若将图①中的直线CD绕点O逆时针旋转至图②，∠COE＝90°，当射线OE平分∠BOF时，射线OC是否平分∠AOF，请说明理由； （3）若∠BOE＝20°，∠BOF＝130°，将图①中的直线CD绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转α度（0°＜α＜180°），∠COE始终保持为90°，设旋转的时间为t秒，当∠AOC+∠EOF＝90°时，求t的值． 6．（2023秋•武侯区校级期末）已知b是最小的正整数，a，b满足（c﹣5）2+|a+b|＝0，且a，b，c分别对应数轴上的点A，B，C． （1）请直接写出a，b，c的值：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 ． （2）若点P为一动点，从点A出发以每秒2个单位长度的速度向右运动，则点P运动几秒后，点P到点A的距离是点P到点C的距离的2倍？ （3）点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．假设运动时间为t s，BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 7．（2023秋•关岭县期末）将一段长为60cm的绳子AB拉直铺平，沿点M，N折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），设点A，B分别落在点A'，B'处． （1）如图1，当点A'，B'恰好重合时，MN的长为 　 　cm； （2）如图2，若点A'落在点B'的左侧，且A'B'＝20cm，求MN的长； （3）若A'B'＝n cm，请直接写出MN的长．（用含n的式子表示） 8．已知：∠AOB和∠COD是直角． （1）如图1，当射线OB在∠COD内部时，请探究∠AOD和∠BOC之间的关系； （2）如图2，当射线OA，射线OB都在∠COD外部时，过点O作射线OE，射线OF，满足∠BOE∠BOC，∠DOF∠AOD，求∠EOF的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，在平面内是否存在射线OG，使得∠GOF：∠GOE＝2：3，若不存在，请说明理由，若存在，求出∠GOF的度数． 9．（2024春•金寨县期末）【问题背景】同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． 【问题解决】（1）如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接AE、CE．若∠A＝42°，∠C＝28°．则∠AEC＝　 　． 【问题探究】（2）如图2，AB∥CD，线段AD与线段BC交于点E，∠A＝36°，∠C＝54°，EF平分∠BED，求∠BEF的度数． 【问题拓展】（3）如图3．AB∥CD，线段AD与线段BC相交于点G，∠BCD＝56°，∠GDE＝20°，过点D作DF∥CB交直线AB于点F，AE平分∠BAD，DG平分∠CDF，求∠AED的度数． 10．（2024春•西安期中）如图，已知AB∥CD，E、F分别在AB、CD上，点P在AB、CD之间，连接PE、PF． （1）如图1，若∠AEP＝50°，∠CFP＝20°，则∠EPF＝　70°　； （2）如图2，点G是AB、CD之间另外一点，∠BEG＝40°且EP平分∠BEG，FP平分∠DFG． ①若GE⊥GF，求∠P的度数； ②如图3，在CD的下方有一点Q，EG平分∠BEQ，FD平分∠GFQ，求∠Q+2∠P 的度数． 1．（2023•天山区校级开学）某电动车厂一周计划生产2100辆电动车，平均每天计划生产300辆，由于各种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入．如表是某周的生产情况（超产为正减产为负）． （1）根据记录可知本周前三天共生产电动车多少辆？ （2）本周产量最多的一天比产量最少的一天多生产电动车多少辆？ （3）该厂实行每周计件工资制，每生产一辆电动车可得a元，若超额完成，则超额部分每辆再奖b元（b＜a），少生产一辆扣b元，求该厂工人这一周的工资总额． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减情况 +5 ﹣2 ﹣4 +13 ﹣10 +16 ﹣9 2．（2023秋•普宁市期末）阅读材料：我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x，类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把（a﹣b）2看成一个整体，合并3（a﹣b）2﹣6（a﹣b）2+2（a﹣b）2的结果是 　 　． （2）已知x2﹣2y＝4，求3x2﹣6y﹣21的值； 拓展探索： （3）已知a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝10，求（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）的值． 3．滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如表． 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 1.8元/公里 0.45元/分 0.4元/公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.4元． （1）若小东乘坐滴滴快车，行车里程为20公里，行车时间为30分，则需付车费　 元． （2）若小明乘坐滴滴快车，行车里程为a公里，行车时间为b分，则小明应付车费多少元（用含a，b的代数式表示，并化简）？ （3）小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为9.5公里与14.5公里．如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差多少分？ 4．（2023秋•新会区校级期中）如图，若点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，且a，b满足|a+2|+（b﹣1）2＝0．点A与点B之间的距离表示为AB＝|a﹣b|（以下类同）． （1）求AB的长； （2）若点C在数轴上对应的数为，在数轴上是否存在点P，使得PA+PB＝PC？若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由； （3）在（1）、（2）的条件下，点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和C分别以每秒4单位长度和9个单位长度的速度向右运动，经过t秒后，请问：AB﹣BC的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其常数值． 5．（2023春•临海市月考）如图，直线CD，EF相交于点O，射线OA在∠COF的内部，∠DOF∠AOD． （1）如图1，若∠AOC＝120°，求∠EOC的度数； （2）如图2，若∠AOC＝α（60°＜α＜180°），将射线OA绕点O逆时针旋转60°，到OB， ①求∠EOB的度数（用含α的式子表示）； ②观察①中的结果，直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系． （3）如图3，0°＜∠AOC＜120°，将射线OA绕点O顺时针旋转60°，到OB，请直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系． 6．（2023秋•宽城区期末）如图AB⊥MN于点O，射线OC，OE的方向如各图所示，∠COE＝90°． （1）如图①，若∠AOE＝20°，求∠CON的度数； （2）如图②，射线OF平分∠COM．若∠AOF＝25°，求∠EOF，∠CON的度数； （3）如图③，射线OF仍然平分∠COM，若∠AOF＝β，直接用含β的代数式表示∠EOF，∠CON的度数． 7．（2023春•巴南区月考）已知直线MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN和PO之间． （1）如图1，求证：∠CAB﹣∠MCA＝∠PBA； （2）如图2，CD∥AB，点E在直线PQ上，且∠MCA＝∠DCE，求证：∠ECN＝∠CAB； （3）如图3，BF平分∠PBA，CG平分∠ACN，且AF∥CG．若∠CAB＝50°，直接写出∠AFB的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ （苏科版）七年级上册数学期末复习 重要考点13《章节解答题压轴题训练》 【题型1 有理数的压轴题】 1．（2023秋•宝鸡期中）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣7，b，2．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度2.1cm，点C对齐刻度6.3cm． （1）求数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的长度是多少cm？ （2）求在数轴上点B所对应的数b； （3）若Q是数轴上一点，且满足A、Q两点间的距离是A、B两点间的距离的2倍，求点Q在数䌷上所对应的数． 【分析】（1）先求出数轴上点A和点B的距离，再根据刻度尺上点A和点B的距离即可求出答案； （2）用刻度尺上点A和点B的距离除以数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的长度即可求出数轴上点A和点B的距离，由此可得点B表示的数； （3）设数轴上点Q表示的数为x，则点A和点Q的距离为|x+7|，再由A、Q两点间的距离是A、B两点间的距离的2倍，可得|x+7|＝2×3＝6，解方程即可得到答案． 【解答】解：（1）∵在数轴上点A和点C分别表示的数为﹣7，2， ∴数轴上点A和点C的距离为2﹣（﹣7）＝9， ∵在刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，点C对齐刻度6.3cm， ∴刻度尺上，点A和点C的距离为6.3cm， ∴数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的长度是； （2）∵刻度尺上，点A和点B的距离为2.1cm， ∴在数轴上，点A和点B的距离为2.1÷0.7＝3， ∴点B表示的数为﹣7+3＝﹣4， ∴b＝﹣4； （3）设数轴上点Q表示的数为x， ∵点A和点B表示的数为﹣7， ∴点A和点Q的距离为|x﹣（﹣7）|＝|x+7|， ∵A、Q两点间的距离是A、B两点间的距离的2倍， ∴|x+7|＝2×3＝6， ∴x+7＝±6， ∴x＝﹣1或x＝﹣13， ∴点Q表示的数为﹣1或﹣13． 【点评】本题主要考查了数轴上两点距离计算，解绝对值方程，一元一次方程的应用，熟知数轴上两点距离计算公式是解题的关键． 2．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且表示数a的点与表示数b的点到原点的距离相等 （1）计算a+b； （2）确定a+c，b+c，a﹣c，b﹣c的符号； （3）求|a+c|+|2b|+|a﹣c|+|3c|的值． 【分析】（1）根据表示数a的点与表示数b的点到原点距离相等可以得到a、b互为相反数，据此即可求解； （2）根据数轴上右边的数总是大于左边的数和有理数的加法法则即可作出判断； （3）先判断a+c，2b，a﹣c，3c的符号，再去掉绝对值符号，计算即可． 【解答】解：（1）∵表示数a的点与表示数b的点到原点距离相等， ∴a+b＝0， 则原式＝（a+b）0； （2）根据数轴可知：b＜c＜0＜a；|a|＝|b|＞|c|； 则a+c＞0，b+c＜0，a﹣c＞0，b﹣c＜0； （3）∵a+c＞0，2b＜0，a﹣c＞0，3c＜0， ∴原式＝a+c﹣2b+a﹣c﹣3c＝2a﹣2b﹣3c． 【点评】本题考查了数轴与有理数大小的比较，理解a、b互为相反数是解题的关键． 3．（2023秋•海曙区期中）已知有理数理数a、b、c在数轴上的位置如图： （1）用“＞”或“＜”填空： b﹣c 　 　0，a+b 　 　0，c﹣a 　 　0． （2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|． （3）若数轴上存在两点m、n，m•n≠0，则 的值是多少？ 【分析】（1）由数轴得a＜0，c＞b＞0，|a|＞|b|，进一步判断出b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0； （2）由（1）中的结论及绝对值的定义化简即可； （3）分情况讨论：①当m＞0，n＞0时；②当m＞0，n＜0时；③当m＜0，n＞0时；④当m＜0，n＜0时；分别化简即可． 【解答】解：（1）由数轴得，a＜0，c＞b＞0，|a|＞|b|， ∴b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0； 故答案为：＜，＜，＞； （2）原式＝（c﹣b）+（﹣a﹣b）﹣（c﹣a） ＝c﹣b﹣a﹣b﹣c+a ＝﹣2b； （3）∵mn≠0， ∴m≠0，n≠0， ①当m＞0，n＞0时，则mn＞0， ∴； ②当m＞0，n＜0时，则mn＜0； ∴； ③当m＜0，n＞0时，则mn＜0 ； ④当m＜0，n＜0时，则mn＞0 ∴； 综上所述： 的取值是﹣1或3． 