第27章 圆 单元测试-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（华东师大版）

第27章 圆 单元测试 总分：150分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第27章（圆）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．已知的半径是3，A、B是圆周上的两点，则两点间的最长距离是（    ） A．3 B．6 C．12 D．不能确定 2．设的半径为，圆心到直线的距离为，若直线与有交点，则与的关系为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形网格的顶点上，则的外心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 5．下列说法正确的是（） A．三点确定一个圆 B．长度相等的两条弧叫做等弧 C．在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等 D．相等的圆周角所对的弧相等 6．如图，已知的直径平分弦（不是直径），若，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，、分别与相切于、两点，，点是劣弧上异于点、的一点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图是边长均为6的正八边形和正六边形的组合图形，以顶点为圆心，长为半径画圆，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，为两条弦，是直径，于点，连接，若，，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 10．如图，在等腰中，点在边上，，将线段绕点C逆时针旋转（其中）到，连接，以为边作，连接，则的最大值为（    ） A．5 B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11．已知圆的半径为5，圆心角为，则圆心角所对的弧长为 ．（结果保留） 12．如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是 13．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则的度数是 14．如图，的直径垂直于弦，，则的大小是 ． 15．如图，已知的弦，以为一边作正方形，边与相切，切点为，则的半径为 ． 16．一个直角三角形的两条直角边长是方程的两个根，则此直角三角形外接圆的半径等于 17．如图所示，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果园”．已知点、、、分别是“果园”与坐标轴的交点，抛物线的对称轴为直线，且，为半圆的直径，则这个“果园”被轴截得的弦的长为 ． 18．如图，已知的半径为4，弦，点是弦上一动点，点是圆弧上一点，且满足线段，过点作的垂线交于点，连结．当点在弦上移动时，点到的距离的最小值是 ． 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)若和关于原点O成中心对称，画出； (2)将绕点O顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标； (3)直接写出（2）中线段在旋转过程中扫过的面积：________． 20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）请用直尺和圆规作出Rt△ABC的外接圆，圆心为O（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）若AB＝6，∠A＝30°，请求出扇形AOC的面积． 21．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接OP． 求证：OP平分∠AOB． 22．如图，，交于点，，是半径，且于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 23．如图，中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为． (1)求证：为的切线； (2)若半径为5，，求的长． 24．如图，点是以为直径的上一点，点是上一点且，过点作与点，延长交于点，连接交于点，连接，． (1)求证：． (2)求与的数量关系． (3)若，，求的长． 25．在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和外一点给出如下定义：若直线，中一条经过点，另一条是的切线，则称点是弦的“关联点”． (1)如图，点，， ①在点，，中，弦的“关联点”是______． ②若点是弦的“关联点”，直接写出的长； (2)已知直线与，轴分别交于点，，对于线段上一点，存在的弦，使得点是弦的“关联点”，记的长为，当点在线段上运动时，直接写出的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第27章 圆 单元测试 总分：150分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第27章（圆）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．已知的半径是3，A、B是圆周上的两点，则两点间的最长距离是（    ） A．3 B．6 C．12 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要查了圆的基本性质．根据圆的基本性质解答，即可求解． 【详解】解：经过圆心的弦最长，即直径是最长的弦， ∵的半径是3， ∴两点间的最长距离是6． 故选：B ． 2．设的半径为，圆心到直线的距离为，若直线与有交点，则与的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，若，则直线与圆相交，若，则直线与圆相切；根据直线与有交点包括一个交点和两个交点，即直线与圆相切或相交进行解答即可. 