专题05 分式（4个知识点回顾+6大题型归纳+过关检测）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（人教版）

专题05 分式 题型聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1分式有意义的条件】 【题型2 分式的基本性质】 【题型3 分式化简求值】 【题型4 解分式方程】 【题型5 分式方程的解及增根问题】 【题型6 分式方程的实际应用】 知识点1：分式相关概念 1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 1. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 2. 分式有意义的条件：B≠0； 3. 分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 知识点2：分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 知识点3：分数的混合运算 （1）同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为：. （2）异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为：. （3）分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 知识点4：分式方程的解法 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 题型归纳 【题型1分式有意义的条件】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）要使得分式有意义，则x满足的条件是（　　） A． B． C． D．x≠1 2．（24-25八年级上·山东济南·期中）分式的值为0，则（   ） A． B．4 C． D．2 3．（24-25八年级上·北京通州·期中）若分式有意义，则的取值范围是 ． 【题型2 分式的基本性质】 4．（24-25八年级上·全国·期末）下列式子从左到右，变形正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山东威海·期中）如果把分式：中的x、y都扩大10倍，那么分式的值是（   ） A．扩大10倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．缩小为原来的 6．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）计算：的结果是 ． 【题型3 分式化简求值】 8．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 9．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 10．（2024八年级上·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中． 11．（2024八年级上·全国·专题练习）先将分式化简：，然后再从，，，中选择一个适当的数代入求值． 12．（24-25九年级上·甘肃白银·期中）先化简，再求值：，其中． 【题型4 解分式方程】 13．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）解分式方程： (1)； (2)． 14．（24-25八年级上·全国·期末）解方程： (1)； (2)． 【题型5 分式方程的解及增根问题】 15．（2024八年级上·全国·专题练习）若关于x的方程有正整数解，且关于x的不等式组有且只有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（  ） A． B． C． D． 16．（24-25八年级上·山东东营·期中）关于x的方程的解为非负数，则a的取值范围为 ． 17．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）若关于的方程无解，则的值是 ． 18．（2024八年级上·全国·专题练习）分式方程有增根，则的值为 ． 19．（24-25八年级上·山东济南·期中）已知关于x的方程的解是非负数，那么m的取值范围为 ． 【题型6 分式方程的实际应用】 20．（24-25八年级上·全国·期末）某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1440元，购买乙种用了2430元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的1.5倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵6元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元； (2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5000元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？ 21．（23-24八年级下·河南郑州·期末）年月日，习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买型和型两种农机具，已知件型农机具比件型农机具多万元，用万元购买型农机具和万元购买型农机具的数量相同． (1)求购买件型农机具和件型农机具各需多少钱？ (2)若该粮食生产基地计划购买型和型两种农机具共件，且购买的总费用不超过万元，购买型农机具最多能购买多少件？ 22．（23-24八年级下·重庆渝北·期末）随着科学技术发展，人工智能在各行各业得到广泛运用．某零件生产企业购进甲、乙两类智能机器共30台，其中甲类智能机器8万元/台，乙类智能机器5万元/台，共花费 180万元． (1)购进的甲、乙两类智能机器分别是多少台？ (2)在运用这两类智能机器中，每台智能机器每小时完成的零件数量，甲类比乙类多20个，1台甲类智能机器完成200个零件与1台乙类智能机器完成120个零件的时间相等．甲类智能机器每天能工作16小时，乙类智能机器每天能工作12小时．该企业购进的这30台智能机器，每天能完成的零件总量是多少? 23．（23-24八年级上·宁夏固原·期末）依据最新出台的宁夏初中体育与健康学业水平考试方案，自2024年起，宁夏中考体育成绩将以70分计入总成绩中．必考项目包括1000米跑（男生）、800米跑（女生）、1分钟跳绳，每项满分15分．男生选考项目包括立定跳远、50米跑、单杠引体向上、前掷实心球，女生选考项目包括立定跳远、50米跑、1分钟仰卧起坐、前掷实心球．为适应学生体育课学习（课时数、考勤等）、日常参与体育锻炼．我校用3000元购买大、小跳绳共110根，且购买大跳绳与小跳绳的费用相同，大跳绳的单价是小跳绳单价的1.2倍． (1)求大、小两种跳绳的单价各是多少？ (2)若学校计划用不超过7000元的资金再次购买这两种跳绳共260根，已知两种跳绳的价格不变，求大跳绳最多可购买多少根？ 过关检测 一、单选题 1．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）下列各式与相等的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·全国·期末）分式的最简公分母是（　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）若，则下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·全国·期末）已知，则的值是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）某中学开展“徒步研学”活动，小新和王老师同时从学校出发到离学校9千米的公园开展研学活动，他们的路线一致，小新随班步行，王老师由于要带班级饮用水需乘车，已知车的速度是步行速度的倍．王老师比小新早80分钟到达目的地，设小新步行速度为x米/分钟，则依题意可列出方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）若分式有意义，则实数的取值范围是 ． 8．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）计算的结果是 ． 9．（24-25八年级上·吉林长春·期中）若关于的方程有增根，则的值是 ． 10．（24-25八年级上·山东淄博·期中）若，则分式的值为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）计算： 12．（24-25八年级上·重庆·期中）先化简，再求值：，请从、、0、3中选取合适的的值代入． 13．（24-25八年级上·山东东营·期中）解方程： (1) (2) 14．（24-25八年级上·重庆·期中）秋风送爽，蟹香四溢，又到了吃大闸蟹的黄金季节．阳澄湖大闸蟹大量上市，一只母蟹比一只公蟹的售价贵12元．若顾客用2400元分别购买两种大闸蟹，则公蟹的数量是母蟹数量的1.25倍． (1)求公蟹、母蟹的售价； (2)赶上“双十一”大促，公蟹和母蟹都进行了降价促销活动，母蟹按原价的九折出售，公蟹每只降价6元．某公司计划购买100只大闸蟹奖励员工，其中母蟹数量比公蟹数量的倍还多，且总费用不超过5000元，请问应该购买母蟹、公蟹各多少只？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 分式 题型聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1分式有意义的条件】 【题型2 分式的基本性质】 【题型3 分式化简求值】 【题型4 解分式方程】 【题型5 分式方程的解及增根问题】 【题型6 分式方程的实际应用】 知识点1：分式相关概念 1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 1. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 2. 分式有意义的条件：B≠0； 3. 分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 知识点2：分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 知识点3：分数的混合运算 （1）同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为：. （2）异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为：. （3）分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 知识点4：分式方程的解法 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 题型归纳 【题型1分式有意义的条件】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）要使得分式有意义，则x满足的条件是（　　） A． B． C． D．x≠1 【答案】B 【分析】本题主要考查分式有意义的条件，掌握分母不为零的条件是解题的关键． 根据分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可知， ， 即． 故选：B． 2．（24-25八年级上·山东济南·期中）分式的值为0，则（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了分式的值为0的条件，要注意分母的值一定不能为0，分母的值是0时分式没有意义．要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0． 【详解】解∶要使分式由分子，解得∶． 而时，分母； 时分母，分式没有意义． 所以． 故选∶． 3．（24-25八年级上·北京通州·期中）若分式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义可知，即可得出答案． 