【点评】本题考查了绝对值，数轴，有理数的大小比较，以及分类讨论思想，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 4．（2023秋•泰兴市期末）对于整数m，n，定义一种新的运算“⊙”：当m+n为偶数时，规定m⊙n＝2|m+n|+|m﹣n|；当m+n为奇数时，规定m⊙n＝2|m+n|﹣|m﹣n|， （1）当m＝2，n＝4时，求m⊙n的值． （2）已知a、b为正整数，（a﹣b）⊙（a+b﹣1）＝7，求式子3（a﹣b）+a+b﹣8的值． （3）已知a为正整数，且满足（a⊙a）⊙a＝180﹣5a，求a的值． 【分析】（1）根据新定义的运算进行求解即可； （2）根据新定义的运算进行求解即可； （3）根据新定义的运算进行求解即可． 【解答】解：（1）∵m＝2，n＝4， ∴m+n＝6， ∴m⊙n ＝2|m+n|+|m﹣n| ＝2|2+4|+|2﹣4| ＝2×6+2 ＝12+2 ＝14； （2）∵a﹣b+a+b﹣1＝2a﹣1， ∴2a﹣1必为奇数， ∵（a﹣b）⊙（a+b﹣1）＝7，a、b为正整数， ∴2|a﹣b+a+b﹣1|﹣|a﹣b﹣（a+b﹣1）|＝7， 2|2a﹣1|﹣|﹣2b+1|＝7， 2（2a﹣1）﹣2b+1＝7， 4a﹣2﹣2b+1＝7， 4a﹣2b＝8， 2a﹣b＝4， ∴3（a﹣b）+a+b﹣8 ＝3a﹣3b+a+b﹣8 ＝4a﹣2b﹣8 ＝8﹣8 ＝0； （3）∵a+a＝2a，必为偶数， ∴a⊙a ＝2|a+a|+|a﹣a| ＝4a； ∴当a为偶数时，4a+a＝5a，也为偶数， （a⊙a）⊙a＝180﹣5a， （4a）⊙a＝180﹣5a， 2|4a+a|+|4a﹣a|＝180﹣5a， 10a+3a＝180﹣5a， 解得：a＝10； 当a为奇数时，4a+a＝5a，也为奇数， （a⊙a）⊙a＝180﹣5a， （4a）⊙a＝180﹣5a， 2|4a+a|﹣|4a﹣a|＝180﹣5a， 10a﹣3a＝180﹣5a， 解得：a＝15． 综上所述，a的值为10或15． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是理解清楚题意，对相应的运算法则的掌握． 5．（2023秋•潼南区期中）阅读理解． 在学习绝对值后，|5﹣2|可以理解为有理数5与2两数在数轴上所对的两点之间的距离．因为有理数5和2在数轴上对应的两点之间距离为3，所以|5﹣2|＝3．数7和﹣3之间的距离可以表示为|7﹣（﹣3）|，|x﹣（﹣5）|表示数x到﹣5的距离． （1）在数轴上，点A、B分别表示数a、b，AB之间的距离为：AB＝　 　． （2）在数轴上，点M为﹣2，点N到点M的距离为5，求点N表示的数，请运用以上知识解答． （3）根据阅读理解，填空： ①|x+10|+|x﹣20|精最小值是 　 ． ②当x＝　 　时，|x+10|+|x﹣20|＝40． 【分析】（1）利用数轴上两点之间的距离公式即可求解； （2）利用数轴上两点之间的距离公式即可求解； （3）①|x+10|+|x﹣20|表示x到﹣10的距离与到20的距离之和，则由数轴可得，当x在﹣10和20之间时，有最小值，利用两点间的距离公式即可求解； ②利用分类讨论：当x＜﹣10时，当﹣10≤x＜20时，当20≤x时，去绝对值即可求解； 【解答】解：（1）AB＝|a﹣b|， 故答案为：|a﹣b|． （2）设点N表示x，则 |x﹣（﹣2）|＝5， x＝3或﹣7， ∴点N表示的数为3或﹣7． （3）①如图： |x+10|+|x﹣20|表示x到﹣10的距离与到20的距离之和， 则由数轴可得，当x在﹣10和20之间时，有最小值， ∴|x+10|+|x﹣20|最小值为：20﹣（﹣10）＝30； 故答案为：30； ②当x＜﹣10时，﹣（x+10）﹣（x﹣20）＝40， 解得：x＝﹣15； 当﹣10≤x＜20时，x+10﹣（x﹣20）＝40， 解得：30＝40（不符合题意）， 当20≤x时，x+10+x﹣20＝40， 解得：x＝25， 综上所述，x的值为﹣15或25． 故答案为：﹣15或25． 【点评】本题考查了数轴上两点之间精距离及化简绝对值，熟练掌握数轴上两点之间的距离及绝对值的意义，利用分类讨论思想及数形结合思想解决问题是解题的关键． 6．（2023秋•安乡县期中）出租车一天下午以家为出发地在东西方向营运，向东为正方向，向西为负方向，行车里程（单位：km）依先后载客次序记录如下：+8，﹣9，﹣7，+6，﹣3，﹣14，+5，+12 （1）该出租车师傅将最后一名乘客送达到目的地，出租车离家有多远？ （2）该出租车师傅下午离家最远有多少千米？ （3）若汽车耗油量为0.2升/千米，这天下午接送乘客，出租车共耗油多少升？ （4）若出租车起步价为10元，起步里程为3km（包括3km），超过部分每千米1.2元，问这天下午该出租车师傅的营业额是多少元？ 【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案； （2）根据有理数的加法，有理数的大小比较，可得答案； （3）根据单位耗油量乘以行驶路程，可得答案； （4）根据起步价加超过部分的价格，可得答案． 【解答】解答：（1）（+8）+（﹣9）+（﹣7）+（+6）+（﹣3）+（+5）+（﹣14）+（+12） ＝8﹣9﹣7+6﹣3+5﹣14+12 ＝（8+6+5+12）+（﹣9﹣7﹣3﹣14） ＝31﹣33 ＝﹣2， 答：该出租车师傅将最后一名乘客送达到目的地，出租车在家的西方，离家有2km； （2）第一次8千米，第二次8﹣9＝﹣1千米，第三次﹣1+（﹣7）＝﹣8千米，第四次﹣8+6＝﹣2千米， 第五次﹣2﹣3＝﹣5千米，第六次﹣5﹣14＝﹣19千米，第七次﹣19+5＝﹣14千米，第八次﹣14+12＝﹣2千米， 答：该出租车师傅下午离家最远有19km； （3）8+|﹣9|+|﹣7|+6+|﹣3|+5+|﹣14|+12 ＝8+9+7+6+3+5+14+12 ＝64（km）， 0.2×64＝12.8（升） 答：这天下午出租车共耗油12.8升； （4）10×8+（64﹣3×8）×1.2＝80+48＝128（元）， 答：这天下午该出租车师傅的营业额是128元． 【点评】本题考查了正数和负数，利用有理数的运算是解题关键． 7．（2024春•曲沃县期末）综合与探究 已知，数轴上三点A，O，B对应的数分别为﹣3，0，1，点C为数轴上任意一点，其对应的数为x． （1）AB的长为 　 ，AC的长为 　； （2）若AC＝2BC，求x的值； （3）数轴上，如果动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度沿数轴正方向运动；同时动点M和N分别从点A和点B出发，分别以每秒3个单位和每秒2个单位的速度也沿数轴正方向运动．当点P到点M的距离等于点P到点N的距离时，直接写出点P所表示的数． 【分析】（1）根据数轴上两点间距离公式求解； （2）用含x的式子表示出BC，AC，列方程求解即可； （3）用含t的式子表示出t秒时点P，M，N所表示的数，进而用含/的式子表示出PM，PN，列方程求解即可． 【解答】解 （1）∵A，O，B对应的数分别为﹣3，0，1， ∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，AC＝|x﹣（﹣3）|＝|x+3|， 故答案为：4；|x+3|； （2）∵AC＝2BC，BC＝2|x﹣1|， ∴|x+3|＝2|x﹣1|， ∴x+3＝2（x﹣1）或x+3＝﹣2（x﹣1），解得x＝5或x， 故答案为：5或； （3）由题意知，t秒时，点P所表示的数为t，点M所表示的数为﹣3+3t，点P所表示的数为1+2t， ∴PM＝|﹣3+3t﹣t|＝|﹣3+2t|，PN＝|1+2t﹣t|＝|1+t|＝1+t，当点P到点M的距离等于点P到点N的距离时，PM＝PN， ∴|﹣3+2t|＝1+t， ∴﹣3+2t＝1+t或﹣（﹣3+2t）＝1+t，解得：t＝4或t， ∴点P所表示的数为4或， 故答案为：4或． 【点评】本题考查数轴上的动点问题，数轴上两点间距离，解一元一次方程等，题目难度不大，掌握基础知识即可解答． 8．（2023秋•广信区期末）数轴是非常重要的“数形结合”的工具之一，它揭示了数与点之间的内在联系，同时我们发现数轴上两点间的距离也与这两点所表示的数有关系．借助数轴完成下列任务： （1）如图，A，B，C是数轴上依次排列的三个点，已知AB＝8，BC＝2． ①若点B表示的数为2，则在数轴上点A表示的数为 　 　，点C表示的数为 　 　； ②若点B表示的数为n，则在数轴上点A表示的数为 　 　，点C表示的数为 　 ； （2）从（1）的问题中发现：若点A、B在数轴上表示的数分别为a，b（且点A在点B的左侧），那么AB＝　 　； （3）在数轴上，若点E、F表示的数分别为3﹣2m，﹣2﹣2m，那么EF＝　 　； （4）若数轴上MN＝5，点M表示的数是﹣2，求点N和线段MN的中点P所表示的数分别是多少？ 【分析】（1）结合数轴便可填出①，总结规律得出②； （2）运用规律，数轴上两点之间的距离等于两点的差的绝对值，即可得出答案； （3）两点之间的距离＝两点的差的绝对值，即可得到答案； （4）分类讨论，分为N在M右侧还是左侧，即可得出答案． 【解答】解：（1）①数轴上点A表示的数为：2﹣8＝﹣6，点C表示的数为：2+2＝4； ②数轴上点A表示的数为：n﹣8，点C表示的数为：n+2； 故答案为﹣6，4，n﹣8，n+2； （2）∵AB＝|a﹣b|＝b﹣a， 又∵点A在点B的左侧， ∴a﹣b＜0， ∴AB＝|a﹣b|＝b﹣a， 故答案为b﹣a； （3）EF＝|（3﹣2m）﹣（﹣2﹣2m）|＝|3﹣2m+2+2m|＝|5|＝5， 故答案为5； （4）当N在M的右侧时， 点N表示的数为：﹣2+5＝3；点P表示的数为：； 当N在M的左侧时， 点N表示的数为：﹣2﹣5＝﹣7；点P表示的数为：． 综上分析，点N表示的数为3时，点P表示的数为；点N表示的数为﹣7时，点P表示的数为． 【点评】本题考查了数轴上两点间的距离，以及数轴上点所表示的数，运用数形结合思想和分类思想是本题的关键． 【题型2 代数式的压轴题】 1．（2023秋•昌黎县期末）已知代数式A＝2x2+3xy+2y，B＝x2﹣xy+x． （1）求A﹣2B； （2）当x＝﹣1，y＝3时，求A﹣2B的值； （3）若A﹣2B的值与x的取值无关，求y的值． 【分析】（1）直接利用整式的加减运算法则计算得出答案； （2）直接把x，y的值代入得出答案； （3）直接利用已知得出5y＝2，即可得出答案． 【解答】解：（1）∵A＝2x2+3xy+2y，B＝x2﹣xy+x， ∴A﹣2B＝（2x2+3xy+2y）﹣2（x2﹣xy+x） ＝2x2+3xy+2y﹣2x2+2xy﹣2x ＝5xy﹣2x+2y； （2）当x＝﹣1，y＝3时， 原式＝5xy﹣2x+2y ＝5×（﹣1）×3﹣2×（﹣1）+2×3 ＝﹣15+2+6 ＝﹣7； （3）∵A﹣2B的值与x的取值无关， ∴5xy﹣2x＝0， ∴5y＝2， 解得：． 【点评】此题主要考查了整式的加减﹣化简求值，正确合并同类项是解题关键． 2．（2023秋•岱岳区期末）阅读材料：“如果代数式a﹣3b的值为3，那么代数式10（a+b）﹣8（a+2b）的值是多少？”我们可以这样来解：原式＝10a+10b﹣8a﹣16b＝2a﹣6b．把式子a﹣3b＝3两边同乘以2，得2a﹣6b＝6．所以代数式10（a+b）﹣8（a+2b）的值是6．仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （1）已知m2+m＝﹣3，求m2+m+2023的值； （2）已知x﹣y＝﹣3，求3（x﹣y）﹣x+y+5的值； （3）已知a2+2ab＝﹣2，ab﹣b2＝﹣4，求2a2+5ab﹣b2的值． 【分析】（1）直接将m2+m＝﹣3代入m2+m+2023中计算即可； （2）把3（x﹣y）﹣x+y+5变形为3（x﹣y）﹣（x﹣y）+5，然后把x﹣y＝﹣3代入计算即可； （3）把2a2+5ab﹣b2变形为2a2+4ab+ab﹣b2，再代入求值即可． 【解答】解：（1）∵m2+m＝﹣3， ∴m2+m+2023＝﹣3+2023＝2020； （2）∵x﹣y＝﹣3， ∴3（x﹣y）﹣x+y+5 ＝3（x﹣y）﹣（x﹣y）+5 ＝3×（﹣3）﹣（﹣3）+5 ＝﹣1； （3）∵a2+2ab＝﹣2，ab﹣b2＝﹣4， ∴2a2+4ab＝﹣4 ∴2a2+5ab﹣b2 ＝2a2+4ab+ab﹣b2 ＝﹣4+（﹣4） ＝﹣8． 【点评】本题考查了代数式求值，把题目中给出的代数式准确变形，利用整体代入法是解答本题的关键． 3．（2023秋•高新区校级月考）观察下列等式：，，，将以上三个等式两边相加得：． （1）猜想并写出：　 　； （2）计算下列式子：； （3）有1011个长方形，第1个长方形的长宽分别是1，，第2个长方形的长宽分别是，，第3个长方形的长宽分别是，，…，第1011个长方形的长宽分别是，试求这1011个长方形的面积之和S． 【分析】（1）根据题中所给示例即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）分别表示出每个长方形的面积，再相加即可． 【解答】解：（1）根据题中所给的等式可知， ． 故答案为：． （2）由（1）发现的规律可知， 原式 ． （3）由题知， S ． 即这1011个长方形的面积之和为． 【点评】本题考查实数计算中的规律，能根据所给等式发现是解题的关键． 4．（2023秋•赵县期末）定义：若a+b＝2，则称a与b是关于2的平衡数． （1）3与 　 　是关于2的平衡数，7﹣x与 　 　是关于2的平衡数．