第26章 二次函数 重难点专题训练（13种题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（华东师大版）

第26章 二次函数 重难点专题训练 思维导图 专题一、二次函数图象与各项系数符号 1．已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线对于下列结论：①；②；③（其中）；④若和均在该函数图象上，且，则其中正确结论的个数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是关键． 根据抛物线与x轴的一个交点以及其对称轴，求出抛物线与x轴的另一个交点，利用待定系数法得到，，再根据抛物线开口方向向下，即可判断②正确，①错误，根据．，，，可以得到，从而得到③正确；根据抛物线的增减性可以判断出④错误，问题得解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 把，代入，可得：，解得， ∴，故②正确； ∵抛物线开口方向向下， ∴， ∴，， ∴，故①错误； ∵，， ∴， 又∵，， ∴， 即（其中），故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口朝下， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴，故④错误， 故选：B． 2．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤ (其中)，其中正确的结论有（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图象可知：，， ， ， ，故此项不符合题意． ②∵抛物线与轴有两个交点， ，故此项不符合题意． ③当时，，所以，故此项不符合题意． ④根据抛物线的对称性，可知：当时，． ∵， ，代入得得 ，故此项符合题意． ⑤当时，的值最大，此时， 而当时，， ， 故， 即(其中)，故此项符合题意． 综上所述，符合题意的有④⑤共2个． 故选：A． 3．二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③为任意实数，则；④若且，则，其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴求得与的关系，以及熟练掌握二次函数与方程、不等式之间的转化，是解题的关键．由抛物线的开口方向判断的大小，根据抛物线与轴的交点判断的大小，根据对称轴和抛物线与轴的交点情况进行推理，对结论逐一判断，即可解答． 【详解】解：①图象开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴右侧， ，，， ， ， 故①正确； ②对称轴是直线，与轴交点在左边， 二次函数与轴的另一个交点在与之间， ， 故②正确； ③对称轴是直线，图象开口向下， 时，函数最大值是； 为任意实数，则， ， 故③错误； ④， ， ， ， ， ， ，， ， 故④错误； 故正确的有2个， 故选：B． 专题二、二次函数图象与几何结合 4．如图，点E，F，G，H是边长为2的正方形各边上的点，且设A，E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图象可能为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的综合，正方形的性质及勾股定理，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．先求得，，再由，可得，得出与、是二次函数关系，从而得出函数的图象． 【详解】解：设正方形的边长为，则， ， ， ， ， ， ， ， 可知开口向上，顶点坐标为， 与的函数图象是D． 故选：D． 5．如图，正方形的边长为，动点P，Q同时从点A出发，以的速度分别沿和的路径向点C运动，设运动时间为，四边形的面积为，则y与x之间函数关系可以用图象表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意结合图形，分情况讨论：①时，根据四边形的面积的面积的面积，列出函数关系式，从而得到函数图象；②时，根据四边形的面积的面积的面积，列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解． 【详解】解：分以下两种情况： ①时， ∵正方形的边长为， ； ②时， ， ∴y与x之间的函数关系可以用两段开口向下的抛物线表示，纵观各选项，只有B选项图象符合． 故选：B． 6．如图，在等腰中，，，点为斜边的中点，点，分别从，两点同时出发，以的速度沿，方向运动，到达点，时停止运动．设两点的运动时间为，的面积为，则与的关系可用图象表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题与函数图象及二次函数图像性质．首先连接，过点作、，得到，用含的代数式把、表示出来，根据三角形的面积公式得到，从而可以判断函数图像是抛物线，再根据运动的速度和距离求出的取值范围，从而可得函数图像． 【详解】解：如下图所示，连接，过点作、， ，，点为斜边的中点， ，， ， ， 同理可得：， 点、运动的时间为， ， ， ， ， ， 由图可知 ， 与的函数关系式是， 整理得：， ，运动速度为， ， ， 当时，， 与的关系用图像表示应是开口向上，对称轴为，且在范围内的一段抛物线． 故选：B． 专题三、二次函数与三角形结合 7．综合与探究 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，是轴上的一个动点（不与点，，重合），过点作轴，分别交抛物线，直线于点，．设点的横坐标为． (1)求抛物线的函数解析式及点的坐标，并直接写出直线的函数解析式． (2)当点在线段上运动，且为的中点时，求的值． (3)连接，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，或或或． 【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线的函数解析式，进而即可求得点的坐标，再利用待定系数法求得直线的函数解析式； （2）根据题意，得．则，根据为的中点，构造方程，求解即可得解； （3）分当点为顶角顶点时，，当点为顶角顶点时，，当点为顶角顶点时，，三种情况，利用勾股定理构造方程求解即可． 【详解】（1）解：把分别代入，得 ， 解得， ∴抛物线的函数解析式为， 当时，， ∴， ∴设直线为， ∵， ∴，解得， ∴直线的函数解析式为； （2）解：根据题意，得． ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，的值为； （3）解：存在，点的坐标为或或或， 根据题意，得， ∴， 可分为以下三种情况讨论： ①当点为顶角顶点时，，即， ∴， 解得或舍去， ∴， ②当点为顶角顶点时，，即， ∴， 解得或舍去， ∴， ③当点为顶角顶点时，，即， ∴， 解得或， ∴或； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，勾股定理，待定系数法求一次函数，二次函数的解析式，等腰三角形的定义，熟练掌握二次函数的图像及性质，勾股定理是解题的关键． 8．如图，抛物线过，两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线轴，交x轴于点H． (1)求抛物线的表达式； (2)直接写出点C的坐标，并求出的面积； (3)点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当的面积为6时，求出点P的坐标； (4)若点M在直线上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时点M的坐标． 【答案】(1) (2)， (3) (4)点坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可； （2）求出抛物线的对称轴，再根据对称性求出点的坐标即可解决问题； （3）设点，根据，建立方程求解即可； （4）分别以点、、为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形和勾股定理求的长即可． 【详解】（1）解：抛物线过，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为． （2）解： ， 对称轴为直线， ，关于对称轴对称，， ， ， ． （3）解：如图，过点P作于点H，设点， 根据题意，得：，，， ， ， 解得：，， 点是抛物线上一动点，且位于第四象限， ， ，， ； （4）解：点在直线上，点在轴上，为等腰直角三角形时，分三类情况讨论： ①以点为直角顶点且在轴上方时，如图2，，， ， ， ， ， ，， ； ②以点为直角顶点且在轴下方时，如图3， 过点作轴，过点作轴，过点作轴交于点，交于， ，， ， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ， ； ③以点为直角顶点且在轴左侧时，如图4，，， 过点作轴，过点作轴交的延长线于， 同理可得：， ，则， ∴， ； ④以点为直角顶点且在轴右侧时，如图5， 过点作轴，过点作轴交延长线于， 同理可得：， ，， ， ； ⑤以为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形； 综上所述，当为等腰直角三角形时，点坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法、三角形的面积、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 9．如图，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)点D的坐标为，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形面积的最大值； (3)在对称轴上是否存在点M，使为直角三角形，若存在，直接写出M点坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）把点点代入即可求解； （2）四边形面积S ，即可求解． （3）分三种情况：当时，当时，当时，根据勾股定理列方程分别求解即可． 【详解】（1）解：把点,点代入得： ， 解得：； 故抛物线的表达式为： （2）连接，设点 四边形面积 ； ∵，故S有最大值，当时，S的最大值为； （3）解：∵抛物线 ∴抛物线的对称轴为：直线，与轴交点， 设点坐标为， ∵，， ∴， ， ， ①当时，即， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ②当c时，即， ∴， 整理得， ∵，此方程无解， ∴对称轴上不存在点M使， ③当时，， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上，点坐标为，． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 专题四、二次函数与四边形结合 10．如图，已知抛物线过点，，． (1)求此抛物线对应的函数解析式，并且确定其顶点坐标； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标； (3)在抛物线上存在一动点，使得的面积为10，请求出点的坐标． (4)点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)此抛物线的函数解析式为，顶点坐标为 (2) (3)或 (4)存在以点为顶点的四边形是平行四边形，符合条件的点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法解得该抛物线的函数解析式，并将其转化为顶点式，即可确定该抛物线的顶点坐标； （2）结合（1）可知该抛物线的对称轴为，并确定该抛物线与轴的另一个交点的坐标；结合可知点在直线上，并根据抛物线轴对称的性质可得，易得，故当点均在轴上时，即时，的值最小，即的值最小，即可确定答案； （3）当点在轴左侧时，设，交轴于点，利用待定系数法解得直线的解析式，进而确定点坐标，结合求得的值，即可确点坐标；当点在轴右侧时，设，交轴于点，利用待定系数法解得直线的解析式，进而确定点的坐标，结合求得的值，即可确点坐标； （4）根据题意，设，，分是平行四边形的一边和是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入抛物线， 可得，解得， ∴此抛物线的函数解析式为， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）∵抛物线， ∴该抛物线的对称轴为， 设该抛物线与轴的另一个交点为， 令，可得， 解得，， ∴， 如下图， ∵， ∴点在直线上， ∵点是抛物线对称轴上的一个动点， ∴， ∴， 当点均在轴上时，即时，的值最小，即的值最小， 如下图， 此时， ∴， ∴点的坐标为； （3）当点在轴左侧时，设，交轴于点，如下图， 设直线的解析式为， 将点、代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 令，可得，即， ∴， ∴， 整理可得， 解得或（舍去）， ∴； 当点在轴右侧时，设，交轴于点，如下图， 设直线的解析式为， 将点、代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 令，可得，即， ∴， ∴， 整理可得， 解得或（舍去）， ∴． 综上所述，点的坐标为或； （4）∵点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上， ∴可设，， ①如下图， 当是平行四边形的一边时， 则有， ∴，解得， ∴； ②如下图， 当是平行四边形的对角线时， 则有， ∴，解得， ∴． 综上所述，存在以点为顶点的四边形是平行四边形，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图像与性质、平行四边形的性质、轴对称的性质等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 11．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求三角形面积的最大值及此时点的坐标； (3)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)存在，， 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质： （1）令，时，分别代入，求得点，，的坐标，设抛物线的表达式为，将代入，即可求得答案； （2）作于点，交于，可得，可得，根据二次函数的图像和性质，即可求得答案； （3）设，可得，，根据，可求得，结合， 即可就得答案． 【详解】（1）解：令时，代入， ∴ ． ∴． 令时，代入， ∴ ． ∴ ． ∵对称轴为直线， ∴． 设抛物线的表达式：，将代入，得 ． ∴． ∴抛物线的表达式为：． （2）如图所示， 作于点，交于． ∴，．     ∴． ∴． ∴当时， ． ∴． （3）存在，理由如下： 设． ∵，， ∴，． ∵以，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ∴，即． ∴． ∴． ∴． ∵， ， ∴，． ∴． 12．如图1，抛物线交轴于，两点，交轴于点，是第四象限内抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，，当四边形是正方形时，求点的坐标； (3)如图2，连接，，过点作交线段于点，连接，，，记与面积分别为，，设，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，正方形的性质，利用二次函数求最值等，熟练掌握二次函数图象和性质等相关知识是解题的关键； （1）把，，代入，即可求得答案； （2）设，根据四边形是正方形，可得，即，解方程即可得出答案； （3运用待定系数法求出直线的解析式，由，则，可得，设，则，可得，再由，再运用二次函数的最值求得答案； 【详解】（1）解：把，，代入得， ， 解得：，，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设， 四边形是正方形， ， 即， 解得：， ， ， ∴当四边形是正方形时，点的坐标； （3）解：如图，连接，过点作轴交于点． 设直线的解析式为． 把，代入，得， 解得：， 直线的解析式为， ， ， ， 设，则， ， ， 由题意，得， 当时，达到最大值为； 专题五、二次函数与周长 13．如图，已知抛物线的图象与x轴交于点和，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，在抛物线的对称轴上求作一点M，使的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值； (3)如图2，点P是x轴上动点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线和直线于点F、G．设点P的横坐标为m，是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的周长的最小值，点M的坐标为 (3)存在，或或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）连接交于点M，此时最小，进而求解； （3）分、两种情况，然后分别求解即可． 【详解】（1）解：将点A、B的坐标代入抛物线表达式得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图，连接交于点M，此时最小， 又因为是定值，所以此时的周长最小． 令时，则有，即， ∴， ，同理， ∴此时的周长； 是抛物线的对称轴，抛物线与x轴交点和， ，对称轴为， 由，得， ， 又∵点M在第四象限，且在抛物线的对称轴上， ； （3）解：存在这样的点P，使是以为腰的等腰三角形． 设直线的解析式为，把点B、C坐标代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点P的横坐标为m， ∴点，点， 则，，， 当时，则，解得（舍去）或4； 当时，则，解得（舍去）或； 综上，或或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、点的对称性、等腰三角形的性质等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 14．已知抛物线（n为常数）的顶点为P． (1)求证：当时，抛物线与x轴无交点； (2)若时，y有最小值7，时，y有最小值3，求t的值； (3)如图，抛物线与直线交于A，B两点，记的面积为S，的周长为l，当n取不同实数时，求的最大值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的性质，一次函数与二次函数交点，线段和最小值，难度比较大； （1）根据可得抛物线的顶点在第一象限，又抛物线开口向上，即可得到抛物线与x轴无交点；或者计算判别式，根据判别式即可证明； （2）根据题意可得整个二次函数的最小值为，即，据此求解即可； （3）先联立一次函数和二次函数求出，，得到，再利用铅锤法得固定不变，只需要求出最小值即可得到的最大值． 【详解】（1）证明：法一：， 抛物线的顶点在第一象限，又抛物线开口向上， 此时抛物线与轴无交点． 法二：令，得，即， ，又， ， 方程无实根，即此时抛物线与轴无交点． （2）解：∵抛物线， ∴抛物线开口向上，有最小值，对称轴为直线， ∵若时，y有最小值7，时，y有最小值3， ∴抛物线的最小值为3， ∴，且在对称轴直线左边，即， ∴当时，随的增大而减小， 时，有最小值7，即， 解得或， ． （3）解：联立， 消整理得， ， ，， ，， ，， ∴； 如图，过点作轴，交直线于点， ∴， 的面积，为定值． 当取不同实数时，线段在直线上滑动，且保持不变， 设点关于直线的对称点为，连接，并构造平行四边形， ， 的周长， ∵直线与轴交点，与交点，连接， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ∴，， ∴轴， ∴， ∵平行四边形， ∴到与到平移规则一致， ∴， ∴， ， ， ∴的最大值为． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，点的横坐标为． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)点是直线下方的抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴的平行线，与直线交于点，连接，设点的横坐标为； ①若点在轴上方，当为何值时，是等腰三角形； ②若点在轴下方，设的周长为，求关于的函数关系式，当为何值时，的周长最大，最大值是多少？ 【答案】(1)，； (2)①；②，当时，的周长最大，最大值是． 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线和直线解析式； （2）①当是等腰三角形时，判断出只有，设出点P的坐标用建立方程组求解即可； ②先表示出，然后建立三角形的周长和m的函数关系式，确定出最大值． 【详解】（1）解：直线经过点， ， ， 直线解析式为， 点在此直线上，点的横坐标为，则， 点的纵坐标为， ， 抛物线交于、两点， ， ， 抛物线解析式为． （2）解：∵点的横坐标为，则设， ∴， 过点作轴的平行线，与直线交于点，则点的纵坐标为， ∴，则， 点， ， ①当点在轴上方时， ，是钝角， ，， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， ， 或舍， 当时，是等腰三角形； ②当点P在x轴下方时，， ， ，则，点， ，， ，， ∴的周长 ， ∵， 当时，， 当时，的周长最大，最大值是． 