2.2 简谐运动的描述-【无畏物理】2024-2025学年高二物理同步学案（人教版2019选择性必修一）

高中物理 选择性必修一 第二章 机械振动 2.2 简谐运动的描述 描述简谐运动的物理量 知识点一 一、简谐运动的表达式：x＝Asin(ωt＋φ)，式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移；t表示振动的时间；A表示振动质点偏离平衡位置的最大距离，即振幅． 各量的物理含义： 1.振幅 (1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫作振动的振幅．用A表示，国际单位为米(m)． (2)物理含义：振幅是描述振动范围的物理量；振幅的大小反映了振动的强弱和振动系统能量的大小． 2.周期(T)和频率(f) 内容 周期 频率 定义 做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间 物体完成全振动的次数与所用时间之比 单位 秒(s) 赫兹(Hz) 物理含义 都是表示振动快慢的物理量 联系 f＝ 注：ω为圆频率：表示简谐运动物体振动的快慢，与周期T及频率f的关系：ω＝＝2πf. 3.相位：当(ωt＋φ)确定时，x＝Asin(ωt＋φ)的函数值也就确定了，即物体做简谐运动的位置状态就确定了。物理学中把(ωt＋φ)叫作相位。在物理学中，周期性运动在各个时刻所处的不同状态用不同的相位来描述． （1）φ表示t＝0时简谐运动质点所处的状态，称为初相位或初相． （2）相位差：指两个简谐运动的相位之差，可以反映出两个简谐运动的步调差异，经常用到的是两个具有相同频率的简谐运动的相位差。 相位每增加2π就意味着完成了一次全振动． （3）讨论：Δφ＝(ωt＋φ1)－(ωt＋φ2)＝φ1－φ2 (－π≤Δφ≤π) ①Δφ＝0，表明两振动步调完全相同，称为同相。 ②Δφ＝π或－π，表明两振动步调完全相反，称为反相。 ③Δφ>0，表示振动1的相位比振动2超前Δφ。 ④Δφ<0，表示振动1的相位比振动2滞后Δφ。 4.振幅与位移、路程、周期的关系 ①振幅与位移：振动中的位移是矢量，振幅是标量．在数值上，振幅与振动物体的最大位移相等，在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化． ②振幅与路程：振动中的路程是标量，是随时间不断增大的．其中常用的定量关系是：一个周期内的路程为4倍振幅，半个周期内的路程为2倍振幅． ③振幅与周期：在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关． 二、全振动 (1)全振动的定义：振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，叫作一次全振动． 若从图中P0点向右运动开始计时，经历的一次全振动应为P0→M→P0→O→M′→O→P0. (2)正确理解全振动的概念，还应注意把握全振动的四个特征． ①物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同． ②时间特征：历时一个周期． ③路程特征：振幅的4倍． ④相位特征：增加2π. 注意：不管以哪个位置作为研究起点，做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是相同的． 三、做简谐运动的物体运动过程中的对称性 (1)瞬时量的对称性：各物理量关于平衡位置对称．以水平弹簧振子为例，振子通过关于平衡位置对称的两点，位移、速度、加速度大小相等，动能、势能、机械能相等． (2)过程量的对称性：振动质点来回通过相同的两点间的时间相等，如tBC＝tCB；质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，如tBC＝tB′C′，如图所示． 四、做简谐运动的物体运动过程中的周期性 简谐运动是一种周而复始的周期性的运动，按其周期性可做如下判断： (1)若t2－t1＝nT，则t1、t2两时刻振动物体在同一位置，运动情况相同． (2)若t2－t1＝nT＋T，则t1、t2两时刻，描述运动的物理量(x、F、a、v)均大小相等，方向相反． (3)若t2－t1＝nT＋T或t2－t1＝nT＋T，则当t1时刻物体到达最大位移处时，t2时刻物体到达平衡位置；当t1时刻物体在平衡位置时，t2时刻物体到达最大位移处；若t1时刻物体在其他位置，t2时刻物体到达何处就要视具体情况而定． 简谐运动的表达式 考点一 【例1.1】弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点间做简谐运动，BC相距20 cm，某时刻振子处于B点，经过0.5 s，振子首次到达C点．求： (1)振子的振幅； (2)振子的周期和频率； (3)振子在5 s内通过的路程大小． [解析：(1)设振幅为A，则有2A＝BC＝20 cm，所以A＝10 cm. (2)B点首次到C点的时间为一半周期，因此T＝2t＝1 s；再根据周期和频率的关系可得f＝＝1 Hz. (3)振子一个周期通过的路程为4A＝40 cm，则5 s内通过的路程为s＝·4A＝5×40 cm＝200 cm.] 【练习1.1】(多选)关于振幅的各种说法，正确的是（ ABD ） A.振幅是振子离开平衡位置的最大距离 B.振幅大小表示振动能量的大小 C.振幅有时为正，有时为负 D.振幅大，振动物体的最大加速度也一定大 [解析：振动物体离开平衡位置的最大距离叫做振幅，A对；振幅描述了物体振动幅度的大小和振动的强弱，B对；振幅的负号表示振动的方向与正方向相反，C错;振幅大，由F=-kx和F=ma知振动物体的最大加速度一定大，D对] 【练习1.2】一个做简谐运动的质点，它的振幅是4 cm，频率是2.5 Hz，该质点从平衡位置开始经过2.5 s后，位移的大小和经过的路程为(　B　) A．4 cm、10 cm　 　 B．4 cm、100 cm C．0、24 cm D．