专题2-1 圆（考点清单，知识导图+14个考点梳理+20种题型解读+6种方法解读）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版）

考点清单 圆 （14个考点梳理+20种题型解读+6种方法解读） 【清单01】圆的有关概念 1.圆的定义 圆的定义[动态]:如图，在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆，其中，点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 圆的定义[静态]:圆是到定点的距离等于定长的点的集合，其中，定点叫做圆心，定长叫做半径. 2.弦与直径 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径. 3.弧、半圆、优弧、劣弧、等弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号“”表示，以为端点的弧记作，读作：“圆弧AB”或“弧AB”. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如右图中的 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，如右图中的. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 4.同圆、等圆、同心圆 同圆：圆心相同且半径相等的圆叫做同圆. 等圆：能够完全重合的圆叫做等圆. 同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆 【清单02】圆心角与圆周角 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 两个特征：①顶点在圆心；②角的两边是半径，二者缺一不可． 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. 两个特征：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交，二者缺一不可． 【清单03】垂径定理 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 【清单04】圆周角定理及推论 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（即：圆周角=） 圈周角定理运用需满足以下两个条件: 1)圆心角和圆周角在同圆或等圆中; 2)它们对着同一条弧或者所对的弧是等弧. 【清单05】圆内接四边形及其性质定理 圆内接四边形：如果四边形的四个顶点均在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形.这个圆叫做这个四边形的外接圆. 圆内接四边形的性质：1）圆内接四边形对角互补. 如图，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=180° 2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角. 如图，∠1=∠2 【清单06】点与圆的位置关系 点和圆共有三种位置关系，分别是点在圆内，点在圆上，点在圆外，如下表所示： 已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d， 【清单07】三角形的外接圆与外心 三角形外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形. 三角形的外心：三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点. 三角形的外心的性质：三角形的外心到三个顶点的距离相等，等于外接圆半径. 【清单08】直线与圆的位置关系 直线和圆共有三种位置关系，分别是相离，相切，相交，如下表所示： 设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d 【清单09】切线的性质定理与切线的判定定理 切线的定义：线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点． 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过切点与圆心的直线） 切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 【清单10】切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 【清单11】三角形内切圆与内心 三角形内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做圆的外切三角形. 【注意】一个三角形有且只有一个内切圆，而一个圆有无数个外切三角形. 三角形的内心：内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形三条内角平分性的交点. 三角形的内心的性质：内心到三角形各边的距离相等. 【清单12】正多边形与圆 中心 一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心. 半径 正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径. 中心角 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角. 边心距 正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. 【清单13】弧长与扇形面积公式 弧长公式：(n为圆心角的度数，R为圆的半径). 扇形的面积公式：(n为圆心角的度数，R为圆的半径)=(l是n°为圆心角所对的弧长). 【清单14】圆锥的侧面展开图及圆锥的侧面积 母线：连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线. 圆锥侧面积公式：（其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径） 圆锥全面积公式：（圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积） 圆锥的底面半径r，高h，母线长l之间可构成一个直角三角形，所以满足. 【考点题型一】圆的基本概念辨析 1．（20-21九年级上·江苏扬州·期末）下列说法正确的是（    ） A．一个三角形只有一个外接圆 B．三点确定一个圆 C．长度相等的弧是等弧 D．三角形的外心到三角形三条边的距离相等 2．（24-25九年级上·全国·期末）下列说法正确的是（　　） A．弦的垂直平分线不一定经过圆心 B．平分弦的直径垂直于这条弦 C．过弦的中点的直线必过圆心 D．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 3．（23-24九年级上·河南新乡·期末）下列说法：①三点确定一个圆，②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，③相等的圆心角所对的弦相等，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，⑤长度相等的两条弧是等弧，⑥圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（22-23九年级上·湖南湘西·期末）下列说法中正确的是（    ） A．直径是弦，反之弦也是直径 B．度数相等的弧是等弧 C．半圆是弧，但弧不一定是半圆 D．平分弦的直径等于弦 【考点题型二】利用垂径定理求解 常见辅助线做法（考点）： 1）有弦无垂径时，可过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度； 2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分. 5．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，是的弦，半径，垂足为E，设的半径为4，，则的长为 ．    6．（23-24九年级上·江苏南通·期末）半径为13圆内的两条平行弦分别为10和24长，则两条平行弦之间距离是 7．（22-23九年级上·江苏南京·期末）在同心圆中，大圆的弦交小圆于C，D两点． (1)如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，，则的长为 ___________． (2)如图②，大圆的另一条弦EF交小圆于G，H两点，若，求证．   【考点题型三】利用垂径定理解决实际问题 8．（22-23九年级上·江苏南通·期末）温州是著名水乡，河流遍布整个城市．某河流上建有一座美丽的石拱桥（如图）．已知桥拱半径为，水面宽为，则石拱桥的桥顶到水面的距离为（　　） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·江苏徐州·期末）《九章算术》代表了东方数学的最高成就，它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（寸），锯道长1尺（尺寸）”．问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学的知识计算：圆形木材的直径是             10．（21-22九年级上·新疆·期末）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，某天下雨后，水面宽度变为，则此时排水管水面上升了 ． 11．（23-24九年级上·江苏南通·期末）根据素材解决问题： 设计货船通过拱桥的方案 素材1 左图中有一座圆拱石桥，右图是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽，拱顶离水面的距离． 素材2 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，货船的载重量每增加1吨，则船身下降． 问题解决 任务1 确定桥拱半径 （1）求圆形桥拱的半径； 任务2 拟定设计方案 （2）根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？ 【考点题型四】利用弧，弦，圆心角关系求解/证明 12．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，半径，，则的度数是 ． 13．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）是的直径，点在上，点，是的三等分点，，的度数是 ． 14．（22-23九年级下·江苏南通·期末）如图所示，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是直径上一动点，若的直径为2，则的最小值是 ．    15．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，，是的半径，且，弦分别经过，的中点D，E． (1)求证：； (2)求证：． 16．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，点A、B、C、D在上，，与相等吗？为什么？    【考点题型五】判断三角形外接圆圆心位置 17．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，平面直角坐标系中有一个．    (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； (2)的外接圆的圆心坐标是 ； (3)该圆圆心到弦的距离为 ； (4)最小覆盖圆的半径为 ． 18．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点、、，    (1)利用网格线画出经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心D（保留作图痕迹）；D点的坐标为________； (2)的半径为________，的度数为________； (3)点M是第一象限网格中的一个格点，当时，点M的坐标为________． 【考点题型六】求特殊三角形外接圆的半径 19．（23-24九年级上·山东枣庄·期中）已知等腰，，请用圆规和直尺作出的外接圆，并计算此外接圆的半径． 20．（23-24九年级上·甘肃平凉·期中）如图，在中，．    (1)求作：的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求的面积． 21．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，是的外接圆． (1)求的半径； (2)若在同一平面内的也经过B、C两点，且，请直接写出的半径的长． 