专题01 圆（优质类型）-2024-2025学年九年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

专题01 圆思维导图 【类型覆盖】 类型一、旋转的性质 【解惑】如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转得到，点D落在边上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质．掌握有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形是解题关键．由题意易求出，由旋转的性质可得出，即证明为等边三角形，从而得出，最后根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴． 由旋转的性质可知， ∴为等边三角形， ∴． ∴ 故选∶A． 【融会贯通】 1．如图，为正方形的对角线上的一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落到边上，线段交对角线于点，且为的中点．若正方形的边长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，过点作于点，先证明是等腰直角三角形，得到，再证明得到，，求出，得到，明，得到，求出（负值舍去），则 ，即可得到． 【详解】解：如图，过点作 于点， ∵四边形是正方形， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴ ∴， ∵正方形的边长为 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴ （负值舍去）， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 2．如图，正方形的边长为4，点E是的中点，平分交于点F，将绕点A顺时针旋转得，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了旋转的性质∶对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了正方形的性质和勾股定理． 利用勾股定理计算出，再根据旋转的性质得到，，，，，于是可判断点在的延长线上，接着证明平分，得到，然后计算就可得到的长． 【详解】解：正方形的边长为4，点是的中点， ， ， 将绕点顺时针旋转得， ，，，，，而， 点在的延长线上， 平分交于点， ， ，即， ， , ， ， ， ， 故答案为： ． 3．如图，四边形是正方形，分别在边和上，且（此时），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段之间的关系，将绕点顺时针旋转后解决了这个问题． (1)①请直接写出线段之间的关系___________． ②若正方形边长为，点为中点，则___________ (2)如图，等腰直角三角形，，，点在边上，且，请写出之间的关系，并说明理由． (3)如图，在中，，，点在边上，且，当，时，则的长为___________． 【答案】(1)①；② (2)，理由见解析 (3) 【分析】（）①由旋转的性质可得，，，再根据正方形的性质证明，得到，进而由即可求证； ②设，则，，在中由勾股定理可得，即可得，再利用勾股定理即可求解； （）把绕点顺时针旋转得到， 连接，如图，同理（）①即可求解； （）把绕点顺时针旋转得到，连接，如图，同理（）①可得，，，过点作，垂足为，则，可得，由直角三角形的性质可得，进而得到，，即可得，最后根据线段的和差关系即可求解． 【详解】（1）解：①，理由如下： 如图2，由旋转可得，，，， ∵四边形为正方形， ∴， ； 即三点共线； ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②∵正方形边长为，点为中点， ∴，， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 把绕点顺时针旋转得到， 连接，如图， ∴，， ，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 在和中 ， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， 在和中 ， ， ∴， ∴， 过点作，垂足为，则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 类型二、绕点旋转后的坐标 【解惑】在平面直角坐标系中，点坐标为，将线段绕原点顺时针旋转得到，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 根据旋转的性质可得答案． 【详解】解：如图， ∵线段绕原点顺时针旋转得到， ∴点的坐标是． 故选：D．    【融会贯通】 1．平面坐标系中，点A的坐标为，将线段绕点O逆时针旋转，则点A的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与旋转变换，掌握旋转的性质及全等三角形的性质是解题的关键．根据旋转的性质利用一线三垂直构造全等三角形，即过作轴于点，过作轴于点，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过作轴于点，过作轴于点， 则，，， 又， ， ， 又， ， ，， ， 故选：A． 2．如图，在平面直角坐标系中，绕原点顺时针旋转，得到，若，，则旋转后点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，根据中，，可得，再由绕原点O顺时针旋转，得到，即可求出旋转后点C的坐标． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∵绕原点O顺时针旋转，得到， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： (1)将向右平移个单位长度，画出平移后的，并写出点的坐标； (2)画出关于轴对称的，并写出点的坐标； (3)将绕原点旋转，画出旋转后的，并写出点的坐标． 【答案】(1)图见解析；点的坐标为 (2)图见解析；点的坐标为 (3)图见解析；点的坐标为 【分析】本题考查了平移作图、画轴对称图形、画旋转图形，坐标与图形的关系．