2025年九年级中考数学二轮专题复习课件 题型二-圆的综合题

第1讲　Unit 1—Unit 3 (含Starter Units) 七年级上册 2025年中考数学二轮专题复习 题型二 圆的综合题 如图(1),AB是☉O的直径,=,AC与BD相交于点E,连接AD,BC. (1)[证角相等]如图(1),写出一对相等的角,并说明你的理由. 1 结构化整合 图(1) (1)解法一: ∠DAC=∠CAB. 理由:∵=,∴∠CAB=∠DAC. 如图(1),AB是☉O的直径,=,AC与BD相交于点E,连接AD,BC. (1)[证角相等]如图(1),写出一对相等的角,并说明你的理由. 1 结构化整合 图(1) (1)解法二:∠DAC=∠CBD. 理由:∵=, ∴∠DAC=∠CBD. 如图(1),AB是☉O的直径,=,AC与BD相交于点E,连接AD,BC. (1)[证角相等]如图(1),写出一对相等的角,并说明你的理由. 1 结构化整合 图(1) (1)解法三:∠ADB=∠ACB. 理由:∵AB是☉O的直径, ∴∠ADB=∠ACB=90°. (注:答案不唯一,合理即可) 如图(1),AB是☉O的直径,=,AC与BD相交于点E,连接AD,BC. (2)[求角度数]如图(2),连接OC,CD,若∠AOC=130°,求∠ADC的度数. 1 结构化整合 图(2) (2)∵∠AOC=130°, ∴∠ABC=∠AOC=65°. ∵四边形ADCB是圆内接四边形, ∴∠ADC=180°-∠ABC=115°. 技巧点拨 遇:圆中求角度 想:圆中常用性质、定理 ①圆周角是圆心角的一半 ②圆内接四边形对角互补 ③直径所对的圆周角是90° 如图(1),AB是☉O的直径,=,AC与BD相交于点E,连接AD,BC. (3)[求线段长]如图(3),若CE=2,AE=6,求☉O的半径. 1 结构化整合 图(3) (3)∵CE=2,AE=6,∴AC=8. ∵=,∴∠CAB=∠CBD. ∵∠ACB=∠BCE, ∴△ACB∽△BCE, ∴=,即=, 解得BC=4(负值已舍去). ∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°, ∴AB===4, ∴OA=AB=2, ∴☉O的半径为2. 技巧点拨 求圆中线段长的技巧 1.勾股定理 利用“垂径定理”或“直径所对圆周角是直角”确定直角三角形 2.构造相似 利用相似三角形的性质求线段长 3.等量代换 找出与所求线段有一定数量关系的易求线段 如图(1),AB是☉O的直径,=,AC与BD相交于点E,连接AD,BC. (4)[证平行]如图(4),过点C作☉O的切线CG,与AB的延长线交于点G,求证:BD∥CG. 1 结构化整合 图(4) (4)连接OC, ∵=,∴∠DAC=∠CAB. ∵=,∴∠DAC=∠CBD, ∴∠CAB=∠CBD.　① ∵CG是☉O的切线,∴∠OCG=90°. 如图(1),AB是☉O的直径,=,AC与BD相交于点E,连接AD,BC. (4)[证平行]如图(4),过点C作☉O的切线CG,与AB的延长线交于点G,求证:BD∥CG. 1 结构化整合 图(4) ∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°, ∴∠OCG=∠ACB,∴∠ACO=∠GCB. ∵OA=OC,∴∠CAB=∠ACO, ∴∠CAB=∠GCB.　② 由①②得,∠DBC=∠GCB,∴BD∥CG. 审题关键 关键1:遇到切线,连半径(切点与圆心的连线) 关键2:利用直角三角形,本题是指Rt△OCG 如图(1),AB是☉O的直径,=,AC与BD相交于点E,连接AD,BC. (5)[证相似]如图(5),过点C作☉O的切线CG,与AB的延长线交于点G,连接CD,求证:△ADC∽△CBG. 1 结构化整合 图(5) (5)连接OC,由(4)知,∠DAC=∠CAB, ∠CAB=∠GCB,∴∠DAC=∠GCB.　③ 由(4)得,BD∥CG,∴∠DBA=∠CGA. ∵=,∴∠DCA=∠DBA, ∴∠DCA=∠CGB,　④ ∴由③④得,△ADC∽△CBG. 解题通法 如图(1),AB是☉O的直径,=,AC与BD相交于点E,连接AD,BC. (6)[求阴影部分面积]如图(6),过点C作☉O的切线CG,与AB的延长线交于点G,若∠GCB=30°,BG=3,求阴影部分的面积. 1 结构化整合 图(6) (6)连接OC,∵CG是☉O的切线,∴∠OCG=90°. ∵∠BCG=30°,∴∠OCB=60°. 