第05讲：函数基础知识和基本性质期末高频考点题型讲与练【11大题型】-2024-2025学年高一数学上学期《考点·题型·难点》期末高效复习（人教A版2019必修第一册）

第05讲：函数基础知识和基本性质期末高频考点题型讲与练 【考点梳理】 · 考点01：函数的定义域 · 考点02：已知函数的定义域求参数范围 · 考点03：复杂（根式、分式）函数的值域 · 考点04：求解析式三大方法 · 考点05：函数相等问题 · 考点06分段函数问题 · 考点07：函数的单调性问题 · 考点08：函数的最值问题 · 考点09：利用奇偶性求函数的解析式 · 考点10：利用函数的奇偶性与单调性解不等式 · 考点11：函数性质的综合性问题 【知识梳理】 知识点01：函数的有关概念 函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 y＝f(x)，x∈A 定义域 x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域 值域 函数值的集合叫做函数的值域 知识点02：函数的单调性 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 知识点03．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 知识点04．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 【题型归纳】 题型一：函数的定义域 1．（23-24高一上·浙江丽水·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C．且 D．且 2．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·福建漳州·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·湖南株洲·期末）函数的定义域为全体实数，则（   ） A． B． C． D． 题型二：已知函数的定义域求参数范围 5．（22-23高一上·四川眉山·期末）函数的定义域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（20-21高一下·甘肃庆阳·期末）若函数的定义域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三：复杂（根式、分式）函数的值域 7．（22-23高一上·湖北襄阳·期末）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 8．（21-22高一上·四川雅安·期末）的值域是（    ） A． B． C． D． 9．（22-23高一上·上海徐汇·期末） （1）求函数的值域； （2）求函数的值域. 题型四：求解析式三大方法 10．（20-21高一上·广西贺州·期末）已知函数，则 ． 11．（22-23高一上·山东淄博·期末）设定义在上的函数满足，则 . 12．（23-24高一上·海南海口·期末）已知函数的定义域为R，且，，请写出满足条件的一个 （答案不唯一）． 题型五：函数相等问题 13．（23-24高一上·河南开封·期末）下列表示同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 14．（23-24高一上·河南南阳·期末）下列各组函数中是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 15．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）下列各组函数中，是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型六：分段函数问题 16．（23-24高一上·浙江杭州·期末）设函数.若，则等于（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高一上·湖北荆门·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型七：函数的单调性问题 19．（23-24高一上·北京东城·期末）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 20．（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高一上·广西贺州·期末）若定义在上的奇函数，对任意，都有，且，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 题型八：函数的最值问题 22．（23-24高一上·天津·期末）若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高一上·安徽六安·期末）已知函数，若对于定义域内任意，总存在，使得，则满足条件的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型九：利用奇偶性求函数的解析式 25．（23-24高一上·福建漳州·期末）若函数是偶函数，且当时，，则当时， . 26．（23-24高一上·天津宁河·期末）若函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ，若，则实数的取值范围是 . 27．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）已知定义在R上的函数分别是奇函数和偶函数，且，则 ． 题型十:利用函数的奇偶性与单调性解不等式 28．