19.5反比例函数同步练习 2024-2025学年北京版数学九年级上册

19.5反比例函数 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列各点中，在反比例函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 2．若点A(2,3)在反比例函数y=的图象上,则该图象一定经过点 (     ) A．(-2,3) B．(1,-6) C．(-3,-2) D．(3,3) 3．下列式子中，y是x的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 4．下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 5．点A（-1，y1），B（2，y2），在反比例函数y=的图象上，则下列结论正确的是（） A．0<y2<y1 B．0<y1<y2 C．y2<0<y1 D．y1<0<y2 6．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 7．已知压力F、受力面积S、压强P之间的关系是．则下列说法不正确的是（    ） A．当压强P为定值时，压力F与受力面积S成正比函数关系； B．当压强P为定值时，受力面积S越大，压力F也越大； C．当压力F为定值时，压强P与受力面积S成正比例函数关系； D．当压力F为定值时，压强P与受力面积S成反比例函数关系． 8．下列函数中，是反比例函数的为（　　） A． B． C． D． 9．下列各点在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 10．若函数为反比例函数，则＝（　　） A．1 B．0 C．0或﹣1 D．﹣1 11．已知点A（x1，﹣1），B（x2，2），C（x3，3）都在反比例函数y的图象上，那么x1，x2，x3的大小关系是（　　） A．x1＞x2＞x3 B．x1＞x3＞x2 C．x3＞x2＞x1 D．x2＞x3＞x1 12．在反比例函数的图象上有两点（1，y1），（﹣2，y2），则y1﹣y2的值是(    ) A．负数 B．非正数 C．正数 D．不能确定 二、填空题 13．已知点，在反比例函数的图象上，则 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，已知的直角顶点在轴上，，反比例函数在第一象限的图像经过边上点和的中点，连接.若，则实数的值为 ． 15．若点A（a，b）在双曲线y＝上，则代数式ab﹣4的值为 ． 16．已知，那么 ． 17．已知函数是y关于x的反比例函数，则 ． 三、解答题 18．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标（4，2），过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别于AB，BC交于点M，N． （1）求直线DE的解析式和点M的坐标； （2）若反比例函数y=（x＞0）的图象经过点M，求该反比函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上． 19．类比学习反比例函数的过程与方法，进一步研究函数的图象与性质，探究过程如下： x … ―3 ―2 ―1 1 2 3 … y … m 2 4 4 2 1 … (1)①列表：其中，m的值为______； ②如图，在平面直角坐标系中，根据描出的点．已画出部分图像，请补全函数图像： ③根据函数图象，写出该函数的一条性质______． (2)利用图像直接写出当时，x的取值范围是______． 20．某小型开关厂准备投入一定的经费用于现有生产设备的改造以提高经济效益．通过测算，开关的年产量y万只与投入改造经费x万元之间满足：与成反比例，且当投入改造经费1万元时，年产量是2万只．求年产量y与投入改造经费x之间的函数表达式． 21．已知，若与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)求当时，y的值． 22．如图，王大爷准备用栅栏围建一个面积为的矩形养鸡场，其中一边靠墙，墙长为．设的长为，的长为． (1)求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)现有两种方案，或，试选出合理的设计方案，并求出栅栏的总长． 23．已知：关于x的一元二次方程 （k是整数）． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2），设，判断y是否为变量k的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由． 24．在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若两垂线与坐标轴围成矩形的周长C数值和面积S数值相等，则称这个点为“等值点”，例如：点，因为，，所以A是“等值点”． (1)在点，，中，是“等值点”的有：_____； (2)若点E为双曲线，上任意一点，将点E向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点F，求证：点F为“等值点”； (3)若一次函数的图象在第一象限内有两个“等值点”，求b的取值范围． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C D D C C C D D 题号 11 12 答案 B C 1．A 【分析】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，反比例函数图象上的点的横、纵坐标之积等于比例系数，由此逐项判断即可． 【详解】解：反比例函数图象上的点的横、纵坐标之积为3， A．，在反比例函数图象上，符合题意； B．，不在反比例函数图象上，不合题意； C．，不在反比例函数图象上，不合题意； D．，不在反比例函数图象上，不合题意； 故选A． 2．C 【分析】将A（2，3）代入y=，求出k的值，再根据k=xy对各项进行逐一检验即可． 