期末复习重要考点10《规律探究问题》四大考点题型-2024-2025学年七年级数学上册期末复习【重要考点】专练（苏科版2024）

（苏科版）七年级上册数学期末复习 重要考点10《规律探究问题》四大考点题型 【题型1 有理数中的规律探究题】 1．（2023秋•新抚区期末）将一列有理数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，……按如图所示进行排列，则2024应排在（　　） A．A位置 B．B位置 C．C位置 D．D位置 【分析】根据图中的数字，可以发现数字的变化特点，从而可以求得2024应排在哪个位置，本题得以解决． 【解答】解：由图可知， 每个凸起对应5个数字，这些数字的奇数都是负数，偶数都是正数， ∵（2024﹣1）÷5＝2021÷5＝404......3， ∴2024应排在C位置， 故选：C． 【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出2022所在的位置． 2．（2023秋•梅州期末）将连续正整数按如图所示的位置顺序排列，根据排列规律，则2023应在（　　） A．A处 B．B处 C．C处 D．D处 【分析】根据正整数的排列顺序，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 在C处位置的数是4的整数倍． 因为4×506＝2024， 所以数字2024在C处， 则数2023在B处． 故选：B． 【点评】本题考查数字变化的规律，能根据所给正整数的排列顺序发现C处数字的特征是解题的关键． 3．（2024秋•桐乡市校级月考）观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…解答问题：3+32+33+34+…+32026的末位数字是（　　） A．9 B．0 C．3 D．2 【分析】根据题意，发现底数为3的乘方运算结果末位数字的变化规律，据此即可解决问题． 【解答】解：由题知， 底数为3的乘方运算结果的末位数字按3，9，7，1循环． 因为2026÷4＝506余2， 则506×（3+9+7+1）+3+9运算结果的末位数字为2， 所以3+32+33+34+…+32026的末位数字为2． 故选：D． 【点评】本题主要考查了数字变化的规律及尾数特征，能根据题意发现底数为3的乘方运算结果的末位数字按3，9，7，1循环是解题的关键． 4．（2023秋•武平县期末）已知整数a1，a2，a3，a4，…，满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，…，依次类推，则a2024的值为（　　） A．﹣2024 B．2024 C．﹣1012 D．1012 【分析】依次计算出a1，a2，a3，…，根据发现的规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， a1＝0， a2＝﹣|a1+1|＝﹣1， a3＝﹣|a2+2|＝﹣1， a4＝﹣|a3+3|＝﹣2， a5＝﹣|a4+4|＝﹣2， a6＝﹣|a5+5|＝﹣3， a7＝﹣|a6+6|＝﹣3， … 由此可见，ai和ai+1（i为偶数）相等，且都等于． 所以． 故选：C． 【点评】本题考查实数计算中的规律问题，能根据所给的计算方式，求出前几个数并以此发现数的规律是解题的关键． 5．（2023秋•南召县期末）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，﹣1的差倒数是．已知，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，以此类推，则a99＝（　　） A．﹣2 B． C． D． 【分析】由题中差倒数定义逐步求出ai，找到规律，代值求解即可得到答案． 【解答】解：∵，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，以此类推， ∴， ， ， ， ， ⋯ 综上所述，每三项是一个循环，即，，a3n+3＝﹣2，其中n为自然数， ∵99＝3×32+3， ∴a99＝a3×32+3＝﹣2， 故选：A． 【点评】本题考查找规律，涉及有理数计算，读懂题意，找到差倒数ai的规律是解决问题的关键． 6．（2024秋•合肥期中）一列数a1，a2，a3，…，an，其中a1＝﹣2，，，…，，则a1+a2+a3+⋯+a2023+a2024＝（　　） A． B． C．﹣112 D．﹣114 【分析】通过计算发现，这列数从a1开始，以﹣2，，这三个数字为一个周期依次循环，据此计算即可． 【解答】解：∵a1＝﹣2， ∴a2， a3， a4＝﹣2， …， ∴三个数字一循环． ∵a1+a2+a3＝﹣2，2024÷3＝674余2 ∴a1+a2+a3+⋯+a2023+a2024＝674（﹣2）114． 故选：D． 【点评】本题考查分式的乘除法、数字的变化的知识，解题的关键是发现数字的循环规律． 7．（2024秋•浦东新区期中）阅读理解： ； ； ； … 试运用上述方法计算： （1）； （2）． 【分析】（1）首先根据规律把代数式转化为，再计算即可； （2）首先根据规律把代数式转化为（1），再计算即可． 【解答】解：（1） ； （2） （1） （1） ． 【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法． 8．（2023秋•利辛县校级期末）观察下列等式： （1）； （2）； （3）； （4）； …… 根据上述等式的规律，解答下列问题： （1）写出第5个等式：　 ； （2）写出第n个等式：　 　（用含有n的代数式表示）； （3）应用你发现的规律，计算：． 【分析】（1）根据题目中的式子可以写出第5个等式； （2）根据题目中的式子可以写出第n个等式； （3）根据题目中式子的特点，可以求得题目中式子的值． 【解答】解：（1）第5个等式：， 故答案为：， （2）第n个等式：， 故答案为：； （3） ． 【点评】本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，求出所求式子的值． 9．（2024秋•凉州区校级期中）观察下列各式：21﹣20＝20；22﹣21＝21；23﹣22＝22；24﹣23＝23…… （1）探索式子的规律，试写出第n个等式； （2）运用上面的规律，计算22020﹣22019﹣22018﹣…﹣2； （3）计算：27+28+29+210+…+2100． 【分析】（1）根据式子的规律，可得2n﹣2n﹣1＝2n﹣1； （2）利用（1）的结论递推，得出答案即可； （3）把式子乘（2﹣1）递推得出答案即可． 【解答】解：（1）∵21﹣20＝20；22﹣21＝21；23﹣22＝22；24﹣23＝23…… ∴第n个等式为：2n﹣2n﹣1＝2n﹣1； （2）22020﹣22019﹣22018﹣…﹣2 ＝22019﹣22018﹣…﹣2 ＝22018﹣…﹣2 ＝2； （3）27+28+29+210+…+2100 ＝（2﹣1）（27+28+29+210+…+2100） ＝（28+29+210+211+…+2101）﹣（27+28+29+210+…+2100） ＝2101﹣27． 【点评】本题主要考查了数字变化规律，根据已知，得出数字次数的变化规律是解题关键． 10．（2024秋•齐河县期中）阅读材料：求1+2+22+23+24+…+2100． 首先设S＝1+2+22+23+24+…+2100③． 