解析的关键是根据几何变换的特点得出各点变换后的对应点，然后顺次连接． （1）利用点平移的坐标特征得到、、的坐标，然后描点即可； （2）利用关于x轴对称的点的坐标特征得到、、的坐标，然后描点即可； （3）利用关于原点对称的点的坐标特征得到、、的坐标，然后描点即可． 【详解】（1）解：如图，为所求，点的坐标为； （2）解：如图，为所求，点的坐标为； （3）解：如图，为所求，点的坐标为． 类型三、垂径定理 【解惑】如图，是的直径，弦于点E，，，则（　　）． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，熟练掌握垂直定理是解题的关键． 根据得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴（）． 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，点，，，在圆上，弦和交于点，则下列说法正确的是（ ） A．若平分，则 B．若，则平分 C．若垂直平分，则圆心在上 D．若圆心在上，则垂直平分 【答案】C 【分析】根据垂径定理的内容和垂径定理的推论的内容进行判断． 【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意； B、垂直于弦的直径平分弦，原说法错误，不符合题意； C、弦的垂直平分线必经过圆心，原说法正确，符合题意； D、若也是直径，则原说法不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理以及推论，解答时熟悉垂径定理的内容以及推论的内容是关键． 2．⊙的半径为5cm，AB、CD是⊙的两条弦，，，．则和之间的距离为 ． 【答案】1cm或7cm． 【分析】分两种情况：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；分别作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1 ∵AB＝8cm，CD＝6cm， ∴AE＝4cm，CF＝3cm， ∵OA＝OC＝5cm， ∴EO＝3cm，OF＝4cm， ∴EF＝4−3＝1cm； ②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2， ∵AB＝8cm，CD＝6cm， ∴AE＝4cm，CF＝3cm， ∵OA＝OC＝5cm， ∴EO＝3cm，OF＝4cm， ∴EF＝OF＋OE＝7cm． ∴AB与CD之间的距离为1cm或7cm． 故填1cm或7cm． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，正确作出辅助线、灵活运用垂径定理以及分类讨论思想和数形结合思想是解答本题的关键． 3．图1是某奢侈品牌的香水瓶．从正面看上去（如图2），它可以近似看作割去两个弓形后余下的部分与矩形组合而成的图形（点B、C在上），其中，已知的半径为，，，求香水瓶的高度h为多少？ 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会构造直角三角形解决问题．过点O作于点M交于点N，连接．利用垂径定理，勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：如图2中，过点O作于点M交于点N，连接． ∵，， ∴， ∴， ， ∴， ， ∴． 类型四、三角形的外接圆 【解惑】下列说法正确的是（　　） A．三点确定一个圆 B．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 C．相等的圆心角所对的弦相等 D．平分弦的直径垂直于弦． 【答案】B 【分析】本题考查圆的确定，三角形的外心，弧，弦，角的关系，垂径定理，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不在同一条直线上的三个点确定一个圆，原说法错误，不符合题意； B、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原说法正确，符合题意； C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，原说法错误，不符合题意； D、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意； 故选B． 【融会贯通】 1．下列说法：①三点确定一个圆；②每一个三角形都确定一个外接圆；③三角形的外心在其外部；④经过两个定点的圆的圆心在一条定直线上．其中假命题的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是定圆的条件，三角形的外接圆与外心，掌握确定圆的条件、三角形的外心是各边垂直平分线的交点是解题的关键． 根据确定圆的条件、三角形的外心的概念判断即可． 【详解】解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，故①说法错误； ②三角形有且只有一个外接圆，故②说法正确； ③三角形的外心是各边垂直平分线的交点，锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形外心在斜边上，钝角三角形外心在三角形外部，故③说法错误； ④经过两个定点的圆的圆心在连接两定点的线段垂直平分线上，即在一条定直线上，故④说法正确； 故正确的有②④，共两个， 故选：B． 2．如图，已知图中的每个小方格都是边长为工的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，若与是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标为 ；的外心在这个三角形 （内、外、三角形边上），外心坐标是    【答案】；外； 【分析】本题考查了求位似中心以及三角形的外心位置；连接任意两对对应点，看连线的交点为那一点即为位似中心，外心坐标为的垂直平分线的交点． 【详解】解：连接，，交点即位似中心的坐标是，的外心在这个三角形外，外心坐标为的垂直平分线的交点，坐标为    故答案为：；外；． 3．