【详解】∵反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象经过点（2，3），∴k=2×3=6， ∴符合此条件的只有C（-3，-2），k=（-3）×（-2）=6． 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上． 3．C 【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是y＝（k≠0），即可判定各函数的类型是否符合题意． 【详解】A、是正比例函数，错误； B、不是反比例函数，错误； C、是反比例函数，正确； D、不是反比例函数，错误． 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的定义特点，反比例函数解析式的一般形式为：y＝（k≠0）． 4．D 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的解析式判断即可． 【详解】解：反比例函数的解析式的形式为：且k为常数，因而可知选项D是反比例函数，其余选项均不是反比例函数． 故选：D． 5．D 【分析】根据反比例函数解析式求出y1和y2的值，再进行比较即可． 【详解】解：∵A（-1，y1），B（2，y2），在反比例函数y=的图象上， ∴，． ∴y1<0<y2． 故选：D． 【点睛】本题考查求反比例函数值，实数的大小比较，熟练掌握这些知识点是解题关键． 6．C 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，函数（是常数，）叫做反比例函数．根据反比例函数的定义即可判断． 【详解】解：A. 是正比例函数，故A不符合题意； B. 是二次函数，故B不符合题意； C. ，y是x的反比例函数，故C符合题意； D. ，y不是x的反比例函数，故D不符合题意． 故选：C． 7．C 【分析】根据正比例函数关系和反比例函数关系的定义进行判断即可． 【详解】解：A．在中，当压强P为定值时，压力F与受力面积S成正比函数关系，故选项正确，不符合题意； B．在中，当压强P为定值时，受力面积S越大，压力F也越大，故选项正确，不符合题意； C．在中，当压力F为定值时，压强P与受力面积S成反比例函数关系，故选项不正确，符合题意； D．在中，当压力F为定值时，压强P与受力面积S成反比例函数关系，故选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了正比例函数关系和反比例函数关系，熟练掌握正比例函数关系和反比例函数关系的定义是解题的关键． 8．C 【分析】根据反比例函数的定义，形如的函数是反比例函数对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A. ，不符合反比例函数的一般形式，不是反比例函数，故A错误； B. ，不符合反比例函数的一般形式，不是反比例函数，故B错误； C. ，符合反比例函数的一般形式，是反比例函数，故C正确； D. ，不符合反比例函数的一般形式，不是反比例函数，故D错误. 故选C 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的一般式是是解题的关键． 9．D 【分析】将各点的横坐标代入解析式求出函数值，与各点纵坐标相比较即可判断． 【详解】解：A.当时，，故该点不在反比例函数图象上； B. 当时，，故该点不在反比例函数图象上； C. 当时，，故该点不在反比例函数图象上； D. 当时，，故该点在反比例函数图象上； 故选：D． 【点睛】此题考查了反比例函数的图象和性质，正确理解点的横坐标与纵坐标符合解析式是解题的关键． 10．D 【分析】根据反比例函数的定义解答即可． 【详解】∵函数为反比例函数， ∴， 解得：或， 又∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握此定义是解题的关键． 11．B 【分析】根据函数解析式算出三个点的横坐标，再比较大小． 【详解】解：∵点A（x1，﹣1），B（x2，2），C（x3，3）都在反比例函数y的图象上， ∴x1＝﹣1÷（﹣1）＝1，x2＝﹣1÷2，x3＝﹣1÷3． ∴x1＞x3＞x2， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握根据函数析式，求点坐标． 12．C 【分析】算出y1，y2的值，求出其差即可得出答案． 【详解】∵点（1，y1），（﹣2，y2）在反比例函数的图象上，∴y1==2，y2==－1，y1﹣y2＝2－（－1）=3＞0． 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征的应用，主要考查学生的计算能力． 13． 【分析】本题考查反比例函数上点的坐标特征，掌握反比例函数上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：把，代入得：， 解得： 故答案为：． 14． 【分析】先根据含30°的直角三角形得出点B和点D的坐标，再根据△OAC面积为4和点C在反比例函数图象上得出k． 【详解】在Rt△OAB中，∠B=30°， ∴可设OA=a，则AB=OA=a， ∴点B的坐标为（a，a）， ∴直线OB的解析是为y＝x ∵D是AB的中点 ∴点D的坐标为（a，a） ∴k=a2 又∵S△OAC=4， ∴OA•yc=4，即•a•yc=4， ∴yc= ∴C（，） ∴k=•= ∴ ∴a2=16， ∴k=a2=8． 故答案为8． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象和性质，熟练运用30°直角三角形的性质与反比例函数k的几何意义是解题的关键． 15．﹣1 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k＝xy，由此求得ab的值，然后将其代入所求的代数式进行求值即可． 【详解】解：∵点A(a，b)在双曲线y＝上， ∴3＝ab， ∴ab﹣4＝3﹣4＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数(k是常数，k≠0)的图象是双曲线，图象上的点(x，y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k． 