【详解】若，则直线与圆相交，直线与圆有两个交点， 若，则直线与圆相切，直线与圆有一个交点， 根据直线与有交点包括一个交点和两个交点，则与的关系为. 故选：D. 3．如图，在中，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧（或等弧）所对圆周角是圆心角的一半求解即可，也是解题关键． 【详解】解：∵， ∴． 故选B． 4．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形网格的顶点上，则的外心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】C 【分析】本题考查三角形外心的定义，根据三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点解答即可，也是解题关键． 【详解】解：作线段和线段的垂直平分线，如图， 由图可知点F是线段和线段的垂直平分线交点， ∴点F是 的外心． 故选C． 5．下列说法正确的是（） A．三点确定一个圆 B．长度相等的两条弧叫做等弧 C．在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等 D．相等的圆周角所对的弧相等 【答案】C 【分析】本题考查圆的认识，圆周角定理，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握圆的有关概念及定理的应用．根据圆的概念，圆周角，弧，弦之间的关系一一判断即可． 【详解】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，原说法错误，不符合题意； B、能够互相重合的弧叫做等弧，原说法错误，不符合题意； C、在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，正确，符合题意； D、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，原说法错误，不符合题意， 故选：C． 6．如图，已知的直径平分弦（不是直径），若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了垂径定理的逆定理，圆周角定理，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据垂径定理的逆定理得到，然后根据圆周角定理求解即可． 【详解】∵的直径平分弦（不是直径）， ∴ ∴． 故选：B． 7．如图，、分别与相切于、两点，，点是劣弧上异于点、的一点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质，垂直定义，多边形的内角和，圆内接四边形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键，在优弧上取点，连接，，，，由切线的性质得，，从而得，，再根据圆内接四边形的性质即可得解。 【详解】解：如图，在优弧上取点，连接，，，， ∵、切于点、， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 8．如图是边长均为6的正八边形和正六边形的组合图形，以顶点为圆心，长为半径画圆，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算，根据正八边形、正六边形的性质求出它的内角的度数，进而求出阴影部分扇形的圆心角的度数，由扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：如图，边长均为6的正八边形和正六边形的组合图形， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 9．如图，在中，，为两条弦，是直径，于点，连接，若，，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，圆周角定理和垂径定理，熟练掌握知识点是解题的关键，先根据直径所对的圆周角是直角和勾股定理算出长，再根据垂径定理得出长，最后根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∵于点， ∴， ∴， 故选：A． 10．如图，在等腰中，点在边上，，将线段绕点C逆时针旋转（其中）到，连接，以为边作，连接，则的最大值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】作平行四边形，连接，设与交于O，则四边形是菱形，求出的长，进而求出的长，再证明四边形是平行四边形，得到，进而得到点F在以点P为圆心，半径为1的圆上运动，则当D、P、F三点共线，且点P在上时， 有最大值，最大值为． 【详解】解：如图所示，作平行四边形，连接，设与交于O， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 由平行四边形的性质可得， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴点F在以点P为圆心，半径为1的圆上运动， ∴当D、P、F三点共线，且点P在上时， 有最大值，最大值为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最值问题，平行四边形的性质与判定，勾股定理，菱形的性质与判定，旋转的性质等等，作出辅助线确定点F的轨迹是解题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11．已知圆的半径为5，圆心角为，则圆心角所对的弧长为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 根据弧长公式直接计算其可求解． 【详解】解：， 故答案为： ． 12．如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是 【答案】/130度 【分析】本题主要考查圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．根据圆内接四边形的性质得到即可得到答案． 【详解】解：四边形是的内接四边形， ， ， 故答案为：． 13．