专题01 三角形（13个知识点回顾+9大题型归纳+过关检测）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（人教版）

专题01 三角形 题型聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 三角形的三边关系】 【题型2 三角形中线与面积问题】 【题型3与角平分线有关的三角形内角和问题】 【题型4三角形折叠中的角度问题】 【题型5多边形的对角线】 【题型6截角问题】 【题型7多边形内角运算】 【题型8多边形外角运算及运用】 【题型9多边形内角和外角综合运算】 知识点 1 三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 知识点2 三角形的分类 等腰三角形：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰 的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 知识点3 三角形的三边关系 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 知识点4 三角形的稳定性 ①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四 边形没有稳定性。 ②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等 知识点5 三角形的重要线段 知识点 6 三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 知识点7 直角三角形 ①直角三角形的两个角互余。直角三角形用符号“Rt△”表示，如 Rt△ABC。 ②有两个角互余的三角形是直角三角形 知识点8 三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角 ②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。 知识点 9 多边形 （1） 多边形概念：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形。 （2）正多边形概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 知识点10 多边形的对角线 n 边形一个顶点的对角线数： n-3；n 边形的对角线总数： 知识点11 多边形的内角和 （1）n 边形的内角和公式： （n-2）×180°； （2）正多边形的每个内角 知识点4：多边形的外角和 （1）n 边形的外角和： 360° （2）正多边形每个外角的度数： 知识点12截角问题 n 边形截去一个角后得到 n/n-1/n-2边形 知识点13 多边形的内角和和外角和的综合应用 平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。 题型归纳 【题型1 三角形的三边关系】 1．（24-25八年级上·河南信阳·期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边的关系，三角形的三边关系是：三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．在判断时，只要两条较短的边之和大于最长的边即可组成三角形， 【详解】解：A选项：，不能组成三角形； B选项：，不能组成三角形； C选项：，能组成三角形； D选项：，不能组成三角形； 故选：C． 2．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图，为了估计池塘岸边A，B的距离，小芳在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A，B间的距离不可能是（    ） A．20米 B．15米 C．10米 D．5米 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，正确理解题意是解题的关键．设A，B间的距离为x，根据三角形的三边关系，可得到x的取值范围，即可判断答案． 【详解】解：设A，B间的距离为x， 根据三角形的三边关系，得： ， ， 故A，B间的距离不可能是5米． 故选：D． 3．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）已知三角形两边长分别为4和9，第三边为奇数，则该三角形第三边的长可能是（    ） A．5 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边的数量关系，掌握三角形三边数量关系的计算是解题的关键． 根据两边之和大于第三部，两边之差小于第三边，可确定第三边的范围，再根据第三边为奇数，即可求解． 【详解】解：根据题意可得，第三边， ∴第三边， ∵第三边为奇数， ∴第三边的长可能是， ∴只有C选项符合题意， 故选：C ． 4．（2024八年级上·吉林·专题练习）若一个三角形的两边长分别为4和7，则周长可能是（   ） A．11 B．18 C．14 D．22 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，可求出第三边长的范围，从而得出答案． 【详解】解：设第三边的长为，根据三角形的三边关系，得 ，即． 周长， 周长可能为18， 故选：B． 【题型2 三角形中线与面积问题】 5．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在中，已知点D、E分别是、的中点，且，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的中线，根据中线将三角形面积分为相等的两部分可知：，，，依此即可求解． 【详解】解：∵点D为边的中点，， ∴， ∵点E为边的中点， ∴，， ∴， 即阴影部分的面积等于． 故选：A． 6．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，在中，点E是边的中点，，若，则阴影部分的面积为（   ） A．6 B．3 C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中线与面积关系，解题的关键是掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 根据E是边的中点，得，，再根据和同高，根据两底的关系，得出面积关系，即可得出结论． 【详解】解：点E是边的中点，， ，，， 以边为底的和以边为底的的高相等，， ， ， 故选：B． 7．（24-25八年级上·山西阳泉·期中）如图，是的中线，是的中线，是的中点，连接．若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的中线与面积的关系，熟记三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形求解即可．