专题01 圆拓展之最值篇（优质类型）-2024-2025学年九年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

专题01 圆拓展之最值篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、点运动路径 【解惑】已知如图正方形的边长为4，点为边上一动点，于，将绕着点顺时针旋转得到，连接，当点从点运动到点时，点的运动路径长为（　　） A．4 B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，连接，设的中点分别为，连接，则，，，点在以为圆心，2为半径的圆弧上运动，点从点运动到点点从点运动到点的长，，，，点在以为圆心，2为半径的圆弧上运动，和对应，点的运动路径长与点的运动路径长相等，点的运动路径长为． 【融会贯通】 1．如图，半径为，圆心角为的扇形的弧上有一运动的点P，从点P向半径引垂线交OA于点H．设的内心为I，当点P在弧上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为（　　） A．π B．π C．π D．π 【答案】B 【分析】本题考查了弧长的计算公式：，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数．同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质，解题的关键是正确寻找点I的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．如图，连由△OPH的内心为I，可得到，并且易证，得到，所以点I在以为弦，并且所对的圆周角为的一段劣弧上；过A、I、O三点作，如图，连，在优弧取点，连，可得，得，，然后利用弧长公式计算弧的长． 【详解】解：如图，连 ∵的内心为I， ∴， ∴， 而，即， ∴， 又∵公共， 而， ∴， ∴， 所以点I在以为弦，并且所对的圆周角为的一段劣弧上； 过A、I、O三点作，如图，连， 在优弧取点，连， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴弧的长π（）， 所以内心I所经过的路径长为． 故选：B． 2．如图，在中，是边上一点，将绕点P逆时针旋转得到，连接．当点P从点A运动到点B时，点D的运动路径长为 ． 【答案】6 【分析】此题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，连接，过点P作，交的延长线于点E．证明，得到 ，则点D在与成的射线上运动，即可求出其运动路径长为，得到答案． 【详解】解：连接，过点P作，交的延长线于点E． ， ， ， ， 由旋转得， ， ， ∴点D在与成的射线上运动， 其运动路径长为， ∴运动路径长为． 故答案为：6 3．如图，已知在扇形中，，．P为弧上的动点，过点P作于点E，于点F，连接．当点沿着弧从点运动至点时，的外心运动的路径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查轨迹，圆周角定理，弧长公式，三角形的外心等知识，解题的关键是正确寻找的外心点的运动轨迹，属于中考常考题型．判断出的外心点的运动轨迹，利用弧长公式求解． 【详解】解：如图，连接，作出的中点D，连接， ，， ， 点，，，四点共圆， 是的外接圆的圆心， ， 点是以在点为圆心为半径的圆上的动点， 点，分别在半径，上， 点运动路径所对的圆心角是， 点运动路径所对的圆心角是， 点运动的路径长为． 故答案为：． 类型二、圆中的将军饮马 【解惑】如图，是的直径，，，点为弧的中点，点是直径上的一个动点，则的最小值为（   ） A．4 B． C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称与最短路线问题，圆周角定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．过作关于直线的对称点，连接，由轴对称的性质可知即为的最小值，然后根据对称的性质可知，再由圆周角定理可求出的度数，从而得到，再过点作于，在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过作关于直线的对称点，连接，由轴对称的性质可知即为的最小值，连接，， 关于直线对称 ，点为弧的中点， ， 过点作于，在中， 即的最小值． 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，在半圆O中，直径，C，D是半圆上两点，P是直径上一点，若，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将半圆O补充成一个整圆，过点C作的垂线交于点，连接交于点P，连接、，连接，延长交于点E，连接．根据垂径定理可知是的垂直两平分线，从而可得最小值为的长度；根据圆周角定理求得，从而求得，由对顶角的性质可知，再根据三角形内角和定理求得，由三角函数求出即可． 【详解】解：如图所示，将半圆O补充成一个整圆，过点C作的垂线交于点，连接交于点P，连接、，连接，延长交于点E，连接． ∵为直径，， ∴是的垂直两平分线， ∴， ∴， ∴最小值为的长度， ，， ， ∴ ∴ ∴， ∵为直径， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、轴对称最短路线问题，作点C的对称点并将的最小值转化为线段，掌握圆周角定理、垂径定理、三角形内角和定理、特殊角的三角函数是解题的关键． 2．