第24章 圆 单元测试-2024-2025学年九年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

第24章 圆 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第24章（圆）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．2024年4月30日17时46分，神舟飞船再一次按计划准时准点从太空返回地面，中国航天员不断在太空创造新的纪录．下列四个以航天为主题的图案中，是中心对称图形的是（   ） A．B．C． D． 2．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．如图，正六边形内接于，已知的周长是，则该正六边形的边长是（   ） A．3 B． C．6 D． 4．如图，在中，，，将绕点A顺时针旋转后顶点B，C旋转的对应点分别是和，点恰好落在边上，连接，则的大小为（    ） A． B． C． D． 5．如图，点，，在上，若，则（   ） A． B． C． D． 6．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积是（　　） A． B． C． D． 7．如图，四边形是的内接四边形，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．如图，为的直径，点是的中点，过点作于点，交于点，若，，则的半径长是（   ） A． B．4 C．5 D． 9．如图，，切于点A，B，直线切于点E，交于点F，交于点G，若的周长是15cm，则的长为（    ） A．cm B．7cm C．cm D．8cm 10．如图，矩形中，，以A为圆心，2为半径作．若点E在上，点P在上，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 11．是内任意一点．若圆的半径为1，则经过点的弦的长度可以是 ．（写一种即可） 12．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为 ． 13．如图，的内切圆分别与三边相切于点D，点E和点F，若，，则的面积为 ． 14．如图， 四边形为矩形，，点E在边上，从点D运动到点C，运动速度为每秒2个单位，点F从点A开始沿射线方向运动，运动速度为每秒3个单位，当点E停止时，点F也随之停止．连接和交于点G，直线交直线于点 M，则的最小值为 ． 三、解答题：本题共9小题，共64分． 15．如图，在平面直角坐标系中有一个． (1)作出关于原点O对称的，并写出各顶点的坐标； (2)求出的面积． 16．图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点都在格点上． (1)在图1中，画出一个以所在直线为对称轴与成轴对称的格点三角形； (2)在图2中，画出一个以点为对称中心，与成中心对称的格点三角形． 17．如图，四边形内接于，为的直径，连接，，求的度数． 18．如图，是的直径，弦于点，若，． (1)求线段的长； (2)求弦的长． 19．已知：如图，在中，是边上一点，圆过、、三点，． (1)求证：直线是圆的切线； (2)若，，圆的半径为，求的长． 20．如图，四边形内接于，平分，交于点M． (1)如图1，求证：． (2)如图2，若经过圆心O，且，求的长． 21．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点．格点A，B，C在同一个圆上． 请只用无刻度直尺分别在给定网格中按照下列要求作图， 并保留作图痕迹．    (1)在图1中，画出圆心； (2)在图 2 中，在上画点，并连结，使平分． 22．学习心得（1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图，在中，，，是外一点，且，求的度数．若以点为圆心，长为半径作辅助圆，则、两点必在上，是的圆心角．是的圆周角，则______． 初步运用（2）如图，在四边形中，，，则_______； 问题迁移（3）①如图①，已知矩形，，，为边上的点，若满足的点恰好有两个，则的取值范围为______． ②如图②，在中，，是边上的高，且，，求的长． 23．定义：在平面直角坐标系中，对于，点在边的垂直平分线上，以点为圆心，为半径作，设与三条边的所有公共点个数为，则称点为关于边的“可控点”． 例如：如图，已知点，点．点为关于边的“可控点”． (1)如图，如果点是关于边的“可控点”，那么_______． (2)如图，若点，点． 关于边的“可控点”坐标是（   ）， 关于边的“可控点”的纵坐标的取值范围是_______． (3)如图，若点，点． 如果直线上存在关于边的“可控点”，那么的取值范围是____________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第24章 圆 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第24章（圆）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．2024年4月30日17时46分，神舟飞船再一次按计划准时准点从太空返回地面，中国航天员不断在太空创造新的纪录．下列四个以航天为主题的图案中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查中心对称图形的定义和识别，理解中心对称图形的定义，根据图形识别中心对称图形是解题的关键．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项，旋转后与原来的图形不重合，不是中心对称图形； 选项，旋转后与原来的图形不重合，不是中心对称图形； 选项，旋转后与原来的图形重合，是中心对称图形； 选项，旋转后与原来的图形不重合，不是中心对称图形． 故选：C． 2．