【点睛】此题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，三角形的周长，两点坐标距离公式等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 专题六、二次函数的与面积 16．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，经过两点的抛物线与轴的另一交点为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是该抛物线上的动点，过点作轴于点，交于点，设点的横坐标为，连接，求△的面积与的函数表达式，并求出的最大值． 【答案】(1) (2)；有最大值 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）先求出点A和C的坐标，设抛物线的函数表达式为，将点代入即可求解； （2）设则，求出长，然后根据，计算即可得到解析式，然后配方找最值即可． 【详解】（1）解：当时，；当时，，解得， ∴直线与轴，轴的交点坐标分别为， ∵抛物线与轴的另一交点为， 设所求抛物线的函数表达式为， 把点代入, 得: 解得 ∴所求抛物线的函数表达式为, 即； （2）解：设则 ， ， ， ∴当 时, 有最大值． 17．已知抛物线与x轴相交于，B两点，与y轴相交于点． (1)求b、c的值； (2)P为第一象限抛物线上一点，的面积与的面积相等，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，设E是直线上一点，点P关于的对称点为点，试探究，是否存在满足条件的点E，使得点恰好落在直线上，如果存在，直接写出点P′的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）由的面积与的面积相等得，即可求解； （3）根据点P在抛物线和直线上求得，再由对称得，利用两点间距离公式求出点E坐标，再根据即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点， ∴， 解得． （2）解：由（1）得抛物线的解析式为， 令，则， 解得，， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴， 设直线的解析式为， ∵在直线上， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． （3）解：存在，点或， 设点， ∵点P在抛物线和直线上， ∴，， ∴， 解得，（舍）， ∴， 如图，由点P关于的对称点为点，得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设点E的坐标为， 即， ∴， 当时，则， 设点， 由，得， 解得， 则点， 当时，则， 同理，得， 综上所述，点或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，主要涉及用待定系数法求一次函数、二次函数解析式，一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，轴对称的性质，坐标系中两点间距离，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 18．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点E是线段上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时E点的坐标． 【答案】(1) (2)点为的中点时，四边形的面积最大，最大面积为，此时点的坐标为 【分析】（1）将、点坐标分别代入抛物线解析式得，然后解方程组求出、即可得到抛物线解析式； （2）由题意知，二次函数的对称轴为直线，则，如图，设，则，，由题意知，，然后根据二次函数的图象与性质，求解作答即可． 【详解】（1）解：将，代入得， ， 解得，， ∴抛物线的关系式为； （2）当时，， 解得，或，则， 由题意知，二次函数的对称轴为直线， ∴，如图， 设直线的函数表达式为 将、点坐标代入得， 解得， ∴直线的函数表达式为， 设，则，， 由题意知，， ∴， ∵， ∴当时，即点为的中点时，四边形的面积最大，最大面积为，此时点的坐标为． 专题七、二次函数与等角 19．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于和B两点，与y轴交于点C． (1)求C点的坐标； (2)连接，D为抛物线上一点，当时，求点D的坐标． 【答案】(1)C点的坐标为 (2)D点的坐标为 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式、二次函数和一次函数的交点问题等知识． （1）把代入抛物线解析可得．即可求出点C的坐标； （2）设与轴的交点为，由得到，则，求出，则，在中，，求出，得到，求出直线的解析式为，联立一次函数和二次函数解析式求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：将代入抛物线解析可得： 解得：． ∴， 当时，， ∴C点的坐标为； （2）设与轴的交点为， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得：，令，则， 解得：，， ∴， ∴， 在中，，解得：， ∴， 设直线的解析式为， 将代入可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时， 解得：（不合题意，舍去）或， 当时，， ∴D点的坐标为： 20．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)若是抛物线上一点，且，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2)的坐标为：或． 【分析】（1）根据直线与轴交于点，可求出一次函数的解析式，进而可求出点C的坐标；由抛物线经过点，可求出抛物线的解析式； （2）如图，过作与抛物线交于点，可得，再利用抛物线的对称性可得答案，在轴上取点，且满足，可得，则与抛物线的交点满足条件，求解，直线为，再进一步建立方程组解题即可． 【详解】（1）解：直线与轴交于点， ， ， ∴， 当时，， ∴点， ∵抛物线经过点， ， ， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图，过作与抛物线交于点， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线，点， ∴， 在轴上取点，且满足， ∴，则与抛物线的交点满足条件， ∵，，设，则， ∴， 解得：， ∴， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， ∴， 解得：，， ∴， 综上：的坐标为：或． 【点睛】本题考查了求抛物线，一次函数的解析式、二次函数与角度问题．结合抛物线的性质与建立方程组是解决第二问的关键． 21．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为，直线与抛物线相交于，两点． (1)求抛物线的解析式． (2)设点是直线上方抛物线上的一动点，当的面积取得最大值时，求出此时点的坐标． (3)抛物线上是否存在一点，使，若存在，请直接写出所有满足要求的点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能，点的坐标为：或 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合，求正切； （1）由题意得：，即可求解； （2）由的面积，即可求解； （3）由，得到直线BM的表达式为：，进而求解． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）过点P作轴交于点， ， 解得：或， ∴， ∵， ∴， 设点，则点，则， 则的面积， ， 故的面积有最大值，此时， 则点； （3）能，理由： 由抛物线的表达式， 当时， ∴点， 依题意，， 设直线交轴于点，则 设直线的表达式为 ∴或 解得：或 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：或， 解得：（舍去）或或， 则点M的坐标为：或 专题八、二次函数与倍角 22．已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（1），为抛物线上第一象限内一点，若，求点的坐标； (3)如图（2），为轴上方一动点，直线与抛物线均只有唯一公共点，于点，且的面积是10，求线段长度的最大值． 【答案】(1)； (2)点的坐标为； (3)长度的最大值为． 【分析】本题考查了二次函数综合问题，熟练掌握二次函数的图象与性质，学会利用函数思想转化角度和线段的关系是解题的关键． （1）代入，到抛物线，求解a、b的值即可； （2）过点作轴交轴于点，设，结合得出，得出，代入直线的解析式，解出t的值即可； （3）设，，依据题意表示出直线和的解析式，再求出交点P的坐标，结合的面积是10，得出m、n的关系式，代入直线解析式可得定点坐标，再利用定点坐标确定长度的最大值即可． 【详解】（1）解：代入，得：， 解得：， 抛物线的解析式为：． （2）如图，过点作轴交轴于点，则， 设，则， 轴， 轴， ， ， ， ， 又， ， ， 又，， ， ， ， ， 解得：（舍），， 点的坐标为． （3）设，， 设的解析式为， 代入得，， ， ， 联立， 消去整理得：， 与抛物线只有唯一公共点， ， 整理得：， 解得：， ， 同理可得，， 联立与可得交点； ， ， ， ， ， ， 当时，， 即经过定点， ， ， 当时，长度有最大值， 线段长度的最大值为． 23．如图①，二次函数的图象经过点，并且与直线相交于坐标轴上的、两点，点在抛物线图像上且坐标为． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图①，连接，，设的面积为，求的值； (3)如图②，过点，作直线，求证：是直角三角形； (4)如图②，抛物线上是否存在点，使得？