（23-24高一上·湖北武汉·期末）若幂函数为偶函数，则不等式的解集为 . 29．（23-24高一上·广西河池·期末）已知是定义在上的增函数，且的图象关于点对称，则关于的不等式的解集为 . 30．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数的定义域是，函数的图象的对称中心是，若对任意的，且，都有成立，，则不等式的解集为 . 题型十一：函数性质的综合性问题 31．（23-24高一上·北京·期末）已知定义域为的函数是奇函数． (1)求实数的值； (2)判断的单调性，并用单调性的定义证明； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 32．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，． (1)证明：函数是奇函数； (2)证明：在上是增函数； (3)若，对任意，恒成立，求实数的取值范围． 33．（23-24高一上·天津·期末）已知，分别为定义在上的偶函数和奇函数，且. (1)求和的解析式； (2)利用函数单调性的定义证明在区间上是增函数； (3)已知，其中是大于1的实数，当时，，求实数的取值范围. 【强化精练】 一、单选题 34．（23-24高一下·北京·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 35．（23-24高一下·广东揭阳·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 36．（23-24高一上·江苏盐城·期末）若函数是偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 37．（23-24高一上·云南昭通·期末）已知定义在上的函数，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 38．（23-24高一上·江苏盐城·期末）函数，若，则，，的大小关系是（    ）. A． B． C． D． 39．（23-24高一上·江西上饶·期末）已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 40．（23-24高一上·贵州毕节·期末）函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数，对，均有，则（    ） A．6 B．50 C．616 D．1176 41．（23-24高一上·贵州黔东南·期末）已知是定义在上的偶函数，且对任意的，恒成立.若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 42．（23-24高一上·江苏连云港·期末）下列各函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 43．（23-24高一下·广东揭阳·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A． B． C．有最大值 D．函数是奇函数 44．（23-24高一上·河南·期末）已知函数是偶函数，且在上单调递增，则下列结论中一定正确的有（    ） A．的图象关于直线对称 B． C． D．在上单调递减 45．（23-24高一上·云南德宏·期末）已知定义在上函数的图象连续不间断，且满足以下条件：①是偶函数；②，，且时，都有；③，则下列成立的是（    ） A． B．若， C．若，则 D．，，使得 46．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知函数对任意实数、都满足，且，以下结论正确的有（    ） A． B．是偶函数 C．是奇函数 D． 47．（23-24高一上·河北承德·期末）已知函数下列命题正确的是（    ） A．的值域为 B．的值域为 C．若函数在上单调递减，则的取值范围为 D．若在上单调递减，则的取值范围为 三、填空题 48．（23-24高一上·上海长宁·期末）已知，若，则 . 49．（22-23高一上·河北保定·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 50．（23-24高一上·湖北荆门·期末）函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意的，都有，则的取值范围是 . 51．（23-24高一上·上海·期末）已知函数是定义域为的奇函数，且.若对任意的、且，都有成立，则不等式的解集是 . 52．（23-24高一上·福建南平·期末）已知函数，用表示中的较小者，记为，则函数的最大值为 ；若，则的取值范围为 ． 四、解答题 53．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）已知函数，且． (1)求函数的解析式； (2)用定义证明函数在上是增函数. 54．（23-24高一上·广东广州·期末）已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)讨论函数在上的单调性，并加以证明． 55．（23-24高一上·江西赣州·期末）已知函数是定义域为的奇函数． (1)求实数的值，判断函数的单调性并说明理由： (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 56．（23-24高一下·广东揭阳·期末）已知是定义域上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断并用定义证明在区间上的单调性； (3)设函数，若对任意的，，求实数的最小值. 