第27章 圆 重难点专题训练（13种题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（华东师大版）

第27章 圆 重难点专题训练 思维导图 专题一、圆中的不规则面积 1．如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若，，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、，根据切线的判定可证是的切线，再根据切线长定理可得，，由切线的性质可得，再由平行线的性质与等腰三角形的判定可得，可得，再利用勾股定理求得，然后根据阴影部分的面积计算即可求解． 【详解】解：连接、， ∵，是的半径， ∴是的切线， ∵是的切线， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴阴影部分的面积 ． 故选：C． 【点睛】本题考查切线的判定与性质、切线长定理、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质和切线长定理是解题的关键． 2．如图，是的直径，弦，垂足为E，， ，则图中阴影部分的面积是（    ）    A． B． C． D．π 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂径定理、扇形面积公式等知识点，解题的关键是将求非规则图形的面积转化为求规则图形的面积．根据是的直径，弦，由垂径定理得，再根据三角函数的定义即可得出，可证明，即可得出． 【详解】∵是的直径，弦， ∴． ∵， ∴，， ∴．      又∵ ∴， 在中，， ∴． 故选A． 3．如图，矩形中，，，现将矩形绕点顺时针旋转后得到矩形，则边扫过的面积（阴影部分）为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式、旋转的性质、勾股定理等知识点，能够把不规则图形的面积转换为规则图形的面积成为解题的关键． 连接，则阴影部分的面积为扇形的面积减去扇形的面积，据此计算即可． 【详解】解：连接， 根据勾股定理得：， ∴, ∴． 故选：C． 专题二、圆中的最值 1．已知菱形的边长是，，于点，，点、分别是和上的动点，以、为边作平行四边形，连结，则的最小值是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆外一点到圆上的距离的最值问题，解直角三角形，平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，根据题意画出图形，根据，得出在上最短，进而得出时最短，此时重合，证明得出，则，即可求解． 【详解】解：如图所示，在上取点使得， ∵菱形的边长是，，于点，， ∴ ∴， ∴点在为圆心为半径的圆上运动， ∵， 当在上最短， 如图所示，当时最短，此时重合， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴， 故选：B． 2．如图，在中，，，，以为圆心，为半径作，为上一动点，连接、，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形；懂得依题意作辅助线构造相似三角形是解题的关键．在上截取，使得，连接，，．利用相似三角形的性质证明，可得，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，在上截取，使得，连接，，． ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ， 在中，，，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 3．如图，是边长为1的正方形内的一个动点，且满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆周角定理，在凹四边形中，求出，得点在运动过程中，使得，即点在正方形内，以为圆心，长为半径的圆弧上，如解图，连接，，当、、三点共线时，取得最小值，最小值为，求出和的长度，即可得到结果，解本题的关键是证明是定值，从而得到点的轨迹． 【详解】解：四边形是正方形， ， 在凹四边形中，，，， 始终为， 得点在运动过程中，使得，即点在正方形内，以为圆心，长为半径的圆弧上，如解图，连接，， ， 由解图可得，当、、三点共线时，取得最小值，最小值为， 在中，， ， ， ， 故选：D． 专题三、圆与三角形结合 1．【教材呈现】 现行人教版九年级下册数学教材63页“拓广探索”第14题： 14．如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作和边上的高．） 【得出结论】 （1）【基础应用】 如图1，在中，，，，利用以上结论求的长． （2）【推广证明】 进一步研究发现，不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且还满足（为外接圆的半径）． 请利用图2证明：． （3）【拓展应用】 如图3，内接于，，弦交于点，交于点，，点、分别在弦、上，且，且，若，，求的半径的长． 【答案】（1）（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据已知结论，根据特殊角的三角函数值，代入数据，即可求解． （2）过点作于点，连接，，得出，，根据正弦的定义，即可求解； （3）在上取一点，使得，先证明，进而证明，取的中点，导角得出，进而可得，根据已知可得，作直接，连接，进而得出，根据（2）的结论，即可求解． 【详解】解：（1）∵在中，，， ∴ ∵ ∴ ∴ （2）如图所示，过点作于点，连接，， ∴， ∴ ∵ 即 ∴ （3）如图所示，在上取一点，使得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴, 又∵ ∴， ∴， 取的中点，则， 设 ∵， ∴ ∵ ∴ 由∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 作直径，连接， ∵ ∴ ∴ ∵，则 ∴ ∴ 由（2）可得, ∴ 【点睛】本题考查了解直角三角形，垂径定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．“谁言寸草心，报得三春晖”表达的是儿女的孝心像小草一样，无法报答得了母亲如同春晖一般的恩情．在数学中，三角形也有“心”，现在已经发现的三角形的心已经超过4万多个，其中有4个心对它们熟悉的人比较多，这4个心分别是垂心、重心、外心和内心．在苏科版的初中数学教材中对三角形的“内心”给出的定义是“三角形内切圆的圆心叫作三角形的内心”，其实三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点，而“重心”就是三角形三条中线的交点，如图1中，三条中线AD、BE、CF的交点G就是的重心，且．请你解决以下问题： (1)三角形的重心在三角形的__________部；三角形的内心在三角形的__________部；（选填“内”或“外”） (2)在图1中，若的面积为6，则的面积为__________； (3)如图2，是的内心，，AI的延长线分别与BC和的外接圆交于D、E两点，若，求IE的长． 【答案】(1)内，内 (2)1 (3) 【分析】本题考查了重心、内心的定义，底高成比例的三角形的三角形面积也成相同比例，等边三角形的性质，同弧所对圆心角相等，勾股定理． （1）运用三角形重心、内心的定义回答； （2）底高成比例的三角形的三角形面积也成相同比例； （3）根据等边三角形的性质，同弧所对圆心角相等及勾股定理解答． 【详解】（1）解：∵三角形的重心是三角形的三条中线的交点， ∴三角形的重心在三角形的内部， ∵三角形的内心是三角形的内切圆圆心， ∴三角形的内心在三角形的内部， 故答案为：内，内． （2）解：∵的面积为6，是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1． （3）解：连接，做于 ， ∴． 是等边三角形 于，， 故答案为： 3．阅读与思考 下面是数学研究性学习汇报中小彬同学的展示内容，请仔细阅读并完成相应的任务. 三角形的垂心三角形是几何学中的基本图形之一，具有许多独特的性质.我们在研究三角形的过程中，认识了三角形的重心、外心和内心，并研究了它们的性质.通过课外阅读，我了解到三角形还有一心——垂心，其定义是：三角形的三条高线所在直线相交于一点，该点叫做三角形的垂心.三角形的垂心有什么性质呢？ 【特例研究】如图1，已知是等边三角形，高线，相交于点O，则点O既是的垂心，又是它的外心，易得．通过特例，我想到三角形的重心与外心之间有一定的联系，于是我对一般三角形进行了探究． 【一般研究】如图2，已知锐角中，高线，相交于点H，作的外接圆，则点H，O分别是的垂心与外心.受特例启发，过外心O作于点M，我发现，证明如下： 连接并延长交于点N，连接，． 为的直径，． ， ， ， ， ．（依据） ， ． 【结论应用】如图3，中，，点O是它的外心，点H是它的垂心，且于点M．若，，可以利用上面的结论求得线段的长． 任务： (1)上述展示内容中的“依据”是指基本事实：__________； (2)请将上述展示内容中的证明过程补充完整； (3)“结论应用”中，线段的长为__________． 【答案】(1)平行线分线段成比例定理 (2)见解析 (3)10 【分析】（1）根据题意可直接进行作答； （2）在已有的证明基础上，再利用三角形中位线定理得出，然后证明四边形是平行四边形，得出，即可得证； （3）延长交于D，延长交于E，连接，利用（2）中结论可得，设，证明，求出，，利用勾股定理求出 ，在中，利用勾股定理建立关于x的方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：“依据”是指基本事实是平行线分线段成比例定理； 故答案为：平行线分线段成比例定理； （2）证明：连接并延长交于点N，连接，． ∵为的直径，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．