若存在，则求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4)存在，和 【分析】（1）根据题意先求出点、的坐标，进而利用待定系数法即可求解； （2）由题意过点作轴于，交于点，根据，则，进而根据三角形面积公式，进行计算即可求解； （3）根据点，，，得出，，，在中，根据勾股定理，在中，，，根据勾股定理逆定理得出即可； （4）根据题意分点在下方、在的延长线上取一点，使，作出，连接，设与抛物线交于点，过点作轴于，轴于，点在上方，延长到，使，连接并延长交轴于，作出，两种情况求出点，和点的坐标，进而利用待定系数法求解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵交坐标轴于，两点， 当时，，则点， 当时，， 解得，点， ∵， ∴ ，解得， ∴二次函数解析式为：； （2）过点作轴于，交于， ∵，在直线：上， ∴ ∴ ∵， ∴ （3）证明：点，点，， ，，， ， 在中，根据勾股定理＝， 在中，， （）， ，即， ， 是直角三角形； （4）存在点，使．   当点在轴下方的抛物线上时： 在的延长线上取一点，使，连接，若与抛物线有交点，设与抛物线交于点，过点作轴于，轴于 ，，， ， ， 轴， ， ，， ， ，， ， ∴， 设的解析式为：， ， 解得：，， 的解析式为：． ， ， ， ， 方程组有两个不同的解，直线与抛物线有两个不同的交点，存在． 当点在轴上方的抛物线上时： 延长到，使，连接并延长交轴于，若与抛物线有交点，设交抛物线于点， 轴，， ，， 同理可得，的解析式为：． ， ， ， ， 方程组有两个不同的解，直线与抛物线有两个不同的交点，存在． 综上所述：存在抛物线上点，使，直线的解析式为： 和． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式和性质，一次函数解析式，三角形面积的最值，直线的位置关系，一元二次方程，三角形全等判定与性质，勾股定理与勾股定理逆定理，利用辅助线作出准确图形，熟练掌握所需知识是解题关键． 24．已知：如图1，抛物线与轴相交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线第三象限上的一点，若，求点的坐标； (3)如图2，点为抛物线在点左侧上的一点，点与点关于抛物线的对称轴对称，直线、分别交轴于点、，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把点，点，点代入解方程组即可得到结论； （2）根据勾股定理得到，取的中点，连接，作于，轴于，如图，设，根据三角形面积公式得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到； （3）设，求得，求得直线的解析式为，得到，，同样可得直线的解析式为，得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：把点，点，点代入 得， 解得， 所以抛物线的解析式为； （2）当时，，则， ， 取的中点，连接，作于，轴于，如图1， 设， ， ， ， ， 为斜边上的中线， ， ， ， ， ， ， ，即， 解得， ； （3）设， 与两点关于抛物线的对称轴对称， ， 设直线的解析式为， 把，代入得 ， 解得， 直线的解析式为， ， 同样可得直线的解析式为， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和直角三角形斜边上的中线性质；会利用待定系数法求函数解析式；会利用勾股定理和相似比计算线段的长；理解坐标与图形的性质．在中构建是解决问题的关键． 专题九、二次函数与比值 25．如图，已知二次函数与x轴交于点、，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的动点，连接交于点D，连接． (1)①求抛物线的函数解析式； ②求证：． (2)当的比值最大时，求的面积； (3)是否存在这样的点P，使得，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②证明见解析 (2)2 (3) 【分析】（1）①直接利用交点式写二次函数的解析式即可；②先求解C的坐标，再利用勾股定理的逆定理进行判定即可； （2）如图，过作轴交于，交轴于，可得，可得，求解为，设，则，再建立二次函数进一步求解即可； （3）如图，由，可得，可得轴，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵二次函数与x轴交于点、， ∴抛物线为； ②当时，， ∴， ∵、， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过作轴交于，交轴于， ∴， ∴， ∵，， ∴设为， ∴，解得：， ∴为， 设，则， ∴，而， ∴， 当时，有最大值， ∴， ∴； （3）解：存在，理由如下： 如图， ∵， ∴， ∴轴， ∵， ∴， 解得：，， ∴． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质与面积问题，相似三角形的判定与性质，熟练的利用相似三角形的性质建立方程求解是关键． 26．【知识回顾】我们知道：一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称，这个点叫对称中心． 【知识理解】求证：反比例函数（且为常数）的两支图像关于原点成中心对称． 【知识迁移】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：的图像与轴交于点、，与轴交于点，抛物线：的图像与抛物线：的图像关于原点成中心对称，且抛物线：的图像与轴交于点、，与轴交于点，连接、，点为线段上的一个动点，过点作直线轴，交线段于，交抛物线的图像于点，交于． ①求抛物线的函数表达式，并求出最大时点的坐标； ②当最大时，点在抛物线对称轴右侧的图像上，线段交直线于点，线段与线段交于点，若，则线段与的比值为________． 【知识创新】如图2，在两个同心圆上，连接大圆上的点和小圆上的点的线段叫做同心圆的“环弦”．点是小圆内一定点，用无刻度的直尺和圆规作“环弦”，使得点是“环弦”的中点．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】知识理解：见解析；知识迁移：①，；②或；知识创新：见解析 【分析】知识理解：设反比例函数（且为常数）的图像上任意一点，证明对称的点为也在反比例函数（且为常数）的图像上，即可得证； 知识迁移：①根据抛物线：的图像与轴交于点、，求出点、的坐标，根据抛物线和抛物线关于原点成中心对称，得出、的坐标，得出抛物线解析式，设点的坐标为，结合图形与坐标，表示出，求出最大时，的值，得出点的坐标即可；②连接，在延长线上取点，使得，连接，作轴于点，作于点，延长交于点，交抛物线于点，连接、、、；过点作轴，过点作轴，所作两线交于点，根据正方形的判定与性质，利用证明，推出，利用证明，结合图形与坐标，得出点的坐标，结合点坐标，证明并求出的中点的坐标．情况一：当点在图中位置时，利用证明，得出，根据，，求出直线解析式，结合抛物线解析式，求出点横坐标，根据轴，轴，证明推出，得出，结合图形与坐标计算即可；情况二：当点、点和点重合时，点和点重合，，根据图形与坐标，得出、的长，计算求出的值即可； 知识创新：在大圆上取两条不平行的弦，分别以弦两端为圆心，大于弦一半长度为半径画弧相交两点，连接两交点，作出两弦的垂直平分线相交于一点，即为两同心圆的圆心，连接并延长，以点为圆心，截取为半径画弧交延长线于一点，以该点为圆心，截取小圆半径为半径画圆，则该圆与小圆关于点成中心对称，点是对称中心，该圆与大圆交于点，连接并延长交小圆于点，点和点关于点成中心对称，则点是“环弦”的中点，故即为所求作的图形． 【详解】解：知识理解：设反比例函数（且为常数）的图像上任意一点， ∴的关于原点对称的点为， ∵， ∴也在反比例函数（且为常数）的图像上， ∴反比例函数（且为常数）的图像上任意一点，都存在也在反比例函数（且为常数）的图像上且关于原点对称的点， ∴反比例函数（且为常数）的两支图像关于原点成中心对称； 知识迁移：①∵抛物线：的图像与轴交于点、， ∴， ， 或， 解得：，， ∴，， ∵抛物线：的图像与轴交于点、，抛物线：的图像与抛物线：的图像关于原点成中心对称， ∴，，， ∴抛物线的函数表达式为，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， 点为线段上的一个动点，过点作直线轴，交线段于，交抛物线的图像于点，交于， ∴设点的坐标为，则点坐标为， ∴直线轴，即， ∴， ∴，，， ∴， ∴最大时，， ∴最大时点的坐标为； ②如图，连接，在延长线上取点，使得，连接，作轴于点，作于点，延长交于点，交抛物线于点，连接、、、；过点作轴，过点作轴，所作两线交于点， ∵①过程已得，，，，， ∴，， ， ∴四边形是平行四边形，， 又∵， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵直线轴，轴， ∴直线轴，， ∴， ∴， ∴在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵，于点， ∴点为的中点， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 情况一：当点在图中位置时， 在和中， ， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， ∵点在抛物线对称轴右侧的图像上， ∴， 整理得：， ， ∵点在抛物线对称轴右侧的图像上， ∴点横坐标为， ∵线段交直线于点， ∴点横坐标为， ∵轴，轴， ∴，，， ∴，， ∴， ∴； 情况二：当点、点和点重合时，点和点重合，， ∴，， ∴． 综上所述，线段与的比值为或， 故答案为：或； 知识创新：如图，即为所求作图形， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质、反比例函数的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、垂直平分线的性质、中心对称图形、相似三角形的判定与性质、无刻度尺规作图等，难度较大，综合性强，熟练掌握知识点、作辅助线推理、分类讨论、数形结合是解题的关键． 27．如图1，抛物线（）与轴的负半轴交于点，与轴的正半轴交于点，与轴交于点，顶点为．连接、、． 　　 (1)求抛物线的解析式； (2)点是轴右侧抛物线上一点，连接，若平分，求点的坐标； (3)数学实验课上，在（2）的基础上，小张同学利用网络画板进行如下操作：连接，把绕着点A进行逆时针旋转（注：与，与，与相对应），使得点的对应点落在轴上，此时与轴交于点．小张猜想：是的中点．请探究并判断小张猜想是否正确．如果正确，请直接写出点的坐标；如果不正确，请直接写出与的比值． 【答案】(1)y=x2+2x-3 (2)M(，) (3)小张的猜想不正确，EH与DH的比值为5∶4 【分析】（1）设抛物线的顶点式，再把代入即可求出解析式． （2）计算得AC2+PC2=AP2，由勾股定理的逆定理得∠ACP=90º， 如图，延长PC、AM交于点N，因为AC平分∠PAM所以点N是点P关于AC的对称点，可求得点N(1，-2)，进一步得出直线AN的解析式，再设M(m，m2+2m-3)，代入直线AN的解析式即可求出； （3）连接AE，AF，AD，由已知条件得绕着点逆时针旋转了90º，因为M()，P(-1，-4)，所以E(，)，D(1，2)，所以，故小张猜想不正确． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为：y=a(x+1)2-4， 把点代入y=a(x+1)2-4得， a-4=-3， 解得：a=1， ∴y=(x+1)2-4 即y=x2+2x-3； （2）解：∵y=x2+2x-3， 当y=0时，x1=-3，x2=1， 即点A(-3，0)，点B(1，0)， ∵AC2==18， PC2=(-1-0)2+(-4+3)2=2， AP2=(-3+1)2+(0+4)2=20， ∴AC2+PC2=AP2， ∴∠ACP=90º， 即AC⊥PC， 如图，延长PC、AM交于点N， ∵AC平分∠PAM，AC⊥PN， ∴点N是点P关于AC的对称点， 即点C(0，-3)是PC的中点， ∵点P向右平移1个单位长度再向上平移1个单位长度得到点C， ∴点C向右平移1个单位长度再向上平移1个单位长度得到点N． ∴点N(1，-2)． 设直线AN的解析式为y=kx+b，那么 ， 解得：， ∴直线AN的解析式为， ∵点M经过直线AN，设点M(m，m2+2m-3)(m>0)， ∴ 解得：m1=-3(不合题意，故舍去)，m2=， ∴M(，)． （3）解：小张的猜想不正确，EH与DH的比值为5∶4， 连接AE，AF，AD，过P作PG⊥x轴，交x轴于点G， 过D作DQ⊥x轴，交x轴于点Q，如图所示．那么∠QAD+∠ADQ=90º，∠GAP+∠APG=90º， ∵把绕着点A进行逆时针旋转（注：与，与，与相对应），使得点的对应点落在轴上， ∵OA=OC=3，∠AOC=90°， ∴∠CAO=45°，由勾股定理得， ∵∠AOH=90°， ∴由勾股定理得：OF=3， ∴OF=OA，F(0，3)， ∴∠FAO=45°， ∴∠FAC=∠FAO+∠CAO=90º， ∴旋转角是90º， ∴AP⊥AD，AM⊥AE，AP=AD，AM=AE， ∴∠PAG+∠QAD=90º， ∴∠APG=∠DAQ， 在和中 ， ∴． ∴DQ=AG，AQ=PG， ∴D的横坐标为：OQ=AQ-AO=4-3=1，D的纵坐标为：DQ=3-1=2， ∴D(1，2)． 同理，解得E(，)． ∴， ∴小张猜想不正确． 【点睛】此题考查了二次函数与旋转的综合，解题的关键是数形结合，作出辅助线求解． 专题十、二次函数与定值 28．如图，抛物线与x轴交于点O和点A，将抛物线沿x轴向右平移3个单位长度，得到抛物线．    (1)抛物线表达式为；_______； (2)点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q．设点P的横坐标为p，点Q的横坐标为q． ①若，求的值； ②试判断是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②为定值，这个定值为6． 【分析】（1）根据平移的性质，求出抛物线的解析式即可； （2）①求出点坐标，再求出直线的表达式，求出点坐标即可求解； ②过点P作轴，过点Q作轴于点Q，证明，得出，根据，，，，得出，求出． 【详解】（1）解：∵， ∴将抛物线沿x轴向右平移3个单位长度，得到抛物线的解析式为： ； （2）解：把代入得，， 点， 令， 解得：， ∴点， 设直线的表达式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去），， 则； ②是定值；过点P作轴，过点Q作轴于点Q，如图所示：    则， ∵， ∴， ∴， ∵点P的横坐标为p，点Q的横坐标为q， ∴点P的纵坐标为，点Q的纵坐标为， ∴，，，， ∴， ∴， 整理得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数图象的平移，相似三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． 29．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，为抛物线上一动点．当点运动到第四象限时，连接，，直线交轴于点，过点作直线，交轴于点，求证：线段的长度为定值． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点，设，求出出直线和直线的解析式，求出线段的长度，结合点在抛物线上得证的长度为定值，熟练掌握二次函数与一次函数的图象与性质，会求直线与抛物线的交点是解题的关键． 【详解】证明：当时，， ∴或， ∴，， 设点，则， 设直线的解析式为， 联立， 解得： ∴直线解析式为， ∴， 同理得直线解析式为， ∵直线， ∴设的解析式为， 把点代入，得， ∴， ∴直线解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴线段的长度为定值． 30．已知二次函数的图象经过点，与x轴的正半轴交于点B，点，是此二次函数的图象上的两个动点． (1)求直线的解析式； (2)如图，此二次函数的图象，点P在直线的上方，过点P作轴于点C，交于点D，连接，，．若，求证的值为定值． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数以及一次函数解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将代入二次函数解析式得出，求出，再利用待定系数法计算即可得解； （2）由题意得出，，，结合，得出，分别表示出、，即可得解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为， 令，则， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）证明：∵点，是此二次函数的图象上的两个动点， ∴，， ∵过点P作轴于点C，交于点D， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故的值为定值． 专题十一、二次函数与相似 31．如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点．连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点为抛物线在第三象限的一个动点，轴于点．交于点，于点，求线段的最大值； (3)如图2，若为抛物线上一点，直线与线段交于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形与相似．若存在，请求出此时点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的横坐标为或 【分析】（1）把和的坐标代入抛物线解析求出a和b即可求解； （2）求出直线的解析式为，设，则，进而求得的表达式，根据二次函数的性质，即可得出答案； （3）分两种情况，①若，②若，由相似三角形的性质可求出的长，求出点坐标，联立直线和抛物线的解析式可求出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于，两点， ∴ ， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴时，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， 设直线的解析式为， ∴ ， ∴， ∴直线的解析式为， 设， 则， 则 ∵， ∴时，有最大值， ∴的最大值为． （3）解：∵，，， ∴，，， 若以为顶点的三角形与相似，可分两种情况： ①若， ∴， ∴， ∴， 过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴ ， ∴， ②若， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理的解析式为， ∴ ， ∴， 综上所述，点Q的坐标为点Q的横坐标为或． 【点睛】本题是二次函数压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、图形面积计算、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握二次函数图象和性质，相似三角形的性质等相关知识是解题关键． 32．如图，已知抛物线（、为常数，且）与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，点为该抛物线的顶点，点为该抛物线的对称轴与轴的交点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)将抛物线向下平移个单位，得到抛物线，若点为抛物线的顶点，请问在平移过程中，是否存在，使得与相似（包含全等）？若存在，请求出所有符合条件的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，使得与相似，的值为3或5或8 【分析】本题考查二次函数的综合应用，三角形相似的判定和性质．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）由拋物线的顶点坐标可得出其对称轴为直线，即可求出，再将代入解析式求解即可； （2）根据拋物线的解析式可求出点A和点B的坐标，从而可求出的长，根据抛物线向下平移个单位得到抛物线，即得出，从而可分类讨论：①当时和②当时，再根据三角形相似的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：∵拋物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线，即， ∴， ∴抛物线． 将点代入，得， 解得， ， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：在中，令，得， ∴． ∵顶点， ∴． ∵抛物线向下平移个单位得到抛物线， ∴点在直线上， ∴， 分类讨论：①当时， ∴，即 ∴， ∴（与点D重合，舍）或． ∴此时； ②当时， ∴，即， ， ∴或， ∴此时或． 综上可知，存在，使得与相似，的值为3或5或8． 33．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点且与轴的正半轴交于点． (1)求的值及抛物线的解析式． (2)如图①，若点为直线上方抛物线上一动点，当时，求点的坐标； (3)如图②，若是线段的上一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点、，连接．设点的横坐标为． ①当为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少； ②是否存在以，，为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)①当时，线段有最大值为4；②存在，或 【分析】（1）将点的坐标直接代入直线解析式可得出的值；再求出点的坐标，将，的坐标代入抛物线解析式，即可得出结论； （2）由（1）可得，则，设，可表达点的坐标，代入抛物线的解析式即可得出结论； （3）①由点，坐标可得出直线的解析式，由此可表达点，的坐标，进而表达的长度，结合二次函数的性质可得出结论； ②根据题意需要分两种情况，当时，当时，分别求出的值即可． 