期末复习重要考点04《一元一次方程》十大考点题型-2024-2025学年七年级数学上册期末复习【重要考点】专练（苏科版2024）

（苏科版）七年级上册数学期末复习 重要考点04《一元一次方程》十大考点题型 ▲知识点1. 方程及一元一次方程的概念 ★方程的有关概念 ◆1、定义：含有未知数的等式叫做方程． ◆2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. ◆3、解方程：求方程的解的过程叫做解方程． ◆4、方程的两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母 (或未知数). ★一元一次方程的有关概念 ◆一元一次方程：只含有一 个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程. 【注意】“元”是指未知数的个数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：①首先是一个方程；②其次是必须只含有一个未知数；③未知数的指数是 1；④分母中不含有未知数. ★列方程的步骤： ①设出字母所表示的未知数； ②找出问题中的相等关系； ③列出含有未知数的等式﹣﹣﹣﹣方程． ▲知识点2. 根据实际问题列方程 1、列方程的依据： 2、审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程． ▲知识点3. 等式的性质 1、等式的性质 性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 2、利用等式的性质解方程 利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化． ▲知识点4 解一元一次方程---合并同类项 1、利用合并同类项解一元一次方程的一般步骤和方法： （1）合并同类项，即把含有未知数的同类项和常数项分别合并; （2）系数化为 1，即在方程的两边同时除以未知数的系数. ▲知识点5. 解一元一次方程---移项 1、移项：一般地，把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项. 2、移项的依据及注意事项： （1）移项是将项从等号的一边移到另一边的变形，移项实际上是利用等式的性质 1. （2）移项一定要变号. （3）在解方程时，习惯上把含有未知数的项放在等号的左边，常数项放在等号的右边. （4）方程中的项包括数和它前面的符号. （5）不要把移项和加法交换律混淆. ▲知识点6. 解一元一次方程---去括号 ◆1、去括号的概念：解一元一次方程时，按照去括号法则把方程中的括号去掉，这个过程叫做去括号. 2、去括号的法则： 去掉“+( )”，括号内各项的符号不变. 去掉“–( )”，括号内各项的符号改变. 3、去括号的顺序： 先去小括号，再去中括号，最后去大括号，一般是由内向外去括号；也可以由外向内去括 号，先去大括号，再去中括号，最后去小括号.运用乘法分配律去括号时，不要漏掉括号内 的任何一项. 4、解含有括号的方程一般步骤： （1）去括号. （2）移项. （3）合并同类项 . （4）系数化为1. ▲知识点7. 解一元一次方程---去分母 1、 去分母的概念：解含有分母系数的一元一次方程时，方程两边各项都乘所有分母的最小公倍数，从而约去分母，使方程的系数化成整数，这个过程叫做去分母. 2.“去分母”的依据是等式的性质二. . 3“去分母的方法：“去分母”的方法是方程两边同时乘以分母的最小公倍数. . 4、“去分母”的注意事项： （1）去分母时，方程两边的每一项都要乘各分母的最小公倍数，不要漏乘没有分母的项. （2）去分母时，若分子是多项式，去掉分母后这个多项式要加上括号. （3）当分母含有小数时，先利用分数的基本性质把小数化为整数，再去分母. 5、去分母解方程的步骤是： ①去分母； ② 去括号 ；③ 移项 ；④ 合并同类项； ⑤系数化为1 . ▲知识点8. 用一元一次方程解决问题 ★★列方程解应用题的步骤： 1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数． 3．列：根据等量关系列出方程． 4．解：解方程，求得未知数的值． 5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句． ★★用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下： 【题型1 方程的有关概念】 1．（2023秋•涪城区期末）下列各式中，属于方程的是（　　） A．6+（﹣2）＝4 B． C．7x＞5 D．2x﹣1＝5 【分析】根据方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、6+（﹣2）＝4不含未知数，不是方程，不符合题意； B、x﹣2不是等式，故不是方程，不符合题意； C、7x＞5不是等式，故不是方程，不符合题意； D、2x﹣1＝5是含有未知数的等式，是方程，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查的是方程的定义，熟知含有未知数的等式叫方程是解题的关键． 2．（2023秋•禹城市期末）在①2﹣5；②1+7x＝﹣8y+3；③x＝6；④3x＝2x﹣9；⑤2x＞7中，方程共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】方程是指含有未知数的等式，所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式；由此进行判断． 【解答】解：在①2﹣5；②1+7x＝﹣8y+3；③x＝6；④3x＝2x﹣9；⑤2x＞7中，方程有②③④共有3个． 故选：C． 【点评】此题考查方程的辨识，只有含有未知数的等式才是方程． 3．（2023秋•台山市期末）已知下列方程：①x﹣2；②0.2x＝1；③x﹣3；④x﹣y＝6；⑤x＝0，其中一元一次方程有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．即可判断． 【解答】解：根据一元一次方程定义可知： 下列方程： ①x﹣2； ②0.2x＝1； ③x﹣3； ④x﹣y＝6； ⑤x＝0， 其中一元一次方程有②⑤． 故选：A． 【点评】本题考查了一元一次方程的定义，解决本题的关键是掌握一元一次方程的定义． 4．（2023秋•静海区校级期中）已知（m﹣3）x|m|﹣2﹣3m＝0是关于x的一元一次方程，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．±3 【分析】根据一元一次方程的定义列出关于m的不等式，求出m的值即可． 【解答】解：∵（m﹣3）x|m|﹣2﹣3m＝0是关于x的一元一次方程， ∴m﹣3≠0，|m|﹣2＝1， 解得m＝﹣3． 故选：C． 【点评】本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解题的关键． 5．（2023秋•平桥区期末）若（m﹣3）x|m﹣2|+6＝0是关于x的一元一次方程，则m的值为 　 　． 【分析】根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： |m﹣2|＝1且m﹣3≠0， ∴m＝3或1且m≠3， ∴m＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了绝对值，一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 6．（2023秋•宝应县期末）已知关于x的方程（m+5）x|m|﹣4+18＝0是一元一次方程． （1）求m的值； （2）求代数式5x﹣3m的值． 【分析】（1）根据一元一次的定义列出关于m的不等式和方程，求出m的值即可； （2）把m＝5代入方程求出5x的值，再把m，5x的值代入代数式即可得出结论． 【解答】解（1）|m|﹣4＝1且m+5≠0， 解得m＝5； （2）当m＝5时，原方程可化为：10x+18＝0， 解得5x＝﹣9， 将m＝5，5x＝﹣9代入得﹣9﹣3×5＝﹣9﹣15＝﹣24． 【点评】本题考查的是一元一次方程，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解题的关键． 【题型2 等式的基本性质】 1．（2023秋•红旗区校级期末）下列运用等式的性质的变形中，正确的是（　　） A．如果a＝b，那么a+1＝b﹣1 B．如果，那么2a＝4b C．如果ac＝bc，那么a＝b D．如果a2＝3a，那么a＝3 【分析】等式的性质1：等式两边同时加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式；②等式的性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式．根据等式的性质逐项判断即可． 【解答】解：A．如果a＝b，那么a+1＝b+1，故选项错误，不符合题意； B．如果，那么2a＝4b，选项正确，符合题意； C．如果ac＝bc，c≠0时，那么a＝b，故选项错误，不符合题意； D．如果a2＝3a，a≠0时，那么a＝3，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查等式的性质，关键是熟练掌掘等式的性质． 2．（2023秋•东莞市校级期末）根据等式的性质，下列变形错误的是（　　） A．如果x+2＝y+2，那么x＝y B．如果x＝y，那么x﹣4＝y﹣4 C．如果ax＝ay，那么x＝y D．如果，那么x＝y 【分析】根据等式的性质计算判断即可． 【解答】解：A．如果x+2＝y+2，那么x＝y，正确，不符合题意； B．如果x＝y，那么x﹣4＝y﹣4，正确，不符合题意； C．如果ax＝ay，那么x＝y，错误，符合题意； D．如果，那么x＝y，正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是关键． 3．（2023秋•和平区校级期末）下列各式进行的变形中，不正确的是（　　） A．若3a＝2b，则3a+2＝2b+2 B．若3a＝2b，则9a＝4b C．若3a＝2b，则3a﹣5＝2b﹣5 D．若3a＝2b，则 【分析】根据等式的性质逐个判断即可． 【解答】解：A．∵3a＝2b， ∴3a+2＝2b+2，故本选项不符合题意； B．∵3a＝2b， ∴9a＝6b≠4b，故本选项符合题意； C．∵3a＝2b， ∴3a﹣5＝2b﹣5，故本选项不符合题意； C．∵3a＝2b， ∴（等式两边都除以6），故本选项不符合题意； D．当a＝0时，由a2＝6a不能推出a＝6，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了等式的性质，能熟记等式的性质是解此题的关键，注意：①等式的性质1、等式的两边都加（或减）同一个数（或式子），等式仍成立；②等式的性质2、等式的两边都乘同一个数，等式仍成立，等式的两边都除以同一个不等于0的数，等式仍成立． 4．（2023秋•大埔县期末）下列方程的变形中正确的是（　　） A．由x+5＝6x﹣7得x﹣6x＝7﹣5 B．由﹣2（x﹣1）＝3得﹣2x﹣2＝3 C．由得 D．由得2x＝6 【分析】分别对所给的四个方程利用等式性质进行变形，可以找出正确答案． 【解答】解：A、由x+5＝6x﹣7得x﹣6x＝﹣7﹣5，故错误； B、由﹣2（x﹣1）＝3得﹣2x+2＝3，故错误； C、由得1，故错误； D、正确． 故选：D． 【点评】本题考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．注意移项要变号． 5．（2023秋•渌口区期末）能运用等式的性质说明如图事实的是（　　） A．若a+c＝b+c，那么a＝b（a，b，c均不为0） B．若a＝b，那么a+c＝b+c（a，b，c均不为0） C．若a﹣c＝b﹣c，那么a＝b（a，b，c均不为0） D．若ac＝bc，那么a＝b（a，b，c均不为0） 【分析】利用图形直观得出答案． 【解答】解：由图可知，等式的左右两边都减去同一个数或整式，左右两边仍然相等， 故答案为：A． 【点评】本题考查的是等式的性质，读图是解题的关键． 6．（2023秋•麻阳县期末）下列等式变形：①若a＝b，则a+x＝b+x；②若ax＝﹣ay，则x＝﹣y；③若4a＝3b，则4a﹣3b＝1；④若，则4a＝3b；⑤若，则2x＝3y．其中一定正确的是 　 　（填正确的序号） 【分析】根据等式的性质，结合各选项进行判断即可． 【解答】解：①若a＝b，则a+x＝b+x，变形正确； ②若ax＝﹣ay，且a≠0时，则x＝﹣y，变形不正确； ③若4a＝3b，则4a﹣3b＝0，变形不正确； ④若，则4a＝3b，变形正确； ⑤若，则2x＝3y，变形正确． 故答案为：①④⑤． 【点评】本题考查了等式的性质，注意掌握：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 7．（2023秋•渌口区期末）一般情况下不成立，但也有数可以使得它成立，例如：m＝n＝0．能使得成立的一对数m、n我们称为“相伴数对”，记为（m，n）．若（x，3）是“相伴数对”，则x的值为 　 ． 【分析】利用新定义“相伴数对”列出算式，计算即可求出x的值． 