专题2-2 圆的几何模型与常见辅助线（考题猜想，热考+压轴 必刷50题17种题型）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版）

考题猜想2-2 圆的几何模型与常见辅助线 （考题猜想，热考+压轴 必刷50题17种题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 弧中点模型 · 垂径定理模型 · 见直径，构造直角三角形 · 点与圆的最值模型 · 直线与圆的最值模型 · 判定直线与圆的切线 · 三角形内切圆模型 · 圆与圆的最值模型 · 弦切角定理 · 圆幂定理-相交弦定理 · 圆幂定理-切割线定理 · 圆幂定理-割线定理 · 四点共圆模型 · 定点定长构造辅助圆 · 定弦定角模型 · 定角定高模型 · 阿氏圆 一．弧中点模型（共2小题） 1．（2024九年级上·北京·专题练习）如图，是的直径，，点B为弧的中点，点P是直径上的一个动点，则的最小值为 ． 2．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，是的直径，，点A在上，，B为弧的中点，P是直径上一动点．则的最小值为 ． 二．垂径定理模型（共3小题） 3．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，是的直径，弦于点，若，，则半径的长为 ． 4．（2023·黑龙江哈尔滨·三模）如图，已知的半径为7，是的弦，点P在弦上．若，则的长为 ． 5．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，，交⊙于点、，是半径，且于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 三．见直径，构造直角三角形（共小题） 6．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）一个圆形人工湖如图所示，弦是湖上的一座桥，已知桥长，测得圆周角，则这个人工湖的直径是 ． 7．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，半圆与相交于E点，其中A、B、C、D在同一直在线，且B为的中点．若的度数是，则的度数为 ． 8．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，以的边为直径的分别交、于点、，连接、．若，则 °． 9．（21-22九年级上·安徽芜湖·期末）如图，是半圆的直径，，点在半圆上，，是弧上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值是 ． 四．点与圆的最值模型（共4小题） 10．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，在中，点在弦上，于点，则圆心距的长为 ；若点在圆上动，则的最小值= ． 11．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知外有一动点P，上有一动点Q，线段长的最小值为，最大值为，则的半径为 ． 12．（22-23九年级上·河北承德·期末）如图，在等边中，，半径为1的在等边内平移（可以与该三角形的边相切），则点到上的点的距离的最小值为 ，最大值为 ． 五．直线与圆的最值模型（共4小题） 13．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系中，对于直线：，给出如下定义：若直线与某个圆相交，点的坐标为，若的半径为，直线关于的“圆截距”的最小值为，则的值为 ． 14．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）在平面直角坐标系中，以为圆心，为半径作圆，为上一点，若点的坐标为，则线段的最小值为 ． 15．（24-25九年级上·北京·期中）已知的半径是，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使． （1）点到直线距离的最大值为 ； （2）若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为 ． 16．（2022·江苏南通·一模）如图，等边△OAB中OB＝3，将同一平面内边长为2的等边△OCD绕点O旋转一周的过程中，点B到直线CD的距离最大值为 ． 六．判定直线与圆的切线（共4小题） 17．（23-24九年级上·江苏常州·期末）如图，以边为直径的经过点P，C是上一点，连接交于点E，且，． (1)证明：是的切线； (2)若点C是弧的中点，已知，求的值． 18．（2019·江苏泰州·三模）如图中，，平分交于点，以点D为圆心，为半径作交于点． (1)求证：与相切； (2)若，，试求的长． 19．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）（1）如图①，中，平分交于点，点在边上，且经过、两点，分别交、于点、．求证：是的切线： （2）如图②，中，，用直尺和圆规作，使它满足以下条件：圆心在边上，经过点，且与边相切．（保留作图痕迹，不用写出作法） 20．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）在四边形中，，，以点为圆心，长为半径作，连接，交于， (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，求图中阴影部分的面积． 七．三角形内切圆模型（共3小题） 21．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，，，I为的内心，则 ．    22．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，点D，E分别在BC，上，与的内切圆O相切．若的面积是30，的周长是4，则的长为 ． 23．（22-23九年级上·江苏南京·期末）如图，中，，，是边上的高，，分别是，的内切圆，则与的面积比为 ． 八．双切线模型（共3小题） 24．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，，是的切线，，为切点，连接． (1)若与相切于点，求证； (2)若，求证与相切． 25．（23-24九年级下·北京·期末）如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为B，C．连接交于点D，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若点E是的中点，的半径为6，求的长． 26．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，，，分别与相切于点，，，且∥，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的值． 九. 圆与圆的最值模型（共3小题） 27．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知与相交于A，B两点，公共弦，既是的内接正方形的一边，也是的内接正三角形的一边，求这两圆的圆心距． 28．（2024·江苏南京·模拟预测）如图：已知，用直尺和圆规作图（保留作图痕迹，写出必要的文字说明．） (1)在图（1）中，点是外一点，过点作的一条切线． (2)在图（2）中，与外离，作一条直线与都相切． 29．（22-23九年级下·湖北恩施·期中）如图1，等圆与相交于C，M两点，经过的圆心，直线交于点A，交于点B，连接．        (1)求证：为的切线；为的切线； (2)连接，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图2，当点H为线段上的点，点E为延长线上的点，直线交于点D，直线交于点F．若，探求是否为定值； (4)如图3，当H为延长线上的点，E为线段上的点，其它条件不变，则（3）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 十．弦切角定理（共2小题） 30．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）【定义】我们把顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角． 【探索】弦切角的度数等于它所夹弧所对得圆周角度数． 已知：点A、B、C在上，是的切线，延长交于点D，连接、，则的弦切角． （1）特殊化：如图1，若是的直径，求证：； （2）一般化：如图2，是的弦，求证：； 【应用】（3）如图3，四边形是的内接四边形，是的切线，交延长线于点D，弦，若，求度数． 31．（24-25九年级上·江苏南京·期中）【概念理解】 定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．例如，如图①，与相切于点C，是的弦，则和都是的弦切角． 【性质探究】 （1）性质：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 已知：如图②，与相切于点C，是的外接圆． 求证：． 【性质应用】 （2）如图③，与相切于点C，是的弦，E是上的动点．若是等腰三角形，，则的度数为______（用含的代数式表示）． （3）如图④，是的弦，C是上的动点，的半径为5，．若四边形有一条边所在的直线与相切，且有一条对角线平分一组对角，直接写出的长． 一十一．圆幂定理-相交弦定理（共2小题） 32．（23-24九年级下·内蒙古赤峰·阶段练习）旧知温习：人教版初中数学第二十七章《相似》中比例线段的证明都是利用三角形相似或平行线得出来的，在三角形相似证明中，利用的条件有角相等，对应边成比例．比例线段还可以写成等积式，如可以写为． 新知探究：如图1，中，是两条相交的弦，交点为P，（不再添加辅助线），求证：； 类比探究：如图2，P是外一点，是的两条割线，与交点分别为A，B，C，D．请写出的等积关系式，并说明理由． 延伸结论：如图2，中，点P是外一点，是的切线，切点为是过圆心O的一条割线，交于A和B点，请直接写出探究之间的数量关系． 