【详解】（1）直线与轴交于点， ， ， 直线的表达式为； 当时，， 点的坐标为， 将点的坐标为，点的坐标为，代入， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）如图，过点作轴交抛物线于点，过点作的垂线，垂足为， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 的坐标为， 将点的坐标代入解析式可得，， 解得或（舍去） 的坐标为； （3）①由（1）可知，直线的解析式为：； 点的横坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 设线段的长度为， 则 ， 当时，线段有最大值为4； ②存在，理由如下： 由图形可知， 若与相似，则需要分两种情况， 当时，由（2）可知，，此时； 当时，过点作轴交抛物线于点， 令， 解得（舍或， 即， 综上，当的值为或时，以，，为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查的是待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质，解题的关键是第（3）问中需分两种情况讨论． 专题十二、二次函数与三角函数 34．在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于、两点，交轴于，，． (1)如图，求抛物线的解析式； (2)如图，点为抛物线第一象限上一点，交轴于，设点的横坐标为，线段的长为，求与的函数关系式； (3)如图，连接，过点作，连接、，点为抛物线上一点，交于，于交于，若，，，求的正切值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据解析式得出，根据题意得出，根据，得出，进而待定系数法求解析式，即可求解； （2）过点作轴于，根据，得出，根据已知列出比例式，即可求解． （3）根据，证明，进而结合（2）的结论，求得的坐标，解，得出，根据角平分线的性质以及全等三角形得出是等腰直角三角形，进而根据一线三等角模型求得点的坐标，进而求得的解析式，根据，得出，进而证明为的中点，求得点的坐标，构造全等三角形进而求得点的坐标，进而求得的解析式，联立抛物线解析式得出点的坐标，联立和，求得的坐标，进而可得轴，进而根据正切的定义，即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线交轴于、两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过点作轴于， ∵， ∴， ∵点的横坐标为，线段的长为， ∴点的纵坐标为，，， ∴， ∴， ∴， ∴与的函数关系式为； （3）解：设，过点作轴交轴于点，则 ∴， 又∵， ∴， 在中， ∴ ∴， ∴ ∵轴 ∴ 解得：， 当时， ∴ 由（2）可得点的横坐标为，线段的长为， ∴ ∴ ∴， ∴ 过点作于点， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∴，解得： ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴平分 如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，则， ∵， ∴都是等腰直角三角形， ∴四边形是矩形， 又∵ ∴四边形是正方形， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴是等腰直角三角形， 过点作轴，过点作轴交轴于点，过点作轴交于点， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴， ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 ∵已知， 设，则， 又∵ ∴， ∴， ∴ 又∵， 设交轴于点，连接， ∴ 作关于的对称点，则在上，则 ∴，， 又∵ ∴ ∴ ∵，， ∴ 在中， ∴ ∴ 又∵ ∴，即是的中点， ∵ ∴ 过点作于点， ∴ 又∵， 设，则 在中， ∴ ∴，则点在轴上， ∴ ∴， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 联立和抛物线 解得：或 ∴， 联立直线， 解得： ∴ 又 ∴轴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，一次函数的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 35．已知抛物线关于y轴对称，且过点和点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接抛物线上两点，N，若，求点N的坐标； (3)如图2，过点作与y轴不垂直的直线交抛物线于点A和点B，线段的垂直平分线交y轴于点M，交于P，试探究是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)固定不变 【分析】（1）由抛物线对称轴为轴可得，再通过待定系数法求解． （2）过作交于，再过作轴于，过作轴于，则，，即可求出点坐标，再联立和抛物线求出点坐标． （3）设直线解析式为，由点可得，联立抛物线方程可得，，从而可得中点坐标，点作轴于点，作轴的平行线交过点的轴平行线于点，由垂直平分可得所在直线解析式，进而求解． 【详解】（1）解：抛物线关于轴对称， ，即， ， 将，代入得， 解得， ． （2）解：过作交于，再过作轴于，过作轴于，则， ∵，轴，轴 ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴ （3）解：设直线解析式为， 直线过点， ， 令，整理得， 设点，，，， ，， 设中点为，，则， ， ， 如图，过点作轴于点，则点坐标为，作轴的平行线交过点的轴平行线于点，   ，， ， ， ，即， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及求抛物线解析式，正切，相似三角形的判定与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识点． 36．如图，已知抛物线经过点，过点的直线平行于轴，横坐标分别，的点、在抛物线上，且位于在直线异侧，连接，，，线段与直线相交于点． (1)求的值； (2)若，． 求的值； 试判断是否平分，并说明理由； (3)若平分，试判断的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由． 【答案】(1)的值为 (2)①的值为；②平分，理由见解析 (3)的值不变化，这个值为 【分析】（1）把代入可得的值为； （2）当，时，，；由，得直线解析式为，即可得，； 过作于，过作交延长线于，由，，；可得，，故，从而平分； （3）过作于，过作交延长线于，由平分，可得，即，故；由，得直线解析式为，，有，而，故． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得， 的值为； （2）解：由（1）知， 当，时，，； 设直线为， ∵，， ∴， 解得， 直线解析式为， 在中，令得：， 解得， ， ， ， 的值为； 平分，理由如下： 过作于，过作交延长线于，如图： ，，； ，，，， ，， ， ， 平分； （3）解：的值不变化，理由如下： 过作于，过作交延长线于，如图： 平分， ， ， ， ，的横坐标分别，， ，； ， ，，，； ， ， ； 由，得直线解析式为， 在中，令得：， 解得， ， ， ， ， ， ． 的值不变化，这个值为． 【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，角平分线的判定，锐角三角函数的应用等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 专题十三、二次函数与新定义 37．对于某一函数给出如下定义：在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数，作该函数自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“镜面函数”．例如：图1是函数的图象，则它关于直线的“镜面函数”的图象如图2所示，且它的“镜面函数”的表达式为：． (1)求函数的镜面函数；（结果写成顶点式） (2)若直线与函数的镜面函数有且只有三个交点，求的值； (3)当时，函数的镜面函数的最大值为3，直接写出的值； (4)函数的镜面函数与轴有不同的交点个数时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或0 (4)①当时，函数图象与轴无交点；②当时，函数图象与轴有1个交点；③当时，函数与轴有2个交点；④当时，函数图象与轴有3个交点；⑤当时，函数与轴有4个交点 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，掌握函数关于直线对称的本质是点的对称是解题的关键． （1）根据定义，先求出关于直线的对称顶点，即可求出对称后的函数解析式为：，继而可求出镜面函数； （2）当直线与抛物线有一个交点时，符合题意，则，整理得：，由得：，解得：；当直线经过时，符合题意，则，解得：； （3）在中，当，解得：或，在中，当，解得：或，因此当时，函数的镜面函数的最大值为3，则或或时，符合题意，求解即可； （4）分类讨论，画图求解． 【详解】（1）解：的顶点为， 则关于直线对称顶点为， ∴对称后的函数解析式为：， ∴函数的镜面函数为； （2）解：当时，则， 解得：或， ， 解得：或， ∴函数的镜面函数与x轴交点为, 当直线与抛物线有一个交点时，符合题意， 则， 整理得：， 由得：， 解得：； 当直线经过时，符合题意， ∴， 解得：， 综上所述，b的值为或； （3）解：在中，当， 则， 解得：或， 在中，当， 则， 解得：或， ∴如图，当时，函数的镜面函数的最大值为3， 则或或时，符合题意， ∴或或； （4）解：由上可知，当，镜面函数与x轴有3个交点； 如图，当时，镜面函数与x轴有4个交点； 如图：当时，镜面函数与x轴有2个交点； 如图：当时，镜面函数与x轴有1个交点； 如图：当时，镜面函数与x轴有没有交点， 综上所述：①当时，函数图象与轴无交点；②当时，函数图象与轴有1个交点；③当时，函数与轴有2个交点；④当时，函数图象与轴有3个交点；⑤当时，函数与轴有4个交点． 38．