【解答】解：根据题意得：， 去分母，得：15x+30＝6x+18， 移项，得：15x﹣6x＝18﹣30， 合并同类项，得：9x＝﹣12， 解得：x． 故答案为：． 【点评】此题考查了等式的性质，弄清题中的新定义，能够正确解一元一次方程是解本题的关键． 8．（2023春•滨江区期末）已知t（a，b是常数，x≠﹣a）．① （1）若a＝﹣2，b，求t； （2）试将等式①变形成“Ax＝B”形式，其中A，B表示关于a，b，t的整式； （3）若t的取值与x无关，请说明ab＝﹣1． 【分析】（1）将a＝﹣2，b，代入t进行计算即可； （2）根据等式的性质，依次进行去分母、去括号、移项、合并同类项即可； （3）由t的取值与x无关可得b＝t，进而得到ta+1＝0，即ab+1＝0，得出结论． 【解答】解：（1）当a＝﹣2，b时， t； （2）将t两边都乘以（x+a）得， t（x+a）＝bx﹣1， 去括号得，tx+ta＝bx﹣1， 移项得，tx﹣bx＝﹣1﹣ta， 两边都乘以﹣1得，bx﹣tx＝ta+1， 即（b﹣t）x＝ta+1， ∴A＝b﹣t，B＝ta+1； （3）∵t的取值与x无关， ∴b﹣t＝0，即b＝t， ∴ta+1＝0，即ab+1＝0， ∴ab＝﹣1． 【点评】本题考查等式的性质，掌握等式的性质是正确解答的前提． 【题型3一元一次方程的解法】 1．（2022秋•吕梁期末）下列解方程去分母正确的是（　　） A．由得2x﹣1＝3﹣3x B．由得2（x﹣2）﹣3x﹣2＝﹣4 C．由得3x+1＝10﹣2x+6 D．由得3x+3＝2x﹣3x+1 【分析】根据去分母的方法，方程两边都乘以分母的最小公倍数，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、方程两边都乘以6得，2x﹣6＝3﹣3x，故本选项错误； B、方程两边都乘以4得，2（x﹣2）﹣3x+2＝﹣4，故本选项错误； C、方程两边都乘以10得，3x+1＝10﹣2x﹣6，故本选项错误； D、方程两边都乘以6得，3x+3＝2x﹣3x+1，故本选项正确． 故选：D． 【点评】本题主要考查了解一元一次方程，注意在去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号． 2．（2023秋•临武县校级月考）解方程1时，去分母正确的是（　　） A．4（2x﹣1）﹣9x﹣12＝1 B．8x﹣4﹣3（3x﹣4）＝12 C．4（2x﹣1）﹣9x+12＝1 D．8x﹣4+3（3x﹣4）＝12 【分析】先将方程中的小数化为整数，再根据等式的性质方程两边同时乘以12，进而即可求解． 【解答】解：， 分子分母同时乘以10得：， 方程两边同时乘以12得，4（2x﹣1）﹣3（3x﹣4）＝12， 即8x﹣4﹣3（3x﹣4）＝12， 故选：B． 【点评】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤去分母是解题的关键． 3．（2023秋•兰山区校级期末）下列方程变形中，正确的是（　　） A．方程2x+1＝x﹣2，移项，得2x﹣x＝2﹣1 B．方程1﹣x＝3﹣2（x+1），去括号，得1﹣x＝3﹣2x+2 C．方程﹣2x＝1，未知数系数化为1，得x＝﹣2 D．方程化成 【分析】A、方程移项得到结果，即可作出判断； B、方程去括号得到结果，即可作出判断； C、方程x系数化为1得到结果，即可作出判断； D、方程左边第一项分子分母同时乘10，约分得到结果，即可作出判断． 【解答】解：A、方程2x+1＝x﹣2，移项得：2x﹣x＝﹣2﹣1，不符合题意； B、方程1﹣x＝3﹣2（x+1），去括号得：1﹣x＝3﹣2x﹣2，不符合题意； C、方程﹣2x＝1，未知数系数化为1，得x，不符合题意； D、方程0.5，化成0.5，符合题意． 故选：D． 【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并，把未知数系数化为1，求出解． 4．（2023秋•灵山县校级期末）解方程： （1）3+2x＝18﹣3x； （2）． 【分析】（1）直接移项、合并同类项即可解方程； （2）按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤即可解方程． 【解答】解：（1）3+2x＝18﹣3x， 移项：2x+3x＝18﹣3， 合并同类项：5x＝15， 系数化1：x＝3． （2）， 去分母：2（x+1）﹣（3x﹣1）＝4， 去括号：2x+2﹣3x+1＝4， 移项：2x﹣3x＝4﹣2﹣1， 合并同类项：﹣x＝1， 系数化1：x＝﹣1． 【点评】本题考查一元一次方程的解法，熟记解方程步骤是解题的关键． 5．（2023秋•红旗区校级期末）解方程： （1）2﹣3（2﹣x）＝4﹣x； （2）． 【分析】（1）去括号，然后移项合并，最后系数化为1即可； （2）先去分母，然后去括号，移项合并，最后系数化为1即可． 【解答】（1）2﹣3（2﹣x）＝4﹣x， 2﹣6+3x＝4﹣x， 4x＝8， 解得：x＝2； （2）， 3（4y﹣1）﹣12＝2（5y﹣7）， 12y﹣3﹣12＝10y﹣14， 2y＝1， 解得：． 【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 6．（2023秋•南岗区校级月考）解方程． （1）2﹣5x＝3x+4； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）通过移项、合并同类项、系数化为1等过程，求得x的值； （2）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等过程，求得x的值； （3）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等过程，求得y的值； （4）先把原方程变形，然后通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等过程，求得x的值． 【解答】解：（1）2﹣5x＝3x+4， 移项，得﹣5x﹣3x＝4﹣2， 合并同类项，得﹣8x＝2， 系数化为1，得x； （2）， 去分母，得2x﹣1+3＝18（2x﹣1）， 去括号，得2x﹣1+3＝36x﹣18， 移项，得2x﹣36x＝﹣18+1﹣3， 合并同类项，得﹣34x＝﹣20， 系数化为1，得x； （3）， 去分母，得3（3y﹣1）﹣2（5y﹣7）＝12， 去括号，得9y﹣3﹣10y+14＝12， 移项，得9y﹣10y＝12+3﹣14， 合并同类项，得﹣y＝1， 系数化为1，得y＝﹣1； （4）， 原方程可化为， 去分母，得4（x﹣20）+3（30﹣7x）＝12， 去括号，得4x﹣80+90﹣21x＝12， 移项，得4x﹣21x＝12+80﹣90， 合并同类项，得﹣17x＝2， 系数化为1，得x． 【点评】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程常见的过程有去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等． 7．（2023秋•平顶山期末）解方程：1，小华的过程如下： 解：去分母，得：4（2x﹣1）＝3（x+2）﹣1……第一步 去括号，得：8x﹣4＝3x+6﹣1 ……第二步 移项、合并同类项，得：5x＝9……第三步 系数化为1，得：x ……第四步 （1）请你指出上述过程从第 　 　步开始出现错误，这一步错误的原因是 　 ； （2）写出该方程的正确求解过程． 【分析】（1）观察已知条件中的解方程的过程可知：去分母时，方程两边要同时乘各分母的最小公倍数12，由此可以得到答案； （2）按照解一元一次方程的一般步骤进行解答即可． 【解答】解：（1）解方程过程从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是：﹣1没有乘12， 故答案为：一，﹣1没有乘12； （2）正确的求解过程如下： 去分母得：4（2x﹣1）＝3（x+2）﹣12， 去括号得：8x﹣4＝3x+6﹣12， 移项得：8x﹣3x＝4+6﹣12， 合并同类项得：5x＝﹣2， 系数化为1得：． 【点评】本题主要考查了解一元一次方程，解题关键是熟练掌握解一元一次方程时需要注意的事项． 【题型4 方程解中的遮挡问题】 1．方程﹣3（•﹣9）＝5x﹣1，•处被墨水盖住了，已知方程的解x＝2，那么•处的数字是（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【分析】设•处的数字是a，把x＝2代入已知方程，可以列出关于a的方程，通过解该方程可以求得•处的数字． 【解答】解：设•处的数字是a， 则﹣3（a﹣9）＝5x﹣1， 将x＝2代入，得：﹣3（a﹣9）＝9， 解得a＝6， 故选：D． 【点评】此题考查的是一元一次方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 2．（2023秋•荣成市期末）有一道解一元一次方程的题：3x﹣（5口x）＝﹣9，“口”处为运算符号，在印刷时被油墨盖住了，查阅后面的答案得知这个方程的解是x＝﹣2，那么“口”处应该是（　　） A．× B．÷ C．+ D．﹣ 【分析】根据方程的解的定义把x＝﹣2代入方程，就可以求出被油墨盖住的地方了． 【解答】解：把x＝﹣2代入方程3x﹣（5口x）＝﹣9得， 3×（﹣2）﹣[5口（﹣2）]＝﹣9， 5口（﹣2）＝3， ∵5+（﹣2）＝3， ∴口处应该是+， 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，熟知方程解的定义是解题的关键． 3．（2023秋•峨山县期末）小丽同学在做作业时，不小心将方程2（x﹣3）﹣■＝x+1中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x＝9，请问这个被污染的常数■是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】根据方程的解是x＝9，把x＝9代入2（x﹣3）﹣■＝x+1，解出方程即可． 【解答】解：把x＝9代入2（x﹣3）﹣■＝x+1，得 2×（9﹣3）﹣■＝9+1， 解得■＝2； 故选：C． 【点评】本题考查了方程的解，掌握代入计算法是解题关键． 4．（2023秋•长安区期末）小明同学在解方程（1）＝x时，墨水把其中一个数字染成了“■”，他翻阅了答案知道这个方程的解为，请帮他推算被染了的数字“■”应该是 　 　． 【分析】设“■”表示的数为a，将一元一次方程的解代入求解即可得出结果． 【解答】解：设“■”表示的数为a， 将代入方程得：， 解得a＝5， 即“■”表示的数为a＝5， 故答案为：a＝5． 【点评】本题主要考查一元一次方程的解及解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题关键． 5．（2023秋•邢台期末）嘉淇在解关于x的一元一次方程时，发现常数■被污染了． （1）嘉淇猜■是2，请解一元一次方程； （2）若老师告诉嘉淇这个方程的解x＝﹣1，求被污染的常数． 【分析】（1）按照去分母，移项合并，系数化1的步骤求解即可； （2）设被污染的正整数为m，则有，再把x＝﹣1代入方程，即可求解． 【解答】解：（1）， 去分母得，3x﹣1+4＝6， 移项，合并同类项得3x＝3， 系数化为1，得x＝1； （2）设被污染的正整数为m，则有， ∵x＝﹣1是方程的解， ∴， 解得m＝5． 【点评】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解，以及解一元一次方程的方法和步骤． 6．（2023秋•海安市期中）小亮在解关于x的一元一次方程■＝3时，发现正整数■被污染了． （1）小亮猜■是5，则方程的解x＝　 ； （2）若老师告诉小亮这个方程的解是正整数，则被污染的正整数是多少？ 【分析】（1）利用去分母，移项，合并同类项，系数化1，可得答案； （2）设被污染的正整数为m，则有m＝3，求解可得答案． 【解答】解：（1）， 去分母，得3x﹣1+10＝6， 移项，合并同类项得3x＝﹣3， 系数化1，得x＝﹣1； 故答案为：﹣1； （2）设被污染的正整数为m，则有m＝3， 3x﹣1+2m＝6， 解得x， ∵是正整数，m为正整数， ∴m＝2． 即被污染的正整数是2． 【点评】此题考查的是一元一次方程的解，使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 【题型5 求一元一次方程含参问题】 1．已知关于x的方程4ax+5＝﹣3﹣a的解为，则3a+5的值为　 　． 【分析】根据方程解的定义，将方程的解代入方程可得关于字母系数a的一元一次方程，从而可求出a的值，然后将其代入求值式即可得到答案． 【解答】解：方法1：把x代入方程，得：4a+5＝﹣3﹣a， 解得：a． ∴3a+5＝3×（）+5＝﹣3． 方法2：把x代入方程，得：4a+5＝﹣3﹣a，即2a+5＝﹣3﹣a，3a+5＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】已知条件中涉及到方程的解，把方程的解代入原方程，转化为关于字母系数的方程进行求解．可把它叫做“有解就代入”． 2．（2024春•沈丘县月考）已知关于x的方程5x﹣2＝3x+16的解与方程4m+1＝4（x+m）﹣5m的解相同，则m＝　 　． 