根据中线与面积的关系可得，，，再进一步即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的高相等， ∴， 如图，连接， ∵是的中线， ∴， ∵的高相等， ∴， 同理可得：， ∴， ∵为的中点， ∴． 故选：C． 8．（24-25九年级上·天津滨海新·期中）如图所示，在中，点，分别为，的中点，且，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据中点性质求面积，涉及三角形中线将三角形面积等分的性质．根据三角形中线性质，逐渐找到各个三角形之间面积的关系，代值求解即可得到答案． 【详解】解：点分别为的中点， ， 点分别为的中点， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型3与角平分线有关的三角形内角和问题】 9．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，、的平分线相交于点D，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查角平分线的定义以及三角形的内角和，找到两个三角形之间的联系是解题的关键． 在中，要求的度数，就得知道和的度数和，又因为都是角平分线，所以和两角的度数和正好是和两角的度数和的一半，而在中，已知，则可求和两角的度数和． 【详解】解：∵， ， 平分，平分， ∴ ， ， ； 故选：A． 10．（21-22八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，的外角和的平分线交于点，则的度数为 ． 【答案】 【分析】先根据三角形内角和定理计算出，则利邻补角定义计算出，再根据角平分线定义得到，，所以，然后再利用三角形内角和计算的度数. 【详解】解：在中，， ， ，， ， 平分，平分， ， ． 故答案为： 11．（21-22八年级上·河南郑州·期末）如图，在中，与的平分线相交于点．    (1)若，则的度数是　 　； (2)如图，作外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系； (3)如图，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，求的度数． 【答案】(1)； (2)，理由见解答过程； (3)或或或． 【分析】（）根据角平分线定义及三角形内角和定理得，则，再根据可得的度数； （）由三角形的外角定理及三角形三角形内角和定理得，再由角平分线定义得，由此得，之间的数量关系； （）先求出，根据得，然后分四种情况讨论即可； 此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角定理，角平分线定义，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的外角定理，理解角平分线定义是解题的关键． 【详解】（1）在中，， ∵与 的平分线相交于点， ∴，， ∴ ， ∴ ∵， ∴， 故答案为：； （2），之间的数量关系是，理由如下： ∵，，， ∴， ∵点是和的角平分线的交点， ∴， ∴， ∴， ∴，之间的数量关系是； （3）∵平分,平分，， ∴，， ∴ ， 即， ∴， 由（）可知: ， ∴， ∴， 如果在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，那么有以下四种情况： 当时, 则， ∴， 此时， 当时，则， ∴，则， 此时， 当时，则， ∴， 此时， 当时，则， ∴， ∴， 此时， 综上所述，的度数是或或或． 【题型4三角形折叠中的角度问题】 12．（24-25八年级上·江西新余·阶段练习）如图，把三角形纸片沿折叠，使点与点重合，且落在四边形的内部，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形内角和定理；先求得的值，再根据三角形内角和的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵三角形纸片沿折叠，使点与点重合，且落在四边形的内部， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 13．（2024·广东·模拟预测）如图所示，在中，将点A与点B分别沿和折叠，使点A，B都与点C重合，若，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理，折叠的性质是解题关键．根据折叠的性质得，，，再根据三角形内角和定理，最后由求的度数． 【详解】解：将点与点分别沿和折叠，使点、与点重合， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得 故选：B． 14．（24-25八年级上·重庆九龙坡·期中）如图，在折纸活动中，王强做了一张纸片，点，分别是，上的点，将沿着折叠压平，与重合，且，若，则等于 ． 【答案】/10度 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质，三角形的内角和定理等知识点，根据翻折变换的性质可得，再根据三角形的内角和等于，求出，进而即可得解，熟练掌握翻折变换的性质是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵沿着折叠压平，A与重合， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，有一张三角形纸片，已知，将沿折叠，得到，，与相交于点F，当时，则的度数 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的折叠问题．根据折叠得到，平行得到，利用，求出的度数，再利用三角形的外角，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由折叠性质可得： ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴； 故答案为：． 【题型5多边形的对角线】 16．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）已知过一个多边形的一个顶点可以作4条对角线，则这个多边形是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的对角线，掌握多边形的对角线是解题的关键．根据边形从一个顶点出发可引出条对角线，得出，求出即可 【详解】设这个多边形的边数是，由题意得， ， 解得， 即这个多边形为七边形， 故选D． 17．（2024七年级上·全国·专题练习）过边形的一个顶点可以画条对角线，将它分成个三角形，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多边形的对角线，解题的关键是掌握：从边形的一个顶点出发可以引条对角线，这些对角线将边形分成个三角形．据此列式求出，的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵过边形的一个顶点可以画出条对角线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值是． 故选：C． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）十边形的一个顶点的对角线把十边形分成三角形（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的性质，根据从边形一个顶点出发作对角线，可把边形分成个三角形，正确理解多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：由从边形一个顶点出发作对角线，可把边形分成个三角形， ∴十边形的一个顶点的对角线把十边形分成三角形（个）， 故选：． 19．（23-24七年级上·海南儋州·期末）过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成9个三角形，这个多边形的边数是（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的对角线，解决此类问题的关键是根据多边形过一个顶点的对角线与分成的三角形的个数的关系列方程求解． 【详解】设多边形有n条边， 则， 解得， 所以这个多边形的边数是11， 故选D． 【题型6截角问题】 20．（24-25八年级上·广东惠州·期中）若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的知识，一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条．根据一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，依此即可解决问题． 【详解】解：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条， 则多边形的边数是4或5或6， 故选：D． 【题型7多边形内角运算】 21．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的内角和，牢记多边形内角和公式是解答本题的关键． 根据多边形内角和公式，即可解答． 【详解】解：八边形的内角和为． 故选：A． 22．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）如图，这是脊柱侧弯的检测示意图．Cobb角()的大小是脊柱侧弯严重程度的参考标准之一．一次检测测得，则Cobb角()的大小为 ．（当Cobb角时，为脊柱侧凸） 【答案】 【分析】本题考查四角形内角和定理．根据邻补角的性质求得的度数，再根据四角形内角和定理可得的大小． 【详解】解：根据题意可得：，， ， ， 故答案为：． 23．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，中，，若沿图中虚线截去，则 °． 【答案】215 【分析】本题考查了三角形内角和定理，四边形内角和，掌握多边形内角和是解题的关键．根据三角形内角和定理可得，再由四边形内角和等于，即可求解． 【详解】解： 中，， ， ， ， 故答案为：215． 24．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图所示， 度． 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形的外角以及四边形的内角和，首先根据三角形外角的性质可知：图示这几个角是一个四边形的四个内角，再根据四边形的内角和即可求解． 【详解】解：如图， ，， ， 故答案为：． 【题型8多边形外角运算及运用】 25．（24-25八年级上·广西玉林·期中）如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是正多边形的外角问题，由正八边形的外角和为，结合正八边形的每一个外角都相等，再列式计算即可． 【详解】∵正八边形的外角和为， ∴， 故选：B 26.（24-25八年级上·福建厦门·期中）小宇阅读一篇《东方窗棂之美》的文章，文章中有一张如图所示图片，图中有许多不规则的多边形组成，代表一种自然和谐美．提取后是由六条线段组成的图形，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和是是解题的关键．根据多边形的外角和是进行计算即可． 【详解】解：由题意可知：， ， 故答案为：． 27．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）科技馆为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按照图中所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的外角问题，先判断出机器人所走过的路线是正多边形，边长为米，一个外角度数为，根据正多边形的外角和为，求出边数，即可求出总路程，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：可知机器人从点出发再回到点时正好走了一个正多边形 且多边形的边数为， 由此可得该机器人第一次回到出发点时一共走了（米）， 故选：． 28．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）若正多边形的一个外角是，则该多边形的边数为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，正多边形的性质，掌握多边形的外角和为是解题的关键． 多边形的外角和是，正多边形的每个外角都相等，且一个外角的度数为，由此即可求出答案． 【详解】解：， ∴该多边形的边数为9． 故选：B 【题型9多边形内角和外角综合运算】 29.（24-25八年级上·广东韶关·期中）已知一个多边形的内角和是外角和的2倍，则此多边形的边数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和定理设这个多边形的边数是，根据多边形的内角和与外角和定理即可列方程求解 【详解】解：设这个多边形的边数是，由题意得 ，解得 则这个多边形的边数是 故选：C． 30．（23-24八年级上·湖北宜昌·期末）如图，七边形中，，的延长线交于点O，若，，，对应的邻补角的和等于，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查多边形的内角和的应用，利用内角和外角的关系求得，，，的和是解题的关键． 根据题意，由外角和内角的关系可求得，，，的和，由五边形内角和可以求得五边形的内角和，由此求出，选出答案． 【详解】解：根据题意得：，，，的外角和等于， ， ， 五边形内角和， ， ， 故选：A． 31.（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，一个正五边形和一个正方形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点B，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的内角和外角的求法，三角形内角和，求出每个正五边形和正方形的内角度数和每个外角度数． 【详解】解：如图所示： ∵正五边形的每个外角是，正方形的外角是， ∴， 又∵正五边形每个内角是，正方形的内角是， ∴， 故选：C． 32．