57．（23-24高一上·江西抚州·期末）已知定义域为的函数满足对任意，都有 (1)求证：是奇函数； (2)设，且当时，，求不等式的解集． 58．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数的定义域为，，，总有成立.若时，. (1)判断并证明函数的单调性； (2)若，求解关于x的不等式的解集. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲：函数基础知识和基本性质期末高频考点题型讲与练 【考点梳理】 · 考点01：函数的定义域 · 考点02：已知函数的定义域求参数范围 · 考点03：复杂（根式、分式）函数的值域 · 考点04：求解析式三大方法 · 考点05：函数相等问题 · 考点06分段函数问题 · 考点07：函数的单调性问题 · 考点08：函数的最值问题 · 考点09：利用奇偶性求函数的解析式 · 考点10：利用函数的奇偶性与单调性解不等式 · 考点11：函数性质的综合性问题 【知识梳理】 知识点01：函数的有关概念 函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 y＝f(x)，x∈A 定义域 x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域 值域 函数值的集合叫做函数的值域 知识点02：函数的单调性 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 知识点03．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 知识点04．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 【题型归纳】 题型一：函数的定义域 1．（23-24高一上·浙江丽水·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】结合二次根式、分式和对数性质即可求解. 【详解】由题可知，解得且. 故选：D 2．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抽象函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】函数的定义域为，所以， ， 所以的定义域为， 对于函数，由， 得，所以函数的定义域为. 故选：C 3．（23-24高一上·福建漳州·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 函数定义域满足，解得答案. 【详解】函数的定义域满足，解得. 所以该函数的定义域为. 故选：B. 4．（23-24高一上·湖南株洲·期末）函数的定义域为全体实数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题知，时，恒成立，讨论和两种情况，列出条件，解出即可. 【详解】因为函数的定义域为全体实数， 则时，恒成立， 当时，不等式为，恒成立，符合题意； 当时，则， 解得， 综上知，， 故选：C. 题型二：已知函数的定义域求参数范围 5．（22-23高一上·四川眉山·期末）函数的定义域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先验证时的情况，再当时，利用二次函数的性质列不等式求解. 【详解】当时，，定义域不为； 当时，若函数的定义域为， 则，解得 故选：A. 6．（20-21高一下·甘肃庆阳·期末）若函数的定义域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知恒成立，利用二次函数恒成立求解即可. 【详解】∵函数的定义域为， 所以恒成立， 当时，显然不合题意， 当时，则 ∴ 综上所述 故选：C. 题型三：复杂（根式、分式）函数的值域 7．（22-23高一上·湖北襄阳·期末）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义域、幂函数的性质、以及基本不等式可直接求得选项中各函数的值域进行判断即可. 【详解】由已知值域为，故A错误； 时，等号成立，所以的值域是，B错误； 因为定义域为， ，函数值域为，故C正确； ，，，所以，故D错误. 故选：C. 8．（21-22高一上·四川雅安·期末）的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得的范围，再由单调性求值域． 【详解】解：因为，所以，，即函数的定义域为， 又在时单调递增， 所以当时，函数取得最大值为，所以值域是， 故选：D. 9．（22-23高一上·上海徐汇·期末）（1）求函数的值域； （2）求函数的值域. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）函数化成，结合均值不等式分别判断、的最值，从而得出值域. （2）由换元法将函数转换成二次函数的值域问题. 【详解】（1），， 当时，，当且仅当时等号成立； 当时，，当且仅当时等号成立. 故函数值域为； （2）函数定义域为，令 ，则，故函数值域为. 题型四：求解析式三大方法 10．（20-21高一上·广西贺州·期末）已知函数，则 ． 【答案】8 【分析】根据换元法，令得，进而得，再算即可. 【详解】解：令，则，， 所以. 所以， 故答案为：. 11．（22-23高一上·山东淄博·期末）设定义在上的函数满足，则 . 【答案】 【分析】利用方程组法求函数解析式，将换成，两式联立即可求解. 【详解】因为定义在上的函数满足， 将换成可得：，将其代入上式可得： ， 所以， 故答案为：. 