第04讲：一元二次不等式方程、最值、参数和恒成立问题期末高频考点讲与练【8大题型】-2024-2025学年高一数学上学期《考点·题型·难点》期末高效复习（人教A版2019必修第一册）

第04讲：一元二次不等式方程、最值、参数和恒成立问题期末高频考点讲与练 【考点梳理】 考点01：不含参数的一元二次不等式的解法 考点02：由一元二次不等式来确定参数的范围 考点03：含参数的一元二次不等式的解法 考点04：一元二次不等式在实数上恒成立问题 考点05：一元二次不等式在某区间恒成立问题 考点06：一元二次不等式在某区间有解立问题 考点07：一元二次方程式的实际应用 考点08：一元二次不等式恒成立和分类讨论综合问题 【知识梳理】 知识点01：一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 知识点02：　二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 【题型归纳】 题型一：不含参数的一元二次不等式的解法 1．（23-24高一上·河南许昌·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，所以， 故选：A. 2．（23-24高一上·安徽·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不含参的一元二次不等式的解法计算即可求解. 【详解】原不等式可化为，解集为. 故选：C. 3．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 解不等式得到集合，根据指数函数的性质求出集合，结合集合的运算得出答案. 【详解】 由解得或，则，则， ∵，∴，则， 所以. 故选：A. 题型二：由一元二次不等式来确定参数的范围 4．（23-24高一上·安徽亳州·期末）一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的 解集可得到，，，把结果代入到所求不等式中即可求解. 【详解】根据题意可知，，，则，， 所求的不等式可化为：，即，解得：或. 故选：C 5．（23-24高一上·陕西渭南·期末）已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据给定的解集求出，再解一元二次不等式即得. 【详解】由不等式的解集为或， 得是方程的两个根，且， 因此，且，解得， 不等式化为：，解得， 所以不等式为. 故选：C 6．（22-23高一上·广东深圳·期末）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意知是方程的两实数根，由韦达定理可求出，代入不等式中，解不等式即可求出答案. 【详解】由不等式的解集为， 知是方程的两实数根， 由根与系数的关系，得，解得：， 所以不等式可化为，解得：或， 故不等式的解集为：. 故选：D. 题型三：含参数的一元二次不等式的解法 7．（22-23高一上·云南曲靖·期末）已知，则不等式的解集为 ． 【答案】/ 【分析】将不等式化为，判断的大小，即可确定答案. 【详解】不等式即， 因为，故， 故由可得， 则不等式的解集为， 故答案为： 8．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）已知关于的不等式. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）将代入解不等式即可； （2）因为对应方程的两个根为，分、、三种情况解不等式即可. 【详解】（1）由， 当时，可得解集为. （2）对应方程的两个根为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为或， 当时，原不等式的解集为或， 9．（23-24高一上·云南德宏·期末）已知． (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由恒成立，即恒成立，即得，从而可求解. （2）由即，然后对分情况讨论，从而可求解. 【详解】（1）∵ 恒成立， ∴ 对恒成立， 故，化简得，解得， 故实数的取值范围. （2），即； 当时，不等式的解为或， 当时，不等式的解为或， 当时，不等式的解为. 题型四：一元二次不等式在实数上恒成立问题 10．（23-24高一上·重庆·期末）函数的定义域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得恒有成立，结合二次不等式恒成立性质对进行分类讨论进行求解即可. 【详解】由题意得恒成立，当时, 恒成立，满足题意； 当时, ,解得,综上. 故选:C. 11．（23-24高一上·安徽安庆·期末）“关于的不等式对上恒成立”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，根据题意可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围，再根据必要不充分条件求解. 【详解】当时，则有，解得，不合题意； 当时，则，解得. 综上所述，关于的不等式对上恒成立”的充要条件为， 所以一个必要不充分条件是. 故选：A. 12．（23-24高一上·青海西宁·期末）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次不等式恒成立即可求解. 【详解】由于不等式对任意恒成立， 当时，不等式为，此时，不符合题意， 当时，对任意恒成立，则，解得， 故选：D 题型五：一元二次不等式在某区间恒成立问题 13．