专题2-1 圆（考题猜想，热考+压轴 必刷67题17种题型专项训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版）

考题猜想2-1 圆 （热考+压轴 必刷67题17种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 利用垂径定理解决平行弦或同心圆问题 · 利用垂径定理解决实际问题 · 利用弧，弦，圆心角的关系求解 · 利用圆周角定理及推论求解 · 利用点和圆的位置关系求解 · 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 · 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 · 切线的性质与判定定理 · 应用切线长定理求解 · 一般三角形周长，面积与内切圆半径关系 · 三角形内切圆与外接圆综合 · 圆内接四边形 · 正多边形与圆 · 求其它不规则图形面积 · 圆与三角形综合 · 圆与四边形综合 · 圆与函数综合 一．利用垂径定理解决平行弦或同心圆问题（共4小题） 1．（2023九年级上·全国·专题练习）已知的直径为， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm． 2．已知的半径为，弦，，，求与间的距离． 3．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． (1)求证：． (2)若，大圆的半径，求小圆的半径r． 4．（22-23九年级上·江苏南京·期末）在同心圆中，大圆的弦交小圆于C，D两点． (1)如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，，则的长为 ___________． (2)如图②，大圆的另一条弦EF交小圆于G，H两点，若，求证．   二．利用垂径定理解决实际问题（共5小题） 5．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，图2是正确使用该工具时的示意图．如图3，为某紫砂壶的壶口，已知A、B两点在上，直线过点O，且于点D，交于点C．若，，求这个紫砂壶的壶口半径． 6．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图2是根据图1中的石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，设所在圆的圆心为，拱顶为点，交于点，连接．当桥下水面宽时，． (1)求这座石拱桥主桥拱的半径； (2)有一条宽为，高出水面的矩形渔船，请你判断一下，此渔船能否顺利通过这座拱桥？并说明理由． 7．（23-24九年级上·福建莆田·期末）如图1，圆形拱门是中国古典园林建筑元素之一，圆形拱门有着圆满、完美的美好寓意、 (1)在图2中作出拱门中圆弧的圆心（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知拱门高（优弧中点到的距离），，，求拱门的圆弧半径． 8．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，隧道的截面由圆弧和矩形构成，矩形的长为，宽为，隧道的顶端E（圆弧的中点）高出道路（）．    (1)求圆弧所在圆的半径； (2)如果该隧道内设双行道，现有一辆超高货运卡车高，宽，通过计算问这辆货运卡车能否通过该隧道，写出理由． 9．（23-24九年级上·河北唐山·期中）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，为水面截线，为桌面截线，．    (1)作于点C，求的长； (2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少．     三．利用弧，弦，圆心角的关系求解（共5小题） 10．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，是的弦，是弧的中点． (1)连接，求证：垂直平分； (2)若，，求的半径． 11．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，以的顶点A为圆心，为半径作，分别交、于E、F两点，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若的度数为，求的度数． 12．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知，内接于，为的直径，点D为优弧的中点． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，过点D作，垂足为E．若，，求的半径． 13．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）已知：如图，在中，弦与相较于点，连结，． (1)求证：． (2)如果的半径为5，，． ①求的度数． ②求的长． 14．（24-25九年级上·江西九江·期中）追本溯源 题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并解答题（2）． (1)如图1，，比较与的长度，并证明你的结论． 方法应用 (2)如图2，，是的两条弦，点，分别在，上，连接，，且，是的中点． ①求证：． ②若圆心到的距离为3，的半径是6，求的长． 四．利用圆周角定理及推论求解（共5小题） 15．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）已知是的两条弦，且． (1)如图①，是的直径．求证； (2)如图②，连接．请用无刻度的直尺作出的一条弦，使．（保留作图痕迹，不写作法） (3)如图③，四边形是的内接四边形，．若的半径为6，，且，则的长度为 ． 16．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）关于的一元二次方程，如果、、满足且，那么我们把这样的方程称为“2倍—勾系方程”，请解决下列问题： (1)求证：关于的“2倍—勾系方程”必有实数根； (2)如图，已知、是半径为4的的两条平行弦，，，且关于的方程是“2倍—勾系方程”； ①求的度数； ②直接写出的长（用含、的式子表示）． 17．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知，中，，以为直径的与，的交点分别为D，E． (1)如图①，求的大小； (2)如图②，当时，求的大小． 18．（21-22九年级上·江苏扬州·期中）如图，以点为圆心的圆，交轴于、两点（在的左侧），交轴于、两点（在的下方），，将绕点旋转，得到．    (1)求、两点的坐标； (2)请在图中画出线段、，并判断四边形的形状（不必证明），求出点的坐标； (3)动直线从与重合的位置开始绕点顺时针旋转，到与重合时停止，设直线与交点为，点为的中点，过点作于，连接、．请问在旋转过程中的大小是否变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 19．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是等边的外接圆，P点是劣弧上的一个动点(不与点A，B 重合)． (1)求的度数； (2)若，，求的长； (3)若，点P在劣弧上运动的过程中， ①的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，求出其值的取值范围． ②试探究的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不 是，求出其的取值范围． 五．利用点和圆的位置关系求解（共3小题） 20．（24-25九年级上·浙江金华·开学考试）在中，若点O为边的中点，则必有：成立． 依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形中，已知，，点在以半径为2的上运动，则的最大值为 ． 21．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在三角形中，，，，是高线，是中线． (1)以点A为圆心，3为半径作圆A，则点，，与圆A的位置关系如何？ (2)若以点A为圆心作圆A，使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求圆A的半径的取值范围？ 22．（22-23九年级上·江苏淮安·期中）在矩形中，，． (1)若以为圆心，8长为半径作，则、、与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是 ． 六．已知直线和圆的位置关系求半径的取值（共4小题） 23．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知在矩形中，，，以点为圆心，为半径作， (1)当半径为何值时，与直线相切； (2)当半径为何值时，与直线相切； (3)当半径的取值范围为何值时，与直线相交且与直线相离． 24．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径为，设点的坐标为．    (1)求与直线相切时点的坐标． (2)请直接写出与直线相交、相离时的取值范围． 25．（21-22九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点分别为A(2，3)，B(2，1)，C(5，4)． (1)只用直尺在图中找出△ABC的外心P，并写出P点的坐标_____________ (2)以(1)中的外心P为位似中心，按位似比2：1在位似中心的左侧将△ABC放大为△A′B′C′，放大后点A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′，请在图中画出△A′B′C′； (3)若以A为圆心，为半径的⊙A与线段BC有公共点， 则的取值范围是____________． 26．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知的斜边，直角边，以点为圆心作． (1)当半径为________时，直线与相切； (2)当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为________； (3)当与线段没有公共点时，半径的取值范围为__________． 七．已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离（共4小题） 27．（23-24九年级上·吉林白山·期末）如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，求圆心的坐标.    28．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）如图1，平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别是（3，0）、（5，0）、（0，4）． (1)用无刻度的直尺和圆规作出过A、B、C三点的⊙P，求圆心P的坐标； (2)如图2，若过A、B两点的⊙M恰好与直线l：相切，请直接写出圆心M的坐标： ． 29．（2021九年级·全国·专题练习）如图，的半径是5，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使． （1）点到直线距离的最大值为　　　　； （2）若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为　　　　． 30．（18-19九年级·福建漳州·自主招生）先阅读材料，再解答问题： 已知点和直线，则点到直线的距离可用公式计算．例如：求点到直线的距离． 解：由直线可知：． 所以点到直线的距离为 ． 求：（1）已知直线与平行，求这两条平行线之间的距离； （2）已知直线分别交轴于两点，是以为圆心，为半径的圆，为上的动点，试求面积的最大值． 八．切线的性质与判定定理（共4小题） 31．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，为的直径，与相切于点C，过点B作于点D，连接． (1)求证平分； (2)若，，求的长． 32．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，是直角三角形的外接圆，直径，过C点作的切线，与延长线交于点D，M为的中点，连接，，且与相交于点N． (1)求证：与相切； (2)当时，在的圆上取点F，使，补全图形，并求点F到直线的距离． 33．（2024·山东潍坊·一模）如图，在中，，为边上的点，以为直径作，交于点．连接并延长交于点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 34．（2024·江苏泰州·二模）如图，中，点为的垂直平分线与的交点，以为圆心，为半径作与的另一个交点为点，且__________，__________． 给出以下信息：①，②，③与相切． (1)请从中选择其中的两个信息作为条件，余下的一个信息作为结论，使之构成真命题，将对应的序号填到下面横线上方，并加以证明． 条件：__________，__________，结论：__________ (2)如图2，在（1）的条件下，点D在上，且，连接，求证∶． 九．应用切线长定理求解（共4小题） 35．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）在矩形中，，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒： (1)如图1，几秒后，的面积等于？ (2)在运动过程中，若以P为圆心、为半径的与相切（如图1），求t值； (3)若以Q为圆心，为半径作． ①如图2，以Q为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在这样的t值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由； ②如图3，若与四边形的边有三个公共点，则t的取值范围为______．（直接写出结果，不需说理） 36．（23-24九年级下·江西宜春·阶段练习）【课本再现】：如图①，P是外一个点，是的两条切线，切点分别是A，B，我们将线段的长称为点到的切线长，    （1）求证：； 定理描述：上面命题我们称为“切线长定理”．请用一句话描述定理的内容：________________ ； 【知识运用】 （2）如图②，已知，直线是的切线，切点是E，且分别交于点 C，D，求的周长； 【拓展运用】 （3）如图③，半径为3的分别与的边相切于点D，E．已知，求证：是的切线．   37．（22-23九年级上·广东云浮·期末）如图1所示，为的外接圆，为直径，、分别与相切于点D、C（）.E在线段上，连接并延长与直线相交于点P，B为中点. (1)证明：是的切线. (2)如图2，连接，，求证：. 38．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）探究问题： (1)如图1，PM、PN、EF分别切于点A、B、C，猜想的周长与切线长PA的数量关系，并证明你的结论． (2)如果图1的条件不变，且，的周长为16cm，求的半径． (3)如图2，点E是的边PM上的点，于点F，与边EF及射线PM、射线PN都相切．若，，求的半径． 一十．一般三角形周长，面积与内切圆半径关系（共3小题） 39．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，为的内切圆，切点分别为，点分别为上的点，且为的切线．    (1)若，求的度数； (2)若，求的周长．   40．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知是的平分线，是射线上一点，．动点从点出发，以的速度沿水平向左作匀速运动，与此同时，动点从点出发，也以的速度沿竖直向上作匀速运动．