（24-25八年级上·山西吕梁·期中）已知某正多边形的一个外角的度数比一个内角度数的多，请求出这个正多边形的边数． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和问题，设这个多边形的一个内角的度数是，则相邻的外角的度数是，根据题意得出，求解即可． 【详解】解：设这个多边形的一个内角的度数是，则相邻的外角的度数是， 由题意可得：， 解得：， ∴， ∴这个多边形的外角的度数是， ∴这个正多边形的边数为． 过关检测 一、单选题 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，过点A作，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和，平行线的性质，利用三角形内角和定理求出，再根据两直线平行内错角相等，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）下列每组数分别是三根小木棒的长度，下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系定理，熟练掌握定理是解题的关键．根据两边之和大于第三边判断即可． 【详解】解：∵，与两边之和大于第三边不一致， ∴A不符合题意； ∵，与两边之和大于第三边一致，构成三角形， ∴B符合题意； ∵，与两边之和大于第三边不一致，构不成三角形， ∴C不符合题意； ∵，与两边之和大于第三边不一致，构不成三角形， ∴D不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）从正多边形一个顶点出发可以作条对角线，则这正多边形的每一个内角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正边形的对角线，正多边形的内角和外角关系，设正多边形边数为，由正多边形一个顶点出发可以作条对角线，求出，然后求每一个外角，再正多边形的内角和外角互补即可求解，熟记边形从一个顶点出发可引出条对角线是解题的关键． 【详解】解：设正多边形边数为， ∵正多边形一个顶点出发可以作条对角线， ∴， ∴， ∴每一个外角， ∴这正多边形的每一个内角的度数为， 故选：． 4．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，根据角平分线的定义得到，，然后利用解题即可． 【详解】解：∵是的平分线，是的外角的平分线， ∴，， ∴， 故选：C． 5．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）如图，在中，，分别是边上的中线和高，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，三角形的面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 首先根据三角形中线的性质得到，，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵是边上的中线，， ∴， ∵是边上的高 ∴ ∴． 故选：B． 6．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，小明从A点出发，前进到点B处后向右转，再前进到点C处后又向右转，……，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形外角和问题，有理数乘法的应用，掌握正多边形的外角和为是解题关键．由题意可知，当她第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个正多边形，再根据正多边形的外角和，得出小明所走过的图形是正十八边形，即可求解． 【详解】解：由题意可知，当她第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个正多边形， 正多边形的外角和为，且每个外角都为， 正多边形的边数为，即小明所走过的图形是正十八边形， 路程为， 故选：C． 7．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，都是的中线，连接，的面积足，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用三角形的中线求三角形的面积，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，两次利用该定理即可求得结果，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴为的中线， 即， 故选：B． 二、填空题 8．（24-25八年级上·重庆丰都·阶段练习）若一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数为 ． 【答案】8 【分析】本题考查多边形的内角和．熟练掌握多边形的内角和为，是解题的关键．根据多边形的内角和公式：，进行计算即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故答案为：8． 9．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，为中线，则与的周长之差的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线，熟练掌握三角形中线的定义是解题的关键． 根据三角形中线的定义得到，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵为的中线， ∴， ∵， ∴与的周长之差为：， 故答案为： ． 10．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，正六边形和正五边形的边，在同一直线上，正五边形在正六边形右侧，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多边形内角与外角，根据多边形内角和公式，分别求出正五边形和正六边形的内角度数，即可得和的度数，再根据三角形的内角和定理即可得出答案，熟练掌握多边形的内角和定理和是解题的关键． 【详解】∵五边形是正五边形， ∴每个内角度数为， ∴，， 同理可得正六边形每个内角度数为， ∴，， ∴， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）如图，在中，延长至点，使得，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、，若，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质．根据同高的三角形底边之间的关系分别求出、、、、、，即可求出的面积． 【详解】解：如图，连接、、， ，， ，， ， ，， ， ，， ， ， 故答案为：． 三、解答题 12．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，，是边上的高，的平分线交于点．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义以及三角形的外角，关键是三角形内角和定理的应用．