（依据） ∵， ∴． ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （3）解：如图，延长交于D，延长交于E，连接， ∵点O是外心，点H是垂心， ∴，，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 整理得， 解得（负值舍去）， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形外接圆，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 专题四、圆与四边形结合 1．已知四边形内接于，且于点． (1)如图1，过圆心作于点． ①若半径为5，，求的长； ②试判断与的数量关系，并写出证明过程． (2)如图2，记，，，的面积分别为，，，，当时，求证：． 【答案】(1)①3； ②，证明见详解 (2)见详解 【分析】（1）①连接，则，由垂径定理得，由勾股定理即可求得的长； ②延长，与交于点，连接．由三角形中位线定理得；设，则；由可得，从而得； （2）通过面积关系，利用根式及完全平方公式运算，得到，再用两平行线间距离相等，得到，进而． 【详解】（1）解：①连接，则， ∵于点， ∴， ∴． ②． 证明：延长，与交于点，连接． ∵为直径， ∴． 在中， ∵O，H分别为，的中点， ∴，即， 设，则． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：由两边同时平方化简得： ∵（等高，面积之比等于底之比） ∴ ∴，即， ∴，，即 因为和共底，则它们的高相等，由平行线之间的距离处处相等 ， ∴， ∴， ， ∴． 【点睛】本题是圆的综合，考查了圆周角定理，直径对的圆周角是直角，垂径定理，弧、弦、圆心角及圆周角的关系，三角形中位线定理，勾股定理，完全平方公式等知识，涉及较多的知识点，熟练掌握并灵活运用是解题的关键． 2．小明同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． (1)【学习心得】如图1，在中，，，求的度数，若以点A为圆心，为半径作辅助圆，则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，可得 ； (2)【问题解决】如图2，在四边形中，．求证：； (3)【问题拓展】在平面直角坐标系中，A为y轴上一点．若点，．当最大时，求点A的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)点A的坐标为或 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识． （1）如图：若以点A为圆心，为半径作辅助圆，则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，即可求解； （2）以为半径的圆上，构建如图所示的图形，延长交圆于点P，连接，则，即可求解； （3）当最大时，线段的中点坐标为，圆心在的垂直平分线上，即可求解． 【详解】（1）解：如图，若以点A为圆心，为半径作辅助圆， 则点C、D必在上，是的圆心角， 而是圆周角，可得， 故答案为：； （2）证明：如图，以点A为圆心，为半径作辅助圆，延长交圆于点P，连接， ， 点B、C、D是在以A圆心， 则， ∵为直径， ∴， ∴， ； （3）解：如图，当最大时， 过B、C两点的与y轴相切，切点为点A， 过点作，垂足为点H， 线段的中点坐标为，圆心在的垂直平分线上， 点横坐标为4， ∵，，， ∴， ∴点A的坐标为或． 3．【问题提出】 （1）如图1，四边形内接于，，，连接，则的度数为______． 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，，连接，将绕点顺时针旋转到的位置，若，求四边形的面积； 【问题解决】 （3）如图3，若是一个半径为的圆形荷花池，和是荷花池上的两座长度相等的小桥，且，现要在荷花池上再修建三座小桥、和，为使游客更好地欣赏荷花，要求这三座小桥的总长度最大，请你求出此时这三座小桥的总长度（即的最大值）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据，得出，进而根据已知可得即可求解； （2）根据旋转的性质可得，则，进而根据四边形的面积为，即可求解； （3）过点分别作的垂线，垂足分别为，则，证明，得出，设，则，，当取得最大值时，取得最大值，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． （2）解：∵将绕点顺时针旋转到的位置， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为； （3）解：如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，则， ∵四边形是的内接圆，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴； 设，则， ∴, ∵，， ∴； 又∵，， ∴， ∴， ∴； ∴当取得最大值时，取得最大值， ∴当为直径时，的值最大，此时， ∴此时这三座小桥的总长度（即的最大值）为． 【点睛】此题属于圆的综合题，涉及了等腰三角形、圆内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等、全等三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 专题五、动圆相切求t 1．如图，形如三角板的中，厘米，形如量角器的半圆的直径在直线上，且厘米，点在三角形的左侧，厘米．若半圆沿方向以每秒2厘米的速度向右运动，设运动时间为t秒． (1)当______时，半圆与直线相切； (2)当时，试判断直线与半圆的位置关系并说明理由； (3)当时，求半圆与三角形重合部分的面积． 【答案】(1)或 (2)相切，见解析 (3) 【分析】（1）考虑点刚到点时和点刚到点时，两种情况，即可解答； （2）当时，点与点重合，利用含有角的直角三角形的边长关系，求得点到直线的距离即可解答； （3）画出图形，利用扇形面积加上等腰三角形的面积，即可解答； 【详解】（1）解：如图，当点刚到点时，， 如图，当点刚到点时，， 故答案为：或； （2）相切，理由如下： 解：当时，点与点重合， 如图，过点作的垂线段，交于点， ， ， ，， 当时，直线与半圆相切； （3）解：当时，点运动到的中点，点和点重合， 如图，过点作的垂线段，交于点，连接， ， ，， 扇形的面积为， 根据勾股定理，可得， ， ， 半圆与三角形重合部分的面积为． 【点睛】本题考查了相切的性质，扇形的面积公式，含有角的直角三角形三边关系，勾股定理，理解题意，能够正确的画出图形，分类讨论是解题的关键． 2．在平面直角坐标系中，已知，点C在第一象限内，点D与点A关于y轴对称，且四边形是平行四边形． (1)点C的坐标是 ，点D的坐标是 ； (2)在图1中，用尺规作图确定C点位置（不写做法，保留作图痕迹） (3)如图2，现有半径为1的，若其圆心P从点A出发，沿着以每秒4个单位长的速度匀速移动，同时的半径以每秒0.5个单位长度的速度增加，运动到点C时运动停止，当运动时间为t秒时： ①t为何值，与y轴相切？ ②在整个运动过程中，与y轴有公共点的时间共有 秒． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)①当t取或或2或时，与y轴相切；② 【分析】（1）根据轴对称得到点坐标，根据平行四边形的性质得到点坐标，即可解答； （2）以点A为圆心，为半径画弧，与x轴交点即为点D；以点D为圆心，为半径画弧，以点B为圆心，为半径画弧，两弧的交点即为点C． （3）①分点P在上四种情况讨论，然后在直角三角形中运用特殊角的三角函数值建立方程，解决问题即可； ②求出三个临界位置（点P分别在上，且与y轴相切）对应的t的值，求解即可． 【详解】（1）解：∵，点D与点A关于y轴对称， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∵四边形为平行四边形， ∴轴，且， ∴； 故答案为：， （2）由（1）可知：四边形为菱形，如图所示：点即为所求； （3）①当点P在上时，如图所示： 设时间为t，则，此时与y轴相切， 则， ∵， ∴， ∴ ； 当点P在上时，如图所示： 设时间为t，则，此时与y轴相切， ， ∴， ∴ ， 当点P在上时，作，如图所示： 设时间为，则，此时与y轴相切， 由， ∵ ，， ∴， ∵ ， ∴ ∴； 当点P在上时，如图所示： 设时间为t，则，此时与y轴相切， ∴ ∴； ∴当t取或或2或时，与y轴相切； ②当圆P在上与y轴相切至圆P在上与y轴相切时，圆与y轴有交点，则时间为： ， 当圆P在上与y轴相切至圆P在上与y轴相切时，圆与y轴有交点，则时间为：，所以总时间为． 【点睛】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，切线的性质，解直角三角形等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 3．在中，，，，点从点出发，以的速度在边上向终点运动，过点作交边于点，设运动时间为，作以为直径的． (1)如图1，若交边于点和在上方，若四边形是平行四边形，求证：点是弧的中点． (2)若恰与相切，求的值； (3)如图2，过点作交边于点，连交于点，若是等腰三角形，求的值． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)或 【分析】（1）由及，可证得，进而命题得证； （2）作于交于，连接，求得和，根据列出方程求得； （3）分为，及三种情形，可转化为，及，从而列出方程求得． 