（22-23高一上·江苏淮安·期末）任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，再求函数，的最小值即可得取值范围. 【详解】因为对任意，不等式恒成立. 所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为， 所以， 故选：B. 14．（20-21高一上·浙江宁波·期末）已知函数恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将不等式化简，参变分离，利用换元法构造新函数并求出值域，可得实数a的取值范围． 【详解】，即 当时，不等式恒成立，； 当时，，则 令，则 即，解得 故选：B 15．（22-23高一上·安徽马鞍山·期末）已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，分析可得原题意等价于对一切，恒成立，根据恒成立问题结合二次函数的性质分析运算. 【详解】∵，，则， ∴， 又∵，且， 可得， 令，则原题意等价于对一切，恒成立， ∵的开口向下，对称轴， 则当时，取到最大值， 故实数的取值范围是. 故选：C. 【点睛】结论点睛： 对，恒成立，等价于； 对，恒成立，等价于. 题型六：一元二次不等式在某区间有解立问题 16．（22-23高一上·上海金山·期末）若关于的不等式的解集非空，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】运用判别式求解. 【详解】由题意知 ，解得 或 ， ∴b的取值范围是 ； 故答案为：. 17．（21-22高一上·新疆哈密·期末）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出在的最大值，然后可得关于a的不等式，解出即可. 【详解】设，则在的最大值为4， 因为关于的不等式在上有解， 即，解得， 故答案为：. 18．（22-23高一上·安徽·期末）已知函数，若不等式的解集非空，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】对进行分类讨论即可解决问题. 【详解】①当时，即时， ，解集不是空集； ②当时，即时， 此时函数为开口向下的二次函数， 故不等式的解集非空； ③当0时，若不等式的解集非空，则 ， 即， 综上，的取值范围是. 故答案为：. 题型七：一元二次方程式的实际应用 19．（23-24高一上·陕西西安·期末）某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价. 【答案】(1)最多为元； (2)销售量至少达到11万件，此时定价30元满足题意. 【分析】（1）设每件定价，根据条件列不等式求解即可； （2）将问题转化为不等式定区间内有解，分离参数再结合基本不等式计算即可. 【详解】（1）设定价每件元，由题意可知， 整理得，解之得， 故该商品每件定价最多为元； （2）由上可知：当时，不等式有解， 整理得有解， 易知，当且仅当时取得等号， 此时， 所以改革后销售量至少达到11万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时每件商品定价为30元. 20．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）某新能源公司投资280万元用于新能源汽车充电桩项目，且年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来200万元的收入.设到第且年年底，该项目的纯利润（纯利润=累计收入-累计维修保养费-投资成本）为万元.已知到第3年年底，该项目的纯利润为128万元. (1)求实数的值.并求该项目到第几年年底纯利润第一次能达到232万元； (2)到第几年年底，该项目年平均利润（平均利润=纯利润年数）最大？并求出最大值. 【答案】(1)，该项目到第4年年底纯利润第一次能达到232万元. (2)到第6年年底，该项目年平均利润最大，最大为万元 【分析】（1）根据已知条件，由的值求得，由解不等式求得正确答案. （2）利用函数的单调性求得的最大值，以及此时对应的. 【详解】（1）依题意可得，， 已知， 且. 令，解得. 该项目到第4年年底纯利润第一次能达到232万元. （2）年平均利润为， 令且， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 又. 到第6年年底，该项目年平均利润最大，最大为万元 21．（22-23高一上·重庆·期末）2022年10月16日上午，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂开幕．二十大报告提出，全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展，巩固拓展脱贫攻坚成果．某地政府为深入推进乡村振兴，决定调整产业结构．该地区现有260户农民，且都从事水果种植，平均每户的年收入为3.5万元．为增加农民收入，当地政府决定动员部分农民从事水果加工．据测算，若动员户农民只从事水果加工，剩下的只从事水果种植，则从事水果加工的农民平均每户收入将为万元，而从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高5x%． (1)若动员x户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x的取值范围； (2)在（1）的条件下，要使这260户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a的最大值． 