专题05 一元一次方程-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学上学期期末真题分类汇编（云南专用）

专题05 一元一次方程 一、题型01等式的性质和方程的解 1．（22-23七年级上·北京密云·期末）已知，则下列等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·云南红河·期末）已知，根据等式的性质，下列等式的变形中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·云南红河·期末）若等式成立，则下列等式变形不一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·云南德宏·期末）由可以得到用x表示y的式子为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·云南昭通·期末）若是关于的方程的解，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D． 6．（23-24七年级下·云南昭通·期末）将方程写成用含的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级上·云南德宏·期末）根据等式的性质，下列变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．，则 8．（23-24七年级上·云南楚雄·期末）下列方程是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 9．（23-24七年级上·云南昭通·期末）根据等式的性质，下列变形中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（23-24七年级上·云南德宏·期末）小刚同学在做作业时，不小心将方程中的一个常数涂黑了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是请问这个被涂黑的常数是（    ） A． B．4 C． D．2 11．（23-24七年级上·云南昆明·期末）已知等式，则下列式子中不成立的是（　　） A． B． C． D． 12．（23-24七年级上·河南许昌·期末）已知等式，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 13．（22-23七年级上·云南大理·期末）已知是关于的方程的解，则 ． 14．（22-23七年级上·云南大理·期末）已知是关于x的一元一次方程，则 ． 15．（23-24七年级上·云南昭通·期末）已知关于x的方程是一元一次方程，则 ． 二、题型02 解一元一次方程 16．（23-24八年级下·浙江温州·开学考试）下列各题正确的是 （   ） A．由移项得 B．由去分母得 C．由去括号得 D．由去括号、移项、合并同类项得 17．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）把方程去分母后，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 18．（23-24七年级上·云南红河·期末）若关于x的方程是一元一次方程，则此方程的解是（    ） A． B． C． D． 19．（22-23七年级上·山东青岛·期中）若与是同类项，则的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 20．（23-24七年级上·云南楚雄·期末）对于任意两个有理数a，b，规定：．若，则x的值为（　　） A．2 B． C． D． 21．（23-24七年级上·云南昆明·期末）佳佳同学解一元一次方程的过程如下： 解：去分母，得，第一步 去括号，得，第二步 移项，得，第三步 合并同类项，得，第四步 系数化为1，得． 前四个步骤中，开始出现错误的是（　　） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 22．（23-24七年级上·云南昭通·期末）若是方程的解，则的值为 ． 23．（23-24七年级下·云南文山·期末）已知的平方根是，的立方根是3． (1)求m、n的值； (2)求的平方根． 24．（24-25七年级上·云南楚雄·期末）解方程． (1) (2) 25．（23-24七年级下·云南红河·期末）解方程：． 26．（23-24七年级上·云南文山·期末）解方程： (1) (2) 27．（23-24七年级上·云南曲靖·期末）解方程： (1)； (2)． 28．（23-24七年级上·云南临沧·期末）解方程：． 29．（23-24七年级上·云南昆明·期末）解下列方程： (1)； (2)． 30．（23-24七年级上·云南昭通·期末）计算： (1) (2)解方程： 三、题型03 工程问题 31．（23-24七年级上·云南普洱·期末）整理一批数据，由一人做需要40小时完成．现在计划先由一些人做2小时，再增加3人做4小时，完成这项工作的，则先安排（    ）人工作． A．4 B．3 C．2 D．6 32．（21-22七年级上·云南昆明·期末）整理一批图书，由一个人做要30小时完成，现在计划由一部分人先做2小时，再增加3人和他们一起做4小时，完成这项工作，假设每个人的工作效率相同，具体先安排x人工作，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 33．（23-24七年级上·云南昭通·期末）一项工程，甲单独做需天完成，乙单独做需天完成，现由甲先做天，乙再加入合作，完成这项工程共需多少天？若设完成这项工程共需天，依题意可列方程（    ） A． B． C． D． 34．（22-23七年级下·云南玉溪·期末）为加快红塔区城市更新改造，全面推进全区基础设施建设，提升城市档次和品位，2023年4月起，聂耳路（南北大街一棋阳路）开始封闭施工工程．其中某条地下管线如果由甲工程队单独铺设需要20天，由乙工程队单独铺设需要30天，现计划由乙工程队先从一端铺设5天，然后增加甲工程队从另一端和乙工程队同时铺设．设甲乙工程队共同铺设天后，恰好完成这条地下管线的铺设，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 35．（21-22七年级上·全国·课后作业）一项工程甲独做10天完成，乙的工作效率是甲的2倍，两人合作了m天未完成，剩下的工作量由乙完成，还需的天数为（    ） A． B． C． D．以上都不对 36．（22-23七年级上·河南商丘·期末）一项工作，甲单独做需9天完成，乙单独做需12天完成，如果两人合做几天后，余下的工作再由甲单独做2天完成，则甲、乙两人合做了 天． 37．（23-24七年级上·云南红河·期末）劳动教育课程已经成为中小学生的必修课，被纳入人才培养的全过程．云南某中学整理学生的劳技作品，由一名老师整理要完成．现计划由一部分老师先做，然后再增加3名老师与他们一起做，可完成这项整理工作．假设每位老师的工作效率相同，应先安排多少名老师整理？ 38．（23-24七年级上·云南昆明·期末）挖一条水渠，甲队单独做需20天完成，乙队单独做需15天完成．现在两队合作若干天后，乙队另有任务离开，甲队接着又单独挖6天完成，请问挖这条水渠一共用了多少天？ 四、题型04 行程问题 39．（2022·辽宁营口·中考真题）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 40．（23-24七年级上·云南红河·期末）年国产大型客机首航成功，这标志着正式投入商业运营，也标志着我国从此有了属于自己的国产大型客机．某机场一架飞机顺风从甲机场飞到乙机场要用小时，它逆风飞行同样的航线要用小时．已知在风速为千米时的条件下，求无风时这架飞机在这一航线的平均速度． 41．（23-24七年级上·云南曲靖·期末）甲地到乙地的高铁开通后，运行时间由原来的4小时缩短至1小时，运行里程缩短了20千米．已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快220千米，求高铁的平均速度． 42．（23-24七年级上·云南昭通·期末）如图，在数轴上点，，表示的数分别是、、，动点从点出发，沿数轴以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动，当点运动到点或点运动到点时，立即停止整个运动，设点的运动时间为秒． (1)当点与点相遇时，求的值； (2)当点与点之间的距离为个单位长度时，求的值； (3)若，求出点表示的数． 43．（23-24七年级上·广东广州·期中）一艘船从甲码头顺流而行，用了3小时到达乙码头，该船从乙码头返回甲码头逆流而行，用了5小时，已知水流速度是3千米/小时，求船在静水中的速度． 44．（23-24七年级上·山东聊城·开学考试）客车和货车同时从相距450千米的两地出发，相向而行，经过3小时相遇．已知客车和货车的速度比是，客车每小时行多少千米？ 五、题型05 配套问题 45．（23-24七年级上·云南昭通·期末）某工厂用硬纸生产圆柱形茶叶筒．已知该工厂有名工人，每名工人每小时可以制作筒身个或制作筒底个．要求一个筒身配两个筒底，设应该分配名工人制作筒身，其它工人制作筒底，使每小时制作出的筒身与筒底刚好配套，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 46．（21-22七年级上·宁夏银川·期末）某口罩厂有50名工人，每人每天可以生产500个口罩面或1000个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排名工人生产口罩面，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 47．（21-22七年级下·云南·期中）某车间有66名工人，每名工人一天能生产甲种零件24个或生产乙种零件15个，而甲种零件3个，乙种零件5个配成一套机件，请合理分配所有工人，使得每天生产的零件刚好配低，则每天可生产 套． 48．（23-24七年级上·云南昆明·期末）2023年8月29日华为在各大电商平台预约销售，预售不到24小时，天猫、京东等平台的就被抢完，显示无货，为了加快生产进度，某工厂连夜生产中的某种电子配件，这种配件由A型装置和B型装置组成，已知该工厂共有1200名工人．若急需的这种电子配件每套由2个A型装置和1个B型装置配套组成，每人每天只能加工40个A型装置或30个B型装置，现将所有工人分成两组，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的A、B型装置正好配套，该工厂每天应安排多少名工人生产A型装置，多少名工人生产B型装置？ 49．（23-24七年级上·云南昭通·期末）某车间有工人45人，平均每人每天可加工大齿轮10个或小齿轮16个．又知1个大齿轮与2个小齿轮配成一套．应如何安排工人，才能使每天生产的大小齿轮刚好配套？ 50．（23-24七年级上·云南昆明·期末）近年来，云南昆明不断完善全民健身公共服务体系，随着滇池绿道的建造，“15分钟健身圈”逐步形成，把“健身房”建在市民身边，让体育更好的融入生活．某工厂生产一批太空漫步器（如图）．