0、100 cm [解析：质点的振动周期T＝＝0.4 s，故时间t＝T＝6T，所以2.5 s末质点在最大位移处，位移大小为4 cm，质点通过的路程为4×4×6 cm＝100 cm，选项B正确．] 【练习1.3】一个质点在水平方向上做简谐运动的位移随时间变化的关系是x＝5sin 5πt(cm)，则下列判断正确的是( C ) A．该简谐运动的周期是0.2 s B．前1 s内质点运动的路程是100 cm C．0.4 s到0.5 s内质点的速度在逐渐减小 D．t＝0.6 s时质点的动能为0 [解析：由简谐运动的位移随时间变化的关系式x＝5sin 5πt(cm)，可知圆频率ω＝5π，则周期T＝＝ s＝0.4 s，A错误；1个周期内运动的路程为4A＝20 cm，所以前1 s内质点运动的路程是s＝·4A＝2.5×20 cm＝50 cm，B错误；0.4 s到0.5 s质点由平衡位置向最大位移处运动，速度减小，C正确；t＝0.6 s时，质点经过平衡位置，动能最大，D错误．] 【例1.2】(多选)物体A做简谐运动的振动位移xA＝，物体B做简谐运动的振动位移xB＝． 比较A、B的运动(　CD　) A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m B．周期是标量，A、B周期相等，为100 s C．A振动的圆频率ωA等于B振动的圆频率ωB D．A的相位始终超前B的相位 [解析：振幅是标量，A、B的振幅分别是3 m、5 m，A错；A、B的圆频率ω＝100 rad/s，周期T＝＝ s＝6.28×10－2 s，B错，C对；Δφ＝φAO－φBO＝为定值，D对．] 【练习1.4】三个简谐运动的函数表达式分别是xA＝，xB＝，xC＝，下列说法正确的是(　C　) A．A、B两物体属同相振动 B．A、C两物体属同相振动 C．B、C两物体属同相振动 D．B、C两物体属反相振动 [解析：两振动的函数表达式中初相位之差|Δφ|如果是2π的整数倍，则两振动为同相振动，|φB－φC|＝|Δφ|＝2π，则B、C属同相振动；如果|Δφ|＝π，则属反相振动，故C正确．] 【练习1.5】（多选）现有甲、乙两个弹簧振子做简谐振动，它们的位移随时间变化的关系式分别为x甲=4cos(4πt+3π/2)cm，x乙=5cos(4πt+π/2)，关于这两个简谐振动的判断正确的是（ BC ） A．两个振子的振动步调一致 B．两个振子的振动步调相反 C．振子甲比乙超前的相位为π D．振子乙比甲滞后半个周期 [解析：两振子相位不同，所以步调不一致，A错，由于，所以甲比乙超前π相位，所以两振子振动步调相反，因为周期T=0.5s，乙比甲滞后π，所以D错] 【例1.3】有一个在光滑水平面上的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动，第二次把弹簧压缩2x后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为(　B　) A．1∶1，1∶1　　　　　 B．1∶1，1∶2 C．1∶4，1∶4 D．1∶2，1∶2 [解析：弹簧的压缩量是振子离开平衡位置的最大距离，即振幅，故振幅之比为1∶2，又因为周期与振幅无关，故周期之比为1∶1，B正确．] 【练习1.6】如图在光滑水平面上振动的弹簧振子的平衡位置为O，把振子拉到A点，OA＝1cm，然后释放振子，经过0.2s振子第1次到达O点，如果把振子拉到A′点，OA′＝2cm，则释放振子后，振子第1次到达O点所需的时间为（ B ） A．0.1s B．0.2s C．0.3s D．0.4s [解析：简谐振动的周期与振幅无关，第二次从A′运动到O点时间与第一次从A点运动到O点时间相同，B对] 【练习1.7】如图m为在光滑水平面上的弹簧振子，弹簧形变的最大限度为20 cm，图中P位置是弹簧振子处于自然伸长状态的位置，若将振子m向右拉动5 cm后由静止释放，经过0.5 s后振子m第一次回到P位置，关于该弹簧振子，下列说法正确的是(　B　) A．该弹簧振子的振动频率为1 Hz B．在P位置给振子m任意一个向左或向右的初速度，只要最大位移不超过20 cm，总是经过0.5 s速度就降为零 C．若将振子m向左拉动2 cm后由静止释放，振子m连续两次经过P位置的时间间隔是2 s D．若将振子m向右拉动10 cm后由静止释放，经过1 s振子m第一次回到P位置 [解析：将振子m向右拉动5 cm后由静止释放，经过0.5 s后振子m第一次回到P位置经历，所以T＝4×0.5 s＝2 s，振动的频率f＝＝ Hz，A错误；振动的周期与振幅的大小无关，在P位置给振子m任意一个向左或向右的初速度，只要最大位移不超过20 cm，总是经过T＝0.5 s到达最大位移处，速度降为0，B正确；振动的周期与振幅的大小无关，振子m连续两次经过P位置的时间间隔是半个周期，即1 s，C错误；振动的周期与振幅的大小无关，所以若将振子m向右拉动10 cm后由静止释放，经过0.5 s振子m第一次回到P位置，D错误．] 全振动 考点二 【例2.1】如图弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5 cm，若振子从B到C的运动时间是1 s，则下列说法正确的是(　D　) A．振子从B经O到C完成一次全振动 B．振动周期是1 s，振幅是10 cm C．经过两次全振动，振子通过的路程是20 cm D．从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm [解析：振子从B→O→C仅完成了半次全振动，所以周期T＝2×1 s＝2 s，振幅A＝BO＝5 cm.振子在一次全振动中通过的路程为4A＝20 cm，所以两次全振动中通过的路程为40 cm,3 s的时间为1.5T，所以振子通过的路程为30 cm.] 【练习2.1】(多选)如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C间振动，则(　ACD　) A．从B→O→C→O→B为一次全振动 B．从O→B→O→C→B为一次全振动 C．从C→O→B→O→C为一次全振动 D．