连接，交于点．经过三点作圆，交于点，连接．设运动时间为，其中． (1)求的值； (2)当时，求出内切圆的半径； (3)求四边形的面积． 41．（2024九年级上·全国·专题练习）在中，，是的内切圆，切点分别为D，E，F． (1)图1中三组相等的线段分别是， ， ；若，，则半径长为 ； (2)如图2，延长到点M，使，过点M作于点N．求证：是的切线． 一十一．三角形内切圆与外接圆综合（共4小题） 42．（2024·四川南充·一模）如图，点是外接圆的圆心．点是的内心．连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 43．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）综合与实践 【问题情境】如图，矩形中，，M、N分别是边上的点，将沿着翻折，点A的对应点是． 【初步尝试】若N与D重合，M是的中点，则　　； 【问题解决】若，的外接圆与线段有公共点，求的取值范围； 【深入探究】若落在内部，以为圆心，r为半径的同时与相切，则r的取值范围是______． 44．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）学校数学社团在学完圆周角的有关知识后，进行了如下的探究活动． 【问题发现】 已知内接于，点D是弦所对弧的中点，连接，则弦，，之间一定存在某种等量关系． 【问题探究】    (1)如图1，若，，当点A、D位于弦的异侧，且D是的中点，容易得到：　 ； (2)如图2，若，D是弦所对的优弧的中点，请你探索弦，，之间的等量关系，并说明理由； 【迁移应用】 (3)如图3，若，，，点D是弦所对弧的中点，连接，求的长． 45．（2023·浙江·模拟预测）如图，点O是的内心，的延长线交的外接圆于点D，交于E，设． (1)求证：； (2)探究的值与a之间的数量关系； (3)若，E为的一个三等分点，求的外接圆的半径． 一十二．圆内接四边形（共3小题） 46．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图所示，四边形是半径为r的的内接四边形，是的直径，，直线l与三条线段、、的延长线分别交于点E、F、G．且满足． (1)求证：直线直线； (2)若． ①求证：； ②若半径，求四边形ABCD的周长． 47．（2024·山东济宁·二模）【初步感知】 如图1，点，，均在上，若，则锐角的大小为____； 【深入探究】 如图2，小聪遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点在上（点不与点重合），连接，，．求证：；小聪发现，延长至点，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．请根据小聪的分析思路完成证明过程． 【启发应用】 如图3，是的外接圆，，，点在上，且点与点在的两侧，连接，，，若，则的值为______． 48．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知，，是的外接圆，点D在上（），连接． 【特殊化感知】 （1）如图1，若，点D在延长线上，则与的数量关系为______； 【一般化探究】； （2）如图2，若，点C、D在同侧，判断与的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】； （3）若，直接写出满足的数量关系 一十三．正多边形与圆（共4小题） 49．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，网格中，都是格点，以为圆心，为半径作圆，仅用无刻度的直尺完成以下画图； (1)在图①中画的一个内接正六边形． (2)在图②中画的一个内接正八边形． (3)图②中正八边形的面积为______． 50．（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）【给出问题】：已知：是正方形的外接圆，点P在上（除A、B外），试求的度数． 【分析问题】：善于思考的小明在分析上述题目后，有了以圆为工具来解决问题的思路．用圆来画出准确的示意图就能顺利解题了，在此基础上进一步探索就有了新发现．请善于思考的你帮助解答以下问题： （1）①尺规作图，在中作出内接正方形（保留痕迹，不写作法）． ②原题中 ． 【深入思考】： （2）【问题】如图1，若四边形是的内接正方形，点P为弧上一动点，连接，请探究三者之间或者三者之间有何数量关系，并给予证明． （3）【拓展】如图2，若六边形是的内接正六边形，点P为弧上一动点，请探究三者之间有何数量关系： （不写证明过程）． （4）【应用】如图3，若四边形是矩形，点P为边上一点，，，，试求矩形的面积．    解：（1）①如图所示，作直径的垂直平分线交于点A，C，则四边形是正方形； 51．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，等腰内接于，． (1)如图1，若，连接并延长交于点D，交于点H． ①弧的度数为：______；与的数量关系是：______． ②请你仅使用无刻度的直尺在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）； (2)如图2，若，E是的中点，请你仅使用无刻度的直尺在图2中，作一个的内接正五边形（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）． 52．（2022·浙江金华·中考真题）如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接． (1)求的度数． (2)是正三角形吗？请说明理由． (3)从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值． 一十四．求其它不规则图形面积（共4小题） 53．（22-23九年级上·江苏淮安·期末）如图，是的直径，点在上，点为延长线上一点，过点作交的延长线于点，且 (1)求证：是的切线； (2)若线段与的交点是的中点，的半径为，求阴影部分的面积． 54．（24-25九年级上·全国·期末）如图，是的直径，是的切线，为上的一点，，延长交的延长线于点， (1)求证：为的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积（结果保留）； (3)若，求的值． 55．（23-24九年级上·湖北·阶段练习）有一张半径为2的圆形纸片． (1)如图（1），先将纸片沿直径左右翻折，再上下翻折，刚好完全重合，然后平铺展开，则的大小是______；在上任取一点C（异于A，B），则的大小是______； (2)如图（2），将纸片沿一条弦翻折，使其劣弧恰好经过圆心O，作出直径，则图中阴影部分的面积是______； (3)如图（3），是的直径，将劣弧沿弦翻折，交于点D，再将劣弧沿直径翻折，交于点E，若点E恰好是翻折后的劣弧的中点，求图中阴影部分的面积． 56．（23-24九年级上·青海西宁·期末）如图，为等腰三角形，点O是底边的中点，腰与相切于点D． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 一十五．圆与三角形综合（共4小题） 57．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，是的外接圆，为直径，是上一点，且，交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的半径长． 58．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： 【问题探究】如图1，，为的两条弦，点为的中点，过作、垂足为．求证：． 小明同学的思路是：如图2．在上截取，连接，，，…请你按照小明的思路完成上述问题的证明过程． 【结论运用】如图3，是的内接等边三角形，点是上一点，，连接，．过点作，垂足为．若，求的周长． 【变式探究】如图4，若将（问题探究）中“点为的中点”改为“点为优弧的中点”，其他条件不变，请直接写出、、之间的等量关系． 59．（2024·江苏镇江·二模）如图1，点P为外一点．    (1)过点P作的一条切线（请用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹）； (2)如图2， 为的切线，连接，交于点E，作，交于点A，作直径，连接交于点F． ① 求证：； ② 若，求的长． 一十六．圆与四边形综合（共4小题） 60．（22-23九年级上·江苏宿迁·期中）如图1，在矩形中， ， ，点以1.5的速度从点向点运动，点以2的速度从点向点运动．点、同时出发，运动时间为秒（），是的外接圆． (1)当时，的半径是 ，与直线CD的位置关系是 ； (2)在点从点向点运动过程中， ①圆心的运动路径长是 ； ②当与直线相切时，求的值． (3)连接，交于点，如图2，当时，求的值． 61．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）在矩形中，已知，连接，，点O是边上的一动点，的半径为定值r． (1)如下图，当经过点C时，恰好与相切，求的半径r； (2)如下图，点M是上的一动点，求三角形面积的最大值： (3)若从B出发，沿BC方向以每秒一个单位长度向C点运动，同时，动点E，F分别从点A，点C出发，其中点E沿着AD方向向点D运动，速度为每秒1个单位长度，点F沿着射线方向运动，速度为每秒2个单位长度，连接，如下图所示，当平移至点C（圆心O与点C重合）时停止运动，点E，F也随之停止运动．设运动时间为t（秒）．在运动过程中，是否存在某一时间t，使与相切，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 62．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）在矩形中，，点P从点A出发，沿边向点B以每秒的速度移动，同时点Q从点D出发沿边向点A以每秒的速度移动，P、Q其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒．解答下列问题： (1)如图①，t为何值时，的面积等于； (2)如图②，若以点P为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在t值，使得经过点C？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)如图③，若以Q为圆心，为半径作，当与相切时． ①求t的值． ②如图④，若点E是此时上一动点，F是的中点，连接，则线段的最大值为 ． 63．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）在期中复习课里，小晨对九年级数学教材第52页习题的第3题进行了再研究．      【原题再现】 （1）如图，在四边形中，，经过点三点作，点在上吗？试说明理由．   小晨解答如下： 如图1，过三点作，连接． 中， 请你帮他完成后面的解答： 【深入探究】 （2）小晨在完成此题解答后，他在图1上连接，得到图2，当时，他发现平分．他的发现正确吗？试说明理由； （3）在（2）的条件下，小晨通过测量发现这三条线段之间存在着一定的数量关系，经过探究，他得到了结论：，请证明这个结论． 【应用实践】 （4）根据小晨同学的研究，张老师提出一个问题：如图3，内接四边形中，为的直径，，作点关于的对称点，连接，若，，请直接写出的长为 ．   一十七．圆与函数综合（共4小题） 64．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为、，过点M的直线与的公共点是D、E，与x轴交于点F，连接、、．已知． (1)的直径为 ，点M的坐标为 ； (2)求直线所对应的函数表达式； (3)若P是线段上的动点，与的一个内角相等，求的长度． 65．（22-23九年级上·山东淄博·期末）如图，顶点在轴上的抛物线与直线相交于，两点，且点在轴上，点的横坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接．判断点是否在以为直径的圆上，并说明理由； (3)以点为圆心，为半径画，与相切于点．求直线的函数表达式． 66．（2022·江苏无锡·一模）如图，抛物线经过，且与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点P是x轴的正半轴上一点，，求点P的坐标； (3)当点P是抛物线上第一象限上的点，，直接写出点P的坐标为______． 67．（21-22九年级上·江苏扬州·期末）如图1，对于的顶点P及其对边MN上的一点Q，给出如下定义：以P为圆心，PQ长为半径的圆与直线MN的公共点都在线段MN上，则称点Q为关于点P的内联点． 在平面直角坐标系xOy中： (1)如图2，已知点，点B在直线上． ①若点，点，则在点O，C，A中，点______是关于点B的内联点； ②若关于点B的内联点存在，求点B横坐标m的取值范围； (2)已知点，点，将点D绕原点O旋转得到点F，若关于点E的内联点存在，直接写出点F横坐标n的取值范围． $$考题猜想2-1 圆 （热考+压轴 必刷67题17种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 利用垂径定理解决平行弦或同心圆问题 · 利用垂径定理解决实际问题 · 利用弧，弦，圆心角的关系求解 · 利用圆周角定理及推论求解 · 利用点和圆的位置关系求解 · 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 · 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 · 切线的性质与判定定理 · 应用切线长定理求解 · 一般三角形周长，面积与内切圆半径关系 · 三角形内切圆与外接圆综合 · 圆内接四边形 · 正多边形与圆 · 求其它不规则图形面积 · 圆与三角形综合 · 圆与四边形综合 · 圆与函数综合 一．利用垂径定理解决平行弦或同心圆问题（共4小题） 1．（2023九年级上·全国·专题练习）已知的直径为， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm． 【答案】2或14 【分析】作于E，延长交于F，连接、，如图，利用平行线的性质，根据垂径定理得到，，则利用勾股定理可计算出，，讨论：当点O在与之间时，；当点O不在与之间时，． 【详解】解：作于E，延长交于F，连接、，如图       ∵，， ∴， ∴， ， 在中，， 在中，， 当点O在与之间时，如图1，， 当点O不在与之间时，如图2，， 故答案为：2或14． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论． 2．已知的半径为，弦，，，求与间的距离． 【答案】或 【分析】有两种情况，即AB，CD在圆心O的同侧或两侧两种情况，需分类讨论． 【详解】解：如图①，过作于交于，连接，， ， ； 由垂径定理得，， ，， ； 如图②，过作于，于，连接，， 同理可得，， 当，在圆心的两侧时， ， 与的距离为或． 【点睛】此题主要考查的是勾股定理及垂径定理的应用，需注意AB、CD的位置关系有两种，不要漏解． 3．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． (1)求证：． (2)若，大圆的半径，求小圆的半径r． 【答案】(1)证明见解析 (2)小圆的半径r为 【分析】（1）过O作于点E，由垂径定理可知E为和的中点，则可证得结论； （2）连接，由条件可求得的长，则可求得和的长，在中，利用勾股定理可求得的长，在中可求得的长； 【详解】（1）证明：过O作于点E，如图1， 由垂径定理可得 ∴ ∴ （2）解：连接，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， 在中，由勾股定理可得 ∴，即小圆的半径r为． 【点睛】本题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 4．