第26章 二次函数 单元测试-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（华东师大版）

第26章 二次函数 单元测试 总分：150分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第26章（二次函数）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列函数中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义．我们把形如的函数叫做二次函数，解决本题的关键是根据二次函数的定义进行判断． 【详解】解：A选项：是正比例函数，故A选项不符合题意； B选项：是一次函数，故B选项不符合题意； C选项：是二次函数，故C选项符合题意； D选项：是反比例函数，故D选项不符合题意； 故选：C． 2．抛物线的对称轴是（　　） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数的性质，顶点坐标是，对称轴是． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线． 故选A． 3．把抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的平移，根据“上加，下减；左加，右减”确定答案即可． 【详解】将抛物线向右平移1个单位得， 再向下平移2个单位得． 故选：D． 4．点均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，先根据解析式得到开口方向和对称轴，进而得到离对称轴越远函数值越大，再求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵点均在二次函数的图象上，且， ∴， 故选：D． 5．二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质和一次函数的性质，根据二次函数的性质得对称轴为直线，可判断C；再由二次函数的性质和一次函数的性质对、的符号进行逐项判断，即可求解；掌握二次函数的性质和一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得： 对称轴为直线，当时，则有，即抛物线与y轴的交点坐标为， 故C错误，不符合题意； A．由抛物线的图象得，顶点坐标为，且，所以一次函数交y轴于正半轴，且经过第一、二、四象限，故此项符合题意； B．由抛物线的图象得，由一次函数图象得，符号不一致，故此项错误，不符合题意； D．由一次函数图象得，，则由抛物线的顶点坐标可知，所以前后矛盾，故此选项不符合题意； 故选：A． 6．已知抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．当时，y随x的增大而增大 D．抛物线与y轴交点的坐标是 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线的性质，找到函数的开口方向、对称轴、与轴交点坐标及增减性后即可得到答案． 【详解】解：中， ∵， ∴抛物线开口向上，故选项A说法错误，不符合题意； ∴抛物线的对称轴为直线，故选项B说法错误，不符合题意； ∴当时，y随x的增大而增大，故选项C说法正确，符合题意； 当时，， ∴抛物线与y轴交点的坐标是，故选项D说法错误，不符合题意； 故选：C． 7．某畅销书的售价为每本20元，每星期可卖出300本，书城准备开展“读书节活动”，决定降价促销．经调研，如果调整书籍的售价，每降价1元，每星期可多卖出20本．设每本降价元后，每星期售出此畅销书的总销售额为元，则与之间的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．根据“每降价1元，每星期可多卖出20本”列方程即可． 【详解】解：设每本降价元后，每星期售出此畅销书的总销售额为元， 由题意得：， 故选：B． 8．抛物线的对称轴为直线．若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，借助数形结合解题是关键．根据给出的对称轴求出函数解析式为，将一元二次方程的实数根可以看做与函数的有交点，再由的范围确定的取值范围即可求解； 【详解】解：∵的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴一元二次方程的实数根可以看做与函数的有交点， ∵方程在的范围内有实数根， 当时，， 当时，， 函数在时有最小值2， 当关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有两个实数根时， ∴， 故选：D． 9．二次函数，当且时，y的最小值为，最大值为，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的最值，结合二次函数图象的开口方向、对称轴以及增减性进行解答即可． 【详解】二次函数 的大致图象如下： ①当时, 当时，取最小值，即， 解得：（正数舍去）， 当时，取最大值，即， 解得：或(均不合题意，舍去)； ②当时, 当时，取最小值，即， 解得：（正数舍去）， 当时，取最大值，即, 解得： 或时，取最小值， 时取最大值， ， ， ， ∴此种情形不合题意， 所以， 故选：D． 10．如图所示，抛物线的对称轴是直线，x轴交点为．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④若抛物线的顶点坐标为，则关于x的方程有两个相等实数根．其中正确结论的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，①由图象开口方向，对称轴位置，与y轴交点位置判断a，b，c符号；②把分别代入函数解析式，结合图象可得的结果符号为负；③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点y值越大；④由抛物线顶点纵坐标为m可得与直线的唯一交点，从而进行判断有两个相等实数根． 【详解】解：①∵抛物线的图象开口向上， ∴， 又抛物线的对称轴在直线y轴左侧， ∴a，b同号，， 又抛物线与y轴交点在x轴下方， ∴， ∴，故①正确； ②， 当时，，由图象可得， 由图象知，当时，， 由图象可得，， ∴，即，故②正确； ③，, ∵， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴，故③错误； ④∵抛物线的顶点坐标为， ∴与直线的唯一交点， ∴有两个相等实数根，故④正确， 综上，①②④正确， 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11．