则2S＝2+22+23+24+25+…+2101②， ②﹣①得S＝2101﹣1， 即1+2+22+23+24+…+2100＝2101﹣1． 以上解法，在数列求和中，我们称之为“错位相减法”． 请你根据上面的材料，解决下列问题： （1）1+2+22+23+24+…+22000． （2）求1+3+32+33+34+…+32022的值． （3）若a为正整数且a≠1，求1+a+a2+a3+a4+…+a2020． 【分析】（1）根据题中所给“错位相减法”进行计算即可． （2）根据题中所给“错位相减法”进行计算即可． （3）根据题中所给“错位相减法”进行计算即可． 【解答】解：（1）由题知， 设S＝1+2+22+23+24+…+22000， 则2S＝2+22+23+24+…+22000+22001， 两式相减得， S＝22001﹣1， 即1+2+22+23+24+…+22000＝22001﹣1． （2）由题知， 令S＝1+3+32+33+34+…+32022， 则3S＝3+32+33+34+…+32022+32023， 两式相减得， 2S＝32023﹣1， 则S， 即1+3+32+33+34+…+32022． （3）由题知， 令S＝1+a+a2+a3+a4+…+a2020， 则aS＝a+a2+a3+a4+…+a2020+a2021， 两式相减得， aS﹣S＝a2021﹣1， 则S， 所以1+a+a2+a3+a4+…+a2020． 【点评】本题主要考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，理解题中所给“错位相减法”是解题的关键． 【题型2 程序图中的规律探究题】 1．（2024秋•正定县期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为96，我们发现第一次输出的结果为48，第二次输出的结果为24，…，则第2024次输出的结果为（　　） A．6 B．3 C． D．6027 【分析】从程序中找到从第4次开始，每2次 1组，每组按照6，3的顺序循环的规律解答即可． 【解答】解：第1次9648； 第2次48； 第3次2412； 第4次126； 第5次6； 第6次3+3＝6； 第7次6； ……， 从第4次开始，每2次1组，每组按照6，3的顺序循环， （2024﹣3）÷2＝1010……1， ∴第2024次为第1011组第1个， ∴第2024次输出的结果为6， 故选：A． 【点评】本题考查了数字的变化类，熟练掌握顺序循环的规律是解题的关键． 2．（2023秋•沈河区期末）如图所示的运算程序中，如果开始输入的x值为﹣48，我们发现第1次输出的结果为﹣24，第2次输出的结果为﹣12，…，第2024次输出的结果为（　　） A．﹣6 B．﹣3 C．﹣24 D．﹣12 【分析】根据题意分别算出输出结果，观察得到一般规律，即可确定第2023次输出的结果． 【解答】解：由题意可知，第一次输出结果为：， 第二次输出结果为：， 第三次输出结果为：， 第四次输出结果为：， 第五次输出结果为：﹣3﹣3＝﹣6， 第六次输出结果为：， 第七次输出结果为：﹣3﹣3＝﹣6， …… 观察可知，从第三次开始，输出结果按﹣6和﹣3依次循环， ∵（2024﹣2）÷2＝1011， ∴第2024次输出的结果为﹣3， 故选：B． 【点评】本题考查了数字类规律探索，代数式求值，通过观察归纳出一般规律是解题关键． 3．（2024秋•江海区期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为12，我们发现第1次输出的结果为6，第2次输出的结果为3，……第2013次输出的结果为（　　） A．3 B．6 C．4 D．8 【分析】把x＝12代入运算程序中计算，以此类推得到第2013次输出的结果即可． 【解答】解：把x＝12代入得：6， 把x＝6代入得：3， 把x＝3代入得：8， 把x＝8代入得：4， 把x＝4代入得：2， 把x＝2代入得：1， 把x＝1代入得：1+5＝6， 以此类推，以6，3，8，4，2，1循环， ∵2013÷6＝335余3， ∴2013次输出的结果为8． 故选：D． 【点评】此题考查了规律型：数字的变化类，代数式求值，弄清题中的运算程序是解本题的关键． 4．（2024秋•菏泽期中）如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是2，第1次输出的结果是﹣1，第2次输出的结果是1，依次继续下去…，第2024次输出的结果是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．4 【分析】依次求出前面几次输出的结果，根据发现的规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 第1次输出的结果是﹣1， 第2次输出的结果是1， 因为1为非负数， 所以第3次输出的结果是：1﹣3＝﹣2， 因为﹣2是负数， 所以第4次输出的结果是：（﹣2）2＝4， 因为4是非负数， 所以第5次输出的结果是：4﹣3＝1， 因为1是非负数， 所以第6次输出的结果是：1﹣3＝﹣2， 由此可见， 除第1次输出的结果外，后面输出的结果按1，﹣2，4循环出现， 又因为（2024﹣1）÷3＝674……余1， 所以第2023次输出的结果是1． 故选：C． 【点评】本题考查代数式求值及代数式计算的规律，能根据所给程序框图得出除第1次输出的结果外，后面输出的结果按1，﹣2，4循环出现是解题的关键． 5．（2023秋•东平县期末）有一数值转换器，原理如图所示，如果开始输入x的值是34，则第一次输出的结果是17，第二次输出的结果是52，…，那么第2023次输出的结果是（　　） A．2 B．4 C．1 D．8 【分析】根据第一次输出的结果是17，第二次输出的结果是52，…，总结出每次输出的结果的规律，求出第2023次输出的结果是多少即可． 【解答】解：第一次输出的结果是：， 第二次输出的结果是：3×17+1＝52， 第三次输出的结果是：， 第四次输出的结果是：， 第五次输出的结果是：3×13+1＝40， 第六次输出的结果是：， 第七次输出的结果是：， 第八次输出的结果是：， 第九次输出的结果是：3×5+1＝16， 第十次输出的结果是：， 第十一次输出的结果是：， 第十二次输出的结果是：， 第十三次输出的结果是：， 第十四次输出的结果是：3×1+1＝4， …， ∴从第十一次开始，输出的结果分别是4、2、1，…，不断循环出现， ∵（2023﹣10）÷3＝2013÷3＝671， ∴第2023次输出的结果是1． 故选：C． 【点评】此题主要考查了代数式求值问题，数字的变化规律，解答的关键是通过计算找到数字的变化规律． 6．（2023秋•沈丘县期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值为30，第一次得到的结果为15，第二次得到的结果为24，……，请你探索第2023次得到的结果为 　 　． 【分析】分别计算出前六次的输出结果可以得到从第三次输出结果开始，每三次输出结果为一个循环，由此进行求解即可． 【解答】解：由题意得，第一次得到的结果为15， 第二次得到的结果为24， 第三次得到的结果为12， 第四次得到的结果为6， 第五次得到的结果为3， 第六次得到的结果为12， …， ∴可知从第三次输出结果开始，每三次输出结果为一个循环， ∵（2023﹣2）÷3＝673…2， ∴第2023次的输出结果和第四次的输出结果相同，为6， 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了与程序流程图相关的规律问题，正确理解题意找到规律是解题的关键． 