【分析】先解方程5x﹣2＝3x+16，可得x＝9，然后把x＝9代入方程4m+1＝4（x+m）﹣5m中得：4m+1＝4（9+m）﹣5m，从而进行计算即可解答． 【解答】解：5x﹣2＝3x+16， 5x﹣3x＝16+2， 2x＝18， x＝9， 由题意得：把x＝9代入方程4m+1＝4（x+m）﹣5m中得： 4m+1＝4（9+m）﹣5m， 4m+1＝36+4m﹣5m， 4m﹣4m+5m＝36﹣1， 5m＝35， m＝7， 故答案为：7． 【点评】本题考查了同解方程，熟练掌握同解方程的意义是解题的关键． 3．（2023秋•梁山县期末）关于x的方程4x﹣2m＝3x﹣1的解是x＝2x﹣3m的解的2倍，则m的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】分别表示出两个方程的解，根据解的关系列出方程，求出方程的解即可得到m的值． 【解答】解：方程4x﹣2m＝3x﹣1， 解得：x＝2m﹣1， 方程x＝2x﹣3m， 解得：x＝3m， 根据题意得：2m﹣1＝6m， 解得：m． 故选：C． 【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 4．（2023秋•丹徒区期末）已知：关于x的方程的解是x＝2，其中a≠0且b≠0，则代数式的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】把x＝2代入方程得出，求出5a＝4b，求出ab，再代入求出答案即可． 【解答】解：把x＝2代入方程得： ， 5（2+a）＝2（2b+5）， 10+5a＝4b+10， 5a＝4b， ab， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于a、b的方程是解此题的关键． 5．（2023秋•船营区校级期中）若关于x的方程x+m﹣3＝0和2x﹣3的解的和为5，求m的值． 【分析】先求出第二次方程的解是x＝4，再求出第一个方程的解是x＝1，把x＝1代入第一个方程，再求出m即可． 【解答】解：解方程2x﹣3得：x＝4， ∵关于x的方程x+m﹣3＝0和2x﹣3的解的和为5， ∴方程x+m﹣3＝0的解是x＝5﹣4＝1， 把x＝1代入方程x+m﹣3＝0得：1+m﹣3＝0， 解得：m＝2． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，能求出第二个方程的解是x＝1是解此题的关键． 6．（2024春•淮阳区月考）已知关于x的方程与方程3+4x＝2（6﹣x）的解互为相反数，求m的值． 【分析】首先解得第二个方程的解，然后根据相反数的定义将x代入第一个方程来求m的值即可． 【解答】解：3+4x＝2（6﹣x）， 3+4x＝12﹣2x， 4x+2x＝12﹣3， 6x＝9， 解得：， ∴x是方程的解， 代入得：， ∴﹣3+2m＝﹣9﹣3m， 解得：m． 【点评】本题考查了方程的解和解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 7．（2023秋•拜城县月考）关于x的方程x﹣2m＝﹣3x+4与2﹣x＝m的解相同． （1）求m的值； （2）求这两个方程的解． 【分析】（1）先分别解两个一元一次方程，再根据它们的解相同求解即可； （2）将m的值代入（1）中的方程的解，即可求解． 【解答】解：（1）解方程x﹣2m＝﹣3x+4，得， 解方程2﹣x＝m，得x＝2﹣m， ∵方程x﹣2m＝﹣3x+4与2﹣x＝m的解相同， ∴， 解得； （2）∵， ∴， ∴这两个方程的解均为． 【点评】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 8．（2023春•鲤城区校级期中）已知：方程（m+2）x|m|﹣1﹣m＝0①是关于x的一元一次方程． （1）求m的值； （2）若上述方程①的解与关于x的方程x3x②的解互为相反数，求a的值． 【分析】（1）依据一元一次方程的定义可得到|m|﹣1＝1，且m+2≠0； （2）先求得方程①的解，从而可得到方程②的解，然后代入求得a的值即可． 【解答】解：（1）∵方程（m+2）x|m|﹣1﹣m＝0①是关于x的一元一次方程， ∴|m|﹣1＝1，且m+2≠0， 解得m＝2． （2）当m＝2时，原方程变形为4x﹣2＝0，解得x， ∵方程①的解与关于x的方程x3x②的解互为相反数， ∴方程②的解为x． 方程x3x去分母得：6x+2（6x﹣a）＝a﹣18x 去括号得：6x+12x﹣2a＝a﹣18x， 移项、合并同类项得：3a＝36x， ∴a＝12x＝12×（）＝﹣6． 【点评】本题主要考查的是一元一次方程的定义、一元一次方程的解的定义，解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【题型6利用一元一次方程解决错解问题】 1．（2023秋•保亭县期末）某同学在解关于x的方程5a﹣x＝13时，误将﹣x看作+x，得到方程的解为x＝﹣2．则原方程的解为（　　） A．x＝2 B．x＝1 C．x＝0 D．x＝﹣3 【分析】把x＝﹣2代入方程5a+x＝13得出5a﹣2＝13，求出a的值，再求出原方程的解即可． 【解答】解：把x＝﹣2代入方程5a+x＝13得：5a﹣2＝13， 解得：a＝3， 即方程为15﹣x＝13， 解得：x＝2， 即原方程的解是x＝2， 故选：A． 【点评】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键． 2．（2023秋•安新县期末）解方程时，小刚在去分母的过程中，右边的“﹣1”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为x＝4，则方程正确的解是（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x＝﹣4 D．x＝﹣1 【分析】根据题意按照小刚的解方程步骤解方程，再根据解为x＝4求出a的值，再按照正确的步骤解方程即可． 【解答】解：由题意得，小刚的解题过程如下： 去分母得：2（2x﹣1）＝3（x+a）﹣1， 去括号得：4x﹣2＝3x+3a﹣1， 移项得：4x﹣3x＝3a﹣1+2， 合并同类项得：x＝3a+1， ∵小刚的求解结果为x＝4， ∴3a+1＝4， ∴a＝1， 正确过程如下：， 去分母得：2（2x﹣1）＝3（x+1）﹣6， 去括号得：4x﹣2＝3x+3﹣6， 移项得：4x﹣3x＝3﹣6+2， 合并同类项得：x＝﹣1， 故选：D． 【点评】本题主要考查了解一元一次方程，正确理解题意还原小刚的解题过程从而求出a的值是解题的关键． 3．（2023秋•灵宝市期末）小红在解关于x的方程：﹣3x+1＝3a﹣2时，误将方程中的“﹣3”看成了“3”，求得方程的解为x＝1，则原方程的解为　 ． 【分析】把x＝1代入3x+1＝3a﹣2，求出a的值，再把a的值代入原方程求解即可． 【解答】解：把x＝1代入3x+1＝3a﹣2， 得3+1＝3a﹣2， 解得a＝2， 故原方程为﹣3x+1＝6﹣2， ﹣3x＝3， 解得x＝﹣1． 故答案为：x＝﹣1． 【点评】本题考查了一元一次方程的解的定义．使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 4．（2023秋•献县期末）小马虎在解关于x的方程2a﹣5x＝21时，误将“﹣5x”看成了“+5x”，得方程的解为x＝3，则原方程的解为　 　． 【分析】把x＝3代入2a+5x＝21得出方程2a+15＝21，求出a＝3，得出原方程为6﹣5x＝21，求出方程的解即可． 【解答】解：∵小马虎在解关于x的方程2﹣5x＝21时，误将“﹣5x”看成了“+5x”，得方程的解为x＝3， ∴把x＝3代入2a+5x＝21得出方程2a+15＝21， 解得：a＝3， 即原方程为6﹣5x＝21， 解得x＝﹣3． 故答案为：x＝﹣3． 【点评】本题考查了一元一次方程的解的定义．使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 5．（2023•秦皇岛一模）米老鼠在解方程1的过程中，去分母时方程右边的﹣1忘记乘6，因而求得的解为x＝2． （1）请你帮助米老鼠求出a的值； （2）正确地解这个方程． 【分析】（1）把x＝2代入方程2（2x﹣1）＝3（x+a）﹣1得出2×（2×2﹣1）＝3（2+a）﹣1，再求出方程的解即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可． 【解答】解：（1）把x＝2代入方程2（2x﹣1）＝3（x+a）﹣1得：2×（2×2﹣1）＝3（2+a）﹣1， 解得：a； （2）方程为1， 2（2x﹣1）＝3（x）﹣6， 4x﹣2＝3x+1﹣6， 4x﹣3x＝1﹣6+2， x＝﹣3． 【点评】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，注意：使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解． 6．小王在解关于x的方程3a﹣2x＝15时，误将﹣2x看作2x，得方程的解x＝3， （1）求a的值； （2）求此方程正确的解； （3）若当y＝a时，代数式my3+ny+1的值为5，求当y＝﹣a时，代数式my3+ny+1的值． 【分析】（1）把x＝3代入方程即可得到关于a的方程，求得a的值； （2）把a的值代入方程，然后解方程求解； （3）把y＝a代入my3+ny+1得到m和n的式子，然后把y＝﹣a代入my3+ny+1，利用前边的式子即可代入求解． 【解答】解：（1）把x＝3代入3a+2x＝15得3a+6＝15， 解得：a＝3； （2）把a＝3代入方程得：9﹣2x＝15， 解得：x＝﹣3； （3）把y＝a代入my3+ny+1得27m+3n+1＝5， 则27m+3n＝4， 当y＝﹣a时，my3+ny+1＝﹣27m﹣3n+1＝﹣（27m+3n）+1＝﹣4+1＝﹣3． 【点评】本题考查了方程的解的定义，以及代数式的求值，正确理解方程的解的定义，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，是关键． 【题型7一元一次方程的整数解问题】 1．（2023秋•西城区校级期中）若关于x的一元一次方程kx＝x+3的解为正整数，则整数k的值为（　　） A．2 B．4 C．0或2 D．2或4 【分析】先求出方程的解，再根据关于x的一元一次方程kx＝x+3的解为正整数和k为整数得出k﹣1＝1或k﹣1＝3，再求出k即可． 【解答】解：解方程kx＝x+3得：x， ∵关于x的一元一次方程kx＝x+3的解为正整数，k为整数， ∴k﹣1＝1或k﹣1＝3， ∴k＝2或4． 故选：D． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，能根据题意得出关于k的方程是解此题的关键． 2．（2023秋•越秀区校级期中）若关于x的方程（k﹣2013）x＝2015﹣2014x的解是整数，则整数k的值有（　　） A．4个 B．8个 C．12个 D．16个 【分析】先求方程的解x，再根据x是整数，求整数k． 【解答】解：∵（k﹣2013）x＝2015﹣2014x， ∴x， ∵x、k都是整数，2015＝1×5×13×31， ∴k+1可取：±1，±5，±13，±31，±5×13，±5×31，±13×31，±2015， ∴整数k的值有16个， 故选：D． 【点评】本题考查了求不定方程的整数解，关键是先化简，再结合x和k都是整数解答即可． 3．（2023•沙坪坝区校级开学）已知关于x的方程的解为整数，则符合条件的所有整数k的和（　　） A．﹣9 B．﹣7 C．﹣6 D．0 【分析】先根据一元一次方程的解法将方程的解表示出来，再根据解方程的解为整数即可求解． 【解答】解：， 3（x+1）+2（kx﹣1）＝6k， 3x+3+2kx﹣2＝6k， 解得x， x ＝3， ∵关于x的一元一次方程的解是整数，k为整数， ∴①2k+3＝﹣5时，k＝﹣4； ②2k+3＝﹣1时，k＝﹣2； ③2k+3＝1时，k＝﹣1； ④2k+3＝5时，k＝1； 则符合条件的所有整数k的和为：﹣4+（﹣2）+（﹣1）+1＝﹣6， 故选：C． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的解，理解题意掌握含参数的方程的解法是解题的关键． 4．（2023灌云县校级模拟）已知关于x的方程ax的解是正整数，求正整数a的值，并求出此时方程的解． 【分析】首先解关于x的方程求得x的值，根据x是正整数即可求得a的值． 【解答】解：由ax，得 ax+9＝5x﹣2， 移项、合并同类项，得：（a﹣5）x＝﹣11， 系数化成1得：x， ∵x是正整数， ∴a﹣5＝﹣1或﹣11， ∴a＝4或﹣6． 又∵a是正整数． ∴a＝4． 则x11． 综上所述，正整数a的值是4，此时方程的解是x＝11． 【点评】本题考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．注意移项要变号． 5．（2023秋•临武县校级月考）在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程． （1）若关于x的两个方程2x＝4与mx＝m+1是同解方程，求m的值． （2）已知关于x的方程9x﹣3＝kx+14有整数解，那么满足条件的所有整数k＝　 　． （3）若关于x的两个方程5x与2x﹣mn是同解方程，求此时符合要求的正整数m，n的值． 