（22-23九年级上·江苏南京·期末）在同心圆中，大圆的弦交小圆于C，D两点． (1)如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，，则的长为 ___________． (2)如图②，大圆的另一条弦EF交小圆于G，H两点，若，求证． 【答案】(1)4 (2)见解析 【分析】（1）连接，，过点作，则为，的中点，得出，，根据勾股定理即可求出的长； （2）过作，作，垂足分别为、，得出，，，，连接、、、，通过证明和，即可得证． 【详解】（1）连接，，过点作，则为，的中点， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： （2）过作，作，垂足分别为、， ∴，，，， 又∵， ∴， 连接、、、，    在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解此类题的关键． 二．利用垂径定理解决实际问题（共5小题） 5．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，图2是正确使用该工具时的示意图．如图3，为某紫砂壶的壶口，已知A、B两点在上，直线过点O，且于点D，交于点C．若，，求这个紫砂壶的壶口半径． 【答案】10 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是理解垂径定理构建关于半径r的等式．根据可得，再根据勾股定理构建关于半径r的等式求解即可． 【详解】解：设这个紫砂壶的壶口半径为r， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， 这个紫砂壶的壶口半径为， 6．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图2是根据图1中的石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，设所在圆的圆心为，拱顶为点，交于点，连接．当桥下水面宽时，． (1)求这座石拱桥主桥拱的半径； (2)有一条宽为，高出水面的矩形渔船，请你判断一下，此渔船能否顺利通过这座拱桥？并说明理由． 【答案】(1)这座石拱桥主桥拱的半径为 (2)此渔船不能顺利通过这座桥 【分析】本题主题考查圆的基础知识，勾股定理的运用，掌握垂径定理，勾股定理的综合运用是解题的关键． （1）根据垂径定理可得，，，设主桥拱半径为，可得，根据勾股定理即可求解； （2）如图，设为该渔船的上端，连接，根据题意可求出的值，根据勾股定理可求出的值，再与矩形船的宽比较，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 设主桥拱半径为，由题意可知，， ∴，， ∵， ∴， ∴，解得，， ∴这座石拱桥主桥拱的半径为． （2）解：此渔船不能顺利通过这座拱桥，理由如下， 如图，设为该渔船的上端，连接， ∵，船舱顶部为长方形并高出水面， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴此渔船不能顺利通过这座桥． 7．（23-24九年级上·福建莆田·期末）如图1，圆形拱门是中国古典园林建筑元素之一，圆形拱门有着圆满、完美的美好寓意、 (1)在图2中作出拱门中圆弧的圆心（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知拱门高（优弧中点到的距离），，，求拱门的圆弧半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，矩形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质及勾股定理是解题的关键， （1）在拱门上找任意一点，分别与相连，并做垂直平分线，利用垂径定理可确定圆心的位置； （2）先证四边形是矩形，设，再根据勾股定理求得的值，即可得到拱门的圆弧半径． 【详解】（1）解：如图，点即为所求， （2）解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， 过点 作于， 交优弧于点， 交于， 则 ，，， 设， 则， ， 在中，， ∴， ， 解得， ∴拱门的圆弧半径为． 8．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，隧道的截面由圆弧和矩形构成，矩形的长为，宽为，隧道的顶端E（圆弧的中点）高出道路（）．    (1)求圆弧所在圆的半径； (2)如果该隧道内设双行道，现有一辆超高货运卡车高，宽，通过计算问这辆货运卡车能否通过该隧道，写出理由． 【答案】(1) (2)这辆货运卡车不能通过该隧道，理由见解析 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理的实际应用，矩形的性质，熟练掌握垂径定理是解题关键． （1）设圆心为点O，半径为，根据垂径定理得到，再求出，在中，由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案； （2）如图，在上取点，且使，过作交于点，连接，利用勾股定理的长，然后与车宽进行大小比较即可． 【详解】（1）解：如图，设圆弧所在圆的圆心为点O，半径为，连接交于点F，连接，    由垂径定理得：垂直平分， 四边形是矩形，，点E到的距离为 ，， ，， 在中，由勾股定理得， ∴ 解得 ∴所在圆的半径为； （2）解：这辆货运卡车不能通过该隧道，理由如下： 如图，在上取点，且使，过作交于点，连接，    依题意，圆弧所在圆的半径为，到的距离为，则点到的距离为， ∴点到的距离为， 在中，， ∵ ∴这辆货运卡车不能通过该隧道． 9．（23-24九年级上·河北唐山·期中）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，为水面截线，为桌面截线，．    (1)作于点C，求的长； (2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理： （1）连接，利用垂径定理得出，由勾股定理计算即可得出答案； （2）过O作于点D，连接，利用勾股定理求出，再利用垂径定理得出与相减即可得出答案． 【详解】（1）解：连接，    ∵O为圆心，，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴的长为； （2）解：过O作于点D，连接，    由题意得，， 在中，， ∴， ∴ ∴水面截线减少了． 三．利用弧，弦，圆心角的关系求解（共5小题） 10．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，是的弦，是弧的中点． (1)连接，求证：垂直平分； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析； (2)的半径为． 【分析】（）由是弧的中点可知，故，再由可得出结论； （）设与交于点，由（）知，垂直平分，得出，根据勾股定理求出的长，设的半径为r，则，，在中利用勾股定理求出的值即可； 本题考查了圆心角、弧、弦的关系，勾股定理及垂径定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分； （2）解：设与交于点，如图， 由（）知，垂直平分， ∴， ， ∵， ∴， 设的半径为，则，， 在中由勾股定理得，即， 解得：， ∴的半径为． 11．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，以的顶点A为圆心，为半径作，分别交、于E、F两点，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若的度数为，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由平行四边形的性质可得，从而得出，，由等边对等角得出，从而得出，即可得证； （2）先求出，再由等边对等角结合三角形内角和定理得出，最后再由平行四边形的性质即可得解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵为的直径， ∴的度数为， ∵的度数为， ∴的度数为， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 12．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知，内接于，为的直径，点D为优弧的中点． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，过点D作，垂足为E．若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）延长交于F，根据圆心角定理的推论及线段垂直平分线的判定定理可得，即； （2）连接并延长交于F，易得，进而可得，再证明，根据全等三角形的性质得到，然后在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图1，延长交于F，连接，，， ∵点D为优弧的中点， ∴， ， ∴点D在线段的垂直平分线上， ， ∴点O在线段的垂直平分线上， 是线段的垂直平分线， ，即； （2）解：连接并延长交于F， 设的半径为x， ∵点D为优弧的中点，，， ∴， 由（1）得，， ∴， ， ， ，， ， ， ， 即， 解得， 的半径为． 【点睛】本题主要考查圆心角定理的推论、线段垂直平分线的判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 13．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）已知：如图，在中，弦与相较于点，连结，． (1)求证：． (2)如果的半径为5，，． ①求的度数． ②求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①，②7 【分析】（1）根据，可得，即，即可证明； （2）①连接，证明，得到，再证明，得到，根据，即可求解；②过O作与F，由①易证是等腰直角三角形，根据垂径定理得到，设，则，，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明： ， ，即， ； （2）解：①连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②过O作与F， 由①得：， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设，则， ∵， ∴， ∵的半径为5， ∴， 在中，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，弧、弦，圆心角的关系，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握垂径定理，弧、弦，圆心角的关系，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 14．（24-25九年级上·江西九江·期中）追本溯源 题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并解答题（2）． (1)如图1，，比较与的长度，并证明你的结论． 方法应用 (2)如图2，，是的两条弦，点，分别在，上，连接，，且，是的中点． ①求证：． ②若圆心到的距离为3，的半径是6，求的长． 【答案】(1)，证明见解析 (2)①证明见解析；② 【分析】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理、勾股定理是解题的关键． （1）根据同圆或等圆中，弦、弧之间的关系得出即可； （2）根据勾股定理求出，再根据垂径定理即可求解． 【详解】（1）解：． 证明：， ， ，即． （2）解：①证明：是的中点， ． ， ， ， ， ． ②如图，过点作，是垂足，连接． 在中，，， ， ． 四．利用圆周角定理及推论求解（共5小题） 15．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）已知是的两条弦，且． (1)如图①，是的直径．求证； (2)如图②，连接．请用无刻度的直尺作出的一条弦，使．（保留作图痕迹，不写作法） (3)如图③，四边形是的内接四边形，．若的半径为6，，且，则的长度为 ． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理可得，，证明，可得结论； （2）连接并延长，交于点，连接，则即为所求；由（1）可得，继而证明，即可求解； （3）连接并延长，交于点，连接，易得，，结合易得，再证明，进而可得，设，则，在中，根据勾股定理建立方程并求解，并结合，即可获得答案． 【详解】（1）解：如下图，连接， ∵为直径， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）如下图，连接并延长，交于点，连接，则即为所求， 理由如下： 连接，连接并延长交于点， 由（1）可知，， ∴， ∵，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴即为所求； （3）如图，连接并延长，交于点，连接， ∵的半径为6， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 在中，可有， 即，解得，，， ∴或， ∵，且， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、弦与弧之间的关系、垂径定理、勾股定理等知识，综合运用相关知识是解题的关键． 16．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）关于的一元二次方程，如果、、满足且，那么我们把这样的方程称为“2倍—勾系方程”，请解决下列问题： (1)求证：关于的“2倍—勾系方程”必有实数根； (2)如图，已知、是半径为4的的两条平行弦，，，且关于的方程是“2倍—勾系方程”； ①求的度数； ②直接写出的长（用含、的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了“勾系方程”的概念，一元二次方程根的判别式，勾股定理，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是明白“勾系方程”的定义． （1）根据一元二次方程根的判别式即可判断； （2）①作于，延长交于，连接，，由垂径定理可得，，有勾股定理得，再由关于的方程是“2倍—勾系方程”，得到，即可证明，最后证明得到，最后根据求解即可； ②过点作的垂线，垂足为，则四边形是矩形，根据得出，进而利用勾股定理列式解答，即可得解． 【详解】（1）证明：关于的一元二次方程是“勾系方程”， 且，， ， ， ， 方程必有实数根； （2）解：①作于，延长交于，连接，，如图， ∵， ， ，， ， ， 关于的方程是“2倍—勾系方程”， ∴， ， ，， ∴ ， ， ， ， ； ②过点作的垂线，垂足为，则四边形是矩形，如图， ， ∵， ． 17．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知，中，，以为直径的与，的交点分别为D，E． (1)如图①，求的大小； (2)如图②，当时，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，“弧，弦，圆周角”之间的关系，直径所对的圆周角是直角． （1）根据圆内接四边形对角互补得出，进而得出答案； （2）连接，根据“弧，弦，圆周角”的关系得出，再根据“直径所对的圆周角是直角”得出，最后根据直角三角形的两个锐角互余得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴． ∵是的直径， ∴． 在中，． 18．（21-22九年级上·江苏扬州·期中）如图，以点为圆心的圆，交轴于、两点（在的左侧），交轴于、两点（在的下方），，将绕点旋转，得到．    (1)求、两点的坐标； (2)请在图中画出线段、，并判断四边形的形状（不必证明），求出点的坐标； (3)动直线从与重合的位置开始绕点顺时针旋转，到与重合时停止，设直线与交点为，点为的中点，过点作于，连接、．请问在旋转过程中的大小是否变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 【答案】(1)， (2)矩形， (3)不变， 【分析】（1）连接，根据等边对等角，结合三角形的外角求出，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，得到点，B点的坐标即可； （2）连接并延长，交圆于点，连接，即可得到四边形，根据旋转的性质，推出四边形为矩形，过点M作交于点N，证明 ，可得点M的坐标； （3）结合题意，得；再结合点Q是的中点，根据直角三角形斜边中线性质，得，从而推导得点E、M、B、G在以点Q为圆心、为半径的圆上，故得；再根据，，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接．    由题意知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ，， ∴， ； （2）解：如图，四边形是矩形，    由题意，得：，， ∴三点共线， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵为直径， ∴， 四边形是矩形． 过点M作交于点N．    在和中， ， ， ，， 又 ， 点M的坐标为； （3）解：如图，    结合（2）的结论，四边形是矩形，， ， ， ， 点Q是的中点， ， 点E、M、B、G在以点Q为圆心、为半径的圆上， ． ，， ∴， ． 在旋转过程中的大小不变，始终等于． 【点睛】本题属于圆内综合题，考查圆的基本知识，垂径定理，圆周角定理，旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质，平面直角坐标系，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，综合性较强，有一定难度，解题的关键是综合运用上述知识，逐步推导论证． 19．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是等边的外接圆，P点是劣弧上的一个动点(不与点A，B 重合)． (1)求的度数； (2)若，，求的长； (3)若，点P在劣弧上运动的过程中， ①的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，求出其值的取值范围． ②试探究的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不 是，求出其的取值范围． 【答案】(1) (2)7 (3)①；②的值是定值96． 【分析】（1）首先由等边三角形的性质得到，然后根据圆内接四边形的性质求解即可； （2）延长到点F使，首先证明出是等边三角形，求出，然后证明出，即可得到； （3）①首先由（2）可得，，然后得到当点P和点A或点B重合时，的最小值为；当点P，O，C三点共线时，有最大值，然后画出图形，根据勾股定理求解即可； ②延长到点F使，过点A作，由（2）得，是等边三角形，得到，然后根据勾股定理求出，进一步得到，然后结合，代入得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形 ∴ ∵四边形内接于 ∴； （2）如图所示，延长到点F使， ∵ ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴在和中 ∴ ∴； （3）①由（2）可得， ∵点P在劣弧上运动 ∴当点P和点A或点B重合时，的长度最小，即或的长度 ∵是等边三角形 ∴ ∴的最小值为 ∴的最小值为； 当点P，O，C三点共线时，的长度最大，如图所示， ∴此时是的直径 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，负值舍去 ∴的最大值为8 ∴的最大值为8； ∴的值的取值范围是； ②如图所示，延长到点F使，过点A作 由（2）得，是等边三角形 ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ． ∴的值是定值96． 【点睛】此题考查了圆与三角形综合题，考查了圆周角定理，等边三角形的性质，圆内接四边形的性质，勾股定理和全等三角形等知识，解题的关键是正确作出辅助线构造等边三角形． 五．利用点和圆的位置关系求解（共3小题） 20．（24-25九年级上·浙江金华·开学考试）在中，若点O为边的中点，则必有：成立． 依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形中，已知，，点在以半径为2的上运动，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，三角形三边关系，设点是的中点，连接，，，由题意得出，结合得出最大值时，的值最大，再由三角形三边关系得出的最大值为，计算即可得出答案． 【详解】解：设点是的中点，连接，，， 在矩形中，，， ∴，，， 由题意可得：， ∵， ∴最大值时，的值最大， ∵，， ∴， ∴的最大值为， ∴的最大值， 故答案为：． 21．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在三角形中，，，，是高线，是中线． (1)以点A为圆心，3为半径作圆A，则点，，与圆A的位置关系如何？ (2)若以点A为圆心作圆A，使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求圆A的半径的取值范围？ 【答案】(1)点在圆A上，点在圆A内，在圆A外 (2) 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，掌握通过圆心与点的距离和半径的大小关系判断点与圆的位置关系是解题的关键； （1）先利用勾股定理计算出，再利用等面积法求出，然后根据点与圆的位置关系进行判断即可； （2）使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，根据，，可知，C必定在圆外，D必定在圆内，据此求出半径范围即可． 【详解】（1）解：，，， ， ， ， 半径， ， ，， 点在圆A上，点在圆A内，在圆A外； （2）解：使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，，，， ，即， 圆A的半径的取值范围为． 22．（22-23九年级上·江苏淮安·期中）在矩形中，，． (1)若以为圆心，8长为半径作，则、、与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是 ． 【答案】(1)点在内，点在外，点在上 (2) 【分析】（1）根据点到圆的位置关系，比较与圆的半径之间的大小关系，即可得解； （2）根据题意，和点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，即可得解． 【详解】（1）解：连接， ，， ， 的半径为8， 点在内，点在外，点在上； （2）解：，，， 又以点为圆心作，使，，三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， 的半径的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系．熟练掌握点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，判断点与圆的位置关系，是解题的关键． 六．已知直线和圆的位置关系求半径的取值（共4小题） 23．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知在矩形中，，，以点为圆心，为半径作， (1)当半径为何值时，与直线相切； (2)当半径为何值时，与直线相切； (3)当半径的取值范围为何值时，与直线相交且与直线相离． 【答案】(1)当半径为3时，与直线相切 (2)当半径为2.4时，与直线相切 (3)当半径的取值范围为时，与直线相交且与直线相离 【分析】（1）根据圆心到直线的距离等于半径时，圆与直线相切，结合矩形的性质进行求解即可； （2）连接，过点作，等积法求出的长，即为所求； （3）根据圆心到直线的距离和圆的半径之间的关系，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∵圆心到边的距离为，与直线相切， ∴， 则当半径为3时，与直线相切； （2）连接，过作，交于点， ∵在中，，， ∴， 又∵， ∴圆心到边的距离， 又与直线相切， ∴，则当半径为2.4时，与直线相切； （3）∵与直线相交，圆心到边的距离为， ∴， 又与直线相离，圆心到的距离为， ∴， 则当半径的取值范围为时，与直线相交且与直线相离． 【点睛】本题考查直线与圆之间的位置关系．熟练掌握圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，小于半径时，直线与圆相交，大于半径时，直线与圆相离，是解题的关键． 24．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径为，设点的坐标为．    (1)求与直线相切时点的坐标． (2)请直接写出与直线相交、相离时的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据直线和圆相切应满足圆心到直线的距离等于半径，首先求得点的横坐标，再根据直线的解析式求得点的纵坐标． （2）根据（1）的结论，即可分析出相离和相交时的取值范围． 【详解】（1）解：过作直线的垂线，垂足为； 当点在直线右侧时，，解得； ∴； 当点在直线左侧时，，得， ∴，    ∴当与直线相切时，点的坐标为或． （2）解：由（1）可知当时，与直线相交 当或时，与直线相离． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的不同位置关系应满足的数量关系，根据数量关系正确求解是解题的关键． 25．（21-22九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点分别为A(2，3)，B(2，1)，C(5，4)． (1)只用直尺在图中找出△ABC的外心P，并写出P点的坐标_____________ (2)以(1)中的外心P为位似中心，按位似比2：1在位似中心的左侧将△ABC放大为△A′B′C′，放大后点A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′，请在图中画出△A′B′C′； (3)若以A为圆心，为半径的⊙A与线段BC有公共点， 则的取值范围是____________． 【答案】（1）（4，2）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据三角形的外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点即可找到点P； （2）根据位似中心与三角形三个顶点的连线将原三角形扩大2倍即可； （3）根据直线和圆的位置关系：当半径大于或等于点A到BC的距离时，⊙A与线段BC有一个或两个公共点即可． 【详解】解：如图所示： （1）点P即为△ABC的外心，P点的坐标为（4，2）， 故答案为：（4，2）； （2）图中画出的△A′B′C′即为所求作的图形； （3）观察图形可知：r=时，⊙A与线段BC有一个公共点． 此时⊙A与线段BC相切， 当时，⊙A只经过点， ∴的取值范围是 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图−位似变换、三角形的外接圆与圆心、直线与圆的位置关系，解决本题的关键是根据位似中心画位似图形． 26．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知的斜边，直角边，以点为圆心作． (1)当半径为________时，直线与相切； (2)当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为________； (3)当与线段没有公共点时，半径的取值范围为__________． 【答案】(1)； (2)或； (3)或． 【分析】（）如图作于，求出的值即可判断； （）当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为或 ； （）当与线段没有公共点时，半径的取值范围为或， 本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，等面积法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）如图作于，    在中，，，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， ∴当半径时，直线与相切， 故答案为：； （2）观察图形可知， 当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为或 ， 故答案为：或； （3）观察图形可知， 当与线段没有公共点时，半径的取值范围为或， 故答案为：或． 七．已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离（共4小题） 27．（23-24九年级上·吉林白山·期末）如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，求圆心的坐标.    【答案】，或. 【分析】本题主要考查了圆与直线的相切关系，及二次函数的概念；熟练掌握圆与坐标轴的位置关系是解本题的关键．与轴相切，即圆心到轴的距离等于的半径，也就是圆心的纵坐标y为，把y代入中，即可求出符合题意的圆心的坐标． 【详解】解：与轴相切，设圆心到x轴的距离为d， ，即点的纵坐标y为； 当时，即，解得：， 点的坐标为或； 当时，即，解得：， 点的坐标为； 综上，符合题意点的坐标为，或． 28．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）如图1，平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别是（3，0）、（5，0）、（0，4）． (1)用无刻度的直尺和圆规作出过A、B、C三点的⊙P，求圆心P的坐标； (2)如图2，若过A、B两点的⊙M恰好与直线l：相切，请直接写出圆心M的坐标： ． 【答案】(1)画图见解析，圆心P的坐标为 (2)或 【分析】（1）作出AB和AC的垂直平分线，两条直线的交点即为圆心P， （2）设⊙M与直线l：相切相切与点N，连接AM，MN，根据题意表示出MN的表达式，进而得到点N的坐标，最后根据半径相等列出方程求解即可． 【详解】（1）如图所示．作出AB和AC的垂直平分线，两条直线的交点即为圆心P， 连接AP，CP，AB的垂直平分线交x轴于点M， ∵，A（3，0）、B（5，0） ∴，即点M是AB的中点 ∴M点坐标为（4，0） ∴点P的横坐标为4， 设点P的坐标为（4，y） ∵ ∴，解得 ∴圆心P的坐标为； （2）如图所示，设⊙M与直线l：相切相切与点N，连接AM，MN， 同（1）可得点M的横坐标为4， ∴设点M的坐标为 ∵⊙M与直线l：相切相切与点N ∴ ∴设MN所在直线的表达式为 将点M代入得，即 ∴MN所在直线的表达式为 ∴联立得：，解得 ∴点N的坐标为 ∵点A和点N都在⊙M上 ∴ ∴ 整理得 解得：或 ∴圆心M的坐标为或 故答案为：或． 【点睛】此题考查了确定要圆的条件，一次函数和圆综合题，切线的性质和垂径定理知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 29．（2021九年级·全国·专题练习）如图，的半径是5，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使． （1）点到直线距离的最大值为　　　　； （2）若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为　　　　． 