每套设备由3根立柱和4个脚踏板组装而成；工厂现共有40名工人，每人每天平均生产36根立柱或48个脚踏板，应如何分配工人才能使每天生产的立柱和脚踏板恰好配套？    51．（23-24七年级上·重庆渝中·期中）第届亚洲夏季运动会于年月日在杭州举行，象征杭州三大世界文化遗产的吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”通过不同色彩、不同纹饰向世界讲述“江南忆”的美丽故事，现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为、两种包装，该工厂共有名工人． (1)若该工厂生产盲盒的人数比生产盲盒的人数的倍少人，请求出生产盲盒的工人人数； (2)为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由个盲盒和个盲盒组成，已知每个工人平均每天可以生产个盲盒或个盲盒，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒，多少名工人生产盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套？ 六、题型06 方案问题 52．（23-24七年级上·云南楚雄·期末）某学校开展冬季运动会，准备采购30副羽毛球拍和若干个羽毛球，每副羽毛球拍标价80元，每个羽毛球标价5元，某超市在开展促销活动，提供了两种优惠方案（两种优惠方案不能叠加使用）： 方案一：每买一副羽毛球拍赠送5个羽毛球； 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按标价的八折销售． 设该校购买了x个羽毛球． (1)当时，按两种方案购买各需付款多少元？ (2)按两种方案购买各需付款多少元？（用含x的式子表示） (3)当购买羽毛球多少个时，两种方案付款相同． 53．（23-24七年级上·云南玉溪·期末）为持续深入推进“双减”工作，拓展丰富课后服务资源，满足学生兴趣特长发展需求，某校决定购买一批足球运动装备．经市场调查发现：甲、乙两商场以同样的标价出售同种品牌的足球运动服和足球，已知每套运动服比每个足球贵40元，3套运动服与5个足球的费用相等． (1)求每套运动服和每个足球的标价分别是多少？ (2)甲商场优惠方案是：每购买10套运动服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买运动服超过50套，则购买足球打八折．若该校购买100套运动服和a个足球（其中且为整数），则当购买的足球数a为何值时，在两家商场购买所需的费用一样． 54．（23-24七年级上·云南红河·期末）七年级某班因参加校园运动会为学生购置运动装．经了解，某服装店男款运动装每套100元，女款运动装每套120元，原价购买50套运动装共需5520元．为吸引顾客，该店推出两种优惠方案： 方案一：全部运动装八五折销售； 方案二：一次性购买40套运动装（男女运动装均可）及以上免费赠送10套男款运动装，其余的按原价销售． (1)该班购买的男款运动装和女款运动装各多少套？ (2)请通过计算说明该班购买50套运动装应选择哪种优惠方案更合算？ 55．（22-23七年级上·广东广州·期末）某超市新开张，春节促销，推出了两种购物方案． 方案一：非会员购物，所有商品可获标价的九折优惠； 方案二：如交纳400元会费成为该超市会员，则所有商品可获标价的八五折优惠； (1)以（元）表示商品标价，分别用含有的式子表示出两种购物方案所需支出的金额； (2)若某人计划在超市购买价格为元的电视机一台，选择哪种方案更省钱？ (3)在哪种情况下，两种方案所需支出的金额相同？ 56．（20-21七年级上·广东深圳·期末）小明用的练习本可以到甲商店购买，也可以到乙商店购买．已知两店的标价都是每本1元，甲商店的优惠条件是买10本以上，从第11本开始按标价的7折卖；乙商店的优惠条件是购买10本以上，每本按标价的8折卖． （1）小明要买20本练习本，到哪个商店较省钱？ （2）小明要买10本以上练习本，买多少本时到两个商店付的钱一样多？ 七、题型07 一元一次方程解的综合应用 57．（23-24七年级上·云南普洱·期末）已知关于的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数的积是（    ） A． B．4 C．6 D．3 58．（20-21七年级下·重庆北碚·阶段练习）关于x的一元一次方程（k﹣1）x＝4的解是整数，则符合条件的所有整数k的值的和是（　　） A．0 B．4 C．6 D．10 59．（23-24七年级上·云南昆明·期末）如果两个一元一次方程的解互为倒数，我们就称这两个方程为“友好方程”．例如，方程和方程为“友好方程”．若关于的方程与方程是“友好方程”，则 ． 60．（23-24七年级上·云南昆明·期末）对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：． 例如：． 根据上述规定解决下列问题： (1)求有理数对的值； (2)当满足等式的是整数时，求整数的值． 八、题型08 几何问题 61．（23-24七年级上·云南红河·期末）如图，已知数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a、b满足，动点P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒． (1)_____________，_____________； (2)当t为何值时，点P运动到线段中点处，并求出此时点P在数轴上所表示的数； (3)动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，点P运动多少秒时，P、Q两点相距6个单位长度？ 62．（23-24七年级下·云南普洱·期末）汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带的两岸各安置了一探照灯，便于夜间察看河水及两岸河堤的情况，如图1，探照灯A射出的光线自顺时针转动至便立即回转，探照灯B射出的光线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若探照灯A射出的光线的转动速度是/秒，探照灯B射出的光线的转动速度是/秒，且a，b满足，假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且． (1)求a，b的值； (2)如图2，两探照灯同时转动，在探照灯A射出的光线到达之前，两探照灯射出的光束交于点C，若，求的度数； (3)若探照灯B射出的光线先转动36秒后，探照灯A射出的光线才开始转动，设光线转动时间为t秒，当两探照灯的光线互相平行即时，求t的值． 63．（23-24七年级上·云南曲靖·期末），是数轴上的两点（点在点的右侧），点表示的数为，、两点的距离是点到原点的距离的倍，即．点为数轴上的动点． (1)数轴上点表示的数是______； (2)当时，求点表示的数； (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长度． 64．（23-24七年级上·云南保山·期末）新定义：如图①，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．）    阅读理解： (1)角的平分线______这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”） (2)如图①，，射线为的“幸运线”，则的度数为______；（直接写出答案） 解决问题 (3)如图②，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动的时间为秒（）．若、、三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求运动的时间的值． 65．（23-24七年级上·云南昆明·期末）已知数轴上两点，对应的数分别为，4，点为数轴上一动点，其对应的数为． (1)若点为线段的中点，则点对应的数_______； (2)点P在移动的过程中，其到点A、点B的距离之和为8，求此时点P对应的数的值； (3)对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”．如图，原点O是点A，B的2倍点．现在，点A、点B分别以每秒4个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设出发t秒后，点P恰好是点A，B的“2倍点”，请直接写出此时的t值． 66．（21-22七年级上·云南玉溪·期末）【阅读】在数轴上，点A对应的有理数为a，点B对应的有理数为b，则以A、B为端点的线段的长度AB=，以A、B为端点线段的中点对应数为． 【运用】如图，已知A、B、C 分别为数轴上的两点，点A对应的数为-8，点B对应的数为 4，点C对应的数为6，现有一动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时，另一动点Q从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t秒． (1)A，B两点间的距离AB= ，线段AB的中点表示的数为 ； (2)用含t 的代数式表示：点P对应的数是 ，点Q对应的是 ，动点Q经过 秒时运动到点A与点B的中点处； (3)经过多少秒时，点P与点Q之间的距离恰好是点Q与点C之间距离的一半？ 九、题型09 其他问题 67．（23-24七年级上·云南曲靖·期末）小明在日历表的同一列圈出相邻的3个数，这3个数的和可能是（　　） A．21 B．45 C．49 D．75 68．（23-24七年级上·云南昆明·期末）一个由若干奇数排成的数阵，用如图所示的框去框住四个数，并求出它们的和．移动这个框，框住四个数的和可能是（　　） A．114 B．122 C．220 D．84 69．（23-24七年级上·云南红河·期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”若设牧童有x人，根据题意，可列方程为（    ）． A． B． C． D． 70．（23-24七年级上·云南昆明·期中）下表填在各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律的值是（   ） A． B． C． D． 71．（23-24七年级上·云南曲靖·期末）下表是某市居民每月用水收费标准（单位：元/立方米），设用户用水量为x立方米． 用水量x（单位：立方米） 单价（单位：元/立方米） a 超出30的部分 (1)据了解用水10立方米，需交水费35元，某用户10月份恰好用水30立方米，求该用户10月份应交水费多少元？ (2)该用户11月份交水费152元，求该用户11月份用水多少立方米？ 72．（23-24七年级下·云南文山·期末）“四书五经”是《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》和《诗经》、《尚书》、《易经》、《礼记》、《春秋》的总称，这是一部被中国人读了几千年的书，包含了中国古代的政治理想和治国之道，是我们了解中国古代社会的一把钥匙．某学校计划分阶段引导学生读这些书，先购买《论语》和《孟子》供学生阅读．