若是关于的二次函数，则m的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数定义，利用二次函数定义可得，且，解方程即可． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴，且， 解得：． 故答案为：． 12．把二次函数变形为的形式，则k的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查将二次函数的一般式转化为顶点式．熟练掌握配方法，将一般式转化为顶点式，是解题的关键；将转化为顶点式，即可得解． 【详解】解：， ∴，， 故答案为：3． 13．若抛物线的顶点在x轴上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线的顶点位置求参数的问题，解题的关键是掌握二次函数的顶点坐标公式． 先表示出抛物线的顶点坐标为，再根据抛物线的顶点在轴上得到，求出b的值即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得： 抛物线， ∴顶点坐标为：， 抛物线的顶点在x轴上，， 解得：， 故答案为：． 14．如果点和点是抛物线上的两点，那么 ．（填“>”、“=”或“<”） 【答案】 【分析】本题考查了抛物线的增减性，根据抛物线开口向下，得到距离对称的距离越大，函数值越下，计算判断即可． 【详解】解：∵二次函数，则 ∴抛物线开口向下，且距离对称轴越远的点的函数值越小，对称轴为直线， ∵， ∴， 故答案为：． 15．飞机着陆后滑行的距离与滑行的时间之间的关系式为，则飞机滑行 停下． 【答案】20 【分析】本题考查了二次函数的顶点式的运用，掌握二次函数的顶点式的实际意义是解题的关键． 把二次函数一般式化为顶点式即可求解． 【详解】解：， ∴当时间为时，滑行了， ∴飞机滑行了停下， 故答案为： ． 16．已知抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据函数图象中的数据，可以得到函数的对称轴和与轴的一个交点，从而可以得到另一个交点坐标，然后根据函数图象即可得到当，的取值范围． 【详解】解：由函数图象可知，该函数的对称轴是直线，与x轴的一个交点坐标为，则该函数与x轴的另外一个交点为， 故当时，x轴的取值范围为， 故答案为：． 17．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标为 ．      【答案】 【分析】在y轴上取点，证明四边形是平行四边形，得出，利用抛物线的对称性得出，则，当E、C、F三点共线时，最小，利用待定系数法求出直线解析式，然后把代入，即可求出C的坐标． 【详解】解：， ∴对称轴为， 如图，设抛物线与x轴另一个交点为F，    当时，， ∴， 当时，， 解得，， ∴，， 在y轴上取点，连接，，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵抛物线对称轴为， ∴， ∴， 当E、C、F三点共线时，最小， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴， 当时，， ∴当最小时，C的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，两点之间线段最短等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造平行四边形是解题的关键． 18．如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点，连接、，与轴交于点.过点作轴的平行线交轴于点，交直线于点，若，求的值为 . 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法，等腰三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，解方程，熟练掌握待定系数法，三角形相似的判定和性质是解题的关键 先求抛物线的解析式，再利用等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，列出比例式，转化为方程解答即可 【详解】解：∵抛物线与轴交于点、，与轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是等腰三角形， ∴； 设， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19．已知二次函数经过点与． (1)求b，c的值． (2)求该二次函数图象的顶点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将两点坐标代入二次函数解析式得到关于b与c的方程组，求出方程组的解即可得到b与c的值； （2）二次函数解析式化为顶点形式，即可求出顶点坐标． 【详解】（1）解：将代入二次函数解析式得：， 解得：； （2）二次函数解析式为， 则顶点坐标为． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 20．如图，，两点都在一次函数与二次函数的图象上． (1)求和、的值； (2)请直接写出当时，自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把点的坐标分别代入解析式，解方程或方程组解答即可； （2）利用数形结合思想，根据交点坐标的横坐标，结合，写自变量的取值范围． 本题考查了待定系数法，数形结合思想，求自变量的范围，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入中，得， 解得； 把，代入中，得， 解得； 故． （2）解：根据图象，得时，自变量的范围是． 21．某商品售价为每件60元，每周可卖出300件，为提高利润，商家决定涨价销售，经过一段时间发现，每涨价5元，每周少卖50件，已知商品的进价为每件40元，当售价定为多少时利润最大？求最大利润． 【答案】售价定为65元时利润最大，最大利润为6250元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，最值问题一般的解决方法是转化为函数问题，根据函数的性质求解．设每件涨价元，每周可获利元，所售件数是件，每件的利润是元，根据利润每件的利润所售的件数，即可列出函数解析式，再根据函数的性质即可求得如何定价才能使利润最大． 【详解】解：根据题意得：， ， 当时，有最大值，最大值为：6250， 此时售价为：元， 答：当售价定为65元时利润最大，最大利润为6250元． 22．