【详解】因为分式有意义， 所以， 可得． 故答案为：． 【题型2 分式的基本性质】 4．（24-25八年级上·全国·期末）下列式子从左到右，变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答，分式的分子和分母同乘以（或除以）一个不为0的数，分式的值不变． 【详解】解：A、当时，，故A不符合题意； B、，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意． 故选：B． 5．（24-25八年级上·山东威海·期中）如果把分式：中的x、y都扩大10倍，那么分式的值是（   ） A．扩大10倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．缩小为原来的 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质．根据分式的基本性质解答即可． 【详解】解：把分式中的和都扩大倍后可得：，缩小为原来的． 故选：B． 6．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是最简分式的定义，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．根据最简分式的概念逐项判断即可． 【详解】．解：A、，故不是最简分式，不符合题意； B、，不是最简分式，不符合题意； C、是最简分式，符合题意； D、，不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 7．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）计算：的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式的基本性质，结合平方差公式求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【题型3 分式化简求值】 8．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【分析】本题考查分式的化简求值．先对所求式子进行化简，然后根据，可以求得化简后式子的值，本题得以解决． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 9．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值． 本题考查了分式的化简求值，求代数式的值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式． 10．（2024八年级上·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算的法则是解题的关键．先用分式的加减法的法则计算括号里面的，再利用分式乘除法的法则计算括号外面的，最后把代入化简的结果中计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 11．（2024八年级上·全国·专题练习）先将分式化简：，然后再从，，，中选择一个适当的数代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 根据分式的除法法则、加减法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可． 【详解】解：原式， ， ， ， 由题意得：和， 当时，原式． 12．（24-25九年级上·甘肃白银·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】此题考查了分式的化简求值．把括号内的部分变形，把除法变为乘法并因式分解，再利用乘法分配律进行展开计算即可得到化简结果，再把已知条件整体代入计算即可． 【详解】解： ∵， ∴原式 【题型4 解分式方程】 13．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)分式方程无解 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项及系数化为1求解后，验根即可得到答案． （1）先去分母，再去括号，合并同类项，移项即可得到答案，注意分式方程需要验根； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项及系数化为1即可得到答案，注意分式方程需要验根． 【详解】（1）解：， 方程两边同时乘以得， 去括号得， 合并同类项得， ， 检验：当时，， 原分式方程的解为； （2）解：， 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 检验：当时，，即是原分式方程的增根， 原分式方程无解． 14．（24-25八年级上·全国·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2). 【分析】本题考查了分式方程的解法，熟悉解分式方程的步骤是解题关键． （1）先把分式方程两边同乘化为整式方程求解，然后检验即可； （2）先把分式方程两边同乘化为整式方程求解，然后检验即可． 【详解】（1）解： 方程两边同乘得：， 解得， 检验：当时， 所以原分式方程的解为； （2）解： 方程两边同乘得： ， 解得， 经检验，是原方程的解. 所以原分式方程的解是. 【题型5 分式方程的解及增根问题】 15．（2024八年级上·全国·专题练习）若关于x的方程有正整数解，且关于x的不等式组有且只有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解分式方程，解一元一次不等式组，掌握相关解法是解题关键．先按照解分式方程的一般步骤解方程，求出，根据分式方程有正整数解，得到，且为奇数，，然后解一元一次不等式组，再根据不等式组有且只有3个整数解，列出关于a的不等式，求出a的取值范围，最后再求出符合条件的所有整数a，并求出它们的和即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， ∵关于x的方程有正整数解， ∴，且为整数，， ∴，为2的整数倍，， ∴，且为奇数，， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵关于x的不等式组有且只有3个整数解， ∴， ∴， ∴符合条件的所有整数a为或， ∴符合条件的所有整数a的和为：， 故选：A． 