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了关于原点的对称点的坐标．根据关于原点的对称点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：∵关于原点的对称点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数， ∴点关于原点的对称点的坐标是． 故选：D． 3．如图，正六边形内接于，已知的周长是，则该正六边形的边长是（   ） A．3 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆内接正六边形的性质，等边三角形的判定及性质，正确运用圆与正六边形的性质是解此题的关键． 如图所示，由正六边形内接于，可知是等边三角形，由的周长是，可得，即可得出结果． 【详解】解：如图所示：连接， ∵正六边形内接于， ， ∵， ∴是等边三角形， ∵的周长是， ， ， 故选：C． 4．如图，在中，，，将绕点A顺时针旋转后顶点B，C旋转的对应点分别是和，点恰好落在边上，连接，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形的内角和定理求出，由旋转可得，，从而得到，即可解答． 本题考查旋转，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题关键是正确观察图形． 【详解】解：∵，， ∴， 由绕点A顺时针旋转后顶点B，C旋转的对应点分别是和，点恰好落在边上， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 5．如图，点，，在上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理．根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可得出结果． 【详解】解：∵点，，在上，若， ∴； 故选． 6．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面积=底面周长×母线长，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：圆锥的侧面积 故选：B． 7．如图，四边形是的内接四边形，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的倍即可求． 【详解】 故选：A． 8．如图，为的直径，点是的中点，过点作于点，交于点，若，，则的半径长是（   ） A． B．4 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，弧、圆心角、弦之间的关系，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据垂径定理和点C是弧的中点得从，而得出，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，如图，设的半径为r， ∵，为的直径， ，， 点是的中点， ， ， ， 解得： 的半径长是， 故选C． 9．如图，，切于点A，B，直线切于点E，交于点F，交于点G，若的周长是15cm，则的长为（    ） A．cm B．7cm C．cm D．8cm 【答案】C 【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理，由题意可知，，以及，再结合的周长是15cm，即可求出的长． 【详解】解：直线切于点E，交于点F，交于点G， ，， 的周长是15cm， ， ，切于点A，B， ， ， ， 的长为cm． 故选：C． 10．如图，矩形中，，以A为圆心，2为半径作．若点E在上，点P在上，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】延长到点M，使得，连接交于点O，交于点N， 当点E与点O重合，点P与点N重合时，此时取得最小值，利用矩形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】解：延长到点M，使得，连接交于点O，交于点N， ∵， ∴当点E，P，M三点共线时，取得最小值，此时为， ∵点E是上动点， ∴当E与点O重合时，最小，此时为， ∴当点E与点O重合，点P与点N重合时，此时取得最小值， ∵矩形中，，以A为圆心，2为半径作． ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，圆的基本性质，两点之间线段最短，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，圆的基本性质是解题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 11．是内任意一点．若圆的半径为1，则经过点的弦的长度可以是 ．（写一种即可） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了弦的性质，由是内任意一点，圆的半径为1，可得经过点的弦长的取值范围，即可得出答案，注意答案不唯一． 【详解】解：∵是内任意一点，圆的半径为1， ∴经过点的弦的长， ∴经过点的弦的长度可以是1（答案不唯一）， 故答案为：1（答案不唯一）． 12．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为 ． 【答案】/125度 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质．熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键． 根据计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 13．