12．（23-24高一上·海南海口·期末）已知函数的定义域为R，且，，请写出满足条件的一个 （答案不唯一）． 【答案】1,（答案不唯一） 【分析】根据所给条件分析函数为偶函数，取特殊函数可得答案. 【详解】令，则， 又， 所以，即， 所以函数为偶函数， 不妨取偶函数，则， 也可取，则，满足题意. 故答案为：,（答案不唯一） 题型五：函数相等问题 13．（23-24高一上·河南开封·期末）下列表示同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】利用同一函数的定义域与对应法则相同，逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为， 所以两者定义域不同，不是同一个函数，故A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为， 所以两者定义域不同，不是同一个函数，故B错误； 对于C，与的定义域和对应法则都不同，不是同一个函数，故C错误； 对于D，，， 这两个函数的定义域都是，且对应法则也相同，故是同一个函数，故D正确. 故选：D. 14．（23-24高一上·河南南阳·期末）下列各组函数中是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】判断是否为同一函数，一般考查两个方面：① 定义域相同；② 对应法则相同.只有两个方面都分别相同，才能称为同一函数. 【详解】对于A项，因函数的定义域为R，而函数的定义域为，故该组函数不是同一函数，A项错误； 对于B项，两函数的定义域相同，但对应法则不同，故该组函数也不是同一函数，B项错误； 对于C项，函数的定义域为，而函数的定义域为R，故该组函数不是同一函数，C项错误； 对于D项，两函数的定义域都是，且对应的法则相同，故该组函数是同一函数，D项正确. 故选：D. 15．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）下列各组函数中，是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】根据相等函数的定义，结合选项依次判断即可. 【详解】对于A，函数的定义域为R，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数．故A不符合题意； 对于B，两个函数的函数与的对应关系不同， 不是同一函数．故B不符合题意； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为R， 两个函数的定义域不同，不是同一函数．故C不符合题意； 对于D，两个函数的定义域都是，值域、对应关系相同， 是同一函数．故D符合题意. 故选：D 题型六：分段函数问题 16．（23-24高一上·浙江杭州·期末）设函数.若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照从内到外的原则，先计算的值，再代入，即可求出的值. 【详解】由于函数，且， 则，且， 所以，即， 得. 故选：B. 17．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为函数是上的减函数， 所以，解得，即实数的取值范围为. 故选：D 18．（23-24高一上·湖北荆门·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求函数在时函数的值域，再根据函数的值域为，确定时函数的单调性和端点值的范围，求实数的取值范围. 【详解】当时，在上单调递增，且，所以函数在的值域是. 因为函数的值域是. 所以当时的函数值域应该包含. 即. 故选：B 题型七：函数的单调性问题 19．（23-24高一上·北京东城·期末）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇偶性的定义和初等函数的单调性逐一判断. 【详解】对于A：，则，偶函数， 另外当时，，函数单调递减，A错误； 对于B：，则，偶函数， 另外当时，，函数单调递增，B正确； 对于C：，则，奇函数，C错误； 对于D：，则，偶函数， 另外当时，，函数单调递减，D错误. 故选：B. 20．（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数单调性的变形式即可判断函数单调性，然后根据分段函数的性质即可求解. 【详解】因为对任意，都有成立， 可得在上是单调递减的， 则，解得. 故选：A 21．（23-24高一上·广西贺州·期末）若定义在上的奇函数，对任意，都有，且，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设，，分析的奇偶性和单调性，由此分情况解不等式可得答案． 【详解】根据题意，设，， 是定义在,,上的奇函数，即， 故，函数为偶函数， 由题意当时，有，函数在上为减函数， 又由为偶函数，则在上为增函数， 又由，则，同时， 或， 必有或，即的取值范围为. 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性解不等式，关键是构造函数明确其奇偶性，并分情况解不等式. 题型八：函数的最值问题 22．（23-24高一上·天津·期末）若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化成同底数指数幂，然后参变分离，可知的取值范围. 【详解】因为，所以， ，即 ， 当时，有最小值， ， 故选：A 23．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先分析函数的取值情况，从而判断，再结合得到，再分和两种情况讨论，当时结合函数在上的单调性，得到，从而求出的取值范围. 