专题1-1 一元二次方程（考题猜想，热考必刷47题14种题型）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版）

考题猜想1-1 一元二次方程 （热考必刷47题14种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 考查一元二次方程的定义 · 一元二次方程一般式 · 由一元二次方程的解求参数 · 一元二次方程解的估算 · 选用合适的方法解一元二次方程 · 换元法解一元二次方程 · 利用配方法求最值 · 与一元二次方程有关的恒成立问题 · 根据一元二次根有无实数根求参数 · 与一元二次方程有关的整数解问题 · 一元二次方程根与系数的关系 · 根据一元二次方程根的情况求解 · 与一元二次方程有关的新定义问题 · 一元二次方程与实际问题 一．考查一元二次方程的定义（共2小题） 1．（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 2．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知关于x的方程． (1)当a为何值时，方程是一元一次方程； (2)当a为何值时，方程是一元二次方程； (3)当该方程有两个实根，其中一根为0时，求a的值． 二．一元二次方程一般式（共3小题） 3．（22-23九年级上·江西景德镇·期中）当为什么数时，关于的方程是一元二次方程？写出它的二次项系数，一次项系数和常数项． 4．（20-21九年级上·陕西渭南·阶段练习）关于x的一元二次方程2（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0化为一般形式后为2x2﹣3x﹣1＝0，试求b，c的值． 5．（23-24八年级下·广西崇左·期中）把一元二次方程按如下要求计算： (1)化为一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项． (2)求这个一元二次方程的解． 三．由一元二次方程的解求参数（共4小题） 6．（24-25九年级上·广东深圳·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程的一个根为，求a的值； (2)若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值． 7．（24-25九年级上·湖南永州·期中）定义新运算：对于任意实数a，b，c，d有，其中等式右边是常用的乘法和减法运算．如：． (1)求的值； (2)已知关于x的方程的一个根为2，求m的值． 8．（24-25九年级上·广东广州·期中）已知关于x的方程的根为、． (1)当时，求的值； (2)若方程的一个根，求a的值与另一个根． 9．（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知 m是方程的一个根，求代数式的值． 四．一元二次方程解的估算（共2小题） 10．（23-24九年级上·全国·单元测试）小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 11．（22-23七年级下·云南昆明·期末）无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分不可能全部写出来． 材料一：估算法确定无理数的小数部分． ∵，即，∴的整数部分为，∴的小数部分为； 材料二：面积法求一个无理数的近似值， 已知面积为的正方形的边长是，∵，∴设（为的小数部分，）， 画出示意图：由图可知，正方形的面积由四个部分组成，， ∵，∴，略去，得方程，解得，即， 解决问题： (1)结合你所学的知识，探究的近似值（结果精确到）； (2)请总结估算（为开方开不尽的数）的一般方法． 五．选用合适的方法解一元二次方程（共3小题） 12．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）用指定的方法解下列方程： (1)；（公式法） (2)；（配方法） (3)；（因式分解法） (4)．（合适方法） 13．（22-23八年级下·山东泰安·阶段练习）用合适方法解下列方程 (1)； (2)． (3) (4) 14．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）解方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 六．换元法解一元二次方程（共5小题） 15．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①， 解得，． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，，． (1)解方程． (2)解方程 16．（23-24九年级上·重庆江津·期中）阅读下面的例题，回答问题： 例：解方程： 令，原方程化成 解得（不合题意，舍去） 原方程的解是． 请模仿上面的方法解方程： 17．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)解方程：； (2)已知实数x，y满足，求的值； (3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数． 18．（24-25九年级上·全国·单元测试）解方程： 19．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，一元一次方程是各类方程的重要基础．解二元一次方程组时，通过“消元”转化为一元一次方程：解一元二次方程时，通过“降次”转化为一元一次方程；解分式方程时，通过“去分母”转化为整式方程．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如：方程的解法如下： 解：原方程变形为 设，得方程 解这个方程得， 当时，，∴ 当时，无意义． 检验：把代入原方程，等式成立． ∴原方程的解为 仔细阅读该方程解法过程，尝试解下列新方程： (1)； (2)． 七．利用配方法求最值（共4小题） 20．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解： 无论取何实数，都有， ，即的最小值为2． 试利用配方法解决下列问题： (1)直接写出的最小值 ； (2)比较代数式与的大小，并说明理由； (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值． 21．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； ∵无论x取何实数，都有， ∴，即的最小值为2． 【尝试应用】（1）请直接写出的最小值 ； 【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，则四边形的面积S，S的最大值是 ．（提示：） 22．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）求代数式的最小值时，我们通常运用“”这个公式对代数式进行配方来解决．比如， ∵，∴，∴的最小值是．试利用“配方法”解决下列问题： (1)填空：的最小值是 ； (2)求的最小值； (3)如图，将边长为的正方形一边保持不变，另一组对边增加得到如图2所示的新长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为； ①用含的代数式表示出，； ②比较，的大小． 23．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）阅读理解： 对于一个关于x的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法，比如先令，然后移项可得，再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围，请仔细阅读下面的例子． 例：求的取值范围． 解：令，，. . ． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)求的取值范围； (2)若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为，求a的值； 八．