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，． (1)求二次函数的解析式； (2)若是二次函数图象上的一点，且点在第一象限，线段交轴于点，，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，二次函数与几何图形的问题， 对于（1），根据待定系数法求出关系式即可； 对于（2），先求出点C的坐标，可知，再根据面积相等得出点P的纵坐标，然后解方程得出答案． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点，， ∴   ， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：设（，）， 在中， 当时，，    ∴， ∵    ∴    ∴， ∵点在二次函数图象上，   ∴， 解得，（舍去）， ∴点的坐标为． 23．如图，中，，，，动点P从点C开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点A开始沿边向点C以的速度移动．如果P、Q两点分别从C、A两点同时出发，移动时间为t（单位：）． (1)求的面积S关于t的函数解析式； (2)若的面积是面积的，求t的值； (3)的面积能否为面积的一半？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式． （1），，，根据的面积公式得出答案； （2），，，根据的面积是面积的，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （3）的面积不能为面积的一半，根据的面积是面积的，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，进而可得出的面积不可能是面积的一半． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，，， ∴， ∵动点P从点C开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点A开始沿边向点C以的速度移动， ∴， ∴； （2）解：根据题意得：， 即， 整理得：， 解得：． 答：的值为2； （3）解：的面积不可能是面积的一半，理由如下： 根据题意得：， 即， 整理得：， ， 该方程没有实数根， ∴的面积不可能是面积的一半． 24．如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，为抛物线上的一个动点，且点的横坐标为． (1)直接写出抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)若，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值； (3)在第一象限的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，顶点D坐标为 (2)m＝或 (3)存在， 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先求出，然后表示出P的坐标为，然后分三种情况：①当点P在x轴上方时；②当点P在x轴下方时；③当点P在x轴上时，然后根据题意分别列方程求解即可； （3）如图所示，在x轴的正半轴上取点，连接，过点B作交抛物线于点P，根据题意得到，然后求出直线的解析式为，直线的解析式为，然后和抛物线联立求解即可． 【详解】（1）将点代入抛物线中 得 解得： ∴抛物线解析式为 ∴顶点D坐标为； （2）令 解得， ∴ ∵P的横坐标为且 ∴ ∴将代入 ∴点P一定在对称轴右侧，且P的坐标为； ①如右图所示，当点P在x轴上方时， 则，即 此时：， 解得：，符合题意； ②如右图所示，当点P在x轴下方时， 则，即 此时： 解得：，（舍去） ③当点P在x轴上时， 则，即 此时：（或），解得：（舍去） 综上所述，或； （3）存在点P，使，点P的坐标为 理由如下： 如图所示，在x轴的正半轴上取点，连接，过点B作交抛物线于点P ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ 设直线的解析式为，过， ∴直线的解析式为 ∵ ∴设直线的解析式为 将代入得 解得： ∴直线的解析式为 由 解得：，（舍去） ∴． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数与角度综合等知识．熟练掌握二次函数解析式，一次函数解析式是解题的关键． 25．定义：函数图象上到两坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点． 【定义解析】 （1）在①，②，③，④四点中，是函数的完美点的有______（填序号）； （2）点为反比例函数第二象限图象上的完美点，求的值； 【定义应用】 （3）若二次函数的图象上有且只有一个完美点，求和的值； 【定义拓展】 （4）若二次函数的图象上存在到两坐标轴的距离相等且小于等于的完美点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）②④ （2） （3） （4） 【分析】（1）把点代入一次函数解析式，分别求出到坐标轴的距离，再根据完美点的定义进行判定即可求解； （2）根据反比例函数图象在第二象限可得，结合完美点的计算可得横纵坐标互为相反数，由此可得，得到，求出完美点的坐标，运用待定系数法即可求解； （3）根据完美点可得二次函数与有且只有一个交点，得到，把完美点代入二次函数解析式得，由此联立方程组求解即可； （4）根据题意，分类讨论：第一种情况，设这个完美点的坐标为；第二种情况，设这个完美点的坐标为；根据完美点的计算，代入，运用根与系数的关系即可求解． 【详解】解：（1）∵函数图象上到两坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点， ∴①点到轴的距离为， 当时，，即到轴的距离为， ∴此点在函数图象上，且， ∴不是完美点； ②点到轴的距离为， 当时，，即到轴的距离为， ∴此点在函数图象上，且， ∴是完美点； ③点到轴的距离为， 当时，，即到轴的距离为， ∴此点不在函数图象上，且， ∴不是完美点； ④点到轴的距离为， 当时，，即到轴的距离为， ∴， ∴是完美点； ∴四点中是完美点的有②④， 故答案为：②④； （2）反比例函数的图象在第二象限， ∴， ∵点为第二象限的完美点， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴； （3）∵二次函数的图象上有且只有一个完美点，且完美点是到两坐标轴的距离相等， ∴二次函数与直线有且只有一个交点， ∴，整理得，， ∴，即， 把点代入二次函数得，，即， ∴联立方程组得，， 解得，； （4）∵二次函数的图象上存在到两坐标轴的距离相等且小于等于的完美点， ∴横、纵坐标相等或互为相反数， ∴完美点在直线或直线的图象上， ∴第一种情况，设这个完美点的坐标为， ∴，整理得，， ∵有完美点， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∵， ∴当时，，把代入得， 解得，； 当时，，把代入得， 解得，（不符合题意，舍去），； 综上所述，； 第二种情况，设这个完美点的坐标为， ∴，整理得，， ∵有完美点， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∵， ∴当时，，把代入得， 解得，； 当时，，把代入得， 解得，，（不符合题意，舍去）； 综上所述，； ∵存在到两坐标轴的距离相等且小于等于的完美点， ∴． 