【问题提出】 (1)如图1，在边长为的等边中，点在边上，，连接，则的面积为____ 【问题探究】 (2)如图2，已知在边长为的正方形中，点在边上，点在边上，且，若，求的面积； 【问题解决】 (3)如图3是我市华南大道的一部分，因自来水抢修，需要在米，米的矩形区域内开挖一个的工作面，其中、分别在、边上不与点、、重合，且，为了减少对该路段的交通拥堵影响，要求面积最小，那么是否存在一个面积最小的若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)存在一个面积最小的，其最小值为平方米 【分析】（1）过点作于点，勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式进行计算即可求解； （2）延长到使得，连接，证明，，得出，，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （3）把绕点顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到，得出，过点作于，作于，则四边形是矩形，则，得出当的面积最小时，的面积最小；作的外接圆，圆心为，连接，，，过点作于，当最小时，的面积最小，进而求得当、、三点共线时，有最小值，最小值为米，然后根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∵等边的边长为， ∴，， ∴ 又∵， ∴的面积为， 故答案为：． （2）如图所示，延长到使得，连接， 四边形是正方形， ，， ， ，， ∠， ， ， ， 又， ， ，， 又， ； （3）把绕点顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到， ，， ， ， 过点作于，作于，则四边形是矩形， ， ， ， 当的面积最小时，的面积最小； 如图所示，作的外接圆，圆心为，连接，，，过点作于， 设， ， ， ，， ， 当最小时，的面积最小， ， ， ， 当、、三点共线时，有最小值，最小值为米， 平方米 存在一个面积最小的，其最小值为平方米． 【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的性质，旋转的性质，圆的性质，矩形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识并应用是解题的关键． 类型五、圆周角定理 【解惑】如图，是的直径，C，D是上两点，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，角平分线的定义，三角形的内角和定理，先根据角平分线的定义得到，再根据圆周角定理得到，，然后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：平分， ， 是的直径，， ，， 则， ， 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，点A，B，C，D都在上，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂线的性质等知识点，熟练掌握圆周角定理是解题的关键：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 根据圆周角定理可得，由可得，再根据即可得出答案． 【详解】解：根据圆周角定理可得： ， ， ， ， 故选：． 2．如图，四边形内接于⊙，，则的度数是 ． 【答案】/140度 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理． 先利用圆内接四边形的对角互补计算出的度数，然后根据圆周角定理得到的度数． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ， ． 故答案为：． 3．如图，是的内接三角形，为的直径，平分，交于点，连接，点在弦上，，连接． (1)求证：平分 (2)若求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线、圆周角、三角形外角的定义和性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握圆周角的性质是解题关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，进而证明结论； （2）连接，根据等腰直角三角形的性质求出，根据等边三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴平分． （2）如图，连接，    ∵为的直径， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，可有， 即，解得， ∵， ∴为等边三角形， ∴． 类型六、切线的性质与证明 【解惑】如图，是的直径，与相切于点A，，的延长线交于点P，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】本题主要考查了圆相关．熟练掌握圆切线判定和性质，等腰三角形性质，三角形外角性质，是解决问题的关键． 由等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质求出的度数，由切线的性质得到，由直角三角形的性质即可求出的度数． 【解答】解： ∵， ∴， ∴， ∵与相切于点A， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，是圆的弦，，，相交于点，且．连接，当，时，则线段的长为（　　）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理；连接，由，利用等边对等角得到，再由垂直于，得到三角形为直角三角形，得到两锐角互余，等量代换得到垂直于，即可证得为圆的切线；设，则，在中，根据勾股定理得出，通过解方程即可求得． 【详解】解：连接，   ，， ，， ， ，即， ， ，即， 则为圆的切线； 解：设，则，而， 在中， ， 即， 解得， 线段的长是． 故选：B． 2．如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若， ，则的长为 ．    