B、C两点关于O点对称 [解析：O点为平衡位置，B、C为两侧最远点，则从B起经O、C、O、B的路程为振幅的4倍，即A正确；若从O起经B、O、C、B的路程为振幅的5倍，超过一次全振动，即B错误；若从C起经O、B、O、C的路程为振幅的4倍，即C正确；因弹簧振子的系统摩擦不考虑，所以它的振幅一定，故B、C两点关于O点对称，D正确．] 【练习2.2】（多选）如图弹簧振子以O为平衡位置在B、C间做简谐运动，若BC=5cm，则有关说法正确的是（ BCD ） A．振幅是5cm B．振幅是2.5cm C．经3个全振动时振子通过的路程是30cm D．不论从哪个位置开始振动，经两个全振动，振子发生的位移都是零 [解析：BC间距离为2倍振幅，所以振幅为2.5cm，A错B对；3个全振动振子通过的路程为12个振幅，] 简谐运动的图象与表达式 考点三 【例3.1】一物体沿x轴做简谐运动，振幅为8 cm，频率为0.5 Hz，在t＝0时，位移是4 cm，且向x轴负方向运动，试写出用正弦函数表示的振动方程，并画出相应的振动图像． [解析：简谐运动的表达式为x＝Asin(ωt＋φ)，根据题目所给条件得A＝8 cm，ω＝2πf＝π，所以x＝8sin(πt＋φ) cm，将t＝0，x0＝4 cm代入得4＝8sin φ，解得初相φ＝或φ＝π，因为t＝0时，速度方向沿x轴负方向，即位移在减小，所以取φ＝π，所求的振动方程为x＝8sin(πt＋π) cm，画对应的振动图像如图所示．] 【练习3.1】某简谐运动的位移与时间关系为：x=0.1sin（100πt＋π ）cm, 由此可知该振动的振幅是 0.1 cm，频率是 50 Hz，零时刻振动物体的速度与规定正方向 相反 （填“相同”或“相反”). 【练习3.2】(多选)如图是某质点简谐运动的图像，下列说法正确的是（ ACD ） A．2s和4s时刻质点的速度相同 B．从3s-5s时间内，速度与加速度同向 C．从5s-7s时间内，速度变大，加速度变小 D．质点位移表达式为x=2sin(0.25πt+π/4)cm [解析：由图象知2s和4s时刻图线斜率相同，所以速度相同，A对；3s-5s内速度与加速度反向，B错；5s-7s时间内质点由最大位移向平衡位置运动，速度变大加速度减小，C对；由图象得最大值和周期可知D对] 【练习3.3】(多选)如图所示，为质点的振动图像，下列判断正确的是(　AC　) A．质点振动周期是8 s B．振幅是±2 cm C．4 s末质点的速度为负，加速度为零 D．10 s末质点的加速度为正，速度为零 [解析：由振动图像可得，质点的振动周期为8 s，A正确；振幅为2 cm，B错；4 s末质点经平衡位置向负方向运动，速度为负向最大，加速度为零，C正确；10 s末质点在正的最大位移处，加速度为负值，速度为零，D错．] 【例3.2】(多选)两个简谐振动的图像如图所示．下列说法正确的是(　AB　) A．两个振动周期相同 B．两个振动振幅相同 C．两个振动的表达式相同 D．两个振动初相相同 [解析：从振动图像可以看出两个振动的周期相同，离开平衡位置的最大位移即振幅相同，A、B项正确；两个振动的零时刻相位不同，则初相不同、表达式不同，C、D项错误．] 【练习3.4】两个同周期简谐振动曲线如图所示．x1的相位比x2的相位（ B ） A．落后 B．超前 C．落后 D．超前 [解析：根据图像知x1的振动比x2的振动早周期，相应它的相位比x2超前，B对] 简谐运动对称性与周期性 考点四 【例4.1】一弹簧振子周期为2 s，开始计时时它从平衡位置向右运动，经过1.8 s，其运动情况是(　B　) A．向右减速 B．向右加速 C．向左减速 D．向左加速 [解析：从平衡位置向右运动开始计时，T＜1.8 s＜T，则振子处于从左方最大位移处向平衡位置的加速过程中，则B选项正确．] 【例4.2】一个作简谐运动的质点，先后以同样大小的速度通过相距10cm的A、 B两点，历时0.5s，如图所示．过B点后再经过t=0.5s质点以方向相反、大小相同的速度再次通过B点，则质点振动的周期是（ C ） A．0.5s． B．1.0s． C．2.0s． D．4.0s． [解析：根据题意，由振动的对称性可知：AB的中点(设为O)为平衡位置，A、B两点对称分布于O点两侧；质点从平衡位置O向右运动到B的时间应为，质点从B向右到达右方极端位置(设为D)的时间。所以，质点从O到D的时间。所以T=2s．] 【练习4.1】一弹簧振子的振动周期为0.20s，当振子从平衡位置开始向右运动1.78s时，振子的运动情况说法正确的是（ B ） A．正在向右做减速运动 B．正在向右做加速运动 C．正在向左做减速运动 D．正在向左做加速运动 [解析：1.78s是8个周期加0.18s，正处于一个周期中的第3/4周期中，B对] 【练习4.2】一弹簧振子在振动过程中，振子经a、b两点的速度相同，若它从a到b历时0.2 s，从b再回到a的最短时间为0.4 s，则振子的振动频率为(　B　) A．1 Hz B．1.25 Hz C．2 Hz D．2.5 Hz [解析：振子经a、b两点的速度相同，根据振子做周期性运动的特点可知，a、b两点是关于平衡位置O(如图所示)对称的．从b回到a的最短时间为0.4 s，振子振动到b点后经0.4 s第一次回到a点，即a、b两点不是振子的最大位移处．设图中c、d为最大位移处，则振子b→c→b历时0.2 s，同理振子由a→d→a也应历时0.2 s，故振子周期应为0.8 s，由周期和频率关系不难确定频率为1.25 Hz，故选B.] 【练习4.3】质点沿直线以O为平衡位置做简谐运动，A、B两点分别为正最大位移处与负最大位移处的点，A、B相距10cm，质点从A到B的时间为0.1s，从质点到O点开始计时，经0.5s，则下述说法中正确的是（ C ） A．振幅为10cm B．振幅为20cm C．通过路程50cm D．质点位移为50cm [解析：从A到B的时间为2/T，距离为两个振幅，所以周期T=0.2s，振幅为5cm；经过0.5s，共通过10个振幅，路程为50cm，位移为零，C对] 【例4.3】一个做简谐运动的物体，频率为25Hz，那么它从一侧最大位移的中点D，振动到另一侧最大位移的中点C所用的最短时间，下面说法正确的是（ B ） A．等于0.01s B．小于0.01s C．