（填一个含x的代数式） （2）若a＝x2﹣4x﹣1，b＝x2﹣2（x2﹣2x﹣1）+1，判断a与b是否是关于2的平衡数，并说明理由． （3）若c＝kx+1，d＝x﹣3，且c与d是关于2的平衡数，若x为正整数，求非负整数k的值． 【分析】（1）根据平衡数的定义，可以计算出3的平衡数和7﹣x的平衡数； （2）将a和b相加，化简，看最后的结果是否为2即可； （3）根据c＝kx+1，d＝x﹣3，且c与d是关于2的平衡数，可以得到k和x的关系，然后利用分类讨论的方法，可以得到当x为正整数时，非负整数k的值． 【解答】解：（1）∵2﹣3＝﹣1， ∴3与﹣1是关于2的平衡数， ∵2﹣（7﹣x）＝2﹣7+x＝x﹣5， ∴7﹣x与x﹣5是关于2的平衡数， 故答案为：﹣1，x﹣5； （2）a与b是关于2的平衡数， 理由：∵a＝x2﹣4x﹣1，b＝x2﹣2（x2﹣2x﹣1）+1， ∴a+b ＝（x2﹣4x﹣1）+[x2﹣2（x2﹣2x﹣1）+1] ＝x2﹣4x﹣1+x2﹣2（x2﹣2x﹣1）+1 ＝x2﹣4x﹣1+x2﹣2x2+4x+2+1 ＝2， ∴a与b是关于2的平衡数； （3）∵c＝kx+1，d＝x﹣3，且c与d是关于2的平衡数， ∴c+d＝2， ∴kx+1+x﹣3＝2， ∴（k+1）x＝4， ∵x为正整数， ∴当x＝1时，k+1＝4，得k＝3， 当x＝2时，k+1＝2，得k＝1， 当x＝4时，k+1＝1，得k＝0， ∴非负整数k的值为0或1或3． 【点评】本题考查整式的加减、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答问题． 5．（2023秋•江陵县期末）给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝ab+1的成立的一对有理数a，b为“相伴有理数对”，记为（a，b）． 如：331，551，所以数对（3，），（5，）都是“相伴有理数对”． （1）数对（﹣2，），（，﹣3）中，是“相伴有理数对”的是 　 　； （2）若（x+1，5）是“相伴有理数对”，则x的值是 　 ； （3）若（a，b）是“相伴有理数对”，求3ab﹣a（a+b﹣5ab）+1的值． 【分析】（1）根据题意，分别将a＝﹣2，b和a，b＝﹣3代入a﹣b＝ab+1中即可求解； （2）将a＝x+1，b＝5代入a﹣b＝ab+1中即可求解； （3）先将3ab﹣a（a+b﹣5ab）+1进行化简，再将a﹣b＝ab+1变形后整体代入即可求解． 【解答】解：（1）由题意可得： 当a＝﹣2，b时， a﹣b＝﹣2， ab+1＝﹣21， 则a﹣b≠ab+1， 所以（﹣2，）不是“相伴有理数对”， 当a，b＝﹣3时， a﹣b（﹣3）， ab+1， 则a﹣b＝ab+1， 所以（，﹣3）是“相伴有理数对”， 所以数对（﹣2，），（，﹣3）中，是“相伴有理数对”的是 （，﹣3）， 故答案为：（，﹣3）； （2）∵（x+1，5）是“相伴有理数对”， ∴x+1﹣5＝（x+1）×5+1， 解得x， 故答案为：； （3）3ab﹣a（a+b﹣5ab）+1 ＝3ab﹣aa1 1 ， ∵a﹣b＝ab+1， ∴原式1 1 ． 【点评】本题主要考查了整式的化简求值和有理数的混合运算，理解题意掌握去括号法则和合并同类项法则以及有理数的混合运算法则是解题的关键，应用了整体代入的数学思想． 6．（2023秋•夏津县期末）根据以下素材，探索完成任务． 素材1： 某家具厂生产一种课桌和椅子，课桌每张定价200元，椅子每把定价80元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： 方案一：每买一张课桌就赠送一把椅子； 方案二：课桌和椅子都按定价的80%付款． 素材2： 学校计划添置100张课桌和x把椅子（x＞100）． 问题解决 【任务1】（1）若x＝200，分别计算两种方案的费用； 【任务2】（2）请用含x的代数式分别表示出两种方案的费用； 【任务3】（3）根据素材2添置桌椅，学校选择哪种方案更省钱？ 【分析】（1）根据厂家两种优惠方案分别求解即可； （2）根据厂家两种优惠方案分别列式即可； （3）分析两种优惠方案，分情况讨论，确定最省钱方案即可． 【解答】解：（1）当x＝200时， 方案一：200×100+（x﹣100）×80＝200×100+（200﹣100）×80＝28000（元）， 方案二：（200×100+80x）×80%＝（200×100+80×200）×80%＝28800（元）； （2）方案一：200×100+80（x﹣100）＝（80x+12000）（元）， 方案二：（200×100+80x）×80%＝（64x+16000）（元）； （3）结合（2），令80x+12000＝64x+16000， 解得x＝250， 当100＜x＜250时，方案一购买省钱， 当x＝250时，两种方案费用相同， 当x＞250时，方案二购买省钱， 综上所述，最省钱方案为： 当100＜x＜250时，选择方案一购买； 当x＝250时，两方案均可； 当x＞250时，选择方案二购买． 【点评】本题主要考查了有理数混合运算的应用、列代数式、一元一次方程的应用等知识，正确理解题意中两种优惠方案是解题关键． 7．（2023秋•玉州区期中）为发展校园篮球运动，某城区四个校区决定联合购买一批篮球运动装备，市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的篮球服和篮球，已知每套篮球服100元，每个篮球80元，经洽谈，甲商场的优惠方案是：每购买10套篮球服，送一个篮球；乙商场的优惠方案是：若购买篮球服超过80套，则购买篮球打八折． （1）若该城区四校联合购买80套篮球服和8个篮球；则到甲商场购买所花的费用 为 　 元，到乙商场购买所花的费用为 　 　元； （2）若该城区四校联合购买100套篮球服和a（a＞10）个篮球，请用含a的代数式分别表示出到甲商场和乙商场购买所花的费用； （3）在（2）的条件下，当a＝12时，在哪家商场购买篮球服和篮球更优惠？ 【分析】（1）购买80套，甲商场可以用优惠方案，乙商场不能用优惠方案； （2）根据甲、乙商场的优惠方案分别计算； （3）将a＝12分别代入甲商场、乙商场购买所花费用的代数式中，进行比较，得出在哪家商场购买篮球服和篮球更优惠． 【解答】解：（1）甲商场的优惠方案是：每购买10套篮球服，送一个篮球， ∴到甲商场购买所花的费用为：100×80＝8000（元）， 乙商场的优惠方案是：若购买篮球服超过80套，则购买篮球打八折， ∵实际购买的篮球服不超过80套，故不能打折， ∴到乙商场购买所花的费用为：100×80+80×8＝8640（元）， 故答案为：8000，8640； （2）到甲商场购买所花的费用为：100×100+80×（a﹣10）＝（80a+9200）（元）， 到乙商场购买所花的费用为：100×100+80a×0.8＝（64a+10000）（元）； （3）当a＝12时， 到甲商场购买所花的费用为：80×12+9200＝10160（元）， 到乙商场购买所花的费用为：64×12+10000＝10768（元）， ∵10160＜10768， ∴到甲商场购买篮球服和篮球更优惠． 【点评】本题考查了列代数式，关键是根据条件正确列出式子． 8．（2023秋•长汀县期中）某农户去年承包荒山若干亩，投资17800元改造后，种果树2000棵．今年水果总产量为18000千克，此水果在市场上每千克售a元，在果园每千克售b元（b＜a）．该农户将水果拉到市场出售平均每天出售2000千克，需8人帮忙，每人每天付工资100元，农用车运费及其他各项税费平均每天400元． （1）分别用a，b表示两种方式出售水果的收入？ （2）若a＝2.6，b＝2.1，且两种出售水果方式都在相同的时间内售完全部水果，请你通过计算说明选择哪种出售方式较好． （3）该农户加强果园管理，力争到明年纯收入达到25000元，那么纯收入增长率是多少？（纯收入＝总收入﹣总支出，该农户采用了（2）中较好的出售方式出售） 【分析】（1）市场出售收入＝水果的总收入﹣额外支出，而水果直接在果园的出售收入为：18000b元． （2）根据（1）中得到的代数式，将a＝2.6，b＝2.1，代入代数式计算即可． （3）根据（2）的数据，首先确定今年的最高收入，然后计算增长率即可． 【解答】解：（1）将这批水果拉到市场上出售收入为： 18000a8×100400 ＝18000a﹣7200﹣3600 ＝（18000a﹣10800）（元）， 故在果园直接出售收入为：18000b元； （2）当a＝2.6时，市场收入为18000a﹣10800＝18000×2.6﹣10800＝36000（元）． 当b＝2.1时，果园收入为18000b＝18000×2.1＝37800（元）， 因36000＜37800，所以应选择在果园直接出售； （3）因为今年的纯收入为37800﹣17800＝20000（元），100%=25%， 所以增长率为25%． 【点评】本题考查了根据实际问题列代数式，把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．解题的关键是读懂题意，正确表达． 9．（2023秋•花都区校级期中）运动会期间，各班都如火如荼地准备着入场式，初一15班计划购买若干裙子和帽子作为演出服装，经调查发现某淘宝店铺每条裙子卖90元，每顶帽子卖12元，给出的优惠方案如下：方案一，以原价购买，购买一条裙子赠送两顶帽子；方案二，总价打8折．若该班级计划购买a条裙子和b顶帽子（b≥2a）． （1）请用含a、b的代数式分别表示出两种方案的实际费用； （2）当a＝10，b＝54时，哪种方案更便宜呢？请通过计算说明． （3）当a＝12时，方案一一定更便宜吗？如果是，说明理由；如果不是，请求出当方案一更便宜时b应满足的最大值． 【分析】（1）方案一：a条裙子的总价+（b﹣2a）顶帽子的总价＝实际总费用，方案二：（a条裙子的总价+b顶帽子的总价）×0.8； （2）根据（1）化简后的代数式把a＝10，b＝54，分别代入求值后进行比较； （3）把a＝12分别代入（1）化简后的代数式，求它们的差，再根据方案一更便宜列不等式，根据实际问题就出b应满足的最大值． 【解答】解：根据题意得， （1）方案一：90a+12（b﹣2a） ＝90a+12b﹣24a ＝（66a+12b）（元）， 方案二：0.8（90a+12b） ＝（72a+9.6b）（元）； （2）当a＝10，b＝54时， 方案一： 66a+12b ＝66×10+12×54 ＝660+648 ＝1308（元）， 方案二： 72a+9.6b ＝72×10+9.6×54 ＝1238.4（元）， ∵1308＞1238.4， ∴方案二便宜； （3）当a＝12 方案一：（792+12b）（元）， 方案二：（864+9.6b）（元） 864+9.6b﹣（792+12b） ＝72﹣2.4b（元） ∵b的值不确定， ∴72﹣2.4b无法确定它的大小， ∴当a＝12时，方案一不一定更便宜， ∴当方案一更便宜时， ∴72﹣2.4b＞0， ∴b＜30， ∵b为正整数， ∴b应满足的最大值为29， ∴b＝29时，方案一便宜． 【点评】本题考查了代数式的求值、列代数式，掌握用数值代替代数式里的字母进行计算，根据已知条件找到关系式是解题关键． 10．（2023秋•万州区期末）某超市在双十一期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 少于200元 不予优惠 低于500元但不低于200元 八折优惠 500元或超过500元 其中500元部分给予八折优惠， 超过500元部分给予七折优惠 （1）若王老师一次性购物600元，他实际付款 　 元．若王老师实际付款160元，那么王老师一次性购物可能是 　 元； （2）若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，他实际付款 　 元，当x大于或等于500元时，他实际付款 　 　元（用含x的代数式表示并化简）； （3）如果王老师有两天去超市购物原价合计850元，第一天购物的原价为a元（200＜a＜300），用含a的代数式表示这两天购物王老师实际一共付款多少元？当a＝250元时，王老师两天一共节省了多少元？ 【分析】（1）500元按8折计算，超出的7折计算； 实际付款160元时，设王老师一次性购物可能是x元，分两种情况：①200＜x＜500，按八折计算，②0＜x＜200，没有折扣； （2）当x小于500元但不小于200时，他实际付款按8折计算，大于或等于500元时．他实际付款，500这部分按8折计算，超出的（x﹣500）这部分7折计算； （3）根据（2）的思路表示第一天购物实际付款和第二天购物实际付款． 【解答】解：（1）500×0.8+（600﹣500）×0.7＝470（元）， 设王老师一次性购物可能是x元， ①200＜x＜500， 根据题意得，0.8x＝160， 解得x＝200， ②0＜x＜200， x＝160； 综上所述：王老师一次性购物可能是：160元或200元． 故答案为：470，160或200； （2）当x小于500元但不小于200时，他实际付款0.8x元， 当x大于或等于500元时，他实际付款： 500×0.8+0.7（x﹣500） ＝（0.7x+50）（元）， 故答案为：0.8x，0.7x+50； （3）第一天购物实际付款：0.8a元， 第二天购物实际付款：500×0.8+0.7（850﹣a﹣500）＝（645﹣0.7a）（元）， 两天共付款：0.8a+645﹣0.7a＝（0.1a+645）元， 当a＝250元时，0.1a+645＝670元， 所以共节省：850﹣670＝180元． 答：两天购物王老师实际一共付款（0.1a+645）元，一共节省了180元． 