2.4 单 摆-【无畏物理】2024-2025学年高二物理同步学案（人教版2019选择性必修一）

高中物理 选择性必修一 第二章 机械振动 2.4 单 摆 单摆 知识点一 1．单摆模型 如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，小球可视为质点，这样的装置就叫作单摆．单摆是实际摆的理想化模型． 2．摆球的受力 (1)任意位置 如图所示，G2＝Gcosθ，F－G2的作用就是提供摆球绕O′做变速圆周运动的向心力；G1＝Gsinθ的作用是提供摆球以O为中心做往复运动的回复力． (2)平衡位置 摆球经过平衡位置时，回复力F回＝0，根据向心力有，此时摆球速度最大，所以向心力最大． (3)最大位移处 摆球在最大位移处时，此时摆球速度为零，所以向心力为零。Gsinθ提供回复力，此时θ最大，所以回复力最大； (4)单摆的简谐运动 在θ很小时(理论值为＜5°)，sin θ≈tan θ＝，G1＝Gsin θ＝x，G1方向与摆球位移方向相反， 所以有回复力:F回＝G1＝－x＝－kx(k＝)．因此，在摆角θ很小时，单摆做简谐运动． 3．单摆的回复力 (1)回复力的提供：摆球的重力沿切线方向的分力，即F＝mgsin_θ. (2)回复力的特点：在偏角很小时，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置． (3)运动规律：单摆在偏角θ很小(θ＜5°)时做简谐运动，其振动图像遵循正弦函数规律． 单摆的周期 知识点二 1．影响单摆周期的因素 (1)摆长L：单摆的摆长越长，周期越大。 摆长应是从悬点到摆球球心的长度，即l＝l0＋，l0为摆线长，D为摆球直径 (2)重力加速度g： ①公式中的g由单摆所在地空间位置决定 由知，g随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球上也不相同，因此应求出单摆所在处的等效值g′代入公式，即g不一定等于9.8 m/s2. ②g还由单摆系统的运动状态决定 如单摆处在向上加速发射的航天飞机内，设加速度为a，此时摆球处于超重状态，沿圆弧切线方向的回复力变大，摆球质量不变，则重力加速度的等效值g′＝g＋a. 2．周期公式 (1)公式：T＝2π. (2)单摆的等时性：单摆的周期与摆球质量、振幅无关． 秒摆：从左摆动到右时间为1s，周期T=2s 单摆的回复力 考点一 【例1.1】(多选)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是(　 　) A．摆线质量不计 B．摆线长度不伸缩 C．摆球的直径比摆线长度小得多 D．只要是单摆的运动就是简谐运动 【例1.2】(多选)关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是(　 　) A．摆球受重力、摆线的张力作用 B．摆球的回复力最大时，向心力为零 C．摆球的回复力为零时，向心力最大 D．摆球的回复力最大时，摆线中的张力大小比摆球的重力大 【例1.3】(多选)一个单摆做小角度摆动，其振动图像如图，以下说法正确的是(　 　) A．t1时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小 B．t2时刻摆球速度最大，但加速度不为零 C．t3时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最大 D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大 【练习1.1】(多选)关于单摆，下列说法正确的是(　 　) A．摆球受到的回复力是它所受的合力 B．摆球经过平衡位置时，所受的合力不为零 C．摆角很小时，摆球所受合力的大小跟摆球相对于平衡位置的位移大小成正比 D．摆角很小时，摆球的回复力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比 【练习1.2】(多选)下列关于单摆的说法，正确的是(　 　) A．单摆摆球从平衡位置运动到正向最大位移处的位移为A(A为振幅)，再运动到平衡位置时的位移为零 B．单摆摆球的回复力等于摆球所受的合力 C．单摆摆球的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力 D．单摆摆球经过平衡位置时加速度为零 【练习1.3】振动着的单摆摆球，通过平衡位置时，它受到的回复力 （ ） A．指向地面 B．指向悬点 C．数值为零 D．垂直摆线，指向运动方向 单摆的周期 考点二 【例2.1】有一个正在摆动的秒摆(T＝2 s)，若取摆球正从平衡位置向左运动时开始计时，那么当t＝1.6 s时，以下对摆球的运动情况及其切向加速度变化情况正确的是(　 　) A．正在向左做减速运动，加速度正在增大 B．正在向右做减速运动，加速度正在增大 C．正在向右做加速运动，加速度正在减小 D．正在向左做加速运动，加速度正在减小 【例2.2】(多选)对于秒摆下述说法正确的是（ ） A．