2024-2025学年北师大版八年级上册数学期末复习卷（二） 第七章 平行线的证明

参考答案 1.【答案】  2.【答案】  3.【答案】  4.【答案】  5.【答案】  6.【答案】  7.【答案】  8.【答案】  9.【答案】  10.【答案】  11.【答案】  12.【答案】或  13.【答案】  14.【答案】   15.【答案】  16.【答案】定理：三角形的内角和是； 已知：的三个内角分别为，，； 求证：． 证明：过点作直线，使． ， ，两直线平行，内错角相等 平角定义 等量代换 即．  17.【答案】解：， ，， ， ， 解得， ， 是的高， ， 是的角平分线， ， ．  18.【答案】      19.【答案】解：方法一，选择小颖同学所画的图形： 辅助线：过点作交于点， 分析思路：欲求的度数，由辅助线作图可知，，因此，只需转化为求的度数； 欲求的度数，由图可知只需转化为求和的度数； 又已知的度数，所以只需求出的度数； 由已知，可得； 由，可推出；可推出，由此可推， 所以可得的度数； 从而可以求出的度数． 方法二，选择小丽同学所画的图形： 辅助线：过点作交于点， 分析思路：欲求的度数，由辅助线作图可知，， 因此只需转化为求的度数； 欲求的度数，由图可知只需转化为求和的度数； 由已知，可得； 由，可推出，由可推出，由此可推，又已知的度数可求出的度数； 从而可求的度数．  20.【答案】解：； ，， ，， 由折叠得： ，， ， 的度数为； ，， ，， 由折叠得： ，， ， 与，之间的数量关系：  21.【答案】  两直线平行，同旁内角互补  平角的定义      等角的补角相等    22.【答案】  的度数不变．理由是： 设， 平分， ， ， ， 平分， ， ； 设， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；     23.【答案】相等  同角的余角相等  互补  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大八年级上册数学第七章平行线的证明期末复习卷（二） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列命题中，真命题是(    ) A. 的平方根是它本身 B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 三角形的外角大于任何一个内角 D. 同旁内角互补，两直线平行 2.如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上如果，那么的度数是(    ) A. B. C. D. 第4题图 第5题图 第2题图 3.下列说法：用两根钉子固定一根木条，体现数学事实是两点之间线段最短；射线与射线表示同一条射线；若，则为线段的中点；不相交的两条直线叫做平行线；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，其中正确的有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4.如图，，则(    ) A. B. C. D. 5.如图，是的角平分线，，垂足为，交于，连结若，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 6.如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在外的处，折痕为如果，，，那么下列式子中正确的是(    ) A. B. C. D. 7.如图，已知，点在上，点在上，点在上方，：：，点在的反向延长线上，且：：，设，则为度数用含的式子一定可以表示为(    ) A. B. C. D. 第8题图 第7题图 第6题图 8.如图，将沿，翻折，顶点，均落在点处，且与重合于线段，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 9.在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线交于点，与的外角平分线交于点，下列结论：；；；其中所有正确结论的序号是(    ) A. B. C. D. 第11题图 第10题图 第9题图 10.如图，图是的一张纸条，按图图图，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图中，则图中的度数为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.如图，已知平分，于，，，那么        ． 12.已知和，两个角的两边分别平行，，则的大小为______ 13.如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，下列结论：；；其中正确的是        只填序号 第15题图 第14题图 第13题图 14.