【考点题型七】利用圆周角定理求解 22．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，是的弦，半径，点D在上，且，则 ． 23．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，内接于，是直径，，平分，则弦长为 ． 24．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图，点A，B，C在量角器的外圈上，对应的刻度分别是外圈，和，则的度数为 ． 25．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）的半径⊥弦，点D在上（不与点A、B、C重合），． (1)如图，当点D在优弧上时，求的度数； (2)若点D在劣弧上，则的度数为________． 【考点题型八】利用圆周角定理推论求解 26．（24-25九年级上·湖北十堰·期中）如图，经过原点O，且与x轴、y轴分别交于点，，C是的中点，则的半径为 ，的周长为 ． 27．（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，的平分线交于点D．若，求的长． 28．（江苏省扬州市梅岭集团2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题）如图，中，，以为直径作，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，连接，求的度数． 29．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，、是的直径，于，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，是上一点，，求证：． 【考点题型九】已知圆内接四边形求角度 解题方法：圆内接四边形的性质定理为证明两角相等或互补提供了依据.在求角的度数时往往综合运用圆内接四边形的性质、圆周角定理及其推论等知识建立所求角与已知条件的联系. 30．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（      ） A． B． C． D． 31．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，点A，B，C、D四点均在上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 32．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，在的内接四边形中，若的半径为1，，，则的度数为（    ） A．120° B．135° C．150° D．165° 33．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，四边形内接于，，对角线平分． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的周长． 【考点题型十】利用点和圆的位置关系求半径 解题方法：根据点到圆心的距离与半径比较大小，从而得到位置关系. 设半径为r，点到圆心的距离为d 1）若d＜r，则点P在圆内；2）若d=r，则点P在圆上；3）若d＞r，则点P在圆外. 34．（2023九年级下·上海·专题练习）如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（   ） A． B． C． D． 35．（2024九年级上·江苏·专题练习）平面上有及内一点，到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为 ． 36．（2024·广东江门·一模）在同一平面内，点不在上，若点到上的点的最大距离是，最小距离是5，则的半径是 ． 37．（21-22九年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，D是的中点，以A为圆心，r为半径作，若点B，D，C均在外，求r的取值范围． 【考点题型十一】利用直线和圆的位置关系求解 38．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知：中，，以点C为圆心，作半径为的圆.问： (1)当R为何值时，和直线相离？ (2)当R为何值时，和直线相切？ (3)当R为何值时，和直线相交？ 39．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知的斜边，直角边，以点为圆心作． (1)当半径为________时，直线与相切； (2)当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为________； (3)当与线段没有公共点时，半径的取值范围为__________． 40．（24-25九年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，在 中， ，点O是的中点，以O为圆心，r为半径作．    (1)当r满足什么条件时，与 的边有2个公共点？ (2)当r满足什么条件时，与 的边有3个公共点？ (3)当r满足什么条件时，与 的边有4个公共点？ 【考点题型十二】切线的性质与判定综合 41．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，为的直径，C为上一点，D为的中点，过C作的切线交的延长线于E，交的延长线于F，连． (1)求证：与相切； (2)若，，求的半径． 42．（23-24九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作． (1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)在（1）的条件下，求证：； (3)在（1）的条件下，，，求⊙O的半径． 43．（23-24九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，点在上，过点，分别与、交于、，过作于． (1)求证：是的切线： (2)若与相切于点，，，求阴影部分面积． 44．（22-23九年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在矩形中，为的中点，的外接圆分别交，于点，． (1)求证：与相切； (2)若，，求的半径． 【考点题型十三】应用切线长定理求解 45．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是的切线，切点分别为A、B．点C在上，过点C的切线分别交于点D、E，已知的周长20，求的长． 46．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）探究问题： (1)如图1，PM、PN、EF分别切于点A、B、C，猜想的周长与切线长PA的数量关系，并证明你的结论． (2)如果图1的条件不变，且，的周长为16cm，求的半径． (3)如图2，点E是的边PM上的点，于点F，与边EF及射线PM、射线PN都相切．若，，求的半径． 47．（23-24九年级上·广西柳州·期末）学校要举办运动会，九（1）班同学正在准备各种道具，小聪同学现有一块三角形的纸片，要在三角形纸片中截下一块圆形纸片做道具，要求截下的圆与三角形的三条边都相切．小聪用，，表示三角形纸片的三个顶点（如图1）．请你按要求完成： (1)尺规作图：在图1中找出圆心点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）； (2)若纸片三边长分别是：，，，与边，，分别相切于点，，（如图2），求小聪截得的圆形道具的面积． 48．（2023·浙江·模拟预测）如图，在中，，，，，两锐角的角平分线交于点P，点E，F分别在边，上，且．    (1)求内切圆的半径 (2)求的周长. 【考点题型十四】正多边形与圆的相关计算 49．（21-22九年级上·江苏南京·期中）如图，圆内接正九边形两条对角线相交，则的度数是（    ） A． B． C． D． 50．（2024·江苏泰州·一模）如果一个正多边形的中心角等于，那么这个正多边形的对称轴共有 条． 51．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如果一个正多边形的中心角等于，那么这个正多边形的边数是 ． 52．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）正六边形的边长为4，求对角线的长和正六边形的面积． 53．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在的内接正八边形中，，连接．    (1)求证； (2)的长为 　 　． 【考点题型十五】利用弧长公式求解 54．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，为半圆的直径，为半圆上一点，且，连接，以为圆心，长为半径画弧交于点，若，则的长是 ． 55．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，如果一个扇形的圆心角为，弧长为，那么该扇形的半径为 ． 56．（21-22九年级上·江苏泰州·期末）如图，⊙O的半径为5，的长为3π，则以∠AOB为内角正多边形的边数为 ． 57．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，，，将绕点C逆时针旋转到 的位置，点B的对应点D首次落在斜边上，则点A的运动路径的长为 ．    【考点题型十六】利用扇形面积公式求解 58．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）已知扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为 ．（结果保留） 59．（21-22九年级上·江苏南京·期末）如图，扇形OAB是一个圆锥的侧面展开图，∠AOB＝120°，的长为6πcm，则该圆锥的侧面积为 cm2（结果保留π） ． 60．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，一扇形纸扇完全打开后，和的夹角为，长为，贴纸部分的宽为．    (1)求弧的长度； (2)求纸扇上贴纸部分的面积． 【考点题型十七】求不规则的图形面积 61．（22-23九年级上·甘肃定西·期末）如图，已知直线经过上的点，且． (1)求证：直线是的切线． (2)若，求阴影部分的面积． 62．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，为的直径，弦于点E，连接，，，F为中点，且． (1)求的长； (2)当时， ① ； ②求阴影部分的周长和面积． 63．（2024·浙江杭州·一模）如图（1）是瓦片做成的窗花，可以从中分离出一朵“花”的图案，如图（2），它是由八片相同的瓦片组成，其中间四片“对扣”，外围截面恰好抽象成一个圆，如图（3），点A，B，C，D表示瓦片的交接点． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)若厘米，求图（3）中阴影部分的面积．（结果保留π） 64．（23-24九年级上·湖北·阶段练习）有一张半径为2的圆形纸片． (1)如图（1），先将纸片沿直径左右翻折，再上下翻折，刚好完全重合，然后平铺展开，则的大小是______；在上任取一点C（异于A，B），则的大小是______； (2)如图（2），将纸片沿一条弦翻折，使其劣弧恰好经过圆心O，作出直径，则图中阴影部分的面积是______； (3)如图（3），是的直径，将劣弧沿弦翻折，交于点D，再将劣弧沿直径翻折，交于点E，若点E恰好是翻折后的劣弧的中点，求图中阴影部分的面积． 【考点题型十八】利用圆锥的侧面积公式求解 65．（23-24九年级下·浙江杭州·开学考试）如图，用一个圆心角为的扇形围成一个无底的圆锥． (1)若圆锥的母线长为，求圆锥的侧面积． (2)若圆锥底面圆的半径为，求扇形的半径． 66．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，圆形铁皮的半径为，从中剪出一个圆心角的扇形，点都在上． (1)求扇形的面积； (2)将这个扇形围成一个圆锥，直接写出圆锥的底面半径和高． 67．（22-23九年级上·河南周口·期末）图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装雷要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，，将扇形EAF围成圆锥时，AE，AF恰好重合，已知圆锥的底面圆直径 ，母线长 ． (1)求这种加工材料的顶角的大小． (2)求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留） 【考点题型十九】圆锥的实际问题 68．