摆长缩短为原来的四分之一时，频率是1Hz B．摆球质量减小到原来的四分之一时，周期是4s C．振幅减为原来的四分之一时，周期是2s D．如果重力加速度减为原来的四分之一时，频率为0.25Hz 【练习2.1】(多选)发生下述哪一种情况时，单摆周期会增大(　 　) A．增大摆球质量 B．增加摆长 C．减小单摆振幅 D．将单摆由山下移到山顶 【练习2.2】一单摆的摆长为40cm，摆球在t=0时刻正从平衡位置向右运动，若g取10 m／s2，则在1s时摆球的运动情况是 （ ） A．正向左做减速运动，加速度正在增大 B．正向左做加速运动，加速度正在减小 C．正向右做减速运动，加速度正在增大 D．正向右做加速运动，加速度正在减小 【练习2.3】将秒摆的周期由2 s变为1 s，下列措施可行的是(　 　) A．将摆球的质量减半　 B．将振幅减半 C．将摆长减半 D．将摆长减为原来的 【例2.3】把在北京调准的摆钟，由北京移到赤道上时，摆钟的振动(　 ) A．变慢了，要使它恢复准确，应增加摆长 B．变慢了，要使它恢复准确，应缩短摆长 C．变快了，要使它恢复准确，应增加摆长 D．变快了，要使它恢复准确，应缩短摆长 【例2.4】地球表面的重力加速度约为9.8 m/s2，月球表面的重力加速度是地球表面的，将走时准确的摆钟从地球放到月球上去，在地球上经过24 h，该钟在月球上显示经过了(　 　) A．4 h B．9.8 h C．12 h D．58.8 h 【练习2.4】一个摆钟从甲地拿到乙地，它的钟摆摆动加快了，则下列分析及调准方法的叙述中正确的是 （ ） A．g甲＞g乙，将摆长适当增长 B．g甲＞g乙，将摆长适当缩短 C．g甲＜g乙，将摆长适当增长 D．g甲＜g乙，将摆长适当缩短 【练习2.5】(多选)如图所示是一个单摆(θ＜5°)，其周期为T，则下列说法正确的是(　 　) A．把摆球的质量增加一倍，其周期不变 B．此摆由O→B运动的时间为 C．摆球由B→O时，动能向势能转化 D．摆球由O→C时，动能向势能转化 【练习2.6】一物体在某行星表面受到的万有引力是它在地球表面受到的万有引力的1/4．在地球上走得很准的摆钟搬到此行星上后，此钟分针一整圈所经历的时间实际上是 （ ） A. h B.h C. 2h D. 4h 单摆的等效摆长和等效加速度 考点三 【例3.1】利用盛砂的漏斗演示简谐运动，如果考虑漏斗里砂子逐渐减少，则砂摆的频率将(　 　) A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【例3.2】如图三根细线在O点处打结，A、B端固定在同一水平面上相距为l的两点上，使∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，已知OC线长是l，下端C点系着一个小球(可视为质点且做小角度摆动)．让小球在纸面内振动，周期T＝________.让小球在垂直纸面内振动，周期T＝________. 【例3.3】一绳长为L的单摆，在平衡位置正上方（L—L′）的P处有一个钉子，这个摆的周期是（ ） 　 A.　 B. C. D. 【练习3.1】用空心铁球内部装满水做摆球，若球正下方有一小孔，水不断从孔中流出，从球内装满水到水流完为止的过程中，其振动周期的大小是（ ） A．不变 B．变大 C．先变大后变小回到原值 D．先变小后变大回到原值 【练习3.2】(多选)如图长度为l的轻绳上端固定在O点，下端系一小球(小球可以看成质点)．在O点正下方，距O点处的P点固定一个小钉子．现将小球拉到点A处，轻绳被拉直，然后由静止释放小球．点B是小球运动的最低位置，点C(图中末标出)是小球能够到达的左侧最高位置．已知点A与点B之间的高度差为h，h≪l.A、B、P、O在同一竖直平面内，当地的重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是(　 　) A．点C与点B高度差小于h B．点C与点B高度差等于h C．小球摆动的周期等于 D．小球摆动的周期等于 【例3.4】如图所示的几个相同单摆在不同条件下，关于它们的周期关系，其中判断正确的是(　 　) (1)　　 (2)　　 (3)　　　 (4)　　 A．T1＞T2＞T3＞T4 B．T1＜T2＝T3＜T4 C．T1＞T2＝T3＞T4 D．T1＜T2＜T3＜T4 【例3.5】如图将摆长为L的单摆放在一升降机中，若升降机以加速度a向上匀加速运动，求单摆的摆动周期． 【练习3.3】下列单摆的周期相对于地面上的固有周期变大的是（ ） A．加速向上的电梯中的单摆 B．在匀速水平方向前进的列车中的单摆 C．减速上升的电梯中的单摆 D．在匀速向上运动的电梯中的单摆 【练习3.4】一个单摆挂在电梯内，发现单摆的周期增大为原来的2倍，则电梯运动的加速度a为（ ） A．方向向上，大小为g/2 B．方向向上，大小为3g/4 C．方向向下，大小为g/4 D．方向向下，大小为3g/4 课后巩固 1．