【分析】（1）根据题意解方程再把x＝2代入mx＝m+1到求出m即可； （2）把k当作已知数解方程，用含k的表达式表示x，再根据方程有整数解求k即可； （3）把m，n当成已知数，用含m，n的表达式表示x，再根据两方程同解列方程求m，n即可． 【解答】解：（1）2x＝4x＝2， ，得2m＝m+1， 解得m＝1， （2）9x﹣3＝kx+14（9﹣k）x＝14+3， 解得：， ∵关于x的方程9x﹣3＝kx+14有整数解， ∴9﹣k＝±1，±17， 当9﹣k＝1时，k＝8； 当9﹣k＝﹣1时，k＝10； 当9﹣k＝17时，k＝﹣8； 当9﹣k＝﹣17时，k＝26； ∴k＝8，10，﹣8，26； （3）解关于x的两个方程与 得x，x， ∵关于x的两个方程与是同解方程， ∴， ∴mn﹣3m﹣3＝0， mn＝3（m+1）， ∵m，n是正整数， ∴m＝3，n＝4或m＝1，n＝6． 【点评】此题考查一元一次方程的解及利用同解的方程求解另一方程的参数，掌握方程的解的定义以及解一元一次方程是解题的关键． 【题型8 一元一次方程中的新定义问题】 1（2024春•卫东区校级期末）对于两个非零的有理数a，b，规定：a⊕b＝2b﹣3a，若（4﹣x）⊕（1+x）＝5，则x＝　 　． 【分析】根据新定义可得方程2（1+x）﹣3（4﹣x）＝5，解方程即可得到答案． 【解答】解：∵（4﹣x）⊕（1+x）＝5， ∴2（1+x）﹣3（4﹣x）＝5， ∴2+2x﹣12+3x＝5， ∴5x＝15， 解得x＝3， 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了解一元一次方程，新定义，熟练掌握解一元一次方程是关键． 2．（2023秋•雁塔区校级期末）定义一种新的运算“⊗”，它的运算法则为：当a、b为有理数时，a⊗，比如：6⊗41，则方程x⊗2＝1⊗x的解为x＝　 　． 【分析】根据定义直接求解即可． 【解答】解：∵x⊗2＝1⊗x， ∴x， 解得x， 故答案为：． 【点评】本题考查一元一次方程的解，理解定义，结合新定义，能将所求问题转化为一元一次方程的解是解题的关键． 3．（2023秋•临泽县期末）定义新运算：x*y＝x+y﹣xy，例如：2*（﹣3）＝2+（﹣3）﹣2×（﹣3）＝5，那么当[（﹣x）*（﹣2）]*2＝2x时，x＝　 ． 【分析】根据新定义，求得[（﹣x）*（﹣2）]*2＝3x+4，从而得到3x+4＝2x，进而解决此题． 【解答】解：由题意得：[（﹣x）*（﹣2）]*2＝（﹣x﹣2﹣2x）*2＝（﹣3x﹣2）*2＝﹣3x﹣2+2﹣2（﹣3x﹣2）＝3x+4． ∵[（﹣x）*（﹣2）]*2＝2x， ∴3x+4＝2x． ∴x＝﹣4． 故答案为：﹣4． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算、解一元一次方程，熟练掌握有理数的混合运算法则、一元一次方程的解法是解决本题的关键． 4．（2023秋•福田区期末）定义运算“*”对于任意有理数a与b，满足，例如：．若有理数x满足x*4＝3，则x的值为 　 ． 【分析】根据题意分为两种情况，①当x≥4时，x﹣2×4＝3，②当x＜4时，2x﹣4＝3，再解一元一次方程，符合题意x的值即为所求． 【解答】解：若x*4＝3， ①当x≥4时，x﹣2×4＝3， 解得：x＝11， ②当x＜4时，2x﹣4＝3， 解得：x＝3.5． 故答案为：11或3.5． 【点评】本题主要考查了新定义运算，正确记忆运算法则是解题关键． 5．（2023秋•埇桥区校级月考）定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解，则称这个方程为妙解方程．例如：方程2x+4＝0中，2﹣4＝﹣2，方程的解为x＝﹣2，则方程2x+4＝0为妙解方程．请根据上述定义解答下列问题： （1）方程2x+3＝0 　　妙解方程（填“是”或“不是”）． （2）已知关于x的一元一次方程3x+m＝0是妙解方程．则m＝　 ． 【分析】（1）求出一次项系数与常数项的差及一元一次方程的解，比较后，即可得出方程2x+3＝0不是妙解方程； （2）利用妙解方程的定义，可得出原方程的解为x＝3﹣m，将其代入原方程，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值． 【解答】解：（1）∵2﹣3＝﹣1，方程2x+3＝0的解为x，﹣1， ∴方程2x+3＝0不是妙解方程． 故答案为：不是； （2）∵关于x的一元一次方程3x+m＝0是妙解方程， ∴方程的解为x＝3﹣m， 将x＝3﹣m代入原方程得：3（3﹣m）+m＝0， 解得：m． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键． 6．（2023秋•淮滨县期末）如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”． 例如：方程2x﹣1＝3和x+1＝0为“美好方程”． （1）方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是“美好方程”吗？请说明理由； （2）若关于x的方程2x﹣n+3＝0与x+5n﹣1＝0是“美好方程”，求n的值． 【分析】（1）分别求得两个方程的解，再利用“美好方程”的定义进行判断即可； （2）分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义列出关于n的方程解答即可． 【解答】解：（1）方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是“美好方程”，理由如下： 由4x﹣（x+5）＝1，解得x＝2； 由﹣2y﹣y＝3，解得y＝﹣1． ∵﹣1+2＝1， ∴方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是“美好方程”． （2）由2x﹣n+3＝0，解得x； 由x+5n﹣1＝0，解得x＝1﹣5n； ∵关于x方程2x﹣n+3＝0与x+5n﹣1＝0是“美好方程”， ∴1﹣5n＝1， 解得n． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键． 【题型9 解含绝对值的一元一次方程】 1．（2023春•宜阳县期中）方程|2x﹣1|＝5的解为（　　） A．x＝3 B．x＝﹣2 C．x＝3或x＝﹣2 D．无解 【分析】根据绝对值的定义进行分类讨论，再解一元一次方程． 【解答】解：当2x﹣1≥0，则x，得2x﹣1＝5． ∴x＝3． 当2x﹣1＜0，则x，得﹣2x+1＝5． ∴x＝﹣2． 综上：x＝3或﹣2． 故选：C． 【点评】本题主要考查绝对值、一元一次方程的解法，熟练掌握绝对值的定义、一元一次方程的解法是解决本题的关键． 2．（2023春•南召县月考）若关于x的方程x+2＝2（m﹣x）的解满足方程|x|＝1，则m的值是（　　） A．或 B． C． D．或 【分析】解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解． 【解答】解：因为方程|x|＝1， 所以x±1， 解得x或x， 因为关于x的方程x+2＝2（m﹣x）的解满足方程|x|＝1， 所以解方程x+2＝2（m﹣x）得， m， 当x时，m， 当x时，m． 所以m的值为：或． 故选：A． 【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，解决本题的关键是解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论． 3．（2023秋•郫都区期中）|x﹣3|＝5，则x＝　 　． 【分析】根据|x﹣3|＝5，去掉绝对值符号，即可求得答案． 【解答】解；根据|x﹣3|＝5，∴x﹣3＝5或x﹣3＝﹣5， 当x﹣3＝5时，x＝8； 当x﹣3＝﹣5时，x＝﹣2． 故答案为：8或﹣2． 【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，比较容易，关键是正确去掉绝对值符号，不要漏解． 4．已知方程mx+3＝2（m﹣x）的解满足|x﹣1|＝0，则m＝　 　． 【分析】根据方程mx+3＝2（m﹣x）的解满足|x﹣1|＝0，先解出x的值，再代入方程求出m的值． 【解答】解：∵|x﹣1|＝0，根据绝对值的几何意义， ∴x﹣1＝0， ∴x＝1， 把x＝1代入mx+3＝2（m﹣x）得 m+3＝2（m﹣1）， 即：m+3＝2m﹣2， 解得：m＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，属于基础题，关键是根据绝对值的几何意义先求出x的值再代入求m的值． 5．（2023秋•双流区校级月考）已知方程2（x﹣1）＝3（x+2）的解是x＝m﹣5． （1）求m的值． （2）求关于x的方程的解． 【分析】（1）解方程2（x﹣1）＝3（x+2），进而解决此题． （2）先将（1）中求得的m代入，得6|x+3|﹣8（x+1）＝﹣15．再用分类讨论思想解这个一次方程． 【解答】解：（1）∵2（x﹣1）＝3（x+2）， ∴2x﹣2＝3x+6． ∴﹣x＝8． ∴x＝﹣8， 由题可得：﹣8＝m﹣5． ∴﹣m＝8﹣5． ∴﹣m＝3． ∴m＝﹣3． （2）将m＝﹣3代入可得，， ∴6|x+3|﹣8（x+1）＝﹣15， ①当x+3≥0时，即x≥﹣3， ∴6x+18﹣8x﹣8＝﹣15． ∴﹣2x＝﹣25． ∴． 故方程的解为． ②当x+3＜0时，即x＜﹣3． ∴﹣6x﹣18﹣8x﹣8＝﹣15． ∴﹣14x＝11． ∴． 此时x＞﹣3，故不符合题意， 综上，方程的解为． 【点评】本题主要考查绝对值以及解一元一次方程，熟练掌握运用分类讨论的思想解一元一次方程是解决本题的关键. 6．先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2）、（3）．例：解绝对值方程：|2x|＝1．解：讨论：①当x≥0时，原方程可化为2x＝1，它的解是．②当x＜0时，原方程可化为﹣2x＝1，它的解是．∴原方程的解为和． 问题（1）：依例题的解法，方程的解是 　 ； 问题（2）：解绝对值方程3|x﹣4|＝9； 问题（3）：在理解绝对值方程解法的基础上，方程|x﹣8|+|x﹣11|＝5的解是 　 ． 【分析】问题（1）原方程化为x＝±4，再求解即可； 问题（2）分两种情况讨论：当x≥4时，解得x＝7；当x＜4时，解得x＝1； 问题（3）分三种情况讨论：当x＞11时，解得x＝12；当x＜8时，解得x＝7；当8≤x≤11时，方程无解． 【解答】解：问题（1）原方程可化为x＝±4， 解得x＝±8， 故答案为：x＝±8； 问题（2）：①当x≥4时，原方程化为3（x﹣4）＝9， 解得x＝7； ②当x＜4时，原方程化为3（x﹣4）＝﹣9， x＝1； ∴原方程的解为x＝7和x＝1； 问题（3）：①当x＞11时，原方程化为x﹣8+x﹣11＝5， 解得x＝12； ②当x＜8时，原方程化为8﹣x+11﹣x＝5， 解得x＝7； ③当8≤x≤11时，原方程化为x﹣8+11﹣x＝5， 方程无解； ∴方程的解是x＝7或x＝12， 故答案为：x＝7或x＝12． 【点评】本题考查含绝对值的一元一次方程，熟练掌握绝对值的性质，能够分情况讨论是解题的关键． 【题型10 实际问题与一元一次方程】 1．（2023秋•花山区期末）随着网络的普及，“直播带货”成为火热的销售模式之一．一运动品牌上衣在实体店按成本价提高30%销售，在直播间以实体店售价的9折进行销售，结果在直播间每卖出1件该运动上衣可获利34元，设该运动上衣的成本价为x元，根据题意，可列方程为（　　） A．（1+30%⋅x）•0.9＝x+34 B．（1+30%⋅x）•0.9＝x﹣34 C．（1+30%）x•0.9＝x+34 D．（1+30%）x•0.9＝x﹣34 【分析】利用销售价格＝成本价+利润，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得（1+30%）x•0.9＝x+34． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 2．（2024•南岗区校级开学）某商场计划购进甲、乙两种节能灯共1200只，甲型节能灯进价每只25元，乙型节能灯进价每只45元，则购进甲型节能灯 　 　只，进货款恰好为46000元． 【分析】设购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯（1200﹣x）只，根据进货款恰好为46000元，列出一元一次方程，解方程即可． 【解答】解：设购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯（1200﹣x）只， 由题意得：25x+45（1200﹣x）＝46000 解得：x＝400， 即购进甲型节能灯400只，进货款恰好为46000元， 故答案为：400． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 3．（2023秋•路北区期中）某足球协会举办一次足球赛，规则是：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分．某球队比赛结果是胜5场平3场输4场，则该球队得 　 分． 