与一元二次方程有关的恒成立问题（共4小题） 24．（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知关于x的方程（m为常数）． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； (2)若，且该方程的两个实数根的差为3，则m的值为______． 25．（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知关于x的一元二次方程（m为常数）． (1)求证：不论m为何值，该方程总有实数根； (2)若方程的一个根是另一个根的两倍，求方程的两个根． 26．（24-25九年级上·江苏南京·期中）一元二次方程的根有3种情况，分别是有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根以及没有实数根．基于上述认识，我们继续探索“”型的方程（M，N都是只含x的整式）的根的情况． (1)当，时，该类型方程的根的情况是（   ） A．有三个实数根，它们各不相等 B．有三个实数根，有且只有两个根相等 C．有三个实数根，它们都相等 D．没有实数根 (2)下列“”型的方程： ①； ②； ③； ④； ⑤． 至少有两个相等的实数根的方程是 （填序号）． (3)当，（c是常数）时，请写出该类型方程的根的情况及对应的c的取值范围． 九．根据一元二次根有无实数根求参数（共4小题） 27．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若方程其中一个根为，求另一根及值； (2)若该方程有实数根，求的取值范围． 28．（24-25九年级上·江苏南京·期中）关于的一元二次方程． (1)求证：当时，此方程必有实数根； (2)若方程有两个相等的整数根，写出满足条件的一组的值，并求此时方程的根． 29．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）已知方程是关于x的一元二次方程． (1)若该一元二次方程没有实数根，试求k的取值情况； (2)若该一元二次方程有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k的值，并求出方程的根． 一十．与一元二次方程有关的整数解问题（共3小题） 30．（22-23九年级上·山东济宁·期中）我们可以利用解二元一次方程组的代入消元法解形如的二元二次方程组，实质是将二元二次方程组转化为一元一次方程或一元二次方程来求解．其解法如下： 解：由②得：    ③ 将③代入①得： 整理得：，解得， 将，代入③得， ∴原方程组的解为或． (1)请你用代入消元法解二元二次方程组：； (2)若关于x，y的二元二次方程组有实数解，求实数a的取值范围． 31．（22-23九年级上·辽宁鞍山·期中）已知关于x的一元二次方程，p为实数． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由） 32．（21-22九年级上·河南南阳·期末）已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)试写出三个的值，使一元二次方程有整数解，并简要说明理由． 33．（22-23八年级上·浙江温州·阶段练习）关于的方程，至少有一个整数解，且是整数，求的值. 一十一．一元二次方程根与系数的关系（共6小题） 34．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k为何实数，方程总有两个实数根； (2)若一元二次方程有两个根和，且，求k的值． 35．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根： (2)设该方程的两个实数根为． ①求代数式：的最大值； ②若方程的一个根是6，和是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长． 36．（23-24九年级上·江苏南通·期末）关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，存不存在这样的实数k，使得？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由． 37．（22-23九年级上·江苏无锡·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根为，，且满足，求实数m的值． 38．（22-23八年级上·江苏南通·期末）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得，．又因为，所以关于x的方程的解为，． (1)理解应用：方程的解为：______，______； (2)知识迁移：若关于x的方程的解为，，求的值； (3)拓展提升：若关于x的方程的解为，，且，求k的值． 39．（22-23九年级上·辽宁葫芦岛·期末）阅读材料，若关于的一元二次方程的两根为，，则根据求根公式可知，，． 由此可得，， ． 根据上述材料，结合自己所学知识，解决如下问题： (1)一元二次方程的两根为，，则________，________； (2)一元二次方程的两根为，，则________； (3)若，满足，，且．求的值． 一十二．根据一元二次方程根的情况求解（共4小题） 40．（23-24九年级上·福建漳州·期末）关于x的方程． (1)求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两根均为负数，求k的取值范围． 41．（22-23九年级上·福建泉州·期末）已知关于的方程有实数根． (1)若方程的两根之和为整数，求的值； (2)若方程的根为有理根，求整数的值． 42．（22-23九年级上·福建泉州·期末）关于x的一元二次方程． (1)不解方程，判断该方程的根的情况； (2)设，是方程的两根，其中有一根不大于0，若，求y的最大值． 43．（21-22八年级下·江苏扬州·期末）已知关于的一元二次方程 ． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个实数根； (2)若该方程的两根都是整数，求整数的值． 一十三．与一元二次方程有关的新定义问题（4小题） 44．（23-24九年级上·广东佛山·期末）定义运算：．若a，b是方程的两根，求的值． 45．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）定义新运算“”：对于实数m，n，p，q．有，其中等式的右边是通常的加法和乘法运算．例如：． (1)求关于x的方程的根； (2)若关于x的方程有两个实数根，求k的取值范围． 46．（21-22九年级上·江苏扬州·期末）定义一种新的运算方式： （其中且n是整数），例如， ． (1)若，求n的值； (2)记，当时，求n的取值范围． 47．（21-22九年级上·江苏盐城·期末）定义新运算：对于任意实数，都有★，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：★．根据以上知识解决问题： (1)若★，求的值． (2)若2★的值小于0，请判断关于的方程：的根的情况． 一十四．一元二次方程与实际问题（共8小题） 44．（23-24九年级上·广东佛山·期末）定义运算：．若a，b是方程的两根，求的值． 45．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）定义新运算“”：对于实数m，n，p，q．有，其中等式的右边是通常的加法和乘法运算．例如：． (1)求关于x的方程的根； (2)若关于x的方程有两个实数根，求k的取值范围． 46．（21-22九年级上·江苏扬州·期末）定义一种新的运算方式： （其中且n是整数），例如， ． (1)若，求n的值； (2)记，当时，求n的取值范围． 47．（21-22九年级上·江苏盐城·期末）定义新运算：对于任意实数，都有★，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：★．