已知用1300元购买《孟子》和《论语》各20本，《孟子》的单价比《论语》的单价少15元． (1)求购买《论语》和《孟子》这两种书的单价各是多少元？ (2)学校为了丰富学生的课余生活，举行“书香阅读”活动，根据需要，学校准备再次购进两种书共50本，但总费用不超过1400元，最多可购进多少本论语？ 73．（23-24七年级上·云南昆明·期末）用A、B两种型号的机器生产相同的产品，产品装入同样规格的包装箱后运往仓库．已知每台B型机器比A型机器一天多生产2件产品，3台A型机器一天生产的产品恰好能装满5箱，4台B型机器一天生产的产品恰好能装满7箱．每台A型机器一天生产多少件产品？每箱装多少件产品？ 下面是解决该问题的两种思路，请选择其中一种思路，进行解答．（不需要填空） 思路一：若设每台A型机器一天生产x件产品，则每台B型机器一天生产件产品，3台A型机器一天共生产______件产品，4台B型机器一天共生产______件产品，再根据相等关系：______，就可以列出方程解决问题． 思路二：若设每箱装x件产品，则3台A 型机器一天共生产_____件产品，4台B型机器一天共生产________件产品，再根据相等关系：________，就可以列出方程解决问题． 十、题型10 古代问题 74．（18-19七年级上·山西太原·期末）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三．问人数、羊价各几何？”其译文为：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱，问人数、羊价各是多少？若设人数为x人，则列出的方程为（ ） A． B． C． D． 75．（22-23七年级上·河南漯河·期末）我国明代著名数学家程大位的《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，就比竿短5尺．设竿长为x尺，根据题意列一元一次方程（　　） A． B． C． D． 76．（22-23七年级上·河北张家口·期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿，若设有牧童人，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 77．（22-23七年级上·广东清远·期末）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有一题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？大意是说：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9人无车可乘．问共有有多少人，多少辆车？如果设有辆车，根据题意所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 试卷第14页，共15页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一元一次方程 一、题型01等式的性质和方程的解 1．（22-23七年级上·北京密云·期末）已知，则下列等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质：①把等式的两边都加(或减去)同一个整式，等式仍然成立；②等式两边都乘（或除以）同一个不为零的数，等式仍然成立；据此解答即可． 【详解】解：A、， ，即，故该选项正确，不符合题意； B、， ，即，故该选项错误，符合题意； C、， 等号两边都除以得：，故该选项正确，不符合题意； D、， 等号两边都乘得：，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 2．（23-24七年级上·云南红河·期末）已知，根据等式的性质，下列等式的变形中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可，解题的关键是熟记等式性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【详解】解：、由可得，原选项正确，不符合题意； 、由可得，原选项正确，不符合题意； 、由可得，原选项错误，符合题意； 、由，可得，原选项正确，不符合题意； 故选：． 3．（23-24七年级上·云南红河·期末）若等式成立，则下列等式变形不一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质可直接进行排除选项． 【详解】解：A、由等式性质1可知，故该选项正确，不符合题意； B、由等式性质2可知当时，，故该选项不正确，符合题意； C、由等式性质1可知，故该选项正确，不符合题意； D、由等式性质2可知，故该选项正确，不符合题意； 故选B． 4．（23-24七年级下·云南德宏·期末）由可以得到用x表示y的式子为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等式的性质，恒等变形即可得到答案． 本题考查等式的性质，读懂题意，按要求恒等变形是解决问题的关键． 【详解】解：由，得， 故选：B． 5．（23-24七年级上·云南昭通·期末）若是关于的方程的解，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查方程的解，解题的关键是理解题意，根据方程的解的定义把代入方程可得关于m的方程，解方程即可解决问题． 【详解】解：把代入方程，得： ， 解得：， 故选：A． 6．（23-24七年级下·云南昭通·期末）将方程写成用含的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质，等式两边同时减去即可求解，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ 即， 故选：． 7．（23-24七年级上·云南德宏·期末）根据等式的性质，下列变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立． 【详解】解：．若，当时，则，原变形错误，故该选项不符合题意； ．若，则，原变形错误，故该选项不符合题意； ．若，则，原变形正确，故该选项符合题意； ．，则，原变形错误，故该选项不符合题意； 故选：C． 8．（23-24七年级上·云南楚雄·期末）下列方程是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程叫一元一次方程）逐个判断即可． 【详解】解：A、方程中含有两个未知数，是二元一次方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； B、方程是分式方程，故本选项不符合题意； C、方程是一元一次方程，故本选项符合题意； D、不是方程，故本选项不符合题意． 故选：C． 9．（23-24七年级上·云南昭通·期末）根据等式的性质，下列变形中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题关键，根据等式的性质逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 若，则或，故原选项错误，不合题意； B. 原选项正确，符合题意； C. 若且，则，故原选项错误，不合题意； D. 若，则，故原选项错误，不合题意． 故选：B 10．（23-24七年级上·云南德宏·期末）小刚同学在做作业时，不小心将方程中的一个常数涂黑了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是请问这个被涂黑的常数是（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了方程的解，将代入求解即可． 【详解】解：将代入， 得：， 解得：， 故选：C． 11．（23-24七年级上·云南昆明·期末）已知等式，则下列式子中不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查等式的基本性质，利用等式的基本性质判断即可． 【详解】解：A．由，则等式两边同时减去，即可得，原变形正确，故该选项不符合题意； B．由，则等式两边同时乘以8得，原变形正确，故该选项不符合题意； C．由，则等式左边减去8，右边加8等式不成立，则，原变形错误，故该选项符合题意； D．由，则等式两边同时除以8得，原变形正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 12．（23-24七年级上·河南许昌·期末）已知等式，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的性质．根据等式的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、若，则，原式不一定成立，故本选项不符合题意； B、若，则不一定成立，故本选项不符合题意； C、若，则不一定成立，故本选项不符合题意； D、若，则一定成立，故本选项符合题意； 故选：D． 13．（22-23七年级上·云南大理·期末）已知是关于的方程的解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解，将代入方程，解关于的方程，即可求解；理解方程的解是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 故答案：． 14．（22-23七年级上·云南大理·期末）已知是关于x的一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解；∵是关于x的一元一次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（23-24七年级上·云南昭通·期末）已知关于x的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义得到，并且，即可求出m的值． 【详解】解：因为关于x的方程是一元一次方程， 所以，并且， 所以． 故答案为：0 二、题型02 解一元一次方程 16．（23-24八年级下·浙江温州·开学考试）下列各题正确的是 （   ） A．由移项得 B．由去分母得 C．由去括号得 D．由去括号、移项、合并同类项得 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次方程，涉及解一元一次方程的方法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等，根据解一元一次方程的步骤逐项验证即可得到答案，熟记一元一次方程的解法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：A、由移项得，选项移项变号错误，不符合题意； B、由去分母得，选项去分母漏项，不符合题意； C、由去括号得，选项去括号变号错误，不符合题意； D、由去括号、移项、合并同类项得； 故选：D． 17．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）把方程去分母后，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，其步骤为∶去分母，去括号，按照移项，合并同类项，系数化为1，方程两边同乘以8去分母得到结果，即可做出判断． 