【难度2】思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)单摆回复力的方向总是指向悬挂位置． ( ) (2)单摆的回复力是由摆球重力的分力提供的． ( ) (3)单摆的振幅越大周期越大． ( ) (4)单摆的周期与摆球的质量无关． ( ) 2．【难度2.5】关于做简谐运动的单摆，下列说法正确的是(　 　) A．摆球经过平衡位置时所受合力为零 B．摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比 C．只有在最高点时，回复力才等于重力和摆线拉力的合力 D．摆球在任意位置处，回复力都不等于重力和摆线拉力的合力 3．【难度2.5】关于单摆，下列说法正确的是(　 　) A．摆球做匀速圆周运动 B．摆球摆动到最低点时加速度为零 C．摆球速度变化的周期等于振动周期 D．摆球振动的频率与振幅有关 4．【难度2.5】若单摆的摆长不变，摆球的质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时的速度减小为原来的，则单摆摆动的频率____________，振幅变____________． 5.【难度2.5】图甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置．设摆球向右方向运动为正方向．图乙是这个单摆的振动图像．根据图像回答： (1)单摆振动的频率是多大？ (2)开始时刻摆球在何位置？ (3)若当地的重力加速度为10 m/s2，试求这个摆的摆长是多少．　　　　　　　　　 甲 乙 6．【难度3】要将秒摆的周期由2 s变为4 s，下列措施可行的是(　 　) A．只将摆球质量变为原来的 B．只将振幅变为原来的2倍 C．只将摆长变为原来的4倍 D．只将摆长变为原来的16倍 7．【难度3】（多选）一个单摆在地球表面某处的振动图象如图所示，则下列表述中正确的是（ ） A．单摆的振动周期为2s B．单摆的摆长大约1m C．在0.5S和1.5S时摆球的动能最大 D．摆球通过平衡位置时加速度为零 8．【难度3】（多选）甲乙两人同时观察同一单摆的振动，甲每经过2.0s观察一次摆球的位置，发现摆球都在其平衡位置处。乙每经过3.0s观察一次摆球的位置，发现摆球都在平衡位置右侧的最高处，该单摆的周期可能是（ ） A．0.5s B．1.0s C．2.0s D．3.0s 9．【难度3】一块涂有碳黑的玻璃板，质量为m=2kg，在拉力F=24N的作用下，由静止开始竖直向上做匀加速运动。一个装有水平振针的振动的固定电动音叉在玻璃板上画出了图示曲线，量得OA=1cm，OB=4cm，OC=9cm。求电动音叉的振动频率的大小。（g=10m/s2） 1.【难度3】2020年底，我国的月球探测器嫦娥五号成功完成月球样本采集后返回地球，标志着我国航空航天事业取得巨大进步。已知月球的密度是地球的a倍，半径是地球的b倍。如果一个单摆在地球表面的周期为T，那么该单摆在月球表面的周期为（ ） A． B． C． D． 2.【难度3.5】ACB为光滑弧形槽，弧形槽半径为R，R≫.甲球从弧形槽的球心处自由落下，乙球从A点由静止释放． 问题：(1)两球第1次到达C点的时间之比． (2)若在圆弧的最低点C的正上方h处由静止释放小球甲，让其自由下落，同时乙球从圆弧左侧由静止释放，欲使甲、乙两球在圆弧最低点C处相遇，则甲球下落的高度h是多少？ 3.【难度4】（多选）生活中经常可以看到被悬挂起来的物体在竖直平面内做往复运动。如图为一摆长为l、摆球质量为0.1kg的单摆，摆球(可视为质点)在最低点O获得一个初动能Ek0后，开始做小角度的往复运动，运动过程中位移随时间变化的图象如图所示。g为当地的重力加速度，取g=10m/s²≈π²m/s²，忽略空气阻力。则下列说法正确的是（ ） 图（a） 图（b） A．该单摆的摆长l=0.25 m B．该单摆的摆长l=1 m C．Ek0≈1.8×10-³J D．Ek0≈7.3×10-³J 4．【难度4】将一测力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力．如图甲中O点为单摆的固定悬点，现将小摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，则摆球将在竖直平面内的A、B、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置，∠AOB＝∠COB＝α，α小于10°且是未知量．图乙是由计算机得到的细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，且图中t＝0时刻为摆球从A点开始运动的时刻．试根据力学规律和题中(包括图中)所给的信息，求：(g取10 m/s2)　 (1)单摆的振动周期和摆长； (2)摆球的质量； (3)摆球运动过程中的最大速度．　　　 甲　　　　　　　　 乙 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高中物理 选择性必修一 第二章 机械振动 2.4 单 摆 单摆 知识点一 1．