8.1 平方根课时1（课件）2024—2025学年人教版（2024）数学七年级下册

第八章 实数 七下数学 RJ 课时1 8.1 平方根 1.了解平方根的概念，并理解平方与开平方的关系. 2.知道平方根的性质，会用符号表示平方根，会求非负数的平方根. 学习目标 问题 当“天问一号”火星探测器的速度大于第二宇宙速度v(单位:m/s)时，就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星.v的大小满足v²=2gR，其中g是地球表面的重力加速度，g≈9.8(单位:m/s)，R是地球半径，R ≈ 6.4×106 (单位:m)，怎样求v呢? 这就要用到平方根的概念 课堂导入 思考 如果一个数的平方等于9，这个数是多少? 32=9，所以这个数可以是3；(-3)2=9，所以这个数也可以是-3. 除3，-3以外，任何一个数的平方都不等于9. 因此，如果一个数的平方等于9，那么这个数是3或-3. 知识点1 平方根 新知探究 4 填写下表: 知识点1 平方根 x2 1 16 36 49 x 1或-1 4或-4 6或-6 7或-7 或 新知探究 5 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫作 a的平方根或二次方根.   例如：3和-3是9的平方根，简记为±3是9的平方根. 知识点1 平方根 求一个数a的平方根的运算，叫作开平方. 新知探究 6 +1 -1 +2 -2 +3 -3 平方 1 4 9 +1 -1 +2 -2 +3 -3 1 4 9 开平方 观察下图，你发现了什么? 平方与开平方互为逆运算 知识点1 平方根 想求一个数的平方根，就想谁的平方等于它 新知探究 7 例1 求下列各数的平方根: (1) 64； (2) ； (3) 0.01. 解：(1)因为(±8)2=64，所以64的平方根是±8； (2)因为(±)2=100，所以100的平方根是±； (3)因为(±0.1)2=0.01，所以0.01的平方根是±0.1. 知识点1 平方根 新知探究 8 例1 求下列各数的平方根: (1) 64； (2) ； (3) 0.01. 求一个正数的平方根主要分两步: (1)找出平方等于这个正数的数，这样的数有两个； (2)根据平方根的定义写出这个正数的平方根. 知识点1 平方根 新知探究 9 思考 正数的平方根有什么特点? 从例1可以看出，正数有两个平方根，它们互为相反数. 知识点2 平方根的性质 新知探究 10 思考 0的平方根是多少? 因为0²=0，并且任何一个不为0的数的平方都不等于0， 所以0的平方根是0. 知识点2 平方根的性质 新知探究 11 思考 负数有平方根吗? 正数的平方是正数，负数的平方也是正数，0的平方是0， 即在我们所认识的数中，任何一个数的平方都不是负数，所以负数没有平方根. 知识点2 平方根的性质 新知探究 12 平方根的性质： 1.正数有两个平方根，它们互为相反数； 2.0的平方根是0； 3.负数没有平方根. 知识点2 平方根的性质 新知探究 13 知识点2 平方根的性质 例2 判断题. (1)1的平方根是1; (2)-1的平方根是-1; (3)0.5是0.25的一个平方根; (4)0的平方根是 0. 新知探究 14 a的平方根表示为： 根号 被开方数 （a 是非负数） 读作“正、负根号 a” 知识点3 平方根的表示 新知探究 15 正平方根： 负平方根： 知识点3 平方根的表示 读作“根号 a” 读作“负根号 a” 新知探究 16 思考 只有当a大于或等于0 时，有意义；而当a小于0时，没有意义.为什么? 知识点3 平方根的表示 因为在我们认识的数中，任何一个数的平方都不是负数，所以负数没有平方根，即当a小于0时，没有意义. 新知探究 17 例3 下列各数有平方根吗?如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由. (1) 0.36； (2) -5； (3) (-4)2. 解:(1)因为0.36是正数，所以0.36有两个平方根，±=±0.6； (2)因为-5是负数，所以-5没有平方根； (3)因为(-4)2=16是正数，所以(-4)2有两个平方根， ±=±=±4. 知识点3 平方根的表示 新知探究 18 1.“36的平方根是±6”用数学式子表示正确的是( ) A.=6 B.=6 C. =±6 D. =±6 D 随堂练习 19 2.判断下列说法是否正确，如果错误，请说明理由. (1)1的平方根是1. (2)2是4的一个平方根. (3) -5是25的平方根. (4)64的平方根是±8. (5)-16的平方根是-4 (6)0的平方根是0. 1的平方根是±1 负数没有平方根 随堂练习 20 3.求下列各数的平方根： (1) ； (2) 62； (3)0.49 解：(1)因为(±)2=，所以的平方根是±；即; (2)因为62=36，(±6)2=36，所以62的平方根是±6； 即； (3)因为(±0.7)2=0.49，所以0.49的平方根是±0.7； 即0.7 随堂练习 21 解：因为一个正数的两个平方根是2a-1和a-5， 则有(2a-1)+(a-5)=0， 解得a=2. 所以2a-1=3， 所以这个正数为32=9. 4.已知一个正数的两个平方根分别是2a-1和a-5，求这个正数. 互为相反数 一个正数有两个平方根，它们互为相反数. 随堂练习 22 5.求下列各式中x的值: (1)4x2-1=0； (2) (x+1)2=81； 解：(1)原式可变形为x2=， 因为(±)2=， 所以x=±. (2)因为(±9)2=81， 所以x+1=9或x+1=-9， 解方程，得x=8或x=-10. 所以x=8或x=-10. 随堂练习 23 利用平方根的定义解方程的方法 (1)将方程变形为x²=m(m≥0)或(ax+b) ²=m(m≥ 0)的形式; (2)结合整体思想,直接开平方,得x=±或ax+b=±; (3)利用分类讨论思想,分别解方程得结果. 随堂练习 24 平方根 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x²=a，那么这个数x叫作a的平方根或二次方根. ±（a大于或等于0） 表示 (1)正数有两个平方根，它们互为相反数； (2)0的平方根是0； (3)负数没有平方根. 开平方与平方互为逆运算 运算 概念 性质 课堂小结 $$