（22-23九年级上·湖北荆州·阶段练习）如图，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面圆的半径为4m，高为3m． (1)求这个圆锥的母线长； (2)为了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，所需油毡的面积至少是多少？（π取3.14，结果精确到1m2） 69．（23-24九年级下·山东聊城·阶段练习）在如图 ①所示的正方形铁皮中剪下一个圆形和一个扇形，使之恰好围成如图 ②所示的底面直径尽可能大的圆锥模型，设圆形的半径为，扇形的半径为，试探索和之间的关系． 70．（2022·湖南邵阳·模拟预测）在一次科学探究实验中，小明将半径为的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形． (1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线长为，开口圆的直径为．当滤纸片重叠部分三层，且每层为圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明； (2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为，开口圆的直径为，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？ 【考点题型二十】圆锥侧面上的最短路径 71．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (2)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 72．（22-23九年级上·广西南宁·期末）综合与实践 问题情境：如图1，将一个底面半径为的圆锥侧面展开，可得到一个半径为，圆心角为的扇形.工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料. (1)探索尝试：图1中，圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长________；（填“相等”或“不相等”）若，，则________. (2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求的值，请用含，的式子表示； (3)拓展延伸：图2是一种纸质圆锥形生日帽，，，是中点，现要从点到点再到点之间拉一装饰彩带，求彩带长度的最小值. 73．（22-23九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图1，等腰三角形中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值也就确定了，我们把这个比值记作，即 ，当时，如． (1)　 　，　 　，的取值范围是 　 　； (2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 考点清单 圆 （14个考点梳理+20种题型解读+6种方法解读） 【清单01】圆的有关概念 1.圆的定义 圆的定义[动态]:如图，在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆，其中，点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 圆的定义[静态]:圆是到定点的距离等于定长的点的集合，其中，定点叫做圆心，定长叫做半径. 2.弦与直径 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径. 3.弧、半圆、优弧、劣弧、等弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号“”表示，以为端点的弧记作，读作：“圆弧AB”或“弧AB”. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如右图中的 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，如右图中的. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 4.同圆、等圆、同心圆 同圆：圆心相同且半径相等的圆叫做同圆. 等圆：能够完全重合的圆叫做等圆. 同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆 【清单02】圆心角与圆周角 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 两个特征：①顶点在圆心；②角的两边是半径，二者缺一不可． 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. 两个特征：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交，二者缺一不可． 【清单03】垂径定理 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 【清单04】圆周角定理及推论 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（即：圆周角=） 圈周角定理运用需满足以下两个条件: 1)圆心角和圆周角在同圆或等圆中; 2)它们对着同一条弧或者所对的弧是等弧. 【清单05】圆内接四边形及其性质定理 圆内接四边形：如果四边形的四个顶点均在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形.这个圆叫做这个四边形的外接圆. 圆内接四边形的性质：1）圆内接四边形对角互补. 如图，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=180° 2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角. 如图，∠1=∠2 【清单06】点与圆的位置关系 点和圆共有三种位置关系，分别是点在圆内，点在圆上，点在圆外，如下表所示： 已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d， 【清单07】三角形的外接圆与外心 三角形外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形. 三角形的外心：三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点. 三角形的外心的性质：三角形的外心到三个顶点的距离相等，等于外接圆半径. 【清单08】直线与圆的位置关系 直线和圆共有三种位置关系，分别是相离，相切，相交，如下表所示： 设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d 【清单09】切线的性质定理与切线的判定定理 切线的定义：线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点． 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过切点与圆心的直线） 切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 【清单10】切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 【清单11】三角形内切圆与内心 三角形内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做圆的外切三角形. 【注意】一个三角形有且只有一个内切圆，而一个圆有无数个外切三角形. 三角形的内心：内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形三条内角平分性的交点. 三角形的内心的性质：内心到三角形各边的距离相等. 【清单12】正多边形与圆 中心 一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心. 半径 正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径. 中心角 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角. 边心距 正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. 【清单13】弧长与扇形面积公式 弧长公式：(n为圆心角的度数，R为圆的半径). 扇形的面积公式：(n为圆心角的度数，R为圆的半径)=(l是n°为圆心角所对的弧长). 【清单14】圆锥的侧面展开图及圆锥的侧面积 母线：连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线. 圆锥侧面积公式：（其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径） 圆锥全面积公式：（圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积） 圆锥的底面半径r，高h，母线长l之间可构成一个直角三角形，所以满足. 【考点题型一】圆的基本概念辨析 1．（20-21九年级上·江苏扬州·期末）下列说法正确的是（    ） A．一个三角形只有一个外接圆 B．三点确定一个圆 C．长度相等的弧是等弧 D．三角形的外心到三角形三条边的距离相等 【答案】A 【分析】根据确定圆的条件、三角形外接圆、圆的有关概念判断即可． 【详解】解：A、一个三角形只有一个外接圆，故本选项正确； B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误； C、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，长度相等的弧不一定能够重合，故本选项错误； D、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故本选项错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了命题与定理以及圆有关的知识，关键是熟练掌握有关性质和定理，能对命题的真假进行判断． 2．（24-25九年级上·全国·期末）下列说法正确的是（　　） A．弦的垂直平分线不一定经过圆心 B．平分弦的直径垂直于这条弦 C．过弦的中点的直线必过圆心 D．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理的推论以及圆的基本内容，结合弦的垂直平分线一定经过圆心，平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，过弦的中点的直线不一定经过圆心，弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心等内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、弦的垂直平分线一定经过圆心，故该选项说法错误； B、平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故该选项说法错误； C、过弦的中点的直线不一定经过圆心，故该选项说法错误； D、弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心，故该选项说法正确． 故选：D． 3．（23-24九年级上·河南新乡·期末）下列说法：①三点确定一个圆，②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，③相等的圆心角所对的弦相等，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，⑤长度相等的两条弧是等弧，⑥圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外心，垂径定理，圆周角定理，确定圆的条件等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．①根据确定一个圆的条件即可判断．②根据垂径定理即可判断．③根据圆周角定理即可判断．④根据三角形外心的性质即可判断，⑤根据等弧的定义判断，⑥根据圆的对称性质进行判断． 【详解】解：①三点确定一个圆，错误，应该是不在同一直线上的三点确定一个圆； ②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，正确． ③相等的圆心角所对的弦相等，错误，条件是在同圆或等圆中； ④三角形的外心到三个顶点的距离相等，正确， ⑤长度相等的两条弧是等弧，错误，条件是在同圆或等圆中； ⑥圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确． ∴正确的有②④⑥，共3个． 故选：C． 4．（22-23九年级上·湖南湘西·期末）下列说法中正确的是（    ） A．直径是弦，反之弦也是直径 B．