如图，是的直径，A，B，C是上的三点，，点B是弧的中点，点P是上一动点，若的半径为2，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，轴对称的性质，勾股定理等知识．确定线段和最小的情况是解题的关键． 如图，作关于的对称点，连接，则，，，由轴对称的性质可知，，，则，，可知当三点共线时，值最小为，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，作关于的对称点，连接， ． ∵， ∴， ∴， ∵点B是弧的中点， ∴， 由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴当三点共线时，值最小为， 由勾股定理得，， 故答案为：． 3．如图，是的直径，，点M在上，连接，，N是的中点，P是直径上的一动点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了圆周角定理、最短路径问题、等边三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．作点M关于直径的对称点，连接、、、、，由轴对称的性质可得和是等边三角形，再利用两点之间线段最短可得的最小值为，求出的长即可解答． 【详解】解：如图，作点M关于直径的对称点，连接、、、、， ， ， 是的中点， ， 点M、关于直径对称，P是直径上的动点， ，， ， 又， 是等边三角形， ， ， 即的最小值为4． 故答案为：4． 类型三、两栋一定 【解惑】如图，在正方形中，，点E是正方形内部一动点，且，点P是边上一动点，连接，，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 根据，得到点E在以为直径的半圆上移动，如图，设的中点为O，作正方形关于直线对称的正方形，则点D的对应点是F，连接交于P，交半圆O于E，则线段的长即为的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解： ∵， ∴点E在以为直径的半圆上移动， 如图，设的中点为O， 作正方形关于直线对称的正方形， 则点D的对应点是F， 连接交于P，交半圆O于E， 则线段的长即为的长度最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， 故的长度最小值为， 故选A． 【融会贯通】 1．如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（    ）    A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】取点B关于直线的对称点M，连接，两线交于点O，连接，，，过O作于点N，根据勾定理求出，结合四点共线时最小即可得到答案； 【详解】解：取点B关于直线的对称点M，连接，两线交于点O，连接，，，，过O作于点N，    ∵正方形，E是的中点． ∴，，， ∵点Q是的中点， ∴， ∴点Q在以O为圆心，半径为1的圆上运动， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴当、 、、四点共线时的值最小， ， ∴的最小值为： ， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称最小距离和问题，正方形的轴对称性质，圆上动点最小距离问题，勾股定理，解题的关键是找到点Q的轨迹． 2．如图，正方形中，，M是边上一个动点，以为直径的圆与相交于点Q，P为上另一个动点，连接，，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是找出定点和动点，以及动点在什么图形上运动．中，A点是定点，P，Q是动点，P在线段上，想到将军饮马，Q在以为直径的圆上，最终转化为点圆最值问题． 【详解】解：连接，以为一条边在右侧作正方形，如图所示： 则， ∴， ∴点Q在以为直径的圆上运动， 即点Q在上， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∴当E、P、Q、O在同一直线上时，最小，且最小值为， ∵， ∴O、C、F在同一直线上， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 3．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于两点（在的左侧），点关于抛物线对称轴的对称点为点，动点在轴上，点在以点为圆心，半径为1的圆上，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】先求出，，，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，由轴对称的性质可得：，，当、、在同一直线上时，最小，由勾股定理可得，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：在中，当时，，当时，， 解得，， ，， ， 抛物线的对称轴为直线， 点关于抛物线对称轴的对称点为点， ， 如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接， ， 由轴对称的性质可得：，， 当、、在同一直线上时，最小，此时， ，， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、轴对称的性质、勾股定理，圆的基本性质，掌握以上基础知识，作出合适的辅助线是解本题的关键． 