大于0.01s D．小于0.02s大于0.01s [解析：频率为25Hz，所以T=0.04s，最大位移处到另一侧最大位移处过程先做加速运动后做减速运动，靠近平衡位置速度较大，所以最短时间小于1/4T，即小于0.01s，B对] 【练习4.4】下列说法正确的是(　C　) A．物体完成一次全振动，通过的位移是4个振幅 B．物体在个周期内，通过的路程是1个振幅 C．物体在1个周期内，通过的路程是4个振幅 D．物体在个周期内，通过的路程是3个振幅 [解析：在一次全振动中，物体回到了原来的位置，故通过的位移一定为零，A错误；物体在个周期内，通过的路程不一定是1个振幅，与物体的初始位置有关，只有当物体的初始位置在平衡位置或最大位移处时，物体在个周期内，通过的路程才等于1个振幅，B错误；根据对称性可知，物体在1个周期内，通过的路程是4个振幅，C正确；物体在个周期内，通过的路程不一定是3个振幅，与物体的初始位置有关，只有当物体的初始位置在平衡位置或最大位移处时，物体在个周期内，通过的路程才是3个振幅，D错误．] 【练习4.5】（多选）一个弹簧振子做简谐运动，振幅为A，若在Δt时间内振子通过的路程为x，则下列关系中正确的是（ ABC ） A．若Δt＝2T， 则x＝8A B．若Δt＝T， 则x＝4A C．若Δt＝T/2，则x＝2A D．若Δt＝T/4，则x＝A [解析：若Δt＝T/4，质点通过的路程可能大于A，也可能等于A或小于A，所以D错；] 课后巩固 1．【难度2】思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)振幅就是振子的最大位移． (×) (2)从任一个位置出发又回到这个位置所用的最短时间就是一个周期． (×) (3)振动物体的周期越大，表示振动得越快． (×) (4)简谐运动的位移表达式与计时时刻物体所在位置无关． (×) 2．【难度2.5】某质点做简谐运动，从质点经过某一位置时开始计时，则（ D ） A．当质点再次经过此位置时，经历的时间为一个周期 B．当质点的速度再次与零时刻的速度相同时，经过的时间为一个周期 C．当质点的加速度再次与零时刻的加速度相同时，经过的时间为一个周期 D．当质点经过的路程为振幅的4倍时，经过的时间为一个周期 [解析：质点在一个周期内会两次经过同一位置，此时加速度也相同，A、C错；速度与零时刻相同时可能是过关于平衡位置对称的两个点；由简谐运动的特点可知一个周期的路程为振幅的4倍，D对] 3．【难度3】某质点简谐运动的位移随时间变化的关系式为x＝，式中时间t的单位是s.则(　C　) A．质点的振幅为16cm B．质点的振动周期为2 s C．在0～1 s内，质点的速度逐渐减小 D．在1～2 s内，质点的动能逐渐减小 [解析：根据位移随时间变化的关系式可知振幅A＝8 cm，周期T＝＝4 s，选项A、B错误；根据位移随时间变化的关系式可画出质点的振动图像，如图所示，由图可知，在0～1 s内，质点由平衡位置向正的最大位移处运动，速度逐渐减小，在1～2 s内，质点由正的最大位移处向平衡位置运动，速度逐渐增大，动能逐渐增大，选项C正确，D错误．] 4．【难度3】(多选)一个质点做简谐运动的图像如图所示，下列说法正确的是(　BCD　) A．质点的振动频率为4 Hz B．在0～10 s内质点经过的路程是20 cm C．在第5 s末，质点速度为零，加速度最大 D．在t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点位移大小相等 [解析：由题图读出周期为T＝4 s，则频率为f＝＝0.25 Hz，A错误；质点在一个周期内通过的路程是4个振幅，则在0～10 s内质点经过的路程是s＝20 cm，B正确；在第5 s末，质点位于最大位移处，速度为零，加速度最大，C正确；由题图可以看出，在t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点位移大小相等，D正确．] 5．【难度3】（多选）某弹簧振子在水平方向上做简谐运动，以向右为正方向，若以t₁时刻为振子振动的计时起点，振动图如图1所示，若以t₂时刻为振子振动的计时起点，振动图象如图2所示，下列说法正确的是（ BD ） 图1 图2 A.图1中弹簧在第1s末和第3s末长度相同 B.图1中弹簧振子在5s末的速度为0，加速度最大 C.弹簧振子由t₁时刻到t₂时刻经历的时间是1s D.弹簧振子由t₁时刻到t₂时刻经历的时间可能是3 s [解析：由左图知，弹簧在第1s末和第3s末，一个长度最长，一个长度最短，A错误；左图中弹簧振子在第5 s末处于最大位移处，此时速度为0，加速度最大，B正确；弹簧振子由t时刻到t₂时刻经历的时间可能是3s，C错误，D正确。] 6．【难度3】如图，一弹簧振子沿x轴做简谐运动。振子零时刻向右经过A点，2s时第一次到达B点，已知振子经过A、B两点时的速度大小相等，2s内经过的路程为0.6m，则该弹簧运动的周期为_____4_____s，振幅为____0.3______m。 [解析：结合题意可知，零时刻振子向右经过A点，向右到达最大位移处后向左运动到B点，振子经过A、B两点时的速度大小相等，则A、B两点关于平衡位置对称，从A到B所用的时间为半个周期，运动路程为振幅的两倍，则周期为4m，振幅为0.3m] 7．【难度3】弹簧振子以O点为平衡位置在b、c两点之间做简谐运动，b、c相距20 cm.某时刻振子处于O点正向右运动．经过0.5 s，振子首次到达b点．求：(取向右为正方向) (1)振动的频率f和振幅A； (2)振子在5.5 s内通过的路程及位移； (3)如果弹簧的劲度系数k＝100 N/m，小球质量为0.5 kg，则5.5 s末小球的加速度大小和方向是多少？ [解析：(1)f＝＝ Hz＝0.5 Hz，A＝10 cm. (2)5.5 s内通过的路程s＝2×40 cm＋3×10 cm＝110 cm，5.5 s内通过的位移x＝－10 cm. (3)a＝＝＝ m/s2＝20 m/s2，方向向右．] 8．【难度3】如图所示为A、B两个简谐运动的位移—时间图像．