【点评】本题考查了代数式的求值、列代数式，掌握要正确列代数式，只有分清数量之间的关系，表示超出的部分是解题关键． 【题型3 一元一次方程的压轴题】 1．（2023秋•太仓市期末）已知关于x的一元一次方程2x+10﹣3m＝0的解与关于x的一元一次方程1的解互为相反数，求代数式m﹣4n﹣1的值． 【分析】分别解方程，进而用m，n分别表示出x，再结合相反数的定义得出等式，将原式变形求出答案． 【解答】解：2x+10﹣3m＝0， 则2x＝3m﹣10， 解得：x， 1， 则3（x+1）+4（n+1）＝6， 故3x+3+4n+4＝6， 3x＝﹣1﹣4n， 解得：x， ∵关于x的一元一次方程2x+10﹣3m＝0的解与关于x的一元一次方程1的解互为相反数， ∴0， 去分母得：3（3m﹣10）﹣2（1+4n）＝0， 则9m﹣30﹣2﹣8n＝0， 故9m﹣8n＝32， 则m﹣4n﹣1（9m﹣8n）﹣1 32﹣1 ＝16﹣1 ＝15． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的解，正确解方程是解题关键． 2．已知关于x的一元一次方程10 （1）若该方程的解为x＝2，求m的值； （2）若该方程的解为正整数，求满足条件的所有整数m的值． 【分析】先判断出m≠1，再将方程化简为（1﹣m）x＝3， （1）将x＝2代入方程即可求出m的值， （2）将方程系数化为1，最后利用方程的解为正整数，即可得出结论． 【解答】解：∵关于x的一元一次方程10 ∴1﹣m≠0， ∴m≠1， 去分母得，3﹣x+mx＝0， 合并同类项得，（1﹣m）x＝3， （1）∵该方程的解为x＝2， ∴2（1﹣m）＝3， ∴m； （2）∵m≠1， ∴x， ∵该方程的解为正整数， ∴m﹣1＝﹣3或﹣1， ∴m＝﹣2或m＝0， 即：满足条件的所有整数m的值为﹣2或0． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的解法，方程整数解的特点，建立方程m﹣1＝﹣3或﹣1是解本题的关键． 3．现定义一种新运算“⊕”，规则如下：a⊕b＝ab+2a．如2⊕3＝2×3+2×2＝10，且在运算过程中，有括号的要先算括号里面的．请解答下列问题： （1）求3⊕（﹣1）的值； （2）求（﹣2）⊕[（﹣4）⊕]的值； （3）现改变上述运算规则：当a≥b时，a⊕b＝ab+2a，当a＜b时，a⊕b＝ab﹣2a．若4⊕x＝30，求x的值． 【分析】（1）根据a⊕b＝ab+2a，进行计算即可解答； （2）根据a⊕b＝ab+2a，进行计算即可解答； （3）分两种情况，当4≥x时，当4＜x时． 【解答】解：（1）3⊕（﹣1） ＝3×（﹣1）+2×3 ＝﹣3+6 ＝3； （2）（﹣2）⊕[（﹣4）⊕] ＝（﹣2）⊕[（﹣4）2×（﹣4）] ＝（﹣2）⊕（﹣10） ＝﹣2×（﹣10）+2×（﹣2） ＝20﹣4 ＝16； （3）分两种情况： 当4≥x时，4⊕x＝30， 4x+2×4＝30， 4x＝22， x（舍去）， 当4＜x时，4⊕x＝30， 4x﹣2×4＝30， 4x＝38， x， 综上所述：x的值为：． 【点评】本题考查了解一元一次方程，有理数的混合运算，理解材料中定义的新运算是解题的关键． 4．（2023春•巴中期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程2x﹣1＝3和x+1＝0为“美好方程”． （1）请判断方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是否互为“美好方程”； （2）若关于x的方程m＝0与方程3x﹣2＝x+4是“美好方程”，求m的值； （3）若关于x方程x﹣1＝0与x+1＝3x+k是“美好方程”，求关于y的方程（y+2）+1＝3y+k+6的解． 【分析】（1）分别求得两个方程的解，再利用“美好方程”的定义进行判断即可； （2）分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义列出关于m 的方程解答即可； （3）求得方程x﹣1＝0的解，利用“美好方程”的定义得到方程x+1＝3x+k的解，将关于y的方程（y+2）+1＝3y+k+6变形，利用同解方程的定义即可得到y+2的值，从而求得方程的解． 【解答】解：（1）方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是互为“美好方程”，理由： 解方程4x﹣（x+5）＝1得： x＝2， 方程﹣2y﹣y＝3的解为： y＝﹣1． ∵x+y＝2﹣1＝1， ∴方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是互为“美好方程”； （2）关于x的方程m＝0的解为：x＝﹣2m， 方程3x﹣2＝x+4的解为：x＝3， ∵关于x的方程m＝0与方程3x﹣2＝x+4是“美好方程”， ∴﹣2m+3＝1， ∴m＝1； （3）方程x﹣1＝0的解为：x＝2022， ∵关于x方程x﹣1＝0与x+1＝3x+k是“美好方程”， 方程x+1＝3x+k的解为：x＝﹣2021． ∵关于y的方程（y+2）+1＝3y+k+6就是：（y+2）+1＝3（y+2）+k， ∴y+2＝﹣2021， ∴y＝﹣2023． ∴关于y的方程（y+2）+1＝3y+k+6的解为：y＝﹣2023． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键． 5．（2023秋•碑林区校级期末）2021年是“12.9”运动86周年，汇川区各学校把“12.9”纪念活动作为学校爱国主义教育的重要活动列入德育计划，汇川区某中学12月9日，举行“壮阔百年路，奋斗新征程”纪念“一二▪九”歌咏比赛，七（1）、七（2）两班共100人准备统一购买服装（一人买一套）参加表演，其中七（1）班人数多于七（2）人数，服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至49套 50套至99套 100套及以上 每套服装的价格 70元 65元 60元 如果两班分别单独购买服装，一共应付6740元． （1）如果两班联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？ （2）七（1）、七（2）两班各有多少学生准备参加表演？（七（1）比七（2）班人数多） （3）如果七（1）有3名同学抽调去参加赛12.9歌咏比赛主持人，不能参加演出，那么你有几种购买方案，通过计算各种购买方案费用比较，你该如何购买服装才能最省钱？ 【分析】（1）利用节省的钱数＝分开单独购买服装所需费用﹣60×100，即可求出结论； （2）设七（1）有x（依题意50＜x＜99）名学生准备参加表演，则七（2）有（100﹣x）名学生准备参加表演，根据总价＝单价×数量结合两校分别单独购买服装共需6740元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）利用分类讨论的思想方法分三种情形解答：单独购买服装、联合购买（49+48）套服装以及联合购买100套服装，利用总价＝单价×数量可分别求出三种购买方案所需费用，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）6740﹣100×60 ＝6740﹣6000 ＝740（元）． 答：如果七（1）、七（2）两班联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省740元钱． （2）设七（1）班有x（依题意50＜x＜99）名学生准备参加表演，则七（2）班有（100﹣x）名学生准备参加表演， 依题意得：65x+70×（100﹣x）＝6740， 解得：x＝52， ∴100﹣x＝48． 答：七（1）班有52名学生准备参加表演，七（2）班有48名学生准备参加表演． （3）52﹣3＝49（人）． 方案一：各自购买服装需49×70+48×70＝6790（元）； 方案二：联合购买服装需（49+48）×65＝97×65＝6305（元）； 方案三：联合购买100套服装需100×60＝6000（元）． ∵6790＞6305＞6000， ∴应该七（1）、七（2）两班联合起来选择按60元每套一次购买100套服装最省钱． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 6．（2023秋•隆回县期末）国庆期间，某商场打出促销广告：顾客一次购物标价超过200元但不超过500元时，按九折付款，一次购物超过500元时，其中500元按九折付款，超过500元部分按八折付款；一次购物不超过200元时，按标价付款．按上述促销广告，回答下列问题： （1）若甲一次购买标价为x元的物品，当x超过200元，但不超过500元时，甲实际付款应为　 　元；当x超过500元时，甲实际付款应为 　 　元．（用含x的代数式表示） （2）若乙一次购买实际付款480元，则乙所购物品的标价是多少元？ （3）若丙前后进行了两次购物，两次所购物品的标价之和为1000元（第二次所购物品的标价高于第一次），两次实际付款886元，问丙第一次所购物品的标价是多少元？ 【分析】（1）根据给出的优惠办法，用含x的代数式表示出实际付款金额即可； （2）设乙所购物品的标价为y元，先求出购买原价为500元商品时实际付款金额，比较后可得出y＞500，结合（1）的结论即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）由第二次所购物品的原价高于第一次，可得出第二次所购物品的原价超过500元且第一次所购物品的原价低于500元，设丙第一次所购物品的原价是z元，则第二次所购物品的原价是（1000﹣z）元，分0＜z≤200、200＜z＜500两种情况列出关于z的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）当200＜x≤500时，实际付款0.9x元； 当x＞500时，实际付款500×0.9+0.8（x﹣500）＝（0.8x+50）元． 故答案为：0.9x；（0.8x+50）； （2）设乙所购物品的标价为y元，则y＞500， 由题意有0.8y+50＝480， 解得y＝537.5． 答：乙所购物品的标价为537.5元； （3）设丙第一次所购物品的标价为z元，则第二次所购物品的原价是（1000﹣z）元， 依题意知0＜z＜500， 当0＜z≤200时，丙第一次付款z元，第二次付款[0.8（1000﹣z）+50]元， 由题意有z+0.8（1000﹣z）+50＝886， 解得z＝180； 当200＜z＜500时，丙第一次付款0.9z元，第二次付款0.8（1000﹣z）+50元 由题意有0.9z+0.8（1000﹣z）+50＝886， 解得z＝360． 综上所述，丙第一次所购物品的标价为180元或360元． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用、列代数以及代数式求值，解题的关键是：（1）根据优惠政策，列出代数式；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）分0＜z≤200、200＜z＜500两种情况列出关于z的一元一次方程． 7．（2023秋•和平区期末）平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价90元，利润率为50%；乙种商品每件进价50元，售价80元 （1）甲种商品每件进价为 　 元，每件乙种商品利润率为 　 　． （2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2800元，求购进乙种商品多少件？ （3）在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于400元 不优惠 超过400元，但不超过600元 按售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打六折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？ 【分析】（1）设甲的进价为x元/件，根据甲的利润率为50%，求出x的值； （2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50﹣x）件，再由总进价是2800元，列出方程求解即可； （3）分两种情况讨论，①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，②打折前购物金额超过600元，分别列方程求解即可． 【解答】解：（1）设甲的进价为x元/件， 则（90﹣x）÷x＝50%， 解得：x＝60． 故甲的进价为60元/件； 乙商品的利润率为（80﹣50）÷50＝60%． 故答案为60，60% （2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50﹣x）件， 由题意得，60x+50（50﹣x）＝2800， 解得：x＝30． 即购进甲商品30件，乙商品20件． （3）设小华打折前应付款为y元， ①打折前购物金额超过400元，但不超过600元， 由题意得0.9y＝504， 解得：y＝560， 560÷80＝7（件）， ②打折前购物金额超过600元， 600×0.8+（y﹣600）×0.6＝504， 解得：y＝640， 640÷80＝8（件）， 综上可得小华在该商场购买乙种商品件7件或8件． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求解． 