类型四、折叠圆、直角圆 【解惑】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（    ） A．1 B．1.2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF=FC，故此点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FQ⊥AB时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用三角函数的知识求解即可． 【详解】解：如下图：以点F为国心，以2为半径作圆F，过点F作AB的垂线，垂足为Q，FQ交圆F于P0， 故点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FQ⊥AB时，点P到AB的距离最短， 在Rt△AFQ和Rt△ABC中， ∵sin∠A=，sin∠A=， ∴=， ∵AC＝6，BC＝8，CF＝2， ∴AB=10， ∴， ∴FQ=3.2， ∵FP0=2， ∴P0Q=3.2-2=1.2． 故选：B． 【点睛】本题考查翻折变换，垂线段最短，勾股定理、三角函数、圆等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 【融会贯通】 1．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是边BC上的任意一点，把BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则四边形AGCD的面积的最小值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】连接，首先确定出随着F点的运动，E点的运动轨迹，然后利用直线与圆的位置关系得出时，四边形AGCD的面积的最小，从而结合三角函数求解即可． 【详解】如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， 根据勾股定理得，， ∵， ∴点F在BC上的任何位置时，点G始终在AC的下方， 设点G到AC的距离为h， ∵， ∴要使四边形的面积最小，即h最小， 由题意可知点G是以点E为圆心，BE=1为半径的圆上在矩形内部的一点， ∴时，h最小，即点三点共线． 由折叠的性质知， 如解图，延长EG交AC于点H，则， 在中，， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查矩形中的折叠问题，理解矩形的性质，准确判断出动点的轨迹，熟练结合三角函数求解是解题关键． 2．如图，菱形的边长为13，面积为156．点是边上一点，连接．将沿翻折，点的对应点为，点是线段的中点，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得点在以点为圆心，为半径的上，根据垂径定理可得，则可得出点在为直径的圆上，以为直径作，连接与的交点即为所求的点，作于点，根据菱形的面积与边长求出的长度，根据勾股定理求出的长度，然后求出长度，根据勾股定理求出长度，最后根据可得答案． 【详解】解：∵将沿翻折， ∴， ∵菱形的边长为13， ∴， ∴， ∴点，点在以点为圆心，为半径的上， ∵点为弦的中点， ∴， ∴， ∴点在为直径的上， ∵是中点，是的中点， ∴为定长， 连接，作于点，则：， ∴当三点共线时，的值最小， ∵菱形边长为，面积为， 则， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为： 【点睛】本题考查了菱形的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识点，根据题意画出最短时的图形是解本题的关键． 3．边长为的正方形中，E是边垂直平分线上的一点，连接，并延长交直线于点F，再连接，将沿翻折至，再连接，当的长度取最小值时，则、E、D、F构成的四边形面积为 ． 【答案】/ 【分析】由翻折的性质可知，，，可知点在以B为圆心，长为半径的圆上运动，如图1，连接交于，由题意知，此时最小，由勾股定理得，，的最小值为，如图2，四边形为、E、D、F构成的四边形，作的垂直平分线，，交于，交于，则，，，，由勾股定理得，，，，由，可得，则，，证明，可求，则，如图2，作于H，于，则，，，则，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由翻折的性质可知，，， ∴点在以B为圆心，长为半径的圆上运动，如图1，连接交于， 由题意知，此时最小， 由勾股定理得，， ∴的最小值为， 如图2，四边形为、E、D、F构成的四边形，作的垂直平分线，，交于，交于， 由题意知，，，， ∴，，，， 由勾股定理得，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 如图2，作于H，于， ∴，，， ∴，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，圆，勾股定理，垂直平分线的性质，特殊角的三角函数，相似三角形的判定与性质，等角对等边．确定的长度最小的情况并正确表示四边形的面积是解题的关键． 类型五、直角圆 【解惑】如图，矩形中，．点P是边上一动点，点M为线段上一动点．，则的最小值为（   ）． A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】设的中点为，连接，证明，得出，点在点为圆心，4为半径的圆上，利用勾股定理求出从而计算出答案． 【详解】解：设的中点为，连接， ∵四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ∴点在点为圆心，4为半径的圆上． ， ， ∵的最小值为2． 