试根据图像写出： (1)A与B各自的振幅、周期． (2)这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式． (3)在时间t＝0.05 s时两质点的位移． [解析：(1)由题图知：A的振幅是0.5 cm，周期是0.4 s；B的振幅是0.2 cm，周期是0.8 s. (2)由题图知：A中振动的质点从平衡位置沿正方向已振动了周期，φ＝π，由T＝0.4 s，得ω＝＝5π rad/s，则简谐运动的表达式为：xA＝0.5sin(5πt＋π)cm.B中振动的质点从平衡位置沿正方向已振动了周期，φ＝，由T＝0.8 s得ω＝＝2.5π rad/s，则简谐运动的表达式为xB＝. (3)将t＝0.05 s分别代入两个表达式中得：xA＝0.5sin(5π×0.05＋π)cm＝－0.5× cm＝－ cm， xB＝＝0.2sinπ cm.] 1．【难度3】有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有负方向的最大加速度，则它振动的函数表达式是(　A　) A．x＝8×10－3 B．x＝8×10－3 C．x＝8×10－1 D．x＝8×10－1 [解析：A＝0.8×10－2 m；T＝0.5 s；ω＝＝4π；初始时具有负方向的最大加速度，即初相位φ＝，则x＝8×10－3·．] 2．【难度3】某一质点做简谐运动，位移随时间变化的关系式为x=6cos(t+)cm。其t时刻它在x=-3cm处，且此时质点向x轴正方向运动，该质点要重新回到该位置至少需要经历的时间和至少需要通过的路程。 [解析：由简谐运动关系式可知，，振幅A=6.当x=-3cm时可知t1=（8k-3）s，t2=（8k+3）s,所以至少要经历6s，至少要到另一侧位移最大处再返回x处，经过的路程为2+2A=(12+6)cm] 1．【难度3】一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪较大，游船上下浮动．可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm，周期为3.0 s．当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐．地面与甲板的高度差不超过10 cm时，游客能舒服地登船．在一个周期内，游客能舒服登船的时间是____1.0 s____． [解析：由于振幅A为20 cm，振动方程为y＝Asin ωt(平衡位置计时，ω＝)，由于高度差不超过10 cm，游客能舒服地登船，代入数据可知，在一个振动周期内，临界时刻为t1＝，t2＝，所以在一个周期内舒服登船的时间为Δt＝t2－t1＝＝1.0 s.] 2．【难度3】（多选）一个做简谐运动的弹簧振子，周期为T，振幅为A。设振子第一次从平衡位置运动到X=A/2处所经历时间为t1，第一次从最大正位移处运动到X=A/2处所经历时间为t2。关于t1与t2以下说法正确的是（ AC ） A．t1＜t2 B．t2=t1 C．t1=T/12 D．t1=T/8 [解析：平衡位置运动到X=A/2处的平均速度大于从最大正位移处运动到X=A/2处的平均速度，所以t1＜t2，A对B错；当时，位移为A/2，所以t1=T/12，C对] 3．【难度3】（多选）如图是两人合作模拟振动曲线的记录装置。先在白纸的中央画一条平行于纸的长边的直线OO1作为图象的横坐标轴。一个人用手使铅笔尖在白纸上沿垂直于OO1的方向振动，另一个人沿OO1的方向匀速拖动白纸，纸上就画出了一条描述笔尖振动情况的x-t图象。下列说法中正确的是（ ABC ） A．白纸上OO1轴上的坐标代表时间 B．白纸上与OO1垂直的坐标代表位移 C．匀速拖动白纸是为了用相等的距离表示相等的时间 D．拖动白纸的速度增大，可使笔尖振动周期变长 [解析：笔尖振动周期一定，根据白纸上记录的完整振动图像个数可以确定时间长短，A对；白纸上与OO1垂直的坐标是变化的，代表笔尖的位移，B对；匀速拖动白纸是为了用相等的距离表示相等的时间，C对；笔尖振动周期与白纸拖动速度无关，D错] 4．【难度3.5】如图(a)是演示简谐运动图像的装置，当盛沙漏斗下面的薄木板N被匀速地拉出时，摆动着的漏斗中漏出的沙在板上形成的曲线显示出摆的位移随时间变化的关系．板上的直线OO′代表时间轴．如图(b)是两个摆中的沙在各自木板上形成的曲线．若板N1和板N2的速度v1和v2的关系为v2＝2v1.当两板匀速拉出的距离相同时，则板N1、N2上曲线所代表的振动的周期T1和T2的关系为(　D　) A．T2＝T1 B．T2＝2T1 C．T2＝4T1 D．T2＝T1 [解析：因N2板和N1板匀速拉过的距离相同，故两板运动时间之比＝＝2.在这段距离内N1板上方的摆只完成一个全振动，N2板上方的摆已完成两个全振动，即t1＝T1，t2＝2T2.故T2＝T1，D项正确．] 5．【难度3.5】如图固定着的钢条上端有一小球，在竖直平面内在虚线位置附近发生振动，图中是小球振动能达到的最左侧，振动周期为0.3 s．在小球振动到最左侧时，用周期为0.1 s的频闪光源照射，得到的图像是(　C　) A　　　 B　　　C　　 　D [解析：振动的周期是0.3 s，则圆频率：ω＝＝ rad/s，以平衡位置向右为正方向，若初始时刻球在最左端，则初相位为－，0.1 s时刻对应的角度：θ1＝×0.1 rad－ rad＝ rad,0.2 s时刻对应的角度：θ2＝×0.2 rad－ rad＝π rad，可知，在0.1 s和0.2 s时刻小球将出现在同一个位置，都在平衡位置的右侧，所以在周期为0.1 s的频闪光源照射下得到的图像是C图．] 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高中物理 选择性必修一 第二章 机械振动 2.2 简谐运动的描述 描述简谐运动的物理量 知识点一 一、简谐运动的表达式：x＝Asin(ωt＋φ)，式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移；t表示振动的时间；A表示振动质点偏离平衡位置的最大距离，即振幅． 各量的物理含义： 1.