专题小练习(4)证明比例线段的常用技巧-【勤径千里马】2025-2026学年九年级上册数学随堂小练10分钟（华东师大版2012）

2----------------·-- 随堂小练0分钟 数学·九年级上册·华师版 专题小练习（四） 证明比例线段的常用技巧 >类型1三点定型法 1.如图，已知∠DAB=∠EAC,∠ADE=∠ABC.求证： (1)△ADE∽△ABC; (2)AE=CE AD BD 1题图 >类型2等线段代换法 2.如图，在△ABC中，D为AC上一点，E为CB延长线上的点，BE=AD,DE 交AB于点F,求证：EF·BC=AC·DF B 2题图 3.已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF,CE 的延长线交DA的延长线于点G,CF的延长线交BA的延长线于点H. (1)求证：△BEC∽△BCH; (2)如果BE=AB·AE,求证：AG=DF 3题图 )57(3 8- 随堂小练0分钟 数学·九年级上册·华师版 >类型3等比代换法 4如图，已知AB/m,BC/G求证：-8C 4题图 >类型4等积代换法 5.如图，在△ABC中，D是AB边上一点，E是△ABC内一点，DE∥BC,过点 D作AC的平行线交CE的延长线于点F,CF与AB交于点P. 求证PB PE PA 5题图 >类型5先证平行再证比例式 6.如图，已知B,C,E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角 形，其中线段BD交AC于点G,线段AE交CD于点F.求证： (1)△ACE≌△BCD: (2)-FE AG AF 6题图 &)58(3随堂练分钟 数学·九年级上册·华师版 1 2.解:Saon:Snoc= EF BE AD DG .. 16 DF=GD'AC=CB' 9 A/D 3.解:A0= AC .。 DGCB 2 ..BE=AD. AB AE EF :. DFCDCDBC' BE AD AC 4.证明:·AB·AD=AC·AE. AC=AD 又 CAE= BAD$ ' EF·BC=AC·DF . CAE+乙DAC=BAD+DAC 3.证明:(1):四边形ABCD是菱形. 即/DAE=/CAB. $.$CD=CB,$ D= B$$ .△ADE△ACB. CD/AB. :DF=BE 又SEnt=4Suc, .△CDFCBE(S.A.S.). .CB . 乙DCF =LBCE : CD/BH. H=LDCF 5.B 。. 乙BCE = H,且 B$ $$6. (1)证明:' $A= B= $DEC=9 0 $$ =乙B. .DEA+CEB=90”. △BEC△BCH: “: DEA+乙D=90*, (2)·BE}=AB·AE, .D=乙CEB. BE AE .△ADE△BEC ABEB' (2)解:同意.理由如下: .AG/BC, . A= B= DEC 一来 AE AG A+ D= DEC+ CEB$$$ . D= CEB, . △ADE△BEC. ,。 AB BC' 专题小练习(四) 证明比例线段的常用技巧 1.证明:(1):DAB=乙EAC, ·DF=BE,BC=AB .DAB+ BAE= EAC+ $ BE=AG=$DF,即AG=$DF$$ 4.证明:·:AB/MN... LBAE,即 DAE = BAC. OA 0B OMON 又:乙ADE= ABC. :.△ADE△ABC. 0C OB ·BC/NG... 0G 0 (2):△ADE~△ABC, AD AB OA OC AEAC . OM=0G 5.证明: DE//BC P 又:乙DAB=EAC. PD PE .△ADB△AEC. AD BD 即PD·PC=PB·PE.① 。 AECE PD PF .DF/AC.. P=PC' 2.证明:过点D作DG//BC交AB于点G 如答图, 即PD·PC=PA·PF.② 由①②,得PB·PE=PA·PF. .PE PA 6.证明:(1):△ABC与△DCE都为等边 三角形. .AC=BC,CE=CD. ACB= DCE=60$$$$ 2题答图 '. 乙ACB+ ACD=DCE 则△BEF△GDF, +乙ACD. △ADG-△ACB. 即乙BCD= ACE 8096(23 随堂练分钟 数学·九年级上册·华师版 在 △ACE 和 △BCD中, 24.2 直角三角形的性质 [AC=BC. [1分钟知识速记 . ACE= BCD, 1.斜边的一半 2.斜边 CE=CD 9分钟目标检测 .△ACE△BCD(S.A.S.). 2.5 1.C 3.204.90 (2)由(1)知△ACE言△BCD 5.C 6.D. 7.C 8.2 ACB= DCE=60$$$$ 9.解:延长AD、BC交于点E. . GDC =FEC. A=60{$ GCD =180*- ACB- . E=90+-60*=30。$ DCE=60} .CD=3, 在△GCD和△FCE中 . CE=3$t2=6. [乙GCD= FCE=6 0.$$ 则BE=2+6=8$ . CD=CE. IGDC= FEC, .AB8、3 3 .△GCD△FCE(A.S.A.). A9题答图 B 24.3 . CG=CF. 锐角三角函数 .△CFG为等腰三角形. 24.3.1 锐角三角函数 又 GCF=60°$$$ [1分钟知识速记 1.斜边 乙A的邻边 '.△CFG为等边三角形, 乙A的邻边 . CGF= ACB=60 °$$$$$ 三角函数 AG AF 2.101 cosA .GF/CE,. ##-~ CCFE #分分分分分 3. 第二十三章易错小练习 2 1.解:AB、BCA'B'B'C'是成比例线段 13 2.解:图上距离与实际距离的比是1:5000 3.12.5cm或8cm或2cm 4.0.5 [9分钟目标检测] AB AC 1.D 2.B m (2### 3. B= B'=50*不是相应的夹角, 4.90o5.(1)1 所以两个三角形不一定相似. 6.②③④ 7.A 6.A 7.C 8.解:设经过:秒钟两三角形相似; 8.解:过点D作CD的垂线交BC于点E 则AP=AB-BP=(8-2t) m. 在Rt△CDE中, DE A0-4t cm. :tan/BCD= 3CD ①当AP与AB是对应边时: 故可设DE=x(x>0),则CD=3x 二 8 16' .CD1AC..DE//AC. 解得1-2. 又:D是AB的中点, ②当AP与AC是对应边时, $.DE=-AC..AC=2DE=2x 即8-24 10 8, 16 在Rt△ACD中,/ACD=90*, AC=2x.CD=3x, 解得1=0.8. 综上所述,经过0.8s或2s,△APQ :DA=AC^{}+CD=13x$ 与△ABC相似 CD 第二十四章 解直角三角形 ..sin/A= 24.1 测量 213 [1分钟知识速记 cosA-AC 13x 1.旗杆 2.观测点 13: 水平线 比例 - [9分钟目标检测] CD tan/A= 1.60 m 2.C 3.D 4.C 5.10. 1 m 2 897(3