2025年九年级中考数学二轮专题复习课件 题型四-二次函数图象与性质综合题

第1讲　Unit 1—Unit 3 (含Starter Units) 七年级上册 2025年中考数学二轮专题复习 题型四 二次函数图象与性质综合题 已知二次函数y=-x2+2bx+c. (1)二次函数图象的对称轴是直线x=　　　　.(用含b的代数式表示) (2)当b=1时,若抛物线经过点M(2,3),求这个二次函数的表达式.   1 结构化整合 b (2)当b=1时,二次函数的表达式是y=-x2+2x+c, 将点M(2,3)代入得, 3=-22+4+c,解得c=3, ∴当b=1时,二次函数的表达式是y=-x2+2x+3. 已知二次函数y=-x2+2bx+c. (3)在(2)的条件下,抛物线上分别有两点(-,y1),(t,y2),若y1<y2,求t的取值范围.   1 结构化整合 (3)当b=1时,二次函数的对称轴是直线x=1, ∴点(-,y1)关于直线x=1的对称点是(,y1), ∴当y1<y2时,-<t<. 图示速解 拓展:已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象上的两点A(x1,y0),B(x2,y0),则二次函数图象的对称轴为直线x=. 已知二次函数y=-x2+2bx+c. (4)在(2)的条件下,对于一切实数x,若函数值y<x+k总成立,求k的取值范围.   1 结构化整合 (4)∵对于一切实数x,函数值y<x+k总成立, ∴二次函数y=-x2+2x+3的图象与直线y=x+k没有交点. 当二次函数y=-x2+2x+3的图象与直线y=x+k只有一个交点时, 即关于x的方程-x2+2x+3=x+k只有一个解, 整理方程得,-x2+x+3-k=0,∴Δ=12-4×(-1)×(3-k)=1+12-4k=13-4k=0, ∴解得k=,∴当k>时,对于一切实数x,函数值y<x+k总成立. 图示速解 拓展:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y=kx+b(k≠0)的交点情况可以用关于x的方程ax2+bx+c=kx+b的根的情况来表示. ①一个交点⇔Δ=0;②两个交点⇔Δ>0;③无交点⇔Δ<0.   已知二次函数y=-x2+2bx+c. (5)在(2)的条件下,当m-2≤x≤m时,二次函数的最大值是-2m,求m的值.   1 结构化整合 (5)∵二次函数y=-x2+2x+3的图象开口向下,对称轴是直线x=1, ∴分以下3种情况进行讨论.①当m<1时,-m2+2m+3=-2m, 解得m=-+2或m=+2(舍去). ②当m-2>1,即m>3时,有-(m-2)2+2(m-2)+3=-2m, 解得m=+4或m=-+4(舍去). ③当m-2<1<m,即1<m<3时,在x=1处,二次函数取得最大值,此时 -1+2+3=-2m,解得m=-2,不符合题意,舍去.综上,m=-+2或m=+4. 图示速解 拓展:见到“最值”找三个点, ①取值范围的左端点, ②取值范围的右端点, ③抛物线的顶点.   已知二次函数y=-x2+2bx+c. (6)若c=1,当2≤x≤4时,函数y的值总大于等于1,求b的取值范围.   1 结构化整合 (6)当c=1时,二次函数的表达式是y=-x2+2bx+1, ∴二次函数的图象开口向下,对称轴是直线x=b. ∵当2≤x≤4时,函数y的值总大于等于1, ∴当x=2时,y=-22+4b+1≥1,解得b≥1. 当x=4时,y=-42+8b+1≥1,解得b≥2. ∴b的取值范围是b≥2. 图示速解   已知二次函数y=-x2+2bx+c. (7)若c=1,是否存在实数b(b>1),使得当1≤x≤4时,二次函数的最大值比最小值大3,若存在,求出b的值;若不存在,请说明理由.   1 结构化整合 (7)存在.