【分析】设该球队得x分，根据“胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分．某球队比赛结果是胜5场平3场输4场”，列出一元一次方程，解方程即可． 【解答】解：设该球队得x分， 由题意得：x＝5×3+3×1+4×0， 解得：x＝18， 故答案为：18． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 4．（2023秋•临猗县期末）2022年11月10日，中共政治局常委会召开会议研究部署进一步优化防控工作的二十条措施，使得疫情有了更好的控制．为降低疫情对销售额的影响，某商场准备搞优惠促销活动回馈新老客户，由顾客抽奖决定折扣．某顾客购买了A，B两种商品共花费416元，分别抽到了六折和八折，而A，B两种商品的原价之和为600元． （1）求A，B两种商品的原价各是多少元？ （2）若本次买卖中A种商品最终亏损20%，B种商品最终盈利40%，那么该超市在本次买卖中是盈利还是亏损？盈利或亏损多少元？ 【分析】（1）设A商品的原价为x元，则B商品的原价为（600﹣x）元，根据等量关系即可求出答案； （2）分别求出A、B商品的成本价，从而可求出商场是否亏损． 【解答】解：（1）设A商品的原价为x元，则B商品的原价为（600﹣x）元， 根据题意可知：0.6x+0.8（600﹣x）＝416， 解得x＝320， 600﹣320＝280（元）， 答：A、B两种商品原价各是320元、280元； （2）由题意得，A商品的成本价为320×0.6÷（1﹣20%）＝240（元）， B商品的成本价为280×0.8÷（1+40%）＝160（元）， ∴240+160﹣416＝﹣16（元）， 答：商场在本次买卖中赚了16元． 【点评】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确找出题中的等量关系． 5．（2023秋•游仙区期中）某工厂中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒装4块大月饼和6块小月饼，制作1块大月饼要用0.05kg面粉，1块小月饼要用0.02kg面粉． （1）若制作若干盒月饼共用了640kg面粉，请问制作大小两种月饼各用了多少面粉？ （2）在（1）的条件下，已知制作一个精美月饼包装盒的成本为5元，面粉的进价为25元/千克，在不计其它成本的情况下，工厂想达到50%的利润率，则应如何制定每盒月饼的出厂价？ 【分析】（1）设用xkg面粉制作大月饼，则用（640﹣x）kg面粉制作小月饼，根据“每盒装4块大月饼和6块小月饼，制作1块大月饼要用0.05kg面粉，1块小月饼要用0.02kg面粉”列方程求出x即可； （2）设每盒月饼的出厂价为y元，根据工厂想达到50%的利润率列方程求解即可 【解答】解：（1）设用xkg面粉制作大月饼，则用（640﹣x）kg面粉制作小月饼， 由题意得：， 解得：x＝400， 则640﹣x＝240kg， 答：制作大月饼用了400kg面粉，制作小月饼用了240kg面粉； （2）设每盒月饼的出厂价为y元， 由（1）可知，共制作出月饼（盒）， 由题意得：（2000×5+640×25）×50%＝2000y﹣2000×5﹣640×25， 解得：y＝19.5， 答：每盒月饼的出厂价应定为19.5元． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用；找到等量关系是解题关键． 6．（2023秋•宁阳县期末）第19届亚洲夏季运动会于2023年9月23日在杭州举行，象征杭州三大世界文化遗产的吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”通过不同色彩、不同纹饰向世界讲述“江南忆”的美丽故事．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有800名工人． （1）若该工厂生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少100人，请求出生产盲盒A的工人人数； （2）为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由4个盲盒A和9个盲盒B组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或15个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？ 【分析】（1）设生产B的人数为x人，则生产A的人数为（2x﹣100）人，根据生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少100人，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设安排m人生产A，则安排（800﹣m）人生产B，根据大礼包由4个盲盒A和9个盲盒B组成且每天生产的盲盒正好配套，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设生产B的人数为x人，则生产A的人数为（2x﹣100）人， 于是（2x﹣100）+x＝800， 解得：x＝300． ∴2x﹣100＝2×300﹣100＝500（人）， 答：生产盲盒A的工人人数为500人． （2）设安排m人生产A，则安排（800﹣m）人生产B， ∴9×20m＝4×15（800﹣m）， 解得：m＝200， ∴800﹣200＝600（人）， 答：该工厂应该安排200名工人生产A，600名工人生产B才能使每天生产的盲盒正好配套． 7．（2023秋•船营区校级期末）一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需45天，现甲队先单独做20天，之后两队合作． （1）甲、乙合作多少天才能把该工程完成？ （2）甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在40天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？ 【分析】（1）设甲、乙合作x天才能把该工程完成，由甲队单独完成需30天，乙队单独完成需45天，可知甲、乙两队的工作效率分别为每天完成、每天完成，于是可列方程得（x+20）x＝1，解方程求出x的值即可； （2）由45天大于40天，可知不能由乙队单独完成，若由甲队单独完成，需要3.5×30＝105（万元）；设由甲、乙全程合作完成需要m天，则mm＝1，求得m＝18，所以由甲、乙全程合作完成需要18天，需要3.5×18+2×18＝99（万元），可见由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱． 【解答】解：（1）设甲、乙合作x天才能把该工程完成， 根据题意得（x+20）x＝1， 解得x＝6， 答：甲、乙合作6天才能把该工程完成． （2）因为45天大于40天，所以不能由乙队单独完成， 若由甲队单独完成：3.5×30＝105（万元）； 设由甲、乙全程合作完成需要m天，则mm＝1， 解得m＝18， 3.5×18+2×18＝99（万元）， 99万元＜105万元， 答：由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱． 【点评】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数表示甲、乙两队各自的工作效率和各自完成的工作量是解题的关键． 8．（2023秋•藁城区期末）为了丰富学生的课余生活、拓展学生的视野，学校小卖部准备购进甲、乙两类中学生书刊．若购买400本甲和300本乙共需要6400元．其中甲、乙两类书刊的进价和售价如下表： 甲 乙 进价（元/本） m m﹣2 售价（元/本） 20 13 （1）求甲、乙两类书刊的进价各是多少元？ （2）第一次小卖部购进的甲、乙两类书刊共800本，全部售完后总利润（利润＝售价﹣进价）为5750元，求小卖部甲、乙两类书刊分别购进多少本？ （3）第二次小卖部购进了与上次一样多的甲、乙两类书刊，由于两类书刊进价都比上次优惠了10%，小卖部准备对甲书刊进行打折出售，让利于学生，乙书刊价格不变，全部售完后总利润比上次还多赚10元，求甲书刊打了几折？ 【分析】（1）根据购买400本甲和300本乙共需要6400元列方程，解方程即可求解； （2）设甲类书刊购进x本，则乙类书刊购进（800﹣x）本，由全部售完后总利润（利润＝售价﹣进价）为5750元可列方程，解方程结可求解； （3）设甲书刊打了a折，分别求解800本书的进价和售价，根据800本书的利润列方程，解方程即可求解． 【解答】解：（1）由题意得400m+300（m﹣2）＝6400， 解得m＝10， ∴m﹣2＝10﹣2＝8（元）， 答：甲类书刊的进价是10元，乙类书刊的进价是8元； （2）设甲类书刊购进x本，则乙类书刊购进（800﹣x）本， 由题意得（20﹣10）x+（13﹣8）（800﹣x）＝5750， 解得x＝350， ∴800﹣x＝800﹣350＝450（本）， 答：甲类书刊购进350本，乙类书刊购进450本； （3）设甲书刊打了a折， 800本书的进价为（350×10+450×8）×（1﹣10%）＝6390（元）， 800本书的售价为350×20450×13＝700a+5850， 800本书的利润为700a+5850﹣6390＝5750+10， 解得a＝9， 答：甲书刊打了9折． 【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． 9．（2023秋•公主岭市期末）如图，在数轴上点A、B表示的数分别为﹣4和2，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿A→B方向运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动，到达点A后停止运动．设点P运动时间为t（单位：秒）． （1）当t＝1时，点P表示的数是 　 ；当t＝3.5时，点P表示的数是 　 ； （2）当点P表示的数为0时，请直接写出t的值； （3）在点P由点A向点B的运动过程中，请直接写出点P所表示的数；（用含t的式子表示） （4）在点P在运动过程中，请直接写出点P与点B的距离．（用含t的式子表示） 【分析】（1）当t＝1时，利用点P表示的数＝﹣4+2×运动时间，即可求出此时点P表示的数；当t＝3.5时，利用点P表示的数＝2﹣2×（运动时间﹣3），即可求出此时点P表示的数； （2）分0≤t≤3及3＜t≤6两种情况考虑，根据点P表示的数为0，可列出关于t的一元一次方程，解之即可求出t的值； （3）当0≤t≤3时，利用点P表示的数＝﹣4+2×运动时间，即可用含t的代数式表示出点P所表示的数； （4）当0≤t≤3，利用点P与点B的距离＝点B表示的数﹣点P表示的数，即可用含t的代数式表示出点P与点B的距离；当3＜t≤6，利用点P与点B的距离＝点B表示的数﹣点P表示的数，即可用含t的代数式表示出点P与点B的距离． 【解答】解：（1）当t＝1时，点P表示的数是﹣4+2×1＝﹣2； ∵[2﹣（﹣4）]÷2＝3（秒）， ∴当t＝3.5时，点P表示的数是2﹣2×（3.5﹣3）＝1． 故答案为：﹣2，1； （2）当0≤t≤3时，﹣4+2t＝0， 解得：t＝2； 当3＜t≤6时，2﹣2（t﹣3）＝0， 解得：t＝4． 答：当点P表示的数为0时，t的值为2或4； （3）当0≤t≤3时，点P表示的数为﹣4+2t， ∴在点P由点A向点B的运动过程中，点P所表示的数为﹣4+2t（0≤t≤3）； （4）点P由点A向点B运动（即0≤t≤3）时，点P与点B的距离为2﹣（﹣4+2t）＝6﹣2t； 点P由点B向点A运动（即3＜t≤6）时，点P与点B的距离为2﹣[2﹣2（t﹣3）]＝2t﹣6． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及列代数式，解题的关键是：（1）根据点P的出发点、运动速度、运动方向及运动时间，求出当t＝1及t＝3.5时点P表示的数；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，用含t的代数式表示出点P所表示的数；（4）根据各数量之间的关系，用含t的代数式表示出点P与点B的距离． 1．（2023秋•红河县期末）已知下列方程：①；②0.3x＝1；③；④x2﹣4x＝3；⑤x＝6；⑥x+2y＝0．其中一元一次方程的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程． 【解答】解：①是分式方程，故①不符合题意； ②0.3x＝1，即0.3x﹣1＝0，符合一元一次方程的定义．故②符合题意； ③，即9x+2＝0，符合一元一次方程的定义．故③符合题意； ④x2﹣4x＝3的未知数的最高次数是2，它属于一元二次方程．故④不符合题意； ⑤x＝6，即x﹣6＝0，符合一元一次方程的定义．故⑤符合题意； ⑥x+2y＝0中含有2个未知数，属于二元一次方程．故⑥不符合题意． 综上所述，一元一次方程的个数是3个． 故选：B． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． 2．（2023秋•禹州市期末）若方程（2k+1）x2﹣（2k﹣1）x+5＝0是关于x的一元一次方程，则k的值为（　　） A．