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，二次根式的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，应用直角三角形性质解决问题． 【融会贯通】 1．如图，在等腰中，，，，点D是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点E，则线段长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，取的中点M，连接，根据圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，线段最短原理解答即可． 【详解】解：连接， ∵为直径的圆交于点E， ∴， 取的中点M，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，取得最小值， ∴最小值为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，线段最短原理，熟练掌握圆的性质，特殊角的三角函数值，勾股定理是解题的关键． 2．如图，已知正方形的边长为4，E是边上的动点，交于点F，垂足为P，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查动点轨迹是圆的动点问题、圆周角定理和勾股定理，解题的关键是能够发现题目中动点的轨迹是圆，利用求点到圆上一点距离最小的方法求线段的最小值． 根据题意，P点的轨迹是以中点O为圆心，为半径的圆弧，因此当O、P、C在同一条直线上时，取最小值，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，取的中点O，连接， 根据题意，P点的轨迹是以中点O为圆心，为半径的圆弧， ∴和的长度是一定的， 因此当O、P、C在同一条直线上时，取最小值， ∵四边形是正方形， ∴， ∵正方形的边长为4， ∴，， 由勾股定理得， ∴的最小值为， 故答案为：． 3．如图，是半的直径，点在半上，，，是上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了勾股定理、点与圆的位置关系等知识．如图，取的中点为，连接、，在点D移动的过程中，点E在以为直径的圆上运动，当、E、B三点共线时，的值最小，最小值为，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，取的中点为，连接、， ， ， ， 在点D移动的过程中，点E在以为直径的圆上运动， 是直径， ， 在中， ， ， 在中，， ， 当、E、B三点共线时，的值最小，最小值为：， 故答案为：． 类型六、切线与勾股定理 【解惑】如图，等边三角形的边长为，的半径为，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，过点作于，由三线合一可求出的长，再利用勾股定理可求出的长，根据切线的性质得到，利用勾股定理可求出的长，然后根据垂线段最短即可得解． 【详解】解：如图，连接、，过点作于， ， 是等边三角形，且， ， ， 是的切线， ， ， ， 当取得最小值时，取得最小值， 根据垂线段最短可知，当时，最小，取得最小值，此时， 的最小值为：， 故选：． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，三线合一，勾股定理，切线的性质，垂线段最短等知识点，熟练掌握切线的性质及垂线段最短是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图在平面直角坐标系中，直线过点的半径为于点P，切于点，那么切线长的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的判定与性质、坐标与图形性质以及矩形的性质等知识点．连接．根据勾股定理知，当时，线段最短，即线段最短． 【详解】解：连接． ∵是的切线， ∴； 根据勾股定理知， ∵当时，线段最短； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 2．如图，在等边中，，以点为圆心，半径为作，点是边上的一个动点，过点作与相切于点，则线段的最小值为 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质、勾股定理、切线的性质定理、垂线段最短等知识，连接，，作于点，则勾股定理求得，，且当的值最小时，的值最小，进而即可求解． 【详解】如图，连接，，作于点，则 在等边中，， ， ． 与相切于点 ， ，且当的值最小时，的值最小， 当时，最小为． 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，的半径为（为坐标原点），点是直线上的一动点，过点作的一条切线，为切点，则切线长最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，坐标与图形性质，勾股定理，垂线段最短，连接，由是的切线，得，再由勾股定理得，则当时，线段最短，最后再由勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接，如图所示， ∵、， ∴，， ∵是的切线， ∴， ∴， 由勾股定理知：， ∴当时，线段最短， ∵在中，， ∴， ∴， ∴最小， 故答案为：． 