根据以上知识解决问题： (1)若★，求的值． (2)若2★的值小于0，请判断关于的方程：的根的情况． $$考题猜想1-1 一元二次方程 （热考必刷47题14种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 考查一元二次方程的定义 · 一元二次方程一般式 · 由一元二次方程的解求参数 · 一元二次方程解的估算 · 选用合适的方法解一元二次方程 · 换元法解一元二次方程 · 利用配方法求最值 · 与一元二次方程有关的恒成立问题 · 根据一元二次根有无实数根求参数 · 与一元二次方程有关的整数解问题 · 一元二次方程根与系数的关系 · 根据一元二次方程根的情况求解 · 与一元二次方程有关的新定义问题 · 一元二次方程与实际问题 一．考查一元二次方程的定义（共2小题） 1．（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元一次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义和一元一次方程的定义． （1）根据一元一次方程的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵方程是一元一次方程， 则且． 解得； （2）解：方程是一元二次方程， 则， 解得． 2．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知关于x的方程． (1)当a为何值时，方程是一元一次方程； (2)当a为何值时，方程是一元二次方程； (3)当该方程有两个实根，其中一根为0时，求a的值． 【答案】(1)1 (2)且 (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义及其解得定义，一元一次方程的定义： （1）根据一元一次方程的定义，即可求解； （2）根据一元二次方程的定义，即可求解； （3）把代入，原方程变形为，再结合，即可求解． 【详解】（1）解：∵方程是一元一次方程， ∴且， 解得：； （2）解：∵方程是一元二次方程， ∴， 解得：且； （3）解：当时，原方程为， 解得：， ∵该方程有两个实根， ∴， ∴且， ∴． 二．一元二次方程一般式（共3小题） 3．（22-23九年级上·江西景德镇·期中）当为什么数时，关于的方程是一元二次方程？写出它的二次项系数，一次项系数和常数项． 【答案】当时，关于的方程是一元二次方程，它的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，， 【分析】先把方程化成一般形式，再根据一元二次方程的定义得出当时，方程是一元二次方程，再求出答案即可． 【详解】解：， ， 关于的方程是一元二次方程， ， 即当时，关于的方程是一元二次方程，它的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，，． 4．（20-21九年级上·陕西渭南·阶段练习）关于x的一元二次方程2（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0化为一般形式后为2x2﹣3x﹣1＝0，试求b，c的值． 【答案】b＝1，c＝﹣2． 【分析】先利用乘法公式展开，再合并得到一般式为2x2+（b﹣4）x+2﹣b+c＝0，于是得到b﹣4＝﹣3，2﹣b+c＝﹣1，然后解方程得到b、c的值． 【详解】解：2（x2﹣2x+1）+bx﹣b+c＝0， 2x2+（b﹣4）x+2﹣b+c＝0， 所以b﹣4＝﹣3，2﹣b+c＝﹣1， 解得b＝1，c＝﹣2． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的一般式，解题的关键是熟知乘方公式的运用． 5．（23-24八年级下·广西崇左·期中）把一元二次方程按如下要求计算： (1)化为一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项． (2)求这个一元二次方程的解． 【答案】(1)一般形式为：，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为0． (2)， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，因式分解法解一元二次方程． （1）首先将该方程进行化简，整理成一元二次方程的一般形式，即，且的形式，然后根据二次项系数，一次项系数以及常数项的定义即可解答本题． （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ∴一般形式为：，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为0． （2）由（1）知化为， ∴ ， ∴或， ∴，． 三．由一元二次方程的解求参数（共4小题） 6．（24-25九年级上·广东深圳·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程的一个根为，求a的值； (2)若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解等知识； （1）将代入一元二次方程即可求a； （2）由于根的存在性可得，再结合二次项系数，可求a的范围为且，即可求解． 【详解】（1）解：∵方程的一个根为， 将代入一元二次方程， 可得， ； （2）解：∵是一元二次方程， ∴，即 ∵方程有实数根， ∴ 解得： ∴且 ∵a是正整数， ∴． 7．（24-25九年级上·湖南永州·期中）定义新运算：对于任意实数a，b，c，d有，其中等式右边是常用的乘法和减法运算．如：． (1)求的值； (2)已知关于x的方程的一个根为2，求m的值． 【答案】(1)10； (2)． 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的解，理解新定义是解题的关键． （1）根据定义计算即可； （2）先根据定义化简，再将代入，即可求解． 【详解】（1）解：因为， 所以； （2）解：因为， 所以， 又因为方程的一个根为2， 所以， 解得． 8．（24-25九年级上·广东广州·期中）已知关于x的方程的根为、． (1)当时，求的值； (2)若方程的一个根，求a的值与另一个根． 【答案】(1)7 (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练运用根与系数的关系是解题的关键． （1）将代入方程，利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）将代入方程，利用一元二次方程根与系数的关系建立方程组求解即可； 【详解】（1）∵当时，方程为， ， ； （2）∵方程的根为、， 又 ， 即， 解得：， 9．（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知 m是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程解的定义．先根据m是方程的一个根，得出，求出，然后再整体代入求值即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 四．一元二次方程解的估算（共2小题） 10．（23-24九年级上·全国·单元测试）小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 【答案】(1)见解析 (2)矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握求一元二次方程近似解的方法和步骤． （1）分别计算当、、、时代数式的值，即可补充表格； （2）根据（1）中得出的x的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴补充表格如下： 第一步：           3 所以 第二步：                          所以 ． （2）解：由（1）可得：， ∴矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3． 11．（22-23七年级下·云南昆明·期末）无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分不可能全部写出来． 