【答案】(1) (2)22 【分析】（1）依题意列出不等式，解一元二次不等式即可求得x的取值范围为； （2）化简表达式并利用基本不等式即可求出a的最大值为22. 【详解】（1）根据题意可知，需满足， 化简为，解得， 故x的取值范围为 （2）由题意得 整理可得， 因为， 当且仅当时，取到最小值10；所以， 即a的最大值为22 题型八：一元二次不等式恒成立和分类讨论综合问题 22．（23-24高一上·天津·期末）函数， (1)若的解集是或，求实数，的值； (2)当时，若，求实数的值； (3)，若，求的解集. 【答案】(1)， (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据三个二次的关系可求参数的值. （2）先求出，再根据代数式恒相等可求的值. （3）原不等式即为，就不同情形分类讨论后可得不等式的解. 【详解】（1）不等式的解集为或， ，且的两根为，， ，，，. （2）， 得，. （3），， 即， （1）当时， （2）当时，则， ①当时，； ②当时，若，即时，或 ， 若，即时， ； 若，即时，或 ； 综上所述：当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 23．（23-24高一下·辽宁·期末）已知函数 (1)解关于的不等式； (2)若方程有两个正实数根，求的最小值. 【答案】(1)答案见解析； (2)6. 【分析】（1）解含参一元二次不等式，即可得答案； （2）根据方程有两个正实数根可得相应不等式组，进而表示出，采用换元法结合基本不等式即可求得答案. 【详解】（1）不等式即为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 综上可知：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （2）方程有两个正实数根， 即有两个正实数根 故，解得， 所以 令，则，故 当且仅当即时取得等号， 故的最小值为6. 24．（23-24高一上·江西萍乡·期末）已知，函数，． (1)若，求不等式的解集； (2)求不等式的解集； (3)，不等式恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】 （1）运用换元法求解不等式即可. （2）讨论参数范围，求解不等式即可. （3）运用分离参数法结合基本不等式求解参数范围即可. 【详解】（1）令，，即，解得或，所以或，解得； （2）依题意得，，即， 当时，；当时，x的解集为空集；当时，； （3）依题意得，因为，所以， 又，，当且仅当时，取得等号，所以，即． 【强化精练】 一、单选题 25．（23-24高一下·广西崇左·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算具体函数定义域列不等式组计算求解. 【详解】由题意可得，解得或. 故选：D. 26．（23-24高一下·云南玉溪·期末）若关于的不等式的解集为，则的值是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据不等式的解集得出相应方程的根，再用韦达定理可求. 【详解】不等式的解集为， 则方程的两根为， 由韦达定理得：，， 可得， 故. 故选：. 27．（23-24高一上·安徽宣城·期末）设，使得不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解一元二次不等式结合充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】由题意， 对比选项可知不等式成立的一个充分不必要条件是. 故选：D. 28．（23-24高一上·安徽宣城·期末）若命题“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由存在性问题得即可得解. 【详解】由题意命题“，使”是真命题，所以， 当且仅当，有，所以实数m的取值范围是. 故选：C. 29．（23-24高一上·重庆·期末）已知命题“对，都有恒成立”为真，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，则问题转化为在的最小值满足，再利用二次函数的性质解不等式即可求出. 【详解】令，则问题转化为在上的最小值满足即可. 当时，，最小值为，符合题意； 当时，对称轴，函数在上单调递减， 而适合题意； 当时，对称轴， 则， 所以； 综上的取值范围为. 故选：A. 30．（23-24高一上·河南南阳·期末）一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出方程有一个正实根和一个负实根的充要条件，结合选项，判断哪一个是该条件的真子集，即可得答案. 【详解】由题意知一元二次方程的两根为， 要使得方程有一个正实根和一个负实根，需， 结合选项知，只有， 即一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是， 故选：C 31．（23-24高一上·黑龙江大庆·期末）关于的不等式的解集是，且，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，，再根据，即可求出． 【详解】关于的不等式的解集是， ∴是方程的两个根， ∴即， ∴或， ∴，， ∵， ∴， 即， 即， 解得， 综上所述，或， 故选：D. 32．