【详解】解：方程去分母，得， 故选：B． 18．（23-24七年级上·云南红河·期末）若关于x的方程是一元一次方程，则此方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的定义及解一元一次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据一元一次方程的定义得到，求出的值，再代入解方程即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴方程为：， 解得：， 故选：A． 19．（22-23七年级上·山东青岛·期中）若与是同类项，则的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类项，代数式求值，解一元一次方程，掌握同类项的定义是解题的关键．根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ， ， 故选：C． 20．（23-24七年级上·云南楚雄·期末）对于任意两个有理数a，b，规定：．若，则x的值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查新定义，解一元一次方程，根据新运算的定义，得出方程是解题的关键． 根据新运算的定义，得到方程，再解这个方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， ， ． 故选：A． 21．（23-24七年级上·云南昆明·期末）佳佳同学解一元一次方程的过程如下： 解：去分母，得，第一步 去括号，得，第二步 移项，得，第三步 合并同类项，得，第四步 系数化为1，得． 前四个步骤中，开始出现错误的是（　　） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【答案】B 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，熟记去括号时，括号前面是符号，括号内各项都要改变符号是解本题的关键． 【详解】解： 去分母，得，第一步 去括号，得，第二步 ∴出现错误在第二步，去括号时，括号前面的负号，去括号后，括号内第二项没有改变符号； 故选：B 22．（23-24七年级上·云南昭通·期末）若是方程的解，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查一元一次方程的解的定义．一元一次方程的解法，熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．把代入方程，求解即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得：； 故答案为：3． 23．（23-24七年级下·云南文山·期末）已知的平方根是，的立方根是3． (1)求m、n的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据平方根、立方根的定义可得，，再方程即可求解； （2）把，代入得，，再求平方根即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根是3， ∴，， ∴，； （2）解：把，代入得， ， ∴的平方根是． 【点睛】本题考查平方根、立方根的定义、代数值求值、解一元一次方程，熟练掌握平方根、立方根的定义求得m、n的值是解题的关键． 24．（24-25七年级上·云南楚雄·期末）解方程． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是： （1）按照去括号，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． （2）按照去分母，去括号，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：去括号，得 移项，得 合并同类项，系数化为1，得 （2）解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，系数化为1，得 25．（23-24七年级下·云南红河·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 26．（23-24七年级上·云南文山·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键． （1）利用去括号，移项，合并同类项解方程即可． （2）利用去分母法解方程即可． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：． （2） 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 27．（23-24七年级上·云南曲靖·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为，求出解． （1）方程去括号，移项，合并同类项，把系数化为，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为，即可求出解． 【详解】（1）解：； 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：． 28．（23-24七年级上·云南临沧·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1即可得到答案； 【详解】解：去分母得， ， 去括号得， ， 移项得， ， 合并同类项得， ， 系数化1得， ． 29．（23-24七年级上·云南昆明·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程： （1）按照去括号，移项，合并同类项的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项得：，       合并同类项得：； （2）解： 去分母得：，     去括号得：，       移项得：， 合并同类项得：         系数化为1得：． 30．（23-24七年级上·云南昭通·期末）计算： (1) (2)解方程： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，正确的计算是解题的关键． 根据有理数的混合运算进行计算即可求解． 按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤解一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 去分母，， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 化系数为，． 三、题型03 工程问题 31．（23-24七年级上·云南普洱·期末）整理一批数据，由一人做需要40小时完成．现在计划先由一些人做2小时，再增加3人做4小时，完成这项工作的，则先安排（    ）人工作． A．4 B．3 C．2 D．6 【答案】B 【分析】设应先安排x人工作，根据前2小时完成的工作量+后4小时完成的工作量=完成的工作量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．本题考查了一元一次方程的应用，将总工作量当做“单位1”来找出方程是解题的关键． 【详解】解：设应先安排x人工作， 根据题意得：， 解得：， ∴应先安排3人工作， 故选：B． 32．（21-22七年级上·云南昆明·期末）整理一批图书，由一个人做要30小时完成，现在计划由一部分人先做2小时，再增加3人和他们一起做4小时，完成这项工作，假设每个人的工作效率相同，具体先安排x人工作，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设先安排x人工作，则x人工作2小时完成的工作量为： 再增加3人和他们一起做4小时，完成的工作量为： 利用两部分工作量之和等于1，从而可得答案. 【详解】解：设先安排x人工作，则 故选D 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，掌握“工程问题中，各部分的工作量之和等于1”列方程是解本题的关键. 33．（23-24七年级上·云南昭通·期末）一项工程，甲单独做需天完成，乙单独做需天完成，现由甲先做天，乙再加入合作，完成这项工程共需多少天？若设完成这项工程共需天，依题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的运用；由题意一项工程甲单独做要12天完成，乙单独做需要8天完成，可以得出甲每天做整个工程的，乙每天做整个工程的，根据文字表述得到题目中的相等关系是：甲完成的部分两人共同完成的部分． 【详解】解：设整个工程为1，根据关系式甲完成的部分两人共同完成的部分， 列出方程式为：， 故选：D． 34．（22-23七年级下·云南玉溪·期末）为加快红塔区城市更新改造，全面推进全区基础设施建设，提升城市档次和品位，2023年4月起，聂耳路（南北大街一棋阳路）开始封闭施工工程．其中某条地下管线如果由甲工程队单独铺设需要20天，由乙工程队单独铺设需要30天，现计划由乙工程队先从一端铺设5天，然后增加甲工程队从另一端和乙工程队同时铺设．设甲乙工程队共同铺设天后，恰好完成这条地下管线的铺设，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据乙独做5天的工作量加上甲乙合作x天的工作量=1，进而得出答案． 【详解】解：设甲乙工程队共同铺设天后，恰好完成这条地下管线的铺设，则： ， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 35．（21-22七年级上·全国·课后作业）一项工程甲独做10天完成，乙的工作效率是甲的2倍，两人合作了m天未完成，剩下的工作量由乙完成，还需的天数为（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】根据题意甲的效率为，乙的效率为，设工作量为1，剩下的工作还需要天完成，根据题意，列一元一次方程解决问题． 【详解】根据题意甲的效率为，乙的效率为，设工作量为1，剩下的工作还需要天完成，根据题意，得， 解得． 故选B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程是解题的关键． 36．（22-23七年级上·河南商丘·期末）一项工作，甲单独做需9天完成，乙单独做需12天完成，如果两人合做几天后，余下的工作再由甲单独做2天完成，则甲、乙两人合做了 天． 【答案】4 【分析】设甲、乙两人合做了x天，甲单独做需9天完成，乙单独做需12天完成，则甲每天完成任务的，乙每天完成任务的，再由各部分的工作量之和等于总工作量列方程，解这个方程即可． 【详解】解：设甲、乙两人合做了x天， 可得方程：， 解得：， 答：甲、乙两人合做了4天． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．列方程解应用题的关键是正确找出题目中的相等关系，用代数式表示出相等关系中的各个部分，把列方程的问题转化为列代数式的问题． 37．（23-24七年级上·云南红河·期末）劳动教育课程已经成为中小学生的必修课，被纳入人才培养的全过程．云南某中学整理学生的劳技作品，由一名老师整理要完成．现计划由一部分老师先做，然后再增加3名老师与他们一起做，可完成这项整理工作．假设每位老师的工作效率相同，应先安排多少名老师整理？ 【答案】应先安排5人工作 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答．根据题意，设应先安排x人工作，则x人先做完成这项工作的， 增加3人与他们一起做，完成这项工作的，由相等关系：x人先做完成的工作增加3人与他们一起做，完成的工作，可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】解：设应先安排x老师整理， ， 解得，， 答：应先安排5人工作． 38．（23-24七年级上·云南昆明·期末）挖一条水渠，甲队单独做需20天完成，乙队单独做需15天完成．现在两队合作若干天后，乙队另有任务离开，甲队接着又单独挖6天完成，请问挖这条水渠一共用了多少天？ 【答案】12天 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设挖这条水渠一共用了天，根据两队合作若干天后，乙队另有任务离开，甲队接着又单独挖6天完成，列出一元一次方程，解方程即可解答． 【详解】解∶设挖这条水渠一共用了天 题意得： 解得∶ 答∶挖这条水渠一共用了12天 四、题型04 行程问题 39．（2022·辽宁营口·中考真题）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设快马x天可以追上慢马，根据路程=速度×时间，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设快马x天可以追上慢马， 依题意，得： 240x-150x=150×12． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 40．（23-24七年级上·云南红河·期末）年国产大型客机首航成功，这标志着正式投入商业运营，也标志着我国从此有了属于自己的国产大型客机．某机场一架飞机顺风从甲机场飞到乙机场要用小时，它逆风飞行同样的航线要用小时．已知在风速为千米时的条件下，求无风时这架飞机在这一航线的平均速度． 【答案】无风时这架飞机在这一航线的平均速度为千米时． 【分析】此题考查一元一次方程的应用，设无风时这架飞机在这一航线的平均速度为千米时，列出关于的一元一次方程，再解方程即可，解题的关键读懂题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【详解】解：设无风时这架飞机在这一航线的平均速度为千米时， 由题意得，， 解得：， 答：无风时这架飞机在这一航线的平均速度为千米时． 41．（23-24七年级上·云南曲靖·期末）甲地到乙地的高铁开通后，运行时间由原来的4小时缩短至1小时，运行里程缩短了20千米．已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快220千米，求高铁的平均速度． 【答案】300千米每小时 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． 设高铁的平均速度为x km/h，建立方程解答即可． 【详解】解：高铁的平均速度为x km/h，根据题意得， ， 解得， 答：高铁的平均速度300千米每小时． 42．（23-24七年级上·云南昭通·期末）如图，在数轴上点，，表示的数分别是、、，动点从点出发，沿数轴以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动，当点运动到点或点运动到点时，立即停止整个运动，设点的运动时间为秒． (1)当点与点相遇时，求的值； (2)当点与点之间的距离为个单位长度时，求的值； (3)若，求出点表示的数． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）本题考查数轴上两点之间的距离和一元一次方程的应用（相遇问题），根据点， 表示的数表示出的长，再结合相遇时，点运动的路程加上点运动的路程等于的长，即可解题． （2）本题考查一元一次方程的应用，根据点与点之间的距离为个单位长度，有两种情况，相遇前和相遇后，根不同情况下点与点的路程与的长之间的关系建立方程即可求解． （3）本题根据，可将情况分为或，再利用，列出方程计算即可求解． 【详解】（1）解：的长为． 依题意有：， 解得． 故的值是． （2）解：相遇前：， 解得． 相遇后：， 解得． 故的值为或． （3）解：当时，， 解得不符合题意，舍去； 当时，， 解得， ． 故点表示的数为． 43．（23-24七年级上·广东广州·期中）一艘船从甲码头顺流而行，用了3小时到达乙码头，该船从乙码头返回甲码头逆流而行，用了5小时，已知水流速度是3千米/小时，求船在静水中的速度． 【答案】船在静水中的速度为12千米/小时 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设船在静水中的速度为千米/小时，根据路程等于速度乘以时间，以及来回路程相等，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设船在静水中的速度为千米/小时，则顺流速度为千米/小时，逆流速度为千米/小时，由题意，得： ，解得：； 答：船在静水中的速度为12千米/小时． 44．（23-24七年级上·山东聊城·开学考试）客车和货车同时从相距450千米的两地出发，相向而行，经过3小时相遇．已知客车和货车的速度比是，客车每小时行多少千米？ 【答案】客车每小时行千米 【分析】设客车每小时行驶千米，货车每小时行驶千米，根据等量关系列出方程并解方程即可求解． 【详解】解：设客车每小时行驶千米，货车每小时行驶千米，由题意得： ， 解得：， （千米）， 答：客车每小时行千米． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理清题意，列出方程是解题的关键． 五、题型05 配套问题 45．（23-24七年级上·云南昭通·期末）某工厂用硬纸生产圆柱形茶叶筒．已知该工厂有名工人，每名工人每小时可以制作筒身个或制作筒底个．要求一个筒身配两个筒底，设应该分配名工人制作筒身，其它工人制作筒底，使每小时制作出的筒身与筒底刚好配套，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】名工人制作筒身个，名工人制作筒底个，根据“筒底的数量筒身的数量”列出方程即可． 本题主要考查一元一次方程的应用——配套问题，解答本题的关键是熟练掌握“筒身总数与筒底总数比等于一个茶叶筒的筒身与筒底配比”． 【详解】设应该分配名工人制作筒身，则有名工人制作筒底， 由题意可得：． 故选：C． 46．（21-22七年级上·宁夏银川·期末）某口罩厂有50名工人，每人每天可以生产500个口罩面或1000个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排名工人生产口罩面，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，题目已经设出安排x名工人生产口罩面，则人生产耳绳，由一个口罩面需要配两个耳绳可知耳绳的个数是口罩面个数的2倍从而得出等量关系，就可以列出方程． 【详解】解：设安排x名工人生产口罩面，则人生产耳绳，由题意得， 故选：C． 47．（21-22七年级下·云南·期中）某车间有66名工人，每名工人一天能生产甲种零件24个或生产乙种零件15个，而甲种零件3个，乙种零件5个配成一套机件，请合理分配所有工人，使得每天生产的零件刚好配低，则每天可生产 套． 【答案】144 【分析】设应分配人生产甲种零件，则人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件配套．根据每人每天平均能生产甲种零件24个或乙种零件15个，可列方程求解． 【详解】解：设分配人生产甲种零件，则应分配人生产乙种零件，根据题意，得 ， 解得， 生产乙种零件的人数：， 每天生产零件的套数：． 故答案是：144． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用和理解题意的能力，解决这个问题的关键是设出生产甲种零件和乙种零件的人数，以配套的比例列方程求解． 48．（23-24七年级上·云南昆明·期末）2023年8月29日华为在各大电商平台预约销售，预售不到24小时，天猫、京东等平台的就被抢完，显示无货，为了加快生产进度，某工厂连夜生产中的某种电子配件，这种配件由A型装置和B型装置组成，已知该工厂共有1200名工人．若急需的这种电子配件每套由2个A型装置和1个B型装置配套组成，每人每天只能加工40个A型装置或30个B型装置，现将所有工人分成两组，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的A、B型装置正好配套，该工厂每天应安排多少名工人生产A型装置，多少名工人生产B型装置？ 【答案】工厂每天安排720人生产A型装置，安排480人生产B型装置 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．设该工厂每天应安排x名工人生产A型装置，根据2个A型装置和1个B型装置配套，得到A型装置的数量是B型装置的2倍，列出方程进行求解即可．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 【详解】解：设该工厂每天应安排x名工人生产A型装置，名工人生产B型装置．                  解得                 则（人）             答：工厂每天安排720人生产A型装置，安排480人生产B型装置． 49．（23-24七年级上·云南昭通·期末）某车间有工人45人，平均每人每天可加工大齿轮10个或小齿轮16个．又知1个大齿轮与2个小齿轮配成一套．应如何安排工人，才能使每天生产的大小齿轮刚好配套？ 【答案】应安排20人生产大齿轮，25人生产小齿轮，才能使产品刚好配套 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设安排人生产大齿轮，则安排人生产小齿轮，再利用“1个大齿轮与2个小齿轮配成一套”建立方程求解即可，确定相等关系是解题关键． 【详解】解：设安排人生产大齿轮，则安排人生产小齿轮， 根据题意，得 解得 答：应安排20人生产大齿轮，25人生产小齿轮，才能使产品刚好配套． 50．（23-24七年级上·云南昆明·期末）近年来，云南昆明不断完善全民健身公共服务体系，随着滇池绿道的建造，“15分钟健身圈”逐步形成，把“健身房”建在市民身边，让体育更好的融入生活．某工厂生产一批太空漫步器（如图）．每套设备由3根立柱和4个脚踏板组装而成；工厂现共有40名工人，每人每天平均生产36根立柱或48个脚踏板，应如何分配工人才能使每天生产的立柱和脚踏板恰好配套？    