【答案】（1）7；（2）． 【分析】（1）当点在圆外且三点共线时，点到直线距离的最大，由此即可得； （2）先确定线段是的直径，画出图形，再在中，利用勾股定理即可得． 【详解】解：（1）如图1，， 当点在圆外且三点共线时，点到直线距离的最大， 此时最大值为， 故答案为：7； （2）如图2，是直线与的公共点，当线段的长度最大时，线段是的直径， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理，正确的作出图形是解题的关键． 30．（18-19九年级·福建漳州·自主招生）先阅读材料，再解答问题： 已知点和直线，则点到直线的距离可用公式计算．例如：求点到直线的距离． 解：由直线可知：． 所以点到直线的距离为 ． 求：（1）已知直线与平行，求这两条平行线之间的距离； （2）已知直线分别交轴于两点，是以为圆心，为半径的圆，为上的动点，试求面积的最大值． 【答案】（1）；（2）18 【分析】（1）在直线上任取一点，由直线与平行，则两直线间的距离即为点P到的距离；再根据题干所给距离公式解答即可； （2）分别令x=0、y=0求得对应的y和x，进而确定点A、B的坐标和AB的长度；设圆心到直线即的距离为，的半径为，然后根据题干所给距离公式求得半径R，然后再根据直线与圆的位置关系列出不等式，求得点到直线的距离的最大值，最后运用圆的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）在直线上任取一点， 直线与平行， 这两条平行线之间的距离等于点到直线的距离． 直线可变形为，其中． 点到直线的距离． 这两条平行线之间的距离等于 ； （2）令得；令得 ，． 设圆心到直线即的距离为，的半径为 ，即： 又∵上任意点到直线的距离h≤， 上任意点到直线的距离的最大值hmax= 所以的面积的最大值为： ． 【点睛】本题考查了一次函数的点与直线之间的距离公式，直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系、平行线的性质等知识，弄清题意，明确所给“点到直线的距离公式”的内涵是解答本题的关键． 八．切线的性质与判定定理（共4小题） 31．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，为的直径，与相切于点C，过点B作于点D，连接． (1)求证平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)答案见解析 (2)1 【分析】本题考查了切线的性质∶圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．勾股定理的应用 (1)连接，根据切线的性质，则，又因为，所以，又因为，得出则平分； (2)根据勾股定理可求出，根据利用相似比求出的长． 点评 【详解】（1）证明：连接， 与相切于点C 为的直径， AB为的直径 BC平分 （2）解： 为的直径 ， ， ，， 32．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，是直角三角形的外接圆，直径，过C点作的切线，与延长线交于点D，M为的中点，连接，，且与相交于点N． (1)求证：与相切； (2)当时，在的圆上取点F，使，补全图形，并求点F到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，点F到直线的距离为： 或 【分析】（1）根据三角形的中位线性质可得，根据直径所对的圆周角是直角，得出，进而得出，证明，得出，即可得证； （2）分点F在以及半圆上，分别作出图形，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵M为的中点，O是中点， ， 是的直径， ， ， ， ， 又， ， ， 是切线 ， ， ，又是的半径， 是切线； （2）解：如图所示，当点F在上时，连接，交于点G， ， ， ， ， ， ∵直径， ， ， ， ； 当点F在半圆上时，过点作，垂足为点H，，垂足为点N， ∴四边形是矩形， 在中，， ， ，， ， ， ， ∴ 综上：点F到直线的距离为：或． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的性质与判定，三角形的中位线性质，含30度角的直角三角形的性质，圆周角定理等知识，综合运用以上知识是解题的关键． 33．（2024·山东潍坊·一模）如图，在中，，为边上的点，以为直径作，交于点．连接并延长交于点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，扇形面积的计算，解决本题的关键是掌握切线的判定． （1）根据等腰三角形的性质和直角三角形两个锐角互余即可证明是的切线； （2）根据，，利用勾股定理求出半径，进而可以求阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：过点E作， ，， ， 在中，根据勾股定理得： ， ， ， ， 的的中点， ， 是等边三角形， ， ， 阴影部分的面积扇形的面积等边三角形的面积． 34．（2024·江苏泰州·二模）如图，中，点为的垂直平分线与的交点，以为圆心，为半径作与的另一个交点为点，且__________，__________． 给出以下信息：①，②，③与相切． (1)请从中选择其中的两个信息作为条件，余下的一个信息作为结论，使之构成真命题，将对应的序号填到下面横线上方，并加以证明． 条件：__________，__________，结论：__________ (2)如图2，在（1）的条件下，点D在上，且，连接，求证∶． 【答案】(1)选择①②作为条件，③作为结论或选择①③作为条件，②作为结论或选择②③作为条件，①作为结论，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，弧与圆周角之间的关系，圆周角定理，切线的性质与判定，等边对等角等等： （1）选择①②作为条件，③作为结论，根据圆周角定理和等边对等角得到，则可证明；选择①③作为条件，②作为结论，根据圆周角定理和切线的性质推出即可证明结论；选择②③作为条件，①作为结论，根据切线的和圆周角定理得到，则； （2）根据弧与圆周角之间的关系求出，则，由垂径定理的推论即可得到． 【详解】（1）解：选择①②作为条件，③作为结论，证明如下： 如图所示，连接， ∵点O在的垂直平分线上， ∴， ∴点C在圆O上， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是圆O的半径， ∴是圆O的切线； 选择①③作为条件，②作为结论，证明如下： ∵是圆O的切线； ∴， ∵， ∴， ∴； 选择②③作为条件，①作为结论，证明如下： ∵是圆O的切线； ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 九．应用切线长定理求解（共4小题） 35．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）在矩形中，，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒： (1)如图1，几秒后，的面积等于？ (2)在运动过程中，若以P为圆心、为半径的与相切（如图1），求t值； (3)若以Q为圆心，为半径作． ①如图2，以Q为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在这样的t值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由； ②如图3，若与四边形的边有三个公共点，则t的取值范围为______．（直接写出结果，不需说理） 【答案】(1)2秒或4秒 (2) (3)①0或或；② 【分析】（1）由题意可知，，从而得到，，然后根据的面积为列方程求解即可； （2）如图1所示：连接．依据勾股定理可求得的长，然后依据切线长定理可知，从而可求得的长，由圆的半径相等可知，然后在中依据勾股定理列方程求解即可； （3）①先判断不与，相切，然后分与相切；与相切，根据半径等于构建方程求解即可． ②先求得与四边形有两个公共点时t的值，然后可确定出t的取值范围． 【详解】（1）解：由题意知，，，则， ∵ ∴， 解得或， 故当运动时间为2秒或4秒时，的面积为； （2）解：如图1，设切点为，连接． ∵， ∴与相切， ∴分别与，相切， ∴． ∵与相切， ∴， 在中，依据勾股定理可得． ∴． ∵， ∴，． 在中，依据勾股定理可得，， 解得； （3）解∶①由题意知不与，相切， 当与相切时，设切点为E，连接， 则，， 则四边形是矩形， ∴， ∴， 解得或； 当与相切时， 则， ∴， 解得，（舍去）， 综上，当t的值为0或或时，正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切； ②解：（Ⅰ）当时，如图4所示： 与四边形有两个公共点； （Ⅱ）如图5所示： 当经过点D时，与四边形有两个公共点，则， 得方程， 解得： （舍），， ∴当，与四边形有三个公共点． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了三角形的面积公式、切线长定理、勾股定理、圆的性质，依据题意列出关于t的方程是解题的关键． 36．（23-24九年级下·江西宜春·阶段练习）【课本再现】：如图①，P是外一个点，是的两条切线，切点分别是A，B，我们将线段的长称为点到的切线长，    （1）求证：； 定理描述：上面命题我们称为“切线长定理”．请用一句话描述定理的内容：________________ ； 【知识运用】 （2）如图②，已知，直线是的切线，切点是E，且分别交于点 C，D，求的周长； 【拓展运用】 （3）如图③，半径为3的分别与的边相切于点D，E．已知，求证：是的切线． 【答案】（1）过圆外一个点所画圆的两条切线长相等；（2）12（3）见解析 【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，切线长定理，勾股定理的逆定理，： （1）根据切线长定理的内容求解即可； （2）根据切线长定理得到，再根据三角形周长公式求解即可； （3）过点O作于F，连接，先证明，得到是直角三角形，且，再由切线的性质得到，根据 ，求出，再由，即可证明是的切线． 【详解】解：（1）根据题意可得，过圆外一个点所画圆的两条切线长相等 故答案为：过圆外一个点所画圆的两条切线长相等； （2）∵是的三条切线， ∴由切线长定理可得， ∴的周长 ； （3）如图所示，过点O作于F，连接， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵半径为3的分别与的边相切于点D，E， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是的切线．    37．（22-23九年级上·广东云浮·期末）如图1所示，为的外接圆，为直径，、分别与相切于点D、C（）.E在线段上，连接并延长与直线相交于点P，B为中点. (1)证明：是的切线. (2)如图2，连接，，求证：. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，根据直角三角形斜边上的中线的性质以及等边对等角得出，进而根据为切线，， ，得出，即可得证； （2）根据、、分别与相切于点D、E、C，根据切线长定理得出，，则，，，，即可得出，进而即可得证． 【详解】（1）证明：连接， ∵为直径， ∴.     在中，B为中点， ∴， ∴，     ∵， ∴，   又∵为切线， ∴， ∴      ∴.     即， ∴是的切线. （2）证明：∵、、分别与相切于点D、E、C， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，   ∴，     ∴； 【点睛】本题考查了切线的性质与切线长定理，掌握切线的判定方法以及切线长定理是解题的关键． 38．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）探究问题： (1)如图1，PM、PN、EF分别切于点A、B、C，猜想的周长与切线长PA的数量关系，并证明你的结论． (2)如果图1的条件不变，且，的周长为16cm，求的半径． (3)如图2，点E是的边PM上的点，于点F，与边EF及射线PM、射线PN都相切．若，，求的半径． 【答案】(1)的周长，证明见解析 (2)6cm (3)1或2 【分析】（1）根据切线长定理由、分别切于、得到，由于过点的切线分别交、于点、，再根据切线长定理得到，，然后根据三角形周长的定义得到的周长，用等线段代换后得到三角形的周长等于； （2）连接，，根据切线的性质得到，根据勾股定理得到，于是得到结论； （3）根据题意作出图形，设与射线、射线相切于，，与相切于，于是得到，连接，，，推出四边形是正方形，得到，设的半径为，根据切线长定理列方程即可得到结论；得到三角形的内切圆，根据勾股定理和三角形面积公式可得半径为1． 【详解】（1）解：的周长， 证明：、分别切于、， ， 与为的切线， ， 同理得到， 的周长 ； （2）解：如图1所示，连接，， 是的切线， ， ， 的周长为， ， ， 的半径为； （3）解：如图2所示， 设与射线、射线相切于，，与相切于， 则， 连接，，， ， ， ， 四边形是正方形， ， 设的半径为， ， ，， ， ， ， 即， ． 如图3所示，， ， 解得． 的半径为2或1． 【点睛】本题考查了切线长定理，勾股定理，三角形的周长公式，正方形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 一十．一般三角形周长，面积与内切圆半径关系（共3小题） 39．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，为的内切圆，切点分别为，点分别为上的点，且为的切线．    (1)若，求的度数； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2)11 【分析】本题考查了切线长定理，内切圆的性质，解题的关键是： （1）利用三角形内角和求出，再根据内切圆的性质和切线长定理得出，，再求出，最后利用三角形内角和求出结果； （2）设的切点为，根据内切圆的性质得到，，推出的周长为，再结合切线长定理可得，再计算即可 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为的内切圆， ∴，， ∴， ∴； （2）∵为的内切圆，为的切线，设切点为， ∴，， ∴的周长为： ∵，，， ∴ ．    40．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知是的平分线，是射线上一点，．动点从点出发，以的速度沿水平向左作匀速运动，与此同时，动点从点出发，也以的速度沿竖直向上作匀速运动．连接，交于点．经过三点作圆，交于点，连接．设运动时间为，其中． (1)求的值； (2)当时，求出内切圆的半径； (3)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意分别表示出，用含的式子表示出来相加即可求解； （2）如图，作内切圆，切点分别为，连接，求解，证明四边形是正方形，，可得，从而可得结论； （3）根据圆周角定理可得，是等腰直角三角形．进而根据三角形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，， ． （2）当时，， ，    如图，作内切圆，切点分别为，连接， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， 即内切圆的半径为1． （3）， 是圆的直径． ． ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． 在中，． 四边形的面积， ． 四边形的面积为． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，求解三角形的内切圆的半径，切线长定理的应用，正方形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练的利用圆的基础知识与切线长定理求解是解本题的关键． 