如图，的内切圆分别与三边相切于点D，点E和点F，若，，则的面积为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了切线长定理和勾股定理，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握切线长定理的相关内容，找到线段之间的关系．直接利用切线长定理得出，，，设，再结合勾股定理得出的长，进而得出答案． 【详解】解：的内切圆分别与斜边、直角边、切于点D、E、F，，， ，，， 设， 则， 整理得，， 解得：，（不合题意舍去）， 则，    ， ， 故的面积为20， 故答案为20． 14．如图， 四边形为矩形，，点E在边上，从点D运动到点C，运动速度为每秒2个单位，点F从点A开始沿射线方向运动，运动速度为每秒3个单位，当点E停止时，点F也随之停止．连接和交于点G，直线交直线于点 M，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图1，设运动时间为秒，则，由，，证明，可求，如图1，记的中点为，则在以为直径的上运动，由题意知，、均为的切线，如图1，作的切线，交于，切点为，由题意知，的最小值为，由切线长定理可知，，，设，则，，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【详解】解：如图1， ∵矩形， ∴，，， 设运动时间为秒，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图1，记的中点为， ∴在以为直径的上运动， 由题意知，、均为的切线， 如图1，作的切线，交于，切点为， 由题意知，的最小值为， 由切线长定理可知，，， 设，则，， 由勾股定理得，，即， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，的圆周角所对的弦为直径，切线长定理，勾股定理等知识．明确线段最小值的情况是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共64分． 15．如图，在平面直角坐标系中有一个． (1)作出关于原点O对称的，并写出各顶点的坐标； (2)求出的面积． 【答案】(1)见解析，，， (2)11.5 【分析】（1）依据中心对称的性质，即可得到关于原点O成中心对称的；进而得出的坐标； （2）依据三角形面积计算公式，利用割补法即可得到的面积． 【详解】（1）中，，中各点的坐标分别是，，,作图如下：    （2） 【点睛】本题主要考查了利用中心对称变换作图，根据中心对称的性质可知，关于原点中心对称的两个图形各对应点的横、纵坐标互为相反数，先读出已知点的坐标，再找到各自的对应点，顺次连接得出要作的图形．求面积用割补法最常用. 16．图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点都在格点上． (1)在图1中，画出一个以所在直线为对称轴与成轴对称的格点三角形； (2)在图2中，画出一个以点为对称中心，与成中心对称的格点三角形． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 【分析】（1）根据轴对称图形的性质即可求解； （2）根据中心对称图形的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 与关于对称， ∴是所求图形． （2）解：如图所示， 与关于点中心对称， ∴是所求图形． 【点睛】本题主要考查轴对称，中心对称作图，掌握轴对称图形，中心对称图形的性质和定义，找出对称轴，中心对称点是解题的关键． 17．如图，四边形内接于，为的直径，连接，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．由圆周角定理得出，根据直角三角形两锐角互余，进而得出，根据圆内接四边形的性质求出，即可求解． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴． 18．如图，是的直径，弦于点，若，． (1)求线段的长； (2)求弦的长． 【答案】(1)线段的长为； (2)线段的长为． 【分析】（）根据，，则，故有，然后利用线段和差即可求解； （）由得，，然后由勾股定理求出的长即可； 本题考查了圆的有关性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长为； （2）解：由（）得，， ∵， ∴，， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴线段的长为． 19．已知：如图，在中，是边上一点，圆过、、三点，． (1)求证：直线是圆的切线； (2)若，，圆的半径为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先根据等腰直角三角形的性质可得，结合，通过角与角之间的关系可得，此时即可得证；   （2）首先由勾股定理得到的长，根据已知可得，作于点，则，根据锐角三角比即可解答； 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴直线是圆的切线． （2）解：∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， 作于点，则， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的切线的证明方法、圆周角定理，解直角三角形以及等腰三角形等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 20．如图，四边形内接于，平分，交于点M． (1)如图1，求证：． (2)如图2，若经过圆心O，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由角平分线的定义可得，即可得出，结合圆周角定理推出，由相似三角形的性质可得，即可得证； （2）由圆周角定理结合角平分线的定义得出，从而得出，推出，由勾股定理得出，，作于，求出、的长，即可得解． 