【答案】 【分析】连接、，根据切线的判定可证是的切线，再根据切线长定理可得，，由切线的性质可得，再由平行线的性质与等腰三角形的判定可得，可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接、， ∵，是的半径， ∴是的切线， ∵是的切线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题考查切线的判定与性质、切线长定理、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质和切线长定理是解题的关键． 3．如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线 (2)若，，则的长 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了切线的判定和性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，全等三角形的性质和判定，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，求得，得到，根据切线的判定定理得到答案； （2）根据勾股定理得到，求得，根据切线的性质得到根据勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，如图， 为直径， ，即， 又， ， ， ， 即， 是的半径， 是的切线； （2）解：连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：． 类型七、利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 【解惑】实践与操作：现有如图①所示的两种小正方形瓷砖（图①中阴影正方形的边长是大正方形边长的一半），请从这两种瓷砖中各选2块，按下列要求拼铺成一个新的图案．（阴影部分用斜线画） (1)在图②、图③中各设计一种拼法，使图②是轴对称图形而不是中心对称图形，图③是中心对称图形而不是轴对称图形； (2)在图④、图⑤中各设计一种拼法，使这两个图案都既是轴对称图形又是中心对称图形，且互不相同．（两个图案之间若能通过轴对称、平移、旋转变换相互得到，则视为相同图案） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． （1）根据轴对称图形与中心对称图形的定义设计图形即可； （2）根据轴对称图形与中心对称图形的定义设计图形即可． 【详解】（1）解：如图所示：是轴对称图形而不是中心对称图形， ， 如图所示：是中心对称图形而不是轴对称图形 ； （2）解：如图所示：既是轴对称图形又是中心对称图形， ． 【融会贯通】 1．图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）： (1)使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形但不是中心对称图形． (2)使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形但不是轴对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查利用旋转设计图案，利用轴对称的性质及中心对称的性质设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据轴对称图形的定义画出图形即可（答案不唯一）． （2）根据中心对称图形的定义画出图形即可（答案不唯一）． 【详解】（1）解：轴对称图形如图1所示； （2）解：轴对称图形如图2所示． 2．如图，在方格纸中，点都在小方格的顶点上，按要求画一个四边形，使它的顶点都在方格的顶点上． (1)在图1中所画的四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形； (2)在图2中所画的四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质可知，当四边形是平行四边形时，中心对称图形，但不是轴对称图形，利用平移性质作图即可得到答案； （2）由正方形性质可知，当四边形是正方形时，正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，利用网格中矩形对角线相互垂直作图即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：如图所示：正方形即为所求． 【点睛】本题考查网格中作图，涉及平行四边形对称性、正方形对称性、网格中平移作图及网格中矩形对角线的垂直关系等知识，熟练掌握平行四边形对称性、正方形对称性及网格中作图是解决问题的关键． 3．有一种类似于七巧板的智力玩具，叫做“百变方块”，共含有十四个图形块（如图1所示），可以用它们拼出各式各样的图案，该游戏的规则是：每个图形块可以随意平移、翻转、旋转使用，但必须全部都无缝隙、不重叠地恰好平放于所给6×6的正方形拼图盒中． 例如：图2是用“百变方块”拼成的一幅图案，而图4、图5是两幅未完成游戏的图案，每幅图案都缺少图3所示的五个图形块，请你挑战以下两个关卡，将图3中这五个图形块放入正方形拼图盒中，以完成游戏，要求：模仿图2在相应图中的空白处画出图3中的五个图形块，补全图形． (1)第一关：完成图4中的图案． (2)第二关：完成图5中的图案． 【答案】(1)加解析 (2)见解析 【分析】本题考查了图形的平铺与镶嵌， （1）合理安排各图形的位置，即可完成任务； （2）先安排大图形和特殊形状的图形，使之5个图形即可放入． 【详解】（1）解：如图， （2）如图， 类型八、尺规作图 【解惑】如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D． (1)求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)已知：，．求（1）中所作圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2)此残片所在圆的半径为10． 【分析】本题考查圆的垂径定理，勾股定理，熟练掌握通过垂径定理找圆心，通过勾股定理构造方程求边长是解题的关键． （1）由于是弦的垂直平分线，则圆心在直线上，因此连接，圆心在的垂直平分线上，故作的垂直平分线，交于点O，则点O就是所求的圆心； （2）连接，设半径为x，即，则，根据是的垂直平分线，得到，，因此在中，根据勾股定理构造方程，即可求出x的值，即为此残片所在圆的半径． 