单摆模型 如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，小球可视为质点，这样的装置就叫作单摆．单摆是实际摆的理想化模型． 2．摆球的受力 (1)任意位置 如图所示，G2＝Gcosθ，F－G2的作用就是提供摆球绕O′做变速圆周运动的向心力；G1＝Gsinθ的作用是提供摆球以O为中心做往复运动的回复力． (2)平衡位置 摆球经过平衡位置时，回复力F回＝0，根据向心力有，此时摆球速度最大，所以向心力最大． (3)最大位移处 摆球在最大位移处时，此时摆球速度为零，所以向心力为零。Gsinθ提供回复力，此时θ最大，所以回复力最大； (4)单摆的简谐运动 在θ很小时(理论值为＜5°)，sin θ≈tan θ＝，G1＝Gsin θ＝x，G1方向与摆球位移方向相反， 所以有回复力:F回＝G1＝－x＝－kx(k＝)．因此，在摆角θ很小时，单摆做简谐运动． 3．单摆的回复力 (1)回复力的提供：摆球的重力沿切线方向的分力，即F＝mgsin_θ. (2)回复力的特点：在偏角很小时，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置． (3)运动规律：单摆在偏角θ很小(θ＜5°)时做简谐运动，其振动图像遵循正弦函数规律． 单摆的周期 知识点二 1．影响单摆周期的因素 (1)摆长L：单摆的摆长越长，周期越大。 摆长应是从悬点到摆球球心的长度，即l＝l0＋，l0为摆线长，D为摆球直径 (2)重力加速度g： ①公式中的g由单摆所在地空间位置决定 由知，g随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球上也不相同，因此应求出单摆所在处的等效值g′代入公式，即g不一定等于9.8 m/s2. ②g还由单摆系统的运动状态决定 如单摆处在向上加速发射的航天飞机内，设加速度为a，此时摆球处于超重状态，沿圆弧切线方向的回复力变大，摆球质量不变，则重力加速度的等效值g′＝g＋a. 2．周期公式 (1)公式：T＝2π. (2)单摆的等时性：单摆的周期与摆球质量、振幅无关． 秒摆：从左摆动到右时间为1s，周期T=2s 单摆的回复力 考点一 【例1.1】(多选)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是(　ABC　) A．摆线质量不计 B．摆线长度不伸缩 C．摆球的直径比摆线长度小得多 D．只要是单摆的运动就是简谐运动 [解析：摆线只计长度不计质量且摆线不伸缩，摆球直径远小于摆线长度，A、B、C正确；把单摆的运动作为简谐运动来处理是有条件的，只有在偏角很小(θ≤5°)的情况下才能视单摆的运动为简谐运动，D错．] 【例1.2】(多选)关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是(　ABC　) A．摆球受重力、摆线的张力作用 B．摆球的回复力最大时，向心力为零 C．摆球的回复力为零时，向心力最大 D．摆球的回复力最大时，摆线中的张力大小比摆球的重力大 [解析：单摆在运动过程中，摆球受重力和摆线的拉力，故A对；重力垂直于摆线的分力提供回复力，当回复力最大时，摆球在最大位移处，速度为零，向心力为零，则摆线拉力小于重力，在平衡位置处，回复力为零，速度最大，向心力最大，摆球的加速度方向沿摆线指向悬点，故D错，B、C对．] 【例1.3】(多选)一个单摆做小角度摆动，其振动图像如图，以下说法正确的是(　ABD　) A．t1时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小 B．t2时刻摆球速度最大，但加速度不为零 C．t3时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最大 D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大 [解析：由振动图像可知：t1和t3时刻摆球偏离平衡位置的位移最大，此时摆球速度为零，悬线对摆球的拉力最小；t2和t4时刻摆球位移为零，正在通过平衡位置，速度最大，悬线对摆球的拉力最大．故正确答案为A、B、D.] 【练习1.1】(多选)关于单摆，下列说法正确的是(　BD　) A．摆球受到的回复力是它所受的合力 B．摆球经过平衡位置时，所受的合力不为零 C．摆角很小时，摆球所受合力的大小跟摆球相对于平衡位置的位移大小成正比 D．摆角很小时，摆球的回复力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比 [解析：摆球所受的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力，不是摆球所受的合力，A选项错误；摆球经过平衡位置时，回复力为零，但由于摆球做圆周运动，有向心力，合力不为零，方向指向悬点，B选项正确；摆角很小时，回复力与摆球相对于平衡位置的位移大小成正比，但合力没有此关系，C选项错误，D选项正确．] 