16．（24-25八年级上·山东东营·期中）关于x的方程的解为非负数，则a的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查根据分式方程解的情况求参数．先将分式方程化为整式方程，用含a的式子表示出x，根据解为非负数，分式的分母不能为0，列不等式，解不等式即可． 【详解】解：， 去分母，得， 解得， 关于的方程的解为非负数， ， 解得； ， ， 解得， 的取值范围为且． 故答案为：且． 17．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）若关于的方程无解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查由分式方程无解求参数，涉及解分式方程，根据题意，先由去分母、去括号、移项、合并同类项及系数化为1得到，再由分式方程无解得到，确定关于的方程求解即可得到答案，熟练掌握分式方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 关于的方程无解， ，即，则， 解得， 故答案为：． 18．（2024八年级上·全国·专题练习）分式方程有增根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，理解分式方程的增根是解题的关键，方程两边都乘以最简公分母把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根是使最简公分母等于的未知数的值，求出增根，然后代入进行计算即可得解． 【详解】解： 方程两边都乘以得， ， ， ， ∵分式方程有增根， ∴， ∴或， 解得或， 当时，， 当时，，此时原分式方程无解，不符合题意． 所以的值为， 故答案为：． 19．（24-25八年级上·山东济南·期中）已知关于x的方程的解是非负数，那么m的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了解分式方程、分式方程的解、一元一次不等式等知识，能根据已知和方程的解得出m的范围是解此题的关键． 根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，再根据分式方程的解是非负数，可得不等式，解不等式，可得答案，并注意分母不为零． 【详解】解：由原方程去分母，得， 去括号，得， 解得， 关于x的方程的解是非负数， ， 解得， 又， ， ，， 故m的取值范围为且， 故答案为：且． 【题型6 分式方程的实际应用】 20．（24-25八年级上·全国·期末）某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1440元，购买乙种用了2430元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的1.5倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵6元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元； (2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5000元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？ 【答案】(1)甲种滑动变阻器的单价是48元，乙种滑动变阻器的单价是54元 (2)该校最少可以购买67个甲种滑动变阻器 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用； （1）设甲种滑动变阻器的单价为x元，则乙种滑动变阻器的单价为元，根据题意可得出关于的分式方程，解之即可得出结论； （2）设该校购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个，利用总价单价数量，结合总费用不超过5000元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值，即可得出结论． 【详解】（1）设甲种滑动变阻器的单价为x元，则乙种滑动变阻器的单价为元， 根据题意得： 解得：， 经检验，是所列方程的根，且符合题意． ∴， 答：甲种滑动变阻器的单价是48元，乙种滑动变阻器的单价是54元； （2）设该校购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个， 根据题意得：， 解得：， ∴整数m的最小值为67， 答：该校最少可以购买67个甲种滑动变阻器． 21．（23-24八年级下·河南郑州·期末）年月日，习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买型和型两种农机具，已知件型农机具比件型农机具多万元，用万元购买型农机具和万元购买型农机具的数量相同． (1)求购买件型农机具和件型农机具各需多少钱？ (2)若该粮食生产基地计划购买型和型两种农机具共件，且购买的总费用不超过万元，购买型农机具最多能购买多少件？ 【答案】(1)购买一件型农机具需要万元，购买一件型农机具需要万元 (2)最多可以购买件型农机具 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设购买一件型农机具需要万元，购买一件型农机具需要万元，根据用万元购买型农机具和万元购买型农机具的数量相同．列出分式方程，解方程即可； （2）设购买型农机具件，则乙种农机具能购买件，根据购买的总费用不超过万元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）设购买一件型农机具需要万元，购买一件型农机具需要万元， 根据题意，得 解这个方程，得， 经检验，是原方程的解， （万元）， 所以，购买一件型农机具需要万元，购买一件型农机具需要万元； （2）设购买型农机具件， 根据题意，得 解这个不等式，得 所以，最多可以购买件型农机具． 