8.2.3指数函数模型与幂函数模型学案-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019） 选择性必修第三册

培优课　指数函数模型与幂函数模型 课标要求　1.进一步掌握一元线性回归模型参数的统计意义. 2.了解非线性回归模型. 3.会通过分析残差和利用R2判断回归模型的拟合效果. 一、指数型函数模型y＝aecx(a>0) 例1 为了研究某种细菌随时间x变化繁殖的个数，收集数据如下： 天数x/天 1 2 3 4 5 6 繁殖个数y/个 6 12 25 49 95 190 (1)用天数作解释变量，繁殖个数作响应变量，作出这些数据的散点图，根据散点图判断y＝a＋bx与y＝c1ec2x哪一个作为繁殖的个数y关于时间x变化的回归方程类型最佳.(给出判断即可，不必说明理由) (2)根据(1)中判断的最佳回归方程及表中的数据，建立y关于x的回归方程. (xi－)2 (xi－)·(yi－) (xi－)·(zi－) 3.5 62.83 3.53 17.5 596.505 12.04 其中zi＝ln yi，＝zi. 参考公式：＝，＝－. (3)试估计第7天细菌繁殖的个数.(参考数据e5.945≈382) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 思维升华　1.散点图在如图所示的曲线附近，可选择y＝a·dcx进行拟合. 2.本题的关键是两边取对数得ln y＝ln ebx＋a，即ln y＝bx＋a.令z＝ln y，把原始数据(x，y)转化为(x，z)，再根据线性回归模型的方法求出a，b.其实质是经过变换，转化为求线性经验回归方程，最后进行还原. 　训练1 某景区的各景点从2013年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变.下表是从2013年至2022年，该景点的旅游人数y(万人)与年份x的数据： 第x年 1 2 3 4 5 旅游人数(万人) 300 283 321 345 372 第x年 6 7 8 9 10 旅游人数(万人) 435 486 527 622 800 该景点为了预测2025年的旅游人数，建立了y与x的两个回归模型. 模型①：由最小二乘法公式求得y与x的经验回归方程＝50.8x＋169.7； 模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线y＝aebx的附近. (1)根据表中数据，求模型②的经验回归方程＝aebx(a精确到个位，b精确到0.01)； (2)根据下表中的数据，比较两种模型的决定系数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2025年该景区的旅游人数(单位：万人，精确到个位). 经验回归方程 ①＝50.8x＋169.7 ②＝aebx (yi－i)2 30 407 14 607 参考公式、参考数据及说明： ①对于一组数据(v1，w1)，(v2，w2)，…，(vn，wn)，其经验回归直线＝＋v的斜率和截距的最小二乘法估计分别为＝，＝－. ②刻画回归效果的决定系数R2＝1－. ③参考数据：e5.46≈235，e1.43≈4.2. (xi－)2 (xi－)·(yi－) (xi－)·(ui－) 5.5 449 6.05 83 4 195 9.00 表中ui＝ln yi，＝ui. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 二、幂函数型模型y＝αxβ(α>0) 例2 “绿水青山就是金山银山”的理念推动了新能源汽车产业的迅速发展.以下表格和散点图反映了近几年我国某新能源乘用车的年销售量情况. 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 某新能源乘用车年销售量y/万辆 1.5 5.9 17.7 32.9 55.6 (1)请根据散点图判断，y＝bx＋a与y＝cx2＋d中哪一个更适宜作为年销售量y关于年份代码x的回归方程类型.(给出判断即可，不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程，并预测2025年我国该新能源乘用车的年销售量.(精确到0.1) 参考数据：＝22.72，(wi－)2＝374，(wi－)(yi－)＝851.2(其中wi＝x). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 思维升华　幂函数型y＝bxn＋a(n为常数，a，b，x，y均取正值) 设x′＝xn，原方程可化为y＝bx′＋a，再根据求线性回归模型的方法求出a，b. 训练2 某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本y(元)与生产该产品的数量x(千件)有关，经统计得到如表数据： x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 112 61 44.5 35 30.5 28 25 24 根据以上数据，绘制了散点图. 观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型y＝a＋和指数函数模型y＝cedx分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的经验回归方程为＝96.54e－0.2x，ln y与x的样本相关系数r1＝－0.94. 参考数据： uiyi 2 u 183.4 0.34 0.115 1.53 yi y e－2 360 22 385.5 61.4 0.135 (1)用反比例函数模型求y关于x的非线性经验回归方程； (2)用样本相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好(精确到0.01)，并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本. 参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其经验回归直线＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－， 样本相关系数r＝. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【课堂达标】 1.给出下列说法：①以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出非线性经验回归方程，设z＝ln y，经计算得到经验回归方程z^＝0.3x＋4，则c，k的值分别是e4和0.3；②根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据，得到经验回归方程y^＝a^＋x，若＝2，＝1，＝3，则a^＝1；③若变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，且变量y与z正相关，则x与z也正相关.其中正确说法的个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 2.某校数学学习兴趣小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，由试验数据得到如图所示的散点图. 由此散点图，可以得出最适宜作为发芽率y和温度x的经验回归方程模型的是(　　) A.y＝a＋bx B.y＝a＋bln x C.y＝a＋bex D.y＝a＋bx2 3.若一函数模型为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将y转化为t的经验回归方程，需做变换t等于(　　) A.x2 B.(x＋a)2 C. D.以上都不对 4.在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y＝ebx＋a的周围.令＝ln y，求得经验回归方程为＝0.25x－2.58，则该模型的非线性经验回归方程为________. 学科网（北京）股份有限公司 $$