【练习1.2】(多选)下列关于单摆的说法，正确的是(　AC　) A．单摆摆球从平衡位置运动到正向最大位移处的位移为A(A为振幅)，再运动到平衡位置时的位移为零 B．单摆摆球的回复力等于摆球所受的合力 C．单摆摆球的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力 D．单摆摆球经过平衡位置时加速度为零 [解析：简谐运动中的位移是以平衡位置作为起点，摆球在正向最大位移处时位移为A，在平衡位置时位移应为零，A正确；摆球的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，合力在摆线方向的分力提供向心力，B错误，C正确；摆球经过最低点(摆动的平衡位置)时回复力为零，但向心力不为零，所以合力不为零，加速度也不为零，D错误．] 【练习1.3】振动着的单摆摆球，通过平衡位置时，它受到的回复力 （ C ） A．指向地面 B．指向悬点 C．数值为零 D．垂直摆线，指向运动方向 [解析：单摆通过平衡位置时，受到回复力为零，但受到合力不为零，合力提供向心力，指向悬点] 单摆的周期 考点二 【例2.1】有一个正在摆动的秒摆(T＝2 s)，若取摆球正从平衡位置向左运动时开始计时，那么当t＝1.6 s时，以下对摆球的运动情况及其切向加速度变化情况正确的是(　D　) A．正在向左做减速运动，加速度正在增大 B．正在向右做减速运动，加速度正在增大 C．正在向右做加速运动，加速度正在减小 D．正在向左做加速运动，加速度正在减小 [解析：秒摆的周期是2 s，则摆球从平衡位置向左运动时开始计时，那么当t＝1.6秒时，摆球从最右端向平衡位置做加速运动，由于位移在变小，故切向加速度也在变小．故D正确．] 【例2.2】(多选)对于秒摆下述说法正确的是（ ACD ） A．摆长缩短为原来的四分之一时，频率是1Hz B．摆球质量减小到原来的四分之一时，周期是4s C．振幅减为原来的四分之一时，周期是2s D．如果重力加速度减为原来的四分之一时，频率为0.25Hz [解析：秒摆是指摆动一次时间为1s的单摆，即周期为2s，当摆长缩短为原来的时，根据公式T＝2π可得，周期变为原来的二分之一，周期为1s，则频率为1Hz，A对；单摆周期与质量和振幅都无关，所以B错C对；重力加速度减为原来的四分之一，则周期变为原来的2倍，即周期变为4s，所以频率f=0.25Hz，D对] 【练习2.1】(多选)发生下述哪一种情况时，单摆周期会增大(　BD　) A．增大摆球质量 B．增加摆长 C．减小单摆振幅 D．将单摆由山下移到山顶 [解析：由单摆的周期公式T＝2π可知，g减小或L增大时周期会变大．] 【练习2.2】一单摆的摆长为40cm，摆球在t=0时刻正从平衡位置向右运动，若g取10 m／s2，则在1s时摆球的运动情况是 （ D ） A．正向左做减速运动，加速度正在增大 B．正向左做加速运动，加速度正在减小 C．正向右做减速运动，加速度正在增大 D．正向右做加速运动，加速度正在减小 [解析：由题意知单摆的周期T＝2π =0.4πs，。摆球在t=0时刻正从平衡位置向右运动，则t=1s时正向右靠近平衡位置，速度增大，回复力减小，D对] 【练习2.3】将秒摆的周期由2 s变为1 s，下列措施可行的是(　D　) A．将摆球的质量减半　 B．将振幅减半 C．将摆长减半 D．将摆长减为原来的 [解析：秒摆的周期由2 s变为1 s，周期变为原来的，由单摆周期公式T＝2π可知，应将摆长减为原来的，秒摆的周期与摆球的质量、振幅无关，故选项D正确．] 【例2.3】把在北京调准的摆钟，由北京移到赤道上时，摆钟的振动(　B　) A．变慢了，要使它恢复准确，应增加摆长 B．变慢了，要使它恢复准确，应缩短摆长 C．变快了，要使它恢复准确，应增加摆长 D．变快了，要使它恢复准确，应缩短摆长 [解析：把标准摆钟从北京移到赤道上，重力加速度g变小，则周期T＝2π＞T0，摆钟显示的时间小于实际时间，因此变慢了．要使它恢复准确，应缩短摆长，B项正确．] 【例2.4】地球表面的重力加速度约为9.8 m/s2，月球表面的重力加速度是地球表面的，将走时准确的摆钟从地球放到月球上去，在地球上经过24 h，该钟在月球上显示经过了(　B　) A．4 h B．9.8 h C．12 h D．58.8 h [解析：由单摆周期公式T＝2π，得＝＝，即T月＝T地，则摆钟在月球上单位时间内完成的全振动的次数为在地球上的，所以在地球上经过24 h，该钟在月球上显示经过的时间为24× h＝4 h≈9.8 h，B对] 【练习2.4】一个摆钟从甲地拿到乙地，它的钟摆摆动加快了，则下列分析及调准方法的叙述中正确的是 （ C ） A．g甲＞g乙，将摆长适当增长 B．g甲＞g乙，将摆长适当缩短 C．g甲＜g乙，将摆长适当增长 D．g甲＜g乙，将摆长适当缩短 [解析：由题意可知摆钟变快了即周期变短了，根据单摆周期公式T＝2π可知，乙地的重力加速度大于甲地的重力加速度，即g甲＜g乙，为了增大周期，可以增大摆长，B对] 【练习2.5】(多选)如图所示是一个单摆(θ＜5°)，其周期为T，则下列说法正确的是(　ABD　) A．