0 B．﹣1 C． D． 【分析】根据一元一次方程的定义“只含有一个未知数，且未知数的次数为1的方程是一元一次方程”，即可解答． 【解答】解：∵方程（2k+1）x2﹣（2k﹣1）x+5＝0是关于x的一元一次方程， ∴2k+1＝0，﹣（2k﹣1）≠0， 解得：， 故选：C． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解答本题的关键． 3．（2023秋•定陶区期末）下列利用等式的性质，错误的是（　　） A．由a＝b，得到1﹣2a＝1﹣2b B．由ac＝bc，得到a＝b C．由，得到a＝b D．由a＝b，得到 【分析】根据等式的性质即可判断． 【解答】解：A、在等式a＝b的两边同时乘以﹣2再加上1，等式仍成立，即1﹣2a＝1﹣2b，故本选项不符合题意； B、当c＝0时，ac＝bc＝0，但a不一定等于b，故本选项符合题意； C、在等式的两边同时乘以c，等式仍成立，即a＝b，故本选项不符合题意； D、在等式a＝b的两边同时除以不为0的式子（c2+1），等式仍成立，即，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了等式的性质，能熟记等式的性质是解此题的关键，①等式的性质1、等式的两边都加（或减）同一个数或式子，等式仍成立，②等式的性质2、等式的两边都乘同一个数或式子，等式仍成立；等式的两边都除以同一个不等于0的数或式子，等式仍成立． 4．（2023秋•祥符区期中）小丽同学在做作业时，不小心将方程2（x﹣3）﹣■＝x+1中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x＝9，请问这个被污染的常数■是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】设被污染的常数■是a，把x＝9代入计算即可求出a的值． 【解答】解：设被污染的常数■是a， 把x＝9代入得：2×（9﹣3）﹣a＝9+1， 整理得：12﹣a＝10， 移项合并得：a＝2， 解得：a＝2． 故选：C． 【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 5．（2023秋•惠阳区月考）已知是关于x的方程的解，则关于x的方程m+2x＝2m﹣3x的解是（　　） A． B． C．x＝﹣5 D．x＝5 【分析】先把方程的解代入方程求出m，再代入求出方程的解． 【解答】解：∵是关于x的方程的解， ∴3m+8． ∴m＝﹣1． 解方程m+2x＝2m﹣3x，得xm． 当m＝﹣1时，x． 故选：B． 【点评】本题主要考查了一元一次方程，掌握方程解的意义和一元一次方程的解法是解决本题的关键． 6．（2023秋•天长市期中）为了鼓励居民节约用水，天长市自来水公司调整了新的自来水收费标准：用水每月不超过6m3，按0.8元/m3收费，如果超过6m3，超过部分按1.2元/m3收费．已知某用户某月交水费7.2元，那么这个用户这个月用水（　　） A．6.5m3 B．7m3 C．7.5m3 D．8m3 【分析】根据6×0.8＝4.8＜7.2可知，该用户这个月用水超过6m3，设这个月用水x m3，列方程求解即可． 【解答】解：6×0.8＝4.8＜7.2， ∴该用户这个月用水超过6m3， 设这个月用水x m3， 则1.2（x﹣6）+4.8＝7.2， 解得：x＝8， 即该用户这个月用水8m3． 故选：D． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，能够根据题意列出方程是解题的关键． 7．（2024秋•五华县期末）若x＝2是方程a﹣bx＝4的解，则﹣6b+3a+2022值为 　 ． 【分析】把x＝2代入方程，得a﹣2b＝4，对﹣6b+3a+2022，提取公因式3，式子为：3（a﹣2b）+2022，即可求解． 【解答】解：∵x＝2是方程a﹣bx＝4的解， ∴a﹣2b＝4， ∵﹣6b+3a+2022＝3（a﹣2b）+2022， ∴3（a﹣2b）+2022 ＝3×4+2022 ＝2034． 故答案为：2034． 【点评】本题考查一元一次方程的解，掌握解一元一次方程的过程是关键． 8．（2024秋•南岗区校级月考）若代数式与的值互为倒数，则x＝ 　 　． 【分析】根据互为倒数的两个数的乘积为1进行列式，结合等式的性质进行计算，即可作答． 【解答】解：由题意得，， ∴， ∴去分母得6x﹣6＝10， ∴移项得6x＝16， ∴系数化1，得， 故答案为：． 【点评】本题考查了代数式求值，解一元一次方程，熟知解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． 9．（2023•雁塔区校级开学）某商场参加意外保险，保险金额为4000万元，保险费率为0.75%，由于事故，损失物品价值达650万元，保险公司赔偿500万元，这样商场实际损失 了 　 　万元． 【分析】设商场实际损失了x万元，根据保险金额为4000万元，保险费率为0.75%，损失物品价值达650万元，保险公司赔偿500万元，列出一元一次方程，解方程即可． 【解答】解：设商场实际损失了x万元， 根据题意得：x+500＝650+4000×0.75%， 解得：x＝180， 即商场实际损失了180万元， 故答案为：180． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 10．定义：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b﹣a，则称该方程为“差解方程”．例如：2x＝4的解为x＝2，且2＝4﹣2，则该方程2x＝4是“差解方程”．若关于x的一元一次方程5x＝m﹣1是“差解方程”，则m＝　 　． 【分析】解方程5x＝m﹣1，得，再根据“差解方程”的定义得，由此解出m即可． 【解答】解：解关于x的一元一次方程5x＝m﹣1，得：， ∵关于x的一元一次方程5x＝m﹣1是“差解方程”， ∴x＝（m﹣1）﹣5＝m﹣6， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法，理解“差解方程”的定义是解决问题的关键． 11．（2023秋•和平区期末）若a、b为定值，关于x的一次方程无论k为何值时，它的解总是x＝1，则（2a+3b）2022的值为 　 ． 【分析】将x＝1代入原方程，可得出（4+b）k+2a﹣13＝0，结合原方程的解与k值无关，可求出a，b的值，再将其代入（2a+3b）2022中，即可求出结论． 【解答】解：将x＝1代入原方程得2， ∴（4+b）k+2a﹣13＝0． ∵关于x的一次方程无论k为何值时，它的解总是x＝1， ∴4+b＝0，2a﹣13＝0， ∴b＝﹣4，a， ∴（2a+3b）2022＝[23×（﹣4）]2022＝12022＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，由方程的解与k值无关，求出a，b的值是解题的关键． 12．（2023秋•姑苏区校级月考）解方程： （1）2（x+3）＝5x； （2）． 【分析】（1）按去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （2）按去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【解答】解：（1）2（x+3）＝5x， 去括号得：2x+6＝5x， 移项合并同类项得：﹣3x＝﹣6， 系数化为1得：x＝2； （2）， 化简得：1.6， 2x﹣6﹣5x﹣20＝1.6， 移项合并同类项得：﹣3x＝27.6， 系数化为1得：x＝﹣9.2． 【点评】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． 13．（2023秋•翁源县期中）定义一种新运算：a⊕b＝2a+b．试根据条件解答下列问题： （1）计算：（﹣1）⊕4； （2）若2⊕x＝10，则x的值为 　 　； （3）若a⊕（﹣b）＝6，求（a+b）⊕（2a﹣4b）的值． 【分析】（1）直接根据新定义计算即可； （2）根据新定义转化为一元一次方程求解； （3）由a⊕（﹣b）＝6得2a﹣b＝6，把（a+b）⊕（2a﹣4b）变形后整体代入即可． 【解答】解：（1）﹣1⊕4＝2×（﹣1）+4＝2 （2）∵2⊕x＝10， ∴2×2+x＝10， ∴x＝6． 故答案为：6； （3）由a⊕（﹣b）＝6，得2a﹣b＝6， 所以a+b⊕（2a﹣4b） ＝2a+2b+（2a﹣4b） ＝2a+2b+2a﹣4b ＝4a﹣2b ＝2（2a﹣b）＝2×6＝12． 【点评】本题考查了新定义，有理数的混合运算，解一元一次方程，整体的化简求值， 14．（2023春•鹤壁期末）在数学实践课上，小丽解方程时，因为粗心，去分母时方程左边的1没有乘以10，从而求得的方程的解为x＝4，试求a的值，并解出原方程正确的解． 【分析】先根据错误的做法：“方程左边的1没有乘以10”而得到x＝4，代入错误方程，求出a的值，再把a的值代入原方程，求出正确的解． 【解答】解：∵去分母时，只有方程左边的1没有乘以10， ∴2（2x﹣1）+1＝5（x+a）， 把x＝4代入上式，解得a＝﹣1． 原方程可化为：， 去分母，得2（2x﹣1）+10＝5（x﹣1）， 去括号，得4x﹣2+10＝5x﹣5， 移项、合并同类项，得﹣x＝﹣13， 系数化为1，得x＝13， 故a＝﹣1，x＝13． 【点评】此题考查的是一元一次方程的解，使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 15．（2023秋•黄岩区期末）2022年11月，黄岩区柑橘节盛大开幕．柑橘节期间，小泮、小钱和小王打算到柑橘博览园购买一些柑橘，已知柑橘的价格如表： 购买柑橘（千克） 不超过10千克 10千克以上但不超过30千克 30千克以上 每千克的价格 6元 5元 4元 （1）若小泮购买了25千克的柑橘，则他需要付多少元？ （2）若小钱一次购买柑橘共付了200元，则小钱购买柑橘多少千克？ （3）小王分两次共购买了柑橘90千克，第二次购买的数量要多于第一次购买的数量，共付出376元，请问小王第一次、第二次分别购买柑橘多少千克？ 【分析】（1）因为25千克满足10千克以上但不超过30千克，故25×5＝125，即可作答． （2）先算出刚好购买30千克的费用，结合120＜200，得200÷4＝50，即可作答． （3）先算出每次刚好购买超过30千克的费用，即4×90＝360＜376，故第一次购买的数量在30千克以内，则第二次购买的数量多于30千克，再设未知数，依题意进行列式计算，即可作答． 【解答】解：（1）25×5＝125（元）， ∴他需要付125元． （2）∵30×4＝120，120＜200， ∴小钱购买柑橘超过30千克， 200÷4＝50（千克）， ∴小钱购买柑橘50千克． （3）∵4×90＝360元＜376元， ∴第一次购买的数量在30千克以内，则第二次购买的数量多于30千克， 设第一次购买x千克，则第二次购买（90﹣x）千克． ①当x≤10时，6x+4（90﹣x）＝376， 解得x＝8． ②当10＜x≤30时，5x+4（90﹣x）＝376， 解得x＝16． ∴第一次购买8千克，第二次购买82千克或第一次购买16千克，第二次购买74千克． 【点评】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 16．（2023秋•镇原县期末）如图，在数轴上有A，B两点，所表示的数分别为﹣8，4，点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时点B以每秒2个单位长度的速度向左运动．如果设运动时间为t秒，解答下列问题： （1）运动前线段AB的长为 　 ；运动1秒后线段AB的长为 　 　； （2）求t为何值时，点A与点B恰好重合； （3）在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使得线段AB的长为5，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离等于右边的数减去左边的数求出AB的长，根据A和B的速度求出1秒后AB的长即可； （2）根据A，B表示的数相同列出方程，求出方程的解即可得到t的值； （3）存在，分两种情况分别求出t的值即可． 【解答】解：（1）运动前线段AB的长为4﹣（﹣8）＝12；运动1秒后线段AB的长为2﹣（﹣5）＝7； （2）根据题意得：运动t秒后，点A表示的数为﹣8+3t，点B表示的数为4﹣2t， 当点A与点B恰好重合时：﹣8+3t＝4﹣2t， 解得：t＝2.4； （3）存在， 由题意可知，t秒时点A表示的数为﹣8+3t，点B表示的数为4﹣2t， 当点A在点B左侧时：4﹣2t﹣（﹣8+3t）＝5， 解得：t＝1.4， 当点A在点B右侧时：﹣8+3t﹣（4﹣2t）＝5， 解得：t＝3.4， 综上所述，当t＝1.4秒或3.4秒时，线段AB的长为5． 【点评】此题考查了一元一次方程的应用，数轴，以及两点间的距离，弄清题意是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ （苏科版）七年级上册数学期末复习 重要考点04《一元一次方程》十大考点题型 ▲知识点1. 