命题点4 规律探索-【一战成名新中考】2025安徽中考数学·一轮复习·分层作业本优质课件PPT（练册）

数学 1 第一章 数与式 命题点4 规律探索（必考） 2 （规律探索每年必考，基本固定在18题，从2020年起数式规律探索与图形 规律探索轮换考查） A 基础达标练 1.[2024合肥庐阳区期末]在一列数：，，， ，中， ， ，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字， 则这一列数中的第2024个数是( ) A. 1 B. 3 C. 7 D. 9 √ 3 【解析】由题意可得，，，，， ， ，，， ， 每6个数一循环， ， 这一列数中的第2024个数是1. 4 第2题图 2.[2024合肥庐江县月考]如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的 灰白两种颜色的小正方形组成的，按照这样的规律，若组成的图案中有 2025个灰色小正方形，则这个图案是 ( ) A. 第505个 B. 第506个 C. 第507个 D. 第508个 √ 5 【解析】根据题意，观察图形的变化可知第1个图案中，灰色小正方形个 数为；第2个图案中，灰色小正方形个数为 ； 第3个图案中，灰色小正方形个数为； ，第 个图案中， 灰色的小正方形个数为 ；若组成的图案中有2025个灰色小正方形， 则，解得 . 第2题图 6 3.名师原创观察下列等式： 第1个等式： , 第2个等式： , 第3个等式： , 第4个等式： , … 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：__________________； 7 （2）请写出你猜想的第个等式（用含 的式子表示），并证明. 解：第个等式为 ， 证明： , , . 8 第4题图 4.学科融合[2024合肥新站区二模]合肥近几年城市发展迅速，交通便利， 2024年计划再筑公路533公里，深入推进“1155”大交通计划.修路的主要材 料之一是沥青，沥青中含稠环芳香烃，其中苯环个数为偶数的可视为同系 物.最简单的稠环芳香烃是萘，它的分子结构图与结构简图如下： 9 【规律发现】 （1）图（4）的分子式中含____个C原子； 28 【观察思考】观察结构简图的分子式回答下列问题： 第4题图 （2）图（n）的分子式中含_________个C原子； 10 【解法提示】由所给分子结构图及结构简图可知，图（1）的分子式中含 C原子的个数为 ；图（2）的分子式中含C原子的个数为 ；图（3）的分子式中含C原子的个数为；…; 图（n）的分子式中含C原子的个数为.当 时， （个），即图（4）的分子式中含C原子的个数为28. 第4题图 11 【规律运用】 （3）若图（）和图（ ）的分子式中共含有242个C原子，求 的值. 解：由题知 ， 解得， 的值为19. 第4题图 12 5.某班数学小组在研究个位数字为5的两位数的平方的规律时，得到了下列 等式： 第1个等式： ； 第2个等式： ； 第3个等式： ； … 假设个位数字是5的两位数的十位数字为 ，则这个两位数可以表示为 ，这个两位数的平方为 ①，由此可知个位数字是5的 两位数平方后末尾的两个数是② . 13 （1）补全上面数学小组的解答过程： ①___________________； ②____； 25 （2）数学小组继续探究发现，个位数字是5的两位数平方后，除了末尾两个 数有规律外，其他数位上的数也有规律，并且与原两位数的十位数字有关. （ⅰ）填空：______ ___________________； 4225 14 （ⅱ）已知且为整数，猜想第个等式（用含 的等式表示）， 并证明. 解：（，且 为整数）， 证明： ， 猜想的等式正确. 15 6.［2023安徽18题8分］【观察思考】 第6题图 【规律发现】 请用含 的式子填空： （1）第 个图案中“◎”的个数为____； 16 第6题图 （2）第1个图案中“★”的个数可表示为 ， 第2个图案中“★”的个数可表示为， 第3个图案中“★”的个数可表示为 ， 第4个图案中“★”的个数可表示为， ， 第 个图案中“★”的个数可表示为_______； 17 【规律应用】 第6题图 （3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数 ，使得连续的正 整数之和等于第 个图案中“◎”的个数的2倍. 解：由题意得，解得或 （不符合题意）， . 