度数相等的弧是等弧 C．半圆是弧，但弧不一定是半圆 D．平分弦的直径等于弦 【答案】C 【分析】本题考查了圆的有关概念，判断命题的真假，根据圆的有关概念进行排除即可，熟练掌握圆的基本概念是解题的关键． 【详解】、直径是弦，但是弦不一定是直径，原选项说法错误，不符合题意； 、在同圆或等圆中，能够完全重合的两条弧是等弧，度数相等的弧不一定能完全重合，原选项说法错误，不符合题意； 、半圆是弧，但弧不一定是半圆，原选项说法正确，符合题意； 、平分弦的直径不一定等于弦，原选项说法错误，不符合题意； 故选：． 【考点题型二】利用垂径定理求解 常见辅助线做法（考点）： 1）有弦无垂径时，可过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度； 2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分. 5．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，是的弦，半径，垂足为E，设的半径为4，，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键是利用勾股定理先求出． 由于半径，利用垂径定理可知，又，易求，在中利用勾股定理易求，进而可求． 【详解】解：如图，连接，    ∵半径， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故答案为． 6．（23-24九年级上·江苏南通·期末）半径为13圆内的两条平行弦分别为10和24长，则两条平行弦之间距离是 【答案】17或7 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，分两种情况进行讨论：①弦和在圆心同侧；②弦和在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：有两种情况：①如图，当和在的两旁时，    过作于，交于，连接，， ， ， 由垂径定理得：，， ， 由勾股定理得：， 同理， ， ②当和在的同旁时，同理得．    故答案为：17或7． 7．（22-23九年级上·江苏南京·期末）在同心圆中，大圆的弦交小圆于C，D两点． (1)如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，，则的长为 ___________． (2)如图②，大圆的另一条弦EF交小圆于G，H两点，若，求证． 【答案】(1)4 (2)见解析 【分析】（1）连接，，过点作，则为，的中点，得出，，根据勾股定理即可求出的长； （2）过作，作，垂足分别为、，得出，，，，连接、、、，通过证明和，即可得证． 【详解】（1）连接，，过点作，则为，的中点， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： （2）过作，作，垂足分别为、， ∴，，，， 又∵， ∴， 连接、、、，    在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解此类题的关键． 【考点题型三】利用垂径定理解决实际问题 8．（22-23九年级上·江苏南通·期末）温州是著名水乡，河流遍布整个城市．某河流上建有一座美丽的石拱桥（如图）．已知桥拱半径为，水面宽为，则石拱桥的桥顶到水面的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据垂径定理可得，再由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴． 故选：D 【点睛】此题考查了垂径定理的应用，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求解． 9．（23-24九年级上·江苏徐州·期末）《九章算术》代表了东方数学的最高成就，它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（寸），锯道长1尺（尺寸）”．问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学的知识计算：圆形木材的直径是             【答案】26寸 【分析】 本题考查垂径定理，勾股定理等知识，利用垂径定理，勾股定理解决问题即可． 【详解】解：∵是半径， ∴， ∵寸，寸， ∴寸， 在中，， ∴， ∴寸， ∴寸． 故答案为：26寸． 10．（21-22九年级上·新疆·期末）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，某天下雨后，水面宽度变为，则此时排水管水面上升了 ． 【答案】或 【分析】根据半径为，则直径为；又根据水面宽度为，则有两种情况，水面在水面平行的直径下方，过点作于点；水面在水面平行的直径上方，过点作于点，过点作于点，根据垂径定理，勾股定理，即可求出． 【详解】连接 ∵ ∴圆的直径为 ∴水面在水面平行的直径下方 ∴过点作于点 ∴且与交于点 ∵， ∴， ∴在直角三角形中， ∴ ∴； 在直角三角形中， ∴ ∴ ∴上升的距离为 水面在水面平行的直径上方，过点作于点，过点作于点 ∵， ∴， ∴在直角三角形中， ∴ ∴； 在直角三角形中， ∴ ∴ ∴上升的距离为：． 故答案为：或． 【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理的运用，解题的关键是垂径定理，易错点是分类讨论水面在直径是下方和上方． 11．（23-24九年级上·江苏南通·期末）根据素材解决问题： 设计货船通过拱桥的方案 素材1 左图中有一座圆拱石桥，右图是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽，拱顶离水面的距离． 素材2 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，货船的载重量每增加1吨，则船身下降． 问题解决 任务1 确定桥拱半径 （1）求圆形桥拱的半径； 任务2 拟定设计方案 （2）根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？ 【答案】(1) (2) 10吨 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，任务1，设 圆心为点，则点在延长线上，延长，则经过点，连结，设桥拱的半径为 ，则，由勾股定理，垂径定理，列出关于半径的方程，即可解决问题； 任务2，由勾股定理得到货船不能通过圆形桥拱，通过计算，即可得到需要增加的货物的吨数． 【详解】解：任务1，设圆心为点，则点在延长线上，延长，则经过点，连结，如图， 设桥拱的半径为，则， ， ， ， ， ， 圆形拱桥的半径为． 任务2，根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱，至少要增加吨的货物才能通过．理由： 当是的弦时，与的交点为，连接，，如图， 四边形为矩形， ， ， ∵，， ． ， ， ， ， 根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱， 船在水面部分可以下降的高度为． 货船的载重量每增加吨，则船身下降， 吨， 至少要增加10吨的货物才能通过． 【考点题型四】利用弧，弦，圆心角关系求解/证明 12．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，半径，，则的度数是 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，连接，由平行线的性质可得，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数是， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）是的直径，点在上，点，是的三等分点，，的度数是 ． 【答案】/78度 【分析】本题考查弧，弦，角直角的关系，根据点，是的三等分点，推出，再根据平角的定义，求出的度数即可． 【详解】解：∵点在上，点，是的三等分点， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 14．（22-23九年级下·江苏南通·期末）如图所示，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是直径上一动点，若的直径为2，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】作点关于的对称点，连接交于点，连接，由三角形两边之和大于第三边即可得出此时最小，连接，根据点是半圆上一个三等分点、点是的中点，即可得出，再利用勾股定理即可求出的值，此题得解． 本题考查了圆心角、弧、弦的关系，轴对称中最短路线问题，三角形的三边关系以及勾股定理，根据三角形的三边关系确定取最小值时点的位置是解题的关键． 【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，连接， 此时最小，连接，如图所示．   点和点关于对称， ． 点是半圆上一个三等分点，点是的中点， ，， ． ， ． 故答案为：． 15．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，，是的半径，且，弦分别经过，的中点D，E． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质． （1）根据弧与圆心角的关系，可得，又由点D，E分别是，的中点，可得，继而可证得，则可得； （2）由得到，推出，再得到，则． 【详解】（1）解：，理由如下， 证明：过点作直径，如图， ，，是的半径，， ， 点D，E分别是，的中点，， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 16．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，点A、B、C、D在上，，与相等吗？为什么？    【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟知同圆或等圆中，同弧或等弧所对的弦相等是解题的关键． 先根据同弧所对的圆周角相等得到，进而证明，由此得到． 【详解】解：相等，理由如下： ∵， ∴， ∴，即 ∴， 【考点题型五】判断三角形外接圆圆心位置 17．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，平面直角坐标系中有一个．    (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； (2)的外接圆的圆心坐标是 ； (3)该圆圆心到弦的距离为 ； (4)最小覆盖圆的半径为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了三角形外心的性质，等腰三角形三线合一，勾股定理，熟练掌握以上知识点并利用数形结合思想是解题的关键． （1）根据三角形外心的性质，分别作与的垂直平分线，两直线相交于点，则点即是的外接圆的圆心； （2）根据（1）所求，可由坐标系直接得到答案； （3）取的中点，连接，根据等腰三角形三线合一可知，利用勾股定理求出即为所求； （4）利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：分别作与的垂直平分线，两直线相交于点，则点即是的外接圆的圆心，如图即为所求：    （2）解：由（1）可知，点坐标为 故答案为：． （3）解：取的中点，连接，如图，    则 该圆圆心到弦的距离为 故答案为：． （4）解：由图可知，最小覆盖圆的半径为长 如图所示，可知为所求，利用网格    故答案为：． 18．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点、、，    (1)利用网格线画出经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心D（保留作图痕迹）；D点的坐标为________； (2)的半径为________，的度数为________； (3)点M是第一象限网格中的一个格点，当时，点M的坐标为________． 【答案】(1)画图见解析， (2)， (3)（答案不唯一） 【分析】（1）如图，连接，，，作，的垂直平分线，交于点，再进一步可得答案； （2）利用勾股定理分别求解圆的半径，再判断为直角三角形即可； （3）分别求解直线，的解析式，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：如图，连接，，，作，的垂直平分线，交于点，    ∴即为所求，； （2）解：∵，，， ∴；，， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， ∵， ∴设直线为， ∵， ∴， ∴， ∴直线为， 当时，， 当时，， ∴当点M是第一象限网格中的一个格点时，或（答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是作三角形的外接圆的圆心，线段的垂直平分线的性质，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，一次函数的应用，坐标与图形，掌握以上基础知识是解本题的关键． 