专题02 实数与二次根式（考点串讲，5大考点梳理+9大题型剖析+7大易错点）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲

八年级数学上册期末考点大串讲 专题02 实数与二次根式 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 五大常考点：知识梳理 九大题型典例剖析+举一反三 七大易错易混经典例题+针对训练 五个期末真题预测 02 考点一 实数的分类 1._________的数叫做正数.正数前面加上符号“_________”的数叫负数.负数前面的负号“-”不能_________.0既不是_________，也不是_________. 2.正负数的意义：表示具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，通常先规定其中一个为正，则另一个就用_________表示． 3. _________和_________统称为有理数（本质：能够化为_________的形式）. __________________小数叫做无理数. _________和_________统称为实数. 大于 － 省略 正数 负数 负 整数 分数 分数 无限不循环 有理数 无理数 考点透视 4.实数的分类： 1）按定义分类： 考点透视 4.实数的分类： 2）按性质分类： 考点透视 02 考点二 平方根、算术平方根、立方根 考点透视 02 考点三 实数的运算 常见的实数运算： 考点透视 02 实数的四则运算： 1.实数的加法法则： 1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 2.实数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数. 3.实数的乘方法则：1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2）任何数同0相乘，都得0. 4.实数的除法法则： 1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数； 2）0除以任何不为0的数，都得0 考点透视 02 5.运算顺序：加和减属于运算中的第一级运算，级别是最低的，通常放在最后面计算； 乘和除属于运算中的第二级运算，级别中等，运算顺序高于加和减； 而乘方和开方则属于第三级运算，级别较高，通常是最优先计算的（如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，在同一级运算中，要从左至右进行运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算）. 考点透视 (a≥0) 不含分母 不含开得尽方 被开方数相同 考点透视 双重非负性 a≥0 a(a≥0) a -a 考点透视 合并同类二次根式 加减 乘方 括号 括号 考点透视 题型01 平方根 题型剖析 A D 题型02 算术平方根 题型剖析 16 -4 1 -5 题型03 立方根 题型剖析 B 3 A 题型04 无理数的概念 题型剖析 题型05 无理数的整数部分与小数部分 11 4 6 题型剖析 题型06 实数的大小比较 2 题型剖析 < < x≤9 题型剖析 C C 题型剖析 B 题型剖析 A 题型剖析 A C 题型剖析 Ａ C D 题型剖析 题型剖析 题型剖析 ﹣4 2 题型剖析 A 题型剖析 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 考点四、 二次根式的概念和性质 1．二次根式的有关概念 (1)二次根式：式子_________叫做二次根式． (2)最简二次根式需满足两个条件 ①被开方数____________；②被开方数中____________________的因数或因式． (3)同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果 ，则把这几个二次根式叫做同类二次根式． 注意事项：先把所有的二次根式化成最简二次根式；再根据被开方数是否相同来加以判断．要注意同类二次根式与根号外的因式无关. 2．二次根式的性质： (1) （a≥0）具有 ，一是 ，二是 (2()2＝__________． (3)＝|a|＝ 考点五　二次根式的运算 1.加减运算：在二次根式加减运算中，先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二 次根式．二次根式的加减实质是 ．2.乘除运算：（1）二次根式的乘法：.＝_______(a≥0，b≥0)． （2）二次根式的除法：＝_______(a≥0，b＞0)． 