8．（2023秋•广州期末）在数轴上，点A在原点O的左侧，点B在原点O的右侧，点A距离原点12个单位长度，点B距离原点2个单位长度． （1）A点表示的数为 　 　，B点表示的数为 　 　，两点之间的距离为 　 　； （2）若点P为数轴上一点，且BP＝2，求AP的值； （3）若点P、Q、M同时向数轴负方向运动，点P从点A出发，点Q从原点出发，点M从点B出发，且点P的运动速度是每秒6个单位长度，点Q的运动速度是每秒8个单位长度，点M的运动速度是每秒2个单位长度．运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？ 【分析】（1）先由点A在原点的左边，距离原点12个单位长度确定点A对应的数是﹣12，同理可得点B表示的数，根据右边的数﹣左边的数＝两点的距离可得A，B两点的距离； （2）分点P在点B的左边和右边，根据线段的和差可得AP的长； （3）设移动的时间为t秒，分别表示三个动点P，Q，M表示的数，分四种情况讨论，列等式可解答． 【解答】解：（1）∵点A在原点的左边，距离原点12个单位长度， ∴点A对应的数是﹣12， 同理可得点B表示的数为2， ∴A，B两点之间的距离为：2﹣（﹣12）＝2+12＝14， 故答案为：﹣12，2，14； （2）分两种情况： ①当点P在点B的右边时，AP＝AB+BP＝14+2＝16； ②当点P在点B的左边时，AP＝AB﹣BP＝14﹣2＝12； 综上，AP的值是16或12； （3）设移动的时间为t秒，则动点P，Q，M对应的数分别为﹣12﹣6t，﹣8t，2﹣2t， 分三种情况： ①点Q是PM的中点时，PQ＝QM， ∴﹣8t﹣（﹣12﹣6t）＝2﹣2t﹣（﹣8t）， ∴t， 此时，点P表示的数为：﹣12﹣619.5， 点Q表示的数为：﹣810， 点M表示的数为：2﹣20.5． ②点P是QM的中点时，PQ＝MP， ∴﹣12﹣6t﹣（﹣8t）＝2﹣2t﹣（﹣12﹣6t）， ∴t＝﹣13（舍）， ③点M是PQ的中点时，因为点M的速度小，所以此种情况不存在． ④P与Q重合时，MQ＝MP， ﹣8t＝﹣12﹣6t， ∴t＝6； 这时三个点表示的数各是：﹣48，﹣48，﹣10． 【点评】此题重点考查解一元一次方程，列一元一次方程解应用题，数轴上的动点问题的求解等知识与方法，正确地用代数式表示移动过程中的点对应的数是解题的关键． 【题型4 走进几何世界的压轴题】 1．（2023秋•城关区校级期末）如图是由棱长都为1cm的6块小正方体组成的简单几何体． （1）请在方格中画出该几何体的三个视图． （2）如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加 　 　块小正方体， 【分析】（1）根据简单组合体三视图的画法画出相应的图形即可； （2）在俯视图上相应位置备注出相应摆放的数目即可． 【解答】解：（1）该几何体的主视图、左视图和俯视图如下： （2）在备注数字的位置加摆相应数量的小正方体， 所以最多可以添加2个， 故答案为：2． 【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是正确解答的前提． 2．（2023秋•紫金县期中）如图是一个大正方体切去一个小正方体组成的几何体． （1）下列三个图形中，从上面、左面、正面看到的平面图形分别是　 　、　 　、　 　； （2）若大正方体的棱长为20cm，小正方体的棱长为10cm，求这个几何体的表面积． 【分析】（1）根据从上面、左面、正面看到的三视图，可得答案． （2）依据三视图的面积，即可得到这个几何体的表面积． 【解答】解：（1）由题可得，从上面、左面、正面看到的平面图形分别是③，②，①； 故答案为：③，②，①； （2）∵大正方体的棱长为20cm，小正方体的棱长为10cm， ∴这个几何体的表面积为：2（400+400+400）＝2×1200＝2400（cm2）． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图以及几何体的表面积，画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图． 3．（2023秋•惠来县校级期中）已知一个长方体的长为1cm，宽为1cm，高为2cm，请求出： （1）长方体有 　 　条棱，　 个面； （2）长方体所有棱长的和； （3）长方体的表面积． 【分析】（1）根据长方体的特征即可求解； （2）根据长方体的棱长和公式即可求解； （3）根据长方体的表面积公式即可求解． 【解答】解：（1）长方体有12条棱，6个面； 故答案为：12，6； （2）（1+1+2）×4 ＝4×4 ＝16（cm）． 故长方体所有棱长的和是16cm； （3）（1×1+1×2+1×2）×2 ＝（1+2+2）×2 ＝5×2 ＝10（cm2）． 故长方体的表面积是10cm2． 【点评】考查了几何体的表面积，关键是熟练掌握长方体的特征，长方体的棱长和公式，长方体的表面积公式． 4．（2023秋•永安市期中）如图是一个几何体从三个方向看所得到的形状图． （1）写出这个几何体的名称； （2）画出它的一种表面展开图； （3）若从正面看的高为3cm，从上面看三角形的边长都为2cm，求这个几何体的侧面积． 【分析】（1）根据三视图，即可解决问题； （2）画出正三棱柱的侧面展开图即可； （3）侧面展开图是矩形，求出矩形的面积即可； 【解答】解：（1）几何体的名称是三棱柱； （2）表面展开图为： （3）3×6＝18cm2， ∴这个几何体的侧面积为18cm2 【点评】本题考查三视图、几何体的侧面展开图等知识，解题的关键是理解三视图、看懂三视图，属于中考常考题型． 【点评】本题考查简单组合体的三视图，画三视图时应注意“长对正，宽相等，高平齐”． 5．（2023秋•蓝田县月考）已知一个直棱柱有15条棱，且它的底面边长都相等． （1）该直棱柱是几棱柱？它有几个面？侧面是什么图形？ （2）用一个平面去截该直棱柱，截面形状可能是 　 　；（写出一种即可） （3）若该直棱柱的底面周长为20cm，侧棱长为8cm，求它的所有侧面的面积之和． 【分析】（1）根据n棱柱的棱的条数与n的关系即可得出答案； （2）根据截面所经过五棱柱的面数可得答案； （3）将这个直棱柱的5个侧面展开后，可以得到一个长为20cm，宽为8cm的长方形即可． 【解答】解：（1）由直n棱柱有3n条棱可知，有15条棱的直棱柱是15÷3＝5，五棱柱， 所以该直棱柱为五棱柱，它有7个面，侧面是长方形； （2）五边形（答案不唯一）； （3）直棱柱的5个侧面展开后，可以得到一个长为20cm，宽为8cm的长方形， 所以这个直棱柱的侧面积为20×8＝160（cm2）， 答：它的所有侧面的面积之和为 160cm2． 【点评】本题考查几何体的表面积以及截一个几何体，掌握截面的边数与直棱柱的面数之间的关系以及几何体表面积的计算方法是正确解答的关键． 6．（2023秋•揭西县月考）如图几何体是由若干棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），观察该图，探究其中的规律． （1）第1个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有　 　个．第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有　 　个． （2）求出第100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数． （3）求出前100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数的和． 【分析】（1）第1个几何体中最底层的4个角的小立方体只有2个面涂色；第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有5×4＝20个； （2）根据所给图形中只有2个面涂色的小立方体的块数得到第n个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数与4的倍数的关系即可； （3）根据（2）得到的规律，进行计算即可． 【解答】解：（1）观察图形可得第1个几何体中最底层的4个角的小立方体只有2个面涂色；第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有5×4＝20个． 故答案为：4，20； （2）观察图形可知：图①中，只有2个面涂色的小立方体共有4个； 图②中，只有2个面涂色的小立方体共有12个； 图③中，只有2个面涂色的小立方体共有20个． 4，12，20都是4的倍数，可分别写成4×1，4×3，4×5的形式， 因此，第n个图中两面涂色的小立方体共有4（2n﹣1）＝8n﹣4， 则第100个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有8×100﹣4＝796； （3）（8×1﹣4）+（8×2﹣4）+（8×3﹣4）+（8×4﹣4）+（8×5﹣4）+…+（8×100﹣4） ＝8（1+2+3+4+…+100）﹣100×4 ＝40000． 故前100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的个数的和为40000． 【点评】本题考查了认识立体图形，图形的变化规律；得到所求块数与4的倍数的关系是解决本题的关键． 7．（2024秋•和平区月考）如图，是一个六棱柱，它的底面边长都是6cm，高是4cm． （1）这个棱柱共有 　 　顶点； （2）这个棱柱共有 　 　条棱，所有棱长的和 　 m； （3）这个棱柱的侧面积是 　 　cm2． 【分析】（1）根据三条棱交于一点，可得棱柱的顶点； （2）根据六棱柱的特点，可得棱的条数，然后根据底面边长侧棱长可得棱长的和； （3）运用底面周长乘以高即可得到侧面积． 【解答】解：（1）∵上下两个底面各有6个顶点， ∴6+6＝12（个）， 答：这个棱柱共有12个顶点， 故答案为：12个； （2）∵上下两个底面各有6条棱，侧面6条棱， ∴6+6+6＝18（条）， ∴6×（6×2）+4×6＝72+24＝96（cm）， 答：这个棱柱共有18条棱，所有棱长的和是96cm， 故答案为：18，96； （3）∵6×6×4＝144（cm2）， 答：这个棱柱的侧面积是144cm2． 故答案为：144． 【点评】本题考查了认识立体图形．n棱柱的面是（n+2）个，侧面是n个，棱是3n条，顶点是2n个，熟练掌握是解决问题的关键． 8．（2024秋•沙坪坝区校级月考）综合与实践： 【提出问题】 有两个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是16cm、6cm、2cm，现要用这两个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？ 实践操作：我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有3种不同的摆放方式，如图所示： 【探究结论】 （1）请计算图1、图2、图3中的大长方体的长、宽、高及其表面积，并填充表格： 长（cm） 宽（cm） 高（cm） 表面积（cm2） 图1 16 6 　　 　　 图2 　　 6 2 　　 图3 16 　　 2 　　 完成表格，根据表格可知，表面积最小的是 　图1　所示的长方体．（填“图1”、“图2”、“图3”）． 【解决问题】 （2）现在有4个小长方体纸盒，每个的长、宽、高都分别是5cm、4cm、3cm，若用这4个长方体纸盒搭成一个大长方体，共有 　 　种不同的方式，搭成的大长方体的表面积最小为 　 cm2． 【分析】（1）根据长方体的表面积的计算方法分别计算即； （2）先画出不同的搭法，再利用长方体的表面积计算公式，求出各种搭法的表面积，取其中的最小值即可得出结论． 【解答】解：（1）图1中，长方体的高为4，表面积＝2×（16×6+16×4+4×6）＝368． 图2中，长为32，表面积＝2×（32×6+32×2+6×2）＝536． 图3中，宽为12，表面积＝2×（16×12+16×2+12×2）＝496． ∴图1的表面积最小． 长（cm） 宽（cm） 高（cm） 表面积（cm2） 图1 16 6 4 368 图2 32 6 2 536 图3 16 12 2 496 （2）解：共有6种搭法，可分为两类： 第一类有三种情况，表面积分别为：2×（4×5×3+4×5×4+4×3）＝304（cm2）； 2×（4×4×5+4×4×3+5×3）＝286（cm2）； 2×（3×4×5+3×4×4+5×4）＝256（cm2） 第二类有三种情况，表面积分别为：2×（3×2×5+4×2×3×2+4×2×5）＝236（cm2）； 2×（3×2×5×2+4×3×2+5×2×4）＝248（cm2）； 2×（3×2×5+4×2×3+4×2×5×2）＝268（cm2） ∴共有6种不同的方式搭成的大长方体的表面积最小为236cm2 【点评】本题考查了几何体的表面积，找出各种不同搭法是解题的关键． 【题型5 平面图形的初步认识压轴题】 1．（2023秋•晋州市期中）如图所示，点C在线段AB上，AB＝30cm，AC＝12cm，点M，N分别是AB，BC的中点． （1）求CN的长度； （2）求MN的长度； （3）若点P在直线AB上，且PA＝2cm，点Q为BP的中点，请直接写出QN的长度，不用说明理由． 