如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，则的度数是          度，再沿折叠成图，则图中的的度数是          度． 15.如图，在中，，平分，，，则______用含的式子表示 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分证明三角形三内角和为要求；结合图形，写出已知，求证：并证明 17.本小题分在中，，是的高，是的角平分线，求的度数． 18.本小题分课本再现： 由三角形内角和定理可以推导出三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，我们可以进一步推导：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角． 如图，是的外角，则 ______，所以 ______填“”、“”或“” 实验与探究： 三角形中边与角之间的不等关系 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等那么不相等的边或角所对的角或边之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？ 智慧小组把以上问题转化成如下证明题：“如图，在中，，求证：”并作出了辅助线：作的平分线，在上截取，连接请你结合智慧小组的探究思路完成该问题的证明过程． 创新小组总结了智慧小组的实验探究结论：在一个三角形中，大边对大角；反之，大角对大边并且他们还提出了一个新问题：如图，在中，，那么，之间有怎样的数量关系？你的猜想是 ______填“”、“”或“”请证明你的猜想． 19.本小题分课堂上，王老师给同学们呈现了这样一个问题： 已知：如图，，于点，交于点，当时，求的度数小明、小颖、小丽三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题，如图：小明同学辅助线的做法和分析思路如下： 辅助线：过点作． 分析思路： 欲求人的度数，由图可知只需转化为求和的度数； 由辅助线作图可知，，又由已知的度数可得的度数； 由，推出，由此可推出； 由已知，可得，所以可得的度数； 从而可求的度数． 请你选择小颖同学或小丽同学所画的图形，描述辅助线的做法，并写出相应的分析思路． 20.本小题分在三角形纸片中，点，分别在边，上，将沿折叠，点落在点的位置． 如图，当点落在边上时，若，______； 如图，当点落在内部时，且，，求的度数； 如图，当点落在外部时，若设的度数为，的度数为，请求出与，之间的数量关系． 21.本小题分【问题背景】 同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． 如图，，为，之间一点，连接，，得到试探究与、之间的数量关系，并说明理由． 【类比探究】请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题： 如图，已知，，点在上，，请你说明；把下面的解答补充完整 解：因为 所以 ____________ 因为______ 又因为 所以 ______ ____________ 即 所以 由知 【拓展延伸】如图，平分，平分，若，请直接写出的度数为______． 22.本小题分如图，，点、分别在、上运动不与点重合． 若是的平分线，的反方向延长线与的平分线交与点． 若，则______ 猜想：的度数是否随，的移动发生变化？并说明理由． 若，，则______ 若将“”改为“”，，，其余条件不变，则______用含、的代数式表示 23.本小题分在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺探索与研究共直角顶点的两个直角三角形中的位置关系与数量关系．其中，， 将三角尺如图所示叠放在一起． 与大小关系是_______，依据是____________． 与的数量关系是_______． 小亮固定其中一块三角尺不变，绕点顺时针转动另一块三角尺，从图的与重合开始，到图的与在一条直线上时结束探索的一边与的一边平行的情况． 求当时，如图所示，的大小； 直接写出的其余所有可能值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页，共 7页 2024-2025 学年北师大八年级上册数学第七章平行线的证明期末复习 卷（二） 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列命题中，真命题是( ) A. 1 的平方根是它本身 B.两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C.三角形的外角大于任何一个内角 D.同旁内角互补，两直线平行 2.如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上.如果∠1 = 70°，那么∠2 的度数是( ) A. 20° B. 25° C. 30° D. 45° 3.