33．（22-23九年级上·山西忻州·期末）阅读与思考 九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等． 已知：如图1，的两弦相交于点P． 求证：． 证明： 如图1，连接． ∵，．∴，（根据）∴@， ∴， ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． 任务： (1)请将上述证明过程补充完整． 根据：____________；@：____________． (2)小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是的弦，P是上一点，，，，求的半径． 一十二．圆幂定理-切割线定理（共2小题） 34．（19-20九年级上·江苏盐城·期中）如图，与切于点，是的割线，如果，那么的长为 . 35．（22-23九年级上·山西·期末）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．切割线定理揭示了从圆外一点引圆的切线和割线时，切线与割线之间的关系． 如图1，是外一点，切于点，交于点（即是的割线），则． 下面是切割线定理的证明过程： 证明：如图2，连接并延长，交于点，连接． 切于点， ． ． 是的直径， …… (1)根据前面的证明思路，补全剩余的证明过程； (2)在图1中，已知，，则______，______． 36．（22-23九年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考：阅读下列材料，并完成相应的任务． 米勒定理 米勒（）是德国的数学家，是欧洲最有影响的数学家之一，米勒发表的《三角全书》，是使得三角学在欧洲取得独立地位的第一部系统性著作．下面是米勒定理（又称切割线定理）的证明过程 已知：如图1，与相切于点A，与相交于点B，C． 求证：． 证明：如图2，连接． ∵为的切线，∴，∴． ∵，∴． ∵，∴． ∵，∴，∴， ∴，∴， ……    任务： (1)请完成剩余的证明过程 (2)应用：如图3，是的切线，经过的圆心O，且，割线交于点D，E，，求的长． 一十三．四点共圆模型（共5小题） 37．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）【阅读材料】克罗狄斯•托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家，托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理．定理内容如下：任意一个凸四边形，两组对边乘积的和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四边形四个顶点共圆时，等号成立．即：四边形中，有，当A、B、C、D四点共圆时，有． 【尝试证明】（1）如图1，四边形内接于，求证：． 证明：在上取点E，连接，使． ∵，∴______， ∴， ∴①， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴______②，得， 即______． 【直接应用】 （2）如图2，为的直径，，，，求的长； 【拓展应用】 （3）如图3，在四边形中，，，，，则的最大值为______； 【灵活运用】 （4）如图4，在等腰三角形中，，，点D在底边上，且，将三角形沿着所在的直线翻折，使得点C落在点E处，连接，则的长为______． 38．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）阅读理解：    （1）问题初现：如图1，在中，，D是外一点，且，则 ； 思路：若以点A为圆心，为半径画，则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到的度数； （2）问题解决：如图2，在四边形中，，求的度数； 思路：可以通过证明A、B、C、D四点共圆，再利用圆周角的性质求出∠BAC的度数．请写出详细的解题过程． （3）问题拓展：如图3，在中，，是边上的高，且，则 ． 39．（22-23九年级上·吉林长春·期末）【问题情境】如图①，在四边形中，，求证：A、B、C、D四点共圆． 小吉同学的作法如下：连接，取的中点O，连接，请你帮助小吉补全余下的证明过程； 【问题解决】如图②，在正方形中，，点E是边的中点，点F是边上的一个动点，连接，作于点P． （1）如图②，当点P恰好落在正方形对角线上时，线段的长度为______； （2）如图③，过点P分别作于点M，于点N，连接，则的最小值为______． 40．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）综合与实践 数学活动课上，小聪在老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动． 【提出问题】如图，在线段同侧有两点，连接，，如果，那么四点在同一个圆上． 探究展示： 设是的外接圆 如图，假设点在内，延长交于点，连接 点在上，（    ） 在中， 这与已知条件矛盾 ∴点不在内如图，假设点在外，……； 综上所述，作的外接圆，点在上，即，，，四点共圆． 【归纳结论】 （1）上述探究过程中的括号内填的依据是______； （2）如图，请你帮助小聪按照上面的思路，写出该证明的省略部分； 【结论运用】 （3）已知四边形中， ①如图，点和点在同侧，交于点的延长线交于点，若，请判断与的数量关系，并说明理由； ②如图，若平分，记的值是否会发生改变，如果不发生改变，请求出其值，如果发生改变，请求出的取值范围． 41．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）【材料阅读】如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．在《2.4圆周角》这一课中，我们学习了“圆的内接四边形的对角互补”这条性质，学习小组在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上得出“对角互补的四边形四个顶点共圆”也是正确的． 请同学们在此基础上继续展开后续探究： 【提出问题】 如图1所示，在线段同侧有两点，，连接，，，． 试探究：如果，那么、、、四点在同一圆上． 证明：如图2所示，作经过点、、的，在劣弧上取一点（不与、重合），连接，， ，（①______________） ， ②___________， 点、、、四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点、在点、、所确定的上， 点、、、四点在同一个圆上． 结论：在线段同侧有两点、，连接，，，， 如果，那么、、、四点共圆．    补全上述说理过程： ①______________；②______________． 【结论应用】 （2）如图3，在四边形中，，，则的度数为________． （3）如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接，作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，． 求证：、、、四点共圆；    【拓展延伸】 （4）如图5，在四边形中，连接，，，则四边形周长的最大值为__________．（直接写出答案）    一十四．定点定长构造辅助圆（共3小题） 42．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 43．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在矩形中，，，M是边的中点，N是边上的一动点（不与点A重合），将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是 ． 44．（24-25九年级上·江苏常州·期中）在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点旋转一个角度（），再将旋转后的多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作（，顺，）；若逆时针旋转， 记作（，逆，）． 例如：如图，先将绕点逆时针旋转，得到，再将以点为位似中心缩小到原来的，得到，这个变换记作（B，逆，） (1)如图，已知为直角三角形，，，点在圆上，请利用尺规画出圆上的点经过（，逆，）后的图形，并判断该图形与直线的位置关系 （填“相切”、 “相交”或“相离”）． (2)如图，经过（，逆，）得到， 经过（， 顺，）得到， 连接，．求证：． (3)如图，在中，，，．若经过（）中的变换得到的四边形是正方形，则 ； ． 一十五．定弦定角模型（共2小题） 一十六．定角定高模型（共1小题） 47．（2024九年级上·江苏·专题练习）辅助圆之定角定高求解探究 (1)如图①，已知线段，以为斜边，在图中画出一个直角三角形； (2)如图②，在中，，为边上的高，若，试判断是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由； (3)如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形中，，，，点、分别为、上的点，若保持，那么四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由． 一十七．阿氏圆（共3小题） 48．（2020·江苏常州·一模）如图，在中，点A、点B在上，，，点C在OA上，且，点D是的中点，点M是劣弧AB上的动点，则的最小值为 ． 49．（2022九年级上·浙江·专题练习）如图所示的平面直角坐标系中，，，是第一象限内一动点，，连接、，则的最小值是 ． 50．（20-21九年级上·江苏宿迁·期末）问题提出：如图①，在中，，，，的半径为，为圆上一动点，连接，求的最小值． (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接，在上取一点，使，则．又，所以．所以．所以，所以．