专题3.5 分式全章培优测试卷（必考点分类集训）-2024-2025学年八年级数学上册必考点分类集训系列（人教版）

第15章 分式全章培优测试卷 【人教版】 （考试时间：60分钟 试卷满分：100分） 考前须知： 1．本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，压轴题均有★标记。 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列代数式：①；②；③；④；⑤．其中分式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（3分）根据媒体报道，我国芯片设计已经突破5nm水准，但是芯片制程上却仅仅只有14nm国产生产线，14nm以下制程的芯片都不能依靠纯国产化进行自主研发，这就是我国芯片被卡脖子的尴尬现状．已知1nm＝0.000000001m，将14nm用科学记数法表示正确的是（　　） A．14×10﹣9m B．1.4×10﹣8m C．1.4×10﹣9m D．1.4×10﹣10m 3．（3分）若a＝﹣22，b＝2﹣2，，，则（　　） A．b＜a＜d＜c B．a＜b＜d＜c C．a＜c＜b＜d D．a＜b＜c＜d 4．（3分）下列分式从左到右的变形中正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）若把分式中的x，y的值都扩大3倍，那么分式的值将（　　） A．缩小 B．缩小 C．扩大3倍 D．扩大9倍 6．（3分）分式，，的最简公分母是（　　） A．（x2﹣x）（x+1） B．（x2﹣1）（x+1）2 C．x（x﹣1）（x+1）2 D．x（x+1）2 7．（3分）已知分式，当x＝2时，分式的值为零；当x＝﹣2时，分式无意义，则a+b的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．6 D．﹣6 8．（3分）若关于x的方程无解，则m＝（　　） A． B．或﹣2 C．5 D． 9．（3分★★★）我国是一个水资源贫乏的国家，每一个公民都应自觉养成节约用水的意识和习惯，为提高水资源的利用率，某住宅小区安装了循环用水装置．经测算，原来a天用水b吨，现在这些水可多用4天，现在每天比原来少用水（　　）吨． A． B． C． D． 10．（3分★★★★）若整式A＝m2+1，B＝m﹣1，以下结论中正确的有（　　） ①不论m为何值，分式总有意义； ②若分式值为非负数，则m≥1； ③若分式，则； ④分式值为正整数时，整数m的值为2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）下列分式中，最简分式的有　 　个． 12．（3分）若（2x﹣4）0﹣2（x﹣3）﹣1有意义，则x的取值范围是 　 　． 13．（3分）若，则A+B＝ 　 　． 14．（3分）若关于x的分式方程2有增根，则a的值为 　 　． 15．（3分★★★）若，则分式的值为 　 　． 16．（3分★★★★）若关于x的不等式组有且只有4个整数解，关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的和为 　 　． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．（6分）（1）计算：； （2）化简：． 18．（6分）解方程： （1）； （2）． 19．（6分）先化简，再求值：，在0＜a＜4中选一个整数求值． 20．（8分）阅读下述材料： 分式可以化为分母分别为x与x+3且分子都是常数的两个分式的差．为解决这个问题，可设（A、B为常数），由，可得，由此可得，解得，所以． 请用上述方法将化为分母分别为2x+1与x﹣2且分子都是常数的两个分式的差． 21．（8分）已知A＝m+n，B＝m2﹣n2，C＝m2﹣2mn+n2． （1）若，求C的值； （2）若A＝C＝5，求mn的值； （3）在（1）的条件下，且为整数，求整数m的值． 22．（8分★★★★）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． （1）下列分式中是“巧分式”的有 　 　（填序号）； ①；②；③． （2）若分式（m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为x﹣7，求m的值； （3）若分式的“巧整式”为1﹣x． ①求整式A． ②是“巧分式”吗？ 23．（10分★★★★）（1）班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90公里，队伍8：00从学校出发．苏老师因有事情，8：30从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地．问：大巴与小车的平均速度各是多少？ （2）某一工程，在工程招标时，接到甲乙两个工程队的投标书．施工一天需付甲工程队工程款1.5万元，付乙工程队工程款1.1万元．工程领导们根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案A：甲队单独完成这项工程刚好如期完成； 方案B：乙队单独完成这项工程比规定日期多用5天； 方案C：若甲乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成． 