【分析】（1）利用线段的和差关系可得BC＝18cm，然后利用线段的中点定义进行计算，即可解答； （2）利用线段的中点定义可得AM＝BM＝15cm，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答； （3）分两种情况：当点P在线段AB上时；当点P在线段BA的延长线上时；然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∵AB＝30cm，AC＝12cm， ∴BC＝AB﹣AC＝30﹣12＝18（cm）， ∵点N是BC的中点， ∴CN＝BNBC＝9（cm）， ∴CN的长为9cm； （2）∵点M是AB的中点， ∴AM＝BMAB＝15（cm）， ∵BN＝9cm， ∴MN＝BM﹣BN＝15﹣9＝6（cm）， ∴MN的长度为6cm； （3）QN的长度为5cm或7cm， 理由：分两种情况： 当点P在线段AB上时，如图： ∵PA＝2cm，AB＝30cm， ∴BP＝AB﹣AP＝30﹣2＝28（cm）， ∵点Q为BP的中点， ∴QBBP＝14（cm）， ∵BN＝9cm， ∴QN＝QB﹣BN＝5（cm）； 当点P在线段BA的延长线上时，如图： ∵PA＝2cm，AB＝30cm， ∴BP＝AB+AP＝30+2＝32（cm）， ∵点Q为BP的中点， ∴QBBP＝16（cm）， ∵BN＝9cm， ∴QN＝QB﹣BN＝7（cm）； 综上所述：QN的长度为5cm或7cm． 【点评】本题考查了两点间的距离，分两种情况讨论是解题的关键． 2．（2023秋•冷水滩区校级期末）已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B同时出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上） （1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝　　 ，DM＝　 　；（直接填空） （2）当点C、D运动了2s，求AC+MD的值； （3）若点C、D运动时，总有MD＝2AC，则AM＝　 （填空）； （4）在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值． 【分析】（1）根据运动速度和时间分别求得CM、BD的长，根据线段的和差计算可得； （2）由题意得CM＝2 cm、BD＝4 cm，根据AC+MD＝AM﹣CM+BM﹣BD＝AB﹣CM﹣BD可得答案； （3）根据C、D的运动速度知BD＝2MC，再由已知条件MD＝2AC求得MB＝2AM，所以AMAB； （4）分点N在线段AB上和点N在线段AB的延长线上分别求解可得． 【解答】解：（1）根据题意知，CM＝2cm，BD＝4cm， ∵AB＝12cm，AM＝4cm， ∴BM＝8cm， ∴AC＝AM﹣CM＝2cm，DM＝BM﹣BD＝4cm， 故答案为：2cm，4cm； （2）当点C、D运动了2 s时，CM＝2cm，BD＝4cm， ∵AB＝12cm，CM＝2cm，BD＝4cm， ∴AC+MD＝AM﹣CM+BM﹣BD＝AB﹣CM﹣BD＝12﹣2﹣4＝6（cm）； （3）根据C、D的运动速度知：BD＝2MC， ∵MD＝2AC， ∴BD+MD＝2（MC+AC），即MB＝2AM， ∵AM+BM＝AB， ∴AM+2AM＝AB， ∴AMAB＝4cm， 故答案为：4cm； （4）①当点N在线段AB上时，如图1， ∵AN﹣BN＝MN， 又∵AN﹣AM＝MN， ∴BN＝AM＝4， ∴MN＝AB﹣AM﹣BN＝12﹣4﹣4＝4， ∴； ②当点N在线段AB的延长线上时，如图2， ∵AN﹣BN＝MN， 又∵AN﹣BN＝AB， ∴MN＝AB＝12， ∴1； 综上所述或1． 【点评】本题考查了两点间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点． 3．（2023秋•绥宁县期末）已知点O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，并在∠MON内部作射线OC，OC平分∠MOB． （1）若∠CON＝20°，求∠AOM的度数． （2）若∠BON＝2∠NOC，求∠AOM的度数． （3）试猜想∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）由∠CON＝20°得∠MOC＝70°，再由OC平分∠MOB得∠MOB＝140°，最后由∠AOM+∠BOM＝180°计算即可得到答案； （2）由∠BON＝2∠NOC，OC平分∠MOB得∠MOC＝∠BOC＝3∠NOC，由∠MOC+∠NOC＝∠MON＝90°得4∠NOC＝90°，再由∠AOM＝180°﹣∠MON﹣∠BON计算即可得到答案； （3）令∠NOC＝α，∠AOM＝β，则∠MOC＝90°﹣α，由∠AOM+∠MOC+∠BOC＝180°得β+90°﹣α+90°﹣α＝180°，从而得到β﹣2α＝0，即可得到答案． 【解答】解：（1）∵∠CON＝20°， ∴∠MOC＝∠MON﹣∠CON＝90°﹣20°＝70°， ∵OC平分∠MOB， ∴∠COM＝∠COB＝70°， ∴∠MOB＝∠MOC+∠BOC＝140°， ∴∠AOM＝180°﹣∠MOB＝180°﹣140°＝40°， ∴∠AOM的度数为40°； （2）∵∠BON＝2∠NOC，OC平分∠MOB， ∴∠MOC＝∠BOC＝3∠NOC， ∵∠MOC+∠NOC＝∠MON＝90°， ∴3∠NOC+∠NOC＝90°， ∴4∠NOC＝90°， ∴∠BON＝2∠NOC＝45°， ∴∠AOM＝180°﹣∠MON﹣∠BON＝180°﹣90°﹣45°＝45°， ∴∠AOM的度数为45°； （3）∠AOM＝2∠NOC， 令∠NOC＝α，∠AOM＝β，则∠MOC＝90°﹣α， ∵∠AOM+∠MOC+∠BOC＝180°， ∴β+90°﹣α+90°﹣α＝180°， ∴β﹣2α＝0，即β＝2α， ∴∠AOM＝2∠NOC． 【点评】本题考查了角平分线的意义，互余、互补的意义，正确表示各个角，理清各个角之间的关系是得出正确结论的关键． 4．（2023秋•思明区校级期末）已知，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC． （1）如图1，若∠AOC＝40°，∠DOE＝　 　°． （2）将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置． ①探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②在∠AOC的内部有一条射线OM，满足：4∠BOE﹣∠AOC＝﹣3∠AOM，试确定∠AOM与∠DOE的度数之间的关系，说明理由． 【分析】（1）利用角平分线的定义和角的和差的意义解答即可； （2）类比（1）的方法解答即可； （3）①设∠AOC＝α，则∠BOC＝180°﹣α，类比（1）的方法解答即可； ②设∠AOC＝α，则∠BOC＝180°﹣α，利用角平分线的定义将已知条件适当变形得到120°﹣α＝﹣∠AOM，再将①的结论代入即可． 【解答】解：（1）∵∠AOC＝40°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝140°． ∵OE平分∠BOC， ∴∠COE∠BOC＝70°． ∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣70°＝20°； （2）∠DOEα．理由： ∵∠AOC＝α， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣α． ∵OE平分∠BOC， ∴∠COE∠BOC＝90°α． ∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣（90°α）α； （3）①∠AOC＝2DOE，理由： 设∠AOC＝α，则∠BOC＝180°﹣α． ∵OE平分∠BOC， ∴∠COE∠BOC＝90°α． ∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣（90°α）α． ∴∠AOC＝2∠DOE． ②∠AOM＝2∠DOE﹣120°．理由： 设∠AOC＝α，则∠BOC＝180°﹣α． ∵OE平分∠BOC， ∴∠BOE∠BOC＝90°α． ∴4∠BOE＝2∠BOC＝360°﹣2α． ∵4∠BOE﹣∠AOC＝﹣3∠AOM， ∴360°﹣3α＝﹣3∠AOM． ∴120°﹣α＝﹣∠AOM． 由①知：∠AOC＝2∠DOE， ∴2∠DOE＝α． ∴∠AOM＝2∠DOE﹣120°． 【点评】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，平角的意义，利用类比的方法解答是解题的关键． 5．（2023秋•罗湖区期末）如图①，直线AB与直线CD相交于点O，∠COE＝90°，过点O作射线OF． （1）若射线OF平分∠AOC且∠BOF＝130°，求∠BOE的度数； （2）若将图①中的直线CD绕点O逆时针旋转至图②，∠COE＝90°，当射线OE平分∠BOF时，射线OC是否平分∠AOF，请说明理由； （3）若∠BOE＝20°，∠BOF＝130°，将图①中的直线CD绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转α度（0°＜α＜180°），∠COE始终保持为90°，设旋转的时间为t秒，当∠AOC+∠EOF＝90°时，求t的值． 【分析】（1）根据角平分线的定义以及余角和补角进行角的和、差运算即可； （2）根据∠COE＝∠COF+∠FOE＝90°，则∠AOC+∠EOB＝90°，再根据当射线OE平分∠BOF，得出结论； （3）现根据题意求出∠AOC＝110°，然后分0＜t≤22，22＜t≤30和30＜t＜36三种情况讨论即可． 【解答】解：（1）∵∠BOF＝130°， ∴∠AOF＝50° ∵射线OF平分∠AOC， ∴∠AOF＝∠FOC＝50°， ∴∠COB＝80°， ∵∠COE＝∠COB+∠BOE＝90°， ∴∠BOE＝90°﹣80°＝10°； （2）射线OC平分∠AOF，理由如下： ∵∠COE＝∠COF+∠FOE＝90°， ∴∠AOC+∠EOB＝90°， ∴∠COF+∠FOE＝∠AOC+∠EOB， ∵OE平分∠FOB， ∴∠FOE＝∠EOB， ∴∠AOC＝∠COF， 即射线OC平分∠AOF； （3）∵∠BOE＝20°且∠BOF＝130°， ∴∠EOF＝150°， 又∵∠COE＝90°， ∴∠BOC＝70°， ∴∠AOC＝110°， ①当0＜t≤22时， ∵直线CD绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转， ∴∠AOC＝110°﹣5t，∠EOF＝150°﹣5t， ∵∠AOC+∠EOF＝90°， ∴110﹣5t+150﹣5t＝90， 解得t＝17， ②当22＜t≤30时， ∵直线CD绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转， ∴∠AOC＝5t﹣110°，∠EOF＝150°﹣5t， ∵∠AOC+∠EOF＝90°， ∴5t﹣110+150﹣5t＝90， 40＝90， 此时无解， ③当30＜t＜36时， ∵直线CD绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转， ∴∠AOC＝5t﹣110°，∠EOF＝5t﹣150°， ∵∠AOC+∠EOF＝90°， ∴5t﹣110+5t﹣150＝90， 解得t＝35， 综上所述，当∠AOC+∠EOF＝90°时，t＝17或t＝35． 【点评】本题考查一元一次方程的应用以及角平分线的定义、余角补角的定义，解决本题的关键是掌根据题中的等量关系列出方程． 6．（2023秋•武侯区校级期末）已知b是最小的正整数，a，b满足（c﹣5）2+|a+b|＝0，且a，b，c分别对应数轴上的点A，B，C． （1）请直接写出a，b，c的值：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 ． （2）若点P为一动点，从点A出发以每秒2个单位长度的速度向右运动，则点P运动几秒后，点P到点A的距离是点P到点C的距离的2倍？ （3）点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．假设运动时间为t s，BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【分析】（1）利用非负数的性质，数轴上的点表示数的特点，计算并判断出a、b、c的值； （2）根据题意分情况列方程，求解即可； （3）根据题意求出BC、AB的代数式，再相减，判断结果与t有无关系． 【解答】解：（1）∵b是最小的正整数，a，b满足（c﹣5）2+|a+b|＝0， ∴b＝1， c﹣5＝0，c＝5， |a+b|＝0，a+1＝0，a＝﹣1， 故答案为：﹣1，1，5； （2）由图可知：AC＝5﹣（﹣1）＝6， 设点P运动x秒后，点P到点A的距离是点P到点C的距离的2倍， 情况一，PA＝2PC，P点在A点与C点之间，此时 2x＝2×（6﹣2x）， x＝2， 情况二，PA＝2PC，P点在C点右边，此时 2x＝2（2x﹣6）， x＝6， ∴当点P运动2秒或6秒后，点P到点A的距离是点P到点C的距离的2倍； （3）根据题意可知， AB＝1﹣（﹣1）+（2+1）t＝3t+2， BC＝（5﹣1）﹣2t+5t＝3t+4， BC﹣AB ＝（3t+4）﹣（3t+2） ＝3t+4﹣3t﹣2 ＝2， ∵BC﹣AB＝2，，结果2与t无关， ∴BC﹣AB的值不随时间t的变化而改变，BC﹣AB＝2． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，非负数的性质，数轴知识，解题的关键是读懂题意，能根据题意分情况列一元一次方程，利用非负数的性质列等式． 