16． 【分析】将代入解析式，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查求反比例函数的函数值．熟练掌握二次根式的除法法则，是解题的关键． 17． 【分析】根据反比例函数的定义可得且，由此求的值即可． 【详解】解：∵函数y是y关于x的反比例函数， ∴ 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的一般形式是，也可以写成或．解题的关键是牢记反比例函数的定义． 18．（1），M（2，2）；（2），在． 【详解】试题分析：（1）设直线DE的解析式为，将D（0，3），E（6，0）代入，解方程即可求出直线DE的解析式；由矩形的性质可得M点与B点纵坐标相等，将y=2代入直线DE的解析式，求出x的值，即可得到M的坐标； （2）将点M（2，2）代入，即可求出反比函数的解析式，再由直线DE的解析式求出N点坐标，进而判断点N是否在该函数的图象上． 试题解析：（1）设直线DE的解析式为，∵D（0，3），E（6，0），∴，解得：，∴直线DE的解析式为；当y=2时，，解得x=2，∴M的坐标为（2，2）； （2）∵反比例函数（x＞0）的图象经过点M（2，2），∴m=2×2=4，∴该反比函数的解析式是；∵直线DE的解析式为，∴当x=4时，y=×4+3=1，∴N点坐标为（4，1），∵4×1=4，∴点N在函数的图象上． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 19．(1)①1；②见解析；③当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小(答案不唯一) (2)或 【分析】(1)①把x=-2代入，即可求得m的值；②首先描点，再连线即可画得；③根据函数图象即可写得； (2)根据函数图象及表格即可求得． 【详解】（1）解：①把x=-2代入， 得， 故答案为：1； ②画图如下： ③当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； 故答案为：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小(答案不唯一)； （2）解：当时，即， 得， 或 故答案为：或． 【点睛】本题考查了画函数图象的方法，求函数的解析式，根据函数图象写出函数的性质，求自变量的取值范围，采用数形结合的思想是解决此类题的关键． 20． 【分析】设，求出的值，化简即可． 【详解】解：由题意得：设 ∵当投入改造经费1万元时，年产量是2万只 ∴ 解得： ∴ 即： 【点睛】本题考查反比例关系．根据题意正确设出关系式即可． 21．(1) (2) 【分析】本题考查的是正比例与反比例的含义，利用待定系数法求解函数解析式，掌握待定系数法是解本题的关键； （1）由题意可设设，，再利用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中所求函数解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：设，， 则 当时，；当时，． 解得： （2）当时，． 22．(1)， (2)栅栏总长． 【分析】本题主要考查了反比例函数．解决本题的关键是根据矩形的面积公式得到矩形的长与宽之间的函数关系式，并根据墙的长度确定自变量的取值范围． （1）根据矩形的面积公式和矩形的长为、宽为得到求与之间的函数关系式是，再根据墙的长度确定的取值范围； （2）分别求出当和时对应的值分别是和，当时超过了墙的长度，所以应选当，并根据矩形的周长公式求出此时栅栏的长度． 【详解】（1）解：矩形的面积为， ， 整理得：， 墙的长度是， ， ， 解得：， 自变量的取值范围是； （2）解：当时，， 矩形的长为，宽为， 此时墙的长度恰好够用； 当时，， 矩形的长为， 此时墙的长度不够用， 选比较合理， 当时， 此时栅栏的部总长为：， 答：栅栏的总长为． 23．（1）见解析（2）y是变量k的函数. 【分析】（1）根据一元二次方程定义得k≠0，再计算△得，而k是整数，则2k－1≠0，得到△＞0，根据△的意义即可得到方程有两个不相等的实数根， （2）先根据求根公式求出一元二次方程的解为x=3或x=，而k是整数，x1＜x2，则有x1=，x2=3，代入得到即可得出结论， 【详解】（1）方程是一元二次方程， ∴k≠0， ， ∵k是整数， ∴k≠，2k－1≠0， ∴＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）y是k的函数， 解方程得：， ∴x=3或x=， ∵k是整数， ∴≤1， ∴≤2＜3， 又∵x1＜x2， ∴x1=，x2=3， ∴， ∴y是变量k的函数. 24．(1)D； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）根据“等值点”的定义分别进行判断即可； （2）由点E为双曲线，上任意一点可设点，将点E向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点F，则点F的坐标是，根据“等值点”的定义进行计算后即可证明； （3）设一次函数的图象在第一象限内“等值点”坐标为，由“等值点”的定义得到，由在第一象限内有两个“等值点”得到，，即可得到b的取值范围． 【详解】（1）解：点，因为，， ∴， ∴不是“等值点”； 点，因为，， ∴， ∴不是“等值点”； 点，因为，， ∴， ∴是“等值点”, 故答案为： （2）∵点E为双曲线()上任意一点， ∴可设点， 将点E向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点F， 则点F的坐标是， ∵，， ∴， ∴点F为“等值点”． （3）设一次函数的图象在第一象限内“等值点”坐标为， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∵在第一象限内有两个“等值点”， ∴，， ∴． 【点睛】此题是新定义题，考查了一次函数和反比例函数的性质，分式的混合运算，一元二次方程根的判别式和根与系数关系，读懂题意，准确计算是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$