材料一：估算法确定无理数的小数部分． ∵，即， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为； 材料二：面积法求一个无理数的近似值， 已知面积为的正方形的边长是， ∵， ∴设（为的小数部分，）， 画出示意图：由图可知，正方形的面积由四个部分组成，， ∵， ∴， 略去，得方程， 解得， 即， 解决问题： (1)结合你所学的知识，探究的近似值（结果精确到）； (2)请总结估算（为开方开不尽的数）的一般方法． 【答案】(1)； (2)求得的整数部分，即可得到． 【分析】（）利用材料二中的方法画出图形，写出过程即可； （）根据材料二即可总结得出； 本题考查了解一元二次方程，无理数的估算，解题的关键是理解题目给出的方法，熟练进行计算． 【详解】（1）解：（）我们知道面积是的正方形的边长是， ∵， ∴设，可画出如图示意图： 由图中面积计算，， ∵， ∴， ∵是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略， ∴得方程， 解得， ∴； （2）解：估算（为开方开不尽的数）的一般方法：求得的整数部分，即可得到． 五．选用合适的方法解一元二次方程（共3小题） 12．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）用指定的方法解下列方程： (1)；（公式法） (2)；（配方法） (3)；（因式分解法） (4)．（合适方法） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）根据公式法解方程即可； （2）先把二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而解方程即可； （3）利用提取公因式法先分解因式，再解方程即可； （4）利用十字相乘法分解因式，再解方程即可． 【详解】（1）解；∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （4）解：∵， ∴， ∴或， 解得． 13．（22-23八年级下·山东泰安·阶段练习）用合适方法解下列方程 (1)； (2)． (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）利用公式法求解即可； （2）变形后，利用因式分解法求解； （3）利用因式分解法求解； （4）移项后，利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， 则，，， ∴， ∴， 解得：，； （2）， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； （3）， ∴， ∴或， 解得：，； （4）， ∴， ∴， 即， ∴或， 解得：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的不同解法．一般有直接开平方法，配方法，求根公式法和因式分解法，要针对题目选用适当的方法求解． 14．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）解方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3)， (4)， (5) (6) 【分析】本题考查了解一元二次方程，一般方法有：直接开平方法，配方法，公式法和因式分解法，根据方程的特点选择合适的方法解方程是解题的关键． （1）直接开平方法求解； （2）因式分解法求解； （3）配方法求解； （4）因式分解法求解； （5）因式分解法求解； （6）因式分解法求解． 【详解】（1）解： 或 ∴； （2）解： 或， ∴； （3）解： 或 ∴，； （4）解：， 或 ∴，； （5）解： 或 ∴； （6）解： 或 ∴． 六．换元法解一元二次方程（共5小题） 15．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①， 解得，． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，，． (1)解方程． (2)解方程 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查了绝对值的意义，换元法解一元二次方程，当所给方程的指数较大，又有倍数关系时，可考虑用换元法降次求解，掌握相关知识是解题的关键． （1）设，则原方程可化为，求出方程的解，再求出即可； （2）原方程可化为，设，原方程可化为，求出方程的解，再求出即可． 【详解】（1）解：设，原方程可化为， 解得：，． 由，得，． 由，得方程， ，此时方程无解． ∴原方程的解为：，． （2）解：原方程可化为， 设，原方程可化为， 解得，， 由，得，， 由，此时方程无解， ∴原方程的解为，． 16．（23-24九年级上·重庆江津·期中）阅读下面的例题，回答问题： 例：解方程： 令，原方程化成 解得（不合题意，舍去） 原方程的解是． 请模仿上面的方法解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令，则原方程化为，解方程得到，则，据此求解即可． 【详解】解：令，则原方程化为， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 解得． 17．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)解方程：； (2)已知实数x，y满足，求的值； (3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数． 【答案】(1) (2)6 (3)1，2，3，4 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，直接开平方的方法解一元二次方程： （1）利用直接开平方的方法解方程即可； （2）设，则，解方程得到或（舍去），则． （3）设最小的正整数为x，则其他三个正整数分别为，由题意得：，则，令，则，解方程得到解得或（舍去），则，解得或（舍去），据此可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解；设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴． （3）解：设最小的正整数为x，则其他三个正整数分别为， 由题意得：， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴这四个连续的正整数为1，2，3，4． 18．（24-25九年级上·全国·单元测试）解方程： 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、解分式方程、完全平方公式等知识点，利用完全平方公式把方程变形是解题的关键． 利用完全平方公式把方程变形为，设，则，通过解一元二次方程可得m的值，即可求出可能的值，然后再分别得出分式方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即：， 设，则， 因式分解得：， ∴或， 解得：或， 当时，则， 整理得：， ∴， 解得：，， 经检验，，都是方程的解； 当时，则， 整理得：， ， ∴时，方程无解． 综上，该方程的解为：，． 19．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，一元一次方程是各类方程的重要基础．解二元一次方程组时，通过“消元”转化为一元一次方程：解一元二次方程时，通过“降次”转化为一元一次方程；解分式方程时，通过“去分母”转化为整式方程．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如：方程的解法如下： 解：原方程变形为 设，得方程 解这个方程得， 当时，，∴ 当时，无意义． 检验：把代入原方程，等式成立． ∴原方程的解为 仔细阅读该方程解法过程，尝试解下列新方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或； (2)，． 