把摆球的质量增加一倍，其周期不变 B．此摆由O→B运动的时间为 C．摆球由B→O时，动能向势能转化 D．摆球由O→C时，动能向势能转化 [解析：单摆的周期与摆球的质量无关，A正确；此摆由O→B运动的时间为，B正确；摆球由B→O时，势能转化为动能，由O→C时动能转化为势能，C错误，D正确．] 【练习2.6】一物体在某行星表面受到的万有引力是它在地球表面受到的万有引力的1/4．在地球上走得很准的摆钟搬到此行星上后，此钟分针一整圈所经历的时间实际上是 （ C ） A. h B.h C. 2h D. 4h [解析：由题意可知该星球的重力加速度为地球表面的重力加速度的1/4，根据单摆的周期公式T＝2π可知单摆在该星球的摆动周期是地球上周期的两倍，所以分针走一整圈所经历的时间是地球上分针走一圈用时的两倍，C对] 单摆的等效摆长和等效加速度 考点三 【例3.1】利用盛砂的漏斗演示简谐运动，如果考虑漏斗里砂子逐渐减少，则砂摆的频率将(　D　) A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 [解析：砂子逐渐减少，砂子和漏斗的重心将逐渐降低，砂子漏完后重心又升高，所以摆长先变长后变短，根据单摆周期公式T＝2π知周期先变大后变小，频率先减小后增大，故选项D正确．] 【例3.2】如图三根细线在O点处打结，A、B端固定在同一水平面上相距为l的两点上，使∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，已知OC线长是l，下端C点系着一个小球(可视为质点且做小角度摆动)．让小球在纸面内振动，周期T＝________.让小球在垂直纸面内振动，周期T＝________. [解析：让小球在纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为l，周期T＝2π；让小球在垂直纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为，周期.] 【例3.3】一绳长为L的单摆，在平衡位置正上方（L—L′）的P处有一个钉子，这个摆的周期是（ D ） 　 A.　 B. C. D. [解析：这个摆的周期可由摆长分别为和的两个单摆的半个周期相加，D对] 【练习3.1】用空心铁球内部装满水做摆球，若球正下方有一小孔，水不断从孔中流出，从球内装满水到水流完为止的过程中，其振动周期的大小是（ C ） A．不变 B．变大 C．先变大后变小回到原值 D．先变小后变大回到原值 [解析：装满水的空心金属球重心在球心，当水从底部的小孔流出，直到流完的过程] 【练习3.2】(多选)如图长度为l的轻绳上端固定在O点，下端系一小球(小球可以看成质点)．在O点正下方，距O点处的P点固定一个小钉子．现将小球拉到点A处，轻绳被拉直，然后由静止释放小球．点B是小球运动的最低位置，点C(图中末标出)是小球能够到达的左侧最高位置．已知点A与点B之间的高度差为h，h≪l.A、B、P、O在同一竖直平面内，当地的重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是(　BC　) A．点C与点B高度差小于h B．点C与点B高度差等于h C．小球摆动的周期等于 D．小球摆动的周期等于 [解析：不计空气阻力，小球在整个运动过程中机械能守恒，故运动到左侧最高点C与A等高，与B相差h，A错误，B正确．当小球从A点开始，再回到A点时为一个周期，是两个半周期之和，即T＝T1＋T2＝×2π＋×2π×＝π＋＝，故C正确，D错误．] 【例3.4】如图所示的几个相同单摆在不同条件下，关于它们的周期关系，其中判断正确的是(　C　) (1)　　 (2)　　 (3)　　　 (4)　　 A．T1＞T2＞T3＞T4 B．T1＜T2＝T3＜T4 C．T1＞T2＝T3＞T4 D．T1＜T2＜T3＜T4 [解析：题图(1)中，当摆球偏离平衡位置时，重力沿斜面的分力mgsin θ为等效重力，即单摆的等效重力加速度g1＝gsin θ；题图(2)中两个带电小球的斥力总与运动方向垂直，不影响回复力；题图(3)为标准单摆；题图(4)中摆球处于超重状态，等效重力增大，故等效重力加速度增大，g4＝g＋a.由单摆振动的周期公式T＝2π，知T1＞T2＝T3＞T4，选项C正确．] 【例3.5】如图将摆长为L的单摆放在一升降机中，若升降机以加速度a向上匀加速运动，求单摆的摆动周期． [解析：单摆的平衡位置在竖直位置，若摆球相对升降机静止，则摆球受重力mg和绳拉力F，根据牛顿第二定律：F－mg＝ma，此时摆球的视重mg′＝F＝m(g＋a)，所以单摆的等效重力加速度g′＝＝g＋a，因而单摆的周期为T＝2π＝2π.] 【练习3.3】下列单摆的周期相对于地面上的固有周期变大的是（ C ） A．加速向上的电梯中的单摆 B．在匀速水平方向前进的列车中的单摆 C．减速上升的电梯中的单摆 D．