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的倍，我们称这个点为“友好点”，例如就是“友好点”；若二次函数图象的顶点为“友好点”，则我们称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数就是“友好二次函数”． (1)直线上的“友好点”坐标为____________； (2)若“友好二次函数”的图像与轴的交点是“友好点”，求这个“友好二次函数”的表达式； (3)若“友好二次函数”的图像过点，且顶点在第一象限 ①当时，这个“友好二次函数”的最小值为，求的值； ②已知点，，当线段与这个“友好二次函数”的图像有且只有一个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)①的值为或；②或 【分析】（1）根据“友好点”的定义设该坐标为，再代入，求解即可； （2）根据“友好二次函数”的定义，设顶点为，继而得出该函数的解析式为，再推出与轴交点为，再代入求解即可； （3）设“友好二次函数”的解析式为，且图像过点，确定“友好该二次函数”的解析式为， ①知：图像开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，在对称轴左侧，随的增大而减小，当时，函数有最小值，得，求解即可；当，即时，函数的最小值为，不符合题意；当，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大，则当时，函数有最小值，得，求解即可； ②如图所示，确定，，当点在点上方时，线段与抛物线有且只有一个交点；当点在点时，线段与抛物线有且只有一个交点， 【详解】（1）解：设直线上的“友好点”的坐标为， ∴， 解得：， ∴， ∴直线上的“友好点”坐标为， 故答案为：； （2）∵函数是“友好二次函数”，设它的顶点为， ∴， ∵“友好二次函数”的图像与轴的交点是“友好点”， ∴与轴交点为， 将代入中，得：， 解得：，， 当时，； 当时，， ∴这个“友好二次函数”的表达式为或； （3）设“友好二次函数”的解析式为，且图像过点， ∴， 解得，， ∵这个“友好二次函数”的图像顶点在第一象限， ∴， ∴， ∴， ①∵“友好二次函数”，，图像开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，在对称轴左侧，随的增大而减小， ∴当时，函数有最小值， ∴， 解得：，， ∵， ∴， 当，即时，函数的最小值为， ∴不存在最小值为； 当，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大， ∴当时，函数有最小值， ∴， 解得：，， ∵， ∴， 综上所述，的值为或； ②如图所示， ∵， ∴点在直线上运动， 设直线与“友好二次函数”交于点， 当时，， ∴， 设二次函数的顶点为， ∴， ∵， ∴当点的坐标为时，此时点、、共线且与二次函数的图像只有一个交点， 当点在点上方时，线段与抛物线有且只有一个交点； 当点在点时，线段与抛物线有且只有一个交点， ∴当线段与这个“友好二次函数”的图像有且只有一个公共点时，的取值范围为或． 【点睛】本题考查“友好点”的新定义，函数图像上点的坐标特征，待定系数法确定函数解析式，二次函数的图像与性质，二次函数与直线的交点等知识点．掌握新定义是解题的关键． 39．定义：若函数与同时满足下列两个条件： ①两个函数的自变量x，都满足； ②在的范围内，对于任意的，当：时，的函数值为M，都存在．当 时，的函数值也为M ． 我们就称是在上的“包容函数”． (1)当时，试判断一次函数是不是反比例函数的“包容函数”，并说明理由； (2)当时， 二次函数是一次函数的“包容函数”，试求实数k的取值范围； (3)是否存在m， n，使得当时，二次函数．是一次函数的“包容函数”，一次函数也是二次函数． 的“包容函数”，试求m，n的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数是反比例函数的“包容函数” (2) (3) 【分析】本题考查的是一次函数，反比例函数，二次函数的综合应用，熟练的利用数形结合的方法解题是关键； （1）先判断，，再结合图象可得答案； （2）如图， 求解，，抛物线的顶点，求解当过时，则，当过时，可得：，结合图象可得答案； （3）如图， 由一次函数求解，，结合当时，二次函数．是一次函数的“包容函数”，一次函数也是二次函数． 的“包容函数”，可得抛物线的顶点纵坐标是，过，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， ∴当时， ∴， 当时，， 当时，， 当时， ∴， 如图， ∴一次函数是反比例函数的“包容函数”． （2）解：如图，当时，， 当时，， ∴，， ∵， ∴顶点， 当过时，则， 如图，当过时， ∴， 解得：， ∴如图，当时，二次函数是一次函数的“包容函数”， ∴； （3）解：如图，当时，， 当时，， ∴，， ∵当时，二次函数．是一次函数的“包容函数”，一次函数也是二次函数 的“包容函数”， ∴抛物线的顶点纵坐标是，过， ∴， 解得：或， 经检验：不符合题意，舍去 ∴ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第26章 二次函数 重难点专题训练 思维导图 专题一、二次函数图象与各项系数符号 1．已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线对于下列结论：①；②；③（其中）；④若和均在该函数图象上，且，则其中正确结论的个数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤ (其中)，其中正确的结论有（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③为任意实数，则；④若且，则，其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 专题二、二次函数图象与几何结合 1．如图，点E，F，G，H是边长为2的正方形各边上的点，且设A，E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图象可能为（） A． B． C． D． 2．如图，正方形的边长为，动点P，Q同时从点A出发，以的速度分别沿和的路径向点C运动，设运动时间为，四边形的面积为，则y与x之间函数关系可以用图象表示为（ ） A．B．C．D． 3．如图，在等腰中，，，点为斜边的中点，点，分别从，两点同时出发，以的速度沿，方向运动，到达点，时停止运动．设两点的运动时间为，的面积为，则与的关系可用图象表示为（   ） A．B．C． D． 专题三、二次函数与三角形结合 1．综合与探究 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，是轴上的一个动点（不与点，，重合），过点作轴，分别交抛物线，直线于点，．设点的横坐标为． (1)求抛物线的函数解析式及点的坐标，并直接写出直线的函数解析式． (2)当点在线段上运动，且为的中点时，求的值． (3)连接，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线过，两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线轴，交x轴于点H． (1)求抛物线的表达式； (2)直接写出点C的坐标，并求出的面积； (3)点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当的面积为6时，求出点P的坐标； (4)若点M在直线上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时点M的坐标． 3．如图，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)点D的坐标为，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形面积的最大值； (3)在对称轴上是否存在点M，使为直角三角形，若存在，直接写出M点坐标，若不存在，说明理由． 专题四、二次函数与四边形结合 1．如图，已知抛物线过点，，． (1)求此抛物线对应的函数解析式，并且确定其顶点坐标； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标； (3)在抛物线上存在一动点，使得的面积为10，请求出点的坐标． (4)点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求三角形面积的最大值及此时点的坐标； (3)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标． 3．如图1，抛物线交轴于，两点，交轴于点，是第四象限内抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，，当四边形是正方形时，求点的坐标； (3)如图2，连接，，过点作交线段于点，连接，，，记与面积分别为，，设，求的最大值． 专题五、二次函数与周长 1．如图，已知抛物线的图象与x轴交于点和，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，在抛物线的对称轴上求作一点M，使的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值； (3)如图2，点P是x轴上动点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线和直线于点F、G．设点P的横坐标为m，是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 2．已知抛物线（n为常数）的顶点为P． (1)求证：当时，抛物线与x轴无交点； (2)若时，y有最小值7，时，y有最小值3，求t的值； (3)如图，抛物线与直线交于A，B两点，记的面积为S，的周长为l，当n取不同实数时，求的最大值． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，点的横坐标为． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)点是直线下方的抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴的平行线，与直线交于点，连接，设点的横坐标为； ①若点在轴上方，当为何值时，是等腰三角形； ②若点在轴下方，设的周长为，求关于的函数关系式，当为何值时，的周长最大，最大值是多少？ 专题六、二次函数的与面积 1．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，经过两点的抛物线与轴的另一交点为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是该抛物线上的动点，过点作轴于点，交于点，设点的横坐标为，连接，求△的面积与的函数表达式，并求出的最大值． 2．