在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15章 分式全章培优测试卷 【人教版】 （考试时间：60分钟 试卷满分：100分） 考前须知： 1．本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，压轴题均有★标记。 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列代数式：①；②；③；④；⑤．其中分式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数． 【解答】解：①是分式，符合题意； ②不是分式，不符合题意； ③是分式，符合题意； ④不是分式，不符合题意； ⑤不是分式，不符合题意； ∴分式一共有2个， 故选：B． 2．（3分）根据媒体报道，我国芯片设计已经突破5nm水准，但是芯片制程上却仅仅只有14nm国产生产线，14nm以下制程的芯片都不能依靠纯国产化进行自主研发，这就是我国芯片被卡脖子的尴尬现状．已知1nm＝0.000000001m，将14nm用科学记数法表示正确的是（　　） A．14×10﹣9m B．1.4×10﹣8m C．1.4×10﹣9m D．1.4×10﹣10m 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：1米＝1000000000纳米， 14纳米＝0.000000014米＝1.4×10﹣8米． 故选：B． 3．（3分）若a＝﹣22，b＝2﹣2，，，则（　　） A．b＜a＜d＜c B．a＜b＜d＜c C．a＜c＜b＜d D．a＜b＜c＜d 【分析】首先根据负整数指数幂、零指数幂、有理数的乘方的运算方法，求出a、b、c、d的值；然后根据有理数大小比较的方法排序即可． 【解答】解：a＝﹣22＝﹣4，b＝2﹣2，4，1， ∵﹣41＜4， ∴a＜b＜d＜c． 故选：B． 4．（3分）下列分式从左到右的变形中正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、，故A不符合题意； B、，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、（a≠0），故D不符合题意； 故选：B． 5．（3分）若把分式中的x，y的值都扩大3倍，那么分式的值将（　　） A．缩小 B．缩小 C．扩大3倍 D．扩大9倍 【分析】根据题意，得出将该分式中x和y都扩大3倍后的分式，再化简，即可解答． 【解答】解：把分式中的x，y的值都扩大3倍为， ∴把分式中的x，y的值都扩大3倍，分式的值缩小， 故选：B． 6．（3分）分式，，的最简公分母是（　　） A．（x2﹣x）（x+1） B．（x2﹣1）（x+1）2 C．x（x﹣1）（x+1）2 D．x（x+1）2 【分析】先把分式的分母分解因式，再找出最简公分母即可． 【解答】解：∵x2﹣x＝x（x﹣1），x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），x2+2x+1＝（x+1）2， ∴分式，，的最简公分母是x（x﹣1）（x+1）2． 故选：C． 7．（3分）已知分式，当x＝2时，分式的值为零；当x＝﹣2时，分式无意义，则a+b的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．6 D．﹣6 【分析】根据分式等于零以及分式无意义的条件，列出方程，即可求解． 【解答】解：∵分式，当x＝2时，分式的值为零， ∴2+b＝0， 解得：b＝﹣2， ∵x＝﹣2时，分式没有意义， ∴2×（﹣2）+a＝0， 解得：a＝4， ∴a+b＝4﹣2＝2． 故选：A． 8．（3分）若关于x的方程无解，则m＝（　　） A． B．或﹣2 C．5 D． 【分析】先把分式方程化为整式方程，再考虑整式方程无解的情况以及分式方程无解的情况即可得出答案． 【解答】解：方程可化为， 方程两边同乘2（x﹣5），得2（x﹣1）＝﹣mx， 整理得（2+m）x＝2， 当2+m≠0时，x， ∵关于x的方程无解， ∴2+m＝0或， ∴m＝﹣2或m， 故选：B． 9．（3分）我国是一个水资源贫乏的国家，每一个公民都应自觉养成节约用水的意识和习惯，为提高水资源的利用率，某住宅小区安装了循环用水装置．经测算，原来a天用水b吨，现在这些水可多用4天，现在每天比原来少用水（　　）吨． A． B． C． D． 【分析】少用吨数＝原来每天用的吨数﹣现在每天用的吨数．关键描述语是：现在这些水可多用4天． 【解答】解：依题意得： ． 故选：D． 10．（3分）若整式A＝m2+1，B＝m﹣1，以下结论中正确的有（　　） ①不论m为何值，分式总有意义； ②若分式值为非负数，则m≥1； ③若分式，则； ④分式值为正整数时，整数m的值为2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①将A和B代入，当其分母不为0时求m的取值范围即可； ②将A和B代入，当它为非负数时求m的取值范围即可； ③将A和B代入，将m2用m表示出来，两边同时平方，将m4用m2表示出来，代入计算即可； ④将A和B代入，利用平方差公式化简为m+1，根据m﹣1的取值范围确定m﹣1可能值，从而求出m的值即可． 