【详解】（1）解：如图，点O为所求的圆心． （2）解：连接，    设半径为x，即， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ， ∴在中，， 即， 解得：， ∴此残片所在圆的半径为10． 【融会贯通】 1．尺规作图 已知线段和，将线段沿某条直线翻折后，A、B两点恰好落在上，请按照下列要求分别作出翻折后的线段．（①保留作图痕迹；②写出必要的文字说明）． (1)如图1，的长度等于的直径； (2)如图2，的长度小于的直径． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了作圆以及线段垂直平分线的相关作图题． （1）作线段的垂直平分线，取线段的中点，以为圆心，为半径作，连接作的垂直平分线l，作点B关于直线l的对称点；连接并延长交于点，线段即为所求． （2）位于两侧，有两种情况，作线段的垂直平分线m，在直线m上取点，使得等于的半径长，作的等圆；连接，作的垂直平分线l，作点B关于直线l的对称点，A关于直线l的对称点；连接，线段即为所求． 【详解】（1）解：作法如下∶ ①作线段的垂直平分线，取线段的中点； ②以为圆心，为半径作，连接； ③作的垂直平分线l，作点B关于直线的对称点； ④连接并延长交于点，线段即为所求． （2）解：作法如下∶ 注∶ 位于两侧，有两种情况，作法相同∶ ①作线段的垂直平分线m，在直线m上取点，使得等于的半径长，作的等圆； ②连接，作的垂直平分线l，作点B关于直线l的对称点，A关于直线l的对称点； ③连接，线段即为所求． 当位于的右侧时：如下图线段即为所求： 当位于的左侧时：如下图线段即为所求： 2．已知：P为外一点，求作：经过点P的的切线． 作法： ①如图，连接，作线段的垂直平分线交于点A； ②以点A为圆心，的长为半径作圆，交于B，C两点； ③作直线，； 所以直线，就是所求作的切线． 根据尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）； (2)如果切线，所夹的锐角为，点D为优弧上的一动点（点D不与B、C重合），求的度数． 【答案】(1)图见详解 (2) 【分析】本题考查作图一复杂作图，过圆外一点作切线，圆周角定理等知识. （1）根据要求画出图形即可解决问题； （2）根据切线的性质以及圆周角定理解决问题即可． 【详解】（1）解：如图所示直线，就是所求作的切线， （2）解：∵，是的切线 ∴， ∴， ∴ 3．尺规作图：如图，为的直径． （1）求作：的内接正六边形；（要求：在所给圆中作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）中已画出的图形上连接，已知的半径为4，求的长．晓敏的解法如下，请你完善解答过程中的两个空格的内容． 解：在中，连接． ∵正六边形内接于， ∴， ∴， ∴________（填推理的依据）． ∵为直径， ∴， ∵， ∴________． 【答案】（1）见解析；（2）同弧所对的圆周角是圆心角的一半， 【分析】（1）用的半径去截圆周即可解决问题； （2）连接，在中，解直角三角形即可解决问题． 【详解】解：（1）的内接正六边形如图所示； （2）在中，连接． 正六边形内接于， ， ， （同弧所对的圆周角是圆心角的一半）， 为直径， ， ， ， 故答案为：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，． 【点睛】本题考查圆周角定理，解直角三角形，正多边形与圆等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【一览众山小】 1．如图，是的弦，交于点C，点D是上一点，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理、垂径定理及圆内接四边形，根据，结合圆周角定理求出，再根据圆内接四边形对角互补得到的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵是的弦，交于点C， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图，为的直径，弦于点，若，，则的半径为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解决本题的关键．根据题意，连接OC，通过垂径定理及勾股定理求半径即可． 【详解】如下图，连接OC， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 3．如图，扇形是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为，则这个圆锥的底面半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的底面周长及侧面展开图，勾股定理．根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长即可求解． 【详解】解：∵小正方形方格的边长为， ∴母线长为：，圆心角为， ∴扇形的弧长为：， ∵圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长， ∴， 解得：， 故选：C． 4．如图，四边形是的内接四边形，．若，则的度数为           【答案】 【分析】本题考查圆内接四边形，等边对等角，根据圆内接四边形的对角互补，求出的度数，等边对等角，求出的度数即可． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 5．把一个球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，求这个球的直径 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理．过作于交于，求得，设半径为，则，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：过作于交于，如图所示： 则， 设半径为，则， 根据勾股定理得，， 解得：， 这个球的直径为． 故答案为：． 6．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，则的外接圆的圆心坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆以及圆周角定理，根据直径所对的圆周角为直角直接求解即可． 