【答案】20名工人生产立柱，20名工人生产脚踏板 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设安排x人生产立柱，则安排人生产脚踏板，根据“每人每天平均生产36根立柱或48个脚踏板”，即可求解． 【详解】解：设安排x人生产立柱，则安排人生产脚踏板，由题意，得 ， 解得， ， 答：安排20人生产立柱，20人生产脚踏板正好配套． 51．（23-24七年级上·重庆渝中·期中）第届亚洲夏季运动会于年月日在杭州举行，象征杭州三大世界文化遗产的吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”通过不同色彩、不同纹饰向世界讲述“江南忆”的美丽故事，现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为、两种包装，该工厂共有名工人． (1)若该工厂生产盲盒的人数比生产盲盒的人数的倍少人，请求出生产盲盒的工人人数； (2)为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由个盲盒和个盲盒组成，已知每个工人平均每天可以生产个盲盒或个盲盒，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒，多少名工人生产盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套？ 【答案】(1)生产盲盒的工人人数为人 (2)该工厂应该安排名工人生产，名工人生产才能使每天生产的盲盒正好配套 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （）设生产盲盒的工人人数为人，则生产盲盒的工人人数为人，根据该工厂共有名工人，列出一元一次方程，解方程即可； （）设安排人生产盲盒，则安排人生产盲盒，根据盲盒大礼包由个盲盒和个盲盒组成．列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设生产的人数为人，则生产的人数为人， 于是 解得： （人） 答：生产盲盒的工人人数为人． （2）解：设安排人生产，则安排人生产 于是 解得： （人） 答：该工厂应该安排名工人生产，名工人生产才能使每天生产的盲盒正好配套． 六、题型06 方案问题 52．（23-24七年级上·云南楚雄·期末）某学校开展冬季运动会，准备采购30副羽毛球拍和若干个羽毛球，每副羽毛球拍标价80元，每个羽毛球标价5元，某超市在开展促销活动，提供了两种优惠方案（两种优惠方案不能叠加使用）： 方案一：每买一副羽毛球拍赠送5个羽毛球； 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按标价的八折销售． 设该校购买了x个羽毛球． (1)当时，按两种方案购买各需付款多少元？ (2)按两种方案购买各需付款多少元？（用含x的式子表示） (3)当购买羽毛球多少个时，两种方案付款相同． 【答案】(1)方案一3150元；方案二3120元 (2)方案一元；方案二元 (3)当购买羽毛球270个时，两种方案付款相同 【分析】本题考查了有理数的混合运算的实际应用，列代数式，一元一次方程的实际应用． （1）根据题目所给的两种方案，列出算式进行计算即可； （2）根据题目所给的两种方案，列出代数式即可； （3）根据（2）中的代数式，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：按方案一购买，因为每买一副羽毛球拍赠送5个羽毛球， 所以买30副羽毛球拍赠送150个羽毛球， 所以需付款（元）； 按方案二购买，需付款（元）； （2）解：按方案一购买，需付款元； 按方案二购买，需付款元； （3）解：， 解得， 答：当购买羽毛球270个时，两种方案付款相同． 53．（23-24七年级上·云南玉溪·期末）为持续深入推进“双减”工作，拓展丰富课后服务资源，满足学生兴趣特长发展需求，某校决定购买一批足球运动装备．经市场调查发现：甲、乙两商场以同样的标价出售同种品牌的足球运动服和足球，已知每套运动服比每个足球贵40元，3套运动服与5个足球的费用相等． (1)求每套运动服和每个足球的标价分别是多少？ (2)甲商场优惠方案是：每购买10套运动服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买运动服超过50套，则购买足球打八折．若该校购买100套运动服和a个足球（其中且为整数），则当购买的足球数a为何值时，在两家商场购买所需的费用一样． 【答案】(1)每套运动服的标价是100元，每个足球的标价是60元； (2)当购买50个足球时，在两家商场购买所需的费用一样． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设每个足球的标价是元，则每套运动服的标价是元，根据3套运动服与5个足球的费用相等，可列出关于的一元一次方程，解之可求出每个足球的标价，再将其代入中，即可求出每套运动服的标价； （2）利用总价单价数量，结合在两家商场购买所需的费用一样，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设每个足球的标价是元，则每套运动服的标价是元， 根据题意得：， 解得：， ． 答：每套运动服的标价是100元，每个足球的标价是60元； （2）解：根据题意得：， 解得：． 答：当购买50个足球时，在两家商场购买所需的费用一样． 54．（23-24七年级上·云南红河·期末）七年级某班因参加校园运动会为学生购置运动装．经了解，某服装店男款运动装每套100元，女款运动装每套120元，原价购买50套运动装共需5520元．为吸引顾客，该店推出两种优惠方案： 方案一：全部运动装八五折销售； 方案二：一次性购买40套运动装（男女运动装均可）及以上免费赠送10套男款运动装，其余的按原价销售． (1)该班购买的男款运动装和女款运动装各多少套？ (2)请通过计算说明该班购买50套运动装应选择哪种优惠方案更合算？ 【答案】(1)该班购买的男款运动装套． (2)按方案二购买更合算 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据已知的等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设该班购买的男款运动装套，由总共需要5520元列方程，解出即可． （2）按方案一购买需：（元）；按方案二可以购买14套男运动装和26套女运动装加赠送10套男款运动装，费用为：（元），比较大小即可． 【详解】（1）解：设该班购买的男款运动装套，则购买的女款运动装各多少套为套，根据题意得 答：该班购买的男款运动装套． （2）按方案一购买需：（元） 按方案二购买需：按原价购买14套男运动装和26套女运动装加赠送10套男款运动装 （元） ∵ ∴按方案二购买更合算． 55．（22-23七年级上·广东广州·期末）某超市新开张，春节促销，推出了两种购物方案． 方案一：非会员购物，所有商品可获标价的九折优惠； 方案二：如交纳400元会费成为该超市会员，则所有商品可获标价的八五折优惠； (1)以（元）表示商品标价，分别用含有的式子表示出两种购物方案所需支出的金额； (2)若某人计划在超市购买价格为元的电视机一台，选择哪种方案更省钱？ (3)在哪种情况下，两种方案所需支出的金额相同？ 【答案】(1)方案一支出的金额为：元，方案二支出的金额为元 (2)选择方案一更省钱 (3)当商品的标价为元，两种方案所需支出的金额相同 【分析】（1）根据所给的优惠方案列出对应的代数式即可； （2）把代入到（1）中所求式子求出两种方案的支出金额即可得到答案； （3）根据两种方案支出金额相等建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，方案一支出的金额为：元，方案二支出的金额为元； （2）解：当时，方案一支出的金额为：元，方案二支出的金额为元； ∵， ∴选择方案一更省钱； （3）解：由题意得，， 解得， ∴当商品的标价为元，两种方案所需支出的金额相同， 答：当商品的标价为元，两种方案所需支出的金额相同． 【点睛】本题主要考查了列代数式，代数式求值，一元一次方程的实际应用，正确理解题意列出对应的式子和方程是解题的关键． 56．（20-21七年级上·广东深圳·期末）小明用的练习本可以到甲商店购买，也可以到乙商店购买．已知两店的标价都是每本1元，甲商店的优惠条件是买10本以上，从第11本开始按标价的7折卖；乙商店的优惠条件是购买10本以上，每本按标价的8折卖． （1）小明要买20本练习本，到哪个商店较省钱？ （2）小明要买10本以上练习本，买多少本时到两个商店付的钱一样多？ 【答案】（1）买20本时，到乙店较省钱；（2）购买30本时，到两个商店付的钱一样多． 【分析】（1）根据总价=单价×数量结合两家商店的优惠政策，即可求出购买20本时在两家商店所需费用，比较后即可得出结论； （2）设购买x本时，两个商店付的钱一样多，根据总价=单价×数量结合两家商店的优惠政策，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； 【详解】解：（1）甲店：10×1+10×1×70%=17（元）， 乙店：20×1×80%=16（元）． ∵17＞16， ∴买20本时，到乙店较省钱． （2）设购买x本时，两个商店付的钱一样多， 依题意，得：10×1+70%（x-10）=80%x， 解得：x=30． 答：当购买30本时，到两个商店付的钱一样多． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 七、题型07 一元一次方程解的综合应用 57．（23-24七年级上·云南普洱·期末）已知关于的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数的积是（    ） A． B．4 C．6 D．3 【答案】A 【分析】先求的解，再根据解是正整数，分类计算，本题考查了解方程，根据方程的解特殊性求值，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】∵， 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1 得， ∵方程的解是正整数， ∴， 解得， 故， 故选A． 58．（20-21七年级下·重庆北碚·阶段练习）关于x的一元一次方程（k﹣1）x＝4的解是整数，则符合条件的所有整数k的值的和是（　　） A．0 B．4 C．6 D．10 【答案】C 【分析】根据方程的解为整数，可得k的值，再求解即可． 【详解】解：解方程得，x＝， ∵关于x的一元一次方程（k﹣1）x＝4的解是整数， ∴k﹣1的值为：﹣4，﹣2，﹣1，1，2，4， ∴k的值为：﹣3，﹣1，0，2，3，5， ∴符合条件的所有整数k的值的和是：（﹣3）+（﹣1）+0+2+3+5＝6， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，根据题意得出k的值是解题关键． 59．（23-24七年级上·云南昆明·期末）如果两个一元一次方程的解互为倒数，我们就称这两个方程为“友好方程”．例如，方程和方程为“友好方程”．