【考点题型六】求特殊三角形外接圆的半径 19．（23-24九年级上·山东枣庄·期中）已知等腰，，请用圆规和直尺作出的外接圆，并计算此外接圆的半径． 【答案】作图见解析，的外接圆的半径为4 【分析】由三角形的外接圆的圆心是线段垂直平分线的交点，确定圆心，然后作外接圆即可，由等腰三角形的性质可求，证明是等边三角形，然后作答即可． 【详解】解：作的垂直平分线，交点即为的外接圆的圆心，连接，以为圆心，为半径画圆，则即为所求； ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴的外接圆的半径为4． 【点睛】本题考查了作三角形的外接圆，作垂线，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质．熟练掌握三角形的外接圆，作垂线，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质是解题的关键． 20．（23-24九年级上·甘肃平凉·期中）如图，在中，．    (1)求作：的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图，三角形外接圆的定义，勾股定理，掌握直角三角形外接线圆心为斜边中点时解题的关键． （1）作出的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，为半径画圆，即为所求； （2）先根据勾股定理求出，进而得出，最后根据圆的面积公式，即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）解：∵，，， ∴根据勾股定理可得， ∴， ∴的面积． 21．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，是的外接圆． (1)求的半径； (2)若在同一平面内的也经过B、C两点，且，请直接写出的半径的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）过点作，垂足为，连接、，根据勾股定理即可求解； （2）分点在点的上方和下方，两种情况，进行求解即可． 【详解】（1）过点作，垂足为，连接、， ，， 垂直平分， ， 点在的垂直平分线上，即在上， ， ， 在中，，， ， 设，则． 在中，， ，即． 解得， 即的半径为； （2）当也经过、两点，且，如图： 设， ∵，则或， ∵， 或． ∴的半径的长为或． 【点睛】本题考查了三角形外接圆、等腰三角形的性质、勾股定理、垂径定理，解决本题的关键是准确确定点的两个位置． 【考点题型七】利用圆周角定理求解 22．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，是的弦，半径，点D在上，且，则 ． 【答案】50 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，连接常用的辅助线是解题关键．连接，由同弧所对圆周角等于圆心角的一半可求出，再根据垂径定理即可得出． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴． ∵， ∴． 23．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，内接于，是直径，，平分，则弦长为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，由题意知，，由勾股定理得，，则，由平分，可得，由，可得，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是直径， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，角平分线，圆周角定理，勾股定理等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，角平分线，圆周角定理，勾股定理是解题的关键． 24．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图，点A，B，C在量角器的外圈上，对应的刻度分别是外圈，和，则的度数为 ． 【答案】/115度 【分析】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意补全图形，可得，由圆周角定理可知，，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，点为外圈所对的圆心，连接、、， 由题意得， 由圆周角定理可知，， ， 故答案为：． 25．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）的半径⊥弦，点D在上（不与点A、B、C重合），． (1)如图，当点D在优弧上时，求的度数； (2)若点D在劣弧上，则的度数为________． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是： （1）连接，根据垂径定理得出，根据圆心角与等弧的关系可求出的度数，然后根据圆周角定理求解即可； （2）分点D在上和点D在上讨论，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理求解即可． 【详解】（1）解：连接， ∵半径⊥弦， ∴， ∴， ∴ （2）解：当点D在上时 由（1）知∶， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， 当点D在上时， 则， 综上，的度数为或． 故答案为：或． 【考点题型八】利用圆周角定理推论求解 26．（24-25九年级上·湖北十堰·期中）如图，经过原点O，且与x轴、y轴分别交于点，，C是的中点，则的半径为 ，的周长为 ． 【答案】 5 【分析】连接，，根据直角所对的弦为直径，得出为的直径，根据勾股定理求出，得出，根据垂径定理推论得出，，根据勾股定理得出，求出，根据勾股定理得出，最后求出结果即可． 【详解】解：连接，，如图所示： ∵， ∴为的直径， ∵点，， ∴，， ∴， ∴， 即的半径为5， ∵M为圆心，C是的中点， ∴，， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， ∴， ∵C是的中点， ∴， ∴， ∴的周长为． 故答案为：5；． 【点睛】本题考查了坐标系中圆的综合问题，垂径定理，勾股定理，坐标与图形，利用直径所对的圆周角是直角作出辅助线，以及作弦心距是常用的辅助线方法． 27．（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，的平分线交于点D．若，求的长． 【答案】， 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理及直径对的圆周角为直角等知识；连接，易得，勾股定理求出的长，角平分线结合圆周角定理得到，得到为等腰直角三角形，求出的长即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴； ∵的平分线交于点D， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 28．（江苏省扬州市梅岭集团2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题）如图，中，，以为直径作，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，连接，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形性质以及三角形内角和定理等知识； （1）连接，先由圆周角定理得，则，再由等腰三角形的三线合一即可得出结论； （2）连接，先由等腰三角形的性质得，再由三角形内角和定理求出，即可得出结论； 熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】（1）连接，如图1所示： ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）连接，如图2所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 29．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，、是的直径，于，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，是上一点，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先根据同角的余角相等得：，由圆周角定理，即可得证； （2）作辅助线，先根据垂径定理得：，由三角形中位线定理得：，证明，则，即可得证． 【详解】（1）如图1，连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图2，延长交于，连接、、， ， ， ， ， ，， ， ， ， 是的中垂线， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，三角形中位线的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握圆的相关性质定理是解题的关键． 【考点题型九】已知圆内接四边形求角度 解题方法：圆内接四边形的性质定理为证明两角相等或互补提供了依据.在求角的度数时往往综合运用圆内接四边形的性质、圆周角定理及其推论等知识建立所求角与已知条件的联系. 30．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理；先根据圆周角定理计算出，然后根据圆内接四边形的性质求的度数． 【详解】解： ，而， ﹣． 故选：A． 31．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，点A，B，C、D四点均在上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，等边对等角等知识点，能求出的度数是解此题的关键． 根据平行线的性质得出，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，求出的度数，根据圆内接四边形的性质得出，再求出答案即可． 【详解】解：连接， ，， ， ，， ， ， 四边形是的内接四边形， ， ． 故选：B． 32．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，在的内接四边形中，若的半径为1，，，则的度数为（    ） A．120° B．135° C．150° D．165° 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的判定，圆的基础知识等知识，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．先判定是等边三角形得到，判定是等腰直角三角形得到，，从而得到，再根据等边对等角求得，继而得解． 【详解】解：连接、、、， 则， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴ 故选：D． 33．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，四边形内接于，，对角线平分． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作出合理的辅助线，掌握圆内接四边形的性质，是解答本题的关键． （1）根据内接四边形的性质有，进而可得，结合，问题得证； （2）过A点作，交的延长线于点E，现在得出，即有，进而可得，，，  再在中，，问题随之得解． 【详解】（1）∵四边形内接于，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）过A点作，交的延长线于点E，如图，    ∵四边形内接于，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，，   ∴在中，， ∵是等边三角形， ∴的周长为． 【考点题型十】利用点和圆的位置关系求半径 解题方法：根据点到圆心的距离与半径比较大小，从而得到位置关系. 设半径为r，点到圆心的距离为d 1）若d＜r，则点P在圆内；2）若d=r，则点P在圆上；3）若d＞r，则点P在圆外. 34．（2023九年级下·上海·专题练习）如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相交两圆的性质，点与圆的位置关系，勾股定理等知识点，能熟记相交两圆的性质和点与圆的位置关系的内容是解题的关键 连接交于，根据勾股定理求出的长，从而求出的长，再根据相交两圆的位置关系得出的范围即可． 