请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为 ； (2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值； (3)拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，，，，，是上一点，求的最小值． $$考题猜想2-2 圆的几何模型与常见辅助线 （考题猜想，热考+压轴 必刷50题17种题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 弧中点模型 · 垂径定理模型 · 见直径，构造直角三角形 · 点与圆的最值模型 · 直线与圆的最值模型 · 判定直线与圆的切线 · 三角形内切圆模型 · 圆与圆的最值模型 · 弦切角定理 · 圆幂定理-相交弦定理 · 圆幂定理-切割线定理 · 圆幂定理-割线定理 · 四点共圆模型 · 定点定长构造辅助圆 · 定弦定角模型 · 定角定高模型 · 阿氏圆 一．弧中点模型（共2小题） 1．（2024九年级上·北京·专题练习）如图，是的直径，，点B为弧的中点，点P是直径上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】作A关于的对称点Q，连接交于P，则根据两点之间线段最短，的最小值为的长度，先求出，再求出，进而由圆周角定理得到，则．证明是等边三角形，即可得到，据此可得答案． 【详解】解：作A关于的对称点Q，连接交于P，此时， 根据两点之间线段最短，的最小值为的长度， 连接， ∵点B为弧的中点， ∴， ∵A、Q关于对称， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴，即的最小值为4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了圆心角与弧之间的关系，圆周角定理，轴对称最短路径问题，等边三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线推出能取得最小值的情形是解题的关键． 2．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，是的直径，，点A在上，，B为弧的中点，P是直径上一动点．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，最短路径问题，熟练掌握圆周角定理，即一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，是解答本题的关键． 作点关于的对称点，连接交于点，则点就是所求作的点，然后根据垂径定理得到，然后利用勾股定理解题即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，则点就是所求作的点． 此时最小，且等于的长. 连接, ， ∴， ∴弧的度数是， 则弧的度数是 ， 根据垂径定理得弧的度数是：， 则 又， 则 故答案为：． 二．垂径定理模型（共3小题） 3．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，是的直径，弦于点，若，，则半径的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，关键是根据以上知识点列出关于圆半径的方程． 连接，设的半径长为，得到，，由垂径定理推出，由勾股定理得到，即可求出． 【详解】解：连接，设的半径长为， ， 弦于点，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：5． 4．（2023·黑龙江哈尔滨·三模）如图，已知的半径为7，是的弦，点P在弦上．若，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键． 如图：过O作于C，连接，由垂径定理可得，进而得到、，再运用勾股定理可得，最后再运用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图：过O作于C，连接，则， ∵， ∴， ∵，过圆心O， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：5． 5．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，，交⊙于点、，是半径，且于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)的半径为． 【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的三线合一、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键． （1）先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据垂径定理可得，然后根据线段和差即可得证； （2）连接，设的半径为，则，，再根据垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：∵，于点， ∴， 又∵是的半径，， ∴， ∴， 即． （2）解：如图，连接， 设的半径为，则， ∵， ∴， ∵是的半径，，， ∴， 在中，，即， 解得， ∴的半径为． 三．见直径，构造直角三角形（共小题） 6．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）一个圆形人工湖如图所示，弦是湖上的一座桥，已知桥长，测得圆周角，则这个人工湖的直径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，作直径，连接，根据题意可得，，进而根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：作直径，连接， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，半圆与相交于E点，其中A、B、C、D在同一直在线，且B为的中点．若的度数是，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查圆的相关知识，涉及直径所对的圆周角为直角、圆周角定理和三角形内角和定理，连接和，则，利用直径所对的圆周角为直角和三角形内角和定理即可求得，再结合圆周角定理即可知的度数为． 【详解】解：连接和，如图， ∵的度数是， ∴， ∵为直径所对的圆周角为直角， ∴， ∴， 则的度数为， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，以的边为直径的分别交、于点、，连接、．若，则 °． 【答案】56 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，熟悉圆周角定理的应用是解题的关键．连接，由为直径，得到，，然后根据三角形内角和定理得到，最后利用圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：连接，如图 是的直径 ，则 故答案为：56． 9．（21-22九年级上·安徽芜湖·期末）如图，是半圆的直径，，点在半圆上，，是弧上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】连接，取的中点，连接，由题意先判断出点在以点为圆心，为半径的圆上，当、、三点共线时，取得最小值，然后利用勾股定理，求出的长，再利用勾股定理，求出的长，再利用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出的长，再由，即可算出的长． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接， ∵， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上，当、、三点共线时，取得最小值， ∵是直径， ∴， 在中， ∵，， ∴由勾股定理得：， ∵为的中点， ∴， 在中， ∵，， ∴由勾股定理得：， 又∵，且点为的中点， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理解三角形，直径所对的圆周角为直角，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，能够判断出动点的运动轨迹是解本题的关键． 四．点与圆的最值模型（共4小题） 10．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，在中，点在弦上，于点，则圆心距的长为 ；若点在圆上动，则的最小值= ． 【答案】 4 【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，垂径定理，根据题意做出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．连接，延长交O于点P，则PC最短，由垂径定理得，再求出，最后由勾股定理求出，的长，继而可得出的长． 【详解】解：连接，延长交于点，则PC最短， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知外有一动点P，上有一动点Q，线段长的最小值为，最大值为，则的半径为 ． 【答案】 【分析】作图，根据圆外一点到圆上的距离，过圆心时与圆交于两点，此时有最大值和最小值，然后计算半径即可 【详解】解：如图所示：连接交于点A和点B，点Q为上一动点，连接    当Q与A重合时，此时最小，即， 当Q与B重合时，此时最大，即， ∴， ∴的半径， 故答案为： 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，能够判断圆外一点过圆心与圆交于两点，此时两点与P之间的距离为最大值和最小值是解题的关键． 12．（22-23九年级上·河北承德·期末）如图，在等边中，，半径为1的在等边内平移（可以与该三角形的边相切），则点到上的点的距离的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 1 / 【分析】直接根据图形作答即可． 