在匀速向上运动的电梯中的单摆 [解析：由单摆的周期公式T＝2π 可知，单摆的周期与摆球的质量无关，取决于摆长和当地的重力加速度或等效重力加速度g；当等效重力加速度变小时，周期变大。加速向上的电梯中单摆处于超重，等效重力加速度变大，所以周期变小，A错；匀速水平方向前进的列车和匀速向上运动的电梯中单摆所处的重力加速度不变，周期不变，B、D错；减速上升的电梯单摆处于失重，等效重力加速度变小，所以周期变大，C对；] 【练习3.4】一个单摆挂在电梯内，发现单摆的周期增大为原来的2倍，则电梯运动的加速度a为（ D ） A．方向向上，大小为g/2 B．方向向上，大小为3g/4 C．方向向下，大小为g/4 D．方向向下，大小为3g/4 [解析：根据单摆周期公式T＝2π，知周期变为原来的2倍时重力加速度变为原来的1/4.即电梯处于失重状态，等效重力加速度为，解得，方向竖直向下，D对] 课后巩固 1．【难度2】思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)单摆回复力的方向总是指向悬挂位置． (×) (2)单摆的回复力是由摆球重力的分力提供的． (√) (3)单摆的振幅越大周期越大． (×) (4)单摆的周期与摆球的质量无关． (√) 2．【难度2.5】关于做简谐运动的单摆，下列说法正确的是(　C　) A．摆球经过平衡位置时所受合力为零 B．摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比 C．只有在最高点时，回复力才等于重力和摆线拉力的合力 D．摆球在任意位置处，回复力都不等于重力和摆线拉力的合力 [解析：摆球经过平衡位置时，回复力为零，但由于摆球做圆周运动，经过平衡位置，合力不为零，合力提供向心力，方向指向悬点，A错误；摆球所受回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，重力沿摆线方向的分力与摆线对摆球的拉力的合力提供向心力，所以摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小不成正比，B错误；根据牛顿第二定律可知，摆球在最大位移处时，速度为零，向心加速度为零，重力沿摆线方向的分力等于摆线对摆球的拉力，回复力才等于重力和摆线拉力的合力，在其他位置时，速度不为零，向心加速度不为零，重力沿摆线方向的分力小于摆线对摆球的拉力，回复力不等于重力和摆线拉力的合力，故C正确，D错误．] 3．【难度2.5】关于单摆，下列说法正确的是(　C　) A．摆球做匀速圆周运动 B．摆球摆动到最低点时加速度为零 C．摆球速度变化的周期等于振动周期 D．摆球振动的频率与振幅有关 [解析：摆球在摆动中速度大小是变化的，不是匀速圆周运动，A错误；摆球摆动到最低点时加速度不为零，受向上的合外力，故加速度竖直向上，B错误；摆球速度变化的周期以及位移变化的周期均等于振动周期，C正确；摆球振动的频率与振幅无关，只取决于摆长和当地的重力加速度，D错误．] 4．【难度2.5】若单摆的摆长不变，摆球的质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时的速度减小为原来的，则单摆摆动的频率____不变____，振幅变____小____． [解析：单摆的周期和频率由摆长和重力加速度决定，与摆球的质量和速度无关；另外由机械能守恒定律可知，摆球经过平衡位置时动能，摆球质量变为原来的4倍，速度减小为原来的后总动能，所以总动能不变，摆球摆至最大位移处，动能转化为重力势能，由于质量m变为4m，所以振幅减小] 5.【难度2.5】图甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置．设摆球向右方向运动为正方向．图乙是这个单摆的振动图像．根据图像回答： 甲 乙 (1)单摆振动的频率是多大？ (2)开始时刻摆球在何位置？ (3)若当地的重力加速度为10 m/s2，试求这个摆的摆长是多少．　　　　　　　　　 [解析：(1)由乙图知周期T＝0.8 s，则频率f＝＝1.25 Hz. (2)由乙图知，0时刻摆球在负向最大位移处，因向右为正方向，所以在B点． (3)由T＝2π得L＝＝0.16 m.] 6．【难度3】要将秒摆的周期由2 s变为4 s，下列措施可行的是(　C　) A．只将摆球质量变为原来的 B．只将振幅变为原来的2倍 C．只将摆长变为原来的4倍 D．只将摆长变为原来的16倍 [解析：单摆的周期与摆球的质量和振幅均无关，A、B项均错误；对秒摆，T0＝2π＝2 s，对周期为4 s的单摆，T＝2π＝4 s，故l＝4l0，故C项正确，D项错误．] 7．【难度3】（多选）一个单摆在地球表面某处的振动图象如图所示，则下列表述中正确的是（ ABC ） A．单摆的振动周期为2s B．单摆的摆长大约1m C．在0.5S和1.5S时摆球的动能最大 D．摆球通过平衡位置时加速度为零 [解析：由图单摆两次波峰间的时间间隔为2s，而纵轴值代表振幅，所以单摆振动周期为2s，振幅为5cm，A对；由单摆周期公式T＝2π =2s解得l≈1m，B对；由振动图像可知在0.5s和1.5s时摆球经过平衡位置，此时动能最大，回复力为零，但合力并不为零，合力提供向心力，指向圆心。