【详解】解：连接交于，如图，    在 中，由勾股定理得：， 则， ， ， 与相交，且点在外，必须， 即只有选项B符合题意， 故选：B． 35．（2024九年级上·江苏·专题练习）平面上有及内一点，到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了圆的基础知识，根据距离最长可得点是在圆的直径上的点，由此作图分析即可求解． 【详解】解：根据直径是圆中最长线段，作图如下， ∴， ∴圆的半径为， 故答案为：7 ． 36．（2024·广东江门·一模）在同一平面内，点不在上，若点到上的点的最大距离是，最小距离是5，则的半径是 ． 【答案】3或8 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 由题意知，分点在内，点在外两种情况求解即可． 【详解】解：由题意知，分点在内，点在外两种情况求解； 当点在内，如图1， ∴， ∴， ∴半径为8； 当点在外，如图2， ∴， ∴， ∴半径为3； 综上所述，的半径是3或8； 故答案为：3或8． 37．（21-22九年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，D是的中点，以A为圆心，r为半径作，若点B，D，C均在外，求r的取值范围． 【答案】0＜r＜5 【分析】先根据勾股定理和直角三角形斜边上的中线性质求得AB、AD，再根据点与圆的位置关系即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵5＜6＜8， ∴AD＜AB＜AC， ∵A为圆心，r为半径，点B，D，C均在外， ∴0＜r＜5． 【点睛】本题考查勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质、点与圆的位置关系，解题关键是熟练掌握点与圆的位置关系：设圆半径为r，点与圆心的距离为d，当d＜r时，点在圆内；当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外． 【考点题型十一】利用直线和圆的位置关系求解 38．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知：中，，以点C为圆心，作半径为的圆.问： (1)当R为何值时，和直线相离？ (2)当R为何值时，和直线相切？ (3)当R为何值时，和直线相交？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系．根据题意画出图形，过点C作于点D，由勾股定理求出的长，再求出的长，根据直线与圆的三种位置关系进行解答即可． 【详解】（1）解：过点C作于点D，    ∵中，， ∴， ∴， ∴当，和直线相离； （2）解：当时，和直线相切； （3）解：当时，和直线相交． 39．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知的斜边，直角边，以点为圆心作． (1)当半径为________时，直线与相切； (2)当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为________； (3)当与线段没有公共点时，半径的取值范围为__________． 【答案】(1)； (2)或； (3)或． 【分析】（）如图作于，求出的值即可判断； （）当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为或 ； （）当与线段没有公共点时，半径的取值范围为或， 本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，等面积法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）如图作于，    在中，，，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， ∴当半径时，直线与相切， 故答案为：； （2）观察图形可知， 当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为或 ， 故答案为：或； （3）观察图形可知， 当与线段没有公共点时，半径的取值范围为或， 故答案为：或． 40．（24-25九年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，在 中， ，点O是的中点，以O为圆心，r为半径作．    (1)当r满足什么条件时，与 的边有2个公共点？ (2)当r满足什么条件时，与 的边有3个公共点？ (3)当r满足什么条件时，与 的边有4个公共点？ 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是： （1）根据勾股定理逆定理判断出，取中点E，取中点F，连接，，根据三角形中位线定理可求出，，然后数形结合即可解答； （2）根据直角三角形斜边中线的性质求出，然后数形结合即可解答； （3）结合（1）中结论，数形结合即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 取中点E，取中点F，连接，，    则，，，， ∴，， ∵点O是的中点， ∴， ∴当时，与的边有2个公共点； （2）解：由（1）知：当时，与相切，    ∴当时，与的边有3个公共点， ∵，点O是的中点， ∴， ∴当时，与的边有3个公共点， 综上，当或时，与的边有3个公共点； （3）解：由（1）知：当时，与相切，    此时与的边有5个公共点， ∴当时，与 的边有4个公共点． 【考点题型十二】切线的性质与判定综合 41．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，为的直径，C为上一点，D为的中点，过C作的切线交的延长线于E，交的延长线于F，连． (1)求证：与相切； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查垂径定理、切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关定理并能利用等面积法解决问题是关键． （1）连接，由垂径定理得，根据垂直平分线的的性质可得，证明，利用全等三角形的性质可得即可； （2）先利用勾股定理求得，设，再根据等面积法列即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，    是的切线， ， 为的中点，， ，则垂直平分， ， ，， ， ， 与相切； （2）解：，， ， 由（1）可知，， ， 设， ， ， ， 解得， 故的半径为． 42．（23-24九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作． (1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)在（1）的条件下，求证：； (3)在（1）的条件下，，，求⊙O的半径． 【答案】(1)画图见解析 (2)证明见解析 (3)⊙O的半径为． 【分析】（1）根据尺规作图，过点作的垂线，交于点，即可求解； （2）根据题意切线的性质以及直径所对的圆周角是直角，证明，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得出，进而证明，即可得证． （3）由（2）得：，，设，再利用勾股定理可得，再解方程即可. 【详解】（1）解：方法不唯一，如图所示． . （2）∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵点在以为直径的圆上， ∴， ∴． 又∵为的切线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵在和中， ∴． ∴． （3）由（2）得：， ∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴⊙O的半径为． 【点睛】本题考查了作圆的切线，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，全等三角形的性质与判定，勾股定理的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 43．（23-24九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，点在上，过点，分别与、交于、，过作于． (1)求证：是的切线： (2)若与相切于点，，，求阴影部分面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)阴影部分面积为 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定与性质、正方形的判定与性质、扇形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． （1）连接，由，，得，则，所以，即可证明是的切线； （2）连接，可证明四边形是正方形，则，，设，则，，由勾股定理得，求得，则． 【详解】（1）证明：连接，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）解：连接， 与相切于点， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ，， 设， ，，， ，且，， ， 解得，（不符合题意，舍去）， ， 阴影部分面积为． 44．（22-23九年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在矩形中，为的中点，的外接圆分别交，于点，． (1)求证：与相切； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)2.5 【分析】（1）连接并延长交于点，根据矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，易知垂直平分，再证，然后根据切线的判定定理即可得到结论； （2）过点作，垂足为，连接、，根据（1）易知四边形是矩形，则，，在中，由勾股定理得：，即，求解即可． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点，连接、， 四边形是矩形， ，，， 为的中点， ． ， ， ， 垂直平分， 即， ， ， 即． 点在上，是的半径， 与相切； （2）解：过点作，垂足为，连接、， 四边形是矩形， ． 切于点， ． ， 四边形是矩形， ，， 是的中点， ． 在中，由勾股定理得： ， 即． 解得， 故的半径为2.5． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，垂直平分线判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 【考点题型十三】应用切线长定理求解 45．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是的切线，切点分别为A、B．点C在上，过点C的切线分别交于点D、E，已知的周长20，求的长． 【答案】10 【分析】本题考查了切线长定理，关键是把的周长转化为；根据切线长定理得，由此得的周长为，从而可求得结果． 【详解】解：∵是的切线， ∴； ∵过点C的切线分别交于点D、E， ∴； ∵的周长20， ∴， ∴， 即， ∴． 46．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）探究问题： (1)如图1，PM、PN、EF分别切于点A、B、C，猜想的周长与切线长PA的数量关系，并证明你的结论． (2)如果图1的条件不变，且，的周长为16cm，求的半径． (3)如图2，点E是的边PM上的点，于点F，与边EF及射线PM、射线PN都相切．若，，求的半径． 【答案】(1)的周长，证明见解析 (2)6cm (3)1或2 【分析】（1）根据切线长定理由、分别切于、得到，由于过点的切线分别交、于点、，再根据切线长定理得到，，然后根据三角形周长的定义得到的周长，用等线段代换后得到三角形的周长等于； （2）连接，，根据切线的性质得到，根据勾股定理得到，于是得到结论； （3）根据题意作出图形，设与射线、射线相切于，，与相切于，于是得到，连接，，，推出四边形是正方形，得到，设的半径为，根据切线长定理列方程即可得到结论；得到三角形的内切圆，根据勾股定理和三角形面积公式可得半径为1． 【详解】（1）解：的周长， 证明：、分别切于、， ， 与为的切线， ， 同理得到， 的周长 ； （2）解：如图1所示，连接，， 是的切线， ， ， 的周长为， ， ， 的半径为； （3）解：如图2所示， 设与射线、射线相切于，，与相切于， 则， 连接，，， ， ， ， 四边形是正方形， ， 设的半径为， ， ，， ， ， ， 即， ． 如图3所示，， ， 解得． 的半径为2或1． 【点睛】本题考查了切线长定理，勾股定理，三角形的周长公式，正方形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 47．