振幅 (1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫作振动的振幅．用A表示，国际单位为米(m)． (2)物理含义：振幅是描述振动范围的物理量；振幅的大小反映了振动的强弱和振动系统能量的大小． 2.周期(T)和频率(f) 内容 周期 频率 定义 做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间 物体完成全振动的次数与所用时间之比 单位 秒(s) 赫兹(Hz) 物理含义 都是表示振动快慢的物理量 联系 f＝ 注：ω为圆频率：表示简谐运动物体振动的快慢，与周期T及频率f的关系：ω＝＝2πf. 3.相位：当(ωt＋φ)确定时，x＝Asin(ωt＋φ)的函数值也就确定了，即物体做简谐运动的位置状态就确定了。物理学中把(ωt＋φ)叫作相位。在物理学中，周期性运动在各个时刻所处的不同状态用不同的相位来描述． （1）φ表示t＝0时简谐运动质点所处的状态，称为初相位或初相． （2）相位差：指两个简谐运动的相位之差，可以反映出两个简谐运动的步调差异，经常用到的是两个具有相同频率的简谐运动的相位差。 相位每增加2π就意味着完成了一次全振动． （3）讨论：Δφ＝(ωt＋φ1)－(ωt＋φ2)＝φ1－φ2 (－π≤Δφ≤π) ①Δφ＝0，表明两振动步调完全相同，称为同相。 ②Δφ＝π或－π，表明两振动步调完全相反，称为反相。 ③Δφ>0，表示振动1的相位比振动2超前Δφ。 ④Δφ<0，表示振动1的相位比振动2滞后Δφ。 4.振幅与位移、路程、周期的关系 ①振幅与位移：振动中的位移是矢量，振幅是标量．在数值上，振幅与振动物体的最大位移相等，在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化． ②振幅与路程：振动中的路程是标量，是随时间不断增大的．其中常用的定量关系是：一个周期内的路程为4倍振幅，半个周期内的路程为2倍振幅． ③振幅与周期：在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关． 二、全振动 (1)全振动的定义：振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，叫作一次全振动． 若从图中P0点向右运动开始计时，经历的一次全振动应为P0→M→P0→O→M′→O→P0. (2)正确理解全振动的概念，还应注意把握全振动的四个特征． ①物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同． ②时间特征：历时一个周期． ③路程特征：振幅的4倍． ④相位特征：增加2π. 注意：不管以哪个位置作为研究起点，做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是相同的． 三、做简谐运动的物体运动过程中的对称性 (1)瞬时量的对称性：各物理量关于平衡位置对称．以水平弹簧振子为例，振子通过关于平衡位置对称的两点，位移、速度、加速度大小相等，动能、势能、机械能相等． (2)过程量的对称性：振动质点来回通过相同的两点间的时间相等，如tBC＝tCB；质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，如tBC＝tB′C′，如图所示． 四、做简谐运动的物体运动过程中的周期性 简谐运动是一种周而复始的周期性的运动，按其周期性可做如下判断： (1)若t2－t1＝nT，则t1、t2两时刻振动物体在同一位置，运动情况相同． (2)若t2－t1＝nT＋T，则t1、t2两时刻，描述运动的物理量(x、F、a、v)均大小相等，方向相反． (3)若t2－t1＝nT＋T或t2－t1＝nT＋T，则当t1时刻物体到达最大位移处时，t2时刻物体到达平衡位置；当t1时刻物体在平衡位置时，t2时刻物体到达最大位移处；若t1时刻物体在其他位置，t2时刻物体到达何处就要视具体情况而定． 简谐运动的表达式 考点一 【例1.1】弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点间做简谐运动，BC相距20 cm，某时刻振子处于B点，经过0.5 s，振子首次到达C点．求： (1)振子的振幅； (2)振子的周期和频率； (3)振子在5 s内通过的路程大小． 【练习1.1】(多选)关于振幅的各种说法，正确的是（ ） A.振幅是振子离开平衡位置的最大距离 B.振幅大小表示振动能量的大小 C.振幅有时为正，有时为负 D.振幅大，振动物体的最大加速度也一定大 【练习1.2】一个做简谐运动的质点，它的振幅是4 cm，频率是2.5 Hz，该质点从平衡位置开始经过2.5 s后，位移的大小和经过的路程为(　 　) A．4 cm、10 cm　 　 B．4 cm、100 cm C．0、24 cm D．0、100 cm 【练习1.3】一个质点在水平方向上做简谐运动的位移随时间变化的关系是x＝5sin 5πt(cm)，则下列判断正确的是( C ) A．该简谐运动的周期是0.2 s B．前1 s内质点运动的路程是100 cm C．0.4 s到0.5 s内质点的速度在逐渐减小 D．t＝0.6 s时质点的动能为0 【例1.2】(多选)物体A做简谐运动的振动位移xA＝，物体B做简谐运动的振动位移xB＝． 比较A、B的运动(　 　) A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m B．周期是标量，A、B周期相等，为100 s C．A振动的圆频率ωA等于B振动的圆频率ωB D．A的相位始终超前B的相位 【练习1.4】三个简谐运动的函数表达式分别是xA＝，xB＝，xC＝，下列说法正确的是(　 　) A．A、B两物体属同相振动 B．A、C两物体属同相振动 C．B、C两物体属同相振动 D．B、C两物体属反相振动 【练习1.5】（多选）现有甲、乙两个弹簧振子做简谐振动，它们的位移随时间变化的关系式分别为x甲=4cos(4πt+3π/2)cm，x乙=5cos(4πt+π/2)，关于这两个简谐振动的判断正确的是（ ） A．