【详解】当与、相切时，如图，连接， ∵为等边三角形， ∴， ∵的半径为1， ∴， ∴点到上的点的距离的最小值为1； 当与、相切时，如图，连接，，延长交于E， 同理可得， 根据勾股定理可得， ∵， ∴， ∴， ∴点到上的点的距离的最大值为； 故答案为1，． 【点睛】本题考查了点到圆的距离，圆外一点到圆上的点的最短距离和最长距离都在此圆外的点与圆心的连线所在的直线上，记圆外的点为A，圆上的点为B，圆心为O，记，圆的半径为r，则当O，A，B共线时，若B在线段之间，则取最小值，若O在线段之间，则取最大值． 五．直线与圆的最值模型（共4小题） 13．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系中，对于直线：，给出如下定义：若直线与某个圆相交，点的坐标为，若的半径为，直线关于的“圆截距”的最小值为，则的值为 ． 【答案】 【分析】如图所示，设直线与交于，过点作于，连接，先证明当点与点重合时，最小，即此时最小，再由求出，可得，解得． 【详解】解：如图所示，设直线与交于，过点作于，连接， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴当最小时，最大. ∵， ∴当点与点重合时，最大， ∵直线关于的“圆截距”的最小值为，即， ∴， ∴. ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，垂径定理，一次函数与几何综合，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． 14．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）在平面直角坐标系中，以为圆心，为半径作圆，为上一点，若点的坐标为，则线段的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据N的坐标可确定其为直线上一点，进而通过直线和圆的位置关系结合图象得出的最小值． 【详解】解：∵点N的坐标为， ∴点N为直线上任意一点， 如图， 直线为函数的图象，则N为直线上一点，M为上一点， 由图象可知：过点P作垂线，当M、N分别是垂线与、的交点时，的长度最小， 此时：， 由题意可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， 此时． 故答案为：2． 15．（24-25九年级上·北京·期中）已知的半径是，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使． （1）点到直线距离的最大值为 ； （2）若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理， （1）如图1，当点在圆外且，，三点共线时，点到直线距离的最大，可得结论； （2）如图2，根据已知条件得到线段是的直径，根据勾股定理即可得到结论； 正确作出图形是解题的关键． 【详解】解：（1）如图1， ∵，的半径是，， ∴当点在圆外且，，三点共线时，点到直线距离的最大， 最大值为：， 故答案为：； （2）如图2， ∵，是直线与的公共点，线段的长度最大， ∴线段是的直径， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 16．（2022·江苏南通·一模）如图，等边△OAB中OB＝3，将同一平面内边长为2的等边△OCD绕点O旋转一周的过程中，点B到直线CD的距离最大值为 ． 【答案】/ 【分析】如图1，OG⊥CD于G，⊙O的半径为OG，⊙B的半径为OB+OG，利用直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径，便可解答； 【详解】解：如图1，OG⊥CD于G，⊙O的半径为OG，⊙B的半径为OB+OG， OG⊥CD，△OCD是等边三角形，OC=2，则CG==1，由勾股定理可得OG=， 当边CD绕O点旋转时，CD的中点G在⊙O上运动，当G点不在BO延长线上，则CD所在直线必定与⊙B相交，即B点到直线CD的距离小于⊙B的半径；当点G在BO延长线上时，CD所在直线与⊙B相切，此时 B点到直线CD的距离等于⊙B的半径； ∴点B到直线CD的最大距离为OB+OG=， 故答案为：； 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系，旋转的特征等知识；掌握直线与圆相交的性质是解题关键． 六．判定直线与圆的切线（共4小题） 17．（23-24九年级上·江苏常州·期末）如图，以边为直径的经过点P，C是上一点，连接交于点E，且，． (1)证明：是的切线； (2)若点C是弧的中点，已知，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）连接，根据圆周角定理可得，然后计算出的度数，进而可得，从而证明是的切线； （2）连接，首先求出，然后可得长，再证明，进而可得，然后可得的值． 【详解】（1）连接， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ，且过半径外端P, ∴是的切线． （2）连接， ∵是的直径， ∴， 又∵C为弧的中点， ∴，， ∴， ∵， ， ∵，， ∴， , ． 【点睛】此题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理和相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握切线的判定定理和相似三角形的判定与性质定理． 18．（2019·江苏泰州·三模）如图中，，平分交于点，以点D为圆心，为半径作交于点． (1)求证：与相切； (2)若，，试求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点作于点，如图，先根据角平分线的性质得到，然后根据切线的判定方法得到结论； （2）先利用勾股定理计算出，再证明得到，所以，设的半径为，在中利用勾股定理得到，则可方程求出，然后计算即可． 【详解】（1）证明：过点作于点，如图， 平分，，， ， 与相切； （2）解：，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， 设的半径为，则，， 在中，由勾股定理得， ∴ 解得， ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，角平分线的性质等等，解题的关键是通过过圆心作直线的垂线，证切线，利用勾股定理列方程求解． 19．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）（1）如图①，中，平分交于点，点在边上，且经过、两点，分别交、于点、．求证：是的切线： （2）如图②，中，，用直尺和圆规作，使它满足以下条件：圆心在边上，经过点，且与边相切．（保留作图痕迹，不用写出作法） 【答案】（1）证明见解析 （2）作图见解析 【分析】本题考查了圆的性质、圆的切线的判定、等边对等角、平行线的判定与性质，解题的关键是作出恰当的辅助线． 连接，由得，再由得，从而得，结合可证，因为圆的半径，从而得证． 【详解】（1）证明：连接，如图． ∵经过A、D两点， ∴， ∴， ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴，又点D在上， ∴是的切线． （2）根据（1）题的证明过程，所作如下图． 20．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）在四边形中，，，以点为圆心，长为半径作，连接，交于， (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)与相切，理由见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定，全等三角形的判定和性质，扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，勾股定理： （1）过点作于点，先证，推出，可知点在上，是的半径，根据切线的判定可知与相切； （2）先证是等边三角形，求出的度数，再根据即可求解． 【详解】（1）解：与相切，理由如下： 如图：过点作于点， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ， 点在上，是的半径， 又 ， 与相切． （2）解：， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， 解得， ． 七．三角形内切圆模型（共3小题） 21．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，，，I为的内心，则 ．    【答案】 【分析】此题重点考查勾股定理、三角形的内心的性质、正方形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． 作于点于点于点，连接、、，由 ，求得，因为为的内心，所以，则四边形是正方形，设，则，求得 ，由，求得 ，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点于点 于点，连接、、，    ∴四边形是矩形， ∵为的内心， ∴四边形是正方形， 设 解得， 故答案为：． 22．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，点D，E分别在BC，上，与的内切圆O相切．若的面积是30，的周长是4，则的长为 ． 【答案】13 【分析】本题考查切线长定理，直角三角形的内切圆．设三角形与内切圆的三个切点分别为，连接，连接，易得四边形为正方形，设的半径为，根据切线长定理，得到，的周长为，求出的值，再根据分割法求三角形的面积，列出方程求出的长即可． 【详解】解：设三角形与内切圆的三个切点分别为，连接，连接，则：，， ∵， ∴四边形为正方形， 设的半径为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与的内切圆O相切， ∴， ∴的周长是， ∴， ∵的面积， ∴； 故答案为：13． 23．