【详解】对于函数，当时，，当时，， 而，即有，依题意可得，又，解得， 所以； 当时，函数在上的取值集合为，不符合题意， 当，函数在上单调递增， 则，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 【点睛】关键点睛：本题的关键是分析得到，再分和两种情况讨论. 24．（23-24高一上·安徽六安·期末）已知函数，若对于定义域内任意，总存在，使得，则满足条件的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件可知函数在定义域内无最小值，令，从而得到函数在定义域内无最小值或，即可求出实数的取值范围. 【详解】由题意当或时，函数无意义，所以， 因为对于定义域内任意，总存在，使得， 所以函数在定义域内无最小值， 令， 则函数在定义域内无最小值或， 因为当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 解得：， 所以实数的取值范围是， 故选：D. 题型九：利用奇偶性求函数的解析式 25．（23-24高一上·福建漳州·期末）若函数是偶函数，且当时，，则当时， . 【答案】 【分析】根据偶函数的性质求解即可. 【详解】解：因为数是偶函数，且当时，， 所以当时，， 所以， 即， 所以当时，. 故答案为： 26．（23-24高一上·天津宁河·期末）若函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性求函数解析式；利用奇偶性和单调性解不等式. 【详解】函数是定义在上的奇函数，当时，， 则当时，，. 函数和在R上都单调递增，则在上单调递增， 又是定义在上的奇函数，所以在R上单调递增， 由，得， 则，解得，即实数的取值范围是. 故答案为：； 27．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）已知定义在R上的函数分别是奇函数和偶函数，且，则 ． 【答案】 【分析】由题可得，然后利用奇偶性的定义即求，，最后计算即可； 【详解】∵， ∴. 由是奇函数，是偶函数，可有，， 代入上式，， 则有，； 则. 故答案为：. 题型十:利用函数的奇偶性与单调性解不等式 28．（23-24高一上·湖北武汉·期末）若幂函数为偶函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由幂函数的概念和性质确定的值，再根据单调性求解不等式. 【详解】因为为幂函数， 则，解得，或， 当时，，为奇函数，不符合题意； 当时，，为偶函数，符合题意， 且在上单调递减，在上单调递增， 若，则， 解得或，即不等式的解集为. 故答案为：. 29．（23-24高一上·广西河池·期末）已知是定义在上的增函数，且的图象关于点对称，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】将所求不等式化为，可令，根据奇函数定义和单调性性质可确定为奇函数且在上单调递增，由定义域、奇偶性和单调性可构造不等式组求得结果. 【详解】由， 得：， 令，则； 关于对称，， ， 为定义在上的奇函数； 又为上的增函数，为增函数， 在上单调递增， 则由， 得：， ，解得：， 即的解集为. 故答案为：. 30．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数的定义域是，函数的图象的对称中心是，若对任意的，且，都有成立，，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用函数的图象的对称中心是可得是上的奇函数，由可得，故可得在上单调递增，然后分，和三种情况进行求范围即可. 【详解】因为的图象是的图象向左平移1个单位长度得到，且函数的图象的对称中心是， 所以的图象的对称中心是，故是上的奇函数，所以， 对任意的，，且，都有成立， 所以， 令，所以根据单调性的定义可得在上单调递增， 由是上的奇函数可得是上的偶函数， 所以在上单调递减， 当时，不等式得到，矛盾； 当时，转化成即，所以； 当时，转化成，，所以， 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 题型十一：函数性质的综合性问题 31．（23-24高一上·北京·期末）已知定义域为的函数是奇函数． (1)求实数的值； (2)判断的单调性，并用单调性的定义证明； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数定义即可求得; （2）利用单调性定义按步骤进行证明即可； （3）利用函数奇偶性和单调性将问题转化为不等式在时恒成立问题，再由基本不等式即可得出实数的取值范围． 【详解】（1）因为定义域为的函数是奇函数， 所以，即， 所以，经检验符合题意， 故； （2）在上单调递增，证明如下： 因为， 任取， 所以， 则， 所以， 所以在上单调递增； （3）由（2）得在上单调递增， 又时，恒成立， 所以， 所以， 则在时恒成立， 由基本不等式可知，当且仅当时等号成立， 所以， 故的范围为． 32．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，． (1)证明：函数是奇函数； (2)证明：在上是增函数； (3)若，对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）令可得，再令，结合奇函数定义，即可证明； （2）设任意且，作差，结合条件赋值法可证明，再结合奇函数性质，即可得证； （3）可转化为即，结合性质所证明性质求出，再主元变换解决关于的函数恒成立问题，列出不等式组求解即可. 