7．（2023秋•镇赉县期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为100，我们发现第1次输出的结果为50，第2次输出的结果为25，…，第2022次输出的结果为 　 　． 【分析】根据设计的程序进行计算，找到循环的规律，根据规律推导计算． 【解答】解：∵第1次输出的数为：100÷2＝50， 第2次输出的数为：50÷2＝25， 第3次输出的数为：25+7＝32， 第4次输出的数为：32÷2＝16， 第5次输出的数为：16÷2＝8， 第6次输出的数为：8÷2＝4， 第7次输出的数为：4÷2＝2， 第8次输出的数为：2÷2＝1， 第9次输出的数为：1+7＝8， 第10次输出的数为：8÷2＝4， ……， ∴从第5次开始，输出的数分别为：8、4、2、1、8、…，每4个数一个循环； ∵（2022﹣4）÷4＝504…2， ∴第2022次输出的结果为4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了有理数的计算，正确发现循环的规律是解题的关键． 【题型3 代数式中的规律探究题】 1．（2024秋•巴南区月考）如图是一组有规律的图案，第1个图案中有4个基本图形，第2个图案中有7个基本图形，第3个图案中有10个基本图形……，按这样的规律排列下去，第8个图案中基本图形的个数为（　　） A．19 B．22 C．25 D．28 【分析】根据前三个图形中基础图形的个数得出第n个图案中基础图形的个数即可解答． 【解答】解：第1个图案由1+3＝4个基础图形组成， 第2个图案由1+2×3＝7个基础图形组成， 第3个图案由1+3×3＝10个基础图形组成， 第4个图案由1+3×4＝13个基础图形组成， 第5个图案由1+3×5＝16个基础图形组成， …， 第n个图案由3n+1个基础图形组成， ∴第8个图案中基本图形有：8×3+1＝25（个）， 故选：C． 【点评】本题考查了整式——图形的变化规律，找到变换规律是解题的关键． 2．（2024秋•本溪期中）如图是一组有规律的图案，第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有7个三角形，第③个图案中有10个三角形，…，依此规律，第⑩个图案中有（　　）个三角形． A．27 B．29 C．31 D．40 【分析】观察图形，后一个图形比前一个图形多3个三角形，得出规律，进而求出第⑩个图案中三角形的个数即可． 【解答】解：第n个图案中，三角形的个数为：3n+1， ∴第⑩个图案中有3×10+1＝31（个）三角形， 故选：C． 【点评】本题考查图形类规律探究，发现规律是关键． 3．（2023秋•九龙坡区校级月考）用围棋子按下面的规律摆放图形，则摆放第2024个图形需要围棋子的枚数是（　　） A．6069 B．6070 C．6071 D．6074 【分析】根据题目中的图形，可以发现棋子的变化规律，从而可以解答本题． 【解答】解：由图可得， 第一个图形棋子的个数为：2+3×1＝5， 第二个图形棋子的个数为：2+3×2＝8， 第三个图形棋子的个数为：2+3×3＝11， 第四个图形棋子的个数为：14， 第五个图形棋子的个数为：17， ……， ∴第n个图形需要围棋子的枚数是：3n+2， ∴第2024个图形需要围棋子的枚数是：2+3×2024＝6074， 故选：D． 【点评】本题考查图形的变化类，发现规律是关键． 4．（2024秋•闵行区期中）如图，将第1个图中的正方形剪开得到第2个图，第2个图中共有4个正方形；将第2个图中一个正方形剪开得到第3个图，第3个图中共有7个正方形；将第3个图中一个正方形剪开得到第4个图，第4个图中共有10个正方形……如此下去，则第2024个图中共有正方形的个数为（　　） A．2024 B．2022 C．6069 D．6070 【分析】由前4个图形总结得到第n的图形的规律，即可得到第2024个图形含有的正方形数量． 【解答】解：第1个图中有正方形1个， 第2个图中有正方形4＝1+3个， 第3个图中有正方形7＝1+2×3个， 第4个图中有正方形10＝1+3×3个， 所以第n个图中有正方形1+3（n﹣1）＝（3n﹣2）个． 当n＝2024时，图中有3×2024﹣2＝6070个正方形． 故选：D． 【点评】本题主要考查图形规律，发现规律是关键． 5．（2023秋•东莞市校级期末）如图，用同样大小的棋子按以下规律摆放，则第2024个图中的棋子数是（　　） A．6070 B．6078 C．6072 D．6075 【分析】根据已知图形可归纳出第n个图形有（3n+3）枚棋子，即可解答． 【解答】解：第1个图形中的棋子数6＝3×1+3， 第2个图形中的棋子数9＝3×2+3， 第3个图形中的棋子数12＝3×3+3， 第4个图形中的棋子数15＝3×4+3， ……， 以此类推，第n个图形中的棋子数为：3n+3， 第2024个图中的棋子数是3×2024+3＝6075， 故选：D． 【点评】本题考查了图形的变化规律，发现规律是关键． 6．（2023秋•石城县期末）如图所示是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第n个图案中有2024个涂有阴影的小正方形，则n的值为（　　） A．2024 B．2023 C．674 D．673 【分析】先根据图形得出阴影小正方形的变化规律，进而得出答案． 【解答】解：第一个图案中涂有阴影的小正方形的个数为5个，3×1+2＝5； 第二个图案中涂有阴影的小正方形的个数为8个，3×2+2＝8； 第三个图案中涂有阴影的小正方形的个数为8个，3×3+2＝11； ……， 第n个图案中涂有阴影的小正方形的个数为3n+2＝2024， 解得n＝674． 故选：C． 【点评】本题主要考查了图形规律的变化，发现规律是关键． 7．（2024秋•玉州区期中）根据图中数字的规律，若第n个图中的q＝168，则p的值为（　　） A．144 B．121 C．100 D．81 【分析】观察可知第k个图右上角的数为k，左上角的数为k2，下方的数为（k+1）2﹣1，由此可得方程（k+1）2﹣1＝168，解方程求出k＝12，则p＝k2，据此即可解答． 【解答】解：第1个图左上方的数为1，下方的数为（1+1）2﹣1＝3， 第2个图左上方的数为4，下方的数为（2+1）2﹣1＝8， 第3个图左上方的数为9，下方的数为（3+1）2﹣1＝15， 第4个图左上方的数为16，下方的数为（4+1）2﹣1＝24， ……， 第k个图左上方的数为p＝k2，下方的数为q＝（k+1）2﹣1， ∵q＝168， ∴（k+1）2﹣1＝168，解得：k＝12， ∴p＝k2＝122＝144． 故选：A． 【点评】本题主要考查了数字类的规律探索、运用平方根解方程等知识点，发现数字的排列规律成为解题的关键． 8．（2024•中阳县三模）苯是一种有机化合物，是组成结构最简单的芳香烃，可以合成一系列衍生物．如图是某小组用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第1个图形需要9根小木棒，第2个图形需要16根小木棒，第3个图形需要23根小木棒……按此规律，第n个图形需要 　 　根小木棒．（用含n的代数式表示） 【分析】通过观察可知：每增加一个苯环，相应的木棒增加7根，据此可求解． 