（22-23九年级上·江苏南京·期末）如图，中，，，是边上的高，，分别是，的内切圆，则与的面积比为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的内切圆性质，圆的面积，先用勾股定理求得得长，再利用内切圆性质求得圆的半径，继而求得面积计算即可． 【详解】∵，，是边上的高， ∴，， ∴，， 设与的半径分别为x，y，则 ∴，， 解得， ∴与的面积比为， 故答案为：． 八．双切线模型（共3小题） 24．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，，是的切线，，为切点，连接． (1)若与相切于点，求证； (2)若，求证与相切． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）利用切线长定理证明，即可求证； （）延长到点，使得，连，过点作，垂足为G，连接，，，，证明，再由证明，根据性质再证明，最后由性质即可求证； 此题考查了切线长定理和切线的判定与性质，全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点的的应用及正确添加辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵与相切，切点为，且，是的切线，，为切点， ∴ ，， ∵， ∴； （2）证明：延长到点，使得，连接，过点作，垂足为G，连接，，，， ∵，， ∴ ， ∵，是的切线，，为切点， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴平分， 又∵，， ∴， ∴与相切． 25．（23-24九年级下·北京·期末）如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为B，C．连接交于点D，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若点E是的中点，的半径为6，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）根据切线长定理得到，．根据等腰三角形的性质和中位线定理即可得到结论； （2）根据题意得出为等边三角形，得出，得出，再由含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵，是的两条切线，切点分别为，， ∴，， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴； （2）∵，点是的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵的半径为6， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，中位线定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等知识点．熟练掌握切线的性质和切线长定理是解题的关键． 26．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，，，分别与相切于点，，，且∥，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，如图所示，由切线长定理及三角形全等的判定与性质得到，，再由平行性质即可得证； （2）由（1）中，利用勾股定理得到，进而运用等面积法求出，再运用勾股定理及切线长定理即可得到答案． 【详解】（1）解：连接，如图所示： ，，分别与相切于，，三点， 由切线长定理可得， 在和中， ， ， ； 同理可得； ， ， ， ， ； （2）解：连接，如图所示： 由（1）可知， 在中，， 是的切线， ， ， ， ， ， ， 由切线长定理得，， ． 【点睛】本题考查圆综合，涉及切线性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、垂直判定、勾股定理、等面积法求线段长等知识，熟练掌握切线性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理是解决问题的关键． 九. 圆与圆的最值模型（共3小题） 27．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知与相交于A，B两点，公共弦，既是的内接正方形的一边，也是的内接正三角形的一边，求这两圆的圆心距． 【答案】或 【分析】分两种情形：当，在公共弦两侧时，当，在公共弦同侧时，分别求解． 【详解】解：当，在公共弦两侧时，连接，，，，交于点， ∵，， ∴垂直平分， ∴，且， 在中，是内接三角形的一边，则， ∴， 在中，是内接正方形的一边，则， 故， 则． 当，在公共弦同侧时，同法可得．    【点睛】此题主要考查了相交两圆的性质以及勾股定理，熟练利用正三角形以及正方形的性质是解题关键． 28．（2024·江苏南京·模拟预测）如图：已知，用直尺和圆规作图（保留作图痕迹，写出必要的文字说明．） (1)在图（1）中，点是外一点，过点作的一条切线． (2)在图（2）中，与外离，作一条直线与都相切． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图作切线，切线的判定，圆周角定理． （1）直接以为直径作圆，利用直径所对的圆周角是直角，可得，可证直线是切线； （2）作直线，作垂直于直线的半径，连接交于点，分别以为直径作圆，与和分别交于点，连接，则直线与都相切． 【详解】（1）解：①连接，作线段的垂直平分线，交于点； ②以点为圆心，以的长为半径作，交于点； ③作直线，则直线是的切线； 如图，直线即为所作； （2）解：①作直线， ②作垂直于直线的半径， ③连接交于点， ④分别以为直径作圆，与和分别交于点， ⑤作直线，则直线与都相切． 如图，直线即为所作． 29．（22-23九年级下·湖北恩施·期中）如图1，等圆与相交于C，M两点，经过的圆心，直线交于点A，交于点B，连接．        (1)求证：为的切线；为的切线； (2)连接，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图2，当点H为线段上的点，点E为延长线上的点，直线交于点D，直线交于点F．若，探求是否为定值； (4)如图3，当H为延长线上的点，E为线段上的点，其它条件不变，则（3）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析 (3)定值 (4)成立，理由见解析 【分析】（1）根据圆周角定理可得，根据切线的判定即可证得结论； （2）作辅助线如解析图，先证明四边形为菱形，然后根据菱形的性质和判定即可证明四边形是菱形； （3）连接，证明，得出，进而可得结论； （4）连接，同（3）的方法证明即可． 【详解】（1）证明：连接如图， ∵是的直径，是的直径， ∴， ∴为的切线；为的切线；    （2）四边形是菱形. 证明：如图，连接 已知等圆与相交于C,M两点， ∴，即四边形为菱形， ∴ ，， 又， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ， ∴平行四边形是菱形；    （3）解： 连接， 已知等圆与相交于C,M两点，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 同理，为等边三角形， ∴， ∴①， ∴ ∴②， 由①②可得，， ∴， 又， ∴；    （4）仍然成立； 证明：连接，如图， 已知等圆与，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵四点在上， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴．    【点睛】本题是圆和圆的综合题，主要考查了切线的判定、等边三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，综合性强，熟练掌握圆的相关知识、正确添加辅助线是解题的关键． 十．弦切角定理（共2小题） 30．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）【定义】我们把顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角． 【探索】弦切角的度数等于它所夹弧所对得圆周角度数． 已知：点A、B、C在上，是的切线，延长交于点D，连接、，则的弦切角． （1）特殊化：如图1，若是的直径，求证：； （2）一般化：如图2，是的弦，求证：； 【应用】（3）如图3，四边形是的内接四边形，是的切线，交延长线于点D，弦，若，求度数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理和圆周角定理． （1）连接，根据切线的性质和圆周角定理得到，再利用等角的余角相等即可证明； （2）作直径，连接，同（1）即可证明； （3）连接，，利用垂径定理证明，由切线的性质得到，证明，据此求解即可． 【详解】解：（1）连接， ∵是的切线， ∴，即， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）作直径，连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴，即， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴； （3）连接，， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 31．（24-25九年级上·江苏南京·期中）【概念理解】 定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．例如，如图①，与相切于点C，是的弦，则和都是的弦切角． 【性质探究】 （1）性质：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 已知：如图②，与相切于点C，是的外接圆． 求证：． 【性质应用】 （2）如图③，与相切于点C，是的弦，E是上的动点．若是等腰三角形，，则的度数为______（用含的代数式表示）． （3）如图④，是的弦，C是上的动点，的半径为5，．