（23-24高一上·河南·期末）“”是“不等式对任意的恒成立”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】先根据不等式恒成立得出.比较，即可得出答案. 【详解】当时，对任意的恒成立； 当时，要使不等式对任意的恒成立， 则应有，解得. 综上所述，的取值范围为. 显然“”包含的范围包含于“”包含的范围， 所以，“”是“不等式对任意的恒成立”的充分不必要条件. 故选：A. 33．（23-24高一上·重庆北碚·期末）设函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，先分段讨论求得，再分段讨论求得，从而得解. 【详解】因为， 令，则可化为， 当时，，即，解得（负值舍去），即， 当时，，即， 而，故上述不等式无解； 综上，， 若，则，解得（负值舍去）； 若，则，解得（舍去）； 综上：. 故选：A. 34．（23-24高一上·河北沧州·期中）已知关于x的方程，则下列结论中正确的是（    ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程无实数根的充分不必要条件是 C．方程有两个正根的充要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 【答案】B 【分析】由判断A；利用方程对应函数的性质列不等式组求参数范围，结合充分、必要性定义判断B、C、D. 【详解】A：由题设，显然无解，错； B：若方程无实根，则，即， 所以是方程无实数根的充分不必要条件，对； C：令，要使方程有两个正根， 所以，可得，故不是充要条件，错； D：同C分析， ，可得，故不是充要条件，错. 故选：B 二、多选题 35．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知关于x的一元二次不等式的解集为或，则（   ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AC 【分析】根据一元二次不等式解集与方程的根的对应关系可得，即A正确，B错误，再代入解不等式可判断C正确，D错误. 【详解】依题意可得方程的两根分别为或，且； 由韦达定理可得，即； 对于A，由可得，即A正确； 对于B，易知，即B错误； 对于C，不等式即为，同时除以即可得， 所以不等式的解集为，即C正确； 对于D，不等式即为，也即； 所以，解得或， 即不等式的解集为或，可得D错误. 故选：AC 36．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知，若关于的不等式只有一个整数解，则的可能取值有（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】AD 【分析】分类讨论k的取值范围，结合不等式只有一个整数解，确定k的取值，即得答案. 【详解】关于的不等式即， 即， 当时，即，解集为空集，不合题意； 当时，的解满足， 要使得关于的不等式只有一个整数解，需， 由于，故； 当时，的解满足， 要使得关于的不等式只有一个整数解，需， 由于，故， 综合得的可能取值， 故选：AD 37．（23-24高一上·湖北荆州·期中）已知不等式对恒成立，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由题意先对不等式左边变形并不断利用基本不等式求出它的最小值，注意取等条件是否成立，然后将恒成立问题等价转换，即可求出参数的范围，最后对比选项即可求解. 【详解】由题意 ， 第一个等号成立当且仅当，第二个等号成立当且仅当， 综上所述：，当且仅当时成立； 又不等式对恒成立，等价于， 解得，对比选项可知的值可以是或或. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：解决问题的关键是将不等式左边变形，利用基本不等式求最小值，从而可将恒成立问题等价转换，进而顺利求解，灵活的变形技巧是必不可少的，当然利用基本不等式求最小值时，要注意验证取等条件. 38．（23-24高一上·江苏·期中）关于的不等式的解集为，下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．的最大值为 D．关于的不等式解集中仅有两个整数，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根之间的关系，即可得，进而可判断ABC，根据二次函数零点分布即可求解D. 【详解】不等式的解集为或， 故和是方程的两个根， 所以，解得，故A正确， 对于B，可变为，解得或，故B错误， 对于C，，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，C正确， 对于D，的不等式可变为， 记由于，故0是的一个整数解， 由于对称轴，要使不等式解集中仅有两个整数，则，故，故D正确， 故选：ACD 39．（23-24高三上·福建泉州·期中）下列命题正确的是（    ） A．要使关于的方程的一根比大且另一根比小，则的取值范围是 B．在上恒成立，则实数的取值范围是 C．关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是 D．若不等式的解集为或，则对于函数有 【答案】ABD 【分析】令，则即可求得a的范围，即可判断A；令，则即可求得的范围，即可判断B；根据题意求出和的关系，化简即可求出解集，即可判断C；根据二次方程根与系数的关系求出a、b、c间的关系，再根据二次函数的性质判断D． 