类型七、中位线与瓜豆原理 【解惑】如图，正方形的边长为8，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边三角形，连接，则的最小值为（    ）    A．1 B．5 C． D．4 【答案】B 【详解】本题考查了线段极值问题，矩形的性质，旋转的性质，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是本题的关键． 由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在线段轨迹上运动．将绕点E旋转，使与重合，得到，连接，得到．则点G在垂直于的直线上．作，由垂线段最短可知，的长即的最小值．作，则四边形为矩形，求出．，得出，最后根据，即可求解． 【分析】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在线段轨迹上运动．将绕点E旋转，使与重合，得到，连接， 由旋转可得， ∴，， ∴为等边三角形．    ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴点G在垂直于的直线上． 作，由垂线段最短可知，的长即的最小值． 作，则四边形为矩形， ∴，， ∴． ， ， ∴，即的最小值为5． 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，在矩形中，，点E为边上一动点，点F为的中点，连接，点G在上，且，则下列结论：①在点E从点D运动到点A的过程中，点F运动的路径长为；②的最小值为16；③点G到的中点的距离为定值；④的最小值为．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】取的中点H，连接，根据中位线的性质可得点F在直线上运动，点F运动的路径长为，即可判断结论①；连接，由直角三角形斜边上的中线的性质得到，从而，根据勾股定理求出的长，即可判断结论②；取的中点，连接，则的长为点G到的中点的距离，连接，，由，得到点D，E，G，C在以点F为圆心，为直径的圆上，从而得到，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可判断结论③；当时，的面积最大，进而由求出的最小值，再根据三角形中线的性质即可求出的最小值，从而判断结论④． 【详解】解：取的中点H，连接， ∵点F是的中点， ∴，， ∴点F在直线上运动，当点E和点A重合时，有最大值， ∴点F运动的路径长为．故结论①正确； 连接， ∵在矩形中，， 又点F是的中点， ∴， ∴， ∵在矩形中，， ∴在中，， ∴的最小值为16．故结论②正确； 取的中点，连接，则的长为点G到的中点的距离， 连接，， ∵，点F是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴点D，E，G，C在以点F为圆心，为直径的圆上， ∴， ∴， ∵点I是的中点， ∴ ∴点G到的中点的距离为定值．故结论③正确； ∵点E是上的动点， ∴， ∵， ∴点G在以点I为圆心，为半径的圆上运动， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时为最小值， ∵点F是的中点， ∴的最小值为．故结论④正确． 综上所述，结论正确的是①②③④． 故选：D 【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，三角形中位线的性质，圆周角定理，矩形的性质，勾股定理等，综合运用相关知识，正确作出辅助线是解题的关键． 2．如图，在等腰直角三角形中，，点Р在以斜边为直径的半圆上，M为的中点，则点Р沿半圆由点A运动至点B的过程中，线段的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查轨迹，等腰直角三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是正确判断出点M的运动轨迹，属于中考常考题型． 如图，设的中点为O，连接，判断出点M的运动轨迹，利用勾股定理求出进而求解． 【详解】解：如图，设的中点为O，连接，作于H，    ， 是的中点， ， ， ， ∴点M的运动轨迹是以为直径的⊙T， 设⊙T交于点E，交于点F，连接，则是直径， ∴点M的运动轨迹在以为直径的上（即上），， ， ， 连接，与交于点M，    在中， ， ， 当时，此时最小， ， 故答案为：． 3．（1）如图①，在平面直角坐标系中，、，以点为圆心、2为半径的上有一动点．连接，若点为的中点，连接，则的最小值为 ． （2）如图②，点A、B的坐标分别为、，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为 ．    【答案】 【分析】（1）连结，取的中点D，连结，，根据三角形的中位线定理得，则点C在以定点D为圆心，1为半径的圆上运动，所以当点C运动到线段上时，的值最小，求出的长，即得的最小值； （2）连结，取的中点D，连结，，根据三角形的中位线定理得，则点M在以定点D为圆心，为半径的圆上运动，所以当点M运动到线段的延长线上时，的值最大，求出的长，即得的最大值． 【详解】（1）连结，取的中点D，连结，，   为的中点， ， 所以点C在以定点D为圆心，1为半径的圆上运动， ，，， ， ， 所以当点C在线段上时，的值最小，最小值为； 故答案为：． （2）连结，取的中点D，连结，，   为的中点， ， 所以点M在以定点D为圆心，为半径的圆上运动， ，，， ， ， 所以当点M运动到线段的延长线上时，的值最大，最大值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形与坐标，圆的定义，三角形中位线定理，求圆外一点到圆上点的距离的最值，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 类型八、其他最值 【解惑】如图，边长为 的等边三角形中，M 是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 取的中点，连接，根据等边三角形的性质和旋转可以证明，可得，根据垂线段最短，当时，最短，即最短，由直角三角形的性质可求得线段长度的最小值． 