【详解】（1）令，得，， ， 令，，， 所以函数是奇函数； （2）设任意且， 由题意，， 又由（1）是奇函数， 得， ，， 已知当时，，从而有， 故，即， 在上单调递增， 根据奇函数的性质可知在上也单调递增， 故在上是增函数； （3）对任意恒成立，即， 由（2）得，在上是增函数， 所以当时，， 又（1）可知，函数是奇函数，则，即. 所以对任意恒成立， 设，，要使恒成立， 则，即， 解得或，所以实数的取值范围是． 33．（23-24高一上·天津·期末）已知，分别为定义在上的偶函数和奇函数，且. (1)求和的解析式； (2)利用函数单调性的定义证明在区间上是增函数； (3)已知，其中是大于1的实数，当时，，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由函数奇偶性，构造方程组即可求解； （2）利用增函数的定义，结合指数函数单调性推理即得； （3）换元并求出新元的范围，转化为二次函数在闭区间上的最小值求解即可. 【详解】（1），分别为定义在上的偶函数和奇函数 所以， ①， ②， 由①②可知，， （2）取， 因为，所以，，， 所以，即， 得证； （3）由已知 由(2)得在上单调递增， ， 设， 令 ，， 而函数，在上递减，在递增 ①当时，，，显然成立 即 ②当时，，， 即 综上所述，实数的取值范围是. 【强化精练】 一、单选题 34．（23-24高一下·北京·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据被开方数为非负数得到不等式，解得即可. 【详解】函数，令， 等价于，解得或， 所以函数的定义域为. 故选：D 35．（23-24高一下·广东揭阳·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的图象与性质，写出对称轴，比较对称轴与4的关系即可求解. 【详解】由于二次函数的二次项系数为正数，对称轴为直线， 其对称轴左侧的图象是下降的， ∴，故， 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 36．（23-24高一上·江苏盐城·期末）若函数是偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性和单调性，利用特殊函数法判断即可． 【详解】由于函数是偶函数，在区间上单调递增，且， 所以，且函数在上单调递减． 由此画出满足条件的一个函数的图象，如图所示，    由图可知，的解集是， 故选：B． 37．（23-24高一上·云南昭通·期末）已知定义在上的函数，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意求出的值，进而可得，的值，以此类推即可得出结果。 【详解】令，则，解得， 令，则，解得， 令，则，解得， 令，则，解得， ， 依次类推可得。 故选：C 38．（23-24高一上·江苏盐城·期末）函数，若，则，，的大小关系是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据求得，再根据不等式性质结合中间值比较大小即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以，又， 所以. 故选：A 39．（23-24高一上·江西上饶·期末）已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意先得表达式，从而分类讨论即可求解. 【详解】由题意已知函数在上是奇函数，当时，， 所以当时，， 当时，，， 当时，若，只需，，解得， 当时，若，只需，解得， 综上所述，不等式的解集是. 故选：C. 40．（23-24高一上·贵州毕节·期末）函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数，对，均有，则（    ） A．6 B．50 C．616 D．1176 【答案】A 【分析】由为偶函数，为奇函数的定义得出和的对称性，得出恒等式，利用条件分别求出和的解析式，即可得出答案. 【详解】由函数为偶函数，则，即函数关于直线对称，故； 由函数为奇函数，则， 整理可得，即函数关于对称， 故； 由，可得， 所以， 故，解得， 所以，所以， 故选：A． 41．（23-24高一上·贵州黔东南·期末）已知是定义在上的偶函数，且对任意的，恒成立.若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数单调性的定义及利用函数的单调性和奇偶性综合解出该抽象函数不等式即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 且对任意的，恒成立， 所以在上单调递增，在上单调递减. 易得， 所以由得;由得， 故不等式的解集是. 故选:D. 二、多选题 42．（23-24高一上·江苏连云港·期末）下列各函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由基本不等式及二次函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，，当时取最小值2，故B正确. 对于C，当时，，故C错误； 对于D，设，则， 当且仅当，即时等号成立，故D正确； 故选：BD. 43．（23-24高一下·广东揭阳·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A． B． C．有最大值 D．函数是奇函数 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用抽象函数的性质，及赋值法并结合选项，即可逐项判定，从而求解. 