方程及一元一次方程的概念 ★方程的有关概念 ◆1、定义：含有未知数的等式叫做方程． ◆2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. ◆3、解方程：求方程的解的过程叫做解方程． ◆4、方程的两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母 (或未知数). ★一元一次方程的有关概念 ◆一元一次方程：只含有一 个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程. 【注意】“元”是指未知数的个数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：①首先是一个方程；②其次是必须只含有一个未知数；③未知数的指数是 1；④分母中不含有未知数. ★列方程的步骤： ①设出字母所表示的未知数； ②找出问题中的相等关系； ③列出含有未知数的等式﹣﹣﹣﹣方程． ▲知识点2. 根据实际问题列方程 1、列方程的依据： 2、审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程． ▲知识点3. 等式的性质 1、等式的性质 性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 2、利用等式的性质解方程 利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化． ▲知识点4 解一元一次方程---合并同类项 1、利用合并同类项解一元一次方程的一般步骤和方法： （1）合并同类项，即把含有未知数的同类项和常数项分别合并; （2）系数化为 1，即在方程的两边同时除以未知数的系数. ▲知识点5. 解一元一次方程---移项 1、移项：一般地，把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项. 2、移项的依据及注意事项： （1）移项是将项从等号的一边移到另一边的变形，移项实际上是利用等式的性质 1. （2）移项一定要变号. （3）在解方程时，习惯上把含有未知数的项放在等号的左边，常数项放在等号的右边. （4）方程中的项包括数和它前面的符号. （5）不要把移项和加法交换律混淆. ▲知识点6. 解一元一次方程---去括号 ◆1、去括号的概念：解一元一次方程时，按照去括号法则把方程中的括号去掉，这个过程叫做去括号. 2、去括号的法则： 去掉“+( )”，括号内各项的符号不变. 去掉“–( )”，括号内各项的符号改变. 3、去括号的顺序： 先去小括号，再去中括号，最后去大括号，一般是由内向外去括号；也可以由外向内去括 号，先去大括号，再去中括号，最后去小括号.运用乘法分配律去括号时，不要漏掉括号内 的任何一项. 4、解含有括号的方程一般步骤： （1）去括号. （2）移项. （3）合并同类项 . （4）系数化为1. ▲知识点7. 解一元一次方程---去分母 1、 去分母的概念：解含有分母系数的一元一次方程时，方程两边各项都乘所有分母的最小公倍数，从而约去分母，使方程的系数化成整数，这个过程叫做去分母. 2.“去分母”的依据是等式的性质二. . 3“去分母的方法：“去分母”的方法是方程两边同时乘以分母的最小公倍数. . 4、“去分母”的注意事项： （1）去分母时，方程两边的每一项都要乘各分母的最小公倍数，不要漏乘没有分母的项. （2）去分母时，若分子是多项式，去掉分母后这个多项式要加上括号. （3）当分母含有小数时，先利用分数的基本性质把小数化为整数，再去分母. 5、去分母解方程的步骤是： ①去分母； ② 去括号 ；③ 移项 ；④ 合并同类项； ⑤系数化为1 . ▲知识点8. 用一元一次方程解决问题 ★★列方程解应用题的步骤： 1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数． 3．列：根据等量关系列出方程． 4．解：解方程，求得未知数的值． 5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句． ★★用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下： 【题型1 方程的有关概念】 1．（2023秋•涪城区期末）下列各式中，属于方程的是（　　） A．6+（﹣2）＝4 B． C．7x＞5 D．2x﹣1＝5 2．（2023秋•禹城市期末）在①2﹣5；②1+7x＝﹣8y+3；③x＝6；④3x＝2x﹣9；⑤2x＞7中，方程共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2023秋•台山市期末）已知下列方程：①x﹣2；②0.2x＝1；③x﹣3；④x﹣y＝6；⑤x＝0，其中一元一次方程有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（2023秋•静海区校级期中）已知（m﹣3）x|m|﹣2﹣3m＝0是关于x的一元一次方程，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．±3 5．（2023秋•平桥区期末）若（m﹣3）x|m﹣2|+6＝0是关于x的一元一次方程，则m的值为 　 　． 6．（2023秋•宝应县期末）已知关于x的方程（m+5）x|m|﹣4+18＝0是一元一次方程． （1）求m的值； （2）求代数式5x﹣3m的值． 【题型2 等式的基本性质】 1．（2023秋•红旗区校级期末）下列运用等式的性质的变形中，正确的是（　　） A．如果a＝b，那么a+1＝b﹣1 B．如果，那么2a＝4b C．如果ac＝bc，那么a＝b D．如果a2＝3a，那么a＝3 2．（2023秋•东莞市校级期末）根据等式的性质，下列变形错误的是（　　） A．如果x+2＝y+2，那么x＝y B．如果x＝y，那么x﹣4＝y﹣4 C．如果ax＝ay，那么x＝y D．如果，那么x＝y 3．（2023秋•和平区校级期末）下列各式进行的变形中，不正确的是（　　） A．若3a＝2b，则3a+2＝2b+2 B．若3a＝2b，则9a＝4b C．若3a＝2b，则3a﹣5＝2b﹣5 D．若3a＝2b，则 4．（2023秋•大埔县期末）下列方程的变形中正确的是（　　） A．由x+5＝6x﹣7得x﹣6x＝7﹣5 B．由﹣2（x﹣1）＝3得﹣2x﹣2＝3 C．由得 D．由得2x＝6 5．（2023秋•渌口区期末）能运用等式的性质说明如图事实的是（　　） A．若a+c＝b+c，那么a＝b（a，b，c均不为0） B．若a＝b，那么a+c＝b+c（a，b，c均不为0） C．若a﹣c＝b﹣c，那么a＝b（a，b，c均不为0） D．若ac＝bc，那么a＝b（a，b，c均不为0） 6．（2023秋•麻阳县期末）下列等式变形：①若a＝b，则a+x＝b+x；②若ax＝﹣ay，则x＝﹣y；③若4a＝3b，则4a﹣3b＝1；④若，则4a＝3b；⑤若，则2x＝3y．其中一定正确的是 　 　（填正确的序号） 7．（2023秋•渌口区期末）一般情况下不成立，但也有数可以使得它成立，例如：m＝n＝0．能使得成立的一对数m、n我们称为“相伴数对”，记为（m，n）．若（x，3）是“相伴数对”，则x的值为 　 ． 8．（2023春•滨江区期末）已知t（a，b是常数，x≠﹣a）．① （1）若a＝﹣2，b，求t； （2）试将等式①变形成“Ax＝B”形式，其中A，B表示关于a，b，t的整式； （3）若t的取值与x无关，请说明ab＝﹣1． 【题型3一元一次方程的解法】 1．（2022秋•吕梁期末）下列解方程去分母正确的是（　　） A．由得2x﹣1＝3﹣3x B．由得2（x﹣2）﹣3x﹣2＝﹣4 C．由得3x+1＝10﹣2x+6 D．由得3x+3＝2x﹣3x+1 2．（2023秋•临武县校级月考）解方程1时，去分母正确的是（　　） A．4（2x﹣1）﹣9x﹣12＝1 B．8x﹣4﹣3（3x﹣4）＝12 C．4（2x﹣1）﹣9x+12＝1 D．8x﹣4+3（3x﹣4）＝12 3．（2023秋•兰山区校级期末）下列方程变形中，正确的是（　　） A．方程2x+1＝x﹣2，移项，得2x﹣x＝2﹣1 B．方程1﹣x＝3﹣2（x+1），去括号，得1﹣x＝3﹣2x+2 C．方程﹣2x＝1，未知数系数化为1，得x＝﹣2 D．方程化成 4．（2023秋•灵山县校级期末）解方程： （1）3+2x＝18﹣3x； （2）． 5．（2023秋•红旗区校级期末）解方程： （1）2﹣3（2﹣x）＝4﹣x； （2）． 6．（2023秋•南岗区校级月考）解方程． （1）2﹣5x＝3x+4； （2）； （3）； （4）． 7．（2023秋•平顶山期末）解方程：1，小华的过程如下： 解：去分母，得：4（2x﹣1）＝3（x+2）﹣1……第一步 去括号，得：8x﹣4＝3x+6﹣1 ……第二步 移项、合并同类项，得：5x＝9……第三步 系数化为1，得：x ……第四步 （1）请你指出上述过程从第 　 　步开始出现错误，这一步错误的原因是 　 ； （2）写出该方程的正确求解过程． 【题型4 方程解中的遮挡问题】 1．方程﹣3（•﹣9）＝5x﹣1，•处被墨水盖住了，已知方程的解x＝2，那么•处的数字是（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（2023秋•荣成市期末）有一道解一元一次方程的题：3x﹣（5口x）＝﹣9，“口”处为运算符号，在印刷时被油墨盖住了，查阅后面的答案得知这个方程的解是x＝﹣2，那么“口”处应该是（　　） A．× B．÷ C．+ D．﹣ 3．（2023秋•峨山县期末）小丽同学在做作业时，不小心将方程2（x﹣3）﹣■＝x+1中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x＝9，请问这个被污染的常数■是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（2023秋•长安区期末）小明同学在解方程（1）＝x时，墨水把其中一个数字染成了“■”，他翻阅了答案知道这个方程的解为，请帮他推算被染了的数字“■”应该是 　 　． 5．（2023秋•邢台期末）嘉淇在解关于x的一元一次方程时，发现常数■被污染了． （1）嘉淇猜■是2，请解一元一次方程； （2）若老师告诉嘉淇这个方程的解x＝﹣1，求被污染的常数． 6．（2023秋•海安市期中）小亮在解关于x的一元一次方程■＝3时，发现正整数■被污染了． （1）小亮猜■是5，则方程的解x＝　 ； （2）若老师告诉小亮这个方程的解是正整数，则被污染的正整数是多少？ 【题型5 求一元一次方程含参问题】 1．已知关于x的方程4ax+5＝﹣3﹣a的解为，则3a+5的值为　 　． 2．（2024春•沈丘县月考）已知关于x的方程5x﹣2＝3x+16的解与方程4m+1＝4（x+m）﹣5m的解相同，则m＝　 　． 3．（2023秋•梁山县期末）关于x的方程4x﹣2m＝3x﹣1的解是x＝2x﹣3m的解的2倍，则m的值为（　　） A． B． C． D． 4．（2023秋•丹徒区期末）已知：关于x的方程的解是x＝2，其中a≠0且b≠0，则代数式的值是（　　） A． B． C． D． 5．（2023秋•船营区校级期中）若关于x的方程x+m﹣3＝0和2x﹣3的解的和为5，求m的值． 6．（2024春•淮阳区月考）已知关于x的方程与方程3+4x＝2（6﹣x）的解互为相反数，求m的值． 7．（2023秋•拜城县月考）关于x的方程x﹣2m＝﹣3x+4与2﹣x＝m的解相同． （1）求m的值； （2）求这两个方程的解． 8．（2023春•鲤城区校级期中）已知：方程（m+2）x|m|﹣1﹣m＝0①是关于x的一元一次方程． （1）求m的值； （2）若上述方程①的解与关于x的方程x3x②的解互为相反数，求a的值． 【题型6利用一元一次方程解决错解问题】 1．（2023秋•保亭县期末）某同学在解关于x的方程5a﹣x＝13时，误将﹣x看作+x，得到方程的解为x＝﹣2．则原方程的解为（　　） A．x＝2 B．x＝1 C．x＝0 D．x＝﹣3 2．（2023秋•安新县期末）解方程时，小刚在去分母的过程中，右边的“﹣1”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为x＝4，则方程正确的解是（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x＝﹣4 D．x＝﹣1 3．（2023秋•灵宝市期末）小红在解关于x的方程：﹣3x+1＝3a﹣2时，误将方程中的“﹣3”看成了“3”，求得方程的解为x＝1，则原方程的解为　 ． 4．（2023秋•献县期末）小马虎在解关于x的方程2a﹣5x＝21时，误将“﹣5x”看成了“+5x”，得方程的解为x＝3，则原方程的解为　 　． 5．（2023•秦皇岛一模）米老鼠在解方程1的过程中，去分母时方程右边的﹣1忘记乘6，因而求得的解为x＝2． （1）请你帮助米老鼠求出a的值； （2）正确地解这个方程． 6．小王在解关于x的方程3a﹣2x＝15时，误将﹣2x看作2x，得方程的解x＝3， （1）求a的值； （2）求此方程正确的解； （3）若当y＝a时，代数式my3+ny+1的值为5，求当y＝﹣a时，代数式my3+ny+1的值． 【题型7一元一次方程的整数解问题】 1．（2023秋•西城区校级期中）若关于x的一元一次方程kx＝x+3的解为正整数，则整数k的值为（　　） A．2 B．4 C．0或2 D．2或4 2．