∵当c=1时,二次函数的表达式是y=-x2+2bx+1, ∴二次函数的图象开口向下,对称轴是直线x=b,顶点坐标是(b,b2+1). 当x=1时,y=-1+2b+1=2b, 当x=4时,y=-16+8b+1=-15+8b. ∵当1≤x≤4时,二次函数的最大值比最小值大3, ∴当b>1时,分以下3种情况讨论. 已知二次函数y=-x2+2bx+c. (7)若c=1,是否存在实数b(b>1),使得当1≤x≤4时,二次函数的最大值比最小值大3,若存在,求出b的值;若不存在,请说明理由.   1 结构化整合 ①若b>4,此时x=4,y有最大值,x=1,y有最小值, ∴-15+8b-2b=3,解得b=3(舍去). ②若1<b<2.5,此时x=b,y有最大值,x=4,y有最小值, ∴b2+1-(-15+8b)=3,解得b=-+4或b=+4(舍去). ③若2.5<b<4,此时x=b,y有最大值,x=1,y有最小值,∴b2+1-2b=3, 解得b=+1或b=-+1(舍去).综上,b的值为-+4或+1. 图示速解 拓展:抛物线开口向下,到对称轴距离越远的点函数值越小;抛物线开口向上,到对称轴距离越远的点,函数值越大.   已知二次函数y=-x2+2bx+c. (8)在(2)的条件下,若二次函数的图象分别交x轴于点A,B,且点A在点B的左侧,与y轴交于点C,则对称轴上是否存在一点P,使得PA+PC的值最小,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.  1 结构化整合 (8)存在. 由(2)知,二次函数的表达式为y=-x2+2x+3, ∴点C的坐标是(0,3),对称轴是直线x=1. 当y=0时,解得x=3或x=-1,∴点A的坐标是(-1,0),点B的坐标是(3,0). ∵点A,B关于直线x=1对称,∴PA+PC=PB+PC≥BC. 已知二次函数y=-x2+2bx+c. (8)在(2)的条件下,若二次函数的图象分别交x轴于点A,B,且点A在点B的左侧,与y轴交于点C,则对称轴上是否存在一点P,使得PA+PC的值最小,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.  1 结构化整合 (8)设直线BC的表达式为y=tx+n,分别代入点B,C的坐标, 得解得 ∴直线BC的表达式是y=-x+3,∴当x=1时,y=2, ∴当PA+PC的值最小时,点P的坐标是(1,2). 图示速解 “将军饮马”模型链接▶▶大单元整合专题二-类型3-问题1 ≫改编自2023年贵州省中考第24题的设问   已知二次函数y=-x2+2bx+c. (9)在(8)的条件下,若点Q为抛物线BC上一动点(不与点B,C重合),求点Q到直线BC的最大距离. 1 结构化整合 (9)过点Q作QE∥y轴交直线BC于点E,交x轴于点F,作QG⊥BC于点G, 由(8)知,直线BC的表达式是y=-x+3, 设Q(a,-a2+2a+3),则E(a,-a+3), ∴QE=-a2+2a+3-(-a+3)=-a2+3a=-(a-)2+,∴当a=时,QE有最大值,为. 由(8)知,OB=3,OC=3,∴∠CBO=45°, 已知二次函数y=-x2+2bx+c. (9)在(8)的条件下,若点Q为抛物线BC上一动点(不与点B,C重合),求点Q到直线BC的最大距离. 1 结构化整合 (9) ∴∠QEG=∠BEF=45°, ∴QG=QE×sin 45°==, ∴点Q到直线BC的最大距离为. 图示速解 拓展:本问利用到转化思想,将“求QG的最大值”转化为“求QE的最大值”,其中45°角是本问隐含的关键条件.   已知二次函数y=-x2+2bx+c. (10)在(2)的条件下,平移抛物线y=-x2+2bx+c,使平移后的抛物线的顶点在直线y=x+1上,求平移后的抛物线与y轴交点纵坐标的最大值. 