18 7.项目式探究［2024安徽18题8分］数学兴趣小组开展探究活动，研究了 “正整数能否表示为（， 均为自然数）”的问题. （1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（ 为正整数）： 19 奇数 4的倍数 表示结果 一般结论 ___________________ 20 按上表规律，完成下列问题： （ⅰ）（___）（___） ； （ⅱ） ___________________； 7 5 21 （2）兴趣小组还猜测：像2，6，10，14， 这些形如 （为正整数）的正整数不能表示为（， 均为自然数）.师生一 起研讨，分析过程如下： 假设，其中， 均为自然数. 分下列三种情形分析： ①若，均为偶数，设，，其中， 均为自然数，则 为4的倍数.而 不是4的倍 数，矛盾.故， 不可能均为偶数. 22 ②若，均为奇数，设，，其中， 均为自然 数，则 ____________________为4的 倍数.而不是4的倍数，矛盾.故， 不可能均为奇数. ③若，一个是奇数一个是偶数，则为奇数.而 是偶数， 矛盾.故， 不可能一个是奇数一个是偶数. 由①②③可知，猜测正确. 阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容. 【解法提示】 . 23 第8题图 8.[2024合肥三十八中三模]【观察思考】 一人巷是位于合肥市国家 级景区三河古镇 风景区的一个著名景点，其墙体是由方砖按 照一定规律组合砌成的，如图①. 如图②是一层墙体，当中竖放一块方砖，就 横放6块方砖（如图③）；当中竖放2块方砖， 就横放9块方砖（如图④）；以此类推. 24 第8题图 【规律发现】 若一段墙一共竖放的方砖有（ 为正整数）块，则 （1）横放方砖的块数为________（用含 的代数式表示）； 25 （2）当竖放的方砖为1时，墙体的长度为 ；当竖放的方砖为2 时，墙体的长度为 ；当竖放的方砖为3时，墙体的长度为 ；…当竖放的方砖为 时，墙体的长度为___________； 【解法提示】当竖放的方砖为 时，墙体的长度为 ； 第8题图 26 【规律应用】 第8题图 （3）已知横放的方砖长为 ，竖放方砖 的宽为，需要砌一段长为 的一层 墙体，若按照图中规律需要方砖多少块？ 解：当时，解得 ， 竖放的方砖总数为105，横放的方砖总数为 ， 方砖的总数为 （块）， 答：需要方砖423块. 27 B 强化提升练 9.七年级数学兴趣小组成员在研究我国数学发展的时候查阅到了一位杰出 的数学家，他们决定对其的发现展开微项目探索，请你跟随探索脚步，根 据素材，完成【任务规划】和【项目成效】. 【驱动问题】探索杨辉三角和多项式乘法计算结果中各项系数间的奥秘. 28 【核心概念】 第9题图 素材1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》 中记载了如图①，源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把 这个表叫作“杨辉三角”. 29 素材2：我们知道，； .利用多项 式的乘法运算，还可以得到： .当 时，将计算结果中多项式（以 降次排序）各项的系数排列成表，可得到 如图②： 第9题图 30 【任务规划】 第9题图 （1）任务1：请根据素材1和素材2直接写出 的计算结果； 解： ； 31 第9题图 （2）任务2：将（其中 ）的计算结果以 降次排序后， 请推导出第三项的系数（用含 的代数式表示）; 【答案】由杨辉三角发现规律可得， 时， ； 时， ； 时， ； 时， ； … ; 32 【项目成效】 第9题图 （3）成果展示：请计算中含 的项的系数是多少. 【答案】由（2）知第三项的系数是10， 则 ， 含 的系数是80. 33 10.综合与实践 问题情境：数学活动课上，王老师提出了一个问题： ， ，， ， 独立思考： （1）解答王老师提出的问题：第5个式子为___________， 第 个式子为_______________； 34 实践探究： （2）在（1）中找出规律，并利用规律计算 ； 解： ； 35 问题拓展： （3）数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后发现，当分母中 的两个因数的差为2时，该小组提出下面的问题，请你解答： 求 ； 【答案】 ； 36 问题解决： （4）求 的值. 【答案】 . 37 $$