若关于的方程与方程是“友好方程”，则 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，解方程与方程，根据题中“友好方程”定义，列方程求解即可得到答案，熟练掌握一元一次方程解法是解决问题的关键． 【详解】解：解得； 解得； 关于的方程与方程是“友好方程”， ，解得， 故答案为：． 60．（23-24七年级上·云南昆明·期末）对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：． 例如：． 根据上述规定解决下列问题： (1)求有理数对的值； (2)当满足等式的是整数时，求整数的值． 【答案】(1)； (2)或； 【分析】本题考查有理数混合运算的新运算，一元一次方程整数解问题， （1）读懂新运算直接代入求解即可得到答案； （）根据新运算列方程求解，再结合整数解求解即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：由题意可得， ， 解得：， ∵是整数， ∴或或或， 解得：或或或， ∵为整数， ∴或． 八、题型08 几何问题 61．（23-24七年级上·云南红河·期末）如图，已知数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a、b满足，动点P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒． (1)_____________，_____________； (2)当t为何值时，点P运动到线段中点处，并求出此时点P在数轴上所表示的数； (3)动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，点P运动多少秒时，P、Q两点相距6个单位长度？ 【答案】(1)； (2)，点P表示的数为7 (3)3秒或6秒 【分析】本题主要考查了非负数的性质，数轴上两点的距离计算，一元一次方程的应用： （1）根据非负数的性质求解即可； （2）根据（1）所求，求出线段中点表示的数，进而求出的长，即可求出t的值； （3）运动t秒后点P表示的数为，点Q表示的数为，根据数轴上两点距离计算公式得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；； （2）解：由（1）可知，点A表示的数为，点B表示的数为， ∴线段中点表示的数为，即此时点P表示的数为7， ∴； （3）解：由题意得，运动t秒后点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵P、Q两点相距6个单位长度， ∴， ∴或， 解得或， ∴点P运动3秒或6秒后，P、Q两点相距6个单位长度． 62．（23-24七年级下·云南普洱·期末）汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带的两岸各安置了一探照灯，便于夜间察看河水及两岸河堤的情况，如图1，探照灯A射出的光线自顺时针转动至便立即回转，探照灯B射出的光线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若探照灯A射出的光线的转动速度是/秒，探照灯B射出的光线的转动速度是/秒，且a，b满足，假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且． (1)求a，b的值； (2)如图2，两探照灯同时转动，在探照灯A射出的光线到达之前，两探照灯射出的光束交于点C，若，求的度数； (3)若探照灯B射出的光线先转动36秒后，探照灯A射出的光线才开始转动，设光线转动时间为t秒，当两探照灯的光线互相平行即时，求t的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)当或两探照灯的光束互相平行． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，一元一次方程的应用，分类思想，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据非负性，得到，，解方程组即可； （2）设A灯转动时间为t秒，则，，分别表示出的三个内角，利用平行线的判定和性质，计算即可． （3）设灯A转动了t秒时，两束光线平行，分类列出方程计算即可． 【详解】（1）解：∵． ∴，． ∴，； （2）解：作， ∵， ∴， 设A灯转动时间为t秒， 则，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴； （3）解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行． ①当时， 由题意得， 解得； ②当时， 解得； 综上所述，当或两探照灯的光束互相平行． 63．（23-24七年级上·云南曲靖·期末），是数轴上的两点（点在点的右侧），点表示的数为，、两点的距离是点到原点的距离的倍，即．点为数轴上的动点． (1)数轴上点表示的数是______； (2)当时，求点表示的数； (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长度． 【答案】(1)； (2)点表示的数为或； (3)不发生变化，图见解析，． 【分析】（1）本题根据数轴上两点之间的距离算出，利用，得到的长，利用数轴上两点之间的距离，即可解题． （2）本题根据，可判断点不在线段上，设点表示的数为，则可分两种情况进行分析：点在左侧或点在右侧，分别表示出后，根据建立等式求解，即可解题； （3）本题根据点为数轴上的动点，分为以下三种情况，①点在点的左侧，②点在之间，③点在点右侧，利用中点求出线段、的长度，根据图形分析表示出的长度，即可解题． 【详解】（1）解：点表示的数为， ， ， ， 又点在点的右侧， 点表示的数为， 故答案为：． （2）解：设点表示的数为， ， 点在点的左侧或点的右侧， 当点在点的左侧时， ， 解得； 当在的右侧时， ． 解得． 综上所述，点表示的数为或． （3）解：的长度不发生变换，理由如下： ①点在点的左侧， ，，是的中点，是的中点， ，， ； ②点在之间， ，，是的中点，是的中点， ，， ； ③点在点的右侧， ，，是的中点，是的中点， ，， ． 【点睛】本题考查用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题，线段中点的定义、一元一次方程的应用、线段的和差，解题关键是根据数轴表示出线段的长度． 64．（23-24七年级上·云南保山·期末）新定义：如图①，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．）    阅读理解： (1)角的平分线______这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”） (2)如图①，，射线为的“幸运线”，则的度数为______；（直接写出答案） 解决问题 (3)如图②，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动的时间为秒（）．若、、三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求运动的时间的值． 【答案】(1)是 (2)或或 (3)或或 【分析】（1）根据“幸运线”定义即可求解； （2）分3种情况，根据“幸运线”定义得到方程求解即可； （3）分4种情况，根据“幸运线”定义得到方程求解即可． 【详解】（1）解：设是的平分线，则， ∴一个角的平分线是这个角的“幸运线”， 故答案为：是； （2）解：①若，设，则， 由题意得，， 解得， ②若，设，则， 由题意得，， 解得， ③若，设，则， 由题意得，， 解得， ∴的度数为或或， 故答案为：或或； （3）解：当时，射线在内部， 此时，， ①当时，则， 即， 解得； ②当时，则， 即， 解得； ③当时，则， 解得； ④当时，则， 解得； 故的值是或或． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，新定义类问题，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“幸运线”的定义是解题的关键．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 65．（23-24七年级上·云南昆明·期末）已知数轴上两点，对应的数分别为，4，点为数轴上一动点，其对应的数为． (1)若点为线段的中点，则点对应的数_______； (2)点P在移动的过程中，其到点A、点B的距离之和为8，求此时点P对应的数的值； (3)对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”．如图，原点O是点A，B的2倍点．现在，点A、点B分别以每秒4个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设出发t秒后，点P恰好是点A，B的“2倍点”，请直接写出此时的t值． 【答案】(1)1 (2)点对应的数是或5； (3)或1.3或． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，以及数轴，关键是理解题意，表示出两点之间的距离，利用数形结合法列出方程． （1）根据点到点、点的距离相等，结合数轴可得答案； （2）此题要分两种情况：①当在左侧时，②当在右侧时，再列出方程求解即可； （3）由点恰好是点，的“2倍点”，列出方程可求解． 【详解】（1）解：为的中点，， 依题意得， 解得：， 故答案为：1； （2）解：由，若存在点到点、点的距离之和为8，不可能在线段上，只能在点左侧，或点右侧， ①在点左侧，，， 依题意得， 解得：； ②在点右侧，，， 依题意得， 解得：， 故点对应的数是或5； （3）解：由题意可得：秒后，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， 点恰好是点，的“2倍点”， 或， 解得：（舍去）或或或， 的值或1.3或． 66．（21-22七年级上·云南玉溪·期末）【阅读】在数轴上，点A对应的有理数为a，点B对应的有理数为b，则以A、B为端点的线段的长度AB=，以A、B为端点线段的中点对应数为． 【运用】如图，已知A、B、C 分别为数轴上的两点，点A对应的数为-8，点B对应的数为 4，点C对应的数为6，现有一动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时，另一动点Q从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t秒． (1)A，B两点间的距离AB= ，线段AB的中点表示的数为 ； (2)用含t 的代数式表示：点P对应的数是 ，点Q对应的是 ，动点Q经过 秒时运动到点A与点B的中点处； (3)经过多少秒时，点P与点Q之间的距离恰好是点Q与点C之间距离的一半？ 【答案】(1)12，-2 (2)-8+3t，4-5t，1．