【详解】对于A：要使关于的方程的一根比1大且另一根比1小， 令，则有，即， 解得，故A正确； 对于B：∵在上恒成立， 令，则，即，解得，故B正确； 对于C：∵关于的不等式的解集是，∴， 则关于的不等式等价于，即， 解得，即关于的不等式的解集是，故C错误； 对于D：若不等式的解集为或， 则，且，，， 则， 函数的对称轴为，开口向上，所以在上单调递增， 所以，，则，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题 40．（23-24高一上·河北沧州·期末）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】将分数不等式转换为与之等价的不等式组即可求解. 【详解】，即，则且．解得， 不等式的解集为. 故答案为：. 41．（23-24高一上·江西萍乡·期末）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】由题可得a，b是关于的一元二次方程的两个不同的实数根，由根与系数的关系可求出的值，进而可得，再由不等式“1”的代换即可求出答案. 【详解】因为区间是关于的一元二次不等式的解集， 则a，b是关于的一元二次方程的两个不同的实数根， 则有，，，， 所以，且a，b是两个不同的正数， 则有 ， 当且仅当时即，等号成立， 满足，故的最小值是. 故答案为： . 42．（23-24高一上·河北承德·期末）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】分，和三种情况讨论不等式，列式求解. 【详解】当时，，不等式成立. 当时，二次函数的图象开口向上，不等式不可能恒成立. 当时，二次函数的图象开口向下，若不等式对一切实数都成立，则，解得. 综上，的取值范围为. 故答案为： 43．（23-24高一上·湖北武汉·期末）若关于的不等式有且仅有两个整数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分、、三种情况讨论，当时得到，即可求出的取值范围. 【详解】①当时，解得，不符合题意； 故，关于的不等式，即， ②当时，不等式即，解得或， 即它的解集为，不满足题意； ③当时，不等式即， 由于，当且仅当时取等号，故它的解集为，， 由题意，即，解得或， 则实数的取值范围为. 故答案为： 44．（23-24高一上·山东滨州·期末）一元二次不等式对于一切实数都成立，实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用二次不等式恒成立的条件得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为是一元二次不等式，所以， 又对一切实数成立， 所以，解得， 则的取值范围是. 故答案为：. 45．（23-24高一上·贵州贵阳·期末）已知函数，若，则该函数的零点为 ．若对，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 /0.75 【分析】当时，解方程求出零点；，，令，分，和三种情况，结合函数特征得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】时，，令， 解得或（舍去）， ，，即， 令， 当时，满足要求， 当时，开口向下，要想成立， 则，解得或（舍去）， 当时，开口向上，要想成立， 则要，解得，故， 综上，实数的取值范围为. 故答案为：； 四、解答题 46．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知二次函数，对任意都有，且． (1)求函数的解析式； (2)若对于，不等式恒成立，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得函数关于对称，再根据求出即可； （2）不等式即为，将当作参数，分，和三种情况讨论，利用分离参数法求解即可. 【详解】（1）因为，所以函数关于对称， 则，解得， 所以； （2）不等式即为， 当时，则恒成立， 而， 所以，即， 因为， 所以； 当时，恒成立，此时； 当时，则恒成立， 而， 所以，解得， 综上所述，的取值范围为． 47．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知函数． (1)若，求关于x的不等式的解集； (2)若，且方程有两个不相等的负根，求实数b的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）由，得，分类讨论的情况，从而可求解. （2）由，即，然后由，即有两个不相等的负根，再利用根的分布可得，从而可求解. 【详解】（1）当时，， 令，得或， 当时，即，此时，所以的解集为； 当时，即，此时，解得或，所以解集为； 当，即，此时，解得或，所以解集为； 综上所述：当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. （2）由，即，得， 由，即，即有两个不相等的负根， 则，解得. 故的取值为. 48．（23-24高一上·福建南平·期末）设函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）解一元二次不等式即可得解； （2）由题意得，恒成立，对分类讨论即可求解. 【详解】（1）当，，不等式即为， 解得或， 所以的解集为或． （2）因为， 所以不等式可化为， 依题意对，恒成立． 所以当时，，不符合要求；         当时，由一元二次函数性质，可知，即，解得， 因此实数的取值范围是． 49．