【详解】（1）证明：如图1， 四边形是平行四边形， ，， 是的直径， ， ， ， 即点是的中点 （2）解：如图2， 作于交于，连接， ， 可得矩形， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； （3） 由（2）得，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ①当时， ， ， ， ， ②当时， ， ， ， ， 这种情况不存在， ③当时， ， 是的中点， ， ， ， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了垂径定理等圆的有关性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和分类等知识，解决问题的关键是转化条件，利用方程求解． 专题六、圆中的比值 1．如图1，在矩形中，点E是边上一点，连接交于点O． (1)设．若点E是边的中点，且．求的值； (2)如图2，连接并延长交的延长线于点F，连接并延长交于点N，交于点M． ①当点E是边的中点时，___________，___________（填比值），从而得出猜想：点M是的中点（无需证明）； ②当点E是边上任意一点时，求证：点M是的中点； (3)如图3，矩形的顶点都在圆上，仅用无刻度直尺作出图3中垂直于的一条直径（不用写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1) (2)①，，②见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用矩形的性质和相似三角形的判定与性质得到，利用直角三角形的相似的判定定理与性质得到，代入a，b值并化简即可得出结论； （2）①利用线段的中点的定义，相似三角形的判定与性质解答即可得出结论； ②利用①中的方法类比解答即可； （3）利用矩形的对角线即可得到该圆的圆心，再利用（2）中的方法找到的中点M，过O，M画直线即可得出结论． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）①解：∵点E是边的中点， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 同理可证：， ∴． ∴， ∴点M是的中点； ②证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴点M是的中点； （3）解：①．连接，与交于点O．则点O为圆心， ②．在边上任意取一点E，连接并延长交的延长线于点F，连接交于点G，连接并延长交于点N，交于点M， ③．过点O，M作直线，交圆于点Q，H，则线段为垂直于的一条直径．如图， 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，矩形的性质，线段的中点的定义，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，基本作图，熟练掌握相似三角形的判定与性质，准确理解题干中的结论并熟练运用是解题的关键． 2．如图，是的直径，弦于点E，点P在的延长线上，连接、，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，当动点M在的圆周上运动时（不与A、B重合），的比值是否发生变化？若不变，求出这个比值；若变化，说明其变化的规律． 【答案】(1)详见解析 (2)不变， 【分析】（1）根据垂径定理得，然后证明，进而可得是的切线； （2）分别利用当点与点重合时：，当点与点重合时：当点不与点、重合时，得出，分别得出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的直径，弦， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：的比值不发生变化， 理由：如图，，，   ，， ， ∴ ∴ 同理， 则， ， ，， 设，则， 故， 解得：，故， 即， ， 当点与点重合时：， 当点与点重合时：， 当点不与点、重合时：连接、、， ， ， ， ， ， 综上所述，的比值不变，比值为． 【点睛】本题是圆的综合题，有一定的难度，考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 3．如图，为的直径，弦于点，且为的中点，交于点，若，动点是上一点，过点作的切线，交的延长线于点．    (1)求的长； (2)连接，求证：； (3)当动点在的圆周上运动时，的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)的值不变；比值为． 【分析】（1）由垂径定理得出，证出，则可得出答案； （2）利用圆周角定理得出，，进而得出，再利用三角形中位线定理得出答案； （3）分别利用当点与点重合时：，当点与点重合时：，当点不与点、重合时，得出，分别得出答案． 【详解】（1）解： 为的中点，弦于， ，， ， ， ； （2）证明：连接交于点，    ， ， ， 为直径， ，即， ， ， ， ， ， 是的中位线， ， ； （3）解：的值不变． 理由：如图2，连接，则，    ， ， 则， 由（1）知， 设半径，则， 在中，， 解得：，故， ，即， ． 当点与点重合时：， 当点与点重合时：， 当点不与点重合时：连接， ， ， ， ， ， ． 综上所述，的比值不变，比值为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 专题七、圆中的定值 1．如图，是等边的外接圆，P点是劣弧上的一个动点(不与点A，B 重合)． (1)求的度数； (2)若，，求的长； (3)若，点P在劣弧上运动的过程中， ①的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，求出其值的取值范围． ②试探究的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不 是，求出其的取值范围． 【答案】(1) (2)7 (3)①；②的值是定值96． 【分析】（1）首先由等边三角形的性质得到，然后根据圆内接四边形的性质求解即可； （2）延长到点F使，首先证明出是等边三角形，求出，然后证明出，即可得到； （3）①首先由（2）可得，，然后得到当点P和点A或点B重合时，的最小值为；当点P，O，C三点共线时，有最大值，然后画出图形，根据勾股定理求解即可； ②延长到点F使，过点A作，由（2）得，是等边三角形，得到，然后根据勾股定理求出，进一步得到，然后结合，代入得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形 ∴ ∵四边形内接于 ∴； （2）如图所示，延长到点F使， ∵ ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴在和中 ∴ ∴； （3）①由（2）可得， ∵点P在劣弧上运动 ∴当点P和点A或点B重合时，的长度最小，即或的长度 ∵是等边三角形 ∴ ∴的最小值为 ∴的最小值为； 当点P，O，C三点共线时，的长度最大，如图所示， ∴此时是的直径 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，负值舍去 ∴的最大值为8 ∴的最大值为8； ∴的值的取值范围是； ②如图所示，延长到点F使，过点A作 由（2）得，是等边三角形 ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ． ∴的值是定值96． 【点睛】此题考查了圆与三角形综合题，考查了圆周角定理，等边三角形的性质，圆内接四边形的性质，勾股定理和全等三角形等知识，解题的关键是正确作出辅助线构造等边三角形． 2．如图①，已知是的直径，过点A作射线，点P为l上一个动点，点C为上异于点A的一点，且，过点B作的垂线交的延长线于点D，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，求的值； (3)如图②，过点C作于点E，交于点F，当点P在运动过程中，试探究是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)． 【分析】（1）连接，证明，求得，据此即可证明为的切线； （2）过点作，设，求得，，利用勾股定理求得，再求得，据此求解即可； （3）连接并延长交的延长线于点，利用切线长定理求得，，由，得到，，利用相似三角形的性质即可求得． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径，过点A作射线， ∴， ∵，，， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）解：过点作，垂足为点， 设， ∴， ∵， ∴为的切线， ∵、、为的切线， ∴，， ∴， ∵射线，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴； （3）解：，理由如下，连接并延长交的延长线于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线长定理，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 3．如图1，已知锐角内接于，P为的内心，连结并延长分别交，于点D，E，连结． (1)求证：． (2)若，试求的值． (3)若将条件“锐角内接于”改为“内接于，为直径”，如图2．