下列说法：①用两根钉子固定一根木条，体现数学事实是两点之间线段最短；②射线��与射线��表示 同一条射线；③若�� = ��，则�为线段��的中点；④不相交的两条直线叫做平行线；⑤过一点有且只有 一条直线与已知直线垂直，其中正确的有( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 4.如图，�1//�2，则( ) A. ∠� + ∠� − ∠� = 180° B. ∠� + ∠� + ∠� = 180° C. ∠� + ∠� = 2∠� D. ∠� + ∠� = ∠� 5.如图，��是△ ���的角平分线，�� ⊥ ��，垂足为�，交��于�，连结��.若∠��� = 36°，∠� = 44°，则 ∠���的度数为( ) A. 18° B. 28° C. 36° D. 38° 6.如图，将一张三角形纸片���的一角折叠，使点�落在△ ���外的�′处，折痕为��.如果∠� = �， ∠���′ = �，∠���′ = �，那么下列式子中正确的是( ) A. � = 2� + � B. � = � + 2� C. � = � + � D. � = 180° − � − � 第 2 题图 第 4 题图 第 5 题图 第 2页，共 7页 7.如图，已知��//��，点�在��上，点�在��上，点�在��上方，∠���：∠��� = 3：2，点�在��的 反向延长线上，且∠���：∠��� = 3：2，设∠� = �，则∠�为度数用含�的式子一定可以表示为( ) A. 2� B. 72 + 25� C. 108 − 3 5 � D. 90 − � 8.如图，将△ ���沿��，��翻折，顶点�，�均落在点�处，且��与��重合于线段��，若∠��� = 142°， 则∠�的度数为( ) A. 38° B. 39° C. 42° D. 48° 9.在△ ���中，∠���，∠���的平分线交于点�，∠���的外角平分线所在直线与∠���的平分线交于点�， 与∠���的外角平分线交于点�，下列结论：①∠��� = 90° + 12∠�；②∠� = 1 2∠�；③∠� = 2 3∠�；④∠�+ ∠��� = 90° + ∠���.其中所有正确结论的序号是( ) A.①② B.③④ C.①②④ D.①②③④ 10.如图，图 1 是�� //��的一张纸条，按图 1 →图 2 →图 3，把这一纸条先沿��折叠并压平，再沿��折叠 并压平，若图 3 中∠��� = 18°，则图 2 中∠���的度数为( ) A. 120° B. 108° C. 126° D. 114° 二、填空题：本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。 11.如图，已知��平分∠���，�� ⊥ ��于�，��//��，∠��� = 34°，那么∠��� = ． 12.已知∠���和∠���，两个角的两边分别平行，∠��� = 2∠��� − 60°，则∠���的大小为______°. 第 6 题图 第 7 题图 第 8 题图 第 9 题图 第 10 题图 第 11 题图 第 3页，共 7页 13.如图，��//��，将一副直角三角板作如下摆放，∠��� = 60°，∠��� = 45°.下列结论：①��//��； ②∠��� = 75°；③∠��� = ∠���.其中正确的是 . (只填序号) 14.如图�是长方形纸带，∠��� = 25∘，将纸带沿��折叠成图�，则∠���的度数是 度，再沿��折叠成 图�，则图�中的∠���的度数是 度． 15.如图，在△ ���中，∠��� = 2�，��平分∠���，∠��� = 30° − �，∠��� = 30°，则∠��� =______. (用 含�的式子表示) 三、解答题：本题共 8 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.(本小题 8 分)证明三角形三内角和为180°(要求；结合图形，写出已知，求证：并证明) 17.(本小题 8 分)在△ ���中，∠� = 12∠� = 1 3∠���，��是△ ���的高，��是∠���的角平分线，求∠��� 的度数． 第 13 题图 第 14 题图 第 15 题图 第 4页，共 7页 18.(本小题 9 分)课本再现： (1)由三角形内角和定理可以推导出三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，我 们可以进一步推导：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角． 如图 1，∠���是△ ���的外角，则∠��� ______∠� + ∠�，所以∠��� ______∠�. (填“>”、“<”或“=”) (2)实验与探究： 三角形中边与角之间的不等关系 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等. 那么不相等的边(或角)所对的角(或边)之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？ 