1 结构化整合 (10)由(2)知,抛物线的表达式是y=-x2+2x+3, ∵平移后的抛物线的顶点在直线y=x+1上, ∴设平移后的抛物线的表达式为y=-(x-h)2+h+1,∴y=-x2+2hx-h2+h+1. 设平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标为d,则d=-h2+h+1=-(h-)2+, ∴当h=时,平移后的抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为. 2 [2024遵义汇川区模拟]已知点P(m,n)在抛物线y=a(x-1)2+3(a为常数,a≠0)上. (1)若m=2,n=4, ①求抛物线的解析式; ②若点A(t-1,y1),B(t,y2)在该二次函数的图象上,且点A在对称轴左侧、点B在对称轴右侧,若y1<y2,求t的取值范围. (2)当-1≤m≤0时,总有n≥-2,且当3≤m<4时,总有n≤-2,求a的值. 2 (1)若m=2,n=4, ①求抛物线的解析式; (1)①当m=2,n=4时,P(2,4), 把P(2,4)代入y=a(x-1)2+3得, 4=a(2-1)2+3,解得a=1, ∴y=(x-1)2+3. 2 (1)若m=2,n=4, ②若点A(t-1,y1),B(t,y2)在该二次函数的图象上,且点A在对称轴左侧、点B在对称轴右侧,若y1<y2,求t的取值范围. ②∵y=(x-1)2+3, ∴抛物线的开口向上,对称轴为直线x=1,抛物线上的点离对称轴越远,函数值越大,由题意,得 解得<t<2. 2 (2)当-1≤m≤0时,总有n≥-2,且当3≤m<4时,总有n≤-2,求a的值. (2)当a>0时,y>3,与题意不符,∴a<0, ∴抛物线的开口向下,对称轴为直线x=1, ∴当x≤1时,y随x的增大而增大;当x≥1时,y随x的增大而减小, ∴当m=-1时,n=-2. 把P(-1,-2)代入y=a(x-1)2+3, 得-2=a(-1-1)2+3, 解得a=-. 3 [2024六盘水二模]已知二次函数图象的顶点坐标为(1,-4),且图象经过点(3,0),(0,-3). (1)求二次函数的表达式. (2)将二次函数的图象向右平移m(m>0)个单位长度后,图象经过点 (1,-),求m的值. (3)结合(2),在平移后的图象上,当n-2≤x≤n+1时,函数的最小值为-3,求n的值. 3 (1)求二次函数的表达式. (1)∵二次函数图象的顶点坐标为(1,-4), ∴设二次函数的表达式为y=a(x-1)2-4. ∵图象过点(3,0), ∴0=4a-4, 解得a=1, ∴二次函数的表达式为y=(x-1)2-4. 3 (2)将二次函数的图象向右平移m(m>0)个单位长度后,图象经过点(1,-),求m的值. (2)由题意,将二次函数的图象向右平移m(m>0)个单位长度得, y=(x-1-m)2-4. ∵平移后的图象过点(1,-),∴-=m2-4, 解得m=或m=-(舍去), ∴m=. 3 (3)结合(2),在平移后的图象上,当n-2≤x≤n+1时,函数的最小值为-3,求n的值. (3)由(2)得平移后的二次函数表达式为y=(x-)2-4. ∴抛物线的开口向上,对称轴是直线x=.当x<时,y随x的增大而减小;当x>时,y随x的增大而增大;当x=时,y取得最小值为-4. ∵当n-2≤x≤n+1时,函数的最小值为-3, ∴分以下两种情况进行讨论. 3 (3)结合(2),在平移后的图象上,当n-2≤x≤n+1时,函数的最小值为-3,求n的值. ①当n+1<,即n<时,有(n+1-)2-4=-3, 解得n=-或n=(舍去). ②当n-2>,即n>时,有(n-2-)2-4=-3. 解得n=或n=(舍去). 综上,n=-或n=. Lavf57.83.100 $$