（23-24九年级上·广西柳州·期末）学校要举办运动会，九（1）班同学正在准备各种道具，小聪同学现有一块三角形的纸片，要在三角形纸片中截下一块圆形纸片做道具，要求截下的圆与三角形的三条边都相切．小聪用，，表示三角形纸片的三个顶点（如图1）．请你按要求完成： (1)尺规作图：在图1中找出圆心点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）； (2)若纸片三边长分别是：，，，与边，，分别相切于点，，（如图2），求小聪截得的圆形道具的面积． 【答案】(1)见解析 (2)小聪截得的圆形道具的面积是 【分析】本题考查三角形内切圆，切线长定理等知识点； （1）用尺规作和的角平分线，交点即为圆心点； （2）连接，，，根据切线长定理可得，，，最后根据列方程求解即可． 【详解】（1）如图所示：点即为所求； （2）连接，，， 在中，，， ， 是直角三角形， 是的内切圆，切点为，，， ，，， ，， ， 四边形为正方形， 设， ，， ， 解得， ， 小聪截得的圆形道具的面积是． 48．（2023·浙江·模拟预测）如图，在中，，，，，两锐角的角平分线交于点P，点E，F分别在边，上，且．    (1)求内切圆的半径 (2)求的周长. 【答案】(1)2 (2)4 【分析】 （1）根据题意过点作于，于，于，得到点P是内切圆的圆心，根据三角形面积公式即可求解； （2）在上取一点，使得，连接，进而利用全等三角形的性质证明，即可得出结论． 【详解】（1） 解：如图，过点作于，于，于，    平分，平分，，，， ，， ， 点P为三角形内切圆的圆心， ， ， ， 即内切圆的半径为2； （2） 解：在上取一点，得，连接． ∵，， 四边形是正方形， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的周长， ， 的周长为4． 【点睛】 本题考查三角形内切圆，直角平分线的性质定理，正方形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【考点题型十四】正多边形与圆的相关计算 49．（21-22九年级上·江苏南京·期中）如图，圆内接正九边形两条对角线相交，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，三角形外角的性质，添加辅助线是解题的关键．根据正多边形与圆求出相应的圆心角度数，再根据圆周角定理和三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图，设这个正九边形的外接圆为， 则， ∴， ∴， 故选：C． 50．（2024·江苏泰州·一模）如果一个正多边形的中心角等于，那么这个正多边形的对称轴共有 条． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆，对称轴数量问题，先求得正多边形的边数，进而根据对称性求得对称轴数量，即可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为，∵中心角的度数=， ，， ∴这个正多边形为正五边形，每个顶点与其对边中点的连线所在的直线为对称轴，共5条对称轴， 故答案为：． 51．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如果一个正多边形的中心角等于，那么这个正多边形的边数是 ． 【答案】12 【分析】本题考查正多边形的中心角与边数之间的关系，根据正边形的中心角为，即可解题． 【详解】解：设这个正多边形的边数是，且一个正多边形的中心角等于， 有，解得， 故答案为：12． 52．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）正六边形的边长为4，求对角线的长和正六边形的面积． 【答案】；正六边形的面积为 【分析】本题考查的是正多边形与圆、三角函数、三角形面积的计算，连接，根据正六边形的性质推出，，再利用直角三角形的性质求得，由三角函数求出边心距，即可求出正六边形的周长和面积． 【详解】解：如图，设圆心为O，连接，作于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， ∴正六边形的面积． 53．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在的内接正八边形中，，连接．    (1)求证； (2)的长为 　 　． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，先证明，可得，从而可得结论； （2）作，，证明，，四边形是矩形，从而可得答案． 【详解】（1）证明：连接，正八边形， ∴，    ，， ， ∴． （2）∵，同理可证：，， ∴四边形为等腰梯形， ， 作，，    ∵， ， 在中，，， ， 同理可得， ∵，，， ∴四边形是矩形， ， ． 【点睛】本题考查的是圆与正多边形的知识，圆周角定理的应用，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握正多边形的性质是解本题的关键． 【考点题型十五】利用弧长公式求解 54．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，为半圆的直径，为半圆上一点，且，连接，以为圆心，长为半径画弧交于点，若，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理、弧长公式；先根据圆周角定理可得等腰是等腰直角三角形，从而可得，再根据勾股定理可得的长，最后根据弧长公式即可求解． 【详解】连接， ∵为半圆的直径 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴在等腰中， ∴的长 故答案为：． 55．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，如果一个扇形的圆心角为，弧长为，那么该扇形的半径为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了弧长公式的应用，熟练掌握弧长公式是解答本题的关键．根据弧长公式，计算得到答案． 【详解】解：设扇形的半径是R， 则 解得：． 故答案为：． 56．（21-22九年级上·江苏泰州·期末）如图，⊙O的半径为5，的长为3π，则以∠AOB为内角正多边形的边数为 ． 【答案】5 【分析】先利用利用弧长的计算公式计算出∠AOB的度数，即可求得以∠AOB为内角正多边形的边数． 【详解】解：∵， ∴n， ∴∠AOB=108°， 设这个正多边形的边数为x． ∵正多边形的一个内角为108°， ∴这个正多边形的每个外角等于72°． ∴=72°． ∴x=5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查的是弧长公式、多边形的内角与外角公式，正确掌握弧长的计算公式是解决本题的关键．求正多边形的边数时，内角转化为外角，利用外角和360°知识求解更简单． 57．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，，，将绕点C逆时针旋转到 的位置，点B的对应点D首次落在斜边上，则点A的运动路径的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，弧长的计算，直角三角形的性质，由旋转的性质可求 ，可证是等边三角形，可得，由弧长公式可求解． 【详解】解： ∵将绕点C逆时针旋转到的位置， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴点A的运动路径的长为， 故答案为：． 【考点题型十六】利用扇形面积公式求解 58．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）已知扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为 ．（结果保留） 【答案】/ 【分析】本题考查了扇形的面积公式，利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：扇形的面积为 故答案为：． 59．（21-22九年级上·江苏南京·期末）如图，扇形OAB是一个圆锥的侧面展开图，∠AOB＝120°，的长为6πcm，则该圆锥的侧面积为 cm2（结果保留π） ． 【答案】27π 【分析】首先求得扇形的半径长，然后求得扇形的面积即可． 【详解】解：设cm 的长为6πcm， 解得：cm 圆锥的侧面积为cm2 故答案为：27π． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记圆锥的有关计算公式，难度不大． 60．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，一扇形纸扇完全打开后，和的夹角为，长为，贴纸部分的宽为．    (1)求弧的长度； (2)求纸扇上贴纸部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查弧长公式，扇形的面积等知识，解题的关键是记住弧长公式，扇形的面积公式，属于中考常考题型． （1）利用弧长公式求解即可， （2）求出两个扇形面积的差即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ，， ， ， ， 贴纸部分的面积． 【考点题型十七】求不规则的图形面积 61．（22-23九年级上·甘肃定西·期末）如图，已知直线经过上的点，且． (1)求证：直线是的切线． (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得出再根据切线的判定定理可得出结论； （2）求出的长和的度数，根据勾股定理求出和长 ，再求出答案即可． 【详解】（1）证明：连接， ，， ， ∵是的半径， 是的切线． （2）解： ， ∴， ∵， ∴， 同理，， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得，， 阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，切线的判定，扇形面积的计算等知识，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． 62．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，为的直径，弦于点E，连接，，，F为中点，且． (1)求的长； (2)当时， ① ； ②求阴影部分的周长和面积． 【答案】(1)2 (2)①；②周长，面积 【分析】（1）根据圆周角定理可得，再根据三角形中位线定理可得，，从而求得的值，最后根据垂径定理即可得出； （2）①根据含角度直角三角形和勾股定理可得的长，再根据垂径定理即可求得的长； ②连接，圆周角定理可得，从而可得，再根据含角度直角三角形和勾股定理可得的长，最后根据扇形的面积公式和弧长公式即可解题． 【详解】（1）解：为的直径， ， 为中点，O为中点， 且， ， ， ∵弦于点E， ， ； （2）解：①∵弦于点E， ，， ，， ，， ． 故答案为：； ②连接， ，， ， ． 在， ，，， ，， 的长， 阴影部分的周长， 阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了圆周角定理，含角度直角三角形，三角形中位线定理，勾股定理，垂径定理，扇形面积公式，扇形的面积公式和弧长公式，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 63．（2024·浙江杭州·一模）如图（1）是瓦片做成的窗花，可以从中分离出一朵“花”的图案，如图（2），它是由八片相同的瓦片组成，其中间四片“对扣”，外围截面恰好抽象成一个圆，如图（3），点A，B，C，D表示瓦片的交接点． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)若厘米，求图（3）中阴影部分的面积．（结果保留π） 【答案】(1)四边形为正方形，理由见解析 (2)平方厘米 【分析】本题考查与圆有关的计算，正方形的判定和性质，掌握正方形的性质，圆面积、正方形面积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据圆周角定理以及正方形的判定方法进行解答即可； （2）根据圆面积，正方形的面积与阴影部分面积之间的关系进行计算即可． 【详解】（1）证明：四边形是正方形，理由如下： 如图，连接，，，，则， 由题意可知，， ，， ， ， 四边形是正方形； （2）解：在中，，， ， 平方厘米． 答：阴影部分面积为平方厘米． 64．（23-24九年级上·湖北·阶段练习）有一张半径为2的圆形纸片． (1)如图（1），先将纸片沿直径左右翻折，再上下翻折，刚好完全重合，然后平铺展开，则的大小是______；在上任取一点C（异于A，B），则的大小是______； (2)如图（2），将纸片沿一条弦翻折，使其劣弧恰好经过圆心O，作出直径，则图中阴影部分的面积是______； (3)如图（3），是的直径，将劣弧沿弦翻折，交于点D，再将劣弧沿直径翻折，交于点E，若点E恰好是翻折后的劣弧的中点，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)；或； (2)； (3)． 