【解答】解：∵第1个图形中木棒的根数为：9＝7+2， 第2个图形中木棒的根数为：16＝7×2+2， 第3个图形中木棒的根数为：23＝7×3+2， …， ∴第n图形中木棒的根数为：7n+2， 故答案为：（7n+2）． 【点评】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是总结出图形变化规律． 9．（2024秋•九台区期中）如图所示的图案是由正方形和三角形组成的，有着一定的规律，请完成下列问题： （1）第4个图案中，三角形有 　 个，正方形有 　 　个； （2）若用字母a、b分别代替三角形和正方形，则第1、第2个图案可表示为多项式4a+b，8a+4b，则第5个图案可表示为多项式 　 ； （3）在（2）的条件下，若a＝2，b＝2，求第5个图案所表示的多项式的值． 【分析】（1）根据所给图形，依次求出图形中三角形和正方形的个数，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）根据题意，将a，b的值代入计算即可． 【解答】解：（1）由所给图形可知， 第1个图案中，三角形个数为：4＝1×4，正方形个数为：1＝12； 第2个图案中，三角形个数为：8＝2×4，正方形个数为：4＝22； 第3个图案中，三角形个数为：12＝3×4，正方形个数为：9＝32； …， 所以第n个图案中，三角形个数为4n个，正方形个数为n2个． 当n＝4时， 4n＝16（个），n2＝16（个）， 即第4个图案中，三角形个数为16个，正方形个数为16个． 故答案为：16，16． （2）结合（1）中发现的规律可知， 第5个图案可表示的多项式为：20a+25b． 故答案为：20a+25b． （3）由题知， 当a＝2，b＝2时， 20a+25b＝20×2+25×2＝40+50＝90， 即第5个图案所表示的多项式的值为90． 【点评】本题主要考查了图形变化的规律及多项式，能根据所给图形发现三角形及正方形个数变化的规律是解题的关键． 10．（2024秋•吴中区校级月考）如图，谢尔宾斯基三角形是一种无限分形结构，最早由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出，它是把一个等边三角形分别连接其三边中点，构成4个小等边三角形，挖去中间的一个小等边三角形（如图2），对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，将这种做法继续下去（如图3，图4，图5）观察规律解答以下各题： （1）填写下表： 图形序号 图2 图3 图4 图5 挖去三角形的个数 1 4 13 　 　 （2）若图1中的阴影三角形面积为1，则图2中的所有阴影三角形的面积之和为　 　，图3中的所有阴影三角形的面积之和为　 　． （3）在（2）的条件下，求图5中的所有阴影三角形的面积之和． 【分析】（1）根据给出的图形数出个数，得出答案即可； （2）根据每次挖去等边三角形的面积的，列式求出结果即可； （3）根据题意，每次挖去等边三角形的面积的，剩下的阴影部分面积等于原阴影部分面积的，然后根据有理数的乘方列式计算即可得解． 【解答】（1）解：根据题意可知：图2中挖去1个三角形， 图3中挖去4个三角形， 图4中挖去13个三角形， 图5中挖去13×3+1＝40个三角形； 图形序号 图2 图3 图4 图5 挖去三角形的个数 1 4 13 40 故答案为：40； （2）图2阴影的面积， 图3阴影的面积， 故答案为：，； （3）图2阴影的面积， 图3阴影的面积， 图4阴影的面积， 图5阴影的面积． 【点评】本题是考查探索和表达规律问题，根据已知条件推算出相关数据规律是解题的切入点． 【题型4 一元一次方程中的规律探究题】 1．（2024秋•西陵区期中）将连续的奇数1，3，5；7，9，……排成如图所示： （1）十字框中5个数之和是41的几倍？ （2）设十字框中间的数为a，用式子分别表示十字框中其它四个数，并求出这五个数的和． （3）十字框中的五个数之和能等于2000吗？若能，请写出这五个数，若不能，请说明理由． 【分析】（1）将十字框中的5个数相加除以41即可得出结论； （2）观察图形，根据5个数之间的关系即可求出这十字框中五个数的和； （3）假设能，令5x＝2000，求出x的值，根据x为偶数不是奇数即可得出假设不成立，此题得解． 【解答】解：（1）（25+39+41+43+57）÷41＝205÷41＝5， 答：十字框中5个数之和是41的5倍． （2）∵十字框中间的数为a， ∴这十字框中五个数的和为[（a﹣16）+（a﹣2）+a+（a+2）+（a+16）]＝5a． （3）假设能，设中间的数为x， 根据题意，得：5x＝2000， 解得：x＝400． ∵400为偶数， ∴假设不成立，即十字框中的五个数之和不能等于2000． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，规律型：数字的变化类，根据十字框中5个数之间的关系求出5个数之和是解题的关键． 2．观察下表三行数的规律，回答下列问题： 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第6列 … 第1行 ﹣2 4 ﹣8 a ﹣32 64 … 第2行 0 6 ﹣6 18 ﹣30 66 … 第3行 ﹣1 2 ﹣4 8 ﹣16 b … （1）第1行的第四个数a是 　 　；第3行的第六个数b是 　 ； （2）若第1行的某一列的数为c，则第2行与它同一列的数为 　 　；（用含c的式子表示） （3）已知第n列的三个数的和为﹣1282，若设第1行第n列的数为x，试求x的值． 【分析】（1）观察发现，第一行的后面一个数是前面一个数的﹣2倍，由此可以计算第1行的第四个数a是第三个数﹣8的﹣2倍；第三行的每一个数是同列第一行数的倍； （2）第二行的每一个数是第一行同列数加上2，由此可计算结果； （3）根据第1行第n列的数为x，可以表示第2行第n列的数为x+2，第3行第n列的数为，列方程解出即可． 【解答】解：（1）第1行的第四个数a是：﹣8×（﹣2）＝16，第3行的第六个数b是：64÷2＝32； 故答案为：16，32； （2）若第1行的某一列的数为c，则第2行与它同一列的数为：c+2； 故答案为：c+2； （3）若设第1行第n列的数为x，则第2行第n列的数为x+2，第3行第n列的数为， 根据题意得：x+x+21282， 解得：x＝﹣512． 【点评】本题考查了数字类的变化规律和一元一次方程，此类题认真观察、仔细思考，从第一个数开始依次寻找规律，并利用后面的数作验证，得出正确的规律后，再进行计算． 3．如下表，方程①、方程②、方程③、方程④…是按照一定规律排列的一列方程： 序号 方程 方程的解 ① 2（x﹣2）﹣3（x﹣1）＝1 x＝﹣2 ② 2（x﹣2）﹣3（x﹣2）＝2 x＝0 ③ 2（x﹣2）﹣3（x﹣3）＝3 x＝　　 ④ 2（x﹣2）﹣3（x﹣4）＝4 x＝　　 … … … （1）将上表补充完整， （2）按上述方程所包含的某种规律写出方程⑤及其解； （3）写出表内这列方程中的第n（n为正整数）个方程和它的解． 【分析】（1）求解方程③和④可得解； （2）按照方程根的规律列出方程即可； （3）先按照规律列出方程的第n个方程，再求解并检验． 