先根据三角形的内角和定理得到的度数，然后根据角平分线的定义得到的值，然后利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和解题即可． 【详解】解：在中，，， ， 又是的平分线， ， 又是边上的高， ， ． 13．（24-25八年级上·山西大同·期中）在中， 是的角平分线， (1)如图1， 是边 上的高，直接写出 的度数； (2)如图2， 点E在上， 于 F， 猜想与，的数量关系， 并证明你的结论． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理和直角三角形的性质，解题时注意：三角形内角和是． （1）依据角平分线的定义以及垂线的定义，即可得到，进而得出，由此即可解决问题； （2）过A作于G，依据平行线的性质可得，依据（1）中结论，即可得到结论． 【详解】（1）解：是的角平分线， ， 是边 上的高， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 过A作于G， ， ， ， 由（1）得， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形 题型聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 三角形的三边关系】 【题型2 三角形中线与面积问题】 【题型3与角平分线有关的三角形内角和问题】 【题型4三角形折叠中的角度问题】 【题型5多边形的对角线】 【题型6截角问题】 【题型7多边形内角运算】 【题型8多边形外角运算及运用】 【题型9多边形内角和外角综合运算】 知识点 1 三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 知识点2 三角形的分类 等腰三角形：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰 的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 知识点3 三角形的三边关系 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 知识点4 三角形的稳定性 ①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四 边形没有稳定性。 ②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等 知识点5 三角形的重要线段 知识点 6 三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 知识点7 直角三角形 ①直角三角形的两个角互余。直角三角形用符号“Rt△”表示，如 Rt△ABC。 ②有两个角互余的三角形是直角三角形 知识点8 三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角 ②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。 知识点 9 多边形 （1） 多边形概念：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形。 （2）正多边形概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 知识点10 多边形的对角线 n 边形一个顶点的对角线数： n-3；n 边形的对角线总数： 知识点11 多边形的内角和 （1）n 边形的内角和公式： （n-2）×180°； （2）正多边形的每个内角 知识点4：多边形的外角和 （1）n 边形的外角和： 360° （2）正多边形每个外角的度数： 知识点12截角问题 n 边形截去一个角后得到 n/n-1/n-2边形 知识点13 多边形的内角和和外角和的综合应用 平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。 题型归纳 【题型1 三角形的三边关系】 1．（24-25八年级上·河南信阳·期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图，为了估计池塘岸边A，B的距离，小芳在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A，B间的距离不可能是（    ） A．20米 B．15米 C．10米 D．5米 3．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）已知三角形两边长分别为4和9，第三边为奇数，则该三角形第三边的长可能是（    ） A．5 B．10 C．11 D．12 4．（2024八年级上·吉林·专题练习）若一个三角形的两边长分别为4和7，则周长可能是（   ） A．11 B．18 C．14 D．22 【题型2 三角形中线与面积问题】 5．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在中，已知点D、E分别是、的中点，且，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B．1 C．2 D． 6．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，在中，点E是边的中点，，若，则阴影部分的面积为（   ） A．6 B．3 C．4 D．2 7．（24-25八年级上·山西阳泉·期中）如图，是的中线，是的中线，是的中点，连接．若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·天津滨海新·期中）如图所示，在中，点，分别为，的中点，且，则阴影部分的面积为 ． 【题型3与角平分线有关的三角形内角和问题】 9．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，、的平分线相交于点D，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 10．（21-22八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，的外角和的平分线交于点，则的度数为 ． 11．（21-22八年级上·河南郑州·期末）如图，在中，与的平分线相交于点．    (1)若，则的度数是　 　； (2)如图，作外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系； (3)如图，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，求的度数． 【题型4三角形折叠中的角度问题】 12．（24-25八年级上·江西新余·阶段练习）如图，把三角形纸片沿折叠，使点与点重合，且落在四边形的内部，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 13．