过点P作于点F，设的外接圆半径为R，，试问的值是否是定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）设,根据三角形的内心可得，即，然后根据角的和差及等量代换即可解答； （2）先证明可得，再证明可得，进而得到，最后证明并利用相似三角形的性质即可解答； （3）如图：过P作于G，作于H，过E作于N，作交延长线于M，连接，为的直径，易证四边形为正方形，即；再证、，进而说明为等腰直角三角形；再通过解直角三角形以及全等三角形的判定与性质可得，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：设, ∵P为的内心， ∴是的角平分线， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵ ∴， ∵， ∴, 又， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知：, 又∵， ∴， ∴,即， ∵, ∴,即， ∴, 又∵,， ∴， ∴． （3）解：如图：过P作于G，作于H，过E作于N，作交延长线于M，连接，为的直径， ∴,， ∴四边形为矩形， 由内心的性质可得：， ∴四边形为正方形，即， 又∵, ∴， ∴， 同理可得：， ∴，即， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，为直径， ∴， ∴，即， ∵， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴,即， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形的内心、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形的等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 专题八、圆与相似 1．某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究 如图1，在中，，垂足为． （1）兴趣小组的同学得出．理由如下： ①______ ②______ 请完成填空：①______；②______； （2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，求线段的长． 【答案】（1）①；②；（2）是直角三角形，证明见解析；（3） 【分析】（1）根据余角的性质和三角形相似的性质进行解答即可； （2）证明，得出，证明，得出，即可得出答案； （3）证明，得出，求出，以点为圆心，2为半径作，则都在上，延长到，使，交于，连接，证明，得出，说明点在过点且与垂直的直线上运动，过点作，垂足为，连接，根据垂线段最短，得出当点E在点处时，最小，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）是直角三角形；理由如下： ， ， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， 是直角三角形． （3）， ， ， ， 如图，以点为圆心，2为半径作，则都在上，延长到，使，交于，连接， 则， ∵为的直径， ∴， ， ∴， ， ， ， 点在过点且与垂直的直线上运动， 过点作，垂足为，连接， ∵垂线段最短， ∴当点E在点处时，最小， 即的最小值为的长， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中根据勾股定理得：， 即当线段的长度取得最小值时，线段的长为． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，圆周角定理，矩形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 2．如图，已知圆O是正六边形外接圆，直径，点G、H分别在射线上（点G不与点C、D重合），且，设． (1)如图①，当直线经过弧的中点Q时，求：的正弦值； (2)如图②，当点G在边上时，试写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)连接，如果与相似，求的长． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）如图①，连接，由正六边形，可得，，证明是等边三角形，则，，，由Q为弧的中点，可得，，则，由圆周角定理可得，，如图①，作的延长线于，则，，设，则，，由勾股定理得，，由勾股定理得，，即，可求满足要求的解为，根据，计算求解即可； （2）如图②，在上取点，使，连接，证明是等边三角形，则，，，，证明，则，即，可求，由点G不与点C、D重合，可得； （3）由题意知，分①点在边上，②点在边的延长线上，两种情况求解；①点在边上时，如图③，由题意知，，当与相似，分，两种情况求解；当时，，即，联立，计算求出满足要求的解即可；当时，，即，联立，计算求出满足要求的解即可；②当点在边的延长线上，如图④，同理（3）①，求解作答即可． 【详解】（1）解：如图①，连接， ∵正六边形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵Q为弧的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， 如图①，作的延长线于， ∴， ∴， 设，则，， 由勾股定理得，， 由勾股定理得，，即， 解得，或（舍去）， ∴， ∴的正弦值为； （2）解：如图②，在上取点，使，连接， ∵正六边形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 整理得，， ∵点G不与点C、D重合， ∴， ∴，； （3）解：由题意知，分①点在边上，②点在边的延长线上，两种情况求解； ①点在边上时，如图③， 由题意知，， ∴当与相似，分，两种情况求解； 当时，，即， 解得，， ∵， ∴， 解得，或，均不符合要求，舍去； 当时，，即， 解得，， ∵， ∴， 解得，或均不符合要求，舍去； ②当点在边的延长线上，如图④， 当时，，即， 解得，， 同理，解得，或，均不符合要求，舍去； 当时，，即， 解得，， 同理，解得，（不符合要求，舍去）或， 经检验，是原分式方程的解，且符合要求； 综上所述，的长为． 【点睛】本题考查了正多边形内角和，垂径定理，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，正弦，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握正多边形内角和，垂径定理，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，正弦，相似三角形的判定与性质，并分情况求解是解题的关键． 3．如图，是四边形的外接圆，，连结，过点作的平行线交于点，交的延长线于点，连结． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，； ①用含的代数式表示的长； ②点，分别在线段，上，且．当与相似时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；②的值为或4 【分析】（1）首先根据平行线的性质可得，根据得出，进而得出，即可判断，进而证明四边形是平行四边形； （2）①连接，根据题意得出，根据即可求解； ②根据题意，设，．，由，分为两种情况：，，根据相似三角形的性质，列出比例式，即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ，则 ， ， ． ， 四边形是平行四边形． （2）①如图1，连接． ，， ， ， ， ， ， ． ②， ． ， 可令，． ． ，故分为两种情况： ⅰ）如图2，当时， ， ， ， ， ． ⅱ）如图3，当时， ， ． ， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了弧与弦的关系，圆周角定理，相似三角形的性质，平行四边形的判定；熟练掌握相似三角形的性质，是解题的关键． 专题九、圆与三角函数 1．如图，四边形内接于，，点在的延长线上，． (1)若为的直径，求证：是的切线； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）首先连接，根据等腰三角形的性质和圆周角定理可证，从而可得，可证，所以可证是的切线； （2）过点作，垂足为，根据可得，设，根据可求、，利用勾股定理可得，根据圆内接四边形对角互补可证，所以可证，根据相似三角形对应边成比例可以求出的长度． 【详解】（1）证明：如下图所示，连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：如下图所示，过点作，垂足为， ， ， ， ， 设， ， ， 在中，， ， ， 经检验：是原方程的根据， ，， ， 在中，， 四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为． 【点睛】本题考查切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，解直角三角形，圆周角定理．解决本题的关键是根据圆内接四边形的性质和圆周角定理找到角之间的关系，再根据相似三角形的性质找边之间的关系 2．如图，是的直径，点P是外一点，连接交于点C，作，分别切于点B，D，连接，．    (1)求证：； (2)连接，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质、全等直角三角形的证明、圆周角定理、解直角三角形的相关计算等知识点，掌握圆的相关性质是解题关键． （1）连接，根据切线的性质可得，从而证明，进而可得，然后根据圆周角定理可得，从而可得，最后利用平行线的判定即可解答； （2）连接，利用（1）的结论可得，然后在，利用锐角三角函数的定义可得，从而可得，进而在等腰直角三角形中求出，的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义可得，再利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：连接，        ∵，分别切于点B，D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接，    ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴或（舍去）， ∴线段的长为． 