根据圆周角为的弦即为直径来求解即可． 【详解】解：，，均在圆上，， 是外接圆的直径， 外接圆的圆心是的中点． 故答案为：． 7．如图，图①、图②、图③均是的正方形网格，小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，所画图形不全等，不要求写出画法．    (1)在图①中以线段为边画一个面积是3的等腰． (2)在图②中以线段为边画一个面积是6的轴对称四边形． (3)在图③中以线段为边画一个面积是6的中心对称四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）取格点，连接、即可； （2）取格点、，连接、、即可； （3）取格点C、D，连接、、即可． 【详解】（1）解：如图，为所求作的三角形，   ； （2）解：如图，取格点、，连接、、，则四边形为所求值的四边形，   ； （3）解：如图，取格点C、D，连接、、，四边形为所求作的四边形．   ． 【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，考查了轴对称图形，中心对称图形的定义，等腰三角形的定义，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 8．在中，，，过点A作于点D．的反向延长线交的延长线于点E，为的外接圆（以为直径）． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明，得，进而可以解决问题； （2）勾股定理求出，然后证明，对应边成比例即可解决问题． 本题考查了切线的判定与性质，角平分线定义，圆周角定理，勾股定理，三角形外接圆与外心，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：，， ， ， ， ， ， ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 圆思维导图 【类型覆盖】 类型一、旋转的性质 【解惑】如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转得到，点D落在边上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，为正方形的对角线上的一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落到边上，线段交对角线于点，且为的中点．若正方形的边长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，正方形的边长为4，点E是的中点，平分交于点F，将绕点A顺时针旋转得，则的长为 ． 3．如图，四边形是正方形，分别在边和上，且（此时），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段之间的关系，将绕点顺时针旋转后解决了这个问题． (1)①请直接写出线段之间的关系___________． ②若正方形边长为，点为中点，则___________ (2)如图，等腰直角三角形，，，点在边上，且，请写出之间的关系，并说明理由． (3)如图，在中，，，点在边上，且，当，时，则的长为___________． 类型二、绕点旋转后的坐标 【解惑】在平面直角坐标系中，点坐标为，将线段绕原点顺时针旋转得到，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．平面坐标系中，点A的坐标为，将线段绕点O逆时针旋转，则点A的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，绕原点顺时针旋转，得到，若，，则旋转后点的坐标为 ． 3．如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： (1)将向右平移个单位长度，画出平移后的，并写出点的坐标； (2)画出关于轴对称的，并写出点的坐标； (3)将绕原点旋转，画出旋转后的，并写出点的坐标． 类型三、垂径定理 【解惑】如图，是的直径，弦于点E，，，则（　　）． A．5 B．4 C．3 D．2 【融会贯通】 1．如图，点，，，在圆上，弦和交于点，则下列说法正确的是（ ） A．若平分，则 B．若，则平分 C．若垂直平分，则圆心在上 D．若圆心在上，则垂直平分 2．⊙的半径为5cm，AB、CD是⊙的两条弦，，，．则和之间的距离为 ． 3．图1是某奢侈品牌的香水瓶．从正面看上去（如图2），它可以近似看作割去两个弓形后余下的部分与矩形组合而成的图形（点B、C在上），其中，已知的半径为，，，求香水瓶的高度h为多少？ 类型四、三角形的外接圆 【解惑】下列说法正确的是（　　） A．三点确定一个圆 B．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 C．相等的圆心角所对的弦相等 D．平分弦的直径垂直于弦． 【融会贯通】 1．下列说法：①三点确定一个圆；②每一个三角形都确定一个外接圆；③三角形的外心在其外部；④经过两个定点的圆的圆心在一条定直线上．其中假命题的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，已知图中的每个小方格都是边长为工的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，若与是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标为 ；的外心在这个三角形 （内、外、三角形边上），外心坐标是    3．【问题提出】 (1)如图1，在边长为的等边中，点在边上，，连接，则的面积为____ 【问题探究】 (2)如图2，已知在边长为的正方形中，点在边上，点在边上，且，若，求的面积； 【问题解决】 (3)如图3是我市华南大道的一部分，因自来水抢修，需要在米，米的矩形区域内开挖一个的工作面，其中、分别在、边上不与点、、重合，且，为了减少对该路段的交通拥堵影响，要求面积最小，那么是否存在一个面积最小的若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由． 