【解答】解：（1）第3个方程2（x﹣2）﹣3（x﹣3）＝3， ﹣x＝﹣2， ∴x＝2， 第4个方程2（x﹣2）﹣3（x﹣4）＝4， ﹣x＝﹣4， ∴x＝4， 故答案为：2，4． （2）方程①2（x﹣2）﹣3（x﹣1）＝1，其解为x＝2×（1﹣2）＝﹣2； 方程②2（x﹣2）﹣3（x﹣2）＝2，其解为x＝2×（2﹣2）＝0； 方程③2（x﹣2）﹣3（x﹣3）＝3，其解为x＝2×（3﹣2）＝2； 方程④2（x﹣2）﹣3（x﹣4）＝4，其解为x＝2×（4﹣2）＝4； ∴方程⑤为2（x﹣2）﹣3（x﹣5）＝5，其解为x＝6； （3）由上表可得每个方程的左边是2项的差，第一项是2（x﹣2），第2项是﹣3（x﹣n），右边是n，方程的解为x＝2（n﹣2）， ∴第n（n为正整数）个方程为2（x﹣2）﹣3（x﹣n）＝n，方程的解为x＝2（n﹣2）． 【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练求解一元一次方程是解题的关键． 4．问题探究如下表：方程①，方程②，方程③，…是按照一定规律排列的一列方程． 序号 方程 方程的解 ① x ② （x﹣3）＝1 x ③ （x﹣4）＝1 x …… …… …… 分析上表方程中解分别与序号之间的相互关系，猜想并写出这列方程中的第n个方程和它的解． 【分析】观察图表，可发现规律，第一项的分母是从4开始的连续自然数，第二项也是与连续自然数有关，方程的右边是1，则可写出第n个方程．根据规律求解即可． 【解答】解：∵第一个方程是：，方程的解是x， 第二个方程是：，方程的解是x， 第三个方程是：，方程的解是x， 第四个方程是：，方程的解是x， …… ∴第n个方程是：，方程的解是x． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，找出规律是解题的关键． 5．（2024秋•道里区校级月考）阅读材料：一列方程如下排列： 的解是x＝2， 的解是x＝3， 的解是x＝4， 的解是x＝5，⋯ （1）根据观察得到的规律，直接写出其中解是x＝6的方程：　 ； （2）的解是x＝30，则m+n＝　 ； （3）的解是x＝a，则m＝　 　，n＝　 　（用含a的表达式表示m，n）． 【分析】（1）根据观察得到的规律即可直接得出答案； （2）根据观察得到的规律可先求出m，n的值，然后即可求出m+n的值； （3）根据观察得到的规律即可直接得出m，n的表达式． 【解答】解：（1）根据发现可知其中解是x＝6的方程为： ， 故答案为：； （2）由条件可知m＝30×2＝60，n＝30﹣1＝29， ∴m+n＝89， 故答案为：89； （3）根据观察得到的规律，可知： 如果的解是x＝a，则m＝2a，n＝a﹣1， 故答案为：2a，a﹣1． 【点评】本题主要考查了数字类规律探索，代数式求值，列代数式等知识点，通过观察发现并总结规律是解题的关键． 6．（2023秋•新华区期末）如图是用棋子摆成的“上”字图案，按照这种规律继续摆下去，通过观察、对比、总结，找出规律，解答下列问题． （1）摆成图1需要 　 枚棋子，摆成图2需要 　 　枚棋子，摆成图3需要 　 枚棋子； （2）摆成图n需要 　 　枚棋子； （3）七（1）班有50名同学，把每名同学当成一枚“棋子”，能否让这50枚“棋子”按照以上规律恰好站成一“上”字？若能，请问能站成图几？并计算最下面一“横”的学生数；若不能，请说明理由． 【分析】（1）直接通过图形，确定出棋子的数量即可； （2）由已知的图形中的棋子的数量，概括出相应的规律，即可； （3）根据（2）中的结论，进行求解即可． 【解答】解：（1）由图可知：摆成图1需要6枚棋子，摆成图2需要10枚，棋子，摆成图3需要14枚棋子； 故答案为：6，10，14； （2）由图可知，后一个图形比前一个图形多4枚棋子， ∴摆成图n需要6+4（n﹣1）＝4n+2（枚）棋子； 故答案为：（4n+2）； （3）能； 当4n+2＝50时，n＝12， ∴能站成，能站成图12； 由图可知，最后一横上的棋子的个数是从3开始的连续的奇数， ∴3+2（12﹣1）＝25， 即：最下面一“横”的学生数是25人． 【点评】本题考查图形类规律探究．根据已有图形，抽象概括出相应的数字规律是解题的关键． 1．（2024秋•防城区校级月考）观察21﹣1＝1，22﹣1＝3，23﹣1＝7，24﹣1＝15，25﹣1＝31，…，归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测22024﹣1的个位数字是（　　） A．1 B．3 C．7 D．5 【分析】观察可以发现，21﹣1，22﹣1，⋯2n﹣1这一列数的个位数字是每4个数字为一个循环，个位数字为1，3，7，5依次出现，再由2024÷4＝506，可得22024﹣1的个位数字与24﹣1＝15的个数数字相同，即为5． 【解答】解：发现规律：21﹣1，22﹣1，⋯2n﹣1这一列数的个位数字是每4个数字为一个循环，个位数字为1，3，7，5依次出现， ∵2024÷4＝506， ∴22024﹣1的个位数字是5． 故选：D． 【点评】本题主要考查了数字类的规律探索，发现规律是关键． 2．（2023秋•新华区校级期末）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．则下列符合这一规律的等式是（　　） A．20＝4+16 B．25＝9+16 C．36＝15+21 D．49＝20+29 【分析】根据题意，“正方形数”与“三角形数”之间的关系为：（n＞1），据此一一验证即可． 【解答】解：A.20不是“正方形数”，此项不符合题意； B.9，16不是“三角形数”，此项不符合题意； C.36是“正方形数”，15，21是“三角形数”，且符合二者间的关系式，此项符合题意； D.29不是“三角形数”，此项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查学生对探索题的总结能力，这类题目一般利用排除法比较容易得出答案． 3．（2024秋•渝中区校级月考）杨辉三角是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示是一种变异的“杨辉三角”，按箭头方向依次记为：a1＝1，a2＝4，a3＝3，a4＝8，a5＝7，a6＝16，a7＝15⋯，则a2026+a2027等于（　　） A．21014﹣1 B．21014+1 C．21015﹣1 D．21015+1 【分析】根据图中的数据，可以发现数字的变化特点，从而可以计算出a2026+a2027的值． 【解答】解：由条件可知：当n为偶数时，an＝20.5n+1，当n为奇数时，， ∴a2026+a2027 ＝21014+21014﹣1 ＝21014×2﹣1 ＝21015﹣1， 故选：C． 【点评】本题考查数字的变化规律，发现规律是关键． 4．（2023秋•湘潭期末）观察元素原子结构示意图的规律，则某元素原子结构的原子核中应填的是（　　） A．+14 B．+15 C．+16 D．+18 【分析】通过观察三种原子结构示意图的电子分布规律发现原子核外电子的电子数之和等于原子核中的数字，据此即可解答． 【解答】解：由三种原子结构示意图可知：原子核外电子排布为第一层2个，第二层8个，三个电子层的电子数之和等于原子核中的数字． 故：该元素原子结构的原子核中数字2+8+6＝16， 故选：C． 【点评】本题主要考查了数字规律，解题的关键是找到规律． 5．（2024秋•盐都区校级月考）如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第23个图形需要黑色棋子的个数为　 ． 