【分析】本题考查解高次方程和分式方程，解题的关键是读懂阅读材料，把未知转化为已知，注意解分式方程必须检验． （1）设，得方程，利用阅读材料中的方法求解即可； （2）方程整理得，设，得方程，利用阅读材料中的方法求解即可． 【详解】（1）解：设，得方程， 解这个方程得，， 当时，，解得， 经检验，，是原方程的解； 当时，， 解得， 经检验，，是原方程的解； ∴原方程的解为或； （2）解：原方程变形为， 设，得方程， 整理得， 解这个方程得，， 当时，，即， 解得，； 当时，，即， ， 方程没实数解，舍去， ∴原方程的解为，． 七．利用配方法求最值（共4小题） 20．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解： 无论取何实数，都有， ，即的最小值为2． 试利用配方法解决下列问题： (1)直接写出的最小值 ； (2)比较代数式与的大小，并说明理由； (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了配方法的应用．利用配方法把二次式变形为一个完全平方式和常数的和是解题的关键． （1）原式配方后得到，即可得到答案； （2）将两式相减后利用配方法即可判断； （3）利用，结合，代入后配方得，即可得到答案． 【详解】（1）解： 无论取何实数，都有， ，即的最小值为3． 故答案为：3． （2）解： （3）解：四边形面积为： 四边形面积的最大值为． 21．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； ∵无论x取何实数，都有， ∴，即的最小值为2． 【尝试应用】（1）请直接写出的最小值 ； 【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，则四边形的面积S，S的最大值是 ．（提示：） 【答案】（1）；（2）见解析；（3）50 【分析】本题主要考查了配方法在求最值中的应用，二次根式有意义的条件，解决问题的关键是熟练掌握配方法，注意当配上一次项系数一半的平方时，二次项系数要化成“1”后才能配方 （1）根据配方法进行配方即可求得答案； （2）根据配方法进行配方，得到即可求解； （3）根据，得到，设，得到面积关于x的表达式，再对表达式进行配方，即可求得最大值． 【详解】解：（1） ， ∵， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：1； （2） ∵， ∴， ∴无论x取何实数，二次根式都有意义； （3）设，交于点O，如下图所示， ∵， ∴ ， 设，则, ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积最大值为50． 22．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）求代数式的最小值时，我们通常运用“”这个公式对代数式进行配方来解决．比如， ∵，∴，∴的最小值是．试利用“配方法”解决下列问题： (1)填空：的最小值是 ； (2)求的最小值； (3)如图，将边长为的正方形一边保持不变，另一组对边增加得到如图2所示的新长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为； ①用含的代数式表示出，； ②比较，的大小． 【答案】(1)； (2)； (3)①；；②． 【分析】本题主要考查配方法的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用完全平方公式是关键. （1）依据题意，对多项式进行配方，进而根据偶次方的非负性可以得解； （2）依据题意，对多项式进行配方，进而根据偶次方的非负性可以得解； （3）①依据题意，根据图形进行计算即可得解；②依据题意，根据①所求和，通过作差法进行比较大小即可得解， 【详解】（1）解： ∵， ∴ ∴的最小值是， 故答案为：； （2）解： ， ∵，， ∴， ∴的最小值为； （3）解：①边长为的正方形一边保持不变，另一组对边增加得到新长方形，长方形的面积为， ∴， 正方形的边长增加，得到新正方形，正方形的面积为， ∴； ②， ∵， ∴，即， ∴． 23．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）阅读理解： 对于一个关于x的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法，比如先令，然后移项可得，再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围，请仔细阅读下面的例子． 例：求的取值范围． 解：令，，. . ． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)求的取值范围； (2)若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为，求a的值； 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）令，构造以x为主元的一元二次方程，利用根的判别式解答即可． （2）根据二次三项式（a为常数）的最小值为，得到，解答求a的值； 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，配方法的应用，解方程，熟练掌握判别式是解题的关键． 【详解】（1）解：令， ∴， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵二次三项式（a为常数）的最小值为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴最小， 解得或． 八．与一元二次方程有关的恒成立问题（共4小题） 24．（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知关于x的方程（m为常数）． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； (2)若，且该方程的两个实数根的差为3，则m的值为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，解一元二次方程，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系是解决问题的关键． （1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系求解，即可解题； （2）利用因式分解法解一元二次方程，再结合题意列式求解，即可解题． 【详解】（1）证明： ， 即有， 不论m取何值，方程总有两个实数根； （2）解：∵， ∴， 即或， 解得，， ，且该方程的两个实数根的差为3， ， 解得． 故答案为：． 25．（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知关于x的一元二次方程（m为常数）． (1)求证：不论m为何值，该方程总有实数根； (2)若方程的一个根是另一个根的两倍，求方程的两个根． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程： （1）根据题意只需要证明即可； （2）利用十字相乘法得到，解得，再根据方程的一个根是另一个根的两倍进行求解即可． 【详解】（1）证明：由题意得， ， ∵， ∴， ∴不论m为何值，该方程总有实数根； （2）解：∵， ∴， 解得， ∵方程的一个根是另一个根的两倍， ∴或， ∴原方程的两个根为或． 26．（24-25九年级上·江苏南京·期中）一元二次方程的根有3种情况，分别是有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根以及没有实数根．基于上述认识，我们继续探索“”型的方程（M，N都是只含x的整式）的根的情况． (1)当，时，该类型方程的根的情况是（   ） A．有三个实数根，它们各不相等 B．有三个实数根，有且只有两个根相等 C．有三个实数根，它们都相等 D．没有实数根 (2)下列“”型的方程： ①； ②； ③； ④； ⑤． 至少有两个相等的实数根的方程是 （填序号）． (3)当，（c是常数）时，请写出该类型方程的根的情况及对应的c的取值范围． 