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）设函数，关于的一元二次不等式的解集为． (1)求不等式的解集； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)． 【分析】（1）利用韦达定理求参数后再解不等式即可. （2）对变量范围进行讨论，分离参数法求解参数即可. 【详解】（1）因为一元二次不等式的解集为， 所以和1是方程的两个实根，则， 解得．因此所求不等式即为：，解集为或． （2）可化为：，当时显然成立； 当时，对恒成立， 令，则， 当，即时， 所以，即． 50．（23-24高一上·贵州黔东南·期末）某企业2023年9~11月份生产的产品产量（单位：千件）与收益（单位：万元）的统计数据如下表： 月份 9月 10月 11月 产品产母千件 30 40 80 收益万元 4200 4800 3200 (1)根据上表数据，从下列三个函数模型①，②，③（且）中选取一个恰当的函数模型描述该企业2023年9~11月份生产的产品产量（单位：千件）与收益（单位：万元）之间的关系，并写出这个函数关系式； (2)问该企业12月份生产的产品产量应控制在什么范围内，才能使该企业12月份的收益在4950万元以上（含4950万元）？ 【答案】(1)②， (2) 【分析】（1）首先根据函数的性质判断符合的函数，再代入表格数据，即可求解函数的解析式； （2）根据（1）的结果，列不等式，即可求解. 【详解】（1）函数及（且）均为单调函数， 根据表中数据可得与（且）均不符合题意. 取②， 将，，代入函数解析式， 则， 解得，所以. （2）根据题意得，即， 即， 解得 故该企业12月份生产的产品产量（单位：千件）应控制在内，才能使该企业12月份的收益在4950万元以上（含4950万元）. 51．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求a，b的值； (2)已知当时，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据已知结合三个二次之间的关系，列出关于的方程组，解之即可得解； （2）利用换元法将问题转化为在上恒成立，再利用对勾函数的性质求得，从而得解. 【详解】（1）因为，且的解集为， 所以和2是方程的两个不等实根，且， 由韦达定理可得，解得， 故，. （2）因为，所以， 则可化为， 整理可得， 令，，所以， 则上式可化为在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增， 而当时，；当时，； 所以，故，所以， 所以实数a的取值范围为. 52．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）已知，不等式的解集是. (1)求的解析式； (2)不等式组的正整数解仅有个，求实数取值范围； (3)若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据不等式的解集与方程之间的关系可知，、是一元二次方程的两个实数根，利用韦达定理求出、的值，即可得出函数的解析式； （2）解不等式组，分析可知，该不等式的整数解为、，可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）由题意可知，对任意，不等式很成立，分、、三种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可；在后面两种情况下，结合二次函数基本性质可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为，不等式的解集是， 所以、是一元二次方程的两个实数根， 由韦达定理可得，解得，所以. （2）解：不等式组，即， 解得， 因为原不等式组的正整数解仅有个，可得该正整数解为、， 可得到，解得，则实数取值范围是. （3）解：因为对任意，不等式恒成立，所以， 当时，恒成立； 当时，二次函数的对称轴方程为， 当时，函数在上单调递减， 所以只需满足，解得； 当时，函数在上单调递增， 所以只需满足，解得. 综上，的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲：一元二次不等式方程、最值、参数和恒成立问题期末高频考点讲与练 【考点梳理】 · 考点01：不含参数的一元二次不等式的解法 · 考点02：由一元二次不等式来确定参数的范围 · 考点03：含参数的一元二次不等式的解法 · 考点04：一元二次不等式在实数上恒成立问题 · 考点05：一元二次不等式在某区间恒成立问题 · 考点06：一元二次不等式在某区间有解立问题 · 考点07：一元二次方程式的实际应用 · 考点08：一元二次不等式恒成立和分类讨论综合问题 【知识梳理】 知识点01：一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 知识点02：　二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 【题型归纳】 题型一：不含参数的一元二次不等式的解法 1．（23-24高一上·河南许昌·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·安徽·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型二：由一元二次不等式来确定参数的范围 4．（23-24高一上·安徽亳州·期末）一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 5．