8.3.3概率与统计的综合问题学案-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019） 选择性必修第三册

培优课　概率与统计的综合问题 课标要求　1.理解频率分布直方图、回归分析以及独立性检验的相关知识. 2.掌握二项分布、超几何分布以及正态分布的相关结论. 3.会应用概率、统计的相关知识解决概率与统计的交汇问题. 一、统计图表与概率的交汇问题 例1 “过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗，春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，检测结果的频率分布直方图如图所示. (1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (2)①由频率分布直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，利用该正态分布，求Z落在(38.45，50.4]内的概率； ②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中该项质量指标值位于(10，30]内的包数为X，求X的分布列、数学期望及方差. 附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的该项质量指标值的标准差为σ＝≈11.95； ②若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ＜Z≤μ＋2σ)≈0.954 5. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 思维升华　此类型考题重点考查了超几何分布、二项分布以及正态分布的概率运算及分布列的求解，同时也渗透了频率分布直方图的相关知识，难度中等. 训练1 为了解游客对“十一”小长假的旅游情况是否满意，某旅行社从年龄(单位：岁)在[22，52]内的游客中随机抽取了1 000人，并且作出了各个年龄段的频率分布直方图如图所示，同时对这1 000人的旅游结果满意情况进行统计得到下表： 分组 满意的人数 占本组的频率 [22，27) 30 0.6 [27，32) n 0.95 [32，37) 120 0.8 [37，42) 432 m [42，47) 144 0.96 [47，52] 96 0.96 (1)求统计表中m和n的值； (2)从年龄在[42，52]内且对旅游结果满意的游客中，采用分层随机抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人做进一步调查，记4人中年龄在[47，52]内的人数为X，求X的分布列和均值. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 二、回归分析与概率的交汇问题 例2 数据显示，中国在线直播用户规模及在线直播购物规模近几年都保持高速增长态势，下表为2020～2024年中国在线直播用户规模(单位：亿人)，其中2020年～2024年对应的代码依次为1～5. 年份代码x 1 2 3 4 5 市场规模y 3.98 4.56 5.04 5.86 6.36 参考数据：＝5.16，＝1.68，viyi＝45.10，其中vi＝. 参考公式：对于一组数据(v1，y1)，(v2，y2)，…，(vn，yn)，其回归直线＝＋的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－. (1)由上表数据可知，可用函数模型y＝ ＋拟合y与x的关系，请建立y关于x的经验回归方程(，的值精确到0.01)； (2)已知中国在线直播购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率为p，现从中国在线直播购物用户中随机抽取4人，记这4人中选择在品牌官方直播间购物的人数为Z，若P(Z＝3)＝P(Z＝4)，求Z的分布列与期望. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 思维升华　此类题型重点考查经验回归方程以及相关系数的求解，常与概率统计知识结合考查. 训练2 “支付宝捐步”已经成为当下最热门的健身方式之一.55岁的老王在了解了捐步功能以后开启了自己的捐步计划，可知其在捐步的前5天，捐步的步数与天数呈线性相关. 第x天 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 步数y 4 000 4 200 4 300 5 000 5 500 (1)根据上表数据，建立y关于x的经验回归方程＝x＋； (2)记由(1)中经验回归方程得到的预测步数为y′，若从5天中任取3天，记y′＜y的天数为Z，求Z的分布列及数学期望. 附：＝，＝－. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 三、独立性检验与概率的交汇问题 例3 从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有A材料、B材料可供选择，研究人员对附着在A材料、B材料上的石墨各做了50次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图. (1)根据等高堆积条形图填写如下列联表，并判断在犯错误的概率不超过0.01的前提下，能否认为试验结果与材料有关？ 试验结果 材料 总计 A B 成功 不成功 总计 (2)研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV胶层；②石墨烯层；③表面封装层.第一、二环节生产合格的概率均为，第三环节生产合格的概率为，且各生产环节相互独立.已知生产1吨石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，第三环节的修复费用为3 000元，其余环节的修复费用均为1 000元.试问：如何定价，才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利可达1万元以上的目标？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 思维升华　此类题型以2×2列联表为载体，考查独立性检验与概率中的二项分布、超几何分布以及正态分布的交汇知识，是高考的常考知识点. 训练3 为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有40人，不超过100 km/h的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有20人，不超过100 km/h的有25人. (1)完成下面的列联表，并判断在犯错误的概率不超过0.01的前提下，能否认为车速与性别有关； 性别 车速 总计 平均车速超过100 km/h 平均车速不超过100 km/h 男性 女性 总计 (2)用上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100 km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学科网（北京）股份有限公司 $$