已知抛物线与x轴相交于，B两点，与y轴相交于点． (1)求b、c的值； (2)P为第一象限抛物线上一点，的面积与的面积相等，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，设E是直线上一点，点P关于的对称点为点，试探究，是否存在满足条件的点E，使得点恰好落在直线上，如果存在，直接写出点P′的坐标；如果不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点E是线段上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时E点的坐标． 专题七、二次函数与等角 1．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于和B两点，与y轴交于点C． (1)求C点的坐标； (2)连接，D为抛物线上一点，当时，求点D的坐标． 2．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)若是抛物线上一点，且，请求出点的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为，直线与抛物线相交于，两点． (1)求抛物线的解析式． (2)设点是直线上方抛物线上的一动点，当的面积取得最大值时，求出此时点的坐标． (3)抛物线上是否存在一点，使，若存在，请直接写出所有满足要求的点的坐标；若不能，请说明理由． 专题八、二次函数与倍角 1．已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（1），为抛物线上第一象限内一点，若，求点的坐标； (3)如图（2），为轴上方一动点，直线与抛物线均只有唯一公共点，于点，且的面积是10，求线段长度的最大值． 2．如图①，二次函数的图象经过点，并且与直线相交于坐标轴上的、两点，点在抛物线图像上且坐标为． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图①，连接，，设的面积为，求的值； (3)如图②，过点，作直线，求证：是直角三角形； (4)如图②，抛物线上是否存在点，使得？若存在，则求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 3．已知：如图1，抛物线与轴相交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线第三象限上的一点，若，求点的坐标； (3)如图2，点为抛物线在点左侧上的一点，点与点关于抛物线的对称轴对称，直线、分别交轴于点、，求的值． 专题九、二次函数与比值 1．如图，已知二次函数与x轴交于点、，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的动点，连接交于点D，连接． (1)①求抛物线的函数解析式； ②求证：． (2)当的比值最大时，求的面积； (3)是否存在这样的点P，使得，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 2．【知识回顾】我们知道：一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称，这个点叫对称中心． 【知识理解】求证：反比例函数（且为常数）的两支图像关于原点成中心对称． 【知识迁移】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：的图像与轴交于点、，与轴交于点，抛物线：的图像与抛物线：的图像关于原点成中心对称，且抛物线：的图像与轴交于点、，与轴交于点，连接、，点为线段上的一个动点，过点作直线轴，交线段于，交抛物线的图像于点，交于． ①求抛物线的函数表达式，并求出最大时点的坐标； ②当最大时，点在抛物线对称轴右侧的图像上，线段交直线于点，线段与线段交于点，若，则线段与的比值为________． 【知识创新】如图2，在两个同心圆上，连接大圆上的点和小圆上的点的线段叫做同心圆的“环弦”．点是小圆内一定点，用无刻度的直尺和圆规作“环弦”，使得点是“环弦”的中点．（保留作图痕迹，不写作法） 3．如图1，抛物线（）与轴的负半轴交于点，与轴的正半轴交于点，与轴交于点，顶点为．连接、、． 　　 (1)求抛物线的解析式； (2)点是轴右侧抛物线上一点，连接，若平分，求点的坐标； (3)数学实验课上，在（2）的基础上，小张同学利用网络画板进行如下操作：连接，把绕着点A进行逆时针旋转（注：与，与，与相对应），使得点的对应点落在轴上，此时与轴交于点．小张猜想：是的中点．请探究并判断小张猜想是否正确．如果正确，请直接写出点的坐标；如果不正确，请直接写出与的比值． 专题十、二次函数与定值 1．如图，抛物线与x轴交于点O和点A，将抛物线沿x轴向右平移3个单位长度，得到抛物线．    (1)抛物线表达式为；_______； (2)点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q．设点P的横坐标为p，点Q的横坐标为q． ①若，求的值； ②试判断是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 2．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，为抛物线上一动点．当点运动到第四象限时，连接，，直线交轴于点，过点作直线，交轴于点，求证：线段的长度为定值． 3．已知二次函数的图象经过点，与x轴的正半轴交于点B，点，是此二次函数的图象上的两个动点． (1)求直线的解析式； (2)如图，此二次函数的图象，点P在直线的上方，过点P作轴于点C，交于点D，连接，，．若，求证的值为定值． 专题十一、二次函数与相似 1．如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点．连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点为抛物线在第三象限的一个动点，轴于点．交于点，于点，求线段的最大值； (3)如图2，若为抛物线上一点，直线与线段交于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形与相似．若存在，请求出此时点的横坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，已知抛物线（、为常数，且）与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，点为该抛物线的顶点，点为该抛物线的对称轴与轴的交点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)将抛物线向下平移个单位，得到抛物线，若点为抛物线的顶点，请问在平移过程中，是否存在，使得与相似（包含全等）？若存在，请求出所有符合条件的的值；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点且与轴的正半轴交于点． (1)求的值及抛物线的解析式． (2)如图①，若点为直线上方抛物线上一动点，当时，求点的坐标； (3)如图②，若是线段的上一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点、，连接．设点的横坐标为． ①当为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少； ②是否存在以，，为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 专题十二、二次函数与三角函数 1．在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于、两点，交轴于，，． (1)如图，求抛物线的解析式； (2)如图，点为抛物线第一象限上一点，交轴于，设点的横坐标为，线段的长为，求与的函数关系式； (3)如图，连接，过点作，连接、，点为抛物线上一点，交于，于交于，若，，，求的正切值． 2．已知抛物线关于y轴对称，且过点和点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接抛物线上两点，N，若，求点N的坐标； (3)如图2，过点作与y轴不垂直的直线交抛物线于点A和点B，线段的垂直平分线交y轴于点M，交于P，试探究是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． 3．如图，已知抛物线经过点，过点的直线平行于轴，横坐标分别，的点、在抛物线上，且位于在直线异侧，连接，，，线段与直线相交于点． (1)求的值； (2)若，． 求的值； 试判断是否平分，并说明理由； (3)若平分，试判断的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由． 专题十三、二次函数与新定义 1．对于某一函数给出如下定义：在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数，作该函数自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“镜面函数”．例如：图1是函数的图象，则它关于直线的“镜面函数”的图象如图2所示，且它的“镜面函数”的表达式为：． (1)求函数的镜面函数；（结果写成顶点式） (2)若直线与函数的镜面函数有且只有三个交点，求的值； (3)当时，函数的镜面函数的最大值为3，直接写出的值； (4)函数的镜面函数与轴有不同的交点个数时，直接写出的取值范围． 2．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的倍，我们称这个点为“友好点”，例如就是“友好点”；若二次函数图象的顶点为“友好点”，则我们称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数就是“友好二次函数”． (1)直线上的“友好点”坐标为____________； (2)若“友好二次函数”的图像与轴的交点是“友好点”，求这个“友好二次函数”的表达式； (3)若“友好二次函数”的图像过点，且顶点在第一象限 ①当时，这个“友好二次函数”的最小值为，求的值； ②已知点，，当线段与这个“友好二次函数”的图像有且只有一个公共点时，直接写出的取值范围． 3．定义：若函数与同时满足下列两个条件： ①两个函数的自变量x，都满足； ②在的范围内，对于任意的，当：时，的函数值为M，都存在．当 时，的函数值也为M ． 我们就称是在上的“包容函数”． (1)当时，试判断一次函数是不是反比例函数的“包容函数”，并说明理由； (2)当时， 二次函数是一次函数的“包容函数”，试求实数k的取值范围； (3)是否存在m， n，使得当时，二次函数．是一次函数的“包容函数”，一次函数也是二次函数． 的“包容函数”，试求m，n的值，若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！21 学科网（北京）股份有限公司 $$