【解答】解：①， ∵m2+1≥1， ∴不论m为何值，分式总有意义， ∴①正确； ②∵0， ∴m﹣1＞0， ∴m＞1， ∴②不正确； ③∵， ∴m（m2+1）， ∴m2（m2+1）2，即9m2＝m4+2m2+1， ∴m4＝7m2﹣1， ∴， ∴③不正确； ④m+1， ∵分式值为正整数， ∴m﹣1＞0， ∴m﹣1＝1或2， ∴m＝2或3， ∴④不正确． 综上，只有①正确． 故选：A． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）下列分式中，最简分式的有　1　个． 【分析】最简分式的标准是分子、分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【解答】解：， 5（x+y）， 是最简分式， 2a+b， 1， 则最简分式的有1个； 故答案为：1． 12．（3分）若（2x﹣4）0﹣2（x﹣3）﹣1有意义，则x的取值范围是 　x≠2且x≠3　． 【分析】根据零指数幂和负整指数幂的底数不为0可得2x﹣4≠0且x﹣3≠0，求解即可． 【解答】解：由题意得：2x﹣4≠0且x﹣3≠0， 解得：x≠2且x≠3， ∴若（2x﹣4）0﹣2（x﹣3）﹣1有意义，则x的取值范围是x≠2且x≠3， 故答案为：x≠2且x≠3． 13．（3分）若，则A+B＝ 　﹣1　． 【分析】根据分式加减的运算得到，再根据，得到，解出的A、B值，代入即可得到答案． 【解答】解：∵ ∴ ∴， 解得：， ∴A+B＝﹣1， 故答案为：﹣1． 14．（3分）若关于x的分式方程2有增根，则a的值为 　4　． 【分析】方程两边同时乘（x﹣3），把分式方程转化为整式方程，解出这个方程的解，根据分式方程有增根，所以7﹣a＝3，从而求出a的值． 【解答】解：方程两边同时乘（x﹣3）得：x+1＝2（x﹣3）+a， 解得：x＝7﹣a， ∵方程有增根， ∴x﹣3＝0， ∴x＝3， ∴7﹣a＝3， ∴a＝4， 故答案为：4． 15．（3分）若，则分式的值为 　　． 【分析】由已知条件得出3m﹣n＝2mn，再将要求的分式变形为，然后整体代入求值即可． 【解答】解：∵， ∴3m﹣n＝2mn， ∴ ， 故答案为：． 16．（3分）若关于x的不等式组有且只有4个整数解，关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的和为 　﹣12　． 【分析】根据不等式组的解集以及整数解的个数，确定a的取值范围，再根据分式方程的根和增根进一步确定a的取值范围，再求出符合条件的整式的和即可． 【解答】解：解不等式组，得， ∵由条件可得：， 解得﹣9＜a≤﹣4， 解分式方程，得， ∵y≠﹣1， ∴a≠﹣6， ∵关于y的方程的解为整数， ∴a为偶数， ∴满足条件的a的值为﹣8，﹣4， ∴满足条件的整数a的值之和是﹣8﹣4＝﹣12． 故答案为：﹣12． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．（6分）（1）计算：； （2）化简：． 【分析】（1）先计算零指数幂，负整数指数幂和积的乘方的逆运算，再计算加减法即可； （2）先对第一个分式分解因式，通分括号内的式子，然后将除法转化为乘法，再约分即可． 【解答】解：（1） ＝1﹣2﹣12024 ＝1﹣2﹣1 ＝﹣2； （2） • ． 18．（6分）解方程： （1）； （2）． 【分析】（1）方程两边同时乘以x（x﹣2），化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验； （2）方程两边同时乘以（x﹣1），化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验． 【解答】解：（1）； 去分母，得4+（x﹣2）＝2x， 解得：x＝2． 检验：把x＝2代入最简公分母：x（x﹣2）＝2×（2﹣2）＝0． 故 x＝2是增根，原分式方程无解． （2） 解：去分母，得：2﹣（x+2）＝3（x﹣1）， 去括号，得：2﹣x﹣2＝3x﹣3， 解得 ， 检验：当 时，x﹣1≠0， ∴原分式方程的解． 19．（6分）先化简，再求值：，在0＜a＜4中选一个整数求值． 【分析】先将括号内的分式通分，利用分式减法运算求解，再将分式分子分母因式分解，将除法转化为乘法，利用分式乘除运算法则计算即可化简，再由分式分母不能为零得到a≠1，a≠2，再由0＜a＜4，且a为整数，得到a＝3，代入化简结果求值即可得到答案． 【解答】解：原式 ， ∵a﹣1≠0，a﹣2≠0， ∴a≠1，a≠2， ∵0＜a＜4，且a为整数， ∴a取值为3， ∴当a＝3时，原式． 20．（8分）阅读下述材料： 分式可以化为分母分别为x与x+3且分子都是常数的两个分式的差．为解决这个问题，可设（A、B为常数），由，可得，由此可得，解得，所以． 请用上述方法将化为分母分别为2x+1与x﹣2且分子都是常数的两个分式的差． 【分析】设，然后将其运算后得出二元一次方程组，解方程组即可． 【解答】解：设， 则 ， 则， 解得：， 则． 21．（8分）已知A＝m+n，B＝m2﹣n2，C＝m2﹣2mn+n2． （1）若，求C的值； （2）若A＝C＝5，求mn的值； （3）在（1）的条件下，且为整数，求整数m的值． 