2025年九年级中考数学二轮专题复习课件 题型五-几何探究题

第1讲　Unit 1—Unit 3 (含Starter Units) 七年级上册 2025年中考数学二轮专题复习 题型五 几何探究题 [2024烟台中考改编]在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC, D为直线BC上任意一点,连接AD,将线段AD绕点D按顺时针方向旋转[1] 90°得线段ED,连接BE. 【尝试发现】 (1)如图(1),当点D在线段BC上时,线段BE与CD的数量关系为　　　　.  1 题型五 几何探究题 图(1) BE=CD [2024烟台中考改编]在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为直线BC上任意一点,连接AD,将线段AD绕点D按顺时针方向旋转[2]90°得线段ED,连接BE. 【类比探究】 (2)当点D在线段BC的延长线上时,先在图(2)中补全图形[2],再探究线段BE与CD的数量关系并证明. (3)若AC=BC=1,CD=2,求sin∠ECD的值. 1 题型五 几何探究题 图(2) 【大招点拨】识别题干信息:【发现】+【探究】+【拓展】 ①找特征:根据[1]和[2],判断该题的特征是“旋转+操作”. ②找模型:旋转找全等模型,解答(1)和(2)的关键是作辅助线:过点E作EM⊥CB于点M,构造“一线三垂直”全等模型 ③找结构:本题中的“不变结构”是等腰直角三角形ABC和线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°. ④类比解决:结合(1)和(2)的解题思路,在解答(3)时,利用到的数学思想是分类讨论思想. 【自主解答】 1 题型五 几何探究题 (2)当点D在线段BC的延长线上时,先在图(2)中补全图形[2],再探究线段BE与CD的数量关系并证明. 1 题型五 几何探究题 图(1) (2)补全图形如图(1).BE=CD. 证明:如图,过点E作EM⊥CB于点M. 由旋转,得AD=DE,∠ADE=90°,∴∠ADC+∠EDM=90°. ∵∠ACD=90°,∴∠ADC+∠CAD=90°,∴∠CAD=∠EDM. 又∵∠ACD=∠EMD=90°,∴△ACD≌△DME, ∴CD=EM,AC=DM. 又∵AC=BC,∴DM=BC,∴BM=DC,∴BM=EM, ∴在Rt△BME中,BE==EM=CD. [2024烟台中考改编]在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为直线BC上任意一点,连接AD,将线段AD绕点D按顺时针方向旋转[1]90°得线段ED,连接BE. 【联系拓展】 (3)若AC=BC=1,CD=2,求sin∠ECD的值. 1 题型五 几何探究题 (3)过点E作EM⊥CB,垂足为点M.分两种情况讨论. ①当点D在CB的延长线上时,如图(2). 易证△ACD≌△DME,∴EM=CD=2,DM=AC=1, ∴CM=CD+DM=3,∴EC==,∴sin∠ECD===. 图(2) (3)若AC=BC=1,CD=2,求sin∠ECD的值. 1 题型五 几何探究题 图(3) ②当点D在BC的延长线上时,如图(3). 易证△ACD≌△DME, ∴EM=CD=2,DM=AC=1, ∴CM=CD-DM=1,∴EC==, ∴sin∠ECD===. ∴sin∠ECD的值为或. [2024遵义二模改编]如图(1),在正方形ABCD中,点E是AB边上一动点,将正方形沿DE折叠,点A落在正方形内部的点F处,连接AF并延长,交BC于点G. (1)判断AE与BG的数量关系为　　　　　　.  2 图(1)　　　　　图(2) AE=BG (2)【应用】如图(1),延长DF交BC于点H. ①证明:∠HFG=∠FGH; 2 图(1)　　　　　 (2)①证明:∵AD∥BC, ∴∠DAF=∠AGH. 由折叠可知,DA=DF, ∴∠DAF=∠AFD, ∴∠AFD=∠AGH. ∵∠AFD=∠HFG, ∴∠AGH=∠HFG. (2)【应用】如图(1),延长DF交BC于点H. ②若HB=3a,HF=5a,AE=8,求BE的长度. 2 图(1)　　　　　 ②由①知,∠FGH=∠HFG,则HG=FH=5a, ∵BH=3a,∴BG=BH+HF=8a. 由折叠可得,AF⊥DE,∴∠BAG+∠AED=90°. ∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAD=∠ABG=90°, ∴∠AED+∠ADE=90°, ∴∠BAG=∠ADE, ∴△ADE≌△BAG, (2)【应用】如图(1),延长DF交BC于点H. ②若HB=3a,HF=5a,AE=8,求BE的长度. 2 图(1)　　　　　 ∴AE=BG=8a=8,∴a=1, ∴BH=3,HF=5,EF=AE=8. 连接EH,△EBH与△EFH都是直角三角形, ∴BE2+BH2=EF2+FH2, 即BE2+32=82+52, ∴BE=4(负值已舍去). (3)【拓展】如图(2),将正方形改成矩形,其中AD=2CD,将矩形沿DE折叠,使点A落在点F处(矩形内部),连接AF并延长,交BC于点G,延长DF交直线BC于点H.