【点睛】本题主要考查定义新运算，一次函数图象的性质，反比例函数图象的性质，二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系，二元一次方程组的计算，理解题目中完美点的含义及计算，掌握一次函数，二次函数图象的性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第26章 二次函数 单元测试 总分：150分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第26章（二次函数）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列函数中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．抛物线的对称轴是（　　） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 3．把抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 4．点均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 5．二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（   ） A．B．C． D． 6．已知抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．当时，y随x的增大而增大 D．抛物线与y轴交点的坐标是 7．某畅销书的售价为每本20元，每星期可卖出300本，书城准备开展“读书节活动”，决定降价促销．经调研，如果调整书籍的售价，每降价1元，每星期可多卖出20本．设每本降价元后，每星期售出此畅销书的总销售额为元，则与之间的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 8．抛物线的对称轴为直线．若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．二次函数，当且时，y的最小值为，最大值为，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 10．如图所示，抛物线的对称轴是直线，x轴交点为．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④若抛物线的顶点坐标为，则关于x的方程有两个相等实数根．其中正确结论的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11．若是关于的二次函数，则m的值为 ． 12．把二次函数变形为的形式，则k的值为 ． 13．若抛物线的顶点在x轴上，则 ． 14．如果点和点是抛物线上的两点，那么 ．（填“>”、“=”或“<”） 15．飞机着陆后滑行的距离与滑行的时间之间的关系式为，则飞机滑行 停下． 16．已知抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是 ． 17．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标为 ． 18．如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点，连接、，与轴交于点.过点作轴的平行线交轴于点，交直线于点，若，求的值为 . 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19．已知二次函数经过点与． (1)求b，c的值． (2)求该二次函数图象的顶点坐标． 20．如图，，两点都在一次函数与二次函数的图象上． (1)求和、的值； (2)请直接写出当时，自变量的取值范围． 21．某商品售价为每件60元，每周可卖出300件，为提高利润，商家决定涨价销售，经过一段时间发现，每涨价5元，每周少卖50件，已知商品的进价为每件40元，当售价定为多少时利润最大？求最大利润． 22．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，． (1)求二次函数的解析式； (2)若是二次函数图象上的一点，且点在第一象限，线段交轴于点，，求点的坐标． 23．如图，中，，，，动点P从点C开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点A开始沿边向点C以的速度移动．如果P、Q两点分别从C、A两点同时出发，移动时间为t（单位：）． (1)求的面积S关于t的函数解析式； (2)若的面积是面积的，求t的值； (3)的面积能否为面积的一半？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由． 24．如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，为抛物线上的一个动点，且点的横坐标为． (1)直接写出抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)若，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值； (3)在第一象限的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 25．定义：函数图象上到两坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点． 【定义解析】 （1）在①，②，③，④四点中，是函数的完美点的有______（填序号）； （2）点为反比例函数第二象限图象上的完美点，求的值； 【定义应用】 （3）若二次函数的图象上有且只有一个完美点，求和的值； 【定义拓展】 （4）若二次函数的图象上存在到两坐标轴的距离相等且小于等于的完美点，请直接写出的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$