2 (3)秒 【分析】（1）根据数轴上两点间的长度，线段的中点公式计算即可求解； （2）根据题意列出代数式，一元一次方程，解方程即可求解． （3）设运动t秒时，点P 与点 Q 之间的距离恰好是点Q 与点C 之间距离的一半，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵点A对应的数为-8，点B对应的数为 4， ∴A，B两点间的距离AB=4-（-8）=12，线段AB的中点表示的数为 故答案为：12，-2 （2）点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时，另一动点Q从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t秒 ∴点P对应的数是-8+3t，点Q对应的是4-5t， 当动点Q经过运动到点A与点B的中点处时， 解得 故答案为：-8+3t，4-5t，1．2 （3）方法一：设运动t秒时，点P 与点 Q 之间的距离恰好是点Q 与点C 之间距离的一半． 根据题意得： ∴ ∴或 解得： 或   答：经过秒时，点P 与点 Q 之间的距离恰好是点Q 与点C 之间距离的一半． 方法二：设运动t秒时， ①当P、Q相遇前， 解得， ②当P、Q相遇后， 解得， 答：经过秒时，点P 与点 Q 之间的距离恰好是点Q 与点C 之间距离的一半． 【点睛】本题考查了数轴上两点距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键． 九、题型09 其他问题 67．（23-24七年级上·云南曲靖·期末）小明在日历表的同一列圈出相邻的3个数，这3个数的和可能是（　　） A．21 B．45 C．49 D．75 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是用含x的代数式表示三个数的和．设中间一个是x，可得这三个数的和是，再分别列方程，解得x的值，检验即可得到答案． 【详解】解：设中间一个是x，则其它两个数是和， ∴这三个数的和是， 若，则，，故A不符合题意； 若，则，故B符合题意； 若，则；故C不符合题意， 若，则，，故D不符合题意； 故选：B． 68．（23-24七年级上·云南昆明·期末）一个由若干奇数排成的数阵，用如图所示的框去框住四个数，并求出它们的和．移动这个框，框住四个数的和可能是（　　） A．114 B．122 C．220 D．84 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．可利用图例，看出框内四个数字之间的关系，上下相差10，左右相差2，利用此关系表示四个数之和，再进行求解即可得出答案． 【详解】解：设最小的一个数为x，则另外三个数为，，，显然x的个位数字只可能是3、5、7，框住的四个数之和为． 当时，，21为最左边的数，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意． 故选B． 69．（23-24七年级上·云南红河·期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”若设牧童有x人，根据题意，可列方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设有牧童人，根据“每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿”，结合竹竿的数量不变，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设有牧童人， 根据题意可列方程为：， 故选：． 70．（23-24七年级上·云南昆明·期中）下表填在各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字的规律探究，一元一次方程的应用．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由前3个图形中的数字分布可推导：左下和右上的积等于左上和右下的和，且左上、左下、右上三个数是相邻的偶数，然后列方程求解即可． 【详解】解：由题意知，，，， ∴可知左下和右上的积等于左上和右下的和，且左上、左下、右上三个数是相邻的偶数． ∴如图， ∴， 解得，， 故选：D． 71．（23-24七年级上·云南曲靖·期末）下表是某市居民每月用水收费标准（单位：元/立方米），设用户用水量为x立方米． 用水量x（单位：立方米） 单价（单位：元/立方米） a 超出30的部分 (1)据了解用水10立方米，需交水费35元，某用户10月份恰好用水30立方米，求该用户10月份应交水费多少元？ (2)该用户11月份交水费152元，求该用户11月份用水多少立方米？ 【答案】(1)105元； (2)40立方米． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据“用水10立方米，需交水费35元”，可列出关于a的一元一次方程，解之可得出a的值，再将其代入30a中，即可求出结论； （2）设该用户11月份用水x立方米，由（1）的结论，可得出，结合该用户11月份交水费152元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）根据题意得：， 解得：， ∴（元）． 答：该用户10月份应交水费105元； （2）设该用户11月份用水x立方米， ∵， ∴． 根据题意得：， 解得：． 答：该用户11月份用水40立方米． 72．（23-24七年级下·云南文山·期末）“四书五经”是《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》和《诗经》、《尚书》、《易经》、《礼记》、《春秋》的总称，这是一部被中国人读了几千年的书，包含了中国古代的政治理想和治国之道，是我们了解中国古代社会的一把钥匙．某学校计划分阶段引导学生读这些书，先购买《论语》和《孟子》供学生阅读．已知用1300元购买《孟子》和《论语》各20本，《孟子》的单价比《论语》的单价少15元． (1)求购买《论语》和《孟子》这两种书的单价各是多少元？ (2)学校为了丰富学生的课余生活，举行“书香阅读”活动，根据需要，学校准备再次购进两种书共50本，但总费用不超过1400元，最多可购进多少本论语？ 【答案】(1)《论语》的单价是40元，《孟子》的单价是25元 (2)最多可购进10本论语 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用，（1）设《论语》的单价是x元，则《孟子》的单价是元，根据题意列方程求解即可； （2）设购进《论语》a本，则购进《孟子》本，根据题意列一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设《论语》的单价是x元，则《孟子》的单价是元， 由题意得，， 解得，， 则（元）， 答：《论语》的单价是40元，《孟子》的单价是25元； （2）解：设购进《论语》a本，则购进《孟子》本， 由题意得，， 解得，， 答：最多可购进10本论语． 73．（23-24七年级上·云南昆明·期末）用A、B两种型号的机器生产相同的产品，产品装入同样规格的包装箱后运往仓库．已知每台B型机器比A型机器一天多生产2件产品，3台A型机器一天生产的产品恰好能装满5箱，4台B型机器一天生产的产品恰好能装满7箱．每台A型机器一天生产多少件产品？每箱装多少件产品？ 下面是解决该问题的两种思路，请选择其中一种思路，进行解答．（不需要填空） 思路一：若设每台A型机器一天生产x件产品，则每台B型机器一天生产件产品，3台A型机器一天共生产______件产品，4台B型机器一天共生产______件产品，再根据相等关系：______，就可以列出方程解决问题． 思路二：若设每箱装x件产品，则3台A 型机器一天共生产_____件产品，4台B型机器一天共生产________件产品，再根据相等关系：________，就可以列出方程解决问题． 【答案】每台A型机器一天生产40件产品，每箱装24件产品． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题中思路一或思路二即可得到等量关系或，即可求解． 【详解】思路一解法 解：设每台A型机器一天生产x件产品，根据题意得： ， 解得． 所以（件）． 答：每台A型机器一天生产40件产品，每箱装24件产品． 思路二解法 解：设每箱装x件产品，根据题意得： ， 解得． 所以（件）． 答：每台A型机器一天生产40件产品，每箱装24件产品． 十、题型10 古代问题 74．（18-19七年级上·山西太原·期末）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三．问人数、羊价各几何？”其译文为：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱，问人数、羊价各是多少？若设人数为x人，则列出的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 根据每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱，可以列出相应的一元一次方程，本题得以解决． 【详解】解：设人数为x人， 则可列方程为． 故选：D． 75．（22-23七年级上·河南漯河·期末）我国明代著名数学家程大位的《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，就比竿短5尺．设竿长为x尺，根据题意列一元一次方程（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．设杆子为x尺，则索为尺，根据“折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x一元一次方程． 【详解】设杆子为x尺，则索为尺，根据“折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x一元一次方程． 【解答】解：设杆子为x托，则索为尺， 根据题意得：， 故选：C． 76．（22-23七年级上·河北张家口·期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿，若设有牧童人，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据竿的数量一定，列出方程即可． 【详解】解：设有牧童人，由题意，得：； 故选A． 77．（22-23七年级上·广东清远·期末）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有一题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？大意是说：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9人无车可乘．问共有有多少人，多少辆车？如果设有辆车，根据题意所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据总人数可表示为，又可表示为，再列方程即可． 【详解】解：依题意，得， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示总人数是解题关键． 试卷第2页，共48页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$