本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：为直径， ， 平分， ， ， ， 在中，，， ， 在中，，， ， 作于， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ． 21．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点．格点A，B，C在同一个圆上． 请只用无刻度直尺分别在给定网格中按照下列要求作图， 并保留作图痕迹．    (1)在图1中，画出圆心； (2)在图 2 中，在上画点，并连结，使平分． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题主要考查了作图—应用与设计作图、垂径定理的推论、圆周角定理等知识点， （1）连接，由圆周角定理可知为圆的直径，取的中点O，则点O即为所求； （2）取的中点O，连接，再取的中点D，连接并延长交于点E，连接即可； 解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）如图，连接，由圆周角定理可知为圆的直径，取的中点O，    ∴点O即为所求； （2）如图，在（1）的基础上，连接，再取的中点D，连接并延长交于点E，连接，    由垂径定理的推论可知，， ∴，即，平分， ∴即为所求． 22．学习心得（1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图，在中，，，是外一点，且，求的度数．若以点为圆心，长为半径作辅助圆，则、两点必在上，是的圆心角．是的圆周角，则______． 初步运用（2）如图，在四边形中，，，则_______； 问题迁移（3）①如图①，已知矩形，，，为边上的点，若满足的点恰好有两个，则的取值范围为______． ②如图②，在中，，是边上的高，且，，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）①；②； 【分析】由圆周角定理可得出答案； 取的中点，连接、由直角三角形的性质证明点A、、、共圆，由圆的性质得出，则可得出答案； 在上截取，连接，以为直径，由图形可知，由勾股定理求出和的长，则可得出答案； 作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、由圆周角定理及勾股定理可得出答案； 【详解】解：是的圆心角，是的圆周角，， ； 故答案为：； 如图，取的中点，连接、， ， ，， ， 点、、、共圆， ， ， ， 故答案为：； 在上截取，连接，以为直径，交于，交于，连接，过圆心作于且交圆于，过作的切线交于交于，如图所示： ， ， 的半径为，即， ， ， ， ， ， ，即， 故答案为：； 如图，作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、， ，， ， 在中，， ，为圆心， ， ， 在中，，， ， 在中，，， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了等边三角形的性质、圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的性质、垂径定理等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 23．定义：在平面直角坐标系中，对于，点在边的垂直平分线上，以点为圆心，为半径作，设与三条边的所有公共点个数为，则称点为关于边的“可控点”． 例如：如图，已知点，点．点为关于边的“可控点”． (1)如图，如果点是关于边的“可控点”，那么_______． (2)如图，若点，点． 关于边的“可控点”坐标是（   ）， 关于边的“可控点”的纵坐标的取值范围是_______． (3)如图，若点，点． 如果直线上存在关于边的“可控点”，那么的取值范围是____________． 【答案】(1)； (2)；或； (3)或 【分析】（1）连接、，以为圆心，的长为半径作分别证明与只有一个公共点，与只有一个公共点，即可得解； （2）如图，根据、坐标可得垂直平分线为轴，根据，点在轴上可得过点、、，，设，在中，利用勾股定理列方程求出值，当时，与只有个公共点，当与相切时，连接，有，利用勾股定理求得时，与只有个公共点，当时，与只有个公共点，从而即可得解； （3）分当过、、三点时，和当与相切于点，与相切于点，利用切线的性质及勾股定理求解即可． 【详解】（1）解:如图，连接、，以为圆心，的长为半径作 ∵点，点，点是关于边的“可控点”， ∴点在的垂直平分线上，，， ∴ ∴， ∴， ∴与相切， ∴与只有一个公共点， 同理可证与只有一个公共点， ∴， 故答案为：； （2）解：∵垂直平分线为轴，，点在轴上，， ∴过点、、，，， 设，则，连接、， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：； 如图，当时，与只有个公共点， 如图，当与相切时，连接，有， ∵，点．关于边的“可控点”的纵坐标 ∴，， ∵， ∴ ∴ 解得， ∴当时，与只有个公共点， 如图，当时，与只有个公共点， 综上可得，关于边的“可控点”的纵坐标的取值范围是或； （3）解：如图，当过三点时，设， ∵点，点．， ∴，， ∴ 解得， ∴此时， 把代入直线，得， ∴， 当与相切于点时，连接、，则，设， ∵点，点． ∴，， ∵， ∴ ∴ 解得，此时， 如图，当与相切于点时，连接、，则，设， ∵点，点． ∴，， ∵， ∴ ∴ 解得，此时， ∴当时，与有个公共点， 把代入直线，得， 解得 把代入直线，得， 解得 ∴， 综上可得或时，直线上存在关于边的“可控点”． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、勾股定理，切线的性质、两点间距离公式、熟练掌握勾股定理，切线的性质定理是解题关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$