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则的度数是 【答案】 【分析】本题考查圆内接四边形，圆周角定理，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键； 根据是的直径，可得，再根据对角互补可得，再结合三角形内角和定理即可求解 【详解】解：是的直径， ， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ， 故答案为： 14．如图，的直径垂直于弦，，则的大小是 ． 【答案】36 【分析】本题考查垂径定理、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理、圆周角定理，属于中考常考题型．根据垂径定理推出，推出，再由即可解决问题． 【详解】解：是直径，， ， ， ， ， 故答案为：36． 15．如图，已知的弦，以为一边作正方形，边与相切，切点为，则的半径为 ． 【答案】5 【分析】连接并延长，交于，连接，根据切线的性质得到，根据垂径定理求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：连接并延长，交于，连接， 设的半径为， 边与相切， 四边形为正方形， ， 四边形为矩形， 在中，，即， 解得：， 的半径为5， 故答案为：5 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了正方形的性质、垂径定理和勾股定理． 16．一个直角三角形的两条直角边长是方程的两个根，则此直角三角形外接圆的半径等于 【答案】2.5 【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理，以及外接圆，掌握直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半是解题关键．利用因式分解法解一元二次方程，得到直角三角形的两条直角边长，再结合勾股定理求出斜边长，即可得到外接圆的半径． 【详解】解：， ， 解得：，， 一个直角三角形的两条直角边长是方程的两个根， 直角三角形的斜边长为， 此直角三角形外接圆的半径等于， 故答案为：． 17．如图所示，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果园”．已知点、、、分别是“果园”与坐标轴的交点，抛物线的对称轴为直线，且，为半圆的直径，则这个“果园”被轴截得的弦的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了抛物线与圆的综合，掌握抛物线与轴的交点，对称轴，坐标与图形，直径所对圆周角为，相似三角形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键． 根据题意，设，则，根据抛物线对称轴可得，可求出，由直径直径所对圆周角为，可证，可得，由即可求解． 【详解】解：设，则， ∴， ∴抛物线的对称轴直线为， ∴， ∴，， 如图所示，连接， ∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 故答案为： ． 18．如图，已知的半径为4，弦，点是弦上一动点，点是圆弧上一点，且满足线段，过点作的垂线交于点，连结．当点在弦上移动时，点到的距离的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，连接，，，过作于，过作于，于，即可证明，得到，再由得到，当点与重合，即时，最小，此时最小，利用垂径定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接，，，过作于，过作于，于，则， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为4，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当点与重合，即时，最小，此时最小， 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)若和关于原点O成中心对称，画出； (2)将绕点O顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标； (3)直接写出（2）中线段在旋转过程中扫过的面积：________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析； 点的坐标为 (3) 【分析】（1）找到A、B、C关于原点O成中心对称的对应点，顺次连接即可； （2）找到A、B、C绕点O顺时针旋转得到的对应点，顺次连接即可； （3）利用勾股定理求出，再利用扇形面积公式计算即可． 本题考查了作图-旋转变换，轨迹，解题的关键是掌握旋转变换与中心对称的性质． 【详解】（1）解：如图1，即为所求； （2）如图2，即为所求，点的坐标为； （3）如图3， 根据旋转的性质可得，， ∵， ∴线段在旋转过程中扫过的面积 故答案为：． 20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）请用直尺和圆规作出Rt△ABC的外接圆，圆心为O（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）若AB＝6，∠A＝30°，请求出扇形AOC的面积． 【答案】（1）见解析；（2）3π 【分析】(1)用直尺和圆规作线段的垂直平分线交于O，即可出Rt△ABC的外接圆； (2)根据AB=6，∠A=30°，即可求出扇形AOC的面积． 【详解】(1)如图即为Rt△ABC的外接圆，圆心为O； (2) ∵AB是直径， ∴， ∵∠A=30°， ∴∠B=90∠A=9030°=60°， ∵AB=6，∠B=60°， ∴圆O的半径为3，圆心角∠AOC=120°， ∴扇形AOC的面积为： =3π． 答：扇形AOC的面积为3π． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图、含30度角的直角三角形、三角形的外接圆与外心、扇形面积的计算，解决本题的关键是掌握直角三角形的外心在斜边中点． 21．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接OP． 求证：OP平分∠AOB． 