若四边形有一条边所在的直线与相切，且有一条对角线平分一组对角，直接写出的长． 【答案】（1）见详解；（2）或或或；（3）或或 【分析】（1）连接并延长，交于点F，连接，由题意易得，然后根据同角的余角相等可进行求解； （2）由弦切角的性质可知，然后可分，，，进而分类求解即可； （3）由题意可分①当与相切于点A，且平分该四边形的一组对角，②当与相切于点A，且平分该四边形的一组对角，③当与相切于点C，且平分该四边形的一组对角，④当与相切于点C，且平分该四边形的一组对角，然后分类求解即可． 【详解】（1）证明：连接并延长，交于点F，连接，如图所示： ∴， ∵与相切于点C， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得：， 当为等腰三角形时，则可分：①当时，则， ∴由三角形内角和得：； ②当时，则； ③当时，则， ∴； ④当点E在劣弧上时，且，取优弧上任意一点F，连接，如图所示： ∴， 由弦切角定理可知：， ∵，， ∴， ∴； 综上所述：当为等腰三角形时，或或或； （3）由题意可分： ①当与相切于点A，且平分该四边形的一组对角，如图所示： 由弦切角的性质可知：， 由题可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点C作于点E，连接， ∴， ∴过圆心O， ∴， ∴， ∴； ②当与相切于点A，且平分该四边形的一组对角，如图所示： 连接，交于点F，过点O作于点G，连接，如图所示， 同理①可得：，， ∴， ∴四边形是关于成轴对称图形的， ∴圆心O在上，， 设，则， ∴由勾股定理可得：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴； ③当与相切于点C，且平分该四边形的一组对角，如图所示： 连接，交于点M，过点O作于点N，连接，如图所示， ∴， 同理①可得：，， ∴， ∴四边形是关于成轴对称图形的，， ∴圆心O在上，， 设，则， ∴由勾股定理可得：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴； ④当与相切于点C，且平分该四边形的一组对角，如图所示： 同理可得，， ∴， 分别过点A、O作，垂足分别为点K，R，如图所示， ∴，，即过圆心O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：或或． 【点睛】本题主要考查切线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的性质与判定、圆周角的性质及垂径定理，解题的关键是注意分类讨论及辅助线的作法． 一十一．圆幂定理-相交弦定理（共2小题） 32．（23-24九年级下·内蒙古赤峰·阶段练习）旧知温习：人教版初中数学第二十七章《相似》中比例线段的证明都是利用三角形相似或平行线得出来的，在三角形相似证明中，利用的条件有角相等，对应边成比例．比例线段还可以写成等积式，如可以写为． 新知探究：如图1，中，是两条相交的弦，交点为P，（不再添加辅助线），求证：； 类比探究：如图2，P是外一点，是的两条割线，与交点分别为A，B，C，D．请写出的等积关系式，并说明理由． 延伸结论：如图2，中，点P是外一点，是的切线，切点为是过圆心O的一条割线，交于A和B点，请直接写出探究之间的数量关系． 【答案】（新知探究）：见详解；（类比探究）：；（延伸结论）： 【分析】（新知探究）：证明，根据相似性质即可证明； （类比探究）：连接，根据四边形是圆内接四边形，证明，根据相似性质即可证明； （延伸结论）：连接，根据切线的性质得出，再结合圆周角定理和等腰三角形的性质证明，根据相似性质即可证明； 【详解】（新知探究）：∵， ∴， ∴， ； （类比探究）：如图所示：连接，    ∵四边形是圆内接四边形， ， ， ， ； （延伸结论）：如图所示： 连接，   是的切线， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质、圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识点，判定三角形相似是解题关键． 33．（22-23九年级上·山西忻州·期末）阅读与思考 九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等． 已知：如图1，的两弦相交于点P． 求证：． 证明： 如图1，连接． ∵，． ∴，（根据） ∴@， ∴， ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． 任务： (1)请将上述证明过程补充完整． 根据：____________；@：____________． (2)小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是的弦，P是上一点，，，，求的半径． 【答案】(1)有两个角对应相等的两个三角形相似；； (2) 【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质求解即可； （2）延长交圆O于点D，延长交圆O于点F，设圆O的半径为r，则，，根据（1）中结论代入求解即可． 【详解】（1）连接． ∵，． ∴，（有两个角对应相等的两个三角形相似） ∴， ∴， ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． 故答案为：有两个角对应相等的两个三角形相似；； （2）延长交圆O于点D，延长交圆O于点F， 设圆O的半径为r，则，， 根据（1）中结论得，即为， 解得：或（不符合题意，舍去）， 的半径为． 【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，圆的相交弦定理等，理解题意，熟练掌握运用圆的相交弦定理是解题关键． 一十二．圆幂定理-切割线定理（共2小题） 34．（19-20九年级上·江苏盐城·期中）如图，与切于点，是的割线，如果，那么的长为 . 【答案】 【分析】根据切割线定理得出PA2=PB•PC，再代入数据进行计算即可． 【详解】解：∵PA为⊙O的切线，A为切点，PBC是⊙O的割线， ∴PA2=PB•PC， ∵PB=BC=2， ∴PC=4， ∴PA2=4×2， ∴ 故答案为 【点睛】本题考查了切割线定理，解题的关键是运用切割线定理列方程求解． 35．（22-23九年级上·山西·期末）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．切割线定理揭示了从圆外一点引圆的切线和割线时，切线与割线之间的关系． 如图1，是外一点，切于点，交于点（即是的割线），则． 下面是切割线定理的证明过程： 证明：如图2，连接并延长，交于点，连接． 切于点， ． ． 是的直径， …… (1)根据前面的证明思路，补全剩余的证明过程； (2)在图1中，已知，，则______，______． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）先证明，再证明，即可补充完成证明过程； （2）根据可求出的值，根据可求出的值． 【详解】（1）证明：如图2，连接并延长，交于点，连接． ∵切于点， ∴． ∴． ∵是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，证明是解答本题的关键． 36．（22-23九年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考：阅读下列材料，并完成相应的任务． 米勒定理 米勒（）是德国的数学家，是欧洲最有影响的数学家之一，米勒发表的《三角全书》，是使得三角学在欧洲取得独立地位的第一部系统性著作．下面是米勒定理（又称切割线定理）的证明过程 已知：如图1，与相切于点A，与相交于点B，C． 求证：． 证明：如图2，连接． ∵为的切线， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ……    任务： (1)请完成剩余的证明过程 (2)应用：如图3，是的切线，经过的圆心O，且，割线交于点D，E，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据提供的过程，继而证明，可得，再转化为； （2）连接，根据切割线定理得到，，将已知线段代入求出，再代入中，即可求出结果． 【详解】（1）解：证明：如图2，连接． ∵为的切线， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，圆的性质，根据题干中的材料，熟练掌握割线定理是解题的关键． 一十三．四点共圆模型（共5小题） 37．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）【阅读材料】克罗狄斯•托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家，托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理．定理内容如下：任意一个凸四边形，两组对边乘积的和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四边形四个顶点共圆时，等号成立．即：四边形中，有，当A、B、C、D四点共圆时，有． 【尝试证明】（1）如图1，四边形内接于，求证：． 证明：在上取点E，连接，使． ∵，∴______， ∴， ∴①， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴______②，得， 即______． 【直接应用】 （2）如图2，为的直径，，，，求的长； 【拓展应用】 （3）如图3，在四边形中，，，，，则的最大值为______； 【灵活运用】 （4）如图4，在等腰三角形中，，，点D在底边上，且，将三角形沿着所在的直线翻折，使得点C落在点E处，连接，则的长为______． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）8；（4）2 【分析】（1）在上取点E，连接，使，证明和，利用相似三角形的性质列式计算即可证明结论成立； （2）连接和，由圆周角定理结合勾股定理求得，，利用（1）的结论求解即可； （3）连接、，构造，即得到，再根据三边关系解题即可； （4）先证明，求得，再证明，可求出、，再由（1）中结论即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1，四边形内接于，求证：． 