【分析】（1）根据得到，先把分母分解因式，然后约分即可求出m﹣n的值，最后把C化为（m﹣n）2即可求值； （2）根据A＝C＝5得到（m+n）2＝25，即m2+2mn+n2＝25，结合m2﹣2mn+n2＝5即可求出mn的值； （3）结合（1）的条件把化为，再根据为整数得出m+n＝±1，±2，±3，±6，结合m﹣n＝6，即可求出整数m的值． 【解答】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∴m﹣n＝6， ∴C＝m2﹣2mn+n2 ＝（m﹣n）2 ＝62 ＝36； （2）∵A＝C＝5， ∴m+n＝m2﹣2mn+n2＝5， ∴（m+n）2＝m2+2mn+n2＝25①， ∵m2﹣2mn+n2＝5②， ∴①﹣②得，4mn＝20， ∴mn＝5； （3）由（1）得，m﹣n＝6，C＝36， ∴ ＝2 ， ∵为整数， ∴m+n＝±1，±2，±3，±6， 当m+n＝1，m﹣n＝6时，m＝3.5，n＝﹣2.5，∵m为整数，∴舍去； 当m+n＝﹣1，m﹣n＝6时，m＝2.5，n＝﹣3.5，∵m为整数，∴舍去； 当m+n＝2，m﹣n＝6时，m＝4，n＝﹣2，适合题意； 当m+n＝﹣2，m﹣n＝6时，m＝2，n＝﹣4，适合题意； 当m+n＝3，m﹣n＝6时，m＝4.5，n＝﹣1.5，∵m为整数，∴舍去； 当m+n＝﹣3，m﹣n＝6时，m＝1.5，n＝﹣4.5，∵m为整数，∴舍去； 当m+n＝6，m﹣n＝6时，m＝6，n＝0，适合题意； 当m+n＝﹣6，m﹣n＝6时，m＝0，n＝﹣6，适合题意； 综上，整数m的值为4或2或6或0． 22．（8分）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． （1）下列分式中是“巧分式”的有 　①③　（填序号）； ①；②；③． （2）若分式（m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为x﹣7，求m的值； （3）若分式的“巧整式”为1﹣x． ①求整式A． ②是“巧分式”吗？ 【分析】（1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据“巧分式”的定义，得到关于（x+3）（x﹣7）＝x2﹣4x+m的方程，求解即可； （3）①根据给出的“巧分式”的定义求解即可；②将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵，2x﹣3是整式， ∴①是“巧分式”； ∵，不是整式， ∴②不是“巧分式”； ∵，x﹣y是整式， ∴③是“巧分式”； 故答案为：①③； （2）∵分式（m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为x﹣7， ∴（x+3）（x﹣7）＝x2﹣4x+m， ∴x2﹣4x﹣21＝x2﹣4x+m， ∴m＝﹣21； （3）①∵分式的“巧整式”为1﹣x． ∴， ∴，即A＝2x2+2x； ②∵， 又x+1是整式， ∴是“巧分式”． 23．（10分）（1）班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90公里，队伍8：00从学校出发．苏老师因有事情，8：30从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地．问：大巴与小车的平均速度各是多少？ （2）某一工程，在工程招标时，接到甲乙两个工程队的投标书．施工一天需付甲工程队工程款1.5万元，付乙工程队工程款1.1万元．工程领导们根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案A：甲队单独完成这项工程刚好如期完成； 方案B：乙队单独完成这项工程比规定日期多用5天； 方案C：若甲乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成． 在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？ 【分析】（1）根据“大巴车行驶全程所需时间＝小车行驶全程所需时间+小车晚出发的时间+小车早到的时间”列分式方程求解可得； （2）设甲单独完成这一工程需x天，则乙单独完成这一工程需（x+5）天．根据方案C，可列方程得，解方程即可解决问题． 【解答】解：（1）设大巴的平均速度为x公里/小时，则小车的平均速度为1.5x公里/小时， ， ∴x＝40， 经检验：x＝40是原方程的解， 1.5x＝40×1.5＝60， 答：大巴的平均速度为40公里/小时，小车的平均速度为60公里/小时； （2）设甲单独完成这一工程需x天，则乙单独完成这一工程需（x+5）天． 根据方案C，， x＝20， 经检验：x＝20是所列方程的根． 乙单独完成这项工程需20+5＝25（天）， 所以A方案的工程款为1.5×20＝30（万元）， B方案的工程款为1.1×25＝27.5（万元），超过了日期，因此不能选， C方案的工程款为1.5×4+1.1×4+1.1×16＝28（万元）， ∵28＜30， ∴在不耽误工期的前提下，选择C方案最节省工程款． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$