类型五、圆周角定理 【解惑】如图，是的直径，C，D是上两点，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，点A，B，C，D都在上，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，四边形内接于⊙，，则的度数是 ． 3．如图，是的内接三角形，为的直径，平分，交于点，连接，点在弦上，，连接． (1)求证：平分 (2)若求的长． 类型六、切线的性质与证明 【解惑】如图，是的直径，与相切于点A，，的延长线交于点P，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，是圆的弦，，，相交于点，且．连接，当，时，则线段的长为（　　）    A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若， ，则的长为 ．    3．如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线 (2)若，，则的长 类型七、利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 【解惑】实践与操作：现有如图①所示的两种小正方形瓷砖（图①中阴影正方形的边长是大正方形边长的一半），请从这两种瓷砖中各选2块，按下列要求拼铺成一个新的图案．（阴影部分用斜线画） (1)在图②、图③中各设计一种拼法，使图②是轴对称图形而不是中心对称图形，图③是中心对称图形而不是轴对称图形； (2)在图④、图⑤中各设计一种拼法，使这两个图案都既是轴对称图形又是中心对称图形，且互不相同．（两个图案之间若能通过轴对称、平移、旋转变换相互得到，则视为相同图案） 【融会贯通】 1．图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）： (1)使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形但不是中心对称图形． (2)使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形但不是轴对称图形． 2．如图，在方格纸中，点都在小方格的顶点上，按要求画一个四边形，使它的顶点都在方格的顶点上． (1)在图1中所画的四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形； (2)在图2中所画的四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 3．有一种类似于七巧板的智力玩具，叫做“百变方块”，共含有十四个图形块（如图1所示），可以用它们拼出各式各样的图案，该游戏的规则是：每个图形块可以随意平移、翻转、旋转使用，但必须全部都无缝隙、不重叠地恰好平放于所给6×6的正方形拼图盒中． 例如：图2是用“百变方块”拼成的一幅图案，而图4、图5是两幅未完成游戏的图案，每幅图案都缺少图3所示的五个图形块，请你挑战以下两个关卡，将图3中这五个图形块放入正方形拼图盒中，以完成游戏，要求：模仿图2在相应图中的空白处画出图3中的五个图形块，补全图形． (1)第一关：完成图4中的图案． (2)第二关：完成图5中的图案． 类型八、尺规作图 【解惑】如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D． (1)求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)已知：，．求（1）中所作圆的半径． 【融会贯通】 1．尺规作图 已知线段和，将线段沿某条直线翻折后，A、B两点恰好落在上，请按照下列要求分别作出翻折后的线段．（①保留作图痕迹；②写出必要的文字说明）． (1)如图1，的长度等于的直径； (2)如图2，的长度小于的直径． 2．已知：P为外一点，求作：经过点P的的切线． 作法： ①如图，连接，作线段的垂直平分线交于点A； ②以点A为圆心，的长为半径作圆，交于B，C两点； ③作直线，； 所以直线，就是所求作的切线． 根据尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）； (2)如果切线，所夹的锐角为，点D为优弧上的一动点（点D不与B、C重合），求的度数． 3．尺规作图：如图，为的直径． （1）求作：的内接正六边形；（要求：在所给圆中作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）中已画出的图形上连接，已知的半径为4，求的长．晓敏的解法如下，请你完善解答过程中的两个空格的内容． 解：在中，连接． ∵正六边形内接于， ∴， ∴， ∴________（填推理的依据）． ∵为直径， ∴， ∵， ∴________． 【一览众山小】 1．如图，是的弦，交于点C，点D是上一点，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，为的直径，弦于点，若，，则的半径为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 3．如图，扇形是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为，则这个圆锥的底面半径为（　　） A． B． C． D． 4．如图，四边形是的内接四边形，．若，则的度数为           5．把一个球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，求这个球的直径 ． 6．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，则的外接圆的圆心坐标是 ． 7．如图，图①、图②、图③均是的正方形网格，小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，所画图形不全等，不要求写出画法．    (1)在图①中以线段为边画一个面积是3的等腰． (2)在图②中以线段为边画一个面积是6的轴对称四边形． (3)在图③中以线段为边画一个面积是6的中心对称四边形． 8．在中，，，过点A作于点D．的反向延长线交的延长线于点E，为的外接圆（以为直径）． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的长． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$