3．如图1，四边形中，，，，为四边形的对角线，．    (1)求点到的距离； (2)如图2，点在边上，且．以为圆心，长为半径作，点为上一点，连接交于．． ①当与相切时，求的长； ②当时，直接写出的长． 【答案】(1)4 (2)①；②5或11 【分析】（1）由勾股定理求出的长，然后根据三角函数的定义求出到的距离即可； （2）①连接，由（1）以及可以求出的长，然后根据勾股定理求出的长，再根据勾股定理求出的长即可； ②过作与，所以四边形为矩形，在中运用勾股定理即可求出的长，从而可以求出的长． 【详解】（1）解：过作于，如图： ，，， ， 在中，， ， 即点到的距离为4； （2）解：①连接，如图： 由（1）知，， ， ， ， ，，， ， 是的切线， ， ； ②过作于，如图：   ，， 四边形为矩形， ，， 在中，， ； 同理，， 或11． 【点睛】本题主要考查了圆的切线，矩形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，合理构造直角三角形是本题解题的关键． 专题十、圆与二次函数 1．如图，二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，过，画直线． (1)求二次函数的表达式； (2)点在轴正半轴上，且，求的长； (3)点在二次函数图象上，以为圆心的圆与直线相切，切点为．若在轴右侧，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据与轴的两个交点、的坐标，设出二次函数交点式解析式，然后把点的坐标代入计算求出的值，即可得到二次函数解析式； （2）设，然后表示出、的长度，在中，利用勾股定理列式，然后解方程即可； （3）根据相似三角形对应角相等可得，然后分两种情况讨论：①点在点下方时，利用同位角相等，两直线平行判定轴，从而得到点的纵坐标与点的纵坐标相同，是，代入抛物线解析式计算即可；②点在点上方时，根据（2）的结论，点为直线与抛物线的另一交点，求出直线的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：设该二次函数的解析式为：， 将，代入，得， 解得， 抛物线的解析式为， 即； （2）解：设，则，如图2， 在中，由勾股定理得： ， 解得， 即； （3）解：点在二次函数图象上，以为圆心的圆与直线相切，切点为．若在轴右侧，且，分两种情况讨论： ①如图2，当在点下方时， ，， ， ， 轴， ， ， 解得（舍去），， ； ②如图3，当在点上方时， ， ，由（2）得，为直线与抛物线的另一交点， 设直线的解析式为， 把的坐标代入，得： ， 解得， ， 由， 解得（舍去），， 此时， ， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，切线的性质，勾股定理，两函数图象交点的求解方法，解答本题的关键是熟练运用分类讨论的思想分析问题． 2．如图，二次函数的图象与轴分别交于点（点A在点的左侧），直线是对称轴．点在函数图像上，其横坐标大于4，连接，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为． (1)求点的坐标； (2)若以的切线长为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求长的取值范围． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、切线的性质、勾股定理． （1）令求得点的横坐标即可解答； （2）由题意可得抛物线的对称轴为，设，则；如图连接，则，进而可得切线长为边长的正方形的面积为；过点P作轴，垂足为H，可得；由题意可得，解得；然后再分当点M在点N的上方和下方两种情况解答即可． 【详解】（1）解：令，则有：，解得：或， ∴． （2）解：∵抛物线过 ∴抛物线的对称轴为， 设， ∵， ∴, 如图：连接，则， ∴， ∴切线为边长的正方形的面积为， 过点P作轴，垂足为H，则：， ∴ ∵， ∴，      假设过点,则有以下两种情况： ①如图1：当点M在点N的上方，即      ∴，解得：或， ∵ ∴； ②如图2：当点M在点N的下方，即    ∴，解得：， ∵ ∴； 综上，或． ∴当不经过点时，或或． 3．如图，y关于x的二次函数图象的顶点为M，图象交x轴于两点，交y轴正半轴于点D．以为直径作圆，圆心为点C，定点E的坐标为，连接．（）    (1)求用m表示的三点坐标； (2)当m为何值时，点M在直线上？判定此时直线与圆的位置关系； (3)当m变化时，用m表示的面积． 【答案】(1) (2)；相切 (3) 【分析】（1）根据x轴，y轴上点的坐标特征代入即可求出三点的坐标； （2）待定系数法先求出直线的解析式，再根据切线的判定得出直线与圆的位置关系； （3）分时，当时两种情况讨论求得关于m的函数． 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，， ， ， ； （2）解：设直线的解析式为， 把代入直线解析式得， 解得， 直线的解析式为， 将化为顶点式为， ， 把代入， 可得， ， ‘ 解得， 如图，连接，    由题意可得点的横坐标为， ，， ， 根据勾股定理可得，， ， 点在圆上， ， ， 直线与圆相切； （3）解：当时，， ； 当时，， ， 综上所述， 【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有轴，轴上点的坐标特征，抛物线解析式的确定，抛物线的顶点公式和三角形的面积求法，切线的判定，勾股定理和勾股定理的逆定理等等，注意分析题意分情况讨论． 专题十一、圆中的无刻度尺作图 1．请用无刻度尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） （1）如图1，点是边上一点，在边上取一点，使得； （2）如图2，在正方形网格中，点在格点上，过作于； （3）如图3，是的直径，弦，点在外，过作交于； （4）如图4，点是正方形边上一点连接，将绕点逆时针旋转90°得到，画出． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析 【分析】（1）如图1，连接AC，BD交于点O，作直线OE交AB于F，点F即为所求作． （2）如图2，连接OD交AB于点H，连接CH，线段CH即为所求作； （3）如图3，连接AC，BC分别交于点M、N，，连接AN，BM交于点P，连接CP延长交AB于G即可； （4）如图4，连接BD、AC交于点O，BD交AE于P，连接EO延长交AD于N，连接CP延长交AB于M，连接MN延长交CD的延长线于点G，连接AG，即为所求作． 【详解】解：（1）如图1中，点F即为所求作； （2）如图2中，线段CH即为所求作； （3）如图3，线段CG即为所求作； （4）如图4，即为所求作． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，正方形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识解决问题． 2．请用无刻度尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）． （1）如图1，点E是矩形ABCD边AD的中点过E画矩形的一条对称轴交BC于F； （2）如图2，正方形ABCD中，点E是AB的中点，在BC上找一点G，使得AG⊥DE； （3）如图3，在正六边形ABCDEF中．点G是AF上一点，在CD上找一点H，使得EH=BG； （4）如图4，在⊙O中，点D是劣弧AC的中点，点B是优弧AC上一点，在⊙O上找一点I，使得BI//AC． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析； 【分析】（1）连接AC和BD，通过矩形的对角线找到矩形的中心，连接E和中心做线段即可； （2）连接BD和EC交点于O，根据轴对称的性质可得到，因此，可证出和，因此AG⊥DE，G即为所求； （3）连接AD和FC交于点O，连接GO并延长交CD于H，连接EH，由轴对称的性质可得到，故，H即为所求； （4）连接CB，再连接DO并延长交BC于点P，连接AP并延长交圆于点I，由垂径定理即可征得，，可得到，I即为所求； 【详解】如图所示： 【点睛】本题主要考查了直尺作图的方法以及一些常用平面几何结论，其中涉及到了轴对称的性质，全等三角形的性质和判定，垂径定理，平行线的判定等知识点，灵活运用各性质找到关键点是解题的关键． 3．（1）在的正方形网格中，点A，B，C，D均为格点，请仅用无刻度直尺完成下列画图问题． ①请在图1中，画出将绕点D逆时针旋转得到的． ②若圆O经过A，B，C三点，请在图2中作出圆O的圆心O点． （2）在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线如图所示．请仅用无刻度的直尺在图3中画出四个顶点在两抛物线图象上的矩形（保留作图痕迹）． 【答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）详见解析 【分析】本题考查无刻度直尺作图，旋转作图，确定圆心，作矩形； （1）找到各自的对应点，再连接即可得到； （2）分别作出和的垂直平分线，交点即为圆心； （3）根据两个抛物线关于轴对称，分别连接两个抛物线顶点与坐标轴的交点延长与抛物线的交点，连接即可得到四个顶点在两抛物线图象上的矩形． 【详解】解：（1）①如图，即为所求； ①如图，圆O的圆心O即为所求； （2）如图所示的矩形即为所求． 专题十二、圆中的几何新定义 1．