又OC=OB,∴△COB是等边三角形, ∴∠COB=∠OBC=60°,∴∠G=∠GCB=30°,∴OB=CB=BG=3, ∴S阴影=S扇形COB-S△COB=-×3×=-. 解题通法 ①求阴影部分的面积,联想“割补法” ②有“弧”找扇形,有“弦”找三角形 ③判断各部分是加还是减 如图(1),AB是☉O的直径,=,AC与BD相交于点E,连接AD,BC. (7)[判断四边形的形状]如图(7),过点C作☉O的切线CG,与AB的延长线交于点G,连接CD,OD,若∠GCB=30°,试判断四边形OBCD的形状,并说明理由. 1 结构化整合 图(7) (7)四边形OBCD是菱形. 理由:连接OC,由(6)知,△OCB是等边三角形, ∴CB=OB.∵=,∴BC=CD. ∵OD=OB,∴OD=CD=CB=OB,∴四边形OBCD是菱形. 解题通法 ≫改编自2023年贵州省中考第23题的设问 判定一个四边形是菱形的思路 2 [2024贵阳观山湖区模拟]如图,在△ABC的边BC上取一点O,以O为圆心,OC长为半径画☉O,☉O与边AB相切于点D,AC=AD,连接OA交☉O于点E,连接CE,并延长交线段AB于点F. (1)求证:AC是☉O的切线. (2)若BC=6,cos B=,求☉O的半径长. (3)在(2)的条件下,若F是AB的中点,求CE·CF的值. 2 [2024贵阳观山湖区模拟]如图,在△ABC的边BC上取一点O,以O为圆心,OC长为半径画☉O,☉O与边AB相切于点D,AC=AD,连接OA交☉O于点E,连接CE,并延长交线段AB于点F. (1)求证:AC是☉O的切线. (1)证明:如图, 连接OD, ∵☉O与边AB相切于点D,∴OD⊥AB, 即∠ADO =90°. 在△ACO和△ADO中,∴△ACO≌△ADO(SSS), ∴∠ACO=∠ADO=90°.又∵OC是☉O的半径,∴AC是☉O的切线. 2 [2024贵阳观山湖区模拟]如图,在△ABC的边BC上取一点O,以O为圆心,OC长为半径画☉O,☉O与边AB相切于点D,AC=AD,连接OA交☉O于点E,连接CE,并延长交线段AB于点F. (2)若BC=6,cos B=,求☉O的半径长. (2)∵在Rt△ACB中,BC=6,cos B==, ∴AB=10,AC==8, ∴BD=10-8=2. ∵在Rt△ODB中,OB2=OD2+BD2, ∴(6-OC)2=OC2+4,解得OC=,∴☉O的半径长为 . 2 (3)在(2)的条件下,若F是AB的中点,求CE·CF的值. (3)由(1)易得,∠AOC =∠AOD. ∵F是AB的中点, ∠ACB =90°, ∴AF =CF = BF,∴∠FCB=∠FBC. ∵OC=OE=,∴∠OCE=∠CEO,∴∠OEC=∠B. ∵∠OCE=∠FCB,∴ △OCE∽△FCB, ∴=,即=,∴CE·CF=OE·BC,∴CE·CF=16. 3 [2024遵义播州区模拟]如图,AB为☉O的直径,过☉O上一点D作切线CD,与AB的延长线交于点C,点E为☉O上一点,且=,连接DE交AB于点H,连接AD,DB,BE. (1)写出图中一个与∠A相等的角:　　　　　　　　.  (2)求证:∠E=∠BDC. (3)已知CD=4,CB=2,cos∠BDC=,求BE的长. ∠BDE（答案不唯一） 3 如图,AB为☉O的直径,过☉O上一点D作切线CD,与AB的延长线交于点C,点E为☉O上一点,且=,连接DE交AB于点H,连接AD,DB,BE. (2)求证:∠E=∠BDC. (2)证明:如图,连接OD, ∵CD为☉O的切线,∴OD⊥CD,∴∠ODC=90°. ∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°. ∵∠ODA+∠ODB=90°,∠BDC+∠ODB=90°, ∴∠ODA=∠BDC.∵OD=OA,∴∠ODA=∠A,∴∠A=∠BDC. ∵∠E=∠A,∴∠E=∠BDC. 3 如图,AB为☉O的直径,过☉O上一点D作切线CD,与AB的延长线交于点C,点E为☉O上一点,且=,连接DE交AB于点H,连接AD,DB,BE. (3)已知CD=4,CB=2,cos∠BDC=,求BE的长. (3)设☉O的半径为r,则OD=OB=r,在Rt△OCD中,OD2+CD2=OC2, 即r2+42=(r+2)2,解得r=3,∴AB=6. ∵由(2)知,∠A=∠BDC,∴cos A=cos∠BDC=. 在Rt△ABD中,cos A==,∴AD=×6=, ∴BD==.∵=,∴BE=BD=. $$