【详解】对于A：因为且， 令，则，解得， 令，则， 令，，则，解得，故A正确； 对于B：令，可得， 即， 所以 ，故B正确； 对于C：令，且，则， 可得， 若时，时，，此时函数为单调递增函数； 若时，时，，此时函数为单调递减函数， 所以函数不一定有最大值，故C错误； 对于D：令，可得，可得， 即，所以函数是奇函数，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题主要是对抽象函数利用赋值法，去求解出，及证明函数是奇函数. 44．（23-24高一上·河南·期末）已知函数是偶函数，且在上单调递增，则下列结论中一定正确的有（    ） A．的图象关于直线对称 B． C． D．在上单调递减 【答案】ACD 【分析】由图象变换判断A，由单调性判断BCD. 【详解】把的图象向右平移2个单位得的图象，因此直线是图象的对称轴，A正确； 在上单调递增，则的符号不确定，所以无法确定，的大小，B错误； 在上单调递减，所以，C正确； 在上单调递减，由，得，所以在上单调递减，D正确. 故选：ACD. 45．（23-24高一上·云南德宏·期末）已知定义在上函数的图象连续不间断，且满足以下条件：①是偶函数；②，，且时，都有；③，则下列成立的是（    ） A． B．若， C．若，则 D．，，使得 【答案】CD 【分析】根据函数的奇偶性、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，是偶函数，图象关于轴对称， 所以关于直线对称. ，，且时，都有， 所以在上单调递增，则在上单调递减， ，由此画出的大致图象如下图所示， 所以，A选项错误. 若，则，B选项错误. 若，则，即， 所以或，所以，C选项正确. 由于函数的图象连续不间断，结合图象以及单调性可知： ，，使得，D选项正确. 故选：CD 【点睛】形如的函数表达式，可根据函数图象变换的知识来进行分析，如与的图象关系是：的图象向左平移个单位长度得到的图象，所以的图象的对称性与的图象的对称性有关系. 46．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知函数对任意实数、都满足，且，以下结论正确的有（    ） A． B．是偶函数 C．是奇函数 D． 【答案】ABD 【分析】令可求得的值，令，可求得的值，可判断A选项；推导出为偶函数，且，可判断B选项；由结合函数的奇偶性可判断C选项；利用函数的周期性可判断D选项. 【详解】对于A选项，令可得， 因为，则， 令，，可得，则，A对； 对于B选项，令可得， 所以，，故函数为偶函数， 令可得， 即，故， 因为函数为偶函数，则函数为偶函数，B对； 对于C选项，因为， 因为函数为偶函数，则函数也为偶函数，C错； 对于D选项，由B选项可知，函数是周期为的周期函数， 因为，， 所以，，D对. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：利用定义法判断函数的奇偶性，步骤如下： （1）一是看定义域是否关于原点对称，如果定义域不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数； （2）若函数的定义域关于原点对称，接下来就是判断与之间的关系； （3）下结论. 47．（23-24高一上·河北承德·期末）已知函数下列命题正确的是（    ） A．的值域为 B．的值域为 C．若函数在上单调递减，则的取值范围为 D．若在上单调递减，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】结合分段函数的单调性，依次判断即可. 【详解】当时，的值域为.当时，的值域不为，A正确，B错误. 若函数在上单调递减，则的取值范围为，C正确. 若在上单调递减，根据二次函数和一次函数单调性知的取值范围为，D正确. 故选：ACD 三、填空题 48．（23-24高一上·上海长宁·期末）已知，若，则 . 【答案】或 【分析】分别令分段函数中的每一段解析式的函数值为列方程，由此解得的值. 【详解】由，得； 由， 得； 由，得（舍）； 综上或. 故答案为：或. 49．（22-23高一上·河北保定·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的对称性得出对称轴与的关系即可求解. 【详解】因为函数的对称轴为，图象开口向上， 所以函数在上单调递增， 因为函数在区间上单调递增， 所以， 解得. 故答案为：. 50．（23-24高一上·湖北荆门·期末）函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意的，都有，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据条件，求出函数在各段上的解析式，数形结合，求的取值范围. 【详解】 .由. 当时，； 设，则，所以； 设时，则，所以， 由， 即或. 由图象可得：，都有，故 故答案为： 【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合的解题思想方法，属中档题． 51．（23-24高一上·上海·期末）已知函数是定义域为的奇函数，且.若对任意的、且，都有成立，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】依题意不妨令，即可得，令，，即可得到在上单调递增，再由及奇偶性得到在上的取值情况，从而得到的解集. 【详解】因为对任意的、且，都有成立， 不妨令，则，即， 所以， 令，， 则当且时，， 所以在上单调递增， 又函数是定义域为的奇函数且，则， 所以，所以当时，，当时，， 则当时，，当时，， 又为奇函数，所以当时，，当时，， 所以不等式的解集是. 