证明：在上取点E，连接，使． ∵， ∴， ∴， ∴①， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴②， 得， 即； （2）连接和， ∵为的直径， ∴， ∵，，， ∴，， ∵由（1）得， 即， ∴； （3）把绕着点顺时针旋转到的位置，连接、， 则，， ∴为等边三角形． ∵且， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， ∵，，， ， ∴的最大值为8， 故答案为：8； （4）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴，， ∵，， ∴， ，即， ∴，， ∵， ∴、、、四点共圆， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查翻折变换、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需要多次相似解决问题，题目比较难． 38．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）阅读理解：    （1）问题初现：如图1，在中，，D是外一点，且，则 ； 思路：若以点A为圆心，为半径画，则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到的度数； （2）问题解决：如图2，在四边形中，，求的度数； 思路：可以通过证明A、B、C、D四点共圆，再利用圆周角的性质求出∠BAC的度数．请写出详细的解题过程． （3）问题拓展：如图3，在中，，是边上的高，且，则 ． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解； （2）由A、B、C、D共圆，得出； （3）作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接．利用圆周角定理推知是等腰直角三角形，结合该三角形的性质求得；在等腰中，利用勾股定理得到，进而求解． 【详解】解：（1）如图，   ， ∴以点A为圆心，长为半径画圆，点B、C、D必在上， 是的圆心角，而是圆周角， ， 故答案为：； （2）如图2，取的中点O，连接，   ， ∴点共圆， ， ， ； （3）如图3，作的外接圆，过圆心作于点于点E，作于点F，连接，   ， ， 在中，， ， ， ，O为圆心， ， ． 在中，，， ， ， ∴四边形是矩形， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，考查了垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理等知识，难度偏大，熟练掌握垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理及作出合理的辅助线是解题的关键． 39．（22-23九年级上·吉林长春·期末）【问题情境】如图①，在四边形中，，求证：A、B、C、D四点共圆． 小吉同学的作法如下：连接，取的中点O，连接，请你帮助小吉补全余下的证明过程； 【问题解决】如图②，在正方形中，，点E是边的中点，点F是边上的一个动点，连接，作于点P． （1）如图②，当点P恰好落在正方形对角线上时，线段的长度为______； （2）如图③，过点P分别作于点M，于点N，连接，则的最小值为______． 【答案】问题情境：证明见解析；问题解决：（1）；（2）． 【分析】【问题情境】：连接，取的中点O，连接，由直角三角形斜边中线的性质可得出，即A、B、C、D四点共圆； 【问题解决】：（1）由正方形的性质可求出，结合勾股定理可得，由【问题情境】结论可知，A、D、E、P四点共圆，结合圆周角定理可推出，从而得出为等腰直角三角形．再根据其性质和勾股定理即可求解； （2）由【问题情境】结论可知，A、D、E、P四点共圆，过点O作于点G，作于点H，连接交于点，连接，由题意可得出四边形为矩形，即得出，说明要求的最小值，即求的最小值即可．由平行线分线段成比例易证点G为的中点，即为的中位线，得出．进而可求出，结合勾股定理可求出，最后根据两点之间线段最短可知，即的最小值为． 【详解】【问题情境】：证明：如图，连接，取的中点O，连接， ∵，O为的中点， ∴， ∴A、B、C、D四点共圆； 【问题解决】：解：（1）∵四边形为正方形，点E是边的中点，， ∴， ∴， 由【问题情境】结论可知，A、D、E、P四点共圆，如图， ∴． ∵为正方形的对角线， ∴． ∵， ∴为等腰直角三角形． 设，则， ∵， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴线段． 故答案为：； （2）由【问题情境】结论可知，A、D、E、P四点共圆， 如图，过点O作于点G，作于点H，连接交于点，连接， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴要求的最小值，即求的最小值， 由（1）知，， ∴． ∵，且点O为的中点， ∴， ∴为的中位线， ∴． ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴． 在中，， 根据两点之间线段最短得，， ∴， ∴的最小值为，即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查四点共圆、正方形的性质，等腰直角三角形的性质、勾股定理、中位线的判定与性质、平行线的判定与性质，平行线分线段成比例，属于圆的综合题，熟练掌握相关知识是解题关键． 40．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）综合与实践 数学活动课上，小聪在老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动． 【提出问题】如图，在线段同侧有两点，连接，，如果，那么四点在同一个圆上． 探究展示： 设是的外接圆 如图，假设点在内，延长交于点，连接 点在上，（    ） 在中， 这与已知条件矛盾 ∴点不在内如图，假设点在外，……； 综上所述，作的外接圆，点在上，即，，，四点共圆． 【归纳结论】 （1）上述探究过程中的括号内填的依据是______； （2）如图，请你帮助小聪按照上面的思路，写出该证明的省略部分； 【结论运用】 （3）已知四边形中， ①如图，点和点在同侧，交于点的延长线交于点，若，请判断与的数量关系，并说明理由； ②如图，若平分，记的值是否会发生改变，如果不发生改变，请求出其值，如果发生改变，请求出的取值范围． 【答案】归纳结论（1）同弧所对的圆周角相等；（2）见解析；结论运用（3） ①，理由见解析；②． 【分析】归纳结论（1）根据圆周角定理的推论作答即可； （2）假设点在外，设交于点，连接，利用反正法，根据圆周角定理及三角形的外角性质即可得解； 结论运用（3）①由得，，，四点在同一个圆上，记为，设，，先证，又，，从而，即可得；②延长至点，使得，过点作于，证明（）得，再利用勾股定理及度直角三角形的性质得，从而得，进而即可得解． 【详解】解：归纳结论（1）如图，假设点在内，延长交于点，连接 点在上， （同弧所对的圆周角相等）， 在中，， ， 这与已知条件矛盾； ∴点不在内； 故答案为：同弧所对的圆周角相等； （2）如图，假设点在外，设交于点，连接， ∵点在上， ∴， ∵在中，， ∴， ∴这与已知条件矛盾； ∴点不在外； ①∵， ∴，，，四点在同一个圆上，记为， 设，， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴ ； ∵，， ∴， ∴； ②的大小不会发生变化 理由∶延长至点，使得，过点作于， ∵， ∴，，，四点在同一个圆上， ∵平分， ∴， ∴； ∵，，，四点在同一个圆上， ∴， ∵， ∴； 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，度直角三角形的性质，圆周角定理，反证法，等腰三角形的三线合一，角平分线的定义，熟练掌握勾股定理，度直角三角形的性质，圆周角定理是解题的关键． 41．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）【材料阅读】如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．在《2.4圆周角》这一课中，我们学习了“圆的内接四边形的对角互补”这条性质，学习小组在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上得出“对角互补的四边形四个顶点共圆”也是正确的． 请同学们在此基础上继续展开后续探究： 【提出问题】 如图1所示，在线段同侧有两点，，连接，，，． 试探究：如果，那么、、、四点在同一圆上． 证明：如图2所示，作经过点、、的，在劣弧上取一点（不与、重合），连接，， ，（①______________） ， ②___________， 点、、、四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点、在点、、所确定的上， 点、、、四点在同一个圆上． 结论：在线段同侧有两点、，连接，，，， 如果，那么、、、四点共圆．    补全上述说理过程： ①______________；②______________． 【结论应用】 （2）如图3，在四边形中，，，则的度数为________． （3）如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接，作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，． 求证：、、、四点共圆；    【拓展延伸】 （4）如图5，在四边形中，连接，，，则四边形周长的最大值为__________．