（23-24高一上·陕西渭南·期末）已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 6．（22-23高一上·广东深圳·期末）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型三：含参数的一元二次不等式的解法 7．（22-23高一上·云南曲靖·期末）已知，则不等式的解集为 ． 8．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）已知关于的不等式. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 9．（23-24高一上·云南德宏·期末）已知． (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集． 题型四：一元二次不等式在实数上恒成立问题 10．（23-24高一上·重庆·期末）函数的定义域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·安徽安庆·期末）“关于的不等式对上恒成立”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·青海西宁·期末）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型五：一元二次不等式在某区间恒成立问题 13．（22-23高一上·江苏淮安·期末）任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（20-21高一上·浙江宁波·期末）已知函数恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（22-23高一上·安徽马鞍山·期末）已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型六：一元二次不等式在某区间有解立问题 16．（22-23高一上·上海金山·期末）若关于的不等式的解集非空，则实数的取值范围是 . 17．（21-22高一上·新疆哈密·期末）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 ． 18．（22-23高一上·安徽·期末）已知函数，若不等式的解集非空，则的取值范围是 . 题型七：一元二次方程式的实际应用 19．（23-24高一上·陕西西安·期末）某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价. 20．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）某新能源公司投资280万元用于新能源汽车充电桩项目，且年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来200万元的收入.设到第且年年底，该项目的纯利润（纯利润=累计收入-累计维修保养费-投资成本）为万元.已知到第3年年底，该项目的纯利润为128万元. (1)求实数的值.并求该项目到第几年年底纯利润第一次能达到232万元； (2)到第几年年底，该项目年平均利润（平均利润=纯利润年数）最大？并求出最大值. 21．（22-23高一上·重庆·期末）2022年10月16日上午，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂开幕．二十大报告提出，全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展，巩固拓展脱贫攻坚成果．某地政府为深入推进乡村振兴，决定调整产业结构．该地区现有260户农民，且都从事水果种植，平均每户的年收入为3.5万元．为增加农民收入，当地政府决定动员部分农民从事水果加工．据测算，若动员户农民只从事水果加工，剩下的只从事水果种植，则从事水果加工的农民平均每户收入将为万元，而从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高5x%． (1)若动员x户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x的取值范围； (2)在（1）的条件下，要使这260户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a的最大值． 题型八：一元二次不等式恒成立和分类讨论综合问题 22．（23-24高一上·天津·期末）函数， (1)若的解集是或，求实数，的值； (2)当时，若，求实数的值； (3)，若，求的解集. 23．（23-24高一下·辽宁·期末）已知函数 (1)解关于的不等式； (2)若方程有两个正实数根，求的最小值. 24．（23-24高一上·江西萍乡·期末）已知，函数，． (1)若，求不等式的解集； (2)求不等式的解集； (3)，不等式恒成立，求a的取值范围． 【强化精练】 一、单选题 25．（23-24高一下·广西崇左·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高一下·云南玉溪·期末）若关于的不等式的解集为，则的值是（    ） A． B． C．2 D． 27．（23-24高一上·安徽宣城·期末）设，使得不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高一上·安徽宣城·期末）若命题“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．