故答案为： 52．（23-24高一上·福建南平·期末）已知函数，用表示中的较小者，记为，则函数的最大值为 ；若，则的取值范围为 ． 【答案】 1 【分析】先确定函数的单调性，再求的最大值；不等式等价于，利用的单调性和奇偶性，求出的范围，进而可得的范围. 【详解】因为函数，用表示中的较小者，记为， 所以， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的最大值为， 不等式，即， 又明显为偶函数，在上单调递减， 所以，解得， 因为，恒成立， 所以，即， 所以的取值范围为. 故答案为：；. 四、解答题 53．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）已知函数，且． (1)求函数的解析式； (2)用定义证明函数在上是增函数. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）代入，即可求解函数的解析式； （2）利用函数单调性的定义，设，再作差，分解因式，判断正负，即可证明函数的单调性. 【详解】（1），； （2）设， ， ，即 则函数在上是增函数 54．（23-24高一上·广东广州·期末）已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)讨论函数在上的单调性，并加以证明． 【答案】(1)为奇函数，理由见解析 (2)当时，单调递减， 当时，单调递增，理由见解析 【分析】（1）求出定义域，计算出，得到答案； （2）利用定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，判号，下结论. 【详解】（1）为奇函数，理由如下： 的定义域为R， 又， 故为奇函数； （2）当时，单调递减， 当时，单调递增， ，且， 则 ， 因为，且，所以， 当时，，即， 故单调递减， 当时，，即， 故单调递增， 55．（23-24高一上·江西赣州·期末）已知函数是定义域为的奇函数． (1)求实数的值，判断函数的单调性并说明理由： (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，在上单调递减，理由见解析． (2) 【分析】（1）函数为奇函数，利用求实数的值，定义法判断并证明函数的单调性； （2）利用单调性和奇偶性解不等式，求最值解决恒成立问题. 【详解】（1）因为为奇函数，所以， 所以，可得，解得， 所以，则在上单调递减． 证明如下： 法一：任取，，且 则 由于，得，则有，， 所以，即， 所以在上单调递减． 法二：因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递减， 所以在上单调递减． （2）因为为奇函数，在上单调递减， 由得， 则有，原问题转化为对恒成立． 因为当时，取最小值 所以，即实数的取值范围为. 【注：利用得出不给分】 56．（23-24高一下·广东揭阳·期末）已知是定义域上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断并用定义证明在区间上的单调性； (3)设函数，若对任意的，，求实数的最小值. 【答案】(1) (2)函数在上单调递减，在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质得到，从而得到关于、的方程组，解得即可； （2）按照定义法证明单调性的步骤取值、作差、化简、定号、下结论即可； （3）令换元得，将问题转化为求最值问题，然后由求解可得. 【详解】（1）因为是定义域上的奇函数，且， 所以， 所以，解得，即． 经检验，是奇函数，满足题意，所以. （2）函数在上单调递减，在上单调递增， 证明如下：任取，且， 则， 当，且， 则，，∴， ∴，即， 所以函数在上单调递减． 当，且， 则，，∴， ∴，即， 所以函数在上单调递增． （3）由题意知， 令，则， 由（2）可知函数在上单调递减， ∴， 因为函数的对称轴方程为， ∴函数在上单调递增， 当时，取得最小值，； 当时，取得最大值，． 所以，， 又因为对任意的，都有恒成立， ∴， 即，解得， 又∵，所以的取值范围是，则实数的最小值为． 57．（23-24高一上·江西抚州·期末）已知定义域为的函数满足对任意，都有 (1)求证：是奇函数； (2)设，且当时，，求不等式的解集． 【答案】(1)证明见解析； (2)或 【分析】（1）利用赋值法，根据奇函数的定义来证明即可； （2）变形构造函数，通过赋值来研究新函数的单调性，结合新函数的奇偶性解不等式即可. 【详解】（1）证明：因为的定义域为，关于原点对称， 又对任意，都有， 令，得， 令，得， 令， 得， 是奇函数. （2）， ， ， 设，则，所以， 在上是减函数， 因为的定义域为， 又， 所以是偶函数， 因为， ，则，解得， 不等式的解集为或. 58．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数的定义域为，，，总有成立.若时，. (1)判断并证明函数的单调性； (2)若，求解关于x的不等式的解集. 【答案】(1)在上单调递减，证明见解析 (2) 【分析】（1）利用单调性的定义结合已知即可证明； （2）利用赋值法求出，根据已知结合函数的单调性，将不等式化得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】（1）在上单调递减，证明如下： 因为，，总有成立，当时，， ，且，则， 则，即， 所以在上单调递减. （2）因为因为，，总有成立， 所以，则， 因为，所以， 所以不等式可化为， 所以，解得. 所以不等式的解集为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$