若HB=3a,HF=5a,求的值. 2 图(1)　　　　　图(2) (3)分两种情况讨论:①如图(1),当点H在线段BC上时, 易知,∠AGH=∠HFG,∴HG=HF=5a,∴BG=8a. 易证得△ADE∽△BAG,∴=,∴2=,∴AE=16a. 设BE=x,则AB=16a+x,∴DF=AD=32a+2x, ∴CD=AB=16a+x,DH=32a+2x+5a=37a+2x,CH=32a+2x-3a=29a+2x. 在Rt△DCH中,∵CH2+CD2=DH2, ∴(29a+2x)2+(16a+x)2=(37a+2x)2,∴x=4a(负值已舍去), ∴==. 图(1) ②如图(2),当点H在线段CB的延长线上时,易知,∠AGH=∠HFG, ∴HF=HG=5a,∴BG=2a.易证得△ADE∽△BAG, ∴=,∴2=,∴AE=4a. 设BE=y,则AB=4a+y,∴DF=AD=8a+2y, ∴CD=AB=4a+y,DH=8a+2y+5a=13a+2y,CH=8a+2y+3a=11a+2y. 在Rt△DCH中,∵CH2+CD2=DH2,∴(11a+2y)2+(4a+y)2=(13a+2y)2, ∴y=4a(负值已舍去),∴==. 综上所述,=或=. 图(2) [2024贵州25题12分] 　　综合与探究:如图,∠AOB=90°,点P在∠AOB的平分线上,PA⊥OA于点A. (1)【操作判断】 如图(1),过点P作PC⊥OB于点C,根据题意在图(1)中画出PC,图中∠APC的度数 为　　　　度.  (2)【问题探究】 如图(2),点M在线段AO上,连接PM,过点P作PN⊥PM 交射线OB于点N.求证:OM+ON=2PA. 图(1)　　　　　图(2) (3)【拓展延伸】 点M在射线AO上,连接PM,过点P作PN⊥PM交射线OB于点N,射线NM与射线PO相交于点F,若ON=3OM,求的值. 图(1)　　　　　图(2) 解:(1)如图(1),PC即为所求.(2分)　　　　得分点1:作图正确,得2分 图(1)　　 图(2) 90 (4分)　　 得分点2:正确写出∠APC的度数,得2分 (2)证明:如图(2),过点P作PC⊥OB于点C. 由题意知,四边形OAPC是矩形, ∵点P在∠AOB的平分线上,PA⊥OA,PC⊥OB, ∴PA=PC,(5分) 得分点3:根据角平分线的性质得出PA=PC,得1分 ∴矩形OAPC是正方形,(6分)　 得分点4:正确判定四边形OAPC是正方形,得1分 ∴OA=AP=PC=OC,∠APC=90°. ∵PN⊥PM,∴∠APM=∠CPN=90°-∠MPC. ∵∠MAP=∠NCP=90°, ∴△APM≌△CPN(ASA),(7分)　 得分点5:正确证明△APM≌△CPN,得1分 ∴AM=CN, ∴OM+ON=OM+OC+CN=OM+AM+OC=OA+OC=2PA, ∴OM+ON=2PA.(8分)　 得分点6:通过等量代换得出正确结论,得1分 (3)第1步:考虑“点M在线段AO上”这一种情况,并作辅助线 ①当点M在线段AO上时,如图(3),延长NM,PA交于点G. 图(3) 第2步:利用线段关系找全等三角形 由(2)知,OM+ON=2AP,设OM=x,则ON=3x,OA=AP=2x. ∴AM=AO-OM=x=OM. ∵∠MON=∠MAG=90°,∠OMN=∠AMG,∴△MON≌△MAG(ASA), ∴AG=ON=3x.(9分)　　　　　　得分点7:通过三角形全等得出AG与ON的关系,得1分 第3步:在相似三角形中,利用线段间的数量关系,得出结论 易得AP∥OB,∴△ONF∽△PGF, ∴===, ∴=,∴=.(10分)　　　　　 得分点8:正确计算出 的值,得1分 第4步:考虑“点M在AO的延长线上”这一情况,并作辅助线 ②当点M在AO的延长线上时,如图(4),过点P作 PC⊥OB于点C,并延长交MN于点G. 图(4) 第5步:类比第2步,找全等三角形 由(2)知,四边形OAPC是正方形, ∴OA=AP=PC=OC,∠APC=90°,PC∥AO. ∵PN⊥PM, ∴∠APM=∠CPN=90°-∠MPC. ∵∠A=∠PCN=90°, ∴△APM≌△CPN(ASA), ∴AM=CN,(11分)　　 得分点9:通过三角形全等得出AM与CN的关系,得1分 ∴ON-OM=OC+CN-OM=AO+AM-OM=2AO. 设OM=y,则ON=3OM=3y,∴AO=y,CN=AM=2y. 图(4) 第6步:类比第3步,在相似三角形中,利用线段间的数量关系,得出结论 ∵PC∥AO,∴△CGN∽△OMN,∴=,即=,∴CG=. ∵PC∥AO,∴△OMF∽△PGF,∴===,∴=, ∴=.(12分)　　 得分点10:正确计算出的值,得1分 综上,的值为或. 【注意】第(3)问解法较多,用其他解法,只要方法正确,得出正确结果,即可参照关键步骤给分. Lavf57.83.100 Lavf57.83.100 Lavf57.83.100 $$