【答案】(1)B (2)①②③⑤ (3)见解析 【分析】本题考查了新定义，涉及因式分解法解一元二次方程，根的判别式判断根的情况，正确理解题意是解题的关键． （1）先得到，则或，解方程即可； （2）分别判断每个方程化为两个一元二次方程后的根的判别式值即可； （3）先得到，然后利用根的判别式进行讨论． 【详解】（1）解： ∴或 解得：， 故选：B． （2）解：①中，则， ∴有两个相等的实数根， ∴①符合题意； ②中，则， ∴有两个相等的实数根， ∴②符合题意； ③， 或， 分别解得， ∴③符合题意； ④，则或，分别解得， ∴④不符合题意； ⑤中，则， ∴有两个相等的实数根， ∴⑤符合题意， 故答案为：①②③⑤； （3）解：由题意得， ①当，即时，没有实数根； ②当，即时，有四个实数根， 则或， 分别解得， 当且时，该方程有四个实数根互不相等（即互不相等）； 当时，该方程的四个实数根有且只有两个根相等（即互不相等，） 当时，该方程的四个实数根中有两个根相等，另外两个根也相等，但它们不全相等（即） 九．根据一元二次根有无实数根求参数（共4小题） 27．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若方程其中一个根为，求另一根及值； (2)若该方程有实数根，求的取值范围． 【答案】(1)另一根为1； (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，根的判别式，熟练掌握解一元二次方程和根的判别式是解答本题的关键． （1）把代入求出n的值，利用因式分解即可求出方程的另一个根； （2）根据根的判别式大于或等于零求解即可． 【详解】（1）解：∵方程其中一个根为， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得，， ∴另一根为1． （2）解：∵该方程有实数根， ∴， ∴． 28．（24-25九年级上·江苏南京·期中）关于的一元二次方程． (1)求证：当时，此方程必有实数根； (2)若方程有两个相等的整数根，写出满足条件的一组的值，并求此时方程的根． 【答案】(1)答案见解析 (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）计算根的判别式的值得到，结合得到，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况； （2）利用方程有两个相等的实数根得到，设 ，方程变形为，然后解方程即可． 【详解】（1）证明：， ， 方程有有的实数根； （2）解：方程有两个相等的非零实数根， ， 若，时，方程变形为 ，解得 （答案不唯一）． 29．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）已知方程是关于x的一元二次方程． (1)若该一元二次方程没有实数根，试求k的取值情况； (2)若该一元二次方程有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k的值，并求出方程的根． 【答案】(1) (2)答案不唯一，当时， 【分析】（1）根据，求k的取值情况即可； （2）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，根据方程的根的判别式，解答即可． 本题考查了根的判别式，解方程，熟练掌握根的判别式和解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：∵方程没有实数根，， ∴， 解得． （2）解：∵方程有两个不相等的实数根，， ∴， 解得． 当时，方程变形为， 解得． 一十．与一元二次方程有关的整数解问题（共3小题） 30．（22-23九年级上·山东济宁·期中）我们可以利用解二元一次方程组的代入消元法解形如的二元二次方程组，实质是将二元二次方程组转化为一元一次方程或一元二次方程来求解．其解法如下： 解：由②得：    ③ 将③代入①得： 整理得：，解得， 将，代入③得， ∴原方程组的解为或． (1)请你用代入消元法解二元二次方程组：； (2)若关于x，y的二元二次方程组有实数解，求实数a的取值范围． 【答案】(1)原方程组的解为或 (2) 【分析】本题考查解二元二次方程组，一元二次方程的根的判别式等知识，读懂题意掌握给出的方法是解题的关键． （1）将前一个方程转化为，代入后一个方程求出x的值，继而利用得出y的值，从而得解； （2）将前一个方程转化为，代入后一个方程得到关于x的方程，然后分所得方程是一元一次方程还是一元二次方程讨论，对于前者直接求解即可，对于后者根据根的判别式与方程的根的关系得出，继而得到关于a的不等式，从而得解． 【详解】（1） 由①，得③ 把③代入②，得． 整理，得． 解得，． 把，代入③，得，． 故原方程组的解为或 （2） 由①得，得③ 把③代入②，得． 整理，得． ①若，则．此时原方程可化为，解得，符合题意； ②若，则且． 解得且． 综上可知，． 31．（22-23九年级上·辽宁鞍山·期中）已知关于x的一元二次方程，p为实数． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)0，，（符合条件的三个都可以） 【分析】 本题考查了一元二次方程的根的情况，判别式的符号，把求未知系数的范围的问题转化为解不等式的问题是解题的关键； （1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明即可； （2）要使方程有整数解，那么x＝为整数即可，于是p可取0，，时，方程有整数解． 【详解】（1） 证明：∵， 原方程可化为， ∵， ∴不论p为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2） 原方程可化为， ∵方程有整数解， ∴为整数即可， ∴当为奇数即可， ∴p可取0，，方程有整数解． 32．（21-22九年级上·河南南阳·期末）已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)试写出三个的值，使一元二次方程有整数解，并简要说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)0，2，，理由见解析 【分析】对于（1），先求出b2-4ac，再判断即可； 对于（2），根据求根公式求出方程的解，再根据题意判断． 【详解】（1）证明：原方程整理，得x2-5x+4-p2=0， ∴b2-4ac=（-5）2-4×（4-p2）=4p2+9＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根； （2）0，2，，理由如下： 原方程的解为. ∵一元二次方程有整数解， ∴为大于1的奇数，即3或5或7或···， 当时，； 当时，； 当时，， ··· 所以p的值为0，2，，原方程有整数解． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系等，掌握b2-4ac与一元二次方程的解的关系是解题的关键． 33．（22-23八年级上·浙江温州·阶段练习）关于的方程，至少有一个整数解，且是整数，求的值. 【答案】a的值为2，，． 【分析】当时为一元一次方程，求出x可知此时无整数解；当时，方程为一元二次方程，由为完全平方数知为完全平方数，设，则n为正奇数且，求出，代入求根公式后根据方程有整数解判断即可． 【详解】解：当时，原方程为， 解得：，即原方程无整数解； 当时，方程为一元二次方程， ∵它至少有一个整数根， ∴为完全平方数，即为完全平方数， 设，则n为正奇数，且，否则， ∴， 由求根公式得：， ∴，， 当为整数，n为正奇数时，n可取1，5，7， 此时对应的值为，，， 当为整数，n为正奇数时， 可得，则； 综上所述，a的值为2，，． 【点睛】本题主要考查公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解题的关键． 一十一．一元二次方程根与系数的关系（共6小题） 34．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k为何实数，方程总有两个实数根； (2)若一元二次方程有两个根和，且，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)k的值为0或． 