3.运算顺序：先算 ，再算乘除，最后算 ，如果有 ，就先算 里的． 实数中的运算律及乘法公式在二次根式中同样适用． 运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式或整式． 【例1】实数9的平方根为（    ） A．3 B． C． D． 【变式1 -1】已知，，且，那么等于（　　） A．2或8 B．或8 C．或 D．2或 【例2】若，则 ， ． 【变式2 -1】若，则的值为 ． 【变式2 -2】若，则 ． 【例3】正方体的体积为7，则正方体的棱长为(    ) A． B． C． D． 【变式3 -1】若，则 ． 【变式3 -2】下列说法：①一个数的平方根一定有两个；②一个正数的平方根一定是它的算术平方根；③负数没有立方根．其中正确的个数有（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 C 【例8】下列实数中，无理数是（　） A． B． C．3.14159 D． 【变式8 -1】下列实数中是无理数的是（     ） A． B． C． D． D 【例10】若，且，是两个连续的整数，则的值为 ． 【变式10 -1】若[]表示实数的整数部分，例如：[]=3，则[]= ． 【变式10 -2】已知a，b均为实数，a的平方根分别是与，b是的整数部分，= 【例6】比较大小：7 （填“”、“”或者“”）． 【变式6 -1】比大的整数中，最小的是 ． 【变式6 -2】比较大小： （请填写“>”、“<”或“=”）． 题型07二次根式的意义及性质 【例7】使有意义的x的取值范围为________． 解:根据二次根式有意义的条件可得9－x≥0； 即x≤9. 【答案】x≤9 2. 如果式子有意义，那么x的取值范围在数轴上表示出来，正确的是 ( ) ◆变式训练 1.要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） 　 A．x= B． x≠ C．x≥ D． x≤ 解:由题意得：5x﹣3≥0，解得：x≥ ，故选C． 3.若x、y满足+2(y-1)2=0，则x+y的值等于( ) A. 3 B. C.2 D. 解:∵+2(y-1)2=0， ∴ ∴ .∴x+y=1+. 故选B. 【题型08】最简二次根式与同类二次根式 【例1】下列计算正确的是（　　） A． =2 B． = C．=x D． =x 【分析】直接利用二次根式的性质分别化简求出答案． 解:A、 =2，正确； B、 =，故此选项 C、=-x，故此选项错误；D、=|x|，故此选项错误； 故选：A． 【例3】与是同类二次根式的是 （　 ） A． B． C． D． 【分析】先将各选项化简，再找到被开方数为5的选项即可. 【例2】下列式子为最简二次根式的是(　　　) A. B. C. D. 【解析】最简二次根式要满足：(1)被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；(2)被开方数中不含分母；(3)分母中不含根式． ◆变式训练 1. 下列计算正确的是 ( ) A． B． C． D． 2. 下列运算中，错误的有 ( )个 ①，②，③，④. A．1 B．2 C．3 D．4 3. 下列各式与是同类二次根式的是（　　） 　 A． B． C． D． 解：原式=2－3× =2－ =. 【题型九】 二次根式的运算  ◇典例：【例1】计算＝ 【分析】原式先化为同类二次根式,然后再合并即可. (2)由数轴可知，0<a<1，c<b<-1， ∴-a<0，a+b<0，c<0 ∴=a-a-b+c=-b+c 【例2】(1)当l<x<4时，化简 (2)a、b、c在数轴上对应点如图，化简 【分析】利用二次根式的非负性这一性质去进行根式的化简时，注意符号运算． 解：(1) ∵1<x<4,∴x-4<0，x-1>0, ∴=4-x-x+1=-2x+5 2.计算：6﹣（+1）2=　 　． 【考点】二次根式的混合运算． 【分析】首先化简二次根式，进而利用完全平方公式计算，求出答案． 解：原式=6×﹣（3+2+1） =2﹣4﹣2 =﹣4． ◆变式训练 1.化简： 。 解:原式==4-2=2 解：如图所示：a＜0，a﹣b＜0， 则|a|+=﹣a﹣（a﹣b）=﹣2a+b． 故选：A． 3.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（　　） A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b 【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴． 【分析】直接利用数轴上a，b的位置，进而得出a＜0，a﹣b＜0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案． 