【分析】根据题意，分析可得第1个图形需要黑色棋子的个数为2×3﹣3，第2个图形需要黑色棋子的个数为3×4﹣4，第3个图形需要黑色棋子的个数为4×5﹣5，以此类推，可得第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）﹣（n+2），计算可得答案． 【解答】解：第1个图形是三角形，有3条边，每条边上有2个点，重复了3个点，需要黑色棋子3个， 第2个图形是四边形，有4条边，每条边上有3个点，重复了4个点，需要黑色棋子8个， 第3个图形是五边形，有5条边，每条边上有4个点，重复了5个点，需要黑色棋子15个， 按照这样的规律摆下去， 则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）﹣（n+2）＝n（n+2）； 当n＝23时，（23+2）×23＝575， 故答案为：575． 【点评】本题考查了整式的图形规律探索题，依据图形，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 6．（2024秋•乳山市期中）观察规律：，，，，若符合上述规律，则m+n＝ 　 ． 【分析】由题意可知：分数的分子与前面的整数相同，分母是前面整数的平方减1，据此求出m、n，再相加即可． 【解答】解：发现规律：， 又∵， ∴m＝112﹣1＝120，n＝11， ∴m+n＝120+11＝131， 故答案为：131． 【点评】此题考查数字的变化规律，找出分数的分子、分母与前面整数的关系：分数的分子与前面的整数相同，分母是前面整数的平方减1，即规律：是解题的关键． 7．（2024秋•通辽期中）如图，将第1个图中的正方形剪开得到第2个图，第2个图中共有4个正方形；将第2个图中一个正方形剪开得到第3个图，第3个图中共有7个正方形；将第3个图中一个正方形剪开得到第4个图，第4个图中共有10个正方形…如此下去，则第2024个图中共有正方形的个数为 　 　． 【分析】根据所给图形，依次求出图形中正方形的个数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 第1个图形中，正方形的个数为：1＝1×3﹣2； 第2个图形中，正方形的个数为：4＝2×3﹣2； 第3个图形中，正方形的个数为：7＝3×3﹣2； …， 所以第n个图形中，正方形的个数为（3n﹣2）个， 当n＝2024时， 3n﹣2＝6070（个）， 即第2024个图形中，正方形的个数为6070个． 故答案为：6070． 【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现正方形的个数依次增加3是解题的关键． 8．（2023秋•遵义期末）如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，小芳在探索杨辉三角每一行中所有数字之和的规律时，将第1行的数字之和记为S1，第2行的数字之和记为S2，第3行的数字之和记为S3，…，第n行的数字之和记为Sn，根据每一行的规律，图中a的值为 　 　；则Sn﹣Sn﹣1＝ 　 　．（用含n的式子表示） 【分析】根据图形可得，a的值为a上面两个数字之和，即可求出a的值；根据题意，总结出，Sn﹣1＝2n﹣2，即可即可解答． 【解答】解：由图可知，a＝6+4＝10， 根据题意可得：， ， ， ， ……， ∴，， ∴， 故答案为：10，2n﹣2． 【点评】此题考查了数字变化规律问题的解决能力，关键是能准确归纳出该组数字出现的规律． 9．（2023秋•鼓楼区校级期中）观察下面三行数： ﹣3、9、﹣27、81、…① 1、﹣3、9、﹣27、…② ﹣2、10、﹣26、82、…③ （1）思考第①行数的规律，写出第n个数字是 　 ； （2）设x、y、z分别为①②③行的第2023个数，求x+6y+z的值． 【分析】（1）观察可看出第一行的数分别是﹣3的一次方，二次方，三次方，四次方…且偶数项是正数，奇数项是负数，用式子表示规律为：（﹣3）n； （2）分别求得第①②③行的2023个数，得出x，y，z代入求得答案即可． 【解答】解：（1）∵﹣3、9、﹣27、81、…， ∴第①行数是：（﹣3）1，（﹣3）2，（﹣3）3，（﹣3）4，…（﹣3）n， ∴第①行的数是按（﹣3）n进行排列； 故答案为：（﹣3）n． （2）∵第①行的数是按（﹣3）n进行排列， ∴第2023个数为x＝（﹣3）2023＝﹣32023， 第②行的数为：（﹣3）0、（﹣3）1、（﹣3）2、（﹣3）3…（﹣3）n﹣1， ∴第2023个数为：y＝（﹣3）2023﹣1＝（﹣3）2022＝32022， 第③行的数为：（﹣3）1+1，（﹣3）2+1，（﹣3）3+1，（﹣3）4+1，…（﹣3）n+1， ∴第2023个数为：z＝（﹣3）2023+1＝﹣32023+1， ∴x+6y+z＝﹣32023+6×32022﹣32023+1 ＝﹣32023+2×32023﹣32023+1 ＝1． 【点评】本题主要考查了数字变化规律，代数式求值；解题的关键是得出每行之间的关系． 10．（2024秋•雁塔区校级期中）某公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设．图1为有1块六边形地砖时，正方形地砖有6块，三角形地砖有6块；图2为有2块六边形地砖时，正方形地砖有11块，三角形地砖有10块，……，按此照规律铺设下去． （1）每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加 　 块，三角形地砖会增加 　 块； （2）若铺设这条小路共用去n块六边形地砖，则共用去了 　 　块正方形地砖，　 　块三角形地砖的数量（分别用含n的代数式表示）； （3）当n＝30时，求正方形地砖和三角形地砖的总数量． 【分析】（1）根据所给图形，发现六边形及正方形地砖块数的变化规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）根据（1）中发现的规律进行计算即可． 【解答】解：（1）由所给图形可知， 当六边形地砖块数为1时，正方形地砖块数为：6＝1×5+1，三角形地砖块数为：6＝1×4+2； 当六边形地砖块数为2时，正方形地砖块数为：11＝2×5+1，三角形地砖块数为：10＝2×4+2； 当六边形地砖块数为3时，正方形地砖块数为：16＝3×5+1，三角形地砖块数为：14＝3×4+2； …， 当六边形地砖块数为n时，正方形地砖块数为（5n+1）块，三角形地砖块数为（4n+2）块； 所以每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加5块，三角形地砖会增加4块． 故答案为：5，4． （2）由（1）知， 当六边形地砖块数为n时，正方形地砖块数为（5n+1）块，三角形地砖块数为（4n+2）块． 故答案为：（5n+1），（4n+2）． （3）当n＝30时， 5n+1＝151（块），4n+2＝122（块）， 则151+122＝273（块）， 所以当n＝30时，求正方形地砖和三角形地砖的总数量为273块． 【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现六边形、正方形及三角形地砖块数的变化规律是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ （苏科版）七年级上册数学期末复习 重要考点10《规律探究问题》四大考点题型 【题型1 有理数中的规律探究题】 1．