【分析】本题主要考查了根的判别式及根与系数的关系，熟知一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． （1）利用根的判别式即可解决问题； （2）利用一元二次方程根与系数的关系得出两根之和，再结合，求出两根即可解决问题． 【详解】（1）证明：△， 无论为何实数，方程总有两个实数根； （2）解：由根与系数的关系知， ， 又， 则联立方程组， 解得． 将代入原方程得， ， 解得或， 的值为0或． 35．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根： (2)设该方程的两个实数根为． ①求代数式：的最大值； ②若方程的一个根是6，和是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②等腰三角形的周长为16或17或19或20 【分析】 （1）根据判别式的范围进行证明即可； （2）①根据一元二次方程根与系数关系得到，，则 ，即可得到答案； ②把代入方程解得，分两种情况解方程分别求出原方程的解，根据等腰三角形的定义求解即可． 【详解】（1） 证明：∵ ， ∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2） ①解：∵该方程的两个实数根为 ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∴代数式的最大值为； ②把代入方程得： 解得， 把代入方程得：， ∴， ∴等腰三角形的边长为5，5，6或6，6，5， ∴此等腰三角形的周长为16 或17， 把代入方程得： ∴， ∴等腰三角形的边长为6，6，7或7，7，6， ∴此等腰三角形的周长为19或20， 综上，等腰三角形的周长为16或17或19或20． 【点睛】 此题考查了一元二次方程根与系数关系、根的判别式、解一元二次方程、等腰三角形的定义等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数关系、根的判别式是解题的关键． 36．（23-24九年级上·江苏南通·期末）关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，存不存在这样的实数k，使得？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数之间的关系． （1）根据一元二次方程方程有两个不相等的实数根，得到判别式大于0，列出不等式求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，以及，得到，进行求解即可． 掌握根的判别式与根的个数之间的关系，以及根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意，得：， 解得：； （2）存在， 由题意，得：， ∵， ∴， ∴，即：， 解得：． 37．（22-23九年级上·江苏无锡·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根为，，且满足，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查一元二次方程判别式的意义，直接根据判别式直接进行求解即可； （2）本题考查一元二次方程根于系数的关系，利用根于系数的关系带入原始即可求解． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴． （2）解：由根与系数的关系：，， ∴， ∴． 38．（22-23八年级上·江苏南通·期末）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得，．又因为，所以关于x的方程的解为，． (1)理解应用：方程的解为：______，______； (2)知识迁移：若关于x的方程的解为，，求的值； (3)拓展提升：若关于x的方程的解为，，且，求k的值． 【答案】(1)3， (2) (3) 【分析】（1）类比题目中的例子可得或； （2）由题意可得，再由完全平方公式可得； （3）方程变形为，根据，得方程，求解即可． 【详解】（1）解：的解为，， 的解为或， 故答案为：3，； （2）解：， ，， ； （3）解：可化为， ， ， ． 【点睛】本题考查分式方程的解，一元二次方程的根与系数的关系，理解题意，灵活求分式方程的解，并结合完全平方公式对代数式求值是解题的关键． 39．（22-23九年级上·辽宁葫芦岛·期末）阅读材料，若关于的一元二次方程的两根为，，则根据求根公式可知，，． 由此可得，， ． 根据上述材料，结合自己所学知识，解决如下问题： (1)一元二次方程的两根为，，则________，________； (2)一元二次方程的两根为，，则________； (3)若，满足，，且．求的值． 【答案】(1)2， (2)2 (3) 【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系即可得； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系求出，的值，由此即可得； （3）先得出是一元二次方程的两个不相等的根，再根据一元二次方程的根与系数的关系求出，的值，然后利用完全平方公式求解即可得． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两根为，，且方程中的， ，， 故答案为：2，． （2）解：∵一元二次方程的两根为，，且方程中的， ，， ， 故答案为：2． （3）解：满足，，且， 是一元二次方程的两个不相等的根， ，， ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 一十二．根据一元二次方程根的情况求解（共4小题） 40．（23-24九年级上·福建漳州·期末）关于x的方程． (1)求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两根均为负数，求k的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，解一元一次不等式组： （1）方法一：利用判别式法求解即可；方法二：利用因式分解法求出方程的两根为，由此即可证明结论； （2）根据（1）可得方程的两根为，再根据两根为负数得到，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解法一： 证明： ， 方程有两个不相等的实数根． 解法二： 证明：， ∴， ． ， 方程有两个不相等的实数根． （2）解：由（1）得方程的两个根分别为 方程的两根均为负数， ， 解得． 41．（22-23九年级上·福建泉州·期末）已知关于的方程有实数根． (1)若方程的两根之和为整数，求的值； (2)若方程的根为有理根，求整数的值． 【答案】(1) (2)0或10或或12 【分析】（1）根据关于的方程有两个根，且为实数根，先利用一元二次方程的根的判别式确定的取值范围，再根据一元二次方程的根与系数的关系，可知，若方程的两根之和为整数，即为整数，即可确定的值； （2）分两种情况讨论：当时，此时关于的方程为，求解可得，符合题意；当时，对于关于的方程可有，若方程的根为有理根，且为整数，则为某一有理数的平方，据此分析即可获得答案． 【详解】（1）解：∵关于的方程有两个根，且为实数根， ∴，且， 根据一元二次方程的根与系数的关系，可知， 若方程的两根之和为整数，即为整数， ∵， ∴是整数， ∴， 当时，，不符合题意； 当时，，，为整数，符合题意； ∴的值为； （2）当时，此时关于的方程为，解得； 当时，对于关于的方程的根为：， 若方程的根为有理根，且为整数， 则为完全平方数， 设（为正整数）， 则：， ∵为整数， 设（为正整数）， ∴， ∴或或或， 解得：或或（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去） ∴或； 当时，解得或（舍去）； 当时，解得或， 综上所述，若方程的根为有理根，则整数的值为0或10或或12． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系以及公式法解一元二次方程等知识，熟练掌握并灵活运用相关知识是解题关键． 42．