【易错一 对无理数的概念理解不透彻或对实数的分类不清楚致错】 例题：在实数，，，中，其中无理数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【详解】解：根据无理数的定义可知： ， ， 是无理数； 故选： ． 训练1 下列各数、、、、、（相邻两个之间的个数逐次增加），无理数的个数是（　　） 【详解】解： ， 故在实数 、± 、 、 、 、 （相邻两个 之间 的个数逐次增加 ）中， 无理数有3π、 、0.303000300003…（相邻两个 之间 的个数逐次增加 ），共 个． 故选：C． 【易错二 易混淆a与的平方根】 例题：的值等于 ；的算术平方根为 ． 【详解】解： ， 的算术平方根为3； 故答案为 ，3． 训练1．下列说法错误的是（    ） A．没有算术平方根 B．的平方根是 C．0的平方根是它本身 D． 【详解】解：A、 没有算术平方根，原说法正确，不符合题意； B、 的平方根是 ，原说法错误，符合题意； C、0的平方根是它本身，原说法正确，不符合题意； D、 ，原说法正确，不符合题意； 故选B． 【易错三 求二次根式有意义时未考虑清楚致错】 例题：已知，则 ． 【详解】解：由题意得： ， 解得 ， ， ， 故 ．故答案为： ． 训练1．已知a，b为实数，且a，b满足，则 【详解】解： EMBED Equation.DSMT4 ， 即 ， EMBED Equation.DSMT4 ，解得 ， 将 代入 得 ， ，故答案为： ． 【易错四 忽略二次根式有意义的隐含条件或对理解不透彻致错】 例题：当时，化简： ． 【详解】解： EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， 故答案为： ． 训练1 已知，化简： ． 【详解】解：原式 EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， ， ∴原式 EMBED Equation.DSMT4 ． 故答案为： ． 易错考点五：二次根式的性质与化简 【例题】下列等式一定成立的是（　　） A．＝a B．＝a+b C．＝a﹣b D．＝a﹣b 试题思路分析：直接利用二次根式的性质化简判断即可． 详细规范解答： 解：A、＝|a|，故此选项错误；B、，无法化简，故此选项错误； C、＝|a﹣b|，故此选项错误；D、＝a﹣b，故此选项正确． 故选：D． 练习1已知y＝﹣x+3，当x分别取1，2，3，…，2021时，所对应的y值的总和是　 　 　． 详细规范解答：解：∵y＝﹣x+3＝＝|x﹣2|﹣x+3， ∴当x＜2时，y＝2﹣x﹣x+3＝5﹣2x， 即当x＝1时，y＝5﹣2＝3； 当x≥2时，y＝x﹣2﹣x+3＝1， 即当x分别取2，3，...，2021时，所对应的y的值的总和是3+2020×1＝2023， 故答案为：2023． 易错考点六：二次根式的应用 【例题】如图，从一个大正方形中可以裁去面积为8cm2和32cm2的两个小正方形，则大正方形的边长为 　 　． 详细规范解答：解：由题意知：AB2＝32，BC2＝8，∴AB＝＝4，BC＝＝2． ∴AC＝AB+BC＝4+2＝6（cm）．故答案为：6cm． 练习1如图，在矩形ABCD中无重叠放入面积分别为12cm2和18cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为 　 　cm2． 详细规范解答：解：根据题意可得： ×﹣12 ＝6﹣12． 故答案为：6﹣12． 易错考点七：二次根式的混合运算 【例题】下列计算正确的有（　　） A． B． C． D． 详细规范解答：解：A、与不能合并，故A不符合题意； B、2﹣＝，故B不符合题意； C、＝，故C不符合题意； D、×＝2，故D符合题意； 故选：D． 练习1计算式子：的值为 　 　． 详细规范解答：解： ＝（﹣）2﹣（）2+9+12+20 ＝2﹣3+9+12+20 ＝28+12， 故答案为：28+12． 1．的平方根是（    ） A． B． C． D． 【详解】解： 的平方根是 ， 故选：C． 2．如图，数轴上点表示的数可能是（    ）    A． B． C． D． 【详解】解：由数轴可知 ，∵ ， ∴ ，∴点N表示的数可能是 ，故选：A． 3．计算：． 【详解】 4．（23-24七年级下·北京朝阳·阶段练习）求下列各式的值； (1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．若 是整数，则正整数n的最小值是（　　） A．3 B．7 C．9 D．63 【详解】解：∵63=7×9， ∴ ， ∵ 是整数， ∴正整数n的最小值是7， 故选：B． $$