（2023秋•新抚区期末）将一列有理数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，……按如图所示进行排列，则2024应排在（　　） A．A位置 B．B位置 C．C位置 D．D位置 2．（2023秋•梅州期末）将连续正整数按如图所示的位置顺序排列，根据排列规律，则2023应在（　　） A．A处 B．B处 C．C处 D．D处 3．（2024秋•桐乡市校级月考）观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…解答问题：3+32+33+34+…+32026的末位数字是（　　） A．9 B．0 C．3 D．2 4．（2023秋•武平县期末）已知整数a1，a2，a3，a4，…，满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，…，依次类推，则a2024的值为（　　） A．﹣2024 B．2024 C．﹣1012 D．1012 5．（2023秋•南召县期末）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，﹣1的差倒数是．已知，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，以此类推，则a99＝（　　） A．﹣2 B． C． D． 6．（2024秋•合肥期中）一列数a1，a2，a3，…，an，其中a1＝﹣2，，，…，，则a1+a2+a3+⋯+a2023+a2024＝（　　） A． B． C．﹣112 D．﹣114 7．（2024秋•浦东新区期中）阅读理解： ； ； ； … 试运用上述方法计算： （1）； （2）． 8．（2023秋•利辛县校级期末）观察下列等式： （1）； （2）； （3）； （4）； …… 根据上述等式的规律，解答下列问题： （1）写出第5个等式：　 ； （2）写出第n个等式：　 　（用含有n的代数式表示）； （3）应用你发现的规律，计算：． 9．（2024秋•凉州区校级期中）观察下列各式：21﹣20＝20；22﹣21＝21；23﹣22＝22；24﹣23＝23…… （1）探索式子的规律，试写出第n个等式； （2）运用上面的规律，计算22020﹣22019﹣22018﹣…﹣2； （3）计算：27+28+29+210+…+2100． 10．（2024秋•齐河县期中）阅读材料：求1+2+22+23+24+…+2100． 首先设S＝1+2+22+23+24+…+2100③． 则2S＝2+22+23+24+25+…+2101②， ②﹣①得S＝2101﹣1， 即1+2+22+23+24+…+2100＝2101﹣1． 以上解法，在数列求和中，我们称之为“错位相减法”． 请你根据上面的材料，解决下列问题： （1）1+2+22+23+24+…+22000． （2）求1+3+32+33+34+…+32022的值． （3）若a为正整数且a≠1，求1+a+a2+a3+a4+…+a2020． 【题型2 程序图中的规律探究题】 1．（2024秋•正定县期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为96，我们发现第一次输出的结果为48，第二次输出的结果为24，…，则第2024次输出的结果为（　　） A．6 B．3 C． D．6027 2．（2023秋•沈河区期末）如图所示的运算程序中，如果开始输入的x值为﹣48，我们发现第1次输出的结果为﹣24，第2次输出的结果为﹣12，…，第2024次输出的结果为（　　） A．﹣6 B．﹣3 C．﹣24 D．﹣12 3．（2024秋•江海区期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为12，我们发现第1次输出的结果为6，第2次输出的结果为3，……第2013次输出的结果为（　　） A．3 B．6 C．4 D．8 4．（2024秋•菏泽期中）如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是2，第1次输出的结果是﹣1，第2次输出的结果是1，依次继续下去…，第2024次输出的结果是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．4 5．（2023秋•东平县期末）有一数值转换器，原理如图所示，如果开始输入x的值是34，则第一次输出的结果是17，第二次输出的结果是52，…，那么第2023次输出的结果是（　　） A．2 B．4 C．1 D．8 6．（2023秋•沈丘县期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值为30，第一次得到的结果为15，第二次得到的结果为24，……，请你探索第2023次得到的结果为 　 　． 7．（2023秋•镇赉县期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为100，我们发现第1次输出的结果为50，第2次输出的结果为25，…，第2022次输出的结果为 　 　． 【题型3 代数式中的规律探究题】 1．（2024秋•巴南区月考）如图是一组有规律的图案，第1个图案中有4个基本图形，第2个图案中有7个基本图形，第3个图案中有10个基本图形……，按这样的规律排列下去，第8个图案中基本图形的个数为（　　） A．19 B．22 C．25 D．28 2．（2024秋•本溪期中）如图是一组有规律的图案，第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有7个三角形，第③个图案中有10个三角形，…，依此规律，第⑩个图案中有（　　）个三角形． A．27 B．29 C．31 D．40 3．（2023秋•九龙坡区校级月考）用围棋子按下面的规律摆放图形，则摆放第2024个图形需要围棋子的枚数是（　　） A．6069 B．6070 C．6071 D．6074 4．（2024秋•闵行区期中）如图，将第1个图中的正方形剪开得到第2个图，第2个图中共有4个正方形；将第2个图中一个正方形剪开得到第3个图，第3个图中共有7个正方形；将第3个图中一个正方形剪开得到第4个图，第4个图中共有10个正方形……如此下去，则第2024个图中共有正方形的个数为（　　） A．2024 B．2022 C．6069 D．6070 5．（2023秋•东莞市校级期末）如图，用同样大小的棋子按以下规律摆放，则第2024个图中的棋子数是（　　） A．6070 B．6078 C．6072 D．6075 6．（2023秋•石城县期末）如图所示是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第n个图案中有2024个涂有阴影的小正方形，则n的值为（　　） A．2024 B．2023 C．674 D．673 7．（2024秋•玉州区期中）根据图中数字的规律，若第n个图中的q＝168，则p的值为（　　） A．144 B．121 C．100 D．81 8．（2024•中阳县三模）苯是一种有机化合物，是组成结构最简单的芳香烃，可以合成一系列衍生物．如图是某小组用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第1个图形需要9根小木棒，第2个图形需要16根小木棒，第3个图形需要23根小木棒……按此规律，第n个图形需要 　 　根小木棒．