【答案】见解析 【分析】由切线的性质得出OA⊥PA，OB⊥PB，证明Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），由全等三角形的性质得出∠AOP＝∠BOP，则可得出结论． 【详解】证明：∵PA，PB是⊙O的切线， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， 在Rt△OAP和Rt△OBP中， ， ∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL）， ∴∠AOP＝∠BOP， 即OP平分∠AOB． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，切线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 22．如图，，交于点，，是半径，且于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径是 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理等,掌握定理及性质，能用勾股定理求解是解题的关键． （1）由垂径定理得，由等腰三角形的性质得，即可求证； （2）由勾股定理得，即可求解； 【详解】（1）证明：，是半径，， ，， ， ； （2）解：设的半径是r， ， ， ， 的半径是5． 23．如图，中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为． (1)求证：为的切线； (2)若半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据等边对等角的性质，推出，进而得到，即可证明得到结论； （2）证明和是等边三角形，从而得出，，再根据锐角三角函数求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 为的切线； （2）解：半径为5， ，， ，， 是等边三角形， ，， ， 是等边三角形， ， ， 在中，，， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，圆的切线的判定定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理，含30度直角三角形，掌握圆的相关性质是解题关键． 24．如图，点是以为直径的上一点，点是上一点且，过点作与点，延长交于点，连接交于点，连接，． (1)求证：． (2)求与的数量关系． (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由直径所对的圆周角等于90度可得出，结合已知条件可得出，由同弧所对的圆周角相等可得出，等量代换可得出，再结合，即可证明 ； （2）由相似三角形的性质可得出，推出，进而可得出； （3）过点作于点，由已知条件可得出，进而可得，，得，，，设，则，结合勾股定理即可得出x的值，再利用勾股定理即可得出． 【详解】（1）证明：∵是的直径 ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：过点作于点， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，由（2）知， ∴， ∴，， 由（2）知，设，则， ∴，即， 解得：, ∴． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角等于90度，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定以及性质，平行线截线段成比例以及勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． 25．在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和外一点给出如下定义：若直线，中一条经过点，另一条是的切线，则称点是弦的“关联点”． (1)如图，点，， ①在点，，中，弦的“关联点”是______． ②若点是弦的“关联点”，直接写出的长； (2)已知直线与，轴分别交于点，，对于线段上一点，存在的弦，使得点是弦的“关联点”，记的长为，当点在线段上运动时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2)或 【分析】（1）①根据题目中关联点的定义并分情况讨论计算即可；②根据题目中关联点的定义计算即可； （2）先求出，，分点S位于点N和经过点O的的垂线上两种情况找到临界点讨论． 【详解】（1）解：①由关联点的定义可知，若直线中一经过点O，另一条是的切线，则称点C是弦的“关联点”， ∵点，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴直线与相切，且直线经过点O， ∴是弦的“关联点”， 又∵和横坐标相等， ∴，即与相切， 设直线的解析式为，则， ∴， ∴直线的解析式为， ∵， ∴在直线上，则经过点O， ∴是弦的“关联点”； ②∵，， 设，如下图所示，共有两种情况， a、若与相切，经过点O， 则、所在直线为： ， 解得：， ∴， b、若与相切，经过点O， 则、所在直线为：， 解得：， ∴， 综上，． （2）解：∵直线与，轴分别交于点，， 令，则，解得：，则， 令，则，则， ∵线段上一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”， 又∵弦随着S的变动在一定范围内变动，且，，， ∴S共有2种情况，分别位于点N和经过点O的的垂线上，如图所示， ①当S位于点时，为的切线，作， ∵，的半径为1，且为的切线， ∴，而，, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴当S位于点时，的临界值为和． ②当S位于经过点O的的垂线上时，如图， ∵点，， ∴， ∴， 又∵的半径为1， ∴， ∴，，而， ∴三角形为等边三角形， ∴在此情况下，，， ∴的临界值为和， ∴综上所述，的范围为或 ． 【点睛】本题考查了垂径定理，轴对称的性质，中点坐标，勾股定理，解直角三角形等知识．熟练掌握垂径定理，轴对称的性质，中点坐标，勾股定理，理解题意联系所学知识是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$