22．（23-24八年级下·重庆渝北·期末）随着科学技术发展，人工智能在各行各业得到广泛运用．某零件生产企业购进甲、乙两类智能机器共30台，其中甲类智能机器8万元/台，乙类智能机器5万元/台，共花费 180万元． (1)购进的甲、乙两类智能机器分别是多少台？ (2)在运用这两类智能机器中，每台智能机器每小时完成的零件数量，甲类比乙类多20个，1台甲类智能机器完成200个零件与1台乙类智能机器完成120个零件的时间相等．甲类智能机器每天能工作16小时，乙类智能机器每天能工作12小时．该企业购进的这30台智能机器，每天能完成的零件总量是多少? 【答案】(1)购进的甲类智能机器是台，则购进的乙类智能机器是台； (2)该企业购进的这30台智能机器，每天能完成的零件总量是15200件． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，有理数混合运算的应用，正确理解题意，准确找出数量关系列方程是解题关键． （1）设购进的甲类智能机器是台，则购进的乙类智能机器是台，根据“甲类智能机器8万元/台，乙类智能机器5万元/台，共花费 180万元”列方程求解即可； （2）设甲类智能机器每小时完成的零件数量为件，则乙类智能机器每小时完成的零件数量为件，根据“1台甲类智能机器完成200个零件与1台乙类智能机器完成120个零件的时间相等”列分式方程，求出甲、乙两类智能机器每小时完成的零件数，再计算求解即可． 【详解】（1）解：设购进的甲类智能机器是台，则购进的乙类智能机器是台， 由题意得：， 解得：， （台）， 答：购进的甲类智能机器是台，则购进的乙类智能机器是台； （2）解：设甲类智能机器每小时完成的零件数量为件，则乙类智能机器每小时完成的零件数量为件， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， （件）， 即甲类智能机器每小时完成的零件件，乙类智能机器每小时完成的零件件， （件）， 答：该企业购进的这30台智能机器，每天能完成的零件总量是15200件． 23．（23-24八年级上·宁夏固原·期末）依据最新出台的宁夏初中体育与健康学业水平考试方案，自2024年起，宁夏中考体育成绩将以70分计入总成绩中．必考项目包括1000米跑（男生）、800米跑（女生）、1分钟跳绳，每项满分15分．男生选考项目包括立定跳远、50米跑、单杠引体向上、前掷实心球，女生选考项目包括立定跳远、50米跑、1分钟仰卧起坐、前掷实心球．为适应学生体育课学习（课时数、考勤等）、日常参与体育锻炼．我校用3000元购买大、小跳绳共110根，且购买大跳绳与小跳绳的费用相同，大跳绳的单价是小跳绳单价的1.2倍． (1)求大、小两种跳绳的单价各是多少？ (2)若学校计划用不超过7000元的资金再次购买这两种跳绳共260根，已知两种跳绳的价格不变，求大跳绳最多可购买多少根？ 【答案】(1)小跳绳单价是元，大跳绳单价是元； (2)大跳绳最多可购买根． 【分析】本题考差了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，根据题意找出数量关系是解题关键． （1）由题意可知，购买大跳绳与小跳绳的费用均为元，设小跳绳单价是元，则大跳绳单价是元，根据题意列分式方程求解，检验后即可得到答案； （2）设大跳绳购买根，则小跳绳购买根，根据题意列一元一次不等式求解，最大整数解即为答案． 【详解】（1）解：由题意可知，购买大跳绳与小跳绳的费用相同，均为元， 设小跳绳单价是元，则大跳绳单价是元， 则， 解得：， 经检验，是原方程的解， ， 答：小跳绳单价是元，大跳绳单价是元； （2）解：设大跳绳购买根，则小跳绳购买根， 由题意得：， 解得：， 可取的最大整数为， 答：大跳绳最多可购买根． 过关检测 一、单选题 1．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）下列各式与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，涉及因式分解、约分等知识，将各个选项分子分母分解因式，约分后比较结果与是否相等即可确定答案，熟练掌握分式的基本性质是解决问题的关键． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式，根据最简分式的定义：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式，据此即可判断求解，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】解：、分子分母中含有公因数，不是最简分式，该选项不合题意； 、，分子分母中含有公因式，不是最简分式，该选项不合题意； 、是最简分式，该选项符合题意； 、分子分母中含有公因式，不是最简分式，该选项不合题意； 故选：． 3．（24-25八年级上·全国·期末）分式的最简公分母是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简公分母，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 先变形得到，然后根据最简公分母的定义进行判断即可． 【详解】解：， 的最简公分母为， 故选：D ． 4．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）若，则下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的性质进行化简计算，逐一判断即可解答．本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴设， A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、即，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 5．（24-25八年级上·全国·期末）已知，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的求值．