（直接写出答案）    【答案】（1）①圆的内接四边形的对角互补；②；（2）；（3）证明过程见详解；（4） 【分析】（1）根据探究展示过程和圆的性质，确定圆的条件填空即可； （2）由【提出问题】可知A，B，C，D共圆，从而． （3）①根据轴对称的性质得到，，，，进而得到即可证明结论； （4）在上取一点M，使得，连接，证明、是等边三角形，再证明即可求出． 【详解】解：（1）由探究展示过程可知，的依据是：①圆的内接四边形的对角互补； ②，（①___圆的内接四边形的对角互补） ， ， 故答案为：①圆的内接四边形的对角互补；②； （2）由【提出问题】可知，且在线段同侧， ∴A，B，C，D共圆， ∵是同弧所对的圆周角， ， 故答案为：． （3）证明：， ， ∵点E与点C关于的对称， ， ， ， ， ∴A，D，B，E四点共圆； （4）如图，连接，在上取一点M，使得． ， 是等边三角形，   ，， 是等边三角形， ， ， A、B、C、D四点共圆， ， ， ， ， 四边形的周长， ， 当最大时，四边形的周长最大， 当为的外接圆的直径时，四边形的周长最大， 为的外接圆的直径， ， ， ， 四边形的周长． 【点睛】本题考查四点共圆，解题的关键是读懂【材料阅读】，掌握圆的相关性质并能灵活运用． 一十四．定点定长构造辅助圆（共3小题） 42．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短、三角形的中位线定理、圆的定义，确定动点的运动轨迹是解题的关键．根据折叠的性质可得，，结合E是直角边的中点，得到，由此可判断点在以为圆心，为半径的圆上运动，当、、共线时，此时的值最小，根据三角形中位线定理求出，即可求出此时的最小值． 【详解】解： 将沿所在直线折叠，得到， ， ， E是直角边的中点， ， 点在以为圆心，为半径的圆上运动，如图所示， ， 当、、共线时，即与重合时，取得最小值， 又 ， 此时的值最小， D是斜边的中点， 是的中位线， ， 此时，， 的最小值为4． 故选：C． 43．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在矩形中，，，M是边的中点，N是边上的一动点（不与点A重合），将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了矩形的性质、圆的性质和翻转折叠的性质．利用数形结合的思想并确定当点在线段上时，有最小值是解题的关键． 根据矩形折叠的性质得到，确定出当当点在线段上时，有最小值，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，． ∵M是边的中点， ∴． 由折叠的性质可知， ， ∴点在以M为圆心，1为半径的上运动．连接，交于点，则当点在处时，取得最小值，最小值是的长． ， ， 即的最小值为， 故答案为：． 44．（24-25九年级上·江苏常州·期中）在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点旋转一个角度（），再将旋转后的多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作（，顺，）；若逆时针旋转， 记作（，逆，）． 例如：如图，先将绕点逆时针旋转，得到，再将以点为位似中心缩小到原来的，得到，这个变换记作（B，逆，） (1)如图，已知为直角三角形，，，点在圆上，请利用尺规画出圆上的点经过（，逆，）后的图形，并判断该图形与直线的位置关系 （填“相切”、 “相交”或“相离”）． (2)如图，经过（，逆，）得到， 经过（， 顺，）得到， 连接，．求证：． (3)如图，在中，，，．若经过（）中的变换得到的四边形是正方形，则 ； ． 【答案】(1)画图见解析，相切 (2)证明见解析 (3)， 【分析】（1）如图，以为圆心，为半径画弧，交于，连接，为上任意一点，连接，以为圆心，为半径画圆，作射线与交于，连接，则圆上的点经过（，逆，）后的图形为，再进一步解答可得答案； （2）由与位似，证明，由与位似，证明，可得． （3）如图，由（2）同理可得：，，可得，，，证明，，可得，可得，可得，，求解，即，，即，进一步可得答案． 【详解】（1）解：如图，以为圆心，为半径画弧，交于，连接，为上任意一点，连接，以为圆心，为半径画圆，作射线与交于，连接， 则圆上的点经过（，逆，）后的图形为， 理由：由作图可得：， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴在上，， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴圆上的点经过（，逆，）后的图形为． ∵， ∴与相切． （2）证明：∵与自旋转位似， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵与自旋转位似， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，取的中点，连接， 由（2）同理可得：，， ∴，，， ，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查的是复杂作图，切线的判定，圆周角定理的应用，解直角三角形的应用，位似图形的性质，相似三角形的性质，新定义运算的含义，理解题意，正确作图是解本题的关键． 一十五．定弦定角模型（共2小题） 一十六．定角定高模型（共1小题） 47．（2024九年级上·江苏·专题练习）辅助圆之定角定高求解探究 (1)如图①，已知线段，以为斜边，在图中画出一个直角三角形； (2)如图②，在中，，为边上的高，若，试判断是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由； (3)如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形中，，，，点、分别为、上的点，若保持，那么四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)存在， (3)存在，144 【分析】（1）构造辅助圆，利用直径所对圆周角是直角解决问题即可． （2）如图2中，作的外接圆，连接，，，作于．设．求出的最小值即可解决问题． （3）如图③中，连接，延长交的延长线于，将顺时针旋转得到，作的外接圆．由（2）可知，当的外接圆的圆心在线段上时，的面积最小，此时四边形的面积最大． 【详解】（1）解：如图①中，即为所求． （2）存在，理由如下， 如图②中，作的外接圆，连接，，，作于．设． ，，， ，， ，， ， ， ， 的最小值为， ， 的最小值为． （3）存在，理由如下， 如图③中，连接，延长交的延长线于，将顺时针旋转得到，作的外接圆． ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（2）可知，当的外接圆的圆心在线段上时，的面积最小，此时四边形的面积最大， 设，则， ， ， ， 四边形的面积的最大值． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的外接圆，解直角三角形，最值问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 一十七．阿氏圆（共3小题） 48．（2020·江苏常州·一模）如图，在中，点A、点B在上，，，点C在OA上，且，点D是的中点，点M是劣弧AB上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．延长到T，使得，连接，．利用相似三角形的性质证明，求的最小值问题转化为求的最小值．利用两点之间线段最短得到，利用勾股定理求出即可解题． 【详解】解：延长到T，使得，连接，． ， ， 点D是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又在中，，， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 49．（2022九年级上·浙江·专题练习）如图所示的平面直角坐标系中，，，是第一象限内一动点，，连接、，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】取点，连接，．根据，有，即可证明，即有，进而可得，则有，利用勾股定理可得，则有，问题得解． 【详解】解：如图，取点，连接，． ，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，（当B、P、T三点共线时取等号） 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 50．（20-21九年级上·江苏宿迁·期末）问题提出：如图①，在中，，，，的半径为，为圆上一动点，连接，求的最小值． (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接，在上取一点，使，则．又，所以．所以．所以，所以．请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为 ； (2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值； (3)拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，，，，，是上一点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用勾股定理即可求得本题答案； （2）连接，在上取点，使，则有，可证，得到，即，从而的最小值为； （3）延长到点，使，连接，可证，得到，得到，当三点共线时，得到最小值． 【详解】（1）解：如图连接， ∵，要使最小， ∴当最小，当点在同一条直线时，最小， ∴的最小值为， 在中，，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； （2）解：如图连接，在上取点，使， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； （3）解：如图延长到点，使， ∴， 连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，取得最小值：， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，相似三角形判定及性质，最值得确定． $$