所以C对D错] 8．【难度3】（多选）甲乙两人同时观察同一单摆的振动，甲每经过2.0s观察一次摆球的位置，发现摆球都在其平衡位置处。乙每经过3.0s观察一次摆球的位置，发现摆球都在平衡位置右侧的最高处，该单摆的周期可能是（ AB ） A．0.5s B．1.0s C．2.0s D．3.0s [解析：甲每经过2.0s观察一次摆球的位置，发现摆球都在其平衡位置处，可知， 乙每经过3.0s观察一次摆球的位置，发现摆球都在其平衡位置右侧的最高处，可知，根据所给选项，只有A、B满足题意] 9．【难度3】一块涂有碳黑的玻璃板，质量为m=2kg，在拉力F=24N的作用下，由静止开始竖直向上做匀加速运动。一个装有水平振针的振动的固定电动音叉在玻璃板上画出了图示曲线，量得OA=1cm，OB=4cm，OC=9cm。求电动音叉的振动频率的大小。（g=10m/s2） f=5Hz [解析：在力F的作用下，玻璃板向上做匀加速运动，OC间曲线反映出的是振动的音叉振动位移随时间变化的规律，其中直线OC表示音叉振动1.5个周期内玻璃板运动的位移，而OA、AB、BC间对应的时间均为0.5个周期，即，故可利用匀加速直线运动中连续相等时间内的位移差 来求加速度；设板竖直向上的加速度为a，则有，由牛顿第二定律得：根据以上列式解得，所以频率] 1.【难度3】2020年底，我国的月球探测器嫦娥五号成功完成月球样本采集后返回地球，标志着我国航空航天事业取得巨大进步。已知月球的密度是地球的a倍，半径是地球的b倍。如果一个单摆在地球表面的周期为T，那么该单摆在月球表面的周期为（ C ） A． B． C． D． [解析：在星体表面由万有引力定律有，体积，，又由题意知，，推导出，由可得，则在月球表面该单摆的周期为，选项C正确。] 2.【难度3.5】ACB为光滑弧形槽，弧形槽半径为R，R≫.甲球从弧形槽的球心处自由落下，乙球从A点由静止释放． 问题：(1)两球第1次到达C点的时间之比． (2)若在圆弧的最低点C的正上方h处由静止释放小球甲，让其自由下落，同时乙球从圆弧左侧由静止释放，欲使甲、乙两球在圆弧最低点C处相遇，则甲球下落的高度h是多少？ [解析：(1)甲球做自由落体运动R＝gt2，所以t1＝. 乙球沿圆弧做简谐运动(由于 ≪R，可认为摆角θ＜5°)． 此振动与一个摆长为R的单摆振动模型相同，故此等效摆长为R，因此乙球第1次到达C处的时间t2＝T＝×2π＝，所以t1∶t2＝. (2)甲球从离弧形槽最低点h高处开始自由下落，到达C点的时间t甲＝. 由于乙球运动的周期性，所以乙球到达C点的时间t乙＝＋n＝(2n＋1)(n＝0,1,2，…) 由于甲、乙在C处相遇，故t甲＝t乙 解得h=(n＝0,1,2，…)．] 3.【难度4】（多选）生活中经常可以看到被悬挂起来的物体在竖直平面内做往复运动。如图为一摆长为l、摆球质量为0.1kg的单摆，摆球(可视为质点)在最低点O获得一个初动能Ek0后，开始做小角度的往复运动，运动过程中位移随时间变化的图象如图所示。g为当地的重力加速度，取g=10m/s²≈π²m/s²，忽略空气阻力。则下列说法正确的是（ BC ） 图（a） 图（b） A．该单摆的摆长l=0.25 m B．该单摆的摆长l=1 m C．Ek0≈1.8×10-³J D．Ek0≈7.3×10-³J [解析：由图(b)可知单摆的振幅A=0.06m，周期T=2s，根据单摆的周期公式得，解得，单摆中，QP可视为与OP等长，根据几何关系可知解得h≈0.0018m，根据机械能守恒有得] 4．【难度4】将一测力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力．如图甲中O点为单摆的固定悬点，现将小摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，则摆球将在竖直平面内的A、B、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置，∠AOB＝∠COB＝α，α小于10°且是未知量．图乙是由计算机得到的细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，且图中t＝0时刻为摆球从A点开始运动的时刻．试根据力学规律和题中(包括图中)所给的信息，求：(g取10 m/s2)　 甲　　　　　　　　 乙 (1)单摆的振动周期和摆长； (2)摆球的质量； (3)摆球运动过程中的最大速度．　　　 [解析：(1)由题图乙可知单摆的周期T＝0.4π s，由T＝2π，得摆长l＝＝0.4 m. (2)在B点拉力的最大值为Fmax＝0.510 N.，Fmax－mg＝.在A、C两点拉力最小Fmin＝0.495 N，Fmin＝mgcos α， A→B过程机械能守恒，即mgl(1－cos α)＝mv2，由以上各式解得m＝0.05 kg. (3)由Fmax－mg＝，可得，vmax≈0.283 m/s.] 1 学科网（北京）股份有限公司 $$