根据，然后整体代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 6．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）某中学开展“徒步研学”活动，小新和王老师同时从学校出发到离学校9千米的公园开展研学活动，他们的路线一致，小新随班步行，王老师由于要带班级饮用水需乘车，已知车的速度是步行速度的倍．王老师比小新早80分钟到达目的地，设小新步行速度为x米/分钟，则依题意可列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到等量关系是解决问题的关键．设小新步行速度为米/分钟，则王老师的速度是米/分钟，根据王老师比小新早80分钟到达目的地，列方程即可． 【详解】解：设小新步行速度为x米/分钟，则依题意可列出方程为 故选：C． 二、填空题 7．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）若分式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分母不等于即可求解，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴实数的取值范围是， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）计算的结果是 ． 【答案】x 【分析】本题考查了分式的加减运算．先通分：将分母化为同分母，再将分子因式分解，约分． 【详解】解： 故答案为：x． 9．（24-25八年级上·吉林长春·期中）若关于的方程有增根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的增根问题，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为的根．有增根，那么最简公分母，所以增根是，把增根代入化为整式方程的方程即可求出的值．解题的关键是掌握关于增根问题解决的步骤：①根据最简公分母确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 【详解】解：方程两边都乘， 得：， ∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得：， ∴， 解得：， ∴的值是． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·山东淄博·期中）若，则分式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式基本性质运用．熟练运用分式基本性质是关键．根据分式基本性质，分子和分母同时除以可得． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】根据有理数的乘方，零指数幂公式，负整数指数幂公式计算即可． 本题考查了有理数的乘方，零指数幂公式，负整数指数幂公式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解： ． 12．（24-25八年级上·重庆·期中）先化简，再求值：，请从、、0、3中选取合适的的值代入． 【答案】，当时，原式 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先根据分式的混合运算法则将原式进行化简，再结合原式中各个分式有意义的条件找出x的值，代入化简以后的式子中求值即可． 【详解】解： ， 要使原分式有意义，则x应满足 ，即且且， ∴当时，原式． 13．（24-25八年级上·山东东营·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了解分式方程，掌握转化思想，把分式方程转化为整式方程求解是解题的关键． （）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解： ， ， ， 检验：当时，， 所以原分式方程的解为； （2）解：， ， ， ， 经检验：是原分式方程的解． 14．（24-25八年级上·重庆·期中）秋风送爽，蟹香四溢，又到了吃大闸蟹的黄金季节．阳澄湖大闸蟹大量上市，一只母蟹比一只公蟹的售价贵12元．若顾客用2400元分别购买两种大闸蟹，则公蟹的数量是母蟹数量的1.25倍． (1)求公蟹、母蟹的售价； (2)赶上“双十一”大促，公蟹和母蟹都进行了降价促销活动，母蟹按原价的九折出售，公蟹每只降价6元．某公司计划购买100只大闸蟹奖励员工，其中母蟹数量比公蟹数量的倍还多，且总费用不超过5000元，请问应该购买母蟹、公蟹各多少只？ 【答案】(1)公蟹的单价是元，母蟹的单价是元； (2)购买34个公蟹，66个母蟹 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解一元一次不等式组的实际应用，根据题意找出数量关系，列出方程和不等式组是解题的关键． （1）设公蟹的单价是x元，则母蟹的单价是元，利用数量＝总价÷单价，结合用2400元分别购买两种大闸蟹，则公蟹的数量是母蟹数量的1.25倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出公蟹的单价，再将其代入中，即可求出母蟹的单价； （2）设该公司购买m个公蟹，则购买个母蟹，根据“购买100只大闸蟹奖励员工，其中母蟹数量比公蟹数量的倍还多，且总费用不超过5000元，”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出购买方案． 【详解】（1）解：设公蟹的单价是x元，则母蟹的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：公蟹的单价是元，母蟹的单价是元； （2）解：设该公司购买m只公蟹，则购买只母蟹， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为34， ∴该公司购买34只公蟹，66只母蟹. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$