【分析】（1）根据折叠的性质可得，进而根据圆周角定理以及圆内接四边形对角互补，即可求解； （2）作交于点E，交于点D，连接，，得出是等边三角形，进而根据阴影部分的面积即为的面积，即可求解． （3）首先添加辅助线，利用圆周角定理证明线段，设，则，构建方程求出，再通过解直角三角形求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：根据折叠了2次，则， 如图（1）所示， 当点C在优弧上时，， 当点C在上时，，    故答案为：；或． （2）解：如图（2）所示，作交于点E，交于点D，连接，，，    由折叠可知，， ， ， ，， ， ， 和是等边三角形， ， ∴弓形的面积等于弓形的面积， ∴扇形的面积等于扇形的面积， ∴阴影部分的面积即为的面积； ，则， ， ， ∴阴影部分面积， 故答案为：； （3）解：如图（3），连接，过点C作于H，    ， ， ， ， ∵E是的中点， ， ， ， 设， 则， ， 是直径， ， ， ， ， ，， ，则是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ∴弓形，的面积相等， ∴阴影部分面积为． 【点睛】本题主要考查圆周角定理、等腰直角三角形判定和性质、解直角三角形、扇形的面积等知识，学会添加常用辅助线，利用特殊角解决问题是解答本题的关键． 【考点题型十八】利用圆锥的侧面积公式求解 65．（23-24九年级下·浙江杭州·开学考试）如图，用一个圆心角为的扇形围成一个无底的圆锥． (1)若圆锥的母线长为，求圆锥的侧面积． (2)若圆锥底面圆的半径为，求扇形的半径． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据扇形面积公式计算； （2）根据弧长公式计算． 本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图、扇形面积公式、弧长公式是解题的关键． 【详解】（1）解：圆锥的母线长为， 扇形的半径为， 扇形面积为：， 圆锥的侧面积为； （2）解：设扇形的半径为， 圆锥底面圆的半径为， 圆锥底面圆的周长为， 扇形弧长为， 则， 解得：， ∴扇形的半径为． 66．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，圆形铁皮的半径为，从中剪出一个圆心角的扇形，点都在上． (1)求扇形的面积； (2)将这个扇形围成一个圆锥，直接写出圆锥的底面半径和高． 【答案】(1) (2)圆锥的底面半径为，高为 【分析】（1）先判断过圆心O，，然后由勾股定理求扇形的半径，再根据面积公式求解即可； （2）利用底面周长等于展开图的弧长，可求得半径径的长度，然后利用勾股定理即可求出圆锥的高． 【详解】（1）连接，， ∵， ∴过圆心O， ∴， ∵从中剪出一个圆心角的扇形， ∴． ∵， ∴， ∴扇形半径为； ∴； （2）设围成圆锥的底面半径为r，则， 解得， ∵圆锥的母线长， ∴圆锥的高为． 【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：①圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；②圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求出是解题的关键． 67．（22-23九年级上·河南周口·期末）图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装雷要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，，将扇形EAF围成圆锥时，AE，AF恰好重合，已知圆锥的底面圆直径 ，母线长 ． (1)求这种加工材料的顶角的大小． (2)求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据圆锥侧面展开图的扇形面积公式，即可求解； （2）分别求得和扇形的面积，进而即可求解． 【详解】（1）解：设，依题意， ∴， ∴； （2）解：设加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积为， ∵，是等腰直角三角形， ∴， ∴, ∴ 【点睛】本题考查了圆锥侧面积公式，扇形面积公式，掌握扇形面积公式是解题的关键． 【考点题型十九】圆锥的实际问题 68．（22-23九年级上·湖北荆州·阶段练习）如图，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面圆的半径为4m，高为3m． (1)求这个圆锥的母线长； (2)为了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，所需油毡的面积至少是多少？（π取3.14，结果精确到1m2） 【答案】(1)5m (2)63m2 【分析】（1）如图，构造Rt，为圆锥的高，为圆锥底面圆的半径，为圆锥的母线长，根据勾股定理进而得出结论； （2）先求出顶部圆锥的底面圆周长，再求出圆锥的侧面积即可求出所需油毡的面积． 【详解】（1）如图，圆锥的轴截面为， 为圆锥的高，为圆锥底面圆的半径，为圆锥的母线长， 由题意可知，m，m， ∴母线长m； （2）顶部圆锥的底面圆周长为m， ∴圆锥的侧面积为m2， ∴所需油毡的面积至少是m2． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积和顶部圆锥的底面圆周长，正确掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键． 69．（23-24九年级下·山东聊城·阶段练习）在如图 ①所示的正方形铁皮中剪下一个圆形和一个扇形，使之恰好围成如图 ②所示的底面直径尽可能大的圆锥模型，设圆形的半径为，扇形的半径为，试探索和之间的关系． 【答案】 【分析】 本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是利用题目已知条件得到扇形的弧长和圆的周长之间的关系．根据围成圆锥后圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，列出关系式即可得到两个半径之间的关系． 【详解】 解：∵恰好围成图2所示的一个圆锥模型， ∴圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长， ∴， 解得：． 70．（2022·湖南邵阳·模拟预测）在一次科学探究实验中，小明将半径为的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形． (1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线长为，开口圆的直径为．当滤纸片重叠部分三层，且每层为圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明； (2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为，开口圆的直径为，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？ 【答案】(1)能，见解析 (2) 【分析】此题考查了圆锥侧面积实际应用． （1）证明表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等．即可得到结论； （2）求出扇形弧长为，则圆心角为，滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为，由重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半，进一步即可得到滤纸重叠部分每层面积． 【详解】（1）解：如图所示： ∵表面紧贴的两圆锥形的侧面展开图为圆心角相同的两扇形， ∴表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等． 由于滤纸围成的圆锥形只有最外层侧面紧贴漏斗内壁，故只考虑该滤纸圆锥最外层的侧面和漏斗内壁圆锥侧面的关系． 将圆形滤纸片按图示的步骤折成四层且每层为圆， 则围成的圆锥形的侧面积． ∴它的侧面展开图是半圆，其圆心角为度， 如将漏斗内壁构成的圆锥侧面也抽象地展开，展开的扇形弧长为：， 该侧面展开图的圆心角为． 由此可以看出两圆锥的侧面展开得到的扇形，它们的圆心角相等． ∴该滤纸围成的圆锥形必能紧贴漏斗内壁． （2）如果抽象地将母线长为，开口圆直径为的特殊规格的漏斗内壁圆锥侧面展开，得到的扇形弧长为， 圆心角为， 滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为， 又∵重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半， ∴滤纸重叠部分每层面积． 【考点题型二十】圆锥侧面上的最短路径 71．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (2)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 【答案】(1) (2)这根绳子的最短长度为 【分析】（1）结合侧面展开图是以6为半径，为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角； （2）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得绳子的最短长度为的距离． 本题考查圆锥的几何性质，勾股定理、垂直定理，属于基础题． 【详解】（1）解： 设的度数为， 底面圆的周长等于， 解得． （2）解：连接，过作于， ∴， ∵由（1）得 ∴ ∵ 则 由， ∴， ∴， ∴， 即这根绳子的最短长度是． 72．（22-23九年级上·广西南宁·期末）综合与实践 问题情境：如图1，将一个底面半径为的圆锥侧面展开，可得到一个半径为，圆心角为的扇形.工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料. (1)探索尝试：图1中，圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长________；（填“相等”或“不相等”）若，，则________. (2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求的值，请用含，的式子表示； (3)拓展延伸：图2是一种纸质圆锥形生日帽，，，是中点，现要从点到点再到点之间拉一装饰彩带，求彩带长度的最小值. 【答案】(1)相等， (2) (3) 【分析】（1）根据圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等，得出之间的关系，进而即可求解； （2）根据，即可求解； （3）根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等； ∵，，， ∴， 故答案为：相等，． （2）由圆锥的底面周长等于扇形的弧长 得： ∴ （3）∵，， ∴， ∴圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为 ∴ ∵ ∴ ∴在中，， ∴彩带长度的最小值为 【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键． 73．（22-23九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图1，等腰三角形中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值也就确定了，我们把这个比值记作，即 ，当时，如． (1)　 　，　 　，的取值范围是 　 　； (2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，） 【答案】(1) (2)20.7 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可； （2）先根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，可求扇形的圆心角；再根据的定义即可解答． 【详解】（1）解：如图1， ，则， ∴， 如图2， ，作于D，则， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：∵圆锥的底面直径， ∴圆锥的底面周长为，即侧面展开图扇形的弧长为， 设扇形的圆心角为， 则，解得， ∵， ∴蚂蚁爬行的最短路径长为． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、圆锥的侧面展开图、弧长公式等知识点，掌握相关性质定理和的定义是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$