7．（2023秋•关岭县期末）将一段长为60cm的绳子AB拉直铺平，沿点M，N折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），设点A，B分别落在点A'，B'处． （1）如图1，当点A'，B'恰好重合时，MN的长为 　 　cm； （2）如图2，若点A'落在点B'的左侧，且A'B'＝20cm，求MN的长； （3）若A'B'＝n cm，请直接写出MN的长．（用含n的式子表示） 【分析】（1）因为点A'，B'恰好重合，所以MN＝A′M+B′N（AA′+BB′）AB，已知AB＝60cm，可得MN的长； （2）已知A'B'＝20cm，AB＝60cm，可得AA′+BB′的长，又因MN＝MA′+A′B′+B′N＝A′B′（AA′+BB′），可得MN的长； （3）分点A′落在点B′的左侧、点A′落在点B′的右侧两种情况讨论． 【解答】解：（1）∵点A'，B'恰好重合， ∴MN＝A′M+B′N（AA′+BB′）AB， ∵AB＝60cm， ∴MN＝30cm， 故答案为：30； （2）∵A'B'＝20cm，AB＝60cm， ∴AA′+BB′＝40（cm）， ∵MN＝MA′+A′B′+B′N＝A′B′（AA′+BB′）， ∴MN＝40cm； （3）①当点A′落在点B′的左侧时， ， ∵A'B'＝n cm，AB＝60cm， ∴AA′+BB′＝（60﹣n）cm， ∵MN＝MA′+A′B′+B′N＝A′B′（AA′+BB′）， ∴MN＝（30n）cm， ②当点A′落在点B′的右侧时， ， ∵AA′+BB′＝AB+A′B′，A'B'＝n cm，AB＝60cm， ∴AA′+BB′＝（60+n）cm， ∵MN＝MA′+B′N﹣A′B′（AA′+BB′）﹣A′B′， ∴MN＝（30n）cm， 综上，MN＝（30n）cm或MN＝（30n）cm． 【点评】本题考查了两点间的距离，关键是注意分类讨论． 8．已知：∠AOB和∠COD是直角． （1）如图1，当射线OB在∠COD内部时，请探究∠AOD和∠BOC之间的关系； （2）如图2，当射线OA，射线OB都在∠COD外部时，过点O作射线OE，射线OF，满足∠BOE∠BOC，∠DOF∠AOD，求∠EOF的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，在平面内是否存在射线OG，使得∠GOF：∠GOE＝2：3，若不存在，请说明理由，若存在，求出∠GOF的度数． 【分析】（1）根据已知条件，∠AOB和∠COD是直角，可得出∠BOD和∠AOC与∠BOC的关系式，再根据∠AOC与∠AOB和∠BOD列出等量关系，即可得出答案； （2）根据已知条件∠BOE∠BOC，可设∠BOE＝a，则∠BOC＝3a，再根据周角的关系可得到∠AOD的等量关系，再根据∠DOF∠AOD，可得到∠AOF的等量关系式，由∠BOE、∠AOB和∠∠AOF可列出等量关系，即可得到答案； （3）分两种情况，①当射线OG在∠EOF内部时，由∠GOF：∠GOE＝2：3，可得出结果，当射线OG在∠EOF外部时，由∠GOF：∠GOE＝2：3，可得出结果． 【解答】（1）∠AOD+∠BOC＝180°． 证明：∵∠AOB和∠COD是直角， ∴∠AOB＝∠COD＝90°， ∵∠BOD+∠BOC＝∠COD， ∴∠BOD＝90°﹣∠BOC， 同理：∠AOC＝90°﹣∠BOC， ∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝90°+90°﹣∠BOC＝180°﹣∠BOC， ∴∠AOD+∠BOC＝180°； （2）解：设∠BOE＝a，则∠BOC＝3a， ∵∠BOE+∠EOC＝∠BOC， ∴∠EOC＝∠BOC﹣∠BOE＝2a， ∵∠AOD+∠COD+∠BOC+∠AOB＝360°， ∴∠AOD＝360°﹣∠COD﹣∠BOC﹣∠AOB ＝360°﹣90°﹣3a﹣90°＝180°﹣3a， ∵∠DOF∠AOD， ∴∠DOF（180°﹣3a）＝120°﹣2a， ∴∠AOF∠AOD（180°﹣3a）＝60°﹣a， ∴∠EOF＝∠BOE+∠AOB+∠AOF＝a+90°+60°﹣a＝150°， ∠EOF的度数为150°； （3）①当射线OG在∠EOF内部时， ∴∠GOF：∠GOE＝2：3， ∴∠GOF （∠GOF+∠GOE）∠EOF150°＝60°； ②当射线OG在∠EOF外部时， ∵∠GOF：∠GOE＝2：3， ∴∠GOF （∠GOF+∠GOE） ∠EOF （∠DOF+∠COD+∠EOC） （120°﹣2a+90°+2a） ＝84°． 综上所述，∠GOF 的度数是60°或84°． 【点评】本题主要考查角的计算，根据题意列出相应的等量关系是解决本题的关键． 9．（2024春•金寨县期末）【问题背景】同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． 【问题解决】（1）如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接AE、CE．若∠A＝42°，∠C＝28°．则∠AEC＝　 　． 【问题探究】（2）如图2，AB∥CD，线段AD与线段BC交于点E，∠A＝36°，∠C＝54°，EF平分∠BED，求∠BEF的度数． 【问题拓展】（3）如图3．AB∥CD，线段AD与线段BC相交于点G，∠BCD＝56°，∠GDE＝20°，过点D作DF∥CB交直线AB于点F，AE平分∠BAD，DG平分∠CDF，求∠AED的度数． 【分析】（1）延长CE交AB于点F，利用平行线的性质可得∠AFC＝28°，然后再利用三角形的外角可得∠AEC＝∠A+∠C，进行计算即可解答； （2）利用猪蹄模型可得：∠AEC＝∠A+∠C＝90°，再利用对顶角相等可得∠BED＝90°，然后利用角平分线的定义进行计算即可解答； （3）利用平行线的性质可求出∠CDF的度数，从而利用角平分线的定义求出∠CDG的度数，进而利用平行线的性质可求出∠BAD的度数，然后根据角平分线的定义求出∠BAE的度数，再利用平角定义求出∠EDH的度数，最后根据猪蹄模型可得∠AED＝∠BAE+∠EDH，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）延长CE交AB于点F， ∵AB∥CD， ∴∠AFC＝∠C＝28°， ∵∠AEC是△AEF的一个外角， ∴∠AEC＝∠A+∠AFC＝∠A+∠C＝70°， 故答案为：70°； （2）利用（1）的结论可得： ∠AEC＝∠A+∠C＝36°+54°＝90°， ∴∠AEC＝∠BED＝90°， ∵EF平分∠BED， ∴∠BEF∠BED＝45°， ∴∠BEF的度数为45°； （3）∵BC∥DF， ∴∠CDF＝180°﹣∠BCD＝124°， ∵DG平分∠CDF， ∴∠CDG∠CDF＝62°， ∵AB∥CD， ∴∠BAG＝∠CDG＝62°， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE∠BAD＝31°， ∵∠GDE＝20°， ∴∠EDH＝180°﹣∠CDG﹣∠GDE＝98°， 利用（1）的结论可得： ∠AED＝∠BAE+∠EDH＝31°+98°＝129°， ∴∠AED的度数为129°． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握猪蹄模型是解题的关键． 10．（2024春•西安期中）如图，已知AB∥CD，E、F分别在AB、CD上，点P在AB、CD之间，连接PE、PF． （1）如图1，若∠AEP＝50°，∠CFP＝20°，则∠EPF＝　70°　； （2）如图2，点G是AB、CD之间另外一点，∠BEG＝40°且EP平分∠BEG，FP平分∠DFG． ①若GE⊥GF，求∠P的度数； ②如图3，在CD的下方有一点Q，EG平分∠BEQ，FD平分∠GFQ，求∠Q+2∠P 的度数． 【分析】（1）过点P作PM∥AB，则∠AEP＝∠EPM，再根据平行得出∠MPF＝∠PFC，进而得出答案； （2）①分别过点G、P作GN∥AB，PM∥AB，根据平行线的性质与判定以及角平分线的定义，可得∠EPE（∠BEG+∠GFD）∠EGF，进而得出答案； ②分别过点G，P作GN∥AB，PM∥AB，过点Q作QK∥CD，根据平行线的性质与判定以及角平分线的定义，可得∠FQE＝80°﹣α，由（1）可得∠EGF＝2∠EPF＝∠BEG+∠GFD＝40°+α，即可求解． 【解答】解：（1）过点P作PM∥AB， ∴∠AEP＝∠EPM， ∵AB∥CD， ∴PM∥CD， ∴∠MPF＝∠PFC， ∴∠AEP+∠PFC＝∠EPM+∠MPF， ∴∠EPF＝∠AEP+∠PFC＝50°+20°＝70°． 故答案为：70． （2）①如图，分别过点G、P作GN∥AB，PM∥AB， ∵AB∥CD， ∴．AB∥CD∥GN∥PM， ∴∠BEG＝∠EGN，∠BEP＝EPM， ∠NGF＝∠GFD，∠MPF＝∠PFD， ∴∠EGF＝∠EGN+∠NGF＝∠BEG+∠GFD，∠EPF＝∠EPM+∠MPF＝∠BEP+∠PFD， ∵EG⊥FG， ∴∠EGF＝90°， ∵EP平分∠BEG，FP平分∠DFG， ∴∠BEP∠BEG，∠PFDDFG， ∠EPE（∠BEG+∠GFD）∠EGF＝45°， ∴∠P＝45°． ②如图，分别过点G，P作GN∥AB，PM∥AB，过点Q作QK∥CD， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥GN∥PM， ∴∠BEG＝∠EGN，∠BEP＝∠EPM，∠NGF＝∠GFD，∠MPF＝∠PFD， ∴∠EGF＝∠EGN+∠NGF＝∠BEG+∠GFD， ∠EPF＝∠EPM+∠MPF＝∠BEP+∠PFD， ∵EP平分∠BEG，FP平分∠DFG， ∴∠BEP∠BEG，∠PFD∠DFG， ∴∠EPF（∠BEG+∠GFD）∠EGF， ∵∠BEG＝40°，EG平分∠BEQ，FD平分∠GFQ， ∴∠GEQ＝∠BEG＝40°，∠GFD＝∠QFD， 设∠GFD＝∠QFD＝α， ∵QK∥CD，AB∥CD， ∴QK∥AB， ∴∠EQK＝∠BEQ＝2∠BEG＝80°，∠FQK＝∠QFD， 设∠FQK＝∠QFD＝α， ∴∠FQE＝80°﹣α， ∵∠EPFEGF， ∴∠EGF＝2∠EPF＝∠BEG+∠GFD＝40°+α， ∴∠FQE+2∠P＝80°﹣α+40°+α＝120°． 【点评】本题主要考查平行线的性质和垂线，作出辅助线是解题的关键． 1．（2023•天山区校级开学）某电动车厂一周计划生产2100辆电动车，平均每天计划生产300辆，由于各种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入．如表是某周的生产情况（超产为正减产为负）． （1）根据记录可知本周前三天共生产电动车多少辆？ （2）本周产量最多的一天比产量最少的一天多生产电动车多少辆？ （3）该厂实行每周计件工资制，每生产一辆电动车可得a元，若超额完成，则超额部分每辆再奖b元（b＜a），少生产一辆扣b元，求该厂工人这一周的工资总额． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减情况 +5 ﹣2 ﹣4 +13 ﹣10 +16 ﹣9 【分析】（1）表示出三天的每一天生产的数量相加即可； （2）比较7个数据的大小，用最大的数据减去最小的数据即可； （3）算出一周的生产的总数量，与一周的计划产量相比写出代数式即可． 【解答】解：（1）300×3+[（+5）+（﹣2）+（﹣4）] ＝900﹣1 ＝899（辆）； 答：本周前三天共生产电动车899辆． （2）（+16）﹣（﹣10） ＝26（辆）； 答：本周产量最多的一天比产量最少的一天多生产电动车26辆； （3）300×7+[（+5）+（﹣2）+（﹣4）+（+13）+（﹣10）+（+16）+（﹣9）] ＝2100+9 ＝2109（辆）； 这一周的工资总额为（2109a+9b）元． 【点评】此题考查正负数的运用及列代数式的知识，根据题意正确理解，选择合理的解答方法即可． 2．（2023秋•普宁市期末）阅读材料：我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x，类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把（a﹣b）2看成一个整体，合并3（a﹣b）2﹣6（a﹣b）2+2（a﹣b）2的结果是 　 　． （2）已知x2﹣2y＝4，求3x2﹣6y﹣21的值； 拓展探索： （3）已知a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝10，求（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）的值． 【分析】（1）利用整体思想，把（a﹣b）2看成一个整体，合并3（a﹣b）2﹣6（a﹣b）2+2（a﹣b）2即可得到结果； （2）原式可化为3（x2﹣2y）﹣21，把x2﹣2y＝4整体代入即可； （3）依据a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝10，即可得到a﹣c＝﹣2，2b﹣d＝5，整体代入进行计算即可． 【解答】解：（1）∵3（a﹣b）2﹣6（a﹣b）2+2（a﹣b）2＝（3﹣6+2）（a﹣b）2＝﹣（a﹣b）2； 故答案为：﹣（a﹣b）2； （2）∵x2﹣2y＝4， ∴原式＝3（x2﹣2y）﹣21＝12﹣21＝﹣9； （3）∵a﹣2b＝3①，2b﹣c＝﹣5②，c﹣d＝10③， 由①+②可得a﹣c＝﹣2， 由②+③可得2b﹣d＝5， ∴原式＝﹣2+5﹣（﹣5）＝8． 