41．（2024九年级上·全国·专题练习）在中，，是的内切圆，切点分别为D，E，F． (1)图1中三组相等的线段分别是， ， ；若，，则半径长为 ； (2)如图2，延长到点M，使，过点M作于点N．求证：是的切线． 【答案】(1)；；1 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，，由切线长定理可知，，，再推得四边形是正方形，设，根据，可得，计算即可； （2）过O作于H，连接，，，先证得，再证明四边形是矩形，即可得，即是的半径，即可证明． 【详解】（1）解：连接，，如图： 由切线长定理可知，，， ∵，是的内切圆， ∴，， ∴四边形是正方形， 设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴，即半径长为1； 故答案为：；；1． （2）证明：过O作于H，连接，，，如图： ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 同（1）可知，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，即是的半径， ∵， ∴是的切线． 【点睛】本题考查三角形内切圆，圆的切线判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形判定与性质，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握切线长定理和切线的判定定理． 一十一．三角形内切圆与外接圆综合（共4小题） 42．（2024·四川南充·一模）如图，点是外接圆的圆心．点是的内心．连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 连接，由点是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】如图，连接， ∵点是的内心， ∴平分， ∵， ∴， ∵点是外接圆的圆心， ∴ ， ∵， ∴ ， 故选：C． 43．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）综合与实践 【问题情境】如图，矩形中，，M、N分别是边上的点，将沿着翻折，点A的对应点是． 【初步尝试】若N与D重合，M是的中点，则　　； 【问题解决】若，的外接圆与线段有公共点，求的取值范围； 【深入探究】若落在内部，以为圆心，r为半径的同时与相切，则r的取值范围是______． 【答案】（1）3；（2）；（3） 【分析】（1）由折叠的性质即可得出结果； （2）当的外接圆与线段相交，且点N与D重合时，此时最大，当的外接圆与线段相切时，此时最小，利用勾股定理构建方程求解即可； （3）根据题意得：当N与D重合时r最大，由重叠得：，则 ，r的最大值为；当M 与B重合时，n最小，则，利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：（1）如图，    由折叠的性质得：， ， ， 故答案为：3； （2）解：如图， 当的外接圆与线段相交，且点N与D重合时， 此时最大，即， 当的外接圆与线段相切时， 设半径为r，则，则， ∴， 解得：， ， ， 则的范围为 ； （3）解：由题意得点在的角平分线上， 当N与D重合时r最大， 由重叠得：，则 ， ∴r的最大值为； 当M 与B重合时n最小，如图所示， ， 中，， =（舍）， ，    故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形，折叠的性质，矩形的性质和三角形的外接圆，勾股定理，是一道综合题．熟练掌握相关知识点，根据题意，正确的画出图形，是解题的关键． 44．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）学校数学社团在学完圆周角的有关知识后，进行了如下的探究活动． 【问题发现】 已知内接于，点D是弦所对弧的中点，连接，则弦，，之间一定存在某种等量关系． 【问题探究】    (1)如图1，若，，当点A、D位于弦的异侧，且D是的中点，容易得到：　 ； (2)如图2，若，D是弦所对的优弧的中点，请你探索弦，，之间的等量关系，并说明理由； 【迁移应用】 (3)如图3，若，，，点D是弦所对弧的中点，连接，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）在上截取一点E，使得，连接，，根据，D是弦所对的优弧的中点，得到，利用同弧所对的圆周角相等证明和都为等边三角形，得到，再证明，得到，即可得到结论； （3）分两种情况讨论，①当点D是弦所对的劣弧的中点时，延长到E，使得，连接，，，过点D作交于点F，根据四点共圆得到，点D是弦所对弧的中点，得到，，证明，得到，再证明，得到，在中，利用即可求解；②当点 D是弦所对的优弧的中点时，连接，，延长，过点B作，交延长线与点Q，点B作交于点G，由同弧所对的圆周角相等，得到，证明，得到，，证明，得到，在中，，得到，即可求出结果． 【详解】（1）解： ，， ， ，都是的直径， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，在上截取一点E，使得，连接，，    ，D是弦所对的优弧的中点， ， ，，， 和都为等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：①当D是弦所对的劣弧的中点时，如图，延长到E，使得，连接，，，过点D作交于点F，    A，B，C，D四点共圆， ， ， ， 点D是弦所对弧的中点， ， ， 在和中， ， ，，， 在和中， ， ， ， ，，， ， ， 点D是弦所对弧的中点，， ， 在中， ， ； ②当点 D是弦所对的优弧的中点时，如图，连接，，延长，过点B作，交延长线与点Q，点B作交于点G，   点D是弦所对弧的中点， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ，， 在中， ， ， ， ， 综上所述，或． 【点睛】此题属于圆的综合题，全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，锐角三角函数解直角三角形，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，作辅助线，一定要注意将所学知识贯穿起来． 45．（2023·浙江·模拟预测）如图，点O是的内心，的延长线交的外接圆于点D，交于E，设． (1)求证：； (2)探究的值与a之间的数量关系； (3)若，E为的一个三等分点，求的外接圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2) (3)的外接圆的半径为或 【分析】 （1）利用三角形的内心的性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质和相似三角形的判定定理解答即可； （2）利用三角形的内心的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的性质和比例的性质解答即可； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情形同理解答：①当时，利用已知条件与勾股定理的逆定理和直角三角形的外接圆的性质解答即可；②当时，作出的外心，连接并延长交于点，连接，过点作于点，设，则，利用勾股定理求得值，再利用相似三角形的判定与性质求得直径，则半径可求． 【详解】（1） 证明：点是的内心， 为的平分线， ， ， ． ， ； （2） 解：的值与之间的数量关系为：． 理由：连接，如图， 点是的内心， 为的平分线， ． ，，， ， ． 由（1）知：， ， ， 平分， 点E到的距离相等，设该距离为， ， 以为底边的高相同，设该高为， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3） 解：若为的一个三等分点，则或， 或， 或． ①当时，， ， ， ，， ， 为直角三角形，为外接圆的直径， 的外接圆的半径为； ②当时，， ． 作出的外心，连接并延长交于点，连接，过点作于点，如图， 设，则， ，， ， ， ． ． 为直径， ， ． ， ， ， ， ． 的外接圆的半径为． 综上，的外接圆的半径为或． 【点睛】 本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，三角形的内切圆的性质，三角形的内心与外心，相似三角形的判定与性质直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质，比例的性质，熟练掌握三角形的内心的性质是解题的关键． 一十二．圆内接四边形（共3小题） 46．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图所示，四边形是半径为r的的内接四边形，是的直径，，直线l与三条线段、、的延长线分别交于点E、F、G．且满足． (1)求证：直线直线； (2)若． ①求证：； ②若半径，求四边形ABCD的周长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）在中，根据同弧所对的圆周角相等可得，结合已知在中根据三角形内角和定理可求得； （2）①根据圆内接四边形的性质和邻补角可得，由直径所对的圆周角是直角和（1）可得，结合已知即可证得； ②在中由，可得，结合题意易证，在中由勾股定理可求得，由①可知易得，最后代入计算即可求得周长． 【详解】（1）证明：在中， ， ，即， 在中， ， ， 即直线直线； （2）解：①四边形是半径为r的的内接四边形， ， ， ， 是的直径， ， 由（1）可知， ， 在与中， ， ， ②在中，， ， 是的直径， ， ， ， ， 在中， ， 即， 解得：， 由①可知， ， ， 四边形的周长为： ． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等、三角形内角和定理、垂直的定义、圆内接四边形的性质、邻补角互补、直径所对的圆周角是直角、全等三角形的判定和性质、勾股定理解直角三角形以及周长的计算；解题的关键是灵活运用以上知识，综合求解． 47．（2024·山东济宁·二模）【初步感知】 如图1，点，，均在上，若，则锐角的大小为____； 【深入探究】 如图2，小聪遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点在上（点不与点重合），连接，，．求证：；小聪发现，延长至点，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．请根据小聪的分析思路完成证明过程． 【启发应用】 如图3，是的外接圆，，，点在上，且点与点在的两侧，连接，，，若，则的值为______． 【答案】初步感知：45；深入探究：证明见解析；启发应用： 【分析】初步感知：根据在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半求解即可得； 深入探究：先根据圆周角定理可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由此即可得证； 启发应用：延长至点，使，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，再证出，设，则，利用勾股定理可得，根据线段和差可得，由此即可得． 【详解】解：初步感知：∵点，，均在上，， ∴， 故答案为：45． 深入探究：延长至点，使，连接， ∵是等边三角形， ∴， 由圆周角定理得：，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴． 启发应用：如图，延长至点，使，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由圆周角定理得：， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、圆内接四边形的性质、勾股定理等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 48．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知，，是的外接圆，点D在上（），连接． 【特殊化感知】 （1）如图1，若，点D在延长线上，则与的数量关系为______； 【一般化探究】； （2）如图2，若，点C、D在同侧，判断与的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】； （3）若，直接写出满足的数量关系 【答案】（1）（2）（3）或 【分析】（1）先证明为等边三角形，根据三角形的外接圆，得到垂直平分，为直径，垂径定理得到，进而得到，圆周角定理得到，根据含30度角的直角三角形的性质，得到进而得到； （2）在上截取，证明，根据全等三角形的性质即得出结论； （3）分两种情况讨论，①当在上时，在上截取，证明，得出，进而即可得出结论；②当在上时，延长至，使得，连接，证明，可得，即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵是的外接圆，点D在延长线上， ∴垂直平分，为直径， ∴，，， ∴， ∵，， ∴ ∴； 故答案为：； （2）如图所示，在上截取， ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴，则 ∴ ∵四边形是圆内接四边形， ∴ ∴； ∵，， ∴是等边三角形，则 ∴， 又∵ ∴ 在中 ∴ ∴， ∴ 即； （3）∵， ∴为的直径， ∵， ∴， ∴， 当点在上时，如图：在上截取， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点在上时，如图，延长至点，使， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 综上：或 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，综合性强，难度大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，以及截长补短的辅助线方法是解题的关键． 一十三．正多边形与圆（共4小题） 49．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，网格中，都是格点，以为圆心，为半径作圆，仅用无刻度的直尺完成以下画图； (1)在图①中画的一个内接正六边形． (2)在图②中画的一个内接正八边形． (3)图②中正八边形的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了正多边形与圆，等腰直角三角形的性质与判定； （1）设的延长线与圆交于点D，根据圆的内接正六边形的性质，点D即为正六边形的一个顶点，且正六边形的边长等于圆的半径，即，故在图中找到的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点B和F,同理∶在图中找到的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点C和E，连接，如图，正六边形即为所求； （2）圆的内接八边形的中心角为，而正方形的对角线与边的夹角也为，根据正方形对角线能形成角，以此确定，同理即可确定另外4个点位置，再顺次连接即可． （3）根据网格，先计算，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 如图①，正六边形即为所求； （2）如图所示， 如图②，正八边形即为所求． （3）解：如图所示，过点作， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴图②中正八边形的面积为， 故答案为：． 50．