定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”． (1)如图1，是的一条弦（非直径），用直尺和圆规在上找一个点，使得是“圆等三角形”． (2)如图2，四边形是的内接四边形，连结对角线，和均为“圆等三角形”，且： ①当时，求的度数； ②如图3，当，时，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见详解 (2)①的度数为或或；② 【分析】本题考查了圆周角的定理和等腰三角形的性质，求扇形面积，解题的关键是准确理解题意，熟练运用圆的有关知识、等腰三角形的性质进行解题． （1）根据等腰三角形的画法画图即可； （2）①求出的度数，再分类讨论，求出，即可解答； ②连接，得出是等边三角形，求出圆心角和半径，运用公式求出扇形面积和三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点C，此时可使得是“圆等三角形”； （2）①四边形是的内接四边形，，， ，， 当时，， ； 当时，， ； 当时，， ； 综上所述，的度数为或或． ②连接， 四边形是的内接四边形，， ， 是圆等三角形， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 过点O作， ， ，， ， ， 扇形的面积为：， 阴影部分面积为：． 2．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的乘积等于这个点到这边所对顶点连线段的平方，则称这个点为这个三角形该边的“好点”．如图1，在中，点D是边上的一点，连接，若，则称点D是中边的“好点”． AI (1)如图1，在中，，若点D是边的“好点”，且，则线段的长是______； (2)如图2，是的外接圆，点E在边上，连接并延长，交于点D，连接、、，若点E是中边的“好点”， ，求证：； (3)在（2）的条件下，点P是上一点，连接交于点Q，连接、，若，为等腰直角三角形，，求的长． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】（1）根据“好点”定义可得出，然后代入数据即可求解； （2）根据“好点”定义可得出，证明可得出，则，由垂径定理可得进而得出，最后根据的圆周角所对的弦是直径得到是的直径，则，在和中由勾股定理即可证明； （3）由三角形的中位线定理求得，运用勾股定理得，由（2）知：，求出，则，而，故，延长交于，由垂径定理得出，由线段垂直平分线的判定得出，利用等腰三角形的性质可得，证明，得出，过点作于，过点作于，求出，证明，得出，设，则，，，代入可得出关于的方程，求得，则，代入可得，则，可证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：点是边的“好点”， ， 又，， ， （负数舍去）， 故答案为：； （2）证明：点是△中边的“好点”， ， ，， ， ，即， ， ， ∵经过圆心， ， ， ， 是的直径， ∴， ∴在和中， 由勾股定理得，， ∴； （3）解：，，， ， ，为等腰直角三角形， ∴， 由（2）知：， ∴， ∴， ∴ 而， ∴， 延长交于， ，经过圆心， ， ， ， ， ， 又， ， ，即， 过点作于，过点作于， ， ， ，， △△ ，即， 设，则，， 在中，， ， ， 化简得， ， ，（舍去）， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了垂径定理，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理等，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． 3．定义：用一条直线截三角形的两边，若所截得的四边形对角互补，则称该直线为三角形第三条边的“幸福线”．如图1，为的截线，截得四边形，若，则称为边的“幸福线”． (1)已知为边的“幸福线”，，，，则的长为________； (2)如图2，若内接于，为弧的中点，、分别为、边的“幸福线”，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，如图3过点作的“幸福线”交于点，当四边形面积最大时，求的正切值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题目中“幸福线”的定义，得，根据邻补角的定义得，即可得，易证得，根据它们的对应边成比例求解即可； （2）如图2，连接，由“幸福线”定义得，根据邻补角的定义得，即可证得，根据圆的半径，及圆周角定理得，再通过角的等量交换，可得，即可证得结论； （3）如图3，连接交于点，根据“在同圆（或等圆）中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等”，及“三角形外接圆的圆心是这个三角形的外心”可得，且，然后利用据勾股定理求得的值为8，进而求得，然后根据“相似三角形面积的比等于相似比的平方”，先证明，，，得，的值，，，设，则,根据，即可得式子，令，根据二次函数的性质，可得当，即时，四边形的面积最大，此时点与点重合，根据，通过相似三角形对应边成比例，求出，的值，进而得到的值，过点作，垂足为点，则，易得，利用相似三角形对应边成比例，求出，的值，根据在中，，即可得出答案 【详解】（1）解：为边的“幸福线”， ， ， ， ， ， ， ，，， ． （2）解：如图2，连接,令与交点为， 为边的“幸福线”， ， ， ， ，， ， ， ， ． （3）解：如图3，连接交于点， 为弧的中点， ，且， ， ，， ， ， 由（2）得， 又， ， ， 为边的“幸福线”， ， ， ， 又， ， ， 同理得， 设，则， ,, 令，则当时，的值最大， 当时，四边形的面积最大，此时点与点重合， ，，     ，， ，， ， ， 如图，过点作，垂足为点，则， ， ， ，， ， 在中，． 【点睛】本题综合考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，三角形外接圆性质，勾股定理，求直角三角函数的正切值，灵活利用相似三角形的相似比求对应的边及三角形面积，利用割补法求不规则图形面积，利用二次函数变形为顶点式求最值，合理添加辅助线构造直角三角形并利用勾股定理解三角形． 专题十三、圆中的函数新定义 1．在平面直角坐标系中，将对角线交点为的正方形记作正方形，对于正方形和点（不与重合）给出如下定义：若正方形的边上存在点，使得直线与以为半径的切于点，则称点为正方形的“伴随切点”． (1)如图，正方形的顶点分别为点，，，． 在点，，中，正方形的“伴随切点”是________； 若直线上存在正方形的“伴随切点”，求的取值范围； (2)已知点，正方形的边长为．若存在正方形的两个“伴随切点”，，使得为等边三角形，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据新定义，可知，再结合所给的点逐一判断即可；易推出点在以为直径的上，且，，可知符合条件的点组成的图形为（点除外），其中，，当直线与相切时，设切点为，与轴交于点，与轴交于点，可求出，将点代入直线，可得，当直线经过点时，，此时直线经过点，当直线经过点时，，从而得到的取值范围为； （2）由新定义可知，由等边三角形的性质可得，由切线长定理可得，根据含度角的直角三角形的性质可得，然后分两种情况讨论：当时，；当时，；分别根据勾股定理列方程求解，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：如图， 在半径为的最小圆的内部， 不是正方形的“伴随切点”， 和与半径为的圆相切， 和是正方形的“伴随切点”， 故答案为：，； 如图， 由题意可知，点坐标为，且点为正方形边上的点， ， 与以为半径的相切于点， ，， ， 点在以为直径的上，且，， 符合条件的点组成的图形为（点除外），其中，， 当直线与相切时，设切点为，与轴交于点，与轴交于点， 与直线垂直， ， 对于直线，令，则， 令，可得：， 解得：， ，， ，， ， ， 轴轴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 将点代入直线，可得：， 解得：， 当直线经过点时，，此时直线经过点， 当直线经过点时，， 直线上存在“伴随切点”， 的取值范围为； （2）解：正方形的边长为， ， 为等边三角形， ， ，是正方形的两个“伴随切点”， ， ， ， ， 分两种情况： 当时，， 根据勾股定理，可得：， 即：， 解得：； 当时，， 根据勾股定理，可得：， 即：， 解得：； 或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂线段最短，切线的性质，垂线的性质，度的圆周角所对的弦是直径，一次函数图象与坐标轴的交点问题，求一次函数的函数值，解一元一次方程，已知两点坐标求两点距离，等边对等角，三角形的内角和定理，直角三角形的两个锐角互余，等角对等边，等边三角形的性质，切线长定理，含度角的直角三角形，公式法解一元二次方程等知识点，弄清新定义，能推出当正方形边长为时，，是解题的关键． 2．在平面直角坐标系中，已知点．对于点，给出如下定义： 若点关于直线的对称点为点，点关于直线的对称点为点，则称点是点关于点的“二称点”． (1)已知点，点，点是点关于点的“二称点”， ①如图1，当时，点的坐标为__________； ②连接，若所在直线平行于坐标轴时，直接写出此时的长度； (2)已知点在直线上，如图，直线与轴，轴分别交于点，，对于线段上（包括端点）任意一点，若以为半径的上总存在一点，使得点关于点的“二称点”在x轴的正半轴上，直接写出符合条件的的值．（已知） 【答案】(1)①，②或者； (2)． 【分析】（）根据新定义求出点的坐标即可； 分两种情况讨论，再根据特殊三角形的计算即可； （）利用新定义的运算即可求解；分别求得点与重合的情形，取得临界值，关于直线对称的与轴相切，则也与轴相切，进而求得直线与轴的夹角，进而得出，即可求解． 本题考查圆综合题、一次函数的应用、二元一次方程组的应用、轴对称变换，垂直平分线的性质，锐角三角函数，直角三角形的性质，中点坐标及两点间距离等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图形，寻找特殊位置解决问题． 