【点评】本题主要考查了整式的化简求值问题，整体代入法是解决代数式求值问题的常用方法． 3．滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如表． 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 1.8元/公里 0.45元/分 0.4元/公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.4元． （1）若小东乘坐滴滴快车，行车里程为20公里，行车时间为30分，则需付车费　 元． （2）若小明乘坐滴滴快车，行车里程为a公里，行车时间为b分，则小明应付车费多少元（用含a，b的代数式表示，并化简）？ （3）小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为9.5公里与14.5公里．如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差多少分？ 【分析】（1）1.8×20+0.45×30+0.4×（20﹣10）＝53.5元； （2）当a≤10时，小明应付车费（1.8a+0.45b）元；当a＞10时，小明应付车费：[1.8a+0.45b+0.4×（a﹣10）]＝（2.2a+0.45b﹣4）元； （3）设小王与小张乘坐滴滴快车行车时间分别为x分、y分，则9.5×1.8+0.45x＝14.5×1.8+0.45y+（14.5﹣10）×0.4，得出x﹣y＝24，即可得出结果． 【解答】解：（1）小东需付车费：1.8×20+0.45×30+0.4×（20﹣10）＝36+13.5+4＝53.5（元）， 故答案为：53.5； （2）当a≤10时，小明应付车费：（1.8a+0.45b）元； 当a＞10时，小明应付车费：[1.8a+0.45b+0.4×（a﹣10）]＝[1.8a+0.45b+0.4a﹣4）]＝（2.2a+0.45b﹣4）元； （3）设小王与小张乘坐滴滴快车行车时间分别为x分、y分， 由题意得：9.5×1.8+0.45x＝14.5×1.8+0.45y+（14.5﹣10）×0.4 整理得：0.45x﹣0.45y＝10.8 ∴x﹣y＝24， ∴这两辆滴滴快车的行车时间相差24分． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用、分类讨论等知识；正确理解题意，列出方程是解题的关键． 4．（2023秋•新会区校级期中）如图，若点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，且a，b满足|a+2|+（b﹣1）2＝0．点A与点B之间的距离表示为AB＝|a﹣b|（以下类同）． （1）求AB的长； （2）若点C在数轴上对应的数为，在数轴上是否存在点P，使得PA+PB＝PC？若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由； （3）在（1）、（2）的条件下，点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和C分别以每秒4单位长度和9个单位长度的速度向右运动，经过t秒后，请问：AB﹣BC的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其常数值． 【分析】（1）利用几个非负数的和为零，这几个数都为零，可以确定a，b的值，根据已知的关系式可求AB； （2）根据已知条件中表示两点距离的方法，设出P点代表的数字，求出对应的PA，PB，PC，代入关系式PA+PB＝PC即可求出点P对应的数； （3）由于运动时间为t秒，A，B，C的运动方向和运动速度已知，利用路程＝速度×时间易求运动后AB与BC的值，计算出AB﹣BC的值，再与运动前AB﹣BC的值比较即可得出结论，进而求出这个常数值． 【解答】解：（1）∵|a+2|+（b﹣1）2＝0， 又∵|a+2|≥0，（b﹣1）2≥0， ∴a+2＝0，b﹣1＝0． ∴a＝﹣2，b＝1． ∵点A与点B之间的距离表示为AB＝|a﹣b|， ∴AB＝|﹣2﹣1|＝3． 答：AB的长为3． （2）存在点P，使得PA+PB＝PC． 设点P对应的数为x， 当点P在点A的左侧时，即x＜﹣2， ∴PA＝|﹣2﹣x|＝﹣2﹣x， PB＝|1﹣x|＝1﹣x， PC＝|x|x． ∵PA+PB＝PC， ∴﹣2﹣x+1﹣xx． 解得：x． 当点P在点A的右侧，点B的左侧时，即﹣2＜x＜1， ∴PA＝|﹣2﹣x|＝x+2， PB＝|1﹣x|＝1﹣x， PC＝|x|x． ∴x+2+1﹣xx． 解得：x． 当点P在点B 的右侧时，PA+PB＞PC，不合题意． 综上，点P对应的数为或． （3）AB﹣BC的值不随着时间t的变化而改变． 由（1）知：AB＝3， 由（2）知：BC1， ∴AB﹣BC． ∵点A以每秒1个单位长度的速度向左运动， 同时，点B以每秒4单位长度的速度向右运动， ∴AB＝t+3+4t＝5t+3． ∵点B和C分别以每秒4单位长度和9个单位长度的速度向右运动， ∴BC＝（9﹣4）t+（1）＝5t． ∴AB﹣BC＝（5t+3）﹣（5t）． ∴AB﹣BC的值不随着时间t的变化而改变． 这个常数值为． 【点评】利用数轴上的点所代表的数字之差的绝对值来表示两点之间的距离，在依据数字的大小去掉绝对值符号，结合已知条件列出方程，可以解决相关问题． 5．（2023春•临海市月考）如图，直线CD，EF相交于点O，射线OA在∠COF的内部，∠DOF∠AOD． （1）如图1，若∠AOC＝120°，求∠EOC的度数； （2）如图2，若∠AOC＝α（60°＜α＜180°），将射线OA绕点O逆时针旋转60°，到OB， ①求∠EOB的度数（用含α的式子表示）； ②观察①中的结果，直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系． （3）如图3，0°＜∠AOC＜120°，将射线OA绕点O顺时针旋转60°，到OB，请直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系． 【分析】（1）根据补角的定义求出∠AOD，结合已知求出∠DOF，然后根据对顶角相等得出答案； （2）①根据补角的定义求出∠AOD，结合已知求出∠DOF，然后根据对顶角相等求出∠EOC，再根据∠BOC＝α﹣60°，求出∠EOB的度数即可；②根据题意结合补角的定义求出∠AOD＝180°﹣∠AOC，∠BOC＝∠AOC﹣60°，然后可得∠DOF∠AOD＝60°∠AOC，再根据对顶角相等计算得出答案； （3）分情况讨论：①当0°＜∠AOC≤90°时，根据题意结合补角的定义求出∠AOD＝180°﹣∠AOC，∠BOC＝∠AOC+60°，然后可得∠DOF∠AOD＝60°∠AOC，再根据对顶角相等计算得出答案；②当90°＜∠AOC≤120°时，根据题意结合补角的定义求出∠AOD＝180°﹣∠AOC，∠BOC＝∠AOC+60°，然后可得∠DOF∠AOD＝60°∠AOC，再根据对顶角相等计算得出∠EOC+∠BOC∠AOC+120°，最后根据周角的定义计算得出答案． 【解答】解：（1）∵∠AOC＝120°， ∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣120°＝60°， ∴∠DOF∠AOD＝20°， ∴∠EOC＝∠DOF＝20°； （2）①∵∠AOC＝α， ∴∠AOD＝180°﹣α， ∴∠DOF∠AOD＝60°， ∴∠EOC＝∠DOF＝60°， 由题意得：∠AOB＝60°， ∴∠BOC＝α﹣60°， ∴∠EOB＝∠EOC+∠BOC＝60°α﹣60°； ②观察①中结果可得：∠EOB， 证明：∵∠AOD＝180°﹣∠AOC，∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝∠AOC﹣60°， ∴∠DOF∠AOD＝60°∠AOC， ∴∠EOC＝∠DOF＝60°∠AOC， ∴∠EOB＝∠EOC+∠BOC＝60°∠AOC+∠AOC﹣60°∠AOC； （3）①当0°＜∠AOC≤90°时， 如图， ∵∠AOD＝180°﹣∠AOC，∠BOC＝∠AOC+∠AOB＝∠AOC+60°， ∴∠DOF∠AOD＝60°∠AOC， ∴∠EOC＝∠DOF＝60°∠AOC， ∴∠EOB＝∠EOC+∠BOC＝60°∠AOC+∠AOC+60°∠AOC+120°； ②当90°＜∠AOC≤120°时， 如图， ∵∠AOD＝180°﹣∠AOC，∠BOC＝∠AOC+∠AOB＝∠AOC+60°， ∴∠DOF∠AOD＝60°∠AOC， ∴∠EOC＝∠DOF＝60°∠AOC， ∴∠EOC+∠BOC＝60°∠AOC+∠AOC+60°∠AOC+120°， ∴∠EOB＝360°﹣（∠EOC+∠BOC）＝360°∠AOC﹣120°＝240°∠AOC． 【点评】本题考查了补角的定义，角的和差计算，对顶角相等，理清各角之间的关系是解题的关键． 6．（2023秋•宽城区期末）如图AB⊥MN于点O，射线OC，OE的方向如各图所示，∠COE＝90°． （1）如图①，若∠AOE＝20°，求∠CON的度数； （2）如图②，射线OF平分∠COM．若∠AOF＝25°，求∠EOF，∠CON的度数； （3）如图③，射线OF仍然平分∠COM，若∠AOF＝β，直接用含β的代数式表示∠EOF，∠CON的度数． 【分析】（1）根据AB⊥MN，∠COE＝90°，运用角互余的关系即可求解； （2）根据AB⊥MN，∠MOF＝∠AOM﹣∠AOF可得∠MOF，根据OF平分∠COM，∠COE＝90°，及角的互余、互补关系即可求解； （3）根据AB⊥MN，可得∠MOF＝90°﹣β，OF平分∠COM，可得∠COM，再根据角的互余、互补即可求解． 【解答】解：（1）∵AB⊥MN， ∴∠AON＝∠BON＝90°， ∵∠EON＝∠AON﹣∠AOE，且∠AOE＝20°， ∴∠EON＝90°﹣20°＝70°， ∵∠CON＝∠COE﹣∠EON，∠COE＝90°， ∴∠CON＝90°﹣70°＝20°． （2）∵AB⊥MN， ∴∠AOM＝90°， ∵∠MOF＝∠AOM﹣∠AOF，且∠AOF＝25°， ∴∠MOF＝90°﹣25°＝65°， ∵OF平分∠COM， ∴∠COF＝∠MOF＝65°，则∠MOC＝∠MOF+∠FOC＝65°+65°＝130°， ∵∠EOF＝∠COE﹣∠COF，且∠COE＝90°， ∴∠EOF＝90°﹣65°＝25°， ∵∠CON＝180°﹣∠MOC， ∴∠CON＝180°﹣130°＝50°． （3）∵AB⊥MN， ∴∠AOM＝90°， ∵∠MOF＝∠AOM﹣∠AOF，且∠AOF＝β， ∴∠MOF＝90°﹣β， ∵OF平分∠COM， ∴∠MOF＝∠FOC＝90°﹣β，则∠COM＝∠MOF+∠FOC＝90﹣β+90﹣β＝180°﹣2β， ∵∠MOE＝∠COE﹣∠COM，且∠COE＝90°， ∴∠MOE＝90°﹣（180°﹣2β）＝2β﹣90°， ∵∠EOF＝∠MOE+∠MOF， ∴∠EOF＝2β﹣90°+（90°﹣β）＝β， ∵∠CON＝180°﹣∠MOC， ∴∠CON＝180°﹣（180°﹣2β）＝2β． ∴∠EOF＝β，∠CON＝2β． 【点评】本题主要考查图形中角的计算，掌握线的位置，角的互补、互余，角平分线的性质是解题的关键． 7．（2023春•巴南区月考）已知直线MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN和PO之间． （1）如图1，求证：∠CAB﹣∠MCA＝∠PBA； （2）如图2，CD∥AB，点E在直线PQ上，且∠MCA＝∠DCE，求证：∠ECN＝∠CAB； （3）如图3，BF平分∠PBA，CG平分∠ACN，且AF∥CG．若∠CAB＝50°，直接写出∠AFB的度数． 【分析】（1）过点A作AH∥MN，然后根据平行线的性质可得∠CAB＝∠MCA+∠PBA即可得证． （2）由CD∥AB得出∠CAB+∠ECN＝180°，结合∠MCA＝∠DCE即可得证． （3）由平行线的性质得到∠FAB＝130°﹣∠GCA，再由角平分线的定义及平行线的性质得出∠GCA﹣∠ABF＝50°，最后根据三角形的内角和即可求解． 【解答】（1）证明：过点A作AH∥MN，如图： ∴AH∥MN∥PQ， ∴∠MCA＝∠CAH，∠PBA＝∠BAH， ∴∠CAB＝∠CAH+∠BAH＝∠MCA+∠PBA， ∴：∠CAB﹣∠MCA＝∠PBA． （2）证明：∵∠MCA＝∠DCE． ∴∠ACD＝∠MCE， ∵CD∥AB， ∴∠CAB+∠ACD＝180°， ∴∠CAB＝180°﹣∠ACD＝180°﹣∠MCE，＝∠ECN， ∴∠ECN＝∠CAB． （3）解：∵AF∥CG． ∴∠GCA+∠FAC＝180°， ∵∠CAB＝50°， ∴∠GCA+∠CAB+∠FAC＝180°， ∴∠FAB＝130°﹣∠GCA， ∵BF平分∠PBA，CG平分∠ACN， ∴∠ACN＝2∠GCA，∠ABP＝2∠ABF， 又∵∠MCA＝180°﹣∠ACN， ∴∠CAB＝180°﹣2∠GCA+2∠ABF＝50°， ∴∠GCA﹣∠ABF＝65°， ∵∠ABF+∠AFB+∠FAB＝180°， ∴∠AFB＝180°﹣∠ABF﹣∠FAB ＝180°﹣（130°﹣∠GCA）﹣∠ABF ＝50°+∠GCA﹣∠ABF ＝50°+65°＝115°． ∴∠AFB＝115°． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质及三角形的内角和定理是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$