【详解】解：如图，取的中点，连接，则， ∵线段绕点逆时针旋转得到， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， 即， ∴， ∵是等边三角形的高， ∴， ∴， 又∵旋转到， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 根据垂线段最短，当时，最短，即最短， 此时， ∴， ∴． ∴线段长度的最小值是． 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为（  ） A．30 B．32 C．35 D．38 【答案】D 【分析】首先连接，，证明在以为圆心，2为半径的圆弧上，过作于，当G在上时，面积取最小值，此时四边形面积取最小值，再进一步解答即可． 【详解】解：连接，， ∵矩形， ∴，， ∵，为的中点， ∴， ∴在以为圆心，2为半径的圆弧上， 过作于， 当G在上时，面积取最小值，此时四边形面积取最小值， 四边形面积=三角形面积+三角形面积， 即四边形面积=三角形面积+24． 设圆弧交于，此时四边形面积取最小值， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 即四边形面积的最小值=． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理及矩形中的与动点相关的最值问题，圆的确定，解题的关键是利用直角三角形斜边的直线等于斜边的一半确定出点的运动轨迹． 2．如图，已知，点A是直线上方的一个动点，的面积为4，是边的中点，将点A绕点顺时针旋转得到点，连接、，则线段长度的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】作交于，以为边在直线下方构造等边，连接，利用全等三角形判定证出，得出；由，，的面积为4，得出点A形成的轨迹为平行于直线，在上方，且距离为1的直线，再作交直线于，交直线于，求出的长，再由垂线段最短性质得到，求出线段长度的最小值，即可得出线段长度的最小值． 【详解】解：如图，作交于，以为边在直线下方构造等边，连接， 点A绕点顺时针旋转得到点， ，， 是等边三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ； ，的面积为4， ， 又， ， 点A是直线上方的一个动点， 点A形成的轨迹为平行于直线，在上方，且距离为1的直线，记为， 作交直线于，交直线于， 是边的中点， ， ，， ， ， ， ， 又， ， 由垂线段最短性质得，，即， 长度的最小值为， 长度的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了直线轨迹问题、旋转的性质、等边三角形的性质与判定、含角的直角三角形性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点，学会利用等边三角形构造“手拉手模型”的全等三角形是解题的关键，本题属于三角形综合题，需要较强的几何知识储备，适合有能力解决几何难题的学生． 3．如图，在等边中，，D，E 分别是边上的动点（不与的顶点重合），连接相交于点F，连接，若，则的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】根据等边三角形的性质，结合，得到，对顶角相等，得到，进而得到点在以为圆心，的长为半径，且的圆弧上运动，连接，则：，证明，得到为含30度角的直角三角形，进行求解即可． 【详解】解：∵等边， ∴，， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴点在以为圆心，的长为半径，且的圆弧上运动，如图，连接，则：，    ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴，即：的最小值为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，求圆外一点到圆上一点的最值，解题的关键是确定点的运动轨迹． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 圆拓展之最值篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、点运动路径 【解惑】已知如图正方形的边长为4，点为边上一动点，于，将绕着点顺时针旋转得到，连接，当点从点运动到点时，点的运动路径长为（　　） A．4 B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，半径为，圆心角为的扇形的弧上有一运动的点P，从点P向半径引垂线交OA于点H．设的内心为I，当点P在弧上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为（　　） A．π B．π C．π D．π 2．如图，在中，是边上一点，将绕点P逆时针旋转得到，连接．当点P从点A运动到点B时，点D的运动路径长为 ． 3．如图，已知在扇形中，，．P为弧上的动点，过点P作于点E，于点F，连接．