【详解】（1）∵ ∴ 则， 如图所示， 设直线上一点为，直线与轴的夹角为，则 ∴， ∵关于的对称点为，则是等边三角形，则 则 ∴点关于对称的点， 点关于对称的点， 故答案为： 如图，当点在时，与重合时，此时轴， 当时，，则 ∴ 点关于对称的点， ∴； 如图，当关于原点对称时，      ∴， ∴， ∴， 综上：的值为或； （2）解：∵直线与轴，轴分别交于点，， 当时，，当时， ∴，， ∴，则， ∵点在直线上 ∴， ∵点关于直线的对称点为点，点关于直线的对称点为点， 如图所示，当点与点重合时，关于直线对称的与轴相切时符合题意，则轴，设交轴于点,设是直线在第一象限内一点， ∵，，， 在中， ∴ ∵， ∴ ∵关于直线对称 ∴直线与轴的夹角为，即 即 解得： 当点与点重合时，如图所示， ∵ 则是等边三角形，则 设，则 ∴ ∴ ∴直线与轴的夹角为，则 ∴在线段上运动，观察函数图象可得在，点时，总有1个点满足题意，在线段（不含端点）上时，,总有交点，即上总有一点使得点关于点的“二称点”在x轴的正半轴上， 综上所述， 3．对于平面直角坐标系中的图形，给出如下定义：点是图形上任意一点，若存在点，使得是直角，则称点是图形的“直角点”． (1)已知点，在点，，中， 是点的“直角点”； (2)已知点，，若点是线段的“直角点”，求点的横坐标的取值范围； (3)在（2）的条件下，已知点，，以线段为边在轴上方作正方形．若正方形上的所有点均为线段的“直角点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）先通过勾股定理求得，，，，，，利用勾股定理逆定理，判断是否构成直角三角形即可； （2）因为，点在以为直径的圆上（，两点除外），以，为直径作和，过点作，点在点的左侧，过点作，点在点的右侧，则点，为点的左右临界点，通过，，可求得和坐标，从而求得的范围； （3）由题意可知，正方形边长为，在（2）的条件下作出正方形，分别以，为直径作圆，当时，即，若正方形上的所有点均为线段的“直角点”，正方形位于正方形①的位置为最左侧临界值，此时；当正方形位于正方形②的位置时，此时，利用，求得；当时，若正方形上的所有点均为线段的“直角点”，正方形位于正方形④的位置为最右侧临界值，此时，解得；当正方形位于正方形③的位置时，此时，利用，解得，从而推出的范围． 【详解】（1）解：如图 ，，， ， ， 是点的“直角点”； ，， ， ， 不是点的“直角点”； ， 是点的“直角点”． 综上，，是点的“直角点”． 故答案为：，； （2）解：点是线段的“直角点”，为线段上的点， ， 点在以为直径的圆上（，两点除外）， 如图，以，为直径作和，过点作，点在点的左侧，过点作，点在点的右侧，则点，为点的左右临界点． ，， ，， ， 点的横坐标为． ， ，， ， 点的横坐标为， 点的横坐标的取值范围为． （3）解：，， ， 正方形的边长为1． 在（2）的条件下作出正方形，分别以，为直径作圆，如图， 当时，即，若正方形上的所有点均为线段的“直角点”，正方形位于正方形①的位置为最左侧临界值，此时； 当正方形位于正方形②的位置时，此时， 正方形上的所有点均为线段的“直角点”， ， ， ， 解得：（正数不合题意，舍去）， ． ； 当时，若正方形上的所有点均为线段的“直角点”，正方形位于正方形④的位置为最右侧临界值，此时， ； 当正方形位于正方形③的位置时，此时， 正方形上的所有点均为线段的“直角点”， ， ， ， 解得： （负数不合题意，舍去）， ． ． 综上，若正方形上的所有点均为线段的“直角点”，的取值范围为或． 【点睛】本题考查了新定义直角点，勾股定理，勾股定理逆定理，直径所对的圆周角为，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并进行分类讨论是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第27章 圆 重难点专题训练 思维导图 专题一、圆中的不规则面积 1．如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若，，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，弦，垂足为E，， ，则图中阴影部分的面积是（    ）    A． B． C． D．π 3．如图，矩形中，，，现将矩形绕点顺时针旋转后得到矩形，则边扫过的面积（阴影部分）为（    ） A． B． C． D． 专题二、圆中的最值 1．已知菱形的边长是，，于点，，点、分别是和上的动点，以、为边作平行四边形，连结，则的最小值是（   ） A． B．1 C． D． 2．如图，在中，，，，以为圆心，为半径作，为上一动点，连接、，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，是边长为1的正方形内的一个动点，且满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 专题三、圆与三角形结合 1．【教材呈现】 现行人教版九年级下册数学教材63页“拓广探索”第14题： 14．如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作和边上的高．） 【得出结论】 （1）【基础应用】 如图1，在中，，，，利用以上结论求的长． （2）【推广证明】 进一步研究发现，不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且还满足（为外接圆的半径）． 请利用图2证明：． （3）【拓展应用】 如图3，内接于，，弦交于点，交于点，，点、分别在弦、上，且，且，若，，求的半径的长． 2．“谁言寸草心，报得三春晖”表达的是儿女的孝心像小草一样，无法报答得了母亲如同春晖一般的恩情．在数学中，三角形也有“心”，现在已经发现的三角形的心已经超过4万多个，其中有4个心对它们熟悉的人比较多，这4个心分别是垂心、重心、外心和内心．在苏科版的初中数学教材中对三角形的“内心”给出的定义是“三角形内切圆的圆心叫作三角形的内心”，其实三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点，而“重心”就是三角形三条中线的交点，如图1中，三条中线AD、BE、CF的交点G就是的重心，且．请你解决以下问题： (1)三角形的重心在三角形的__________部；三角形的内心在三角形的__________部；（选填“内”或“外”） (2)在图1中，若的面积为6，则的面积为__________； (3)如图2，是的内心，，AI的延长线分别与BC和的外接圆交于D、E两点，若，求IE的长． 3．阅读与思考 下面是数学研究性学习汇报中小彬同学的展示内容，请仔细阅读并完成相应的任务. 三角形的垂心三角形是几何学中的基本图形之一，具有许多独特的性质.我们在研究三角形的过程中，认识了三角形的重心、外心和内心，并研究了它们的性质.通过课外阅读，我了解到三角形还有一心——垂心，其定义是：三角形的三条高线所在直线相交于一点，该点叫做三角形的垂心.三角形的垂心有什么性质呢？ 【特例研究】如图1，已知是等边三角形，高线，相交于点O，则点O既是的垂心，又是它的外心，易得．通过特例，我想到三角形的重心与外心之间有一定的联系，于是我对一般三角形进行了探究． 【一般研究】如图2，已知锐角中，高线，相交于点H，作的外接圆，则点H，O分别是的垂心与外心.受特例启发，过外心O作于点M，我发现，证明如下： 连接并延长交于点N，连接，． 为的直径，． ， ， ， ， ．（依据） ， ． 【结论应用】如图3，中，，点O是它的外心，点H是它的垂心，且于点M．若，，可以利用上面的结论求得线段的长． 任务： (1)上述展示内容中的“依据”是指基本事实：__________； (2)请将上述展示内容中的证明过程补充完整； (3)“结论应用”中，线段的长为__________． 专题四、圆与四边形结合 1．已知四边形内接于，且于点． (1)如图1，过圆心作于点． ①若半径为5，，求的长； ②试判断与的数量关系，并写出证明过程． (2)如图2，记，，，的面积分别为，，，，当时，求证：． 2．小明同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． (1)【学习心得】如图1，在中，，，求的度数，若以点A为圆心，为半径作辅助圆，则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，可得 ； (2)【问题解决】如图2，在四边形中，．求证：； (3)【问题拓展】在平面直角坐标系中，A为y轴上一点．若点，．当最大时，求点A的坐标． 3．【问题提出】 （1）如图1，四边形内接于，，，连接，则的度数为______． 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，，连接，将绕点顺时针旋转到的位置，若，求四边形的面积； 【问题解决】 （3）如图3，若是一个半径为的圆形荷花池，和是荷花池上的两座长度相等的小桥，且，现要在荷花池上再修建三座小桥、和，为使游客更好地欣赏荷花，要求这三座小桥的总长度最大，请你求出此时这三座小桥的总长度（即的最大值）． 专题五、动圆相切求t 1．如图，形如三角板的中，厘米，形如量角器的半圆的直径在直线上，且厘米，点在三角形的左侧，厘米．若半圆沿方向以每秒2厘米的速度向右运动，设运动时间为t秒． (1)当______时，半圆与直线相切； (2)当时，试判断直线与半圆的位置关系并说明理由； (3)当时，求半圆与三角形重合部分的面积． 2．在平面直角坐标系中，已知，点C在第一象限内，点D与点A关于y轴对称，且四边形是平行四边形． (1)点C的坐标是 ，点D的坐标是 ； (2)在图1中，用尺规作图确定C点位置（不写做法，保留作图痕迹） (3)如图2，现有半径为1的，若其圆心P从点A出发，沿着以每秒4个单位长的速度匀速移动，同时的半径以每秒0.5个单位长度的速度增加，运动到点C时运动停止，当运动时间为t秒时： ①t为何值，与y轴相切？ ②在整个运动过程中，与y轴有公共点的时间共有 秒． 3．在中，，，，点从点出发，以的速度在边上向终点运动，过点作交边于点，设运动时间为，作以为直径的． (1)如图1，若交边于点和在上方，若四边形是平行四边形，求证：点是弧的中点． (2)若恰与相切，求的值； (3)如图2，过点作交边于点，连交于点，若是等腰三角形，求的值． 