智慧小组把以上问题转化成如下证明题：“如图 2，在△ ���中，�� > ��，求证：∠� > ∠�.”并作出了辅 助线：作∠���的平分线��，在��上截取�� = ��，连接��.请你结合智慧小组的探究思路完成该问题的证 明过程． (3)创新小组总结了智慧小组的实验探究结论：在一个三角形中，大边对大角；反之，大角对大边.并且他们 还提出了一个新问题：如图 3，在△ ���中，∠� = 2∠�，那么��，2��之间有怎样的数量关系？你的猜想 是�� ______(填“>”、“<”或“=”)2��.请证明你的猜想． 19.(本小题 10 分)课堂上，王老师给同学们呈现了这样一个问题： 已知：如图，��//��，�� ⊥ ��于点�，��交��于点�，当∠1 = 30°时，求∠���的度数.小明、小颖、小丽 三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题，如图：小明同学辅助线的做法和分析思路如下： 第 5页，共 7页 辅助线：过点�作��//��． 分析思路： (1)欲求人���的度数，由图可知只需转化为求∠2 和∠3 的度数； (2)由辅助线作图可知，∠2 = ∠1，又由已知∠1 的度数可得∠2 的度数； (3)由��//��，��//��推出��//��，由此可推出∠3 = ∠4； (4)由已知�� ⊥ ��，可得∠4 = 90°，所以可得∠3 的度数； (5)从而可求∠���的度数． 请你选择小颖同学或小丽同学所画的图形，描述辅助线的做法，并写出相应的分析思路． 20.(本小题 10 分)在三角形纸片中，点�，�分别在边��，��上，将∠�沿��折叠，点�落在点�′的位置． (1)如图 1，当点�落在边��上时，若∠���′ = 58°，∠� =______； (2)如图 2，当点�落在△ ���内部时，且∠���′ = 42°，∠���′ = 20°，求∠�的度数； (3)如图 3，当点�落在△ ���外部时，若设∠���′的度数为�，∠���′的度数为�，请求出∠�与�，�之间 的数量关系． 21.(本小题 10 分)【问题背景】 同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形象的称为“猪 蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． (1)如图 1，��//��，�为��，��之间一点，连接��，��，得到∠���.试探究∠���与∠�、∠�之间的数量 关系，并说明理由． (2)【类比探究】请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题： 如图 2，已知��//��，��//��，点�在��上，∠��� = ∠���，请你说明∠��� + ∠��� = ∠���；(把下 面的解答补充完整) 第 6页，共 7页 解：因为��//�� 所以∠��� + ______= 180°(______) 因为∠��� + ∠��� = 180°(______) 又因为∠��� = ∠��� 所以∠ ______= ∠ ______(______) 即∠��� + ∠��� = ∠��� + ∠��� 所以∠��� = ∠��� 由(1)知∠��� + ∠��� = ∠��� ∴ ∠��� + ∠��� = ∠��� (3)【拓展延伸】如图 3，��平分∠���，��平分∠���，��//��.若∠��� = 68°，请直接写出∠���的度数 为______． 22.(本小题 10 分)如图 1，∠��� = 90°，点�、�分别在��、��上运动(不与点�重合)． (1)若��是∠���的平分线，��的反方向延长线与∠���的平分线交与点�． ①若∠��� = 60°，则∠� =______°. ②猜想：∠�的度数是否随�，�的移动发生变化？并说明理由． (2)若∠��� = 13∠���，∠��� = 1 3∠���，则∠� =______°. (3)若将“∠��� = 90°”改为“∠��� = �(0° < � < 180°)”，∠��� = 1�∠���，∠��� = 1 �∠���，其余 条件不变，则∠� =______°(用含�、�的代数式表示) 第 7页，共 7页 23.(本小题 10 分)在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺探索与研究共直角顶点的两个直角三角 形中的位置关系与数量关系．(其中∠� = 30°，∠� = 60°，∠� = ∠� = 45°) (1)将三角尺如图 1 所示叠放在一起． ①∠���与∠���大小关系是_______，依据是____________． ②∠���与∠���的数量关系是_______． (2)小亮固定其中一块三角尺△ ���不变，绕点�顺时针转动另一块三角尺，从图 2 的��与��重合开始，到 图 3 的��与��在一条直线上时结束探索△ ���的一边与△ ���的一边平行的情况． ①求当�� // ��时，如图 4 所示，∠���的大小； ②直接写出∠���的其余所有可能值．