（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）【给出问题】：已知：是正方形的外接圆，点P在上（除A、B外），试求的度数． 【分析问题】：善于思考的小明在分析上述题目后，有了以圆为工具来解决问题的思路．用圆来画出准确的示意图就能顺利解题了，在此基础上进一步探索就有了新发现．请善于思考的你帮助解答以下问题： （1）①尺规作图，在中作出内接正方形（保留痕迹，不写作法）． ②原题中 ． 【深入思考】： （2）【问题】如图1，若四边形是的内接正方形，点P为弧上一动点，连接，请探究三者之间或者三者之间有何数量关系，并给予证明． （3）【拓展】如图2，若六边形是的内接正六边形，点P为弧上一动点，请探究三者之间有何数量关系： （不写证明过程）． （4）【应用】如图3，若四边形是矩形，点P为边上一点，，，，试求矩形的面积．    【答案】（1）①见解析；②；（2），证明见解析；（3），证明见解析；（4）； 【分析】（1）①利用垂直平分线定义即可作出正方形；②利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得到结论； （2）根据题意过点C作交于E，利用圆周角定理得到，再判定，证明出和是等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形三边关系即可； （3）根据题意过点B，作，在上截取，连接，再证明，再利用含的直角三角形三边关系即可得到本题答案； （4）根据题意以为边，作正方形，连接，设，则，，再分别在和和中应用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】 解：（1）①如图所示，作直径的垂直平分线交于点A，C，则四边形是正方形；    ②如图所示，    ， 故答案为：． （2），证明如下： 如图，过点C作交于E，    ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴（ASA）， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即， 如图所示，过点C作交于F，    同理可得是等腰直角三角形，， ∴，； （3）， 如图，过点B，作，在上截取，连接，    ∵，， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （4）如图，以为边，作正方形，连接，， 根据（1）可得P在上，则，    ∴， 设，则，， 在中，， 在中，， 在 中，， ∴， 解得 （负值舍去）， ∴， ∴矩形的面积为． 【点睛】本题考查角平分线定义及画法，圆周角定理，全等三角形判定及性质，等腰三角形判定及性质，勾股定理，含的直角三角形三边关系．掌握圆周角定理是关键． 51．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，等腰内接于，． (1)如图1，若，连接并延长交于点D，交于点H． ①弧的度数为：______；与的数量关系是：______． ②请你仅使用无刻度的直尺在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）； (2)如图2，若，E是的中点，请你仅使用无刻度的直尺在图2中，作一个的内接正五边形（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）． 【答案】(1)①；②见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，正多边形和圆以及复杂作图等知识． （1）①连接根据垂径定理逆定理证明，再证明是等边三角形可得可得 从而可得结论；②连接延长交于点根据等边三角形的性质得可得 ，故可得正六边形； （2）根据圆周角的定理及同弧所对的圆周角相等得到，再根据 是中点得到，得根据三线合一性得到弧相等，弦相等，最后即可得到五边形即为所求． 【详解】（1）①连接    ∵ ∵过圆心 ∴ ∵ 是等边三角形， ∴ ∴ ∴． 故答案为：； ②如图，正六边形即为所作；    （2）如图，正五边形即为所求作．    52．（2022·浙江金华·中考真题）如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接． (1)求的度数． (2)是正三角形吗？请说明理由． (3)从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值． 【答案】(1) (2)是正三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据正五边形的性质以及圆的性质可得，则(优弧所对圆心角)，然后根据圆周角定理即可得出结论； （2）根据所作图形以及圆周角定理即可得出结论； （3）运用圆周角定理并结合（1）（2）中结论得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵正五边形． ∴， ∴， ∵， ∴(优弧所对圆心角)， ∴； （2）解：是正三角形，理由如下： 连接， 由作图知：, ∵， ∴， ∴是正三角形， ∴， ∴， 同理， ∴，即， ∴是正三角形； （3）∵是正三角形， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，读懂题意，明确题目中的作图方式，熟练运用圆周角定理是解本题的关键． 一十四．求其它不规则图形面积（共4小题） 53．（22-23九年级上·江苏淮安·期末）如图，是的直径，点在上，点为延长线上一点，过点作交的延长线于点，且 (1)求证：是的切线； (2)若线段与的交点是的中点，的半径为，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）连接，根据直角三角形的性质得到，推出是等边三角形，得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵，是的中点， ∴， ∵的半径为，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴阴影部分的面积为： ， ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查切线的判定，直径所对的圆周角是直角，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，扇形的面积的计算等知识点．正确地作出辅助线是解题的关键． 54．（24-25九年级上·全国·期末）如图，是的直径，是的切线，为上的一点，，延长交的延长线于点， (1)求证：为的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积（结果保留）； (3)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接、，证明，得，即，从而即可得证； （2）令交于点，利用角平分线的性质及三线合一得，，，，进而利用三角函数求得，，从而求得，再求出，即可得解； （3）由题可设则，证明，得设，则，，在中，由勾股定理得，从而，解得或（舍去），在中，利用三角形函数求解即可． 【详解】（1）证明：连接、， ∵点在圆上，为切点， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴为的切线； （2）解：令交于点， ∵，，， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴在中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴； （3）解：由题可设则， ∵，， ∴， ∴ 设，则，， 在中，， ∴ ∴， ∴， 又， ∴， ∴或（舍去） ∴在中，． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，切线的判定，三线合一，解一元二次方程，相似三角形的判定及性质，熟练掌握切线的判定，三线合一，解一元二次方程，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 55．（23-24九年级上·湖北·阶段练习）有一张半径为2的圆形纸片． (1)如图（1），先将纸片沿直径左右翻折，再上下翻折，刚好完全重合，然后平铺展开，则的大小是______；在上任取一点C（异于A，B），则的大小是______； (2)如图（2），将纸片沿一条弦翻折，使其劣弧恰好经过圆心O，作出直径，则图中阴影部分的面积是______； (3)如图（3），是的直径，将劣弧沿弦翻折，交于点D，再将劣弧沿直径翻折，交于点E，若点E恰好是翻折后的劣弧的中点，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)；或； (2)； (3)． 【分析】（1）根据折叠的性质可得，进而根据圆周角定理以及圆内接四边形对角互补，即可求解； （2）作交于点E，交于点D，连接，，得出是等边三角形，进而根据阴影部分的面积即为的面积，即可求解． （3）首先添加辅助线，利用圆周角定理证明线段，设，则，构建方程求出，再通过解直角三角形求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：根据折叠了2次，则， 如图（1）所示， 当点C在优弧上时，， 当点C在上时，，    故答案为：；或． （2）解：如图（2）所示，作交于点E，交于点D，连接，，，    由折叠可知，， ， ， ，， ， ， 和是等边三角形， ， ∴弓形的面积等于弓形的面积， ∴扇形的面积等于扇形的面积， ∴阴影部分的面积即为的面积； ，则， ， ， ∴阴影部分面积， 故答案为：； （3）解：如图（3），连接，过点C作于H，    ， ， ， ， ∵E是的中点， ， ， ， 设， 则， ， 是直径， ， ， ， ， ，， ，则是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ∴弓形，的面积相等， ∴阴影部分面积为． 【点睛】本题主要考查圆周角定理、等腰直角三角形判定和性质、解直角三角形、扇形的面积等知识，学会添加常用辅助线，利用特殊角解决问题是解答本题的关键． 56．（23-24九年级上·青海西宁·期末）如图，为等腰三角形，点O是底边的中点，腰与相切于点D． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见详解； (2)； 【分析】（1）本题考查切线证明，等腰三角形的性质及三角形全等的判定，连接，过作于，证明，即可得到证明； （2）本题考查等腰三角形的性质及利用扇形的面积公式求不规则图形的性质，根据等腰三角形的性质求出，结合扇形面积及四边形的面积求解即可得到答案； 【详解】（1）解：连接，过作于， ∵为等腰三角形，点O是底边的中点， ∴，，， ∵与相切于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 一十五．圆与三角形综合（共4小题） 57．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，是的外接圆，为直径，是上一点，且，交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的半径长． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3) 【分析】 （1）连接，根据圆内接四边形的性质和等弧所对的圆周角相等，可得； （2）连接，由题意可得，即可证，可得，则可证是的切线； （3）过点作于点，由角平分线的性质可得，可证可得，根据勾股定理可求的半径长． 【详解】（1） 证明：连接 ， ，， 四边形是圆内接四边形， ，且， ； （2） 证明：连接 为直径， ， 又， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线． （3） 解：过点作于点， 又，， ， 在和中， (AAS)， ， 设，则， 在中，由勾股定理得，， 解得，， 的半径的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 58．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： 【问题探究】如图1，，为的两条弦，点为的中点，过作、垂足为．求证：． 小明同学的思路是：如图2．在上截取，连接，，，…请你按照小明的思路完成上述问题的证明过程． 【结论运用】如图3，是的内接等边三角形，点是上一点，，连接，．过点作，垂足为．若，求的周长． 【变式探究】如图4，若将（问题探究）中“点为的中点”改为“点为优弧的中点”，其他条件不变，请直接写出、、之间的等量关系． 【答案】问题探究：见解析；结论运用：；变式探究：，理由见解析 【分析】问题探究：在上截取，连接，，，，证明，根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的三线合一、结合图形证明结论； 结论运用：连接，在上截取，连接，证明，得到，根据等腰直角三角形的性质求出，根据三角形的周长公式计算，得到答案； 变式探究：在线段上截取，连接、、、，证明，根据全等三角形的性质、等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：问题探究：如图2，在上截取，连接，，，， ∵点C为的中点， ∴， ∴， 由圆周角定理得，， 在和中， ∴， ∴，又， ∴， ∴； 结论运用：连接，在上截取，连接， ∵是的内接等边三角形， ∴， 由问题探究可知，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 变式探究：，理由如下： 在线段上截取，连接、、、，如图所示： ∵点C为优弧的中点， ∴， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，等边三角形的性质，掌握圆心角、弦、弧之间的关系、圆周角定理、全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键． 59．（2024·江苏镇江·二模）如图1，点P为外一点．    (1)过点P作的一条切线（请用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹）； (2)如图2， 为的切线，连接，交于点E，作，交于点A，作直径，连接交于点F． ① 求证：； ② 若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、正切函数、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）先作的垂直平分线得到的中点E，再以为半径作交于B、Q，根据圆周角定理得到，连接即可． （2）①先根据等腰三角形的性质、平行线的性质可得，再根据切线的性质、圆周角定理以及同角的余角相等即可证明结论；②由圆周角定理、平行线的性质可得，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，再根据勾股定理列方程求得,即；然后再根据①的结论运用正切函数列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图：线段即为所求；    （2）解：①∵, ∴， ∵， ∴, ∴， ∵是直径， ∴, ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴． ②∵是直径， ∴, ∵， ∴， ∵,, ∴, ∵， ∴, ∵,即, ∴,解得：,即, ∵， ∴，即, ∴,解得：． 一十六．圆与四边形综合（共4小题） 60．（22-23九年级上·江苏宿迁·期中）如图1，在矩形中， ， ，点以1.5的速度从点向点运动，点以2的速度从点向点运动．点、同时出发，运动时间为秒（），是的外接圆． (1)当时，的半径是 ，与直线CD的位置关系是 ； (2)在点从点向点运动过程中， ①圆心的运动路径长是 ； ②当与直线相切时，求的值． (3)连接，交于点，如图2，当时，求的值． 