两个振子的振动步调一致 B．两个振子的振动步调相反 C．振子甲比乙超前的相位为π D．振子乙比甲滞后半个周期 【例1.3】有一个在光滑水平面上的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动，第二次把弹簧压缩2x后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为(　 　) A．1∶1，1∶1　　　　　 B．1∶1，1∶2 C．1∶4，1∶4 D．1∶2，1∶2 【练习1.6】如图在光滑水平面上振动的弹簧振子的平衡位置为O，把振子拉到A点，OA＝1cm，然后释放振子，经过0.2s振子第1次到达O点，如果把振子拉到A′点，OA′＝2cm，则释放振子后，振子第1次到达O点所需的时间为（ ） A．0.1s B．0.2s C．0.3s D．0.4s 【练习1.7】如图m为在光滑水平面上的弹簧振子，弹簧形变的最大限度为20 cm，图中P位置是弹簧振子处于自然伸长状态的位置，若将振子m向右拉动5 cm后由静止释放，经过0.5 s后振子m第一次回到P位置，关于该弹簧振子，下列说法正确的是(　 　) A．该弹簧振子的振动频率为1 Hz B．在P位置给振子m任意一个向左或向右的初速度，只要最大位移不超过20 cm，总是经过0.5 s速度就降为零 C．若将振子m向左拉动2 cm后由静止释放，振子m连续两次经过P位置的时间间隔是2 s D．若将振子m向右拉动10 cm后由静止释放，经过1 s振子m第一次回到P位置 全振动 考点二 【例2.1】如图弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5 cm，若振子从B到C的运动时间是1 s，则下列说法正确的是(　 　) A．振子从B经O到C完成一次全振动 B．振动周期是1 s，振幅是10 cm C．经过两次全振动，振子通过的路程是20 cm D．从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm 【练习2.1】(多选)如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C间振动，则(　 　) A．从B→O→C→O→B为一次全振动 B．从O→B→O→C→B为一次全振动 C．从C→O→B→O→C为一次全振动 D．B、C两点关于O点对称 【练习2.2】（多选）如图弹簧振子以O为平衡位置在B、C间做简谐运动，若BC=5cm，则有关说法正确的是（ ） A．振幅是5cm B．振幅是2.5cm C．经3个全振动时振子通过的路程是30cm D．不论从哪个位置开始振动，经两个全振动，振子发生的位移都是零 简谐运动的图象与表达式 考点三 【例3.1】一物体沿x轴做简谐运动，振幅为8 cm，频率为0.5 Hz，在t＝0时，位移是4 cm，且向x轴负方向运动，试写出用正弦函数表示的振动方程，并画出相应的振动图像． 【练习3.1】某简谐运动的位移与时间关系为：x=0.1sin（100πt＋π ）cm, 由此可知该振动的振幅是 cm，频率是 Hz，零时刻振动物体的速度与规定正方向 （填“相同”或“相反”). 【练习3.2】(多选)如图是某质点简谐运动的图像，下列说法正确的是（ ） A．2s和4s时刻质点的速度相同 B．从3s-5s时间内，速度与加速度同向 C．从5s-7s时间内，速度变大，加速度变小 D．质点位移表达式为x=2sin(0.25πt+π/4)cm 【练习3.3】(多选)如图所示，为质点的振动图像，下列判断正确的是(　AC　) A．质点振动周期是8 s B．振幅是±2 cm C．4 s末质点的速度为负，加速度为零 D．10 s末质点的加速度为正，速度为零 【例3.2】(多选)两个简谐振动的图像如图所示．下列说法正确的是(　 　) A．两个振动周期相同 B．两个振动振幅相同 C．两个振动的表达式相同 D．两个振动初相相同 【练习3.4】两个同周期简谐振动曲线如图所示．x1的相位比x2的相位（ ） A．落后 B．超前 C．落后 D．超前 简谐运动对称性与周期性 考点四 【例4.1】一弹簧振子周期为2 s，开始计时时它从平衡位置向右运动，经过1.8 s，其运动情况是(　 　) A．向右减速 B．向右加速 C．向左减速 D．向左加速 【例4.2】一个作简谐运动的质点，先后以同样大小的速度通过相距10cm的A、 B两点，历时0.5s，如图所示．过B点后再经过t=0.5s质点以方向相反、大小相同的速度再次通过B点，则质点振动的周期是（ ） A．0.5s． B．1.0s． C．2.0s． D．4.0s． 【练习4.1】一弹簧振子的振动周期为0.20s，当振子从平衡位置开始向右运动1.78s时，振子的运动情况说法正确的是（ ） A．正在向右做减速运动 B．正在向右做加速运动 C．正在向左做减速运动 D．正在向左做加速运动 [解析：1.78s是8个周期加0.18s，正处于一个周期中的第3/4周期中，B对] 【练习4.2】一弹簧振子在振动过程中，振子经a、b两点的速度相同，若它从a到b历时0.2 s，从b再回到a的最短时间为0.4 s，则振子的振动频率为(　 　) A．1 Hz B．1.25 Hz C．2 Hz D．2.5 Hz 【练习4.3】质点沿直线以O为平衡位置做简谐运动，A、B两点分别为正最大位移处与负最大位移处的点，A、B相距10cm，质点从A到B的时间为0.1s，从质点到O点开始计时，经0.5s，则下述说法中正确的是（ ） A．振幅为10cm B．振幅为20cm C．通过路程50cm D．质点位移为50cm 【例4.3】一个做简谐运动的物体，频率为25Hz，那么它从一侧最大位移的中点D，振动到另一侧最大位移的中点C所用的最短时间，下面说法正确的是（ ） A．等于0.01s B．小于0.01s C．大于0.01s D．小于0.02s大于0.01s 【练习4.4】下列说法正确的是(　 　) A．物体完成一次全振动，通过的位移是4个振幅 B．物体在个周期内，通过的路程是1个振幅 C．物体在1个周期内，通过的路程是4个振幅 D．