（2024·广东·模拟预测）如图所示，在中，将点A与点B分别沿和折叠，使点A，B都与点C重合，若，则的度数为（） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·重庆九龙坡·期中）如图，在折纸活动中，王强做了一张纸片，点，分别是，上的点，将沿着折叠压平，与重合，且，若，则等于 ． 15．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，有一张三角形纸片，已知，将沿折叠，得到，，与相交于点F，当时，则的度数 ． 【题型5多边形的对角线】 16．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）已知过一个多边形的一个顶点可以作4条对角线，则这个多边形是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 17．（2024七年级上·全国·专题练习）过边形的一个顶点可以画条对角线，将它分成个三角形，则的值是（　　） A． B． C． D． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）十边形的一个顶点的对角线把十边形分成三角形（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 19．（23-24七年级上·海南儋州·期末）过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成9个三角形，这个多边形的边数是（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【题型6截角问题】 20．（24-25八年级上·广东惠州·期中）若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 【题型7多边形内角运算】 21．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 22．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）如图，这是脊柱侧弯的检测示意图．Cobb角()的大小是脊柱侧弯严重程度的参考标准之一．一次检测测得，则Cobb角()的大小为 ．（当Cobb角时，为脊柱侧凸） 23．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，中，，若沿图中虚线截去，则 °． 24．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图所示， 度． 【题型8多边形外角运算及运用】 25．（24-25八年级上·广西玉林·期中）如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角（    ） A． B． C． D． 26．（24-25八年级上·福建厦门·期中）小宇阅读一篇《东方窗棂之美》的文章，文章中有一张如图所示图片，图中有许多不规则的多边形组成，代表一种自然和谐美．提取后是由六条线段组成的图形，若，则的度数是 ． 27．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）科技馆为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按照图中所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 28．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）若正多边形的一个外角是，则该多边形的边数为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【题型9多边形内角和外角综合运算】 29.（24-25八年级上·广东韶关·期中）已知一个多边形的内角和是外角和的2倍，则此多边形的边数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 30．（23-24八年级上·湖北宜昌·期末）如图，七边形中，，的延长线交于点O，若，，，对应的邻补角的和等于，则的度数为（    ） A． B． C． D． 31.（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，一个正五边形和一个正方形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点B，则的度数是（　　） A． B． C． D． 32．（24-25八年级上·山西吕梁·期中）已知某正多边形的一个外角的度数比一个内角度数的多，请求出这个正多边形的边数． 过关检测 一、单选题 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，过点A作，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）下列每组数分别是三根小木棒的长度，下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）从正多边形一个顶点出发可以作条对角线，则这正多边形的每一个内角的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）如图，在中，，分别是边上的中线和高，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，小明从A点出发，前进到点B处后向右转，再前进到点C处后又向右转，……，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，都是的中线，连接，的面积足，则的面积是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（24-25八年级上·重庆丰都·阶段练习）若一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数为 ． 9．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，为中线，则与的周长之差的值为 ． 10．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，正六边形和正五边形的边，在同一直线上，正五边形在正六边形右侧，则的度数为 ． 11．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）如图，在中，延长至点，使得，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、，若，则为 ． 三、解答题 12．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，，是边上的高，的平分线交于点．求的度数． 13．（24-25八年级上·山西大同·期中）在中， 是的角平分线， (1)如图1， 是边 上的高，直接写出 的度数； (2)如图2， 点E在上， 于 F， 猜想与，的数量关系， 并证明你的结论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$