（2023秋•越秀区校级期中）若关于x的方程（k﹣2013）x＝2015﹣2014x的解是整数，则整数k的值有（　　） A．4个 B．8个 C．12个 D．16个 3．（2023•沙坪坝区校级开学）已知关于x的方程的解为整数，则符合条件的所有整数k的和（　　） A．﹣9 B．﹣7 C．﹣6 D．0 4．（2023灌云县校级模拟）已知关于x的方程ax的解是正整数，求正整数a的值，并求出此时方程的解． 5．（2023秋•临武县校级月考）在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程． （1）若关于x的两个方程2x＝4与mx＝m+1是同解方程，求m的值． （2）已知关于x的方程9x﹣3＝kx+14有整数解，那么满足条件的所有整数k＝　 　． （3）若关于x的两个方程5x与2x﹣mn是同解方程，求此时符合要求的正整数m，n的值． 【题型8 一元一次方程中的新定义问题】 1（2024春•卫东区校级期末）对于两个非零的有理数a，b，规定：a⊕b＝2b﹣3a，若（4﹣x）⊕（1+x）＝5，则x＝　 　． 2．（2023秋•雁塔区校级期末）定义一种新的运算“⊗”，它的运算法则为：当a、b为有理数时，a⊗，比如：6⊗41，则方程x⊗2＝1⊗x的解为x＝　 　． 3．（2023秋•临泽县期末）定义新运算：x*y＝x+y﹣xy，例如：2*（﹣3）＝2+（﹣3）﹣2×（﹣3）＝5，那么当[（﹣x）*（﹣2）]*2＝2x时，x＝　 ． 4．（2023秋•福田区期末）定义运算“*”对于任意有理数a与b，满足，例如：．若有理数x满足x*4＝3，则x的值为 　 ． 5．（2023秋•埇桥区校级月考）定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解，则称这个方程为妙解方程．例如：方程2x+4＝0中，2﹣4＝﹣2，方程的解为x＝﹣2，则方程2x+4＝0为妙解方程．请根据上述定义解答下列问题： （1）方程2x+3＝0 　　妙解方程（填“是”或“不是”）． （2）已知关于x的一元一次方程3x+m＝0是妙解方程．则m＝　 ． 6．（2023秋•淮滨县期末）如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”． 例如：方程2x﹣1＝3和x+1＝0为“美好方程”． （1）方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是“美好方程”吗？请说明理由； （2）若关于x的方程2x﹣n+3＝0与x+5n﹣1＝0是“美好方程”，求n的值． 【题型9 解含绝对值的一元一次方程】 1．（2023春•宜阳县期中）方程|2x﹣1|＝5的解为（　　） A．x＝3 B．x＝﹣2 C．x＝3或x＝﹣2 D．无解 2．（2023春•南召县月考）若关于x的方程x+2＝2（m﹣x）的解满足方程|x|＝1，则m的值是（　　） A．或 B． C． D．或 3．（2023秋•郫都区期中）|x﹣3|＝5，则x＝　 　． 4．已知方程mx+3＝2（m﹣x）的解满足|x﹣1|＝0，则m＝　 　． 5．（2023秋•双流区校级月考）已知方程2（x﹣1）＝3（x+2）的解是x＝m﹣5． （1）求m的值． （2）求关于x的方程的解． 6．先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2）、（3）．例：解绝对值方程：|2x|＝1．解：讨论：①当x≥0时，原方程可化为2x＝1，它的解是．②当x＜0时，原方程可化为﹣2x＝1，它的解是．∴原方程的解为和． 问题（1）：依例题的解法，方程的解是 　 ； 问题（2）：解绝对值方程3|x﹣4|＝9； 问题（3）：在理解绝对值方程解法的基础上，方程|x﹣8|+|x﹣11|＝5的解是 　 ． 【题型10 实际问题与一元一次方程】 1．（2023秋•花山区期末）随着网络的普及，“直播带货”成为火热的销售模式之一．一运动品牌上衣在实体店按成本价提高30%销售，在直播间以实体店售价的9折进行销售，结果在直播间每卖出1件该运动上衣可获利34元，设该运动上衣的成本价为x元，根据题意，可列方程为（　　） A．（1+30%⋅x）•0.9＝x+34 B．（1+30%⋅x）•0.9＝x﹣34 C．（1+30%）x•0.9＝x+34 D．（1+30%）x•0.9＝x﹣34 2．（2024•南岗区校级开学）某商场计划购进甲、乙两种节能灯共1200只，甲型节能灯进价每只25元，乙型节能灯进价每只45元，则购进甲型节能灯 　 　只，进货款恰好为46000元． 3．（2023秋•路北区期中）某足球协会举办一次足球赛，规则是：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分．某球队比赛结果是胜5场平3场输4场，则该球队得 　 分． 4．（2023秋•临猗县期末）2022年11月10日，中共政治局常委会召开会议研究部署进一步优化防控工作的二十条措施，使得疫情有了更好的控制．为降低疫情对销售额的影响，某商场准备搞优惠促销活动回馈新老客户，由顾客抽奖决定折扣．某顾客购买了A，B两种商品共花费416元，分别抽到了六折和八折，而A，B两种商品的原价之和为600元． （1）求A，B两种商品的原价各是多少元？ （2）若本次买卖中A种商品最终亏损20%，B种商品最终盈利40%，那么该超市在本次买卖中是盈利还是亏损？盈利或亏损多少元？ 5．（2023秋•游仙区期中）某工厂中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒装4块大月饼和6块小月饼，制作1块大月饼要用0.05kg面粉，1块小月饼要用0.02kg面粉． （1）若制作若干盒月饼共用了640kg面粉，请问制作大小两种月饼各用了多少面粉？ （2）在（1）的条件下，已知制作一个精美月饼包装盒的成本为5元，面粉的进价为25元/千克，在不计其它成本的情况下，工厂想达到50%的利润率，则应如何制定每盒月饼的出厂价？ 6．（2023秋•宁阳县期末）第19届亚洲夏季运动会于2023年9月23日在杭州举行，象征杭州三大世界文化遗产的吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”通过不同色彩、不同纹饰向世界讲述“江南忆”的美丽故事．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有800名工人． （1）若该工厂生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少100人，请求出生产盲盒A的工人人数； （2）为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由4个盲盒A和9个盲盒B组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或15个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？ 7．（2023秋•船营区校级期末）一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需45天，现甲队先单独做20天，之后两队合作． （1）甲、乙合作多少天才能把该工程完成？ （2）甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在40天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？ 8．（2023秋•藁城区期末）为了丰富学生的课余生活、拓展学生的视野，学校小卖部准备购进甲、乙两类中学生书刊．若购买400本甲和300本乙共需要6400元．其中甲、乙两类书刊的进价和售价如下表： 甲 乙 进价（元/本） m m﹣2 售价（元/本） 20 13 （1）求甲、乙两类书刊的进价各是多少元？ （2）第一次小卖部购进的甲、乙两类书刊共800本，全部售完后总利润（利润＝售价﹣进价）为5750元，求小卖部甲、乙两类书刊分别购进多少本？ （3）第二次小卖部购进了与上次一样多的甲、乙两类书刊，由于两类书刊进价都比上次优惠了10%，小卖部准备对甲书刊进行打折出售，让利于学生，乙书刊价格不变，全部售完后总利润比上次还多赚10元，求甲书刊打了几折？ 9．（2023秋•公主岭市期末）如图，在数轴上点A、B表示的数分别为﹣4和2，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿A→B方向运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动，到达点A后停止运动．设点P运动时间为t（单位：秒）． （1）当t＝1时，点P表示的数是 　 ；当t＝3.5时，点P表示的数是 　 ； （2）当点P表示的数为0时，请直接写出t的值； （3）在点P由点A向点B的运动过程中，请直接写出点P所表示的数；（用含t的式子表示） （4）在点P在运动过程中，请直接写出点P与点B的距离．（用含t的式子表示） 1．（2023秋•红河县期末）已知下列方程：①；②0.3x＝1；③；④x2﹣4x＝3；⑤x＝6；⑥x+2y＝0．其中一元一次方程的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2023秋•禹州市期末）若方程（2k+1）x2﹣（2k﹣1）x+5＝0是关于x的一元一次方程，则k的值为（　　） A．0 B．﹣1 C． D． 3．（2023秋•定陶区期末）下列利用等式的性质，错误的是（　　） A．由a＝b，得到1﹣2a＝1﹣2b B．由ac＝bc，得到a＝b C．由，得到a＝b D．由a＝b，得到 4．（2023秋•祥符区期中）小丽同学在做作业时，不小心将方程2（x﹣3）﹣■＝x+1中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x＝9，请问这个被污染的常数■是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 5．（2023秋•惠阳区月考）已知是关于x的方程的解，则关于x的方程m+2x＝2m﹣3x的解是（　　） A． B． C．x＝﹣5 D．x＝5 6．（2023秋•天长市期中）为了鼓励居民节约用水，天长市自来水公司调整了新的自来水收费标准：用水每月不超过6m3，按0.8元/m3收费，如果超过6m3，超过部分按1.2元/m3收费．已知某用户某月交水费7.2元，那么这个用户这个月用水（　　） A．6.5m3 B．7m3 C．7.5m3 D．8m3 7．（2023秋•五华县期末）若x＝2是方程a﹣bx＝4的解，则﹣6b+3a+2022值为 　 ． 8．（2024秋•南岗区校级月考）若代数式与的值互为倒数，则x＝ 　 　． 9．（2023•雁塔区校级开学）某商场参加意外保险，保险金额为4000万元，保险费率为0.75%，由于事故，损失物品价值达650万元，保险公司赔偿500万元，这样商场实际损失 了 　 　万元． 10．定义：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b﹣a，则称该方程为“差解方程”．例如：2x＝4的解为x＝2，且2＝4﹣2，则该方程2x＝4是“差解方程”．若关于x的一元一次方程5x＝m﹣1是“差解方程”，则m＝　 　． 11．（2023秋•和平区期末）若a、b为定值，关于x的一次方程无论k为何值时，它的解总是x＝1，则（2a+3b）2022的值为 　 ． 12．（2023秋•姑苏区校级月考）解方程： （1）2（x+3）＝5x； （2）． 13．（2023秋•翁源县期中）定义一种新运算：a⊕b＝2a+b．试根据条件解答下列问题： （1）计算：（﹣1）⊕4； （2）若2⊕x＝10，则x的值为 　 　； （3）若a⊕（﹣b）＝6，求（a+b）⊕（2a﹣4b）的值． 14．（2023春•鹤壁期末）在数学实践课上，小丽解方程时，因为粗心，去分母时方程左边的1没有乘以10，从而求得的方程的解为x＝4，试求a的值，并解出原方程正确的解． 15．（2023秋•黄岩区期末）2022年11月，黄岩区柑橘节盛大开幕．柑橘节期间，小泮、小钱和小王打算到柑橘博览园购买一些柑橘，已知柑橘的价格如表： 购买柑橘（千克） 不超过10千克 10千克以上但不超过30千克 30千克以上 每千克的价格 6元 5元 4元 （1）若小泮购买了25千克的柑橘，则他需要付多少元？ （2）若小钱一次购买柑橘共付了200元，则小钱购买柑橘多少千克？ （3）小王分两次共购买了柑橘90千克，第二次购买的数量要多于第一次购买的数量，共付出376元，请问小王第一次、第二次分别购买柑橘多少千克？ 16．（2023秋•镇原县期末）如图，在数轴上有A，B两点，所表示的数分别为﹣8，4，点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时点B以每秒2个单位长度的速度向左运动．如果设运动时间为t秒，解答下列问题： （1）运动前线段AB的长为 　 ；运动1秒后线段AB的长为 　 　； （2）求t为何值时，点A与点B恰好重合； （3）在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使得线段AB的长为5，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$