专题六、圆中的比值 1．如图1，在矩形中，点E是边上一点，连接交于点O． (1)设．若点E是边的中点，且．求的值； (2)如图2，连接并延长交的延长线于点F，连接并延长交于点N，交于点M． ①当点E是边的中点时，___________，___________（填比值），从而得出猜想：点M是的中点（无需证明）； ②当点E是边上任意一点时，求证：点M是的中点； (3)如图3，矩形的顶点都在圆上，仅用无刻度直尺作出图3中垂直于的一条直径（不用写作法，保留作图痕迹）． 2．如图，是的直径，弦于点E，点P在的延长线上，连接、，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，当动点M在的圆周上运动时（不与A、B重合），的比值是否发生变化？若不变，求出这个比值；若变化，说明其变化的规律． 3．如图，为的直径，弦于点，且为的中点，交于点，若，动点是上一点，过点作的切线，交的延长线于点．    (1)求的长； (2)连接，求证：； (3)当动点在的圆周上运动时，的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律． 专题七、圆中的定值 1．如图，是等边的外接圆，P点是劣弧上的一个动点(不与点A，B 重合)． (1)求的度数； (2)若，，求的长； (3)若，点P在劣弧上运动的过程中， ①的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，求出其值的取值范围． ②试探究的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不 是，求出其的取值范围． 2．如图①，已知是的直径，过点A作射线，点P为l上一个动点，点C为上异于点A的一点，且，过点B作的垂线交的延长线于点D，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，求的值； (3)如图②，过点C作于点E，交于点F，当点P在运动过程中，试探究是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由． 3．如图1，已知锐角内接于，P为的内心，连结并延长分别交，于点D，E，连结． (1)求证：． (2)若，试求的值． (3)若将条件“锐角内接于”改为“内接于，为直径”，如图2．过点P作于点F，设的外接圆半径为R，，试问的值是否是定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 专题八、圆与相似 1．某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究 如图1，在中，，垂足为． （1）兴趣小组的同学得出．理由如下： ①______ ②______ 请完成填空：①______；②______； （2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，求线段的长． 2．如图，已知圆O是正六边形外接圆，直径，点G、H分别在射线上（点G不与点C、D重合），且，设． (1)如图①，当直线经过弧的中点Q时，求：的正弦值； (2)如图②，当点G在边上时，试写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)连接，如果与相似，求的长． 3．如图，是四边形的外接圆，，连结，过点作的平行线交于点，交的延长线于点，连结． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，； ①用含的代数式表示的长； ②点，分别在线段，上，且．当与相似时，求的值． 专题九、圆与三角函数 1．如图，四边形内接于，，点在的延长线上，． (1)若为的直径，求证：是的切线； (2)若，，，求的长． 2．如图，是的直径，点P是外一点，连接交于点C，作，分别切于点B，D，连接，．    (1)求证：； (2)连接，若，，求线段的长． 3．如图1，四边形中，，，，为四边形的对角线，．    (1)求点到的距离； (2)如图2，点在边上，且．以为圆心，长为半径作，点为上一点，连接交于．． ①当与相切时，求的长； ②当时，直接写出的长． 专题十、圆与二次函数 1．如图，二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，过，画直线． (1)求二次函数的表达式； (2)点在轴正半轴上，且，求的长； (3)点在二次函数图象上，以为圆心的圆与直线相切，切点为．若在轴右侧，且，求点的坐标． 2．如图，二次函数的图象与轴分别交于点（点A在点的左侧），直线是对称轴．点在函数图像上，其横坐标大于4，连接，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为． (1)求点的坐标； (2)若以的切线长为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求长的取值范围． 3．如图，y关于x的二次函数图象的顶点为M，图象交x轴于两点，交y轴正半轴于点D．以为直径作圆，圆心为点C，定点E的坐标为，连接．（）    (1)求用m表示的三点坐标； (2)当m为何值时，点M在直线上？判定此时直线与圆的位置关系； (3)当m变化时，用m表示的面积． 专题十一、圆中的无刻度尺作图 1．请用无刻度尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） （1）如图1，点是边上一点，在边上取一点，使得； （2）如图2，在正方形网格中，点在格点上，过作于； （3）如图3，是的直径，弦，点在外，过作交于； （4）如图4，点是正方形边上一点连接，将绕点逆时针旋转90°得到，画出． 2．请用无刻度尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）． （1）如图1，点E是矩形ABCD边AD的中点过E画矩形的一条对称轴交BC于F； （2）如图2，正方形ABCD中，点E是AB的中点，在BC上找一点G，使得AG⊥DE； （3）如图3，在正六边形ABCDEF中．点G是AF上一点，在CD上找一点H，使得EH=BG； （4）如图4，在⊙O中，点D是劣弧AC的中点，点B是优弧AC上一点，在⊙O上找一点I，使得BI//AC． 3．（1）在的正方形网格中，点A，B，C，D均为格点，请仅用无刻度直尺完成下列画图问题． ①请在图1中，画出将绕点D逆时针旋转得到的． ②若圆O经过A，B，C三点，请在图2中作出圆O的圆心O点． （2）在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线如图所示．请仅用无刻度的直尺在图3中画出四个顶点在两抛物线图象上的矩形（保留作图痕迹）． 专题十二、圆中的几何新定义 1．定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”． (1)如图1，是的一条弦（非直径），用直尺和圆规在上找一个点，使得是“圆等三角形”． (2)如图2，四边形是的内接四边形，连结对角线，和均为“圆等三角形”，且： ①当时，求的度数； ②如图3，当，时，求阴影部分的面积． 2．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的乘积等于这个点到这边所对顶点连线段的平方，则称这个点为这个三角形该边的“好点”．如图1，在中，点D是边上的一点，连接，若，则称点D是中边的“好点”． AI (1)如图1，在中，，若点D是边的“好点”，且，则线段的长是______； (2)如图2，是的外接圆，点E在边上，连接并延长，交于点D，连接、、，若点E是中边的“好点”， ，求证：； (3)在（2）的条件下，点P是上一点，连接交于点Q，连接、，若，为等腰直角三角形，，求的长． 3．定义：用一条直线截三角形的两边，若所截得的四边形对角互补，则称该直线为三角形第三条边的“幸福线”．如图1，为的截线，截得四边形，若，则称为边的“幸福线”． (1)已知为边的“幸福线”，，，，则的长为________； (2)如图2，若内接于，为弧的中点，、分别为、边的“幸福线”，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，如图3过点作的“幸福线”交于点，当四边形面积最大时，求的正切值． 专题十三、圆中的函数新定义 1．在平面直角坐标系中，将对角线交点为的正方形记作正方形，对于正方形和点（不与重合）给出如下定义：若正方形的边上存在点，使得直线与以为半径的切于点，则称点为正方形的“伴随切点”． (1)如图，正方形的顶点分别为点，，，． 在点，，中，正方形的“伴随切点”是________； 若直线上存在正方形的“伴随切点”，求的取值范围； (2)已知点，正方形的边长为．若存在正方形的两个“伴随切点”，，使得为等边三角形，直接写出的取值范围． 2．在平面直角坐标系中，已知点．对于点，给出如下定义： 若点关于直线的对称点为点，点关于直线的对称点为点，则称点是点关于点的“二称点”． (1)已知点，点，点是点关于点的“二称点”， ①如图1，当时，点的坐标为__________； ②连接，若所在直线平行于坐标轴时，直接写出此时的长度； (2)已知点在直线上，如图，直线与轴，轴分别交于点，，对于线段上（包括端点）任意一点，若以为半径的上总存在一点，使得点关于点的“二称点”在x轴的正半轴上，直接写出符合条件的的值．（已知） 3．对于平面直角坐标系中的图形，给出如下定义：点是图形上任意一点，若存在点，使得是直角，则称点是图形的“直角点”． (1)已知点，在点，，中， 是点的“直角点”； (2)已知点，，若点是线段的“直角点”，求点的横坐标的取值范围； (3)在（2）的条件下，已知点，，以线段为边在轴上方作正方形．若正方形上的所有点均为线段的“直角点”，直接写出的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$