当点沿着弧从点运动至点时，的外心运动的路径长为 ． 类型二、圆中的将军饮马 【解惑】如图，是的直径，，，点为弧的中点，点是直径上的一个动点，则的最小值为（   ） A．4 B． C． D．8 【融会贯通】 1．如图，在半圆O中，直径，C，D是半圆上两点，P是直径上一点，若，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，A，B，C是上的三点，，点B是弧的中点，点P是上一动点，若的半径为2，则的最小值为 ． 3．如图，是的直径，，点M在上，连接，，N是的中点，P是直径上的一动点，连接、，则的最小值为 ． 类型三、两栋一定 【解惑】如图，在正方形中，，点E是正方形内部一动点，且，点P是边上一动点，连接，，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 【融会贯通】 1．如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（    ）    A． B． C．6 D． 2．如图，正方形中，，M是边上一个动点，以为直径的圆与相交于点Q，P为上另一个动点，连接，，则的最小值是 ． 3．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于两点（在的左侧），点关于抛物线对称轴的对称点为点，动点在轴上，点在以点为圆心，半径为1的圆上，则的最小值是 ． 类型四、折叠圆、直角圆 【解惑】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（    ） A．1 B．1.2 C．3 D．5 【融会贯通】 1．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是边BC上的任意一点，把BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则四边形AGCD的面积的最小值为（    ） A． B． C． D．8 2．如图，菱形的边长为13，面积为156．点是边上一点，连接．将沿翻折，点的对应点为，点是线段的中点，则线段的最小值为 ． 3．边长为的正方形中，E是边垂直平分线上的一点，连接，并延长交直线于点F，再连接，将沿翻折至，再连接，当的长度取最小值时，则、E、D、F构成的四边形面积为 ． 类型五、直角圆 【解惑】如图，矩形中，．点P是边上一动点，点M为线段上一动点．，则的最小值为（   ）． A．2 B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在等腰中，，，，点D是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点E，则线段长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知正方形的边长为4，E是边上的动点，交于点F，垂足为P，连接，则的最小值为 ． 3．如图，是半的直径，点在半上，，，是上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值为 ． 类型六、切线与勾股定理 【解惑】如图，等边三角形的边长为，的半径为，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图在平面直角坐标系中，直线过点的半径为于点P，切于点，那么切线长的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 2．如图，在等边中，，以点为圆心，半径为作，点是边上的一个动点，过点作与相切于点，则线段的最小值为 3．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，的半径为（为坐标原点），点是直线上的一动点，过点作的一条切线，为切点，则切线长最小值为 ． 类型七、中位线与瓜豆原理 【解惑】如图，正方形的边长为8，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边三角形，连接，则的最小值为（    ）    A．1 B．5 C． D．4 【融会贯通】 1．如图，在矩形中，，点E为边上一动点，点F为的中点，连接，点G在上，且，则下列结论：①在点E从点D运动到点A的过程中，点F运动的路径长为；②的最小值为16；③点G到的中点的距离为定值；④的最小值为．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 2．如图，在等腰直角三角形中，，点Р在以斜边为直径的半圆上，M为的中点，则点Р沿半圆由点A运动至点B的过程中，线段的最小值为 ．    3．（1）如图①，在平面直角坐标系中，、，以点为圆心、2为半径的上有一动点．连接，若点为的中点，连接，则的最小值为 ． （2）如图②，点A、B的坐标分别为、，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为 ．    类型八、其他最值 【解惑】如图，边长为 的等边三角形中，M 是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为（  ） A．30 B．32 C．35 D．38 2．如图，已知，点A是直线上方的一个动点，的面积为4，是边的中点，将点A绕点顺时针旋转得到点，连接、，则线段长度的最小值为 ． 3．如图，在等边中，，D，E 分别是边上的动点（不与的顶点重合），连接相交于点F，连接，若，则的最小值为 ．    6 学科网（北京）股份有限公司 $$