（用含n的代数式表示） 9．（2024秋•九台区期中）如图所示的图案是由正方形和三角形组成的，有着一定的规律，请完成下列问题： （1）第4个图案中，三角形有 　 个，正方形有 　 　个； （2）若用字母a、b分别代替三角形和正方形，则第1、第2个图案可表示为多项式4a+b，8a+4b，则第5个图案可表示为多项式 　 ； （3）在（2）的条件下，若a＝2，b＝2，求第5个图案所表示的多项式的值． 10．（2024秋•吴中区校级月考）如图，谢尔宾斯基三角形是一种无限分形结构，最早由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出，它是把一个等边三角形分别连接其三边中点，构成4个小等边三角形，挖去中间的一个小等边三角形（如图2），对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，将这种做法继续下去（如图3，图4，图5）观察规律解答以下各题： （1）填写下表： 图形序号 图2 图3 图4 图5 挖去三角形的个数 1 4 13 　 　 （2）若图1中的阴影三角形面积为1，则图2中的所有阴影三角形的面积之和为　 　，图3中的所有阴影三角形的面积之和为　 　． （3）在（2）的条件下，求图5中的所有阴影三角形的面积之和． 【题型4 一元一次方程中的规律探究题】 1．（2024秋•西陵区期中）将连续的奇数1，3，5；7，9，……排成如图所示： （1）十字框中5个数之和是41的几倍？ （2）设十字框中间的数为a，用式子分别表示十字框中其它四个数，并求出这五个数的和． （3）十字框中的五个数之和能等于2000吗？若能，请写出这五个数，若不能，请说明理由． 2．观察下表三行数的规律，回答下列问题： 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第6列 … 第1行 ﹣2 4 ﹣8 a ﹣32 64 … 第2行 0 6 ﹣6 18 ﹣30 66 … 第3行 ﹣1 2 ﹣4 8 ﹣16 b … （1）第1行的第四个数a是 　 　；第3行的第六个数b是 　 ； （2）若第1行的某一列的数为c，则第2行与它同一列的数为 　 　；（用含c的式子表示） （3）已知第n列的三个数的和为﹣1282，若设第1行第n列的数为x，试求x的值． 3．如下表，方程①、方程②、方程③、方程④…是按照一定规律排列的一列方程： 序号 方程 方程的解 ① 2（x﹣2）﹣3（x﹣1）＝1 x＝﹣2 ② 2（x﹣2）﹣3（x﹣2）＝2 x＝0 ③ 2（x﹣2）﹣3（x﹣3）＝3 x＝　　 ④ 2（x﹣2）﹣3（x﹣4）＝4 x＝　　 … … … （1）将上表补充完整， （2）按上述方程所包含的某种规律写出方程⑤及其解； （3）写出表内这列方程中的第n（n为正整数）个方程和它的解． 4．问题探究如下表：方程①，方程②，方程③，…是按照一定规律排列的一列方程． 序号 方程 方程的解 ① x ② （x﹣3）＝1 x ③ （x﹣4）＝1 x …… …… …… 分析上表方程中解分别与序号之间的相互关系，猜想并写出这列方程中的第n个方程和它的解． 5．（2024秋•道里区校级月考）阅读材料：一列方程如下排列： 的解是x＝2， 的解是x＝3， 的解是x＝4， 的解是x＝5，⋯ （1）根据观察得到的规律，直接写出其中解是x＝6的方程：　 ； （2）的解是x＝30，则m+n＝　 ； （3）的解是x＝a，则m＝　 　，n＝　 　（用含a的表达式表示m，n）． 6．（2023秋•新华区期末）如图是用棋子摆成的“上”字图案，按照这种规律继续摆下去，通过观察、对比、总结，找出规律，解答下列问题． （1）摆成图1需要 　 枚棋子，摆成图2需要 　 　枚棋子，摆成图3需要 　 枚棋子； （2）摆成图n需要 　 　枚棋子； （3）七（1）班有50名同学，把每名同学当成一枚“棋子”，能否让这50枚“棋子”按照以上规律恰好站成一“上”字？若能，请问能站成图几？并计算最下面一“横”的学生数；若不能，请说明理由． 1．（2024秋•防城区校级月考）观察21﹣1＝1，22﹣1＝3，23﹣1＝7，24﹣1＝15，25﹣1＝31，…，归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测22024﹣1的个位数字是（　　） A．1 B．3 C．7 D．5 2．（2023秋•新华区校级期末）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．则下列符合这一规律的等式是（　　） A．20＝4+16 B．25＝9+16 C．36＝15+21 D．49＝20+29 3．（2024秋•渝中区校级月考）杨辉三角是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示是一种变异的“杨辉三角”，按箭头方向依次记为：a1＝1，a2＝4，a3＝3，a4＝8，a5＝7，a6＝16，a7＝15⋯，则a2026+a2027等于（　　） A．21014﹣1 B．21014+1 C．21015﹣1 D．21015+1 4．（2023秋•湘潭期末）观察元素原子结构示意图的规律，则某元素原子结构的原子核中应填的是（　　） A．+14 B．+15 C．+16 D．+18 5．（2024秋•盐都区校级月考）如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第23个图形需要黑色棋子的个数为　 ． 6．（2024秋•乳山市期中）观察规律：，，，，若符合上述规律，则m+n＝ 　 ． 7．（2024秋•通辽期中）如图，将第1个图中的正方形剪开得到第2个图，第2个图中共有4个正方形；将第2个图中一个正方形剪开得到第3个图，第3个图中共有7个正方形；将第3个图中一个正方形剪开得到第4个图，第4个图中共有10个正方形…如此下去，则第2024个图中共有正方形的个数为 　 　． 8．（2023秋•遵义期末）如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，小芳在探索杨辉三角每一行中所有数字之和的规律时，将第1行的数字之和记为S1，第2行的数字之和记为S2，第3行的数字之和记为S3，…，第n行的数字之和记为Sn，根据每一行的规律，图中a的值为 　 　；则Sn﹣Sn﹣1＝ 　 　．（用含n的式子表示） 9．（2023秋•鼓楼区校级期中）观察下面三行数： ﹣3、9、﹣27、81、…① 1、﹣3、9、﹣27、…② ﹣2、10、﹣26、82、…③ （1）思考第①行数的规律，写出第n个数字是 　 ； （2）设x、y、z分别为①②③行的第2023个数，求x+6y+z的值． 10．（2024秋•雁塔区校级期中）某公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设．图1为有1块六边形地砖时，正方形地砖有6块，三角形地砖有6块；图2为有2块六边形地砖时，正方形地砖有11块，三角形地砖有10块，……，按此照规律铺设下去． （1）每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加 　 块，三角形地砖会增加 　 块； （2）若铺设这条小路共用去n块六边形地砖，则共用去了 　 　块正方形地砖，　 　块三角形地砖的数量（分别用含n的代数式表示）； （3）当n＝30时，求正方形地砖和三角形地砖的总数量． 学科网（北京）股份有限公司 $$