物体在个周期内，通过的路程是3个振幅 【练习4.5】（多选）一个弹簧振子做简谐运动，振幅为A，若在Δt时间内振子通过的路程为x，则下列关系中正确的是（ ） A．若Δt＝2T， 则x＝8A B．若Δt＝T， 则x＝4A C．若Δt＝T/2，则x＝2A D．若Δt＝T/4，则x＝A 课后巩固 1．【难度2】思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)振幅就是振子的最大位移． ( ) (2)从任一个位置出发又回到这个位置所用的最短时间就是一个周期． ( ) (3)振动物体的周期越大，表示振动得越快． ( ) (4)简谐运动的位移表达式与计时时刻物体所在位置无关． ( ) 2．【难度2.5】某质点做简谐运动，从质点经过某一位置时开始计时，则（ ） A．当质点再次经过此位置时，经历的时间为一个周期 B．当质点的速度再次与零时刻的速度相同时，经过的时间为一个周期 C．当质点的加速度再次与零时刻的加速度相同时，经过的时间为一个周期 D．当质点经过的路程为振幅的4倍时，经过的时间为一个周期 3．【难度3】某质点简谐运动的位移随时间变化的关系式为x＝，式中时间t的单位是s.则(　 　) A．质点的振幅为16cm B．质点的振动周期为2 s C．在0～1 s内，质点的速度逐渐减小 D．在1～2 s内，质点的动能逐渐减小 4．【难度3】(多选)一个质点做简谐运动的图像如图所示，下列说法正确的是(　 　) A．质点的振动频率为4 Hz B．在0～10 s内质点经过的路程是20 cm C．在第5 s末，质点速度为零，加速度最大 D．在t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点位移大小相等 5．【难度3】（多选）某弹簧振子在水平方向上做简谐运动，以向右为正方向，若以t₁时刻为振子振动的计时起点，振动图如图1所示，若以t₂时刻为振子振动的计时起点，振动图象如图2所示，下列说法正确的是（ ） 图1 图2 A.图1中弹簧在第1s末和第3s末长度相同 B.图1中弹簧振子在5s末的速度为0，加速度最大 C.弹簧振子由t₁时刻到t₂时刻经历的时间是1s D.弹簧振子由t₁时刻到t₂时刻经历的时间可能是3 s 6．【难度3】如图，一弹簧振子沿x轴做简谐运动。振子零时刻向右经过A点，2s时第一次到达B点，已知振子经过A、B两点时的速度大小相等，2s内经过的路程为0.6m，则该弹簧运动的周期为________s，振幅为_________m。 7．【难度3】弹簧振子以O点为平衡位置在b、c两点之间做简谐运动，b、c相距20 cm.某时刻振子处于O点正向右运动．经过0.5 s，振子首次到达b点．求：(取向右为正方向) (1)振动的频率f和振幅A； (2)振子在5.5 s内通过的路程及位移； (3)如果弹簧的劲度系数k＝100 N/m，小球质量为0.5 kg，则5.5 s末小球的加速度大小和方向是多少？ 8．【难度3】如图所示为A、B两个简谐运动的位移—时间图像．试根据图像写出： (1)A与B各自的振幅、周期． (2)这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式． (3)在时间t＝0.05 s时两质点的位移． 1．【难度3】有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有负方向的最大加速度，则它振动的函数表达式是(　 　) A．x＝8×10－3 B．x＝8×10－3 C．x＝8×10－1 D．x＝8×10－1 2．【难度3】某一质点做简谐运动，位移随时间变化的关系式为x=6cos(t+)cm。其t时刻它在x=-3cm处，且此时质点向x轴正方向运动，该质点要重新回到该位置至少需要经历的时间和至少需要通过的路程。 1．【难度3】一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪较大，游船上下浮动．可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm，周期为3.0 s．当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐．地面与甲板的高度差不超过10 cm时，游客能舒服地登船．在一个周期内，游客能舒服登船的时间是___________． 2．【难度3】（多选）一个做简谐运动的弹簧振子，周期为T，振幅为A。设振子第一次从平衡位置运动到X=A/2处所经历时间为t1，第一次从最大正位移处运动到X=A/2处所经历时间为t2。关于t1与t2以下说法正确的是（ ） A．t1＜t2 B．t2=t1 C．t1=T/12 D．t1=T/8 3．【难度3】（多选）如图是两人合作模拟振动曲线的记录装置。先在白纸的中央画一条平行于纸的长边的直线OO1作为图象的横坐标轴。一个人用手使铅笔尖在白纸上沿垂直于OO1的方向振动，另一个人沿OO1的方向匀速拖动白纸，纸上就画出了一条描述笔尖振动情况的x-t图象。下列说法中正确的是（ ） A．白纸上OO1轴上的坐标代表时间 B．白纸上与OO1垂直的坐标代表位移 C．匀速拖动白纸是为了用相等的距离表示相等的时间 D．拖动白纸的速度增大，可使笔尖振动周期变长 4．【难度3.5】如图(a)是演示简谐运动图像的装置，当盛沙漏斗下面的薄木板N被匀速地拉出时，摆动着的漏斗中漏出的沙在板上形成的曲线显示出摆的位移随时间变化的关系．板上的直线OO′代表时间轴．如图(b)是两个摆中的沙在各自木板上形成的曲线．若板N1和板N2的速度v1和v2的关系为v2＝2v1.当两板匀速拉出的距离相同时，则板N1、N2上曲线所代表的振动的周期T1和T2的关系为(　 　) A．T2＝T1 B．T2＝2T1 C．T2＝4T1 D．T2＝T1 5．【难度3.5】如图固定着的钢条上端有一小球，在竖直平面内在虚线位置附近发生振动，图中是小球振动能达到的最左侧，振动周期为0.3 s．在小球振动到最左侧时，用周期为0.1 s的频闪光源照射，得到的图像是(　 　) A　　　 B　　　C　　 　D 1 学科网（北京）股份有限公司 $$