（22-23九年级上·福建泉州·期末）关于x的一元二次方程． (1)不解方程，判断该方程的根的情况； (2)设，是方程的两根，其中有一根不大于0，若，求y的最大值． 【答案】(1)一定有实数根 (2)2 【分析】(1)根据一元二次方程根的判别式，即可判定； (2)首先可求得，，再根据其中有一根不大于0，可得，据此即可求解． 【详解】（1）解：，，， ， ， ∴该方程一定有实数根； （2）解：由原方程可得：， 解得，． ∵方程其中一根不大于0， ． 又， ∴， ， ∴y的最大值为2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法、根与系数的关系、根的判别式，熟练掌握和运用一元二次方程的解法、根与系数的关系、根的判别式是解决本题的关键． 43．（21-22八年级下·江苏扬州·期末）已知关于的一元二次方程 ． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个实数根； (2)若该方程的两根都是整数，求整数的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）用公式法求出方程的两根，，再由该方程的两根都是整数，且k为整数，可得为整数，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得： ∴无论取何值，此方程总有两个实数根； （2）解：， ∴， ∴， ∵该方程的两根都是整数，且k为整数， ∴为整数， ∴整数k为±1． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 一十三．与一元二次方程有关的新定义问题（4小题） 44．（23-24九年级上·广东佛山·期末）定义运算：．若a，b是方程的两根，求的值． 【答案】0 【分析】本题主要考查了根与系数的关系、新运算法则等知识点，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和是解题的关键． 由根与系数的关系可找出，根据新运算得到，将其中的1替换成进行计算即可． 【详解】解：∵a，b是方程的两根， ∴， ∴． 45．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）定义新运算“”：对于实数m，n，p，q．有，其中等式的右边是通常的加法和乘法运算．例如：． (1)求关于x的方程的根； (2)若关于x的方程有两个实数根，求k的取值范围． 【答案】(1)， (2)且 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式．明确新定义的运算规则是解题的关键． （1）由新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，解方程即可； （2）按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，在利用根的判别式进行求解即可解决． 【详解】（1）， ， ． ， ， ， （2） ， 整理得：． 方程有两个实数根， 且， 解得：且 46．（21-22九年级上·江苏扬州·期末）定义一种新的运算方式： （其中且n是整数），例如， ． (1)若，求n的值； (2)记，当时，求n的取值范围． 【答案】(1)10 (2)且n是整数 【分析】根据新定义可得，解出，即可； （2）根据新定义可得，解出，即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 即， 解得：或， ∵且n是整数， ∴； （2）根据题意得：， ∵， ∴， 即， ∴， 解得：或， ∵且n是整数， ∴且n是整数． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解新定义是解题的关键． 47．（21-22九年级上·江苏盐城·期末）定义新运算：对于任意实数，都有★，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：★．根据以上知识解决问题： (1)若★，求的值． (2)若2★的值小于0，请判断关于的方程：的根的情况． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）根据新运算得出3（x+1）2+3＝15，解之可得到答案； （2）由2★a的值小于0知22a+a＝5a＜0，解之求得a＜0．再在方程2x2﹣bx+a＝0中由Δ＝（﹣b）2﹣8a≥﹣8a＞0可得答案． 【详解】（1）解：∵（x+1）★3＝15， ∴3（x+1）2+3＝15，即（x+1）2＝4， 解得：x1＝1，x2＝﹣3； （2）解：∵2★a的值小于0， ∴22a+a＝5a＜0， 解得：a＜0． 在方程2x2﹣bx+a＝0中， ∵Δ＝（﹣b）2﹣8a≥﹣8a＞0， ∴方程2x2﹣bx+a＝0有两个不相等的实数根． 【点睛】本题主要考查根的判别式，一元二次方程的解法，实数的运算，解一元一次不等式，正确理解新运算是解决问题的关键． 一十四．一元二次方程与实际问题（共8小题） 44．（23-24九年级上·广东佛山·期末）定义运算：．若a，b是方程的两根，求的值． 【答案】0 【分析】本题主要考查了根与系数的关系、新运算法则等知识点，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和是解题的关键． 由根与系数的关系可找出，根据新运算得到，将其中的1替换成进行计算即可． 【详解】解：∵a，b是方程的两根， ∴， ∴． 45．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）定义新运算“”：对于实数m，n，p，q．有，其中等式的右边是通常的加法和乘法运算．例如：． (1)求关于x的方程的根； (2)若关于x的方程有两个实数根，求k的取值范围． 【答案】(1)， (2)且 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式．明确新定义的运算规则是解题的关键． （1）由新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，解方程即可； （2）按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，在利用根的判别式进行求解即可解决． 【详解】（1）， ， ． ， ， ， （2） ， 整理得：． 方程有两个实数根， 且， 解得：且 46．（21-22九年级上·江苏扬州·期末）定义一种新的运算方式： （其中且n是整数），例如， ． (1)若，求n的值； (2)记，当时，求n的取值范围． 【答案】(1)10 (2)且n是整数 【分析】根据新定义可得，解出，即可； （2）根据新定义可得，解出，即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 即， 解得：或， ∵且n是整数， ∴； （2）根据题意得：， ∵， ∴， 即， ∴， 解得：或， ∵且n是整数， ∴且n是整数． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解新定义是解题的关键． 47．（21-22九年级上·江苏盐城·期末）定义新运算：对于任意实数，都有★，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：★．根据以上知识解决问题： (1)若★，求的值． (2)若2★的值小于0，请判断关于的方程：的根的情况． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）根据新运算得出3（x+1）2+3＝15，解之可得到答案； （2）由2★a的值小于0知22a+a＝5a＜0，解之求得a＜0．再在方程2x2﹣bx+a＝0中由Δ＝（﹣b）2﹣8a≥﹣8a＞0可得答案． 【详解】（1）解：∵（x+1）★3＝15， ∴3（x+1）2+3＝15，即（x+1）2＝4， 解得：x1＝1，x2＝﹣3； （2）解：∵2★a的值小于0， ∴22a+a＝5a＜0， 解得：a＜0． 在方程2x2﹣bx+a＝0中， ∵Δ＝（﹣b）2﹣8a≥﹣8a＞0， ∴方程2x2﹣bx+a＝0有两个不相等的实数根． 【点睛】本题主要考查根的判别式，一元二次方程的解法，实数的运算，解一元一次不等式，正确理解新运算是解决问题的关键． $$