（23-24高一上·重庆·期末）已知命题“对，都有恒成立”为真，则的取值范围为（    ） A． B．（ C． D． 30．（23-24高一上·河南南阳·期末）一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高一上·黑龙江大庆·期末）关于的不等式的解集是，且，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高一上·河南·期末）“”是“不等式对任意的恒成立”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 33．（23-24高一上·重庆北碚·期末）设函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高一上·河北沧州·期中）已知关于x的方程，则下列结论中正确的是（    ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程无实数根的充分不必要条件是 C．方程有两个正根的充要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 二、多选题 35．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知关于x的一元二次不等式的解集为或，则（   ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 36．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知，若关于的不等式只有一个整数解，则的可能取值有（    ） A． B．1 C．2 D．3 37．（23-24高一上·湖北荆州·期中）已知不等式对恒成立，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 38．（23-24高一上·江苏·期中）关于的不等式的解集为，下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．的最大值为 D．关于的不等式解集中仅有两个整数，则的取值范围是 39．（23-24高三上·福建泉州·期中）下列命题正确的是（    ） A．要使关于的方程的一根比大且另一根比小，则的取值范围是 B．在上恒成立，则实数的取值范围是 C．关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是 D．若不等式的解集为或，则对于函数有 三、填空题 40．（23-24高一上·河北沧州·期末）不等式的解集为 ． 41．（23-24高一上·江西萍乡·期末）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则的最小值为 ． 42．（23-24高一上·河北承德·期末）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为 . 43．（23-24高一上·湖北武汉·期末）若关于的不等式有且仅有两个整数解，则实数的取值范围是 . 44．（23-24高一上·山东滨州·期末）一元二次不等式对于一切实数都成立，实数的取值范围为 . 45．（23-24高一上·贵州贵阳·期末）已知函数，若，则该函数的零点为 ．若对，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 四、解答题 46．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知二次函数，对任意都有，且． (1)求函数的解析式； (2)若对于，不等式恒成立，求x的取值范围． 47．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知函数． (1)若，求关于x的不等式的解集； (2)若，且方程有两个不相等的负根，求实数b的取值范围． 48．（23-24高一上·福建南平·期末）设函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围． 49．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）设函数，关于的一元二次不等式的解集为． (1)求不等式的解集； (2)若，求实数的取值范围． 50．（23-24高一上·贵州黔东南·期末）某企业2023年9~11月份生产的产品产量（单位：千件）与收益（单位：万元）的统计数据如下表： 月份 9月 10月 11月 产品产母千件 30 40 80 收益万元 4200 4800 3200 (1)根据上表数据，从下列三个函数模型①，②，③（且）中选取一个恰当的函数模型描述该企业2023年9~11月份生产的产品产量（单位：千件）与收益（单位：万元）之间的关系，并写出这个函数关系式； (2)问该企业12月份生产的产品产量应控制在什么范围内，才能使该企业12月份的收益在4950万元以上（含4950万元）？ 51．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求a，b的值； (2)已知当时，恒成立，求实数a的取值范围. 52．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）已知，不等式的解集是. (1)求的解析式； (2)不等式组的正整数解仅有个，求实数取值范围； (3)若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$