【答案】(1)，相离 (2)； (3) 【分析】（1）过点作于，交于，根据矩形的性质，得出，，再根据圆周角定理和平行线的性质，得出的直径是，，再根据题意，得出当时，，，进而根据线段之间的数量关系，得出，，再根据勾股定理，得出的值，进而得出的半径，再根据中位线的性质得出的值，进而得出的值，即可判断与直线的位置关系； （2）①根据、运动的速度与、的比相等，得出圆心在对角线上，再根据图形和题意，得出和两点在时在点重合，当时，直径为对角线，根据中点的性质得出，再根据勾股定理解得的值，进而得出的长，即为圆心的运动路径长；②当与相切时，设切点为，连接并延长交于，再根据线段之间的数量关系和题意，得出，，再根据勾股定理解得的值，再根据圆的性质，得出，再根据中位线的性质，得出，根据线段之间的数量关系，列出关于的方程，求解即可得出答案； （3）过作，交的延长线于点，连接，证明，再根据全等三角形的性质得出，根据线段之间的数量关系得出，再根据勾股定理，列出方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点作于，交于， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴的直径是，， 当时，，， ∵ ， ， ∴，， ∴， ∴的半径为， ∵，是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴与直线的位置关系是相离． 故答案为：；相离； （2）解：①如图， ∵、运动的速度与、的比相等， ∴圆心在对角线上， 由图可知，和两点在时在点重合， 当时，直径为对角线，是的中点， ∴，由勾股定理，可得， ∴， ∴圆心的运动路径长是． 故答案为：； ②如图，当与相切时， 设切点为，连接并延长交于， 则，， 则，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴，解得， ∴的值为； （3）解：如图，过作，交的延长线于点，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去），， ∴的值为． 【点睛】本题是四边形与圆的综合问题，主要考查了矩形的性质、圆周角定理、勾股定理、中位线的性质、切线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线． 61．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）在矩形中，已知，连接，，点O是边上的一动点，的半径为定值r． (1)如下图，当经过点C时，恰好与相切，求的半径r； (2)如下图，点M是上的一动点，求三角形面积的最大值： (3)若从B出发，沿BC方向以每秒一个单位长度向C点运动，同时，动点E，F分别从点A，点C出发，其中点E沿着AD方向向点D运动，速度为每秒1个单位长度，点F沿着射线方向运动，速度为每秒2个单位长度，连接，如下图所示，当平移至点C（圆心O与点C重合）时停止运动，点E，F也随之停止运动．设运动时间为t（秒）．在运动过程中，是否存在某一时间t，使与相切，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 或 【分析】（1）连接，，根据矩形的性质及得，进而可得，再利用解直角三角形即可求解． （2）过点作并延长，交于，交于，当点运动到点位置时，此时三角形面积有最大值，利用矩形的性质及三角形的面积公式即可求解． （3）分类讨论：①在的左侧时，②在的右侧侧时，利用相似三角形的判定及性质和勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：连接，，如图： 四边形是矩形， ， 在中，，， ，， 与对角线相切于点， ， 在和中， ， ， ， ， 的半径． （2）过点作并延长，交于，交于，如图： 由（1）得：，， ， 四边形是矩形，且， ， 当点运动到点位置时，此时三角形面积有最大值， ． （3）在整个运动过程中，存在某一时刻，与相切，此时的值为或，理由： 由（1）得， ①在的左侧时，设与相切于点， 连接，，如图： 由题意得：，， ， 四边形为矩形， ，， ， 四边形为矩形， ，， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 或（不合题意舍去）， ②在的右侧侧时， 设与相切于点，连接，，如图： 由题意得： ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， 四边形为矩形， ，， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 或（不合题意舍去）， 综上所述，t的值为 或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质、矩形的性质、解直角三角形、切线的性质、勾股定理，熟练掌握相关判定及性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 62．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）在矩形中，，点P从点A出发，沿边向点B以每秒的速度移动，同时点Q从点D出发沿边向点A以每秒的速度移动，P、Q其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒．解答下列问题： (1)如图①，t为何值时，的面积等于； (2)如图②，若以点P为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在t值，使得经过点C？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)如图③，若以Q为圆心，为半径作，当与相切时． ①求t的值． ②如图④，若点E是此时上一动点，F是的中点，连接，则线段的最大值为 ． 【答案】(1)4或5秒 (2)存在， (3)①4；② 【分析】（1）利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题． （2）连接，根据切线长定理可得，利用勾股定理构建方程即可解决问题． （3）①设与相切于点，连接，则，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．②由①得：，，连接，取的中点M，连接，作于N，则，，根据，可得，，再求出，根据，即可解决问题． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵的面积等于， ∴， 整理得：， 解得， 即或5秒时，的面积为20． （2）解：如图，连接， 经过点， ， ∵， ， ， 解得或（舍去）， 当时，⊙P经过点． （3）解：①如图，设与相切于点，连接，则， ， ∵为半径，且， ∴，，， ， ， ， ， 时，与相切．     ②由①得：，， 如图，连接，取的中点M，连接，作于N，则，， ∵F是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴,，, ∴, ∴， ∴, ∴， 即线段的最大值为。 故答案为： 【点睛】本题属于圆综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，切线的判定与性质，切线长定理，三角形中位线定理，以及三角形三条边的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考压轴题． 63．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）在期中复习课里，小晨对九年级数学教材第52页习题的第3题进行了再研究．      【原题再现】 （1）如图，在四边形中，，经过点三点作，点在上吗？试说明理由．   小晨解答如下： 如图1，过三点作，连接． 中， 请你帮他完成后面的解答： 【深入探究】 （2）小晨在完成此题解答后，他在图1上连接，得到图2，当时，他发现平分．他的发现正确吗？试说明理由； （3）在（2）的条件下，小晨通过测量发现这三条线段之间存在着一定的数量关系，经过探究，他得到了结论：，请证明这个结论． 【应用实践】 （4）根据小晨同学的研究，张老师提出一个问题：如图3，内接四边形中，为的直径，，作点关于的对称点，连接，若，，请直接写出的长为 ． 【答案】（1）见解析；（2）正确，理由见解析；（3）见解析；（4） 【分析】（1）先证明，再证明即可； （2）根据圆周角定理即可证明结论成立； （3）延长至，使，连接．根据证明，得，根据勾股定理得，进而可证结论成立； （4）由轴对称的性质可得，，证明，可得．证明，可证，过点Q作交的延长线于点E，证明得，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过三点作，连接．   中，， ∴是直径， ∴， ∵， ∴， ∴点在上 （2）正确． 中， 中， 平分． （3）如图2，延长至，使，连接．   四边形是内接四边形 又 （4）延长至点Q，使，连接，，    ∵点关于的对称点， ∴，， ∴， ∴． 由（3）的结论可知，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴． 过点Q作交的延长线于点E， ∵ ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 一十七．圆与函数综合（共4小题） 64．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为、，过点M的直线与的公共点是D、E，与x轴交于点F，连接、、．已知． (1)的直径为 ，点M的坐标为 ； (2)求直线所对应的函数表达式； (3)若P是线段上的动点，与的一个内角相等，求的长度． 【答案】(1)，； (2) (3)或或5 【分析】（1）连接，求出，可得的直径，根据M为中点，可得点M坐标； （2）连接，在证设，即，求出坐标；然后用待定系数法得直线所对应的函数表达式； （3）设，由，， 可得， ；分三种情况：①当时，②当时，③当时分类讨论即可作答． 【详解】（1）解：连接，如图： ∵， ∴为的直径， ∵点A、点B的坐标分别为、， ∴， ∴的直径为， ∵M为中点， ∴ 故答案为：，； （2）连接， ， ， ， 设， ， ， 解得：， ， 设直线所对应的函数表达式为，将，代入，得 ， 解得， 直线所对应的函数表达式 （3）解：设， ，， 解得：，， ， ①当时，连接 ，， ， ， ， ， ， ， 点E和点P横坐标相同, ， ， ， ②当时，如图： ， ， ， ，， ， ， ， ③当时，如图： ， 即， ， ， 综上所述：得长度为或或5． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，圆的性质及应用，待定系数法，一元二次方程，相似三角形判定与性质，解题的关键是分类讨论思想的应用； 65．（22-23九年级上·山东淄博·期末）如图，顶点在轴上的抛物线与直线相交于，两点，且点在轴上，点的横坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接．判断点是否在以为直径的圆上，并说明理由； (3)以点为圆心，为半径画，与相切于点．求直线的函数表达式． 【答案】(1) (2)在圆上，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据题意以及一次函数的的性质得出，，设抛物线的表达式为 ，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据，，，勾股定理求得，根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，根据直角所对的弦是直径，即可求解； （3）设，将B代入得 ，则，证明，得出，，进而求得设 ，根据 构造方程，解方程得出，进而待定系数法求解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与直线相交于，两点，点在轴上，点的横坐标为． 令，解得： ∴， ∵点的横坐标为． 令，解得： ∴， 设抛物线的表达式为 ，将，，代入得 ∴ ∴抛物线的表达式为：， （2）连接AM， 根据，， ∴ ∴是直角三角形，且 ∴点在以为直径的圆上； （3）设 将B代入得   ， ∴     连接， ，， ， ， ， 设， 将代入得 ， ， ， 设 ， 由 ， ∴， 解得  ，(舍去)， ∴， ∴， ∴， 设直线的表达式为：， 将，代入得，    ， 解得  ， ∴设直线的表达式为 【点睛】本题考查了二次函数与圆综合，切线的性质，待定系数法求解析式，勾股定理，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键． 66．（2022·江苏无锡·一模）如图，抛物线经过，且与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点P是x轴的正半轴上一点，，求点P的坐标； (3)当点P是抛物线上第一象限上的点，，直接写出点P的坐标为______． 【答案】(1) (2)点P的坐标为 (3)点P的坐标为 【分析】（1）把抛物线解析式设成交点式求解即可； （2）根据得到即可得到答案； （3）如图所示，取点M（9，0），由（2）可知，推出A、C、M、P四点共圆，再证明∠ACM=90°，得到AM是点A、C、M、P所在圆的直径，则A、C、M、P所在圆的圆心坐标为（4，0），半径为5，由此求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为，代入点C的坐标得： ， ∴， ∴抛物线解析式为 （2）解：∵，点C的坐标为（0，-3）， ∴， ∴点P的坐标为（9，0）； （3）解：如图所示，取点M（9，0）， 由（2）可知， ∴∠APC=∠AMC， ∴A、C、M、P四点共圆， ∵点A（-1，0），C（0，-3），M（9，0）， ∴AM=10，，， ∴， ∴∠ACM=90°， ∴AM是点A、C、M、P所在圆的直径， ∴A、C、M、P所在圆的圆心坐标为（4，0），半径为5， 当时，，而点（4，5）到（4，0）的距离为5，即点（4，5）在点A、C、M、P所在的圆上， ∴点P的坐标为（4，5）； 【点睛】本题主要考查了圆与函数综合，勾股定理的逆定理，两点距离公式，待定系数法求二次函数解析式等等，熟知圆与二次函数的相关知识是解题的关键． 67．（21-22九年级上·江苏扬州·期末）如图1，对于的顶点P及其对边MN上的一点Q，给出如下定义：以P为圆心，PQ长为半径的圆与直线MN的公共点都在线段MN上，则称点Q为关于点P的内联点． 在平面直角坐标系xOy中： (1)如图2，已知点，点B在直线上． ①若点，点，则在点O，C，A中，点______是关于点B的内联点； ②若关于点B的内联点存在，求点B横坐标m的取值范围； (2)已知点，点，将点D绕原点O旋转得到点F，若关于点E的内联点存在，直接写出点F横坐标n的取值范围． 【答案】(1)①C，A ② (2)和 【分析】（1）①由内联点的定义可知C，A满足条件 ②结合图象可知当点B为圆心的圆与AO线段相切时，有一个公共点，且符合内联点定义，故时均符合题意． （2）由（1）问可知，当OE与OF，或OF与EF垂直时有一个公共点且满足内联点的定义，故由此可作图，作图见解析，即可由勾股定理、斜率的性质，解得和 【详解】（1）①如图所示，由图像可知C，A点是关于点B的内联点 ②如图所示，当点B为圆心的圆与AO线段相切时，有一个公共点，符合内联点定义 故． （2）如图所示，以O为圆心的圆O为点F点的运动轨迹，由（1）问可知当∠EFO或∠FOE为90°时，关于点E的内联点存在且只有一个，故当F点运动到和的范围内时，关于点E的内联点存在． 设F点坐标为（x，y），则，由图象即题意知 当F点在点时，，即有 ， 当F点在点时，，即有 即 当F点在点时，，即有 即 解得或 故， 当F点在点时，， 即 化简得 且 即 即 化简得 联立 解得或x=0 故 综上所述，F点的横坐标n取值范围为和． 【点睛】本题考查了有关圆和三角形的新定义概念的综合题目，结合题意作出图象，运用数形结合的思想，熟练应用勾股定理以及斜率是解题的关键． $$