第04讲椭圆期末复习讲义-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

努力成就梦想 方法创造奇迹 第04讲　椭　圆 【必备知识】 1、椭圆的定义：且为常数 注意：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为线段；当时，轨迹不存在。 2、方程： 焦点在轴上，标准方程 焦点在轴上，标准方程 3、性质： （1）是椭圆上的一点切线方程： （2）弦长公式： （3）通径（过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦） 最短的焦点弦= （4）椭圆上的不同的三点，其中两点关于原点对称，则 （5）弦中点利用点差法：如果已知某点为弦的中点，则这条弦所在直线的斜率可以用弦的中点坐标表示：在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率为 考点1　椭圆的定义 1、已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　) A．13 B．12 C．9 D．6 2、设点P为椭圆C：＋＝1(a＞2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝90°，则△PF1F2的面积为__________________． 考点2　椭圆的标准方程 1、已知动点M到两个定点A(－2，0)，B(2，0)的距离之和为6，则动点M的轨迹方程为(　　) A．＋y2＝1 B．＋＝1 C．＋x2＝1 D．＋＝1 2、经过椭圆M：＋＝1(a>b>0)的左焦点和上顶点的直线记为l．若椭圆M的中心到直线l的距离等于2，且短轴长是焦距的2倍，则椭圆M的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 考点3　椭圆的几何性质 1、已知分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得线段的中垂线恰好经过焦点，则椭圆的离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D. 2、设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，P是椭圆C上一点，且PF1与x轴垂直，直线PF2与椭圆C的另一个交点为Q．若直线PQ的斜率为－，则椭圆C的离心率为(　　) A． B． C． D． 考点4　直线与椭圆的位置关系 1、已知椭圆C：＋y2＝1，直线l交椭圆C于A，B两点．若点P(－1，1)满足＋＋＝0(O为坐标原点)，求AB的长． 　　 限时训练（30分钟） 姓名： 得分： 一、单选题（每题6分，共36分） 1.椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　) 5，3， 10，6， 5，3， 10，6， 2.若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是(　　) (0，＋∞) (0，2) (1，＋∞) (0，1) 3.已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0，4)，则顶点A的轨迹方程是(　　) ＋＝1(x≠0) ＋＝1(x≠0) ＋＝1(x≠0)= ＋＝1(x≠0) 4.直线y＝x＋1被椭圆x2＋4y2＝8截得的弦长是(　　) 5.2021年2月10日，天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道(将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点).2月15日17时，天问一号探测器成功实施捕获轨道远火点(椭圆轨道上距离火星表面最远的一点)平面机动，同时将近火点高度调整至约265 km.若此时远火点距离约为11 945 km，火星半径约为3 395 km，则调整后天问一号的运行轨迹(环火轨道曲线)的焦距约为(　　) 11 680 km 5 840 km 19 000 km 9 500 km 6.已知F是椭圆C：＋＝1的左焦点，P为C上一点，点A，则|PA|＋|PF|的最小值为(　　) 4 二、多选题 （每题6分，共12分） 7.若F1，F2为椭圆C的两个焦点，椭圆C上存在点P，使得∠F1PF2＝90°，则椭圆C的方程可以是(　　) ＋＝1 ＋＝1 ＋＝1 ＋＝1 8.设椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中正确的是(　　) 当点P不在x轴上时，△PF1F2的周长是6 当点P不在x轴上时，△PF1F2面积的最大值为。 存在点P，使PF1⊥PF2 |PF1|的取值范围是[1，3] 三、填空题（每题6分，共12分） 9.以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为2，则椭圆长轴长的最小值为________. 10.已知动点M(x，y)到点F(－2，0)的距离与到定直线x＝－6的距离之比为，则点M的轨迹方程为________________________. 四、解答题（每题20分，共40分） 11.已知椭圆C的焦点分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，长轴长为6，设直线y＝x＋2交椭圆C于A，B两点. (1)求线段AB的中点坐标； (2)求△AOB的面积. 12.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，且过点A. (1)求椭圆的方程； (2)在椭圆C上找一点P，使它到直线l：x＋y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离. 答案 1.　B 2.D 3.B 4.A 5. A 6.D 7.ACD 8.ABD 9.4 10.＋＝1 11.解　(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，由题意a＝3，c＝2，得b＝1， 所以椭圆C的方程为＋y2＝1.由得10x2＋36x＋27＝0.因为Δ>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，y1＋y2＝(x1＋2)＋(x2＋2)＝，故线段AB的中点坐标为. (2)设点O到直线y＝x＋2的距离为d，则d＝＝.又由(1)知x1x2＝， 所以|AB|＝＝＝， 故S△AOB＝××＝. 12.解　(1)由题意可知2c＝2，∴c＝，a2＝b2＋c2＝b2＋2，得点A的坐标代入＋＝1，解得b2＝1，则a2＝3，故椭圆方程为＋y2＝1. (2)设与直线l：x＋y＋4＝0平行的直线x＋y＋m＝0与椭圆相切， 联立直线与椭圆方程得消去y并整理，得4x2＋6mx＋3m2－3＝0， 由其根